第十一章曲线积分与曲面积分经典例题
第十一章 曲线积分与曲面积分
内容要点
一、引例 设有一曲线形构件所占的位置是xOy 面内的一段曲线L （图10-1-1），它的质量分布不均匀，其线密度为),(y x ρ，试求该构件的质量. 二、第一类曲线积分的定义与性质
性质1 设α，β为常数，则
???+=+L L L ds y x g ds y x f ds y x g y x f ),(),()],(),([βαβα；
性质2设L 由1L 和2L 两段光滑曲线组成(记为=L 21L L +)，则
.),(),(),(2
1
2
1
???+=+L L L
L ds y x f ds y x f ds y x f
注： 若曲线L 可分成有限段，而且每一段都是光滑的，我们就称L 是分段光滑的，在以后的讨论中总假定L 是光滑的或分段光滑的.
性质3 设在L 有),(),(y x g y x f ≤，则 ds y x g ds y x f L
L
??≤),(),(
性质4（中值定理）设函数),(y x f 在光滑曲线L 上连续，则在L 上必存在一点),(ηξ，使
s f ds y x f L
?=?),(),(ηξ
其中s 是曲线L 的长度.
三、第一类曲线积分的计算：)(),
(),(βα≤≤??
?==t t y y t x x
dt t y t x t y t x f ds y x f L )()(])(),([),(22'+'=??β
α
如果曲线L 的方程为 b x a x y y ≤≤=),(，则
dx x y x y x f ds y x f b
a
L )(1])(,[),(2'+=??
如果曲线L 的方程为 d y c y x x ≤≤=),(，则
dy y x y y x f ds y x f d
c
L )(1]),([),(2'+=??
如果曲线L 的方程为 βθαθ≤≤=),(r r ，则
θθθθθβ
α
d r r r r f ds y x f L
)()()sin ,cos (),(22'+=??
例5（E03）计算,||?
L
ds y 其中L 为双纽线（图10-1-4）)()(222222y x a y x -=+的
弧.
解 双纽线的极坐标方程为 .2cos 2
2θa r =
用隐函数求导得 ,2sin ,2sin 22
r
a r a r r θ
θ-
='-=' .2sin 2
2
242
2
2
θθθθd r a d r
a r d r r ds =+='+= 所以 .)22(2sin 4sin 4||2402402
a d a d r
a
r ds y L -==?
=???π
πθθθθ 内容要点
一、引例：设有一质点在xOy 面内从点A 沿光滑曲线弧L 移动到点B ,在移动过程中，这质点受到力
j y x Q i y x P y x F
),(),(),(+=
的作用，其中),(y x P ，),(y x Q 在L 上连续. 试计算在上述移动过程中变力),(y x F
所作的功. 二、 第二类曲线积分的定义与性质：j y x Q i y x P y x A ),(),(),(+=
??+=?L
L
ds Q P ds t A )cos cos (βα
平面上的第二类曲线积分在实际应用中常出现的形式是
?+L dy y x Q dx y x P ),(),(??+=L L dy y x Q dx y x P ),(),(
性质1 设L 是有向曲线弧, L -是与L 方向相反的有向曲线弧，则
??+-=+-L L dy y x Q dx y x P dy y x Q dx y x P ),(),(),(),(；
即第二类曲线积分与积分弧段的方向有关.
性质2 如设L 由1L 和2L 两段光滑曲线组成，则
???+++=+2
1
L L L Qdy Pdx Qdy Pdx Qdy Pdx .
三、第二类曲线积分的计算：),(t x x = ),(t y y =
?+L
dy y x Q dx y x P ),(),(?'+'=β
α
dt t y t y t x Q t x t y t x P )}()](),([)()](),([{.
如果曲线L 的方程为 ),(x y y =起点为a , 终点为b ，则
.)}()](,[)](,[{??'+=+b
a
L dx x y x y x Q x y x P Qdy Pdx
如果曲线L 的方程为),(y x x = 起点为c , 终点为d ，则
.]}),([)(]),([{??+'=+d
c
L
dy y y x Q y x y y x P Qdy Pdx
内容要点
一、格林公式
定理1 设闭区域D 由分段光滑的曲线L 围成，函数),(y x P 及),(y x Q 在D 上具有一阶连续偏导数，则有
???+=???? ?
???-??L D Qdy Pdx dxdy y P x Q
其中L 是D 的取正向的边界曲线.
若在格林公式中，令,,x Q y P =-= 得
???-=L
D
ydx xdy dxdy 2，
上式左端是闭区域D 的面积A 的两倍，因此有 .21
?-=
L
ydx xdy A 二、平面曲线积分与路径无关的定义与条件
定理2 设开区域D 是一个单连通域，函数),(y x P 及),(y x Q 在D 内具有一阶连续偏导数，则下列命题等价：
（1） 曲线积分?+L
Qdy Pdx 在D 内与路径无关；
（2）表达式Qdy Pdx +为某二元函数),(y x u 的全微分； （3）
x
Q
y P ??=
??在D 内恒成立； （4）对D 内任一闭曲线L ，0=+?L
Qdy Pdx .
由定理的证明过程可见，若函数),(y x P ，),(y x Q 满足定理的条件，则二元函数
?
+=),()
,(00),(),(),(y x y x dy y x Q dx y x P y x u
满足 dy y x Q dx y x P y x du ),(),(),(+=， 我们称),(y x u 为表达式dy y x Q dx y x P ),(),(+的原函数.
C dy y x P dx y x P y x u y
y x x ++=??0
0),(),(),(0
或 C dy y x P dx y x P y x u y
y x
x ++=??0
),(),(),(0
例4 计算
,2
dxdy e D
y ??
- 其中D 是以)1,0(),1,1(),0,0(B A O 为顶点的三角形闭区域.
解 令,0=P ,2
y xe Q -=则 y
P
x Q ??-
??.2y e -= 应用格林公式,得
dxdy e D
y ??
-2
?
++-=
BO
AB OA y dy xe 2
?
-=
OA
dy xe y 2
?
-=
1
02dx xe x ).1(2
1
1--=e 例5（E03）计算
,2
2?+-L y x ydx xdy 其中L 为一条无重点)
1(, 分段光滑且不经过原点的连续闭曲线, L 的方向为逆时针方向.
解 记L 所围成的闭区域为,D 令,22y x y P +-=
,2
2y
x x
Q += 则当02
2
≠+y x 时，有 x Q
??22222)
(y x x y +-=.y P ??=
(1) 当D ?)0,0(时，由格林公式知
;02
2=+-?
L y x ydx
xdy
(2) 当D ∈)0,0(时，作位于D 内圆周
,:222r y x l =+记1D 由L 和l 所围成,应用格林公式，得
?
?
=+--+-L l y x ydx
xdy y x ydx xdy .02
222
故?+-L y x ydx xdy 2
2?
+-=
l y x ydx
xdy 2
2?
+=
π
θθ
θ20
2
2222sin cos d r r r ?
=
π
θ20
d .2π=
例6（E04）求椭圆θcos a x =，θsin b y =所围成图形的面积A . 解 所求面积
A ?
-=
L ydx xdy 2
1?
+=π
θθθ20
2
2
)sin cos (2
1
d ab ab ?
=π
θ20
2
1
d ab
.ab π=
例7 计算抛物线)0()(2
>=+a ax y x 与x 轴所围成的面积. 解 ONA 为直线.0=y 曲线AMO 为 ,x ax y -=].,0[a x ∈
∴A ?-=
AMO
ydx xdy 21?
?
-+
-=
AMO
ONA
ydx xdy ydx xdy 2
121
?
-=AMO
ydx xdy 2
1?
--???
?
??-=
)(122
1a dx x ax dx ax a x ?
=
a
dx x a
4
.6
12a =
例10（E06）计算
,)
8,6()
0,1(2
2
?
++y
x ydy xdx 积分沿不通过坐标原点的路径.
解 显然,当)0,0(),(≠y x 时， 2
2y x ydy xdx ++,22y x d +=
于是
?
++)
8,6()
0,1(2
2
y
x ydy xdx ?
+=
)
8,6()
0,1(22y x d )8,6()
0,1(2
2y x +=.9=
例 12 验证: 在整个xOy 面内, ydy x dx xy 22+是某个函数的全微分, 并求出一个这样 的函数.
证2 利用原函数法求全微分函数).,(y x u 由2xy y u =??
),
(
2
2
22y y x dx xy u ?+==?
其中)(y ?是y 的待定函数.由此得 ).(2y y x y
u
?'+=?? 又u 必须满足
y x y
u
2=??y x y y x 22)('=+? 0)('=y ? ,)(C y =? 所求函数为.2/22C y x u +=
例13（E07）设函数),(y x Q 在xoy 平面上具有一阶连续偏导数, 曲线积分与路径无关, 并且对任意t , 总有
,),(2),(2)
,1()
0,0()
1,()
0,0(?
?
+=+t t dy y x Q xydx dy y x Q xydx
求).,(y x Q
解 由曲线积分与路径无关的条件知
,2x x
Q
=??
于是),(),(2y C x y x Q +=其中)(y C 为待定函数.
dy y x Q xydx t ),(2)
1,()0,0(+??+=1
02))((dy y C t ,)(1
02?+
=dy y C t
dy y x Q xydx t ),(2)
,1()0,0(+?
?
+=
t
dy y C 0
))(1(,)(0
?+
=t dy y C t
由题意可知?+
1
2
)(dy y C t .)(0
?+=t
dy y C t
两边对t 求导,得
)(12t C t +=或.12)(-=t t C
所以.12),(2-+=y x y x Q
例14（E08）设曲线积分?+L
dy x y dx xy )(2?与路径无关, 其中?具有连续的导数, 且
,0)0(=?计算.)()
1,1()
0,0(2?
+dy x y dx xy ?
解 ),(y x P ,2xy =),(y x Q ),(x y ?= y P ??)(2xy y ??=,2xy =x Q ??)]([x y x
???=).('x y ?= 因积分与路径无关散,
x
Q
y P ??=?? 由xy x y 2)('=?.)(2C x x +=?
由,0)0(=?知0=C .)(2x x =?
故
?
+)
1,1()
0,0(2)(dy x y dx xy ??
?
+
=
1
01
0ydy dx .2
1= 例15 选取b a ,使表达式
dy e y x be dx ae e y x y
x
y
y
])1([])1[(++-++++ 为某一函数的全微分, 并求出这个函数.
解
y P ??])1[(y y ae e y x y +++??=,y y ae e +=x Q ??])1([y x e y x be x
++-??
=,y x e be -= 若表达式全微分式,则,x
Q
y P ??=??即 .y x y x e be ae e -=+
得,1-=a .1=b ),(y x u +
-+++=
?
x
x dx e e x 0
0])1()10[(?
+++-y
y x C dy e y x e 0
])1([
C dy e y x e dx e x y
y y x x
+++-+-+=
?
?0
])1([]1)1[(
C ye xe y e x xe y
y y x x x +--+-=00][][
.))((C e e y x y x +-+=
例16（E09）求方程0)3()3(2
323=-+-dy y x y dx xy x 的通解. 解 ,6x
Q
xy y P ??=-=??原方程是全微分方程, ?
?
+
-=
y
x dy y dx xy x y x u 0
3
2
3)3(),(,4
2344
224y y x x +-=
原方程的通解为
.4
2344
224C y y x x =+- 例19求微分方程0)1(222=---+dy y x dx y x x 的通解.
解 将题设方程改写为
,02222=---+dy y x dx y x x xdx 即,0)()(2222=---+dy y x x d y x x d 将方程左端重新组合,有
,0)()(222=--+y x d y x x d
故题设方程的通解为 .)(3
2
2/322C y x x =-+
内容要点
一、 第一类曲面积分的概念与性质
定义1 设曲面∑是光滑的, 函数),,(z y x f 在∑上有界, 把∑任意分成n 小块i S ?(i
S ?同时也表示第i 小块曲面的面积),在i S ?上任取一点),,,(i i i ζηξ作乘积
),,2,1(),,(n i S f i i i i =??ζηξ
并作和,),,(1
∑=??n
i i i i i S f ζηξ 如果当各小块曲面的直径的最大值0→λ时, 这和式的极限存
在, 则称此极限值为),,(z y x f 在∑上第一类曲面积分或对面积的曲面积分，记为
∑??=→∑
?=n
i i i i i S f dS z y x f 1
),,(lim ),,(ζηξλ
其中),,(z y x f 称为被积函数，∑称为积分曲面. 二、对面积的曲面积分的计算法
.),(),(1)],(,,[),,(22
??
??
++=
∑
xy
D y x dxdy y x z y x z y x z y x f dS z y x f
例4计算
,dS xyz ??
∑
其中
∑
为抛物面).10(2
2≤≤+=z y x z
解 根据抛物面2
2
y x z +=对称性,及函数||xyz 关于yOz xOz 、坐标面对称,有
dxdy y x y x xy xyzdS dS xyz xy D ??????'+++=∑=∑2
222)2()2(1)(441
????+=+?=20
1
251
2
2
2
20
412sin 241sin cos 4π
π
dr r r tdt rdr r r
t t r dt
.4201
51254141512
-=??
? ??-=?du u u 例 5 计算
,??∑
xdS 其中∑
是圆柱面,122=+y x 平面2+=x z 及0=z 所围成的空间
立体的表面.
解
，
＝????
??
??∑+
∑+
∑∑
3
2
1
∑∑
1
2
，在xOy 面上得投影域.1:2
2
≤+y x D xy
于是
????∑==1
,0xy
D xdxdy xdS ??
??∑=+=
2
,011xy
D dxdy x
xdS
将
)1:,(31
32
2
3
∑∑
∑-±=x y 投影到zOx 面上，得投影域 .10,11:+≤≤≤≤-x y x D xy
dxdz y y x xdS xdS xdS zx D z x ????????++=∑+∑=∑2
21232313 ,121122
112
22π=-=-+=?
???+-x D dz x x dxdz x x x xz
所以
.00ππ=++=∑
??xdS
例8 设有一颗地球同步轨道卫星, 距地面的高度为36000=h km ，运行的角速度与地球自转的角速度相同. 试计算该通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比值(地球半径
6400=R km).
解 取地心为坐标原点，地心到通讯卫星重心的连线为z 轴，建立如图坐标系.卫星覆盖的曲面
∑
是上半球面倍半顶角为α的圆锥面所截得的部分.
∑
的方程为
,222y x R z --=
它在xOy 面上的投影区域
.sin :2222αR y x D xy ≤+
于是通讯卫星的覆盖面积为
).cos 1(22απ-=R A
将h R R +=
αcos 代入上式得 .2122
2h R h R h R R R A +?
=??
? ??+-=ππ 由此得这颗通讯卫星的覆盖面积与地球表面积之比为
%.5.4242
≈R
A
π 由以上结果可知，卫星覆盖了全球三分之一以上的面积，故使用三颗相隔32π角度的通讯卫星就可以覆盖几乎地球全部表面.
内容要点
二、第二类曲面积分的概念与性质
定义1 设∑为光滑的有向曲面, 其上任一点),,(z y x 处的单位法向量
,cos cos cos k j i n
γβα++= 又设
k z y x R j z y x Q i z y x P z y x A
),,(),,(),,(),,(++=
其中函数R Q P ,,在∑上有界, 则函数
γβαcos cos cos R Q P n v ++=?
则∑上的第一类曲面积分
??∑
?dS n v .)cos cos cos (??∑
++=dS R Q P γβα
称为函数),,(z y x A
在有向曲面∑上的第二类曲面积分.
三、第二类曲面积分的计算法
设光滑曲面∑：),(y x z z =，与平行于z 轴的直线至多交于一点，它在xOy 面上的投影区域为xy D , 则.
????±=∑
yz
D dxdy y x z y x R dxdy z y x R )],(,,[),,(.
上式右端取“+”号或“-”号要根据γ是锐角还是钝角而定.
内容要点
一、高斯公式
定理1设空间闭区域Ω由分片光滑的闭曲面∑围成，函数),,(z y x P 、),,(z y x Q 、),,(z y x R 在Ω上具有一阶连续偏导数，则有公式
?????∑
Ω++=???? ????+??+??Rdxdy Qdzdx Pdydz dv z R y Q x P
这里∑是Ω的整个边界曲面的外侧, γβαcos ,cos ,cos 是∑上点),,(z y x 处的法向量的方向余弦. 式称为高斯公式.
若曲面∑与平行于坐标轴的直线的交点多余两个，可用光滑曲面将有界闭区域Ω分割成若干个小区域，使得围成每个小区域的闭曲面满足定理的条件，从而高斯公式仍是成立的.
此外，根据两类曲面积分之间的关系，高斯公式也可表为
.)cos cos cos (?????∑
Ω++=????
????+??+??dS R Q P dv z R y Q x P γβα
二、通量与散度
一般地，设有向量场
k z y x R j z y x Q i z y x P z y x A
),,(),,(),,(),,(++=,
其中函数P 、Q 、R 有一阶连续偏导数，∑是场内的一片有向曲面，
n 是曲面∑的单位法
向量. 则沿曲面∑的第二类曲面积分
??????∑
∑
∑
++=?=?=ΦRdxdy Qdzdx Pdydz S d n A S d A
称为向量场A
通过曲面∑流向指定侧的通量. 而
z
R
y Q x P ??+
??+?? 称为向量场A 的散度，记为A div
，即
z
R
y Q x P A div ??+
??+??= .
例4（E04）证明: 若∑为包围有界域Ω的光滑曲面, 则
????????Ω∑
Ω
???? ?
?????+????+????-??=?dV z v z u y v y u x v x u dS n u
v
udV v 其中
n
u
??为函数u 沿曲面∑的外法线方向的方向导数，u ,v 在Ω上具有一阶和二阶连续偏导数，符号22
2222z
y x ??+??+??=?称为拉普拉斯算子. 这个公式称为格林第一公式.
证 因为
=
??n u γβαcos cos cos z u y u x
u
??+??+??n u ??=，其中}cos ,cos ,{cos γβα=n 是∑在点),,(z y x 处 的外法线的方向余弦，于是
??
??
??
∑
∑
∑
??=
??=??dS n u v dS n u v dS n
u
v
)[()(
dS z u v y u v x u v ??
∑
?????????
????+???? ????+??? ????=
γβαcos cos cos dv z u v z y u v y x u v x ???
Ω
???
?????? ??????+???? ??????+??? ??????=
.dv z v z u y v y u x v x u udv v ???
???
Ω
Ω
?
????
????+????+????+
?=
将上式右端移至左端即得所要证明的等式.
例5（E05）求向量场k z j y i x r
++=的流量
(1) 穿过圆锥)0(222h z z y x ≤≤≤+的底(向上); (2) 穿过此圆锥的侧表面（向外）.
解 设21,S S 及S 分别为此圆锥的面，侧面及全表面，则穿过全表面向外的流量
Q ??
+
?=
S S d r ???
=
V
dv r div
???
=V
dv 3
.3h π=
(1)
穿过底面向上的流量 1Q ??
+
?=
S S d r ??=≤+=
h
z z y x zdxdy 2
22??≤+=2
22z y x hdxdy .3
h π=
(2)
穿过侧表面向外的流量
2Q 1Q Q -=.0=
内容要点
一、斯托克斯公式
定理1 设Γ为分段光滑的空间有向闭曲线，∑是以Γ为边界的分片光滑的有向曲面，Γ的正向与∑的侧符合右手规则，函数),,(),,,(),,,(z y x R z y x Q z y x P 在包含曲面∑在内的一个
空间区域内具有一阶连续偏导数, 则有公式
dxdy y P x Q dzdx x R z P dydz z Q y R ???? ????-??+???
????-??+???? ?
???-????∑.?++=L
Rdz Qdy Pdx
公式称为斯托克斯公式.
为了便于记忆，斯托克斯公式常写成如下形式：
???
Γ∑
++=??
????Rdz Qdy Pdx R
Q P z
y x dxdy
dzdx dydz 利用两类曲面积分之间的关系，斯托克斯公式也可写成
.cos cos cos ???
Γ∑
++=??
????
Rdz Qdy Pdx dS R
Q
P
z
y x γβα
二、空间曲线积分与路径无关的条件
三、环流量与旋度 设向量场
,),,(),,(),,(),,(k z y x R j z y x Q i z y x P z y x A
++=
则沿场A
中某一封闭的有向曲线C 上的曲线积分
?++=ΓC
Rdz Qdy Pdx
称为向量场A
沿曲线C 按所取方向的环流量. 而向量函数
?
??
?????-????-????-??y P x Q x R z P z Q y R ,,
称为向量场A 的旋度，记为A rot
，即
.k y P x Q j x R z P i z Q y R A rot ???
? ????-??+??? ????-??+???? ????-??=
旋度也可以写成如下便于记忆的形式：
R
Q P z y x k j i A rot ??????=
.
四、向量微分算子：,k z
j y i x ??+??+??=
? 例 2 计算曲线积分
,)()()(222222dz y x dy x z dx z y -+-+-?
Γ
其中Γ是平面
2/3=++z y x 截立方体：,10≤≤x ,10≤≤y 10≤≤z 的表面所得的接痕，从x 轴的正向看
法，取逆时针方向.
解 取
∑
为题设平面的上侧被Γ所围成部分，则该平面的法向量,3}
3,1,1{=n
即
,31cos cos cos ===λβα
原式dS y x x y z y z y x z
??
∑
---??
????=
2
222223
13131
??∑++-
=dS z y x )(34
.293322334
-=-=∑?
-
=????xy
D dxdy dS 例3（E02）计算,)()()(222222?Γ
+++++dz y x dy z x dx z y 式中Γ是
).0,0(2,222222><<=+=++z R r rx y x Rx z y x
此曲线是顺着如下方向前进的: 由它所包围在球面Rx z y x 2222=++上的最小区域保持在左方.
解 由斯托克斯公式，有 原式??∑
-+-+-=dS y x x z z y ]cos )(cos )(cos )[(2
γβα
dS R z y x R y x z R x z y ??∑?????
?-+-+??? ??--=
)()(1)( ??∑-=dS y z )(2(利用对称性)????∑=∑=dS R zdS γcos ..2
222R r
d R Rdxdy rx
y x πσ==∑
=
????≤+
例5（E03）设,32222yz xy y x u -+= 求grad u ； div(grad u )；rot(grad u ). 解 gradu ?
??
?????????=z u y u x u ,,}.6,4,2{yz xy xy -=
div(gradu)???
????-?+??+??=z yz y xy x xy )6()4()2(y x y 642-+=).(4y x -= rot(gradu).,,222222?
????????-??????-??????-???=x y u y x u z x u x z u y z u z y u 因为22232yz xy y x u -+=有二阶连续导数,故二阶混合偏导数与求导次序无关,故 rot(gradu).0=
注：一般地，如果u 是一单值函数，我们称向量场A
=grad u 为势量场或保守场，而u 称为场A
的势函数.
例6（E04）设一刚体以等角速度k j i z y x
ωωωω++=绕定轴L 旋转，求刚体内任意一
点M 的线速度v
的旋度.
解 取定轴l 为z 轴，点M 的内径r
OM =,k z j y i x ++=
则点M 的线速度
v r
?=ωz
y x k
j i z y x ωωω =,)()()(k x y j z x i y z y x x z z y ωωωωωω-+-+-=
于是v rot x
y z x y z z y x k
j i y x x z z y ωωωωωω---??
????= )(2k j i z y x ωωω++=.2ω =
即速度场v 的旋等于角速度ω
的 2 倍.
内容要点
点函数积分的概念 点函数积分的性质 点函数积分的分类及其关系
一、点函数积分的概念
定义1 设Ω为有界闭区域, 函数))((Ω∈=P P f u 为Ω上的有界点函数. 将形体Ω任意分成n 个子闭区域,,,,21n ?Ω?Ω?Ω 其中i ?Ω表示第i 个子闭区域, 也表示它的度量, 在i ?Ω上任取一点i P , 作乘积
),,2,1()(n i P f i i =?Ω
并作和
∑=?Ω
n
i i
i
P f 1
)(
如果当各子闭区域i ?Ω的直径中的最大值λ趋近于零时, 这和式的极限存在, 则称此极限为点函数)(P f 在Ω上的积分, 记为
?Ω
Ωd P f )(, 即
.)(lim )(1
∑?=→Ω
?Ω=Ωn i i
i
P f d P f λ
其中Ω称为积分区域, )(P f 称为被积函数, P 称为积分变量, Ωd P f )(称为被积表达式,
Ωd 称为Ω的度量微元.
点函数积分具有如下物理意义: 设一物体占有有界闭区域Ω, 其密度为
),)((Ω∈=P P f ρ则该物体的质量
)0)((,
)(≥Ω=?Ω
P f d P f M
特别地, 当1)(≡P f 时, 有
).(lim 1
度量Ω=?Ω=Ω∑?=→Ω
n
i i
d λ
如果点函数)(P f 在有界闭区域Ω上连续, 则)(P f 在Ω上可积.
二、点函数积分的性质
设)(),(P g P f 在有界闭区域Ω上都可积, 则有 性质1 .)()()]()([???
Ω
Ω
Ω
Ω±Ω=
Ω±d P g d P f d P g P f
性质2 )()()(为常数k d P f k d P kf ?
?Ω
Ω
Ω=Ω
性质3
,)()()(2
1
???ΩΩΩ
Ω+Ω=Ωd P f d P f d P f
其中,21Ω=ΩΩ 且1Ω与2Ω无公共内点. 性质4 若,,0)(Ω∈≥P P f 则
.0)(≥Ω?Ω
d P f
性质5 若,),()(Ω∈≤P P g P f 则
.)()(??Ω
Ω
Ω≤Ωd P g d P f
特别地, 有
.|)(|)(??Ω
Ω
Ω≤Ωd P f d P f
性质6 若)(P f 在积分区域Ω上的最大值为M , 最小值为m , 则
.)(Ω≤Ω≤Ω?Ω
M d P f m
性质7 (中值定理)若)(P f 在有界闭区域Ω上连续, 则至少有一点,*
Ω∈P 使得
.)()(*Ω=Ω?
Ω
P f d P f
其中Ω
Ω
=
?Ω
d P f P f )()(*称为函数)(P f 在Ω上的平均值.
三、点函数积分的分类及其关系
1.若,],[R b a ?=Ω这时],,[),()(b a x x f P f ∈=则
.)()(?
?=ΩΩ
b
a
dx x f d P f (1)
这是一元函数)(x f 在区间],[b a 上的定积分. 当1)(=x f 时,
a b dx b
a
-=?
是区间长.
2.右,2
R L ?=Ω且L 是一平面曲线, 这时,),(),,()(L y x y x f P f ∈=于是
?
?=ΩΩ
L
ds y x f d P f ),()( (2)
当1)(≡P f 时, s ds L =?
是曲线的弧长. (2)式称为第一类平面曲线积分.
3.若,3
R ?Γ=Ω且Γ是空间曲线, 这时,),,(),,,()(Γ∈=z y x z y x f P f 则
.),,()(?
?Γ
Ω
=Ωds z y x f d P f (3)
当1)(≡P f 时, s ds =?
Γ是曲线的弧长. (3)式称为第一类空间曲线积分.
2、3的特殊情形是曲线为直线段, 而直线段上的点函数积分本质上是一元函数的定积分,这说明
??
Γds z y x f ds y x f L
),,(,),(可用一次定积分计算, 因此用了一次积分号.
4.若,2
R D ?=Ω且D 是平面区域, 这时,),(),,()(D y x y x f P f ∈= 则
???=ΩΩ
D
d y x f d P f σ),()( (4)
(4)式称为二重积分. 当1),(=y x f 时,
σσ=??D
d 是平面区域D 的面积.
5.若,3
R ?∑=Ω且∑是空间曲面, 这时,),,(),,,()(∑∈=z y x z y x f P f 则
???∑
Ω
=ΩdS z y x f d P f ),,()( (5)
(5)式称为第一类曲面积分. 当1)(≡P f 时,
S dS =??∑
是空间曲面∑的面积.
由于(5)的特殊情形是平面区域上的二得积分, 说明该积分可化为两次定积分的计算, 因此用二重积分号.
6.若3
R ?Ω为空间立体, 这时,),,(),,,()(Ω∈=z y x z y x f P f 则
.),,()(????Ω
Ω
=Ωdv z y x f d P f (5)
(6)式称为三重积分. 当1)(≡P f , 则
V dv =???Ω
是空间立体Ω的体积.
更进一步, 我们还可以利用点函数积分的概念统一来表述占有界闭区域Ω的物体的重心、
转动惯量、引力等物理概念, 此处不再表述.