第二类曲线积分的计算教案资料

第二类曲线积分的计

算

第二类曲线积分的计算

作者：钟家伟 指导老师：张伟伟

摘要：本文结合第二类曲线积分的背景用定义的方法进行第二类曲线积分的计算，重点是利用对称

性，参数方程，格林公式斯托克斯公式以及两类曲线积分之间的联系对第二类曲线积分进行计算。

关键词：第二类曲线积分 二重积分 参数积分 对称性原理 斯托克斯公式 第二类曲面积分

1 引言

本文介绍第二类曲线积分的定义以及与两类曲线积分之间的联系，重点介绍若干种主要的计算方法。 1.1 第二类曲线积分的概念

介绍了第二类曲线积分的物理学背景，平面和空间第二类曲线积分的定义以及对坐标的第二类曲线积分的定义。 1.2第二类曲线积分的计算方法

介绍了关于第二类曲线积分的参数计算法，利用格林公式和斯托克斯公式计算的方法以及利用对称性简化或计算的方法。 2.1第二类曲线积分的物理学背景

力场()),( , ),(),(y x Q y x P y x F =沿平面曲线L 从点A 到点B 所作的功

一质点受变力()y x F ,

的作用沿平面曲线L 运动,当质点从L 之一端点A 移动到另一端B 时,求力()y x F ,

所做功W .

大家知道,如果质点受常力F 的作用从A 沿直线运动到B ,那末这个常力F

所做功为 W =AB F ?

. 现在的问题是质点所受的力随处改变，而所走路线又是

弯弯曲曲.怎么办呢?

为此,我们对有向曲线L 作分割},,.....,,{110n n A A A A T -=,即在AB 内插入1-n 个分点,,.....,,121-n M M M 与A =n M B M =,0一起把曲线分 成n 个有向小曲线段 i i M M 1-),,2,1(n i = ,记 小曲线段i i M M 1-的弧长为i S ?.则分割

},,.....,,{110n n A A A A T -=的细度为}{max 1i n

i S T ?=≤≤.

设力()y x F , 在x 轴和y 轴方向上的投影分别为),(y x P

与),(y x Q ,那么()y x F , =()),(),,(y x Q y x P j y x Q i y x P

),(),(+=由于

),,(),,(111i i i i i i y x M y x M ---则有向小曲线段i i M M 1-),,2,1(n i =在x 轴和y 轴方

向上的投影分别为11---=?-=?i i i i i i y y y x x x 与.记i i M M L 1-

=),(i i y x ??从而力()y x F ,

在小曲线段i i M M 1-上所作的功i W ?≈),(i F ηξ i i M M L 1- =

()i i P ηξ,i x ?+()i i Q ηξ,i y ?

其中(j i ηξ,)为小曲线段i i M M 1-上任一点,于是力()y x F ,

沿L 所作的功可近似等

于 i W =∑=n i i W 1

i n

i i i i n i i i y s Q x S P ?+?≈∑∑==1

1

),(),(ηη当0→T 时,右端积分和式的

极限就是所求的功.这种类型的和式极限就是下面所要讨论的第二型曲线积分. 2.2 第二型曲线积分的定义

设),(y x P ,),(y x Q 为定义在光滑或分段光滑平面有向曲线AB L 上的函数,对

AB L 任一分割T ,它把AB L 分成n 个小弧段i i M M 1-),,2,1(n i =；其中

A =n M

B M =,0.记各个小弧段i i M M 1-弧长为i s ?,分割T 的细度为}{max 1i n

i S T ?=≤≤,又设T 的分点的坐标为),(i i i y x M ,并记

11,---=?-=?i i i i i i y y y x x x ,),,2,1(n i = .

在每个小弧段i i M M 1-上任取一点()i i ηξ,,若极限

∑=→?n

i i

i

i

T x

P 1

),(lim

ηξ∑=→?+n

i i

i

i

T y

Q 1

),(lim

ηξ

存在且与分割T 与点()i i ηξ,的取法无关,则称此极限为函数),(y x P ,),(y x Q 在有向线段AB L 上的第二类曲线积分,记为

?+L

dy y x Q dx y x P ),(),(或 ?+AB

dy y x Q dx y x P ),(),(

也可记作

??+L

L

dy y x Q dx y x P ),(),( 或 ??+AB

AB

dy y x Q dx y x P ),(),(

注：(1) 若记()y x F , =()),(),,(y x Q y x P ,()dy dx s d ,=

则上述记号可写成向量形

式:??L

s d F .

(2) 倘若L 为光滑或分段光滑的空间有向连续曲线,

),,(z y x P ,),,(z y x Q ,),,(z y x R 为定义在L 上的函数,则可按上述办法定义沿空间

有向曲线L 的第二类曲线积分,并记为

dz z y x R dy z y x Q dx z y x P L

),,(),,(),,(++?

按照这一定义 , 有力场()),( , ),(),(y x Q y x P y x F =沿平面曲线L 从点A 到点B 所作的功为?+=AB

Qdy Pdx W .第二型曲线积分的鲜明特征是曲线的方向性 .

对二型曲线积分有 ??

-=BA AB

,定积分是第二型曲线积分中当曲线为x 轴上的线段时的特例.可类似地考虑空间力场

()),,( , ),,( , ),,(),,(z y x R z y x Q z y x P z y x =沿空间曲线AB L 所作的功. 为空间曲线AB L 上的第二型曲线积分

?++AB

dz z y x R dy z y x Q dx z y x P ),,(),,(),,(.

2.1 对坐标的第二类曲线积分的概念

设函数在平面P(x ，y)上的一条光滑（或分段光滑）曲线上有定义且有界，用分点(,)(0,1,2

)i i i M X Y i n =将曲线L 从起点A 到B 分为n 个有向小弧的

(,)

i i ξη(,)L

P x y dx

?

长度(,)i i i l ξη?∈?，作和式

1(,)()

n

i

i

i

i

i i

P X X

X ξη-?-∑。记

{}

1max i

i n

l λ≤≤=?，若极

限

1lim ()n

i i i i P X I

λξη→∞

=-?=∑存在，且对曲线L 的分点及点 的选取方式无

关，则称此极限为函数P(x,y)按从A 到

B 的方向沿曲线L 对坐标x 的曲线积分，记作的曲线积分 记作

1

(,)lim ()n

i

i i

i L

P x y dx P X λξ

η→∞

==-?∑?，其中P （x ，y ）称为被积函数，L 称为被积路

径，对

坐标的曲线积分也称之为第二类曲线积分。

类似的，设函数Q （x ，y ）在xy 平面上的一条光滑（或分段光滑）曲线L （AB ）上有定义且有界。若对于L 的任意分法和(,)i i ξη的任意取法，极限都存

在且唯一，则称此极限值

1lim ()n

i i i

i Q Y λξη→∞

=-?∑为函数Q （x ，y ）按从A 到B 的方

向沿曲线L 对坐标Y 的曲线积分，记作(,)L Q x y dy

?

2. 2 第二类曲线积分的参数计算法

首先要弄清楚两类积分的定义，简单地说，第一类曲线积分就是

20

1

(,)lim (,)n

i i i

l

i f x y ds s λξη→==?∑?

第二类曲线积分就是

1

(,)(,)lim (,)(,)n

i

i

i

i

i

i

l

i P x y dx Q x y dy P x Q y λ

ξηξη→=+=?+?∑? （1）

这两种曲线积分的主要区别就在于，第一型曲线积分的积分和中是乘的i s ?，

i s ?是一小段弧的弧长，i s ?总是正值；而第二类曲线积分和积分和中是乘的一段弧的,x y 坐标的增量11,i i i i i i x x x y y y --?=-?=-，i x ?与i y ?是可正可负的。当积分的路径反向时，i s ?不变，而i x ?，i y ?反号，因此第一类曲线积分不变而第二类曲线积分反号，在这一性质上，第二类曲线积分与定积分是一样的。计算曲线积分的基本方法是利用的参数方程将其转化成定积分，但两类曲线积分有些不同。

设曲线l 的参数方程为

(),

(),x x t t y y t αβ=?≤≤?

=?

则第一类曲线积分的计算公式为

ds ===

这里要注意αβ≤，即对t 的定积分中，下限比上限小时才有0dt >，也就有

dt dt

=，这样才有上述计算公式。这个问题在计算中也要特别注意。沿l 上的

点由A 变到B ，即t 的下限α对应曲线积分的起点A ，他的上限β对应曲线积分的起点A ，t 的上限β对应终点B 。

在计算中总要用到曲线的参数方程，这里列出一些常用曲线的参数方程。椭圆的参数方程为

(sin ),

02(cos ),x a t t t y a t t π=-?≤≤?

=-?

有些较简单的曲线可取x 或y 为参数，即可由直角坐标方程。 例如，直线

y ax b =+，取可由直角坐标方程得出参数方程。例如，直角y ax b =+，取x

为参数，参数方程即为

,

,x x x y ax b =?-∞<<+∞?

=+?

又如，抛物线y x =，取y 为参数，参数方程为

2,

0,x y y y y ?=≤<+∞?=?

例1 设l 为以(0,0),(1,0),(0,0)O A B 为顶点的三角形边界，计算

（1）2

2()l

x y ds

+?

（2）

2222()()l

x y dx x y dy +++?，沿逆时针方向。

解：（1）这是第一类曲线积分。

22

2

2

2222()()()()l

OA

AB

OB

x y ds x y ds x y ds x y ds

+=

+++++???

?

线段OA 的参数方程为

,

010,x x x y =?≤≤?

=?

1

2220

1

()3OA

x y ds x dx +==

?

?

线段AB 的参数方程为

,

011,x x x y x =?≤≤?

=-?

1

22220

22()((1))23AB

x y ds x x dx +=+-=

?

?.

线段OB 的参数方程为

0,

01,x y y y =?≤≤?=?

1

2220

1

3i OB

x y ds y dy +==

?

?

所以22

12212(12)()3333L x y ds ++=++=?

（2）这是第二类曲线积分。

2

2()(2)l

x

y dx x dy

+++?

2222()(2)()(2)OA

BO

x y dx x dy x y dx x dy

=+++++++??

111

2220

(1)(2)(1)2x dx x x dx x d x dy

=++-++-+???

12011(132)236x x dx =++--=?

在这个例子中，必须注意第一类曲线积分与第二类曲线积分的不同处理方法，尤其是方向性 问题。

2.3 利用格林公式计算第二类曲线积分

设D 是由分段光滑的曲线l 围成的连通有界闭区域，函数(,)P x y ，(,)Q x y 在其上有一阶连续偏导数，则有格林公式

(,)(,)(

)l

D

Q P

P x y dx Q x y dy dxdy x y

??+=-???

??

其中l 取正向。

格林公式建立了第二类曲线积分也二重积分之间的联系。凡是建立了两个重要概念的联系的公式都是极为重要的，格林公式正是这样的公式。在讨论曲线积分与路径无关问题中，在许多公式的推导中，在曲线积分的计算中，格林公式都是很重要的工具。这里再列举两个计算曲线积分的例子。

例2. 用格林公式计算例1中（2）的第二类曲线积分。 解： 显然，这个积分满足格林公式的条件。用格林公式，

22()(2)l

x y dx x dy +++?

1

10

(12)(12)y

D

y dxdy dy y dx

-=-=-????

1

1

(12)(12)6y y d y =--=

?

这比例1中的解法简单一些。 例3. 计算第二类曲线积分

22

()(),l

y x dx x y dy +-+?

其中l 为从A （-2,0）到B （2,0）沿椭圆2

214x y +=

的上半部分的曲线。

解：l 不是一条封闭曲线，不能直接用格林公式。增加沿x 轴的线段BA 而成为封闭曲线。

2222

()()()()l

BA

y x dx x y dy y x dx x y dy +-+++-+??

(11)224D

dxdy ππ

=---==??

22

()()l

y x dx x y dy +-+?

224()()AB

y x dx x y dy

π=++-+? 224()()BA y x dx x y dy

π=-+-+?

2

22

16

443x dx ππ-=+=+

?

此题重点提到的是针对于非封闭曲线如何利用格林公式通过补形的方法将第二类曲线积分的计算转化为二重积分的计算。

2.4 利用对称性计算第二类曲线积分

定理1 设L 为xoy 平面上关于x 轴对称的一条有向光滑曲线弧，其方程是一双值函数，设为(),()y y x a x b =±≤≤。记12,L L 分别为L 位于x 轴的上半部分与下半部分，12,L L 分别在上的投影方向相反，函数(,)P x y 在L 上连续，那么

1）当(,)P x y 关于y 为偶函数时，则 (,)0

L

P x y dx =?

2）当(,)P x y 关于为奇函数时，则

1

(,)2(,)L

L P x y dx P x y dx

=??

证明：依定理条件不妨设

1:()L y y x =从点a 变到点b 2:()L y y x =-从点b 变到点a

于是由对坐标曲线积分的性质及计算方法有

1

2

(,)(,)(,)L

L L P x y dx P x y dx P x y dx =+=

?

??

[][],(),()b

b

a a

P x y x dx P x y x dx +-=

?

?

[]{}[,()],()b

a

P x y x P x y x dx --=?

[][]{},(),()b

a

P x y x P x y x dx --?

故1）当(,)P x y 关于为偶函数时，有

[]{}(,)[,()],()b L

a

P x y dx P x y x P x y x dx =-?

?00

b

a

dx ==?

2）当(,)P x y 位于为奇函数时，有 []{}(,)[,()],()b

L a

P x y dx P x y x P x y x dx =+=

??

[]2,()2(,)b

a

L

P x y x dx P x y dx

=??

注1 对于(,)L

Q x y dy

?有定理1的结论

注2 定理1可用两句口诀来简言之，即“反对偶零”“与反对奇倍”。其中“反”指在轴上的投影方向相反；“对”指关于轴对称；“偶”指被积函数在上关于为偶函数；“零”指曲线积分的结果等于零。口诀“反对奇倍”涵义类似解释。 关于曲线积(,)L

P x y dx

?分还有另一个对称性的结论是

定理2 设为平面上关于轴对称的一条有向光滑曲线弧，其方程为

(),()y y x a x a =-≤≤，记12,L L 分别L 为位于y 轴的右半部分，12,L L 分别在x 轴

上的投影方向相同，函数(,)P x y 在L 上连续，那么 1）当(,)P x y 关于x 为奇函数时，则

(,)0

L

P x y dx =?

2）当(,)P x y 关于x 为偶函数时，则

1

(,)2(,)L

L P x y dx P x y dx

=?

?

证明： 依定理条件不妨设

1:()L y y x =从点0变到a 2:()L y y x =从点a -变到0(0)a >.

于是由对坐标曲线积分的性质及计算方法有

1

2

(,)(,)(,)L L L P x y dx P x y dx P x y dx =+=

???

[][]0

,(),()a

a

P x y x dx P x y x dx

-+-?

?

对右端第2个积分，令x t =-，有

[]0

(,)()a

P x y x dx --=

?

[][]0

(,(),()a

a

P t y t dt P x y x dx

-=-?

?

因此有

(,)L

P x y dx =?

[][]0

,(),()a a

P x y x dx P x y x dx

+-??

[][]{}0

,(),()a

P x y x P x y x dx

=+-?

故1）当(,)P x y 在L 上关于x 为奇函数时，有

(,)L

P x y dx =?

[][]{}0

,(),()a

P x y x P x y x dx --=

?0

00

a

dx =?

2）当(,)P x y 在L 上关于x 为偶函数时，有

[]{}0

(,)[,()],()a

L

P x y dx P x y x P x y x dx =+=

?

?

[][]1

2,()2,()a

L P x y x dx P x y x dx

=??

注1 对于(,)L

Q x y dy

?有类似2的结论。

注2 定理1与定理2虽然都是对坐标x 的曲线积分，但定理1中积分曲线弧的对称性及其投影都是针对x 轴而言的，而定理2积分曲线弧的对称性及其投影是分别针对y 轴和x 轴而言的。另外，被积函数(,)P x y 的奇偶性也是分别针对不同的变量而言的，故定理2的结论恰好与定理1相反，定理2用口诀简言之是：“同对奇零倍”。其中“同”指12,L L 分别在x 轴的投影方向相同，“对”指L 关于y 轴对称“奇”指被积函数(,)P x y 关于x 为奇函数，“零”指曲线积分结果等于零“同对偶倍”的涵义类似解释。

例4 计算L

I xydx

=?.其中L 为抛物线 2y x =从点(1,1)A -到(1,1)B 上的一段

弧。

解：以题设条件知，该曲线积分满足定理1中“反对奇倍”的结论，故有

1

04

225L

I xydx ===

??，

其中，

1:L y =，x 从点0变到1.

例5 计算

222()(sin )L

I x y dx x y y dy

=+-+?其L 为

222 (0)x y a a +=>按逆时针方向从点(,0)A a 到点(,0)B a -的上半圆周。 解可将原式改写为3个曲线积分的代数和，即

2222()2(sin )L

L

L

I x y dx xydx x y y dy

=+--+???，

依题设条件分析知，等式右端第一、第二、第三个曲线积分依次满足定理2中“同对偶倍”、“同对奇零”及及定理1的注1中“反对偶乘零“的结论，故有

22()L

I x y dx

=+?

1

222()L

x y dx =+?02223

2()2a

x a x dx a =+-=-?

其中，22

1:L y a x =-，x 从点a 变到0.

2.5 利用斯托克斯公式计算第二类曲线积分

斯托克斯（Stokes ）公式建立了沿空间双侧曲面S 的积分与沿S 的边界曲线L 的积分之间的联系。在介绍下述定理之前，先对双侧面S 的侧与边界L 的方向作如下规定：设有人站在S 上指定的一侧，若沿L 行走，指定的侧总在人的左方，则人的前进方向为边界L 正向；若沿L 行走，指定的侧总在人的右方，则人的前进方向为边界线L 的负向，这个规定方法也称为右手法则，如下图所示。

定理3 设光滑曲面S 的边界L 是按段光滑的连续曲线，若函数P,Q,R 在S （连同L ）上连续，

且有一阶连续偏导数，则

(

)()()S

R R P R Q P dydz dzdx dxdy y z z y x y

??????-+-+-????????

L

Pdx Qdy Rdz

=

++?

（2）

其中S 的侧面与L 的方向按右手法则确定。 公式（2）称之此公式为斯托克斯公式。

证明： 先证

,

L

S

P P

dzdx dxdy Pdx z y ??-=?????

（3）

其中曲面S 由方程(,)z z x y =确定，它的正侧法线方向数为

{},,1x

y

z z ''--，方

向余弦为{}cos ,cos ,cos αβγ，所以cos cos ,,

cos cos Z Z x y αβ

γγ??==-??

若S 在xy 平面上投影区为

xy

D ，L 在xy 平面上的投影曲线记为Γ，现由第

二类曲线积分定义及格林公式有

(,,)(,,())(,,(,))xy

L

D P x y z dx P x y z x dx P x y z x y dxdy

Γ

=

=-?

?

??

因为(,,(,)),

P P z P x y z x y y

y z y ????=???? 所以

(,,(,))()xy xy

D D P P z

P x y z x y dxdy dxdy y y z y ????-=-+??????

??

由于cos ,

cos z y βγ?=-?从而 cos =(

)(())cos S

S

P P z P P dxdy dxdy y z y y z βγ?????-+=--?????????原式

(

cos cos )cos S

P P dxdy y z γβγ

??=--????

cos cos )S

P P dS y z

γβ??=--????

S

P P dzdx dxdy z y

??=-????

综合上述结果，便得所要证明的（3）式。

同样对于曲面S 表示(,)x x y x =和(,)y y z x =时，可得

L

S

Q Q dxdy dydz Qdy

x z ??-=?????

（4）

和

L

S

Q R dydz dydz Rds

x z ??-=?????

（5）

将（3）、（4）、（5）三式相加即得斯托克斯公式（2）。

如果曲线S 不能以(,)z z x y =的形式给出，则用一些光滑曲线把S 分割为若干小块，使每一小块能和这种形式表示，因而这时斯托克斯公式也能成立。 为了便于记忆，斯托克斯公式也常写成如下形式：

S

L

dydz dzdx dxdy

Pdx Qdy Rdz

x y z P Q R

???

=++?????

?

例1，()()(),

C

y z dx z x dy x y dz -+-+-? 其中C 为椭圆

若从轴ox 正向看去，此椭圆是依次反时针方向进行的。

解：椭圆如图所示，把平面1x z a h +=上C 所包围的区域记为S ，则S 的法线方向

为

{},,h o a ，

注意到S 的法线和曲线C 的方向是正向联系的，可知S 的法线与轴正向的夹角为锐角，因此，

022

22,0,

,n h a

h a ??

=??++??

于是由斯托克斯公式知

()()()2C

S

y z dx z x dy x y dz dydz dxdz dxdy

-+-+-=-++?

??

2(cos cos cos )S

dS

αβγ=-++??

2

2

2

2

2

2

2(

)2

S

S

ds dS

a h

a h

a h

=-+

=-+++????

2

22

222

2222

22

2

122()x y a h h a a h d a a h a a a

a h a h σππ+≤++=-+=-=-+++??

例2 222222()()()C

y z dx x z dy x y dz

+++++? ，式中C 是曲线

222222,2(0,0)x y z Rx x y rx r R z ++=+=<<>

此曲线是如下进行的：由它所包围在球

2222x y z Rx ++=处表面上的最小区域保持在左方如图所示。

解： 注意到球面的法线的方向余弦为

cos ,cos ,cos ,x R y z

R R R αβγ-=

==

由斯托克斯公式有

[]=2)cos ()cos ()cos S

y z z x x y dS

αβγ-+-+-??原式（

2()(

1)()()S

x y z

y z z x x y dS R R R

=--+-+-??

2()S

z y dS

=-??

由于曲面S 关于oxz 平面对称，y 关于y 是奇函数，有

S

ydS =??

于是

222

2=cos S

S

S

x y rx

zdS R rdS Rdxdy R

d R r σπ+≤====????????

原式

结束语

第二类曲线积分计算是平面和空间曲线积分计算的重要方法，是多元函数积分重要分支。本文不仅将第二类曲线积分通过参数方程转化为定积分计算，而且对平面曲线还可以通过格林公式转化为对二重积分的计算，同时还可以通过斯托克斯公式建立起空间双侧曲面积分与沿边界的曲线积分之间的联系，对第二类曲线积分还可以通过对称性分奇偶两种情况简化或计算出结果。通过对本文的论述可以全面的了解第二类曲线积分的计算方法。

《定积分》教学设计与反思

《定积分》教学设计与反思 学习目标 1、通过实例，直观了解微积分基本定理的含义，会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积分． 2、通过实例体会用微积分基本定理求定积分的方法． 教学重点：通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系，使学生直观了解微积分基本定理的含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分． 教学难点：了解微积分基本定理的含义． 一、自主学习： 1．定积分的定义：， 2．定积分记号： 思想与步骤 几何意义． 3．用微积分基本定理求定积分 二、新知探究 新知1：微积分基本定理： 背景：我们讲过用定积分定义计算定积分,但如果要计算，其计算过程比较复杂，所以不是求定积分的一般方法。我们必须寻求计算定积分的新方法，也是比较一般的方法。 探究问题1：变速直线运动中位置函数S(t)与速度函数v(t)之间的联系 设一物体沿直线作变速运动，在时刻t时物体所在位移为S(t),速度为v(t)（）， 则物体在时间间隔内经过的位移记为，则 一方面：用速度函数v(t)在时间间隔求积分，可把位移= 另一方面：通过位移函数S（t）在的图像看这段位移还可以表示为 探究问题2： 位移函数S(t)与某一时刻速度函数v(t)之间的关系式为 上述两个方面中所得的位移可表达为 上面的过程给了我们启示 上式给我们的启示：我们找到了用的原函数（即满足）的数值差来计算在上的定积分的方法。 定理如果函数是上的连续函数的任意一个原函数，则

该式称之为微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式。它指出了求连续函数定积分的一般方法，把求定积分的问题，转化成求原函数的问题，是微分学与积分学之间联系的桥梁。它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时也提供计算定积分的一种有效方法。 例1．计算下列定积分： 新知2：用定积分几何意义求下列各式定积分： 若求 新知3：用定积分求平面图形的面积 1、计算函数在区间的积分 2、计算函数在区间的积分 3、求与在区间围成的图形的面积 通过此题的计算你发现了什么？ 教学反思 本课的教学设计，是在新课程标准理念指导下，根据本班学生实际情况进行设计的。从实施情况来看，整堂课学生情绪高涨、兴趣盎然。在教学中，教师一改往日应用题教学的枯燥、抽象之面貌，而是借用学生已有的知识经验和生活实际，有效地理解了微积分的基本定理，具体反思如下： 1、改变定理的表述形式，丰富信息的呈现方式。 根据高中学生的认知特点，我在教学过程中，出示例题、习题时，呈现形式力求多样、新颖，让学生多种感官一起参与，以吸引学生的注意力，培养对数学的兴趣。本课的教学中，我大胆地改变了教材中实例分析顺序，重组和创设了这样一个情境，从而引入速度关于时间的定积分背景，即切合学生的生活实际，又让学生发现了定理的实际意义，理解了定理的本质，激发了学生学习的兴趣。并更好地为下一环节的自主探索、主动发展作好充分的准备。 2、突出数学应用价值，培养学生的应用意识和创新能力 《数学课程标准》中指出，要让学生能够“初步学会运用数学的思维方式去观察、分析现实社会，去解决日常生活中和其他学科学习中的问题，增强应用数学的意识。”本课的设计充分体现了这一理念，例题中涉及路程和速度，让学生感受到数学与生活的密切联系，通过自己的探究，运用数学的思维方式解决问题，又能运用掌握的知识去研究解决生活的其它数学问题，，培养了学生的应用意识。

第二类曲线积分的计算

第二类曲线积分的计算 作者：钟家伟 指导老师：张伟伟 摘要：本文结合第二类曲线积分的背景用定义的方法进行第二类曲线积分的计算，重点是利用对称 性，参数方程，格林公式斯托克斯公式以及两类曲线积分之间的联系对第二类曲线积分进行计算。 关键词：第二类曲线积分 二重积分 参数积分 对称性原理 斯托克斯公式 第二类曲面积分 1 引言 本文介绍第二类曲线积分的定义以及与两类曲线积分之间的联系，重点介绍若干种主要的计算方法。 1.1 第二类曲线积分的概念 介绍了第二类曲线积分的物理学背景，平面和空间第二类曲线积分的定义以及对坐标的第二类曲线积分的定义。 1.2第二类曲线积分的计算方法 介绍了关于第二类曲线积分的参数计算法，利用格林公式和斯托克斯公式计算的方法以及利用对称性简化或计算的方法。 2.1第二类曲线积分的物理学背景 力场()),( , ),(),(y x Q y x P y x F =沿平面曲线L 从点A 到点B 所作的功 一质点受变力()y x F , 的作用沿平面曲线L 运动,当质点从L 之一端点A 移动到另一端B 时, 求力()y x F , 所做功W . 大家知道,如果质点受常力F 的作用从A 沿直线运动到B ,那末这个常力F 所做功为 W =AB F ? . 现在的问题是质点所受的力随处改变，而所走路线又是弯弯曲曲.怎么办呢? 为此,我们对有向曲线L 作分割},,.....,,{110n n A A A A T -=,即在AB 内插入1-n 个分点 ,,.....,,121-n M M M 与A =n M B M =,0一起把曲线分 成n 个有向小曲线段 i i M M 1-),,2,1(n i = ,记 小曲线段i i M M 1-的弧长为i S ?.则分割 },,.....,,{110n n A A A A T -=的细度为}{max 1i n i S T ?=≤≤. 设力()y x F , 在x 轴和y 轴方向上的投影分别为),(y x P

曲线积分与曲面积分(解题方法归纳)

第十一章解题方法归纳 一、曲线积分与曲面积分的计算方法 1.曲线积分与曲面积分的计算方法归纳如下： (1) 利用性质计算曲线积分和曲面积分. (2) 直接化为定积分或二重积分计算曲线或曲面积分 (3) 利用积分与路径无关计算对坐标的曲线积分. (4) 利用格林公式计算平面闭曲线上的曲线积分. (5) 利用斯托克斯公式计算空间闭曲线上的曲线积分. (6) 利用高斯公式计算闭曲面上的曲面积分. 2. 在具体计算时，常用到如下一些结论： （1）若积分曲线L 关于y 轴对称，则 1 (,)2(,)L L f x f x y ds f x y ds f x ??=? ??? ?对为奇函数对为偶函数 1 0 (,)2(,)L L P x P x y dx P x y dy P x ??=?????对为奇函数 对为偶函数 1 0 (,)2(,)L L Q x Q x y dy Q x y dy Q x ??=?????对为偶函数 对为奇函数 其中1L 是L 在右半平面部分. 若积分曲线L 关于x 轴对称，则 1 (,)2(,)L L f y f x y ds f x y ds f y ??=? ??? ?对为奇函数对为偶函数 1 0 (,)2(,)L L P y P x y dx P x y dy P y ??=?????对为偶函数 对为奇函数 1 0 (,)2(,)L L Q y Q x y dy Q x y dy Q y ??=?????对为奇函数 对为偶函数 其中1L 是L 在上半平面部分.

（2）若空间积分曲线L 关于平面=y x 对称，则 ()()=??L L f x ds f y ds . （3）若积分曲面∑关于xOy 面对称，则 1 0 (,,)2(,,)f z f x y z dS R x y z dS f z ∑ ∑?? =????? ??对为奇函数对为偶函数 1 0 (,,)2(,,)R z R x y z dxdy R x y z dxdy R z ∑∑?? =???????对为偶函数对为奇函数 其中1∑是∑在xOy 面上方部分. 若积分曲面∑关于yOz 面对称，则 1 0 (,,)2(,,)f x f x y z dS R x y z dS f x ∑ ∑?? =????? ??对为奇函数 对为偶函数 1 0 (,,)2(,,)P x P x y z dydz P x y z dydz P x ∑∑?? =???????对为偶函数对为奇函数 其中1∑是∑在yOz 面前方部分. 若积分曲面∑关于zOx 面对称，则 1 0 (,,)2(,,)f y f x y z dS R x y z dS f y ∑ ∑?? =????? ??对为奇函数 对为偶函数 1 0 (,,)2(,,)Q y Q x y z dzdx Q x y z dzdx Q y ∑∑?? =???????对为偶函数对为奇函数 其中1∑是∑在zOx 面右方部分. （4）若曲线弧() :()()αβ=?≤≤?=? x x t L t y y t ，则 [ (,)(),()()β α αβ=

空间曲线积分的计算方法

空间曲线积分的计算方法 (1)曲线积分的计算例1 计算，其中为平面被三个坐标平面所截三角形的边界，若从轴正向看去，定向为逆时针方向．方法一根据第二型曲线积分的定义化为定积分计算根据定义求曲线积分的关键是使被积函数满足曲线方程，即可将曲线方程代入被积函数．解法一：设，则，，，则．由曲线积分的定义，有．同理可得： ．所以．方法二将空间曲线积分转化为平面曲线积分后用格林公式计算 格林公式给出了平面上有限条逐段光滑封闭曲线上的积分与它们所包含的区域上的二重积分之间的关系．解法二：设，，则，是围成的区域．代入原积分由格林公式得原式．化为平面曲线积分后也可以由定义计算积分值，但比格林公式要复杂得多．用格林公式首先要验证问题是否满足定理条件，其次可用对称性简化计算．方法三根据对称性求曲线积分． 轮换对称性即当被积函数和积分域同步进行同一轮换时，积分的值不变．当被积函数和积分域都具有轮换对称性，这种情形称为双轮换对称性；当被积函数具有轮换对称性而积分域没有或积分域具有轮换对称性而被积函数没有时称为单轮换对称性．双轮换对称性把原题变成了原题，所以对我们解题没有任何帮

助．我们主要在讨论单轮换对称的情形．解法三：由题目特征可知该积分及曲线都具有轮换对称性，因此由对称性知原式．同样由对称性知原式．方法四根据公式求曲线积分 公式建立了空间曲线积分和曲面积分之间的联系，从而将曲线积分和曲面积分有机联系起来． 解法四: 设，方向为上侧，曲面上一点的外法线向量的方向余弦为由公式化为第一型曲面积分得原式．为解法一中所设的点组成的三角形．另解: 根据上面解法中所设，并设为在面上的投影．用公式化为第二型曲面积分得原式 ．用公式将曲线积分化为曲面积分时，若曲面为平面化为第一型曲面积分较简单．

第二类曲线积分的计算

第二类曲线积分的计算 Jenny was compiled in January 2021

第二类曲线积分的计算 定义 设),(y x P ,),(y x Q 为定义在光滑或分段光滑平面有向曲线AB L 上的函数,对AB L 任一分割T ,它把AB L 分成n 个小弧段i i M M 1-),,2,1(n i =；其中 A =n M B M =,0.记各个小弧段i i M M 1-弧长为i s ?,分割T 的细度为 }{max 1i n i S T ?=≤≤,又设T 的分点的坐标为),(i i i y x M ,并记 11,---=?-=?i i i i i i y y y x x x ,),,2,1(n i = . 在每个小弧段i i M M 1-上任取一点()i i ηξ,,若极限 ∑=→?n i i i i T x P 1 ),(lim ηξ∑=→?+n i i i i T y Q 1 ),(lim ηξ 存在且与分割T 与点()i i ηξ,的取法无关,则称此极限为函数),(y x P ,),(y x Q 在有向线段AB L 上的第二类曲线积分,记为 ?+L dy y x Q dx y x P ),(),(或 ?+AB dy y x Q dx y x P ),(),( 也可记作 ??+L L dy y x Q dx y x P ),(),( 或 ??+AB AB dy y x Q dx y x P ),(),( 注：(1) 若记()y x F , =()),(),,(y x Q y x P ,()dy dx s d ,= 则上述记号可写成向量 形式:??L s d F . (2) 倘若L 为光滑或分段光滑的空间有向连续曲线, ),,(z y x P ,),,(z y x Q ,),,(z y x R 为定义在L 上的函数,则可按上述办法定义沿 空间有向曲线L 的第二类曲线积分,并记为 dz z y x R dy z y x Q dx z y x P L ),,(),,(),,(++? 按照这一定义 , 有力场()),( , ),(),(y x Q y x P y x F =沿平面曲线L 从点A 到点B 所作的功为?+=AB Qdy Pdx W .第二类曲线积分的鲜明特征是曲线的

定积分的应用教案

第六章定积分的应用 教学目的 1、理解元素法的基本思想； 2、掌握用定积分表达和计算一些几何量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体 积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积）。 3、掌握用定积分表达和计算一些物理量（变力做功、引力、压力和函数的平均值等）。教学重点： 1、计算平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知 的立体体积。 2、计算变力所做的功、引力、压力和函数的平均值等。 教学难点： 1、截面面积为已知的立体体积。 2、引力。 §6. 1 定积分的元素法 回忆曲边梯形的面积: 设y=f (x)≥0 (x∈[a,b]).如果说积分, ?=b a dx x f A) (是以[a,b]为底的曲边梯形的面积,则积分上限函数 ?=x a dt t f x A)( ) ( 就是以[a,x]为底的曲边梯形的面积.而微分dA(x)=f (x)dx表示点x处以dx为宽的小曲边梯形面积的近似值?A≈f (x)dx, f (x)dx称为曲边梯形的面积元素. 以[a,b]为底的曲边梯形的面积A就是以面积元素f(x)dx为被积表达式,以 [a,b]为积分区间的定积分: ?=b a dx x f A) (. 一般情况下,为求某一量U,先将此量分布在某一区间[a,b]上,分布在[a,x]上的量用函数U(x)表示,再求这一量的元素dU(x),设dU(x)=u(x)dx,然后以u(x)dx为被积表达式,以[a,b]为积分区间求定积分即得 ?=b a dx x f U) (.用这一方法求一量的值的方法称为微元法(或元素法).

§6. 2 定积分在几何上的应用 一、平面图形的面积 1．直角坐标情形 设平面图形由上下两条曲线y =f 上(x )与y =f 下(x )及左右两条直线x =a 与x =b 所围成, 则面积元素为[f 上(x )- f 下(x )]dx , 于是平面图形的面积为 dx x f x f S b a ?-=)]()([下上. 类似地, 由左右两条曲线x =?左(y )与x =?右(y )及上下两条直线y =d 与y =c 所围成设平面图形的面积为 ?-=d c dy y y S )]()([左右??. 例1 计算抛物线y 2=x 、y =x 2所围成的图形的面积. 解 (1)画图. (2)确定在x 轴上的投影区间: [0, 1]. (3)确定上下曲线: 2)( ,)(x x f x x f ==下上. (4)计算积分 31]3132[)(10323102=-=-=?x x dx x x S . 例2 计算抛物线y 2=2x 与直线y =x -4所围成的图形的面积. 解 (1)画图. (2)确定在y 轴上的投影区间: [-2, 4]. (3)确定左右曲线: 4)( ,2 1)(2+==y y y y 右左??. (4)计算积分 ?--+=422)2 14(dy y y S 18]61421[4232=-+=-y y y . 例3 求椭圆12222=+b y a x 所围成的图形的面积. 解 设整个椭圆的面积是椭圆在第一象限部分的四倍, 椭圆在第一象限部分在x 轴上的投影区间为[0, a ]. 因为面积元素为ydx , 所以 ?=a ydx S 04. 椭圆的参数方程为: x =a cos t , y =b sin t , 于是 ?=a ydx S 04?=0 )cos (sin 4πt a td b

曲线积分的计算法

曲线积分 第一类 ( 对弧长 ) 第二类 ( 对坐标 ) ? ??转化 定积分 (1) 选择积分变量 用参数方程 用直角坐标方程 用极坐标方程 (2) 确定积分上下限 第一类: 下小上大 第二类: 下始上终 对弧长曲线积分的计算 定理 ) ()()()](),([),(,],[)(),()(),(), (, ),(22βαψ?ψ?βαψ?βαψ?β α <'+'=≤≤? ? ?==?? dt t t t t f ds y x f t t t t y t x L L y x f L 且 上具有一阶连续导数在其中的参数方程为上有定义且连续在曲线弧设注意: ;.1βα一定要小于上限定积分的下限. ,,),(.2而是相互有关的不彼此独立中y x y x f 特殊情形 . ) (:)1(b x a x y L ≤≤=ψ. )(1)](,[),(2dx x x x f ds y x f b a L ?? '+=ψψ. )(:)2(d y c y x L ≤≤=?. )(1]),([),(2dy y y y f ds y x f d c L ?? '+=??

).(, sin ,cos :,象限第椭圆求I ? ? ?===?t b y t a x L xyds I L 解 dt t b t a t b t a I 2220 )cos ()sin (sin cos +-?=?π dt t b t a t t ab 222220 cos sin cos sin +=?π ?-= a b du u b a ab 22 2) cos sin (2222t b t a u +=令. ) (3) (22b a b ab a ab +++=例2 . )2,1()2,1(,4:, 2 一段到从其中求-==?x y L yds I L x y 42=解 dy y y I 222)2 (1+=?-. 0=例3 ) 20(., sin ,cos :, πθθθθ≤≤===Γ=?Γ 的一段其中求k z a y a x xyzds I 解 θ θθθd k a k a 222sin cos +?? =π 20 I . 2 1 222k a ka +-=π例4 ?? ?=++=++Γ=?Γ . 0, , 22 2 2 2z y x a z y x ds x I 为圆周其中求解 由对称性, 知 . 22 2 ???Γ ΓΓ==ds z ds y ds x ?Γ ++=ds z y x I )(312 22故例1

定积分的概念教案知识讲解

定积分的概念教案

人教A版必修一教材 教材内容分析微积分的出现和发展，极大的推动了数学的发展，同时也推动了天文学、力学、物理学、化学、生物学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支中的发展。本节课是定积分概念的第一节课，教材借助求曲边梯形的面积和物理中变速直线运动的路程，通过直观具体的实例引入到定积分的学习中，为定积分概念构建认知基础，为理解定积分概念及几何意义起到了铺垫作用，同时也为今后进一步学习微积分打下基础。 学生情况分析 本节课的教学对象是本校实验班学生，学生思维比较活跃，理解能力、运算能力和学习交流能力较强。学生前面已经学习了导数，并利用导数研究函数的单调性、极值及生活中的优化问题等，渗透了微分思想。从学生的思维特点看，比较容易把刘徽的“割圆术”与本节课知识联系到一起，能够初步了解到“以直代曲”和“无限逼近”的重要数学思想，但是在具体的“以直代曲”过程中，如何选择适当的直边图形来代替曲边梯形会有一些困难。在对“极限”和“无限逼近”的理解，即理解为什么将直边图形面积和取极限正好是曲边梯形面积的精确值及在对定积分定义的归纳中符号的理解上也会有一些困难。 教学目标 1．从物理问题情境中了解定积分概念的实际背景，初步掌握求曲边梯形的面积的方法和步骤：分割、近似代替、求和、取极限； 2．经历求曲变梯形面积的过程，借助几何直观体会“以直代曲”和“逼近”的思想，学习归纳、类比的推理方式，体验从特殊到一般、从具体到抽象、化归与转化的数学思想； 3．认同“有限与无限的对立统一”的辩证观点,感受数学的简单、简洁之美． 教学重点直观体会定积分的基本思想方法：“以直代曲”、“无限逼近”的思想； 初步掌握求曲边梯形面积的方法步骤——“四步曲”（即：分割、近似代替、求和、取 极限） 教学难点对“以直代曲”、“逼近” 思想的形成过程的理解． 教学方式教师适时引导和学生自主探究发现相结合． 辅助工具投影展台，几何画板． 教学过程 引入新课问题：汽车以速度v做匀速直线运动时，经过时间t所行驶的路程为 S vt =．如果汽车作变速直线运动，在时刻t的速度为()2 v t t=（单 位：km/h），那么它在0≤t≤1(单位：h)这段时间内行驶的路程S （单位：km）是多少？ 创设情境，引入 这节课所要研究的 问题. 类比探究，形成方法如图，阴影部分类似于一个梯形，但有一边是曲线() y f x =的一 段，我们把由直线,(),0 x a x b a b y ==≠=和曲线() y f x =所围 成的图形称为曲边梯形． 如何计算这个曲边梯形的面积？ （1）温故知新，铺垫思想 问题1：我们在以前的学习经历中有没有用直边 图形的面积计算曲边图形面积这样的例子？ 问题2：在割圆术中为什么用正多边形的面积计算圆的面积？为什么 要逐次加倍正多边形的边数？ （2）类比迁移，分组探究 问题3：能不能类比割圆术的思想和操作方法把曲边梯形的面积问题 转化为直边图形的面积问题？ 学生活动：学生进行分组讨论、探究。 （3）汇报比较，形成方法 学生需要用原有的 知识与经验去同化 或顺应当前要学习 的新知识，所以问 题1引导学生回忆 割圆术的作法，通 过问题2引导学生 思考割圆术中的思 想方法----“以直代 曲”，和“无限逼 近”。 通过问题3激 发学生探索的愿 望，明确解决问题 的方向。

第二十章曲线积分

第二十章曲线积分 教学目的：1.理解第一、二型曲线积分的有关概念；2.掌握两种类型曲线积分的计算方法，同时明确它们的联系。 教学重点难点：本章的重点是曲线积分的概念、计算；难点是曲线积分的计算。 教学时数：6学时 § 1 第一型曲线积分 一. 第一型线积分的定义: 1.几何体的质量: 已知密度函数 , 分析线段的质量 2.曲线的质量: 3.第一型曲线积分的定义: 定义及记法.线积分,. 4.第一型线积分的性质: P198 二. 第一型线积分的计算: 1.第一型曲线积分的计算: 回顾“光滑曲线”概念 . Th20.1 设有光滑曲线, . 是定义在上的连续函数 . 则 . ( 证 ) P199 若曲线方程为: , 则 .

的方程为时有类似的公式. 例1 设是半圆周, . . P200例1 例2 设是曲线上从点到点的一段. 计算第一型曲线积分. P200例2 空间曲线上的第一型曲线积分: 设空间曲线 ,. 函数连续可导, 则对上的连续函数, 有 . 例3计算积分, 其中是球面被平面 截得的圆周 . P201例3 解由对称性知 , , =. ( 注意是大圆 ) § 2 第二型曲线积分 一.第二型曲线积分的定义: 1.力场沿平面曲线从点A到点B所作的功: 先用微元法 , 再用定义积分的方法讨论这一问题 , 得

, 即. 2. 稳流场通过曲线( 从一侧到另一侧 ) 的流量: 解释稳流场. ( 以磁场为例 ). 设有流速场. 求在单位时间内通过曲线AB从左侧到右侧的流量E . 设曲线AB上点处的切向量为, ( 是切向量方向与X轴正向的夹角. 切向量方向按如下方法确定: 法线方 向是指从曲线的哪一侧到哪一侧, 在我们现在的问题中是指从左侧到右侧的方向. 切向量方向与法线向按右手法则确定, 即以右手拇指所指为法线方向, 则食指所指为切线方向 .) .在弧段上的流量. , 因此 , . 由, 得 . 于是通过曲线AB从左侧到右侧的总流量E为 . 3. 第二型曲线积分的定义: 闭路积分的记法. 按这一定义 , 有 力场沿平面曲线从点A到点B所作的功为

北师大版数学高二定积分的简单应用教案 选修2-2

高中数学 定积分的简单应用教案 选修2-2 一：教学目标 知识与技能目标 1、 进一步让学生深刻体会“分割、以直代曲、求和、逼近”求曲边梯形的思想方法； 2、 让学生深刻理解定积分的几何意义以及微积分的基本定理； 3、 初步掌握利用定积分求曲边梯形的几种常见题型及方法； 4、 体会定积分在物理中应用（变速直线运动的路程、变力沿直线做功）。 过程与方法 情感态度与价值观 二：教学重难点 重点 曲边梯形面积的求法 难点 定积分求体积以及在物理中应用 三：教学过程： 1、复习 1、求曲边梯形的思想方法是什么？ 2、定积分的几何意义是什么？ 3、微积分基本定理是什么？ 2、定积分的应用 （一）利用定积分求平面图形的面积 例1．计算由两条抛物线2 y x =和2 y x =所围成的图形的面积. 【分析】两条抛物线所围成的图形的面积，可以由以两条曲线所对应的曲边梯形的面积的差得到。 解：2 01y x x x y x ?=??==?=??及，所以两曲线的交点为（0，0）、（1，1），面积S=1 1 20 0xdx x dx = -? ?，所以 ?1 20S =(x -x )dx 32 1 3023 3x x ??=-????=13 【点评】在直角坐标系下平面图形的面积的四个步骤： 1.作图象；2.求交点；3.用定积分表示所求的面积；4.微积分基本定理求定积分。 巩固练习 计算由曲线3 6y x x =-和2 y x =所围成的图形的面积. 例2．计算由直线4y x =-，曲线2y x = 以及x 轴所围图形的面积S. 分析：首先画出草图（图1.7 一2 ) ，并设法把所求图形的面积问题转化为求曲边梯 2 x y =y x A B C D O

第二类曲面积分的计算方法

第二类曲面积分的计算方法 赵海林 张纬纬 摘要 利用定义法，参数法，单一坐标平面投影法，分项投影法，高斯公式，Stokes 公式，积 分区间对称性，向量计算形式以及利用两类曲面积分之间的联系等方法进行求解. 关键词 第二类曲面积分 定义法 参数法 投影法 高斯公式 Stokes 公式 向量计算形 式 1 引言 曲面积分是多元函数积分学的重要组成部分，在曲面积分的计算中，综合运用着一元积分与重积分计算思路、方法与技巧，在第二型曲面积分的学习过程中，必须在理解概念和性质的同时，掌握求第二型曲面积分的方法和技巧.由于第二型曲面积分的概念抽象费解，计算方法灵活多变，而且涉及的数学知识面广，掌握起来有一定的难度，而且是数学分析学习中的难点,许多学生在求解这一类题型时感到相当困难，因此本文给出了第二型曲面积分计算的几种方法，并举例说明了这几种方法的应用，力图使学生能计算第二型曲面积分，并能进一步了解第一型曲面积分与第二型曲面积分，曲面积分、曲线积分与重积分之间的密切联系，让各种计算方法更加直观的呈现在读者面前，体现了第二型曲面积分计算方法的应用. 2 预备知识 2．1第二型曲面积分的概念 2.1.1 流量问题(物理背景) 设稳定流动的不可压缩流体（假定密度为1）的速度为 (,,)(,,)(,,)(,,)v x y z P x y z i Q x y z j R x y z k =++ , ∑是一光滑的有向曲面，求单位时间内从曲面∑一侧流向另一侧的流量Φ. 若∑为平面上面积为S 的区域，而流速v 是常向量，∑指定侧的单位法向量 cos cos cos n i j k αβ=++ 则 cos .S v S v n θΦ==?? 若∑为曲面，流速v 不是常向量，则用下面的方法计算流量Φ. (1) 分割 将∑任意分成小块(1,2i i S i n S ?=?…,),同时代表其面积.

《定积分在几何中的应用》教学教案

1.7.1定积分在几何中的应用 学习目标： 1．体会“分割、以直代曲、求和、逼近”求曲边梯形面积的思想方法； 2．初步掌握利用定积分求曲边梯形的几种常见题型及方法； 3．理解定积分的几何意义以及微积分的基本定理。 学习方法： 情境一：展示精美的赵州桥图片，讲述古代数学家的故事及伟大发现：拱形的面积 问题1：桥拱与水面之间的切面的面积如何求解呢？ 问题2：需要用到哪些知识？（定积分） 问题3：求曲边梯形的思想方法是什么？ 问题4：定积分的几何意义是什么？ 问题5：微积分基本定理是什么？ 情境二：利用定积分求平面图形的面积 例1． 计算由两条抛物线2 y x =和2 y x =所围成的图形的面积. 问题1：你能在平面直角坐标系内画出两条抛物线吗？ 问题2：能在图中找出所要求的图形吗？（用阴影部分表示出来） （如右图） 问题3：这个图形以前见过吗？有没有直接的公式求它的面积吗？ 问题4：既然没有直接的公式求其面积，那能不能转化成我们学过的曲边梯形的面积来间接求解呢？（可看做两个曲边梯形的面积之差，进而可以用定积分来解决） 解：解方程组?????==2 2x y x y 得到交点横坐标为0=x 或1=x x y O A B C D 2 x y =x y =2 1 1 -1 -1 4 x y O 8 4 2 2

∴ OABD OABC S S S 曲边梯形曲边梯形-=dx x ? = 1 dx x ?-1 2 1031 0233132x x -=313132=-= 情境三 学生探究： 例2．计算由直线4y x =-，曲线y =x 轴所围图形的面积S. 分析：模仿例1，先画出草图（左图），并设法把所求图形的面积问题转化为求曲边梯形的面积问题． 问题1：阴影部分图形是曲边梯形吗？ 问题2：不是曲边梯形怎么办？能否构造出曲边梯形来呢？ 问题3：如果转化成两部分的面积和，应该怎样作辅助线？（过点（4,0）作x 轴的垂线将阴影部分分为两部分） 问题4：两部分面积用定积分分别应该怎样表示？（注意积分上下限的确定） 问题5：做辅助线时应该注意什么？（尽量将曲边图形转化成我们熟悉的平面图形，如三角形、矩形、梯形和曲边梯形组合成的图形.） 规范的解题过程此处略去 思考：1.本题还有没有其它的解决方案？（可以将此阴影部分看做一个曲边梯形和一个三角形的面积之差） 2.上面的解法是将x 看作积分变量，能不能将y 看作积分变量？尝试解决之。 情境四：结合以上两个例题，总结利用定积分求平面图形面积的基本步骤。 解由曲线所围的平面图形面积的解题步骤： 1．画草图，求出曲线的交点坐标 2．将曲边形面积转化为曲边梯形面积 3．根据图形特点选择适当的积分变量 4．确定被积函数和积分区间 5．计算定积分，求出面积.

第一类曲线积分的计算

第一类曲线积分的计算 1、定义 定义1 ：设L 为平面上可求长度的曲线段，)y ,x (f 为定义在L 上的函数．对曲线L 作分割T ，它把L 分成n 个可求长度的小曲线段)n ,,2,1i (L i ，i L 的弧长记为i s ，分割T 的细度为i n i 1s max T ，在i L 上任取一点(i , ).n ,,2,1i )(i 若存在极限J s ),(f lim i i n 1 i i 0T 且J 的值与分割T 及点),(i i 的取法无关，则称此极限为)y ,x (f 在L 上的第一型曲线积分，记作 .ds )y ,x (f L （1） 定义2： 若L 为空间可求长曲线段，)y ,x (f 为定义在L 上的函数，则可类似地 定义)z ,y ,x (f 在空间曲线L 上的第一型曲线积分为J s ),,(f lim i i i n 1 i i 0T ， (此处i s 为i L 的弧长,i n i 1s max T , J 为一常数),并且记作 L .ds )z ,y ,x (f （2） 2、物理意义 （1）设某物体的密度函数f （P ）是定义在 上的连续函数．当 是直线段时，应用定积分就能计算得该物体的质量。现在研究当 是平面上某一可求长度的曲线段时物体的质量的计算问题．首先对 作分割,把 分成n 个可求长度的小曲线段i （i=1，2，…，n)，并在每一个i 上任取一点P i 由于f （P ）为 上的连续函数,故当i 的弧长都很小时，每一小段i 的质量可近似地等于f （P i ） i ,其中 i 为小曲线段i 的长度.于是在整个 上的质量就近似地等于和式 i n 1 i i )P (f

第二类曲线积分的计算

第二类曲线积分的计算 Revised as of 23 November 2020

第二类曲线积分的计算 定义 设),(y x P ,),(y x Q 为定义在光滑或分段光滑平面有向曲线AB L 上的函数,对 AB L 任一分割T ,它把AB L 分成n 个小弧段i i M M 1-),,2,1(n i =；其中 A =n M B M =,0.记各个小弧段i i M M 1-弧长为i s ?,分割T 的细度为}{max 1i n i S T ?=≤≤, 又设T 的分点的坐标为),(i i i y x M ,并记 11, ---=?-=?i i i i i i y y y x x x ,),,2,1(n i = . 在每个小弧段i i M M 1-上任取一点()i i ηξ,,若极限 ∑=→?n i i i i T x P 1 ),(lim ηξ∑=→?+n i i i i T y Q 1 ),(lim ηξ 存在且与分割T 与点()i i ηξ,的取法无关,则称此极限为函数),(y x P ,),(y x Q 在有向线段AB L 上的第二类曲线积分,记为 ?+L dy y x Q dx y x P ),(),(或 ?+AB dy y x Q dx y x P ),(),( 也可记作 ??+L L dy y x Q dx y x P ),(),( 或 ??+AB AB dy y x Q dx y x P ),(),( 注：(1) 若记()y x F , =()),(),,(y x Q y x P ,()dy dx s d ,= 则上述记号可写成向量形 式:??L s d F . (2) 倘若L 为光滑或分段光滑的空间有向连续曲线, ),,(z y x P ,),,(z y x Q ,),,(z y x R 为定义在L 上的函数,则可按上述办法定义沿空间有 向曲线L 的第二类曲线积分,并记为 dz z y x R dy z y x Q dx z y x P L ),,(),,(),,(++? 按照这一定义 , 有力场()),( , ),(),(y x Q y x P y x F =沿平面曲线L 从点A 到点B 所作的功为?+=AB Qdy Pdx W .第二类曲线积分的鲜明特征是曲线的方向性 . 对

(完整版)定积分教案

《数学分析》 之九 第九章定积分（14+4学时） 教学大纲 教学要求： 1．理解Riemann定积分的定义及其几何意义 2．了解上和与下和及其有关性质 3．理解函数可积的充要条件，了解Riemann可积函数类 4．熟练掌握定积分的主要运算性质以及相关的不等式 5．了解积分第一中值定理 6．掌握变上限积分及其性质 7．熟练掌握Newton-Leibniz公式，定积分换元法，分部积分法 教学内容： 问题的引入（曲边梯形的面积及变速直线运动的路程），定积分定义，几何意义，可积的必要条件，上和、下和及其性质，可积的充分条件，可积函数类，定积分的性质，积分中值定理，微积分学基本定理，牛顿一莱布尼兹公式，定积分的换元法及分部法。 第页

此表2学时填写一份，“教学过程”不足时可续页 第页

=i 1 。 则称函数)(x f 在[b a .]上可积或黎曼可积。数J 称为函数)(x f 在[b a .]上 的定积分或黎曼积分，记作： ?=b a dx x f J )( 其中)(x f 称为被积函数，x 称为积分变量，[b a .]称为积分区间，dx x f )(称为被积式，b a ,分别称为积分的下限和上限。 定积分的几何意义； 连续函数定积分存在（见定理9.3） 三、举例: 例1 已知函数 在区间 上可积 .用定义求积分 . 解 取 等分区间 作为分法 n b x T i = ?, 取 .= . 由函数)(x f 在区间],0[b 上可积 ,每个特殊积分和之极限均为该积分值 . 例2 已知函数2 11 )(x x f += 在区间]1,0[上可积 ,用定义求积分 . 解 分法与介点集选法如例1 , 有 . 上式最后的极限求不出来 , 但却表明该极限值就是积分

第二型曲线积分与曲面积分的计算方法

第二型曲线积分与曲面积分的计算方法 摘 要： 本文主要利用化为参数的定积分法，格林公式，积分与路径无关的方法解答第二型曲线积分的题目；以及利用曲面积分的联系，分面投影法，合一投影法，高斯公式解答第二型曲面积分的题目. 关键词： 曲面积分；曲线积分 1 引 言 第二型曲线积分与曲面积分是数学分析中的重要知识章节，是整本教材的 重点和难点.掌握其基本的计算方法具有很大的难度，给不少学习者带来了困难.本文通过针对近年来考研试题中常见的第二型曲线积分与曲面积分的计算题目进行了认真分析，并结合具体实例以及教材总结出其特点，得出具体的计算方法.对广大学生学习第二型曲线积分与第二型曲面积分具有重要的指导意义. 2 第二型曲线积分 例1 求()()()sin cos x x I e y b x y dx e y ax dy =-++-?，其中a ，b 为正的常数，L 为从点A （2a ，0）沿曲线y=22ax x -到点o （0，0） 的弧. 方法一：利用格林公式法 L D Q P Pdx Qdy dxdy x y ?? ??+=- ????????，P(x ，y)，Q （x ，y ）以及它们的一阶偏导数在D 上连续，L 是域D 的边界曲线，L 是按正向取定的. 解：添加从点o （0，0）沿y=0到点A （2a,0）的有向直线段1L , ()()()()()()11sin cos sin cos x x L L x x L I e y b x y dx e y ax dy e y b x y dx e y ax dy =-++---++-?? 记为12I I I =- ， 则由格林公式得：()1cos cos x x D D Q P I dxdy e y a e y b dxdy x y ??????=-=---- ??????????? ()()22 D b a dxdy a b a π =-= -?? 其中D 为1L L 所围成的半圆域，直接计算2I ,因为在1L 时，0y =，所以dy =0

空间曲线积分的计算方法

空间曲线积分的计算方法. (1)曲线积分的计算 例1 计算222222()()()C I y z dx z x dy x y dz =-+-+-?，其中C 为平面 1=++z y x 被三个坐标平面所截三角形的边界，若从x 轴正向看去，定向为逆时针方向． 方法一 根据第二型曲线积分的定义化为定积分计算 根据定义求曲线积分的关键是使被积函数满足曲线方程，即可将曲线方程代入被积函数． 解法一：设(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)A B D ，则0,1:==+z y x ，:1,0BD y z x +==，:1,0DA x z y +==，则:C AB BD DA ++．由曲线积分的定义，有 dz y x dy x z dx z y AB )()()(222222-+-+-? 32])1[(0122-=+-= ?dx x x ． 同理可得： 222222()()()BD y z dx z x dy x y dz -+-+-? 2222222()()()3 DA y z dx z x dy x y dz =-+-+-=-?． 所以 2AB BD DA I =++=-???． 方法二 将空间曲线积分转化为平面曲线积分后用格林公式计算 格林公式给出了平面上有限条逐段光滑封闭曲线上的积分与它们所包含的区域上的二重积分之间的关系． 解法二：设)0,0,0(O ，OA BO AB L ++:1，则dy dx dz y x z --=--=,1，D 是1L 围成的区域．代入原积分由格林公式得 原式))((])1[(])1([2222221dy dx y x dy x y x dx y x y L ---+---+---=? ??-=-=D dxdy 24． 化为平面曲线积分后也可以由定义计算积分值，但比格林公式要复杂得多．用格林公式首先要验证问题是否满足定理条件，其次可用对称性简化计算． 方法三 根据对称性求曲线积分． 轮换对称性即当被积函数和积分域同步进行同一轮换时，积分的值不变．当被积函数和积分域都具有轮换对称性，这种情形称为双轮换对称性；当被积函数具有轮换对称性而积分域没有或积分域具有轮换对称性而被积函数没有时称为单轮换对称性．双轮换对称性把原题变成了原题，所以对我们解题没有任何帮助．我们主要在讨论单轮换对称的情形． 解法三：由题目特征可知该积分及曲线C 都具有轮换对称性，因此由对称性知 原式dz y x dy x z dx z y )()()(3222222-+-+-=?

定积分的应用教学设计比赛一等奖

3.1定积分的应用：平面图形的面积 教材分析: 《定积分的简单应用》是人教版选修2-2第1章第7节的内容，从题目中可以看出这节教学的要求，就是让学生在充分认识导数与积分的概念、计算、几何意义的基础上，掌握用积分手段解决实际问题的基本思想和方法，从而进一步认识到数学知识的实用价值以及数学在实际应用中的强大生命力。在整个高中数学体系中，这部分内容也是学生在高等学校进一步学习数学的基础。 教学构思：应用型的课题是培养学生观察分析、发现、概括、推理和探索能力的极好素材，本节课通过创设情景、问题探究、抽象归纳、巩固练习、应用提升等探究性活动，培养学生的数学创新精神和实践能力，使学生们掌握定积分解题的规律，体会数学学科研究的基本过程与方法。 学情分析：知识层面，学生已经学习了定积分的定义，由来及微积分基本定理。在定积分与曲边梯形面积关系中，许多学生默认相等，这就与定积分本质相违背。能力层面，学生有一定的推理和探索能力，面对知识点，学生还需有归纳概括的能力。还需体会数学学科研究的基本过程与方法。情感层面，学生对数学新内容的学习有相当的兴趣和积极性，但探究问题的能力以及合作交流等方面发展不够均衡，有待加强。 教学理念：以学生发展为主线。新型的教学方式，新型的呈现方式。 教学目标： 知识与技能： 1.理解定积分的几何意义，会通过定积分求由两条或多条曲线围成的图形的面积. 2.掌握利用定积分求曲边梯形面积的几种常见题型及方法. 过程与方法：通过体验解决问题的过程，体现定积分的使用价值，加强观察能力和归纳能力，强化数形结合和化归思想的思维意识，达到将数学和其他学科进行转化融合的目的。 情感态度与价值观：通过教学过程中的观察思考总结，养成自主学习的良好学习习惯，培养数学知识应用于生活的意识。