高二数学数列练习题(含答案)

高二《数列》专题

1．n S 与n a 的关系：1

1(1)(1)

n n n S n a S S n -=??=?

->?? ,已知n S 求n a ，应分1=n 时1a = ;2≥n 时,n a =

两步，最后考虑1a 是否满足后面的n a . 2．等差等比数列

（3)累乘法（

n n n c a a =+1型);(4)利用公式1

1(1)(1)

n n n S n a S S n -=??=?->??；(5)构造法(b ka a n n +=+1型）(6) 倒数法 等

4．数列求和

（1)公式法；(2)分组求和法;(3）错位相减法;（４)裂项求和法；（5）倒序相加法。

5． n S 的最值问题:在等差数列{}n a 中，有关n S 的最值问题——常用邻项变号法求解:

(1)当0,01<>d a 时,满足??

?≤≥+00

1

m m a a 的项数ｍ使得m S 取最大值.

(2)当 0,01>

?≥≤+00

1

m m a a 的项数ｍ使得m S 取最小值。

也可以直接表示n S ，利用二次函数配方求最值。在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。

6.数列的实际应用

现实生活中涉及到银行利率、企业股金、产品利润、人口增长、工作效率、图形面积、等实际问题,常考虑用数列的知识来解决.

训练题

一、选择题

1.已知等差数列{}n a 的前三项依次为1a -、1a +、23a +,则２０11是这个数列的 (?B ) A.第10０６项?? ?B ．第1007项

C ． 第1008项 D. 第1００9项

2.在等比数列}{n a 中，485756=-=+a a a a ,则10S 等于 （A ） A ．102３ B ．1024 C ．511 D ．５１２

3.若{ａn ｝为等差数列，且a 7-2a 4＝-1，a ３=０,则公差d ＝

( )

Ａ.-2 B ．-错误! C.错误! D.2

由等差中项的定义结合已知条件可知2a 4=ａ5+a ３，∴2d ＝a 7－a 5=-1，即d =-错误!．故选Ｂ.

4.已知等差数列{a ｎ}的公差为正数，且a 3·a 7＝－12,a 4+a 6=－4,则S 20为( Ａ )

A.180??? ? ??? B ．-１８0 C.９0???? ???Ｄ．-90

５.(20１0青岛市)已知{}n a 为等差数列,若π=++951a a a ,则28cos()a a +的值为（ A ）

?A ．2

1

-

Ｂ．23-

C.2

1

?D ．23

6.在等比数列{ａn }中,若a 3a 5a 7a 9a 11=２43，则错误!的值为?（ )

A.９ B ．1 C.２ Ｄ．3

解析 由等比数列性质可知a 3ａ5a ７ａ9a 1１＝a 错误!=２43，所以得a 7＝3，又错误!=错误!=ａ７,故选D.

7．已知等差数列{ａn }的前n 项和为S ｎ，a 1+a 5=错误!S ５，且a 9=20,则S 11＝( )

Ａ.26０ B.2２０ C ．130

D ．1１０

解析 ∵Ｓ5=＼ｆ(a 1+a ５,2）×５,又∵错误!S ５=a 1+ａ5,∴a 1+ａ5=0.∴ａ３=０,∴Ｓ11＝错误!×11=错误!×11＝错误!×11=１10,故选Ｄ．

８各项均不为零的等差数列{a n }中，若a 错误!-a n －1－a n ＋1=0(n ∈N *,n ≥２），则S 2 ０09等于

A ．0 ?Ｂ．２ C.2 009

D ．4 018

解析 各项均不为零的等差数列｛ａn }，由于a 错误!－a ｎ－1-ａn +1＝0（n ∈N *,ｎ≥2)，则a 错误!-2a n =0，a ｎ＝２,S 2 009=４ ０１８,故选D.

９．数列｛ａｎ}是等比数列且a n ＞０，a 2ａ4＋2a ３ａ5＋a ４a 6=25,那么a ３＋ａ５的值等于

Ａ．5 Ｂ．１0

C ．15 ?Ｄ．20

解析 由于a 2a 4＝a 错误!，ａ4a 6=ａ错误!,所以a 2·a 4+2a 3·a 5＋a 4·ａ６=a 错误!＋2a 3a 5＋a 错误!=(a 3+a 5）2=2５.所以a ３+ａ5＝±５．又ａｎ>0,所以a 3＋a 5=5．所以选A.

10. 首项为１，公差不为０的等差数列{a ｎ｝中，a ３,ａ４,ａ6是一个等比数列的前三项,则这个等比数列的第四项是?

( ） A.8 B ．-8 Ｃ.－6 Ｄ.不确定

答案 B

解析 a 错误!=a 3·a 6?(１+3d )2＝(1＋２d )·(1＋5d ) ?d (d ＋1)＝0?ｄ＝－1，∴a 3＝－1，ａ４=-2，∴q =２. ∴a 6=ａ4·q ＝-4，第四项为a 6·q =－8.

1１.在△AB Ｃ中，tan Ａ是以-４为第三项,４为第七项的等差数列的公差，t ａn B 是以3

1

为第三项,9为第六项的等比数列的公比，则这个三角形是(B ）

A.钝角三角形 ??????

B.锐角三角形 C ．等腰三角形 ????D ．非等腰的直角三角形

12、（２０09澄海)记等差数列{}n a 的前项和为n s ，若103s s =,且公差不为0，则当n s 取最大值时,=n （ ）Ｃ

A.４或5

B ．5或6 ? Ｃ.6或７?? D ．7或８

１３．在等差数列{ａn }中,前n 项和为S n ，且S 2 011＝-2 ０１１，a 1 007＝３，则S 2 012的值为??( )

Ａ．1 006 ?B ．-2 012 C ．2 ０１2

D ．－1 006

答案 C 解析 方法一 设等差数列的首项为a １，公差为d ，根据题意可得，

错误!

即错误!解得错误!

所以，S 2 012=2 ０12a １＋错误!ｄ

=2 ０1２×（－4 0２1)+2 012×2 0１1×2 =2 0１２×（4 ０22－4 021)＝20１2.

方法二 由S 2 011＝２ 011(a １＋a 2 0１1)

2＝2 0１1ａ1 ０06=-2 0１１, 解得ａ1 0０６＝-1，则

S 2 0１2＝2 012(ａ1＋a 2 01２)

２

=错误!=错误!=２ 0１2.

１4.设函数f （x )满足ｆ(n +１)＝错误!(n ∈Ｎ＊),且f （1)=2,则ｆ(２0）＝( Ｂ )

A.95

B.9７

C.105

D ．19２

解析 f （n ＋１)=ｆ（n )+错误!,∴错误!

累加,得f (20)＝f （1）＋(错误!+错误!+…+错误!)=f (1)+错误!=97.

15.已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足1)1log 2+=+n S n （，则通项公式为(B ）

A ．)(2*

N n a n n ∈= B. ?

??≥==)2(2)

1(3n n a n n

C. )(2*

1N n a n n ∈=+ D. 以上都不正确

１6．一种细胞每3分钟分裂一次,一个分裂成两个，如果把一个这种细胞放入某个容器内,恰好一小时充满该容器,如果开始把2个这种细胞放入该容器内，则细胞充满该容器的时间为 （ D ） Ａ.15分钟? B ．３0分钟 C ．4５分钟? D.５7分钟 二、填空题

1、等差数列｛a n }的前n 项和为S n ，若a 2＝１，a 3=3，则S 4= ８.

2．(２００８·广东理,２)记等差数列{ａn }的前n 项和为S n ,若a 1=2

1

,S 4=20，则Ｓ6= . ４8 ３.．(20１0广州一模).在等比数列{}n a 中,11a =,公比2q =，若64n a =，则n 的值为 .7 4．（２008·海南、宁夏理,４）设等比数列{a n }的公比q =2，前n 项和为Ｓn ,则

24a S = . 2

15

5．等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，若错误!＝错误!,则错误!＝________.

答案 ＼f （1９9,2９９) 解析 错误!=错误!=错误!=错误!

６、数列{}n a 的前n 项和记为()11,1,211n n n S a a S n +==+≥则{}n a 的通项公式 解:（Ⅰ）由121n n a S +=+可得()1212n n a S n -=+≥，两式相减得()112,32n n n n n a a a a a n ++-==≥

又21213a S =+= ∴213a a = 故{}n a 是首项为1,公比为3得等比数列 ∴1

3n n a -=

7.已知各项都为正数的等比数列{a n }中，ａ2·ａ4=4，ａ１＋a 2＋a 3＝１４，则满足a n ·a ｎ+1·a n +2>

错误!的最大正整数ｎ的值为＿_______.答案 4

解析 设等比数列{a n }的公比为q ，其中q ＞0，依题意得a 错误!=a 2·a 4＝4.又a 3>０，因此a

３

＝a 1ｑ2＝２，a 1＋ａ２＝a １＋a 1q =12,由此解得q ＝＼f(１,２)，a 1=8,a ｎ＝８×(＼ｆ(１，2））n -1

＝２4－n ，a n ·a n +1·a n ＋2＝29－3ｎ.由于2-3=18>错误!，因此要使29-3n >错误!，只要９－3n ≥－３，即

n ≤４，于是满足a n ·a ｎ+１·a ｎ+2>19的最大正整数n 的值为4.

8．等比数列{a n ｝的首项为ａ1=１,前ｎ项和为Ｓn ,若＼f （S 10,Ｓ5)=错误!,则公比ｑ等于___＿____.

答案 －12 解析 因为S 10S 5

＝31

32，所以错误!=错误!=-错误!，即q 5＝(-错误!)5,所以q ＝－错误!.

三、解答题

１(2010山东理数）（18）（本小题满分12分）

已知等差数列{}n a 满足：37a =,5726a a +=,{}n a 的前ｎ项和为n S ． (Ⅰ)求n a 及n S ; (Ⅱ）令b ｎ=

2

1

1

n a -（n ∈Ｎ*),求数列{}n b 的前n 项和n T . 1【解析】（Ⅰ)设等差数列{}n a 的公差为d ，因为37a =,5726a a +=,所以有

1127

21026

a d a d +=??

+=?，解得13,2a d ==， 所以321)=2n+1n a n =+-（

；n S =n(n-1)

3n+22

?=2n +2n 。 （Ⅱ）由（Ⅰ)知2n+1n a =,所以b n ＝

211n a -=2

1=2n+1)1-（114n(n+1)?=111

(-)4n n+1

?,

所以n T =

111111(1-+++-)4223

n n+1?-=11

(1-)=

4n+1?n 4(n+1)， 即数列{}n b 的前n 项和n T ＝n

4(n+1)

。

2．（全国新课标理17) 已知等比数列

{}

n a 的各项均为正数，且

212326

231,9a a a a a +==.

(I ）求数列

{}

n a 的通项公式． (II ）设

31323log log log n n b a a a =++

+，求数列1

{}

n b 的前n 项和.

2解：(Ⅰ)设数列{ａn}的公比为q ，由

2

3

26

9a a a =得

3234

9a a

=所以

219q =

.由条件可知c>０，故1

3q =

.

由

12231

a a +=得

12231

a a q +=，所以

113a =

． 故数列{an ｝的通项式为a ｎ=1

3n .

（Ⅱ ）

31323n log log ...log n b a a a =+++(12...)

(1)2

n n n =-++++=-

故12112()(1)1n

b n n n n =-=--++ 12111111112...2((1)()...())22311n n b b b n n n +++=--+-++-=-++ 所以数列1{}n b 的前n 项和为21n n -+

3. (本小题满分12分）已知｛a n }是各项均为正数的等比数列， 且ａ1+a ２=2(1

a １

＋错误!),a 3+a 4+ａ5＝64(错误!＋错误!+错误!)．

(1)求{ａn }的通项公式; (2）设b n =(a ｎ＋＼ｆ(1，a n ))2，求数列{ｂｎ}的前n 项和T ｎ． 解析 (１)设{a n }的公比为q ，则a n ＝ａ1q

ｎ－1

. 由已知，有

错误!化简,得错误!

又a 1＞0，故q =2，a 1＝1． 所以a n =2ｎ－1. (2)由（1)知，b n =错误!２＝a 错误!+错误!＋2=４ｎ-1＋错误!+2.

因此，T n =(1+4＋…＋４n -１)＋(１+错误!＋…+错误!）+2ｎ＝错误!+错误!＋2n ＝错误!(4n -41-n ）+2n +1.

4.(山东省济南市2011)

已知}{n a 为等比数列,256,151==a a ;n S 为等差数列}{n b 的前n 项和，,21=b 8525S S =. （1) 求}{n a 和}{n b 的通项公式;(2) 设n T n n b a b a b a ++=2211，求n T .

解:（１） 设{ａn ｝的公比为q ，由a 5=a 1q 4得q =4

所以ａｎ=4n-1．设｛ ｂn ｝的公差为d ,由5S 5=2 S 8得5(5 b 1＋１0d )=2（8 ｂ1+２８ｄ），

322

3

231=?==a d ,

所以b n =b 1+(n －1）ｄ=3n -1.（2) T n =1·2+4·5+4２

·８＋…+４n -１

（3n -1),①

4T n ＝4.2+42.５+43.8+ (4)

(３n -1),②

②-①得：3T n ＝-2－3(4+4２+…＋４n )+４n (３ｎ-１) = -2+4(1-4n －

1)+4n (3ｎ-1) =2+(3ｎ-２)·４ｎ

∴T n =（n -32）4n +3

2

５.(2013广东理) 设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知11a =,

21212

33

n n S a n n n +=---,*n ∈N . (Ⅰ) 求2a 的值； (Ⅱ) 求数列{}n a 的通项公式； (Ⅲ) 证明:对一切正整数n ,有12

11

174

n a a a +++

<． 【解析】(Ⅰ) 依题意，1212

2133S a =-

--,又111S a ==，所以24a =； (Ⅱ) 当2n ≥时,32112

233

n n S na n n n +=---,

()()()()32

1122111133n n S n a n n n -=-------

两式相减得()()()2112

213312133n n n a na n a n n n +=----+---

整理得()()111n n n a na n n ++=-+,即111n n a a n n +-=+,又21121

a a

-=

故数列n a n ??

????

是首项为111a =,公差为1的等差数列，

所以()111n

a n n n

=+-?=，所以2n a n =. (Ⅲ) 当1n =时,11714a =<；当2n =时，1211157

1444

a a +

=+=<； 当3n ≥时,

()21111111n a n n n n n

=<=---,此时

22212

1111111111111

111434

423341n a a a n n n ????

??+++

=+++++

<++-+-++- ? ? ?-??????

11171714244

n n =+

+-=-< 综上，对一切正整数n ,

有12

11

174

n a a a +

++

<. 6．(本小题满分14分）设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足21441,,n n S a n n N *

+=--∈且

2514,,a a a 构成等比数列．

(1) 证明:2a =

(2） 求数列{

}n a 的通项公式;

(3） 证明:对一切正整数n ,有

1223

11111

2

n n a a a a a a ++++

<． 1.【解析】（1)当1n =时，22

122145,45a a a a =-=+,

20n a a >∴

（2）当2n ≥时，()2

14411n n S a n -=---,22114444n n n n n a S S a a -+=-=--

()2

22

1442n n n n a a a a +=++=+,

102n n n a a a +>∴=+ ∴当2n ≥时,{}n a 是公差2d =的等差数列.

2514,,a a a 构成等比数列,2

5

214a a a ∴=?，()()2

222824a a a +=?+,解得23a =, 由（1）可知,2

12145=4,1a a a =-∴=

21312a a -=-=∴

{}n a 是首项11a =，公差2d =的等差数列．

∴数列{}n a 的通项公式为21n a n =-. （3）

()()

1223

1111111

1

133557

2121n n a a a a a a n n ++++

=++++

???-+

11111111123355721211111.2212

n n n ??????????=?-+-+-+- ? ? ? ???-+????????????=

?-

７.(本题满分14分)2a ,5a 是方程2

x 02712=+-x 的两根, 数列{}n a 是公差为正的等差数列,数列{}n b 的前n 项和为n T ,且n T 2

1

1-

=n b ()*∈N n .

(１)求数列{}n a ,{}n b 的通项公式; (2)记n c =n a n b ,求数列{}n c 的前n 项和n S ． 2．解：（１)由27,125252==+a a a a .且0>d 得9,352==a a …………… 2分

23

2

5=-=

∴a a d ,11=a ()*∈-=∴N n n a n 12 …………… 4分 在n n b T 211-

=中,令,1=n 得.321=b 当2≥n 时,Ｔn ＝,2

1

1n b -11211---=n n b T ，

两式相减得n n n b b b 21211-=

-，()231

1≥=∴-n b b n n …………… ６分 ()

*

-∈=

?

?

?

??=∴N n b n

n n 3

231321

． …………… 8分 (２)()n

n n n n c 3

2

43212-=?

-=, ……………… 9分 ??? ??-++++=∴n n n S 312353331232 ,??

? ??-+-+++=+1323123323331

23n n

n n n S ,……… 10分 ??????--??? ??++++=∴+132312313131231232n n n n S =2?????

???????---

???

??-?+

+-11

31231131191231n n n =1134

43

43123131312+++-=???

??---+n n n n n , ………………13分 n

n n S 3

2

22+-

=∴ …………… 14分

8.(全国大纲理2０） 设数列{}n a 满足10a =且111

1.

11n n a a +-=--

（Ⅰ)求{}n a 的通项公式；

（Ⅱ)

设

1

, 1.

n

n n k n k b b S ==

=<∑记S 证明：

解: （I ）由题设

111

1,

11n n

a a +-=-- 即

1

{}1n

a -是公差为１的等差数列。

又

111

1,.11n

n a a ==--故 所以

1

1.

n a n =- (II ）由（I ）得

n

b=

=

=-

，?…………8分

11

1 1.

n n

n k

k k

S b

==

===-<

∑∑

?…………１２分

2016届高考数学经典例题集锦：数列(含答案)

数列题目精选精编 【典型例题】 （一）研究等差等比数列的有关性质 1. 研究通项的性质 例题1. 已知数列}{n a 满足1 111,3(2)n n n a a a n --==+≥. （1）求32,a a ； （2）证明： 312n n a -= . 解：（1）2 1231,314,3413a a a =∴=+==+= . （2）证明：由已知1 13 --=-n n n a a ，故)()()(12211a a a a a a a n n n n n -++-+-=--- 1 2 1313 3 312n n n a ---+=++++= ， 所以证得31 2n n a -= . 例题2. 数列{}n a 的前n 项和记为11,1,21(1)n n n S a a S n +==+≥ （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）等差数列{}n b 的各项为正，其前n 项和为n T ，且315T =，又112233,,a b a b a b +++成等比数列，求n T . 解：（Ⅰ）由121n n a S +=+可得121(2)n n a S n -=+≥， 两式相减得：112,3(2)n n n n n a a a a a n ++-==≥， 又21213a S =+=∴213a a = 故{}n a 是首项为1，公比为3的等比数列 ∴1 3 n n a -= （Ⅱ）设{}n b 的公差为d ，由315T =得，可得12315b b b ++=，可得25b = 故可设135,5b d b d =-=+，又1231,3,9a a a ===， 由题意可得2 (51)(59)(53)d d -+++=+，解得122,10d d == ∵等差数列{}n b 的各项为正，∴0d > ∴2d = ∴2(1) 3222n n n T n n n -=+ ?=+ 例题3. 已知数列{}n a 的前三项与数列{}n b 的前三项对应相同，且2 12322...a a a +++ 128n n a n -+=对任意的*N n ∈都成立，数列{} n n b b -+1是等差数列. ⑴求数列{}n a 与{}n b 的通项公式； ⑵是否存在N k * ∈，使得(0,1)k k b a -∈，请说明理由. 点拨：（1）2112322...28n n a a a a n -++++=左边相当于是数列{}12n n a -前n 项和的形式，可以联想到已知n S 求n a 的方法，当2n ≥时，1n n n S S a --=. （2）把k k a b -看作一个函数，利用函数的思想方法来研究k k a b -的取值情况. 解：（1）已知212322a a a +++ (1) 2n n a -+8n =(n ∈*N ）① 2n ≥时，212322a a a +++ (2) 128(1)n n a n --+=-(n ∈*N ）②

高中数学数列测试题附答案与解析

第二章 数列 1．{a n }是首项a 1＝1，公差为d ＝3的等差数列，如果a n ＝2 005，则序号n 等于( )． A ．667 B ．668 C ．669 D ．670 2．在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝3，前三项和为21，则a 3＋a 4＋a 5＝( )． A ．33 B ．72 C ．84 D ．189 3．如果a 1，a 2，…，a 8为各项都大于零的等差数列，公差d ≠0，则( )． A ．a 1a 8＞a 4a 5 B ．a 1a 8＜a 4a 5 C ．a 1＋a 8＜a 4＋a 5 D ．a 1a 8＝a 4a 5 4．已知方程(x 2－2x ＋m )(x 2－2x ＋n )＝0的四个根组成一个首项为 41的等差数列，则 ｜m －n ｜等于( )． A ．1 B ．43 C ．21 D ． 8 3 5．等比数列{a n }中，a 2＝9，a 5＝243，则{a n }的前4项和为( ). A ．81 B ．120 C ．168 D ．192 6．若数列{a n }是等差数列，首项a 1＞0，a 2 003＋a 2 004＞0，a 2 003·a 2 004＜0，则使前n 项和S n ＞0成立的最大自然数n 是( )． A ．4 005 B ．4 006 C ．4 007 D ．4 008 7．已知等差数列{a n }的公差为2，若a 1，a 3，a 4成等比数列, 则a 2＝( )． A ．－4 B ．－6 C ．－8 D ． －10 8．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若 35a a ＝95，则59S S ＝( )． A ．1 B ．－1 C ．2 D ．2 1 9．已知数列－1，a 1，a 2，－4成等差数列，－1，b 1，b 2，b 3，－4成等比数列，则 212b a a -的值是( )． A ．21 B ．－21 C ．－21或21 D ．4 1 10．在等差数列{a n }中，a n ≠0，a n －1－2n a ＋a n ＋1＝0(n ≥2)，若S 2n －1＝38，则n ＝( )． A ．38 B ．20 C ．10 D ．9 二、填空题 11．设f (x )＝221 +x ，利用课本中推导等差数列前n 项和公式的方法，可求得f (－5)＋f (－4)＋…＋f (0)＋… ＋f (5)＋f (6)的值为 . 12．已知等比数列{a n }中，

高中数学数列基础知识与典型例题

数学基础知识例题

数学基础知识与典型例题(第三章数列)答案 例1. 当1=n 时，111==S a ,当2n ≥时，34)1()1(2222-=-+---=n n n n n a n ,经检验 1=n 时 11=a 也适合34-=n a n ,∴34-=n a n ()n N +∈ 例2. 解：∵1--=n n n S S a ,∴ n n n S S 221=--,∴12 211 =---n n n n S S 设n n n S b 2= 则{}n b 是公差为1的等差数列,∴11-+=n b b n 又∵2 322111=== a S b , ∴ 212 +=n S n n ,∴12)12(-+=n n n S ,∴当2n ≥时 2 12)32(--+=-=n n n n n S S a ∴????+=-2 2 )32(3 n n n a (1)(2)n n =≥,12)12(-+=n n n S 例3 解：1221)1(----=-=n n n n n a n a n S S a 从而有11 1 -+-=n n a n n a ∵11=a ,∴312=a ,31423?=a ,3142534??=a ,3 1 4253645???=a , ∴)1(234)1()1(123)2)(1(+=???-+????--=n n n n n n n a n ,∴122+==n n a n S n n . 例4.解：)111(2)1(23211+-=+=++++= n n n n n a n ∴12)111(2)111()3 1 21()211(2+= +-=??????+-++-+-=n n n n n S n 例5.A 例6. 解:1324321-+++++=n n nx x x x S ①()n n n nx x n x x x xS +-++++=-132132 ② ①-②()n n n nx x x x S x -++++=--1211 ， 当1≠x 时,()()x nx x n x nx nx x nx x x S x n n n n n n n n -++-=-+--=---=-++1111111111 ∴()() 2 1111x nx x n S n n n -++-=+; 当1=x 时，()2 14321n n n S n +=++++= 例7.C 例8.192 例9.C 例10. 解：14582 54 54255358-=-? =?==a a a q a a 另解：∵5a 是2a 与8a 的等比中项，∴25482-?=a ∴14588-=a 例11.D 例12.C 例13.解：12311=-==S a , 当2n ≥时,56)]1(2)1(3[23221-=-----=-=-n n n n n S S a n n n ,1=n 时亦满足 ∴ 56-=n a n , ∴首项11=a 且 )(6]5)1(6[561常数=----=--n n a a n n ∴{}n a 成等差数列且公差为6、首项11=a 、通项公式为56-=n a n 例14. 解一：设首项为1a ，公差为d 则???? ????? = ??+??++=?+1732225662256)(635421112121 11d a d d a d a 5=?d 解二：??? ??==+27 32354 奇偶偶奇S S S S ???==?162192奇偶S S 由 d S S 6=-奇偶5=?d 例15. 解：∵109181a a a a =，∴205 100 110918===a a a a 例16. 解题思路分析： 法一：利用基本元素分析法 设{a n }首项为a 1，公差为d ，则71151 76772 151415752 S a d S a d ?? =+=?????=+=??∴ 121a d =-??=? ∴ (1)22n n n S -=-+∴ 15 2222 n S n n n -=-+=-此式为n 的一次函数 ∴ {n S n }为等差数列∴ 21944n T n n =- 法二：{a n }为等差数列，设S n =An 2 +Bn ∴ 2 72 157******** S A B S A B ?=?+=??=?+=?? 解之得：12 5 2 A B ?=????=-??∴ 21522n S n n =-，下略 注：法二利用了等差数列前n 项和的性质 例17.解：设原来三个数为2,,aq aq a 则必有 )32(22-+=aq a aq ①,)32()4(22-=-aq a aq ② 由①： a a q 24+=代入②得：2=a 或9 5 =a 从而5=q 或13 ∴原来三个数为2,10,50或9 338 ,926,92 例18.70 例19. 解题思路分析： ∵ {a n }为等差数列∴ {b n }为等比数列

数列求和方法和经典例题

数列求和方法和经典例题 求数列的前n 项和，一般有下列几种方法： 一、公式法 1、等差数列前n 项和公式 2、等比数列前n 项和公式 二、拆项分组求和法 某些数列，通过适当分组可得出两个或几个等差数列或等比数列，进而利用等差数列或等比数列求和公式求和，从而得出原数列的和。 三、裂项相消求和法 将数列中的每一项都分拆成几项的和、差的形式，使一些项相互拆消，只剩下有限的几项，裂项时可直接从通项入手，且要判断清楚消项后余下哪些项。 四、重新组合数列求和法 将原数列的各项重新组合，使它成为一个或n 个等差数列或等比数列后再求和 五、错位相减求和法 适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和 典型例题 一、拆项分组求和法 例1、求数列1111123,2482n n ??+ ???，，，，的前n 项和 例2、求和：222 221111n n x x x x x ??????++++++ ? ? ?????? ?

例3、求数列2211,12,122,,1222,n -+++++++的前n 项和 例4、求数列5,55,555,5555,的前n 项和 二、裂项相消求和法 例5、求和：()()11113352121n S n n =+++??-+ 例6、求数列1111,, ,,,12123123n +++++++的前n 项和 例7、求和：()11113242n S n n =+++??+

例8、数列{} n a 的通项公式n a =，求数列的前n 项和 三、重新组合数列求和法 例9、求2222222212345699100-+-+-++- 四、错位相减求和法 例10、求数列123,,,,,2482n n 的前n 项和 例11、求和：()23230n n S x x x nx x =++++≠

高二数学必修5数列单元测试.doc

________ 高二数学必修 5 数列单元测试 一、选择题： 时间 120 分钟 满分 100 分 3 分，共 30 分 . ） （本大题共 10 小题，每小题 1. 在数列－ 1， 0， 1 ， 1 ， ， n 2 中，是它的 9 8 n 2 A ．第 100 项 B ．第 12 项 C ．第 10项 D ．第 8项 2. 在数列 { a n } 中， a 1 2 ， 2a n 1 2a n 1，则 a 101 的值为 A ． 49 B ． 50 C ． 51 D ．52 3. 等差数列 { a n } 中， a 1 a 4 a 7 39 ， a 3 a 6 a 9 27 ，则数列 { a n } 的前 9 项的和等于 A ． 66 B ． 99 C ． 144 D ． 297 4. 设数列 {a n } 、 {b n } 都是等差数列，且 a 1=25,b 1=75,a 2+b 2=100，那么 a n +b n 所组成的数列的第 37 项的值是 ( ) .37 C 5．已知－ 7， a 1， a 2，－ 1 四个实数成等差数列，－ 4， b 1， b 2， b 3，－ 1 五个实数成等比数列，则 a 2a 1 = b 2 A ． 1 B ．－ 1 C ． 2 D ．± 1 6. 等比数列 {a n } 中，前 n 项和 S n =3n +r ，则 r 等于 ( ) .0 C 7．已知数列 { a n } 的前 n 项和为 S 1 5 9 13 17 21 ( 1) n 1 (4n 3) , n 则 S 15 S 22 S 31 的值是（ ） A. -76 B. 76 C. 46 D. 13 8． 6．已知等差数列 {a n } 的公差 d ≠0, 若 a 5、a 9、 a 15 成等比数列 , 那么公比为 A ． 3 B ． 2 C ． 3 D ． 4 4 3 2 3 9．若数列 { a } 是等比数列 , 则数列 { a +a } n n n+1 A ．一定是等比数列 C ．一定是等差数列 10．等比数列 {a n } 中， a 1 =512，公比 q= 1 2 B ．可能是等比数列 , 也可能是等差数列 D ．一定不是等比数列 ，用Ⅱ n 表示它的前 n 项之积：Ⅱ n =a 1 · a 2 a n 则Ⅱ 1 ，Ⅱ 2 ， ，中最大的是 A ．Ⅱ 11 B ．Ⅱ 10 C ．Ⅱ 9 D ．Ⅱ 8 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 二、填空题 ：( 本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20分。) 11．在数 {a n } 中，其前 n 项和 S n =4n 2－ n － 8，则 a 4= 。 12. 设 S n 是等差数列 a 5 5 S 9 的值为 ________. a n 的前 n 项和，若 ，则 S 5 13．在等差数列 { a } 中，当 a ＝ a a 3 9 { a } 中，对某些正整数 r 、s ( r ≠ s ) ，当 a ( r ≠ s ) 时， { a } 必定是常数数列。然而在等比数列 r n r s n n ＝a s 时，非常数数列 { a n } 的一个例子是 ____________． 14. 已知数列 1, ，则其前 n 项的和等于 。 15. 观察下列的图形中小正方形的个数，则第 n 个图中有 个小正方形 . 三、解答题：（本大题共 5 小题，共 50 分。解答应写出文字说明，或演算步骤） 16. （本小题满分 8 分）已知 a n 是等差数列，其中 a 1 25, a 4 16

高中数学必修5 数列经典例题集锦

高中数学必修5数列题目精选精编 【典型例题】 （一）研究等差等比数列的有关性质 1. 研究通项的性质 例题1. 已知数列}{n a 满足 1 111,3(2)n n n a a a n --==+≥. （1）求32,a a ； （2）证明： 312n n a -= . 解：（1）2 1231,314,3413a a a =∴=+==+=Q . （2）证明：由已知1 13--=-n n n a a ，故)()()(12211a a a a a a a n n n n n -++-+-=---Λ 1 2 1313 3 312n n n a ---+=++++=L ， 所以证得312n n a -= . 例题2. 数列{}n a 的前n 项和记为11,1,21(1)n n n S a a S n +==+≥ （Ⅰ）求{ }n a 的通项公式； （Ⅱ）等差数列{ }n b 的各项为正， 其前n 项和为n T ，且315T =，又112233 ,,a b a b a b +++成等比数列，求n T . 解：（Ⅰ）由121n n a S +=+可得121(2)n n a S n -=+≥， 两式相减得：112,3(2)n n n n n a a a a a n ++-==≥， 又21213a S =+=∴213a a = 故{}n a 是首项为1，公比为3的等比数列 ∴1 3n n a -= （Ⅱ）设{}n b 的公比为d ，由315T =得，可得12315b b b ++=，可得25b = 故可设135,5b d b d =-=+，又1231,3,9a a a ===， 由题意可得2 (51)(59)(53)d d -+++=+，解得122,10d d == ∵等差数列{}n b 的各项为正，∴0d > ∴2d = ∴2(1) 3222n n n T n n n -=+ ?=+ 例题3. 已知数列{}n a 的前三项与数列{}n b 的前三项对应相同，且212322...a a a +++ 128n n a n -+=对任意的*N n ∈都成立，数列{} n n b b -+1是等差数列. ⑴求数列{ }n a 与{}n b 的通项公式； ⑵是否存在N k * ∈，使得(0,1)k k b a -∈，请说明理由. 点拨：（1）2112322...28n n a a a a n -++++=左边相当于是数列{}12n n a -前n 项和的形式， 可以联想到已知n S 求n a 的方法，当2n ≥时，1n n n S S a --=.

高中数学《数列》测试题

11会计5班《数列》数学测试卷2012.4 一、选择题（2'1836'?=） 1．观察数列1，8，27，x ，125，216，… 则x 的值为（ ） A ．36 B ．81 C ．64 D ．121 2．已知数列12a =，12n n a a +=+，则4a 的值为（ ） A ．12 B ．6 C ．10 D ．8 3．数列1，3，7，15，… 的通项公式n a 等于（ ） A ．1 2 n - B ．21n - C ．2n D ．21n + 4．等差数列{n a }中，16a =，418a =，则公差d 为（ ） A ．4 B ．2 C ．—3 D ．3 5．128是数列2，4，8，16，… 的第（ ）项 A ．8 B ．5 C ．7 D ．6 6．等差数列{n a }中，12a =，327S =，则3a 的值为（ ） A ．16 B ．20 C ．11 D ．7 7．在等差数列中，第100项是48，公差是 1 3 ，首项是（ ） A ．5 B ．10 C ．15 D ．20 8．在等差数列{n a }中，1234525a a a a a ++++=，则3a 为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 9．已知数列0，0，0，0，… 则它是（ ） A ．等差数列非等比数列 B ．等比数列非等差数列 C ．等差数列又等比数列 D ．非等差数列也非等比数列 10．在等比数列{n a }中，4520a a ?=，则27a a ?为（ ） A ．10 B ．15 C ．20 D ．25 班级 姓名 学号 11．等比数列1，2，4，… 的第5项到第11项的和等于（ ） A ．2030 B ．2033 C ．2032 D ．2031 12．等差数列中，第1项是 —8，第20项是106，则第20项是（ ） A ．980 B ．720 C ．360 D ．590 13．在等比数列中，12a =，3q =，则4S =（ ） A ．18 B ．80 C ．—18 D ．—80 14．三个正数成等差数列，其和为9，它们依次加上1，3，13后成为等比数列，则这三个数为（ ） A ．6，3，0 B ．1，3，5 C ．5，3，1 D ．0，3，6 15．在等比数列中，第5项是 —1，第8项是 — 1 8 ，第13项是（ ） A ．13 B ．1256- C ．78- D ．1128 - 16．若a ，b ， c 成等比数列，则函数2 ()f x ax bx c =++的图像与x 轴的交点个数为（ ） A ．2 B ．0 C ．1 D ．不确定 17．某农场计划第一年产量为80万斤，以后每年比前一年多种20%，第五年产量约为（ ） A ．199万斤 B ．595万斤 C ．144万斤 D ．166万斤 18．把若干个苹果放到8个箱子中，每个箱子不能不装，要使每个箱子中所装的苹果个数互不相同，至少需要苹果（ ） A ．35个 B ．36个 C ．37个 D ．38个 二、填空题（3'824'?=） 19．数列1，32- ，54，78-，916 ，… 的通项公式是 20．数列2，7，14，23，（ ），47，… 并写出数列的通项公式

高中数列经典习题(含答案)讲解学习

高中数列经典习题(含 答案)

1、在等差数列{a n }中,a 1=－250,公差d=2,求同时满足下列条件的所有a n 的和, (1)70≤n ≤200;(2)n 能被7整除. 2、设等差数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 3=12, S 12＞0,S 13＜0.(Ⅰ)求公差d 的取值范围； (Ⅱ)指出S 1,S 2,…,S 12,中哪一个值最大,并说明理由. 3、数列{n a }是首项为23，公差为整数的等差数列，且前6项为正，从第7项开始变为负的，回答下列各问：(1)求此等差数列的公差d;(2)设前n 项和为n S ,求n S 的最大值;(3)当n S 是正数时,求n 的最大值. 4、设数列{n a }的前n 项和n S .已知首项a 1=3,且1+n S +n S =21+n a ,试求此数列的通项公式n a 及前n 项和n S . 5、已知数列{n a }的前n 项和3 1=n S n(n ＋1)(n ＋2),试求数列{n a 1}的前n 项和. 6、已知数列{n a }是等差数列,其中每一项及公差d 均不为零,设 2122++++i i i a x a x a =0(i=1,2,3,…)是关于x 的一组方程.回答：(1)求所有这些方程的公共根; (2)设这些方程的另一个根为i m ,求证111+m ,112+m ,113+m ,…, 1 1+n m ,…也成等差数列. 7、如果数列{n a }中,相邻两项n a 和1+n a 是二次方程n n n c nx x ++32=0(n=1,2,3…)的两个根, 当a 1=2时,试求c 100的值. 8、有两个无穷的等比数列{n a }和{n a },它们的公比的绝对值都小于1,它们的各项和分别是1和2,并且对于一切自然数n,都有1+n a ,试求这两个数列的首项和公比.

数列经典例题

类型一：迭加法求数列通项公式 1．在数列中，，，求. 解析：∵， 当时， ， ， ， 将上面个式子相加得到： ∴（）， 当时，符合上式 故. 总结升华： 1. 在数列中，，若为常数，则数列是等差数列；若不是一个常数，而是关于的式子，则数列不是等差数列. 2.当数列的递推公式是形如的解析式， 而的和是可求的，则可用多式累（迭）加法得. 举一反三： 【变式1】已知数列，，，求. 【答案】

【变式2】数列中，，求通项公式. 【答案】. 类型二：迭乘法求数列通项公式 2．设是首项为1的正项数列，且 ，求它的通项公式. 解析：由题意 ∴ ∵，∴， ∴， ∴，又， ∴当时， ， 当时，符合上式 ∴. 总结升华： 1. 在数列中，，若为常数且 ，则数列是等比数列；若不是一个常数，而是关于的式子，则数列不是等比数列. 2．若数列有形如的解析关系，而

的积是可求的，则可用多式累（迭）乘法求得. 举一反三： 【变式1】在数列中，，，求. 【答案】 【变式2】已知数列中，， ，求通项公式. 【答案】由得，∴， ∴， ∴当时， 当时，符合上式 ∴ 类型三：倒数法求通项公式 3．数列中，

,，求. 思路点拨：对两边同除以得即可. 解析：∵，∴两边同除以得， ∴成等差数列，公差为d=5，首项， ∴， ∴. 总结升华： 1．两边同时除以可使等式左边出现关于和的相同代数式的差，右边为一常数，这样把数列的每一项都取倒数，这又构成一个新的数列，而 恰是等差数列.其通项易求，先求的通项，再求的通项. 2．若数列有形如的关系，则可在 等式两边同乘以，先求出，再求得. 举一反三： 【变式1】数列中，，，求. 【答案】

高二数学数列练习题含答案

高二《数列》专题 1．n S 与n a 的关系：1 1(1)(1) n n n S n a S S n -=??=? ->?? ，已知n S 求n a ，应分1=n 时1a = ；2≥n 时，n a = 两步，最后考虑1a 是否满足后面的n a . 2.等差等比数列 3.数列通项公式求法。（1）定义法（利用等差、等比数列的定义）；（2）累加法

（3）累乘法（ n n n c a a =+1型）；(4)利用公式1 1(1)(1) n n n S n a S S n -=??=?->??；(5)构造法（b ka a n n +=+1型）(6) 倒数法 等 4.数列求和 （1）公式法；（2）分组求和法；（3）错位相减法；（4）裂项求和法；（5）倒序相加法。 5. n S 的最值问题：在等差数列{}n a 中,有关n S 的最值问题——常用邻项变号法求解： (1)当0,01<>d a 时，满足???≤≥+00 1m m a a 的项数m 使得m S 取最大值. (2)当 0,01>

精品高考数列经典大题

精品高考数列经典大题 2020-12-12 【关键字】条件、满足 1.等比数列{}n a 的各项均为正数，4352,,4a a a 成等差数列，且2322a a =． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设()()25 2123n n n b a n n += ++，求数列{}n b 的前n 项和n S ． 2.已知数列{}n a 满足：11a =，且对任意∈n N *都有 n a ++ += ． （Ⅰ）求2a ，3a 的值； （Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式； n n a a ++∈n N *）． 3.已知数列}{n a 满足且01=a *)(),1(2 1 21N n n n S S n n ∈++=+ （1）求23,,a a :并证明12,(*);n n a a n n N +=+∈ （2）设*),(1N n a a b n n n ∈-=+求证：121+=+n n b b ； （3）求数列*)}({N n a n ∈的通项公式。 4．设b>0,数列}{n a 满足b a =1,)2(1 11 ≥-+= --n n a nba a n n n ．（1）求数列}{n a 的通项公 式；（2）证明：对于一切正整数n ,121+≤+n n b a ． 5： 已知数列{}n a 是等差数列，() *+∈-=N n a a c n n n 21 2 （1）判断数列{}n c 是否是等差数列，并说明理由；（2）如果 ()为常数k k a a a a a a 13143,130********-=+++=+++ ，试写出数列{}n c 的 通项公式；（3）在（2）的条件下，若数列{}n c 得前n 项和为n S ，问是否存在这样的实数k ，使n S 当且仅当12=n 时取得最大值。若存在，求出k 的取值范围；

高中数列经典题型 大全

高中数学：《递推数列》经典题型全面解析 类型1 )(1n f a a n n +=+ 解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。 例:已知数列{}n a 满足211=a ，n n a a n n ++=+2 11 ，求n a 。 类型2 n n a n f a )(1=+ 解法：把原递推公式转化为 )(1 n f a a n n =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解。 例:已知数列{}n a 满足321=a ，n n a n n a 11+=+，求n a 。 例:已知31=a ，n n a n n a 2 3131 +-=+ )1(≥n ，求n a 。 类型3 q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）。 例:已知数列{}n a 中，11=a ，321+=+n n a a ，求n a . 变式:递推式：()n f pa a n n +=+1。解法：只需构造数列{}n b ，消去()n f 带来的差异． 类型4 n n n q pa a +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1)(1((≠--q p pq ）。 （1n n n a pa rq +=+, 其中p ，q, r 均为常数） 。 例:已知数列{}n a 中，65 1=a ,11)2 1(31+++=n n n a a ，求n a 。 类型5 递推公式为n n n qa pa a +=++12（其中p ，q 均为常数）。 解法一（待定系数——迭加法）:数列{}n a ：),0(025312N n n a a a n n n ∈≥=+-++， b a a a ==21,，求数列{}n a 的通项公式。 解法二（特征根法）：数列{}n a ：),0(025312N n n a a a n n n ∈≥=+-++， b a a a ==21,的特征 方程是：02532=+-x x 。 32,121= =x x Θ,∴1 2 11--+=n n n Bx Ax a 1)3 2(-?+=n B A 。又由b a a a ==21,，于是 ???-=-=??? ? ? ?+=+=)(32332b a B a b A B A b B A a 故1)32)((323--+-=n n b a a b a 例:已知数列{}n a 中，11=a ,22=a ,n n n a a a 3 1 3212+=++，求n a 。

高二数学数列测试题

高二数学第一次月考试题 (满分：150分 时间：120分钟) 一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1、若△ABC 的周长等于20，面积是310，A ＝60°，则BC 边的长是（ ） A ． 5 B ．6 C ．7 D ．8 2．设数}{n a 是单调递增的等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是（ ） A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 3．已知数列{}n a 对任意的* p q ∈N ，满足p q p q a a a +=+，且26a =-，那么10a 等于（ ） A ．165- B ．33- C ．30- D ．21- 4．在ABC ?中,根据下列条件解三角形,其中有两个解的是（ ） A. b=10, A=450, C=600 B. a=6, c=5, B=600 C. a=7, b=5, A=600 D. a=14, b=16, A=450 5．在数列{}n a 中，12a =， 11ln(1)n n a a n +=++，则n a =（ ） A ．2ln n + B ．2(1)ln n n +- C ．2ln n n + D ．1ln n n ++ 6.（理）在△ABC 中，若 c C b B a A sin cos cos = =，则△ABC 是（ ） A ．有一内角为30°的直角三角形 B ．等腰直角三角形 C ．有一内角为30°的等腰三角形 D ．等边三角形 （文）在△ABC 中，若B b A a cos cos =，则△ABC 的形状是（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等腰或直角三角形 7．小长方形按照下图中的规律排列，每个图形中的小长方形的个数构成数列}{n a 有以下结论，①155=a ； ②}{n a 是一个等差数列； ③数列}{n a 是一个等比数列； ④数列}{n a 的递堆公式),(11* +∈++=N n n a a n n 其中正确的是（ ） A ．①②④ B ．①③④ C ．①② D ．①④ 8.甲船在岛B 的正南方A 处，AB ＝10千米，甲船以每小时4千米的速度向正北航行，同时乙船自B 出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲，乙两船相距最近时，它们所航行的时间是（ ） A ． 7 150 分钟 B ． 7 15 分钟 C ．21.5分钟 D ．2.15分钟 9．在下列表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差．．数列，每一纵列成等比．．数列，则a b c ++的值为（ ）

1、高二数学等比数列综合测试题答案

等比数列测试题 A 组 一．填空题(本大题共8小题，每小题5分，共40分) 1．在等比数列{}n a 中，3620,160a a ==，则n a = ． 1．20×2n-3.提示：q 3= 160 20=8,q=2.a n =20×2n-3. 2.等比数列中，首项为98，末项为13，公比为2 3 ，则项数n 等 于 . 2.4. 提示：1 3=98×（23 ）n-1,n=4. 3.在等比数列中，n a >0，且21n n n a a a ++=+，则该数列的公比q 等于 . 3. 12.提示：由题设知a n q 2=a n +a n q,得q=12 +. 4.在等比数列{a n }中，已知S n =3n +b ，则b 的值为_______． 4.b=-1.提示：a 1=S 1=3+b ，n ≥2时，a n =S n －S n －1=2×3n －1． a n 为等比数列，∴a 1适合通项，2×31－1=3+ b ，∴b =－1． 5.等比数列{}n a 中，已知12324a a +=，3436a a +=，则56a a += 5.4.提示：∵在等比数列{}n a 中, 12a a +,34a a +,56a a +也成等比数列,∵12324a a +=，3436a a +=∴563636 4324 a a ?+= =. 6.数列{a n }中，a 1，a 2－a 1，a 3－a 2，…，a n －a n －1…是首项为1、公比为3 1的等比数列，则a n 等于 。 6．23（1－ n 31 ）.提示：a n =a 1+（a 2－a 1）+（a 3－a 2）+…+（a n － a n －1）=23（1－n 3 1）。 7.等比数列 ,8,4,2,132a a a 的前n 项和S n = .

高中一年级数学数列部分经典习题及答案

.数 列 一．数列的概念： （1）已知* 2()156n n a n N n = ∈+，则在数列{}n a 的最大项为__（答：125 ）； （2）数列}{n a 的通项为1 += bn an a n ，其中 b a ,均为正数，则n a 与1+n a 的大小关系为__（答：n a <1+n a ）； （3）已知数列{}n a 中，2n a n n λ=+，且{}n a 是递增数列，数λ的取值围（答：3λ>-）； 二．等差数列的有关概念： 1．等差数列的判断方法：定义法1(n n a a d d +-=为常数）或11(2)n n n n a a a a n +--=-≥。 设{}n a 是等差数列，求证：以b n = n a a a n +++ 21 *n N ∈为通项公式的数列{}n b 为等差数列。 2．等差数列的通项：1(1)n a a n d =+-或()n m a a n m d =+-。 (1)等差数列{}n a 中，1030a =，2050a =，则通项n a = （答：210n +）； （2）首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值围是______（答： 8 33 d <≤） 3．等差数列的前n 和：1()2n n n a a S += ，1(1) 2 n n n S na d -=+ 。 （1）数列 {}n a 中，*11(2,)2n n a a n n N -=+ ≥∈，32n a =，前n 项和15 2 n S =-，求1a ，n （答：13a =-，10n =）； （2）已知数列 {}n a 的前n 项和2 12n S n n =-，求数列{||}n a 的前n 项和n T （答： 2* 2* 12(6,)1272(6,) n n n n n N T n n n n N ?-≤∈?=?-+>∈??）. 三．等差数列的性质： 1．当公差0d ≠时，等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数，且率为公差d ；前n 和 211(1)()222 n n n d d S na d n a n -=+ =+-是关于n 的二次函数且常数项为0. 2．若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差0d =，则为常数列。 3．当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有2m n p a a a +=. （1）等差数列{}n a 中，12318,3,1n n n n S a a a S --=++==，则n ＝____ （答：27） （2）在等差数列{}n a 中，10110,0a a <>，且1110||a a >，n S 是其前n 项和，则

高中数列经典例集

一、 经典例题剖析 考点一：等差、等比数列的概念与性质 例题1.（1）数列{a n }和{b n }满足)(121n n b b b n a +++= （n=1，2，3…）， （1）求证{ b n }为等差数列的充要条件是{a n }为等差数列。 （2）数列{a n }和{c n }满足*)(21N n a a c n n n ∈+=+，探究}{n a 为等差数列的充分必要条例题2.已知数列{}n a 的首项 121a a =+（a 是常数，且1a ≠-），24221+-+=-n n a a n n （2n ≥），数列{}n b 的首项1b a =，2n a b n n +=（2n ≥）。 （1）证明：{}n b 从第2项起是以2为公比的等比数列； （2）设n S 为数列{}n b 的前n 项和，且{}n S 是等比数列，求实数a 的值； （3）当a>0时，求数列{}n a 的最小项。 例题4. 已知数列{}n a 满足411=a ，()),2(2 111N n n a a a n n n n ∈≥--=--． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式n a ； （Ⅱ）设21 n n a b =，求数列{}n b 的前n 项和n S ； （Ⅲ）设2 )12(sin π-=n a c n n ，数列{}n c 的前n 项和为n T ．求证：对任意的*∈N n ，74+1； ⑶ 求证：),2(21111111*21N n n a a a n ∈≥<++++++< 例题6已知数列{}n a 满足()111,21n n a a a n N *+==+∈ （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若数列{}n b 满足n n b n b b b b a )1(44441111321+=---- ，证明：{}n a 是等差数列； （Ⅲ）证明：()23111123n n N a a a *++++<∈

(word完整版)高中数学必修五数列测试题

必修五阶段测试二(第二章 数列) 时间：120分钟 满分：150分 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．(2017·山西朔州期末)在等比数列{a n }中，公比q ＝－2，且a 3a 7＝4a 4，则a 8等于( ) A ．16 B ．32 C ．－16 D ．－32 2．已知数列{a n }的通项公式a n ＝????? 3n ＋1(n 为奇数)，2n －2(n 为偶数)，则a 2·a 3等于( ) A ．8 B ．20 C ．28 D ．30 3．已知等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 3＝b 3，2b 3－b 2b 4＝0，则数列{a n }的前5项和S 5为( ) A ．5 B ．10 C ．20 D ．40 4．(2017·山西忻州一中期末)在数列{a n }中，a n ＝－2n 2＋29n ＋3，则此数列最大项的值是( ) A ．102 B.9658 C.9178 D ．108 5．等比数列{a n }中，a 2＝9，a 5＝243，则{a n }的前4项和为( ) A ．81 B ．120 C ．168 D ．192 6．等差数列{a n }中，a 10<0, a 11>0, 且a 11>|a 10|, S n 是前n 项的和，则( ) A ．S 1, S 2, S 3, …， S 10都小于零，S 11，S 12，S 13，…都大于零 B ．S 1，S 2，…，S 19都小于零，S 20，S 21，…都大于零 C ．S 1，S 2，…，S 5都大于零，S 6，S 7，…都小于零 D ．S 1，S 2，…，S 20都大于零，S 21，S 22，…都小于零 7．(2017·桐城八中月考)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝an 2＋bn (a ，b ∈R )，且S 25＝100，则a 12＋a 14等于( ) A ．16 B ．8 C ．4 D ．不确定 8．(2017·莆田六中期末)设{a n }(n ∈N *)是等差数列，S n 是其前n 项和，且S 5S 8，则下列结论错误的是( ) A ．d <0 B ．a 7＝0 C ．S 9>S 5 D ．S 6和S 7均为S n 的最大值 9．设数列{a n }为等差数列，且a 2＝－6，a 8＝6，S n 是前n 项和，则( ) A ．S 4＜S 5 B ．S 6＜S 5 C ．S 4＝S 5 D ．S 6＝S 5 10．(2017·西安庆安中学月考)数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝23，且1a n －1＋1a n ＋1＝2a n (n ∈N *，n ≥2)，则a 6等于( )