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金融数学引论答案第二版

【篇一：北大版金融数学引论第二章答案】

>第二章习题答案

1．某家庭从子女出生时开始累积大学教育费用5万元。如果它们前十年每年底存款1000元，后十年每年底存款1000+x 元，年利率7%。计算x 。

解：

s = 1000s?7%+xs?7%

x = 50000 ? 1000s?7% = 651.72

s?p7%

2．价值10,000元的新车。购买者计划分期付款方式：每月底还250元，期限4年。月结算名利率18%。计算首次付款金额。

解：设首次付款为x ，则有

10000 = x + 250a?p1.5%

解得

x = 1489.36

3．设有n年期期末年金，其中年金金额为n，实利率i =

解：

p v = na?npi

= 1

+2 =

(n + 1)n

4．已知：a?p

n= x，a?p

n= y 。

试用x和y 表示d 。

解： a?p

n= a?p

n+ a?p (1 ? d)则

y ? x

d = 1 ? ( x ) n

5．已知：a?p

= 5.58238, a?= 7.88687, a?= 10.82760。计算i。 11

解：

a?p = a?p + a?p v

解得

i = 6.0%

10?p +a∞?p

6.证明： 1

1?v10

。

s10?p

北京大学数学科学学院金融数学系第 1 页

证明：

s?p + a∞?p

10+101 = 10

7．已知：半年结算名利率6%，计算下面10年期末年金的现值：

开始4年每半年200元，然后减为每次100元。

解：

p v = 100a?+ 100a20?8p3% p3% = 2189.716

8．某人现年40岁，现在开始每年初在退休金帐号上存入1000元，共计25年。然

后，从65岁开始每年初领取一定的退休金，共计15年。设前25

年的年利率为8%，

后15年的年利率7%。计算每年的退休金。

解：设每年退休金为x，选择65岁年初为比较日

解得

x = 8101.65

。

解： d = 10%，则 i

1?d

? 1 =9

1 ? v

v；

+ 1

? v

1+i

所以

(1+

i)n

(1+i)n?1=(1+i)?1

? 1

1+i

+ (1 + i)

所以

12.从1980年6月7日开始，每季度年金100元，直至1991年12月7日，季结算名利率6%，计算：1）该年金在1979年9月7日的现值；2）该年金在1992年6月7日的终值。

解：

p v = 100a49?p1.5% ? 100a?2p1.5% = 3256.88

av = 100s?1.5% ? 100s?p1.5% = 6959.37

13.现有价值相等的两种期末年金a和b。年金a在第1－10年和第21－30年中每

年1元，在第11－20年中每年2元；年金b在第1－10年和第21－30年中每年付款金

额为y ，在第11－20年中没有。已知：v=，计算y 。

解：因两种年金价值相等，则有

a?i+a?iv10=y a? ?iy a10?piv10

所以 y =3

14.已知年金满足：2元的2n期期末年金与3元的n期期末年金的现值之和为36；另外，递延n年的2元n 期期末年金的现值为6。计算i。

1+v10?2v30

= 1

解：由题意知，

2a?pi+ 3a?pi = 36

2a?pivn= 6

解得

i = 8.33%

p a?p a?p + s?

= 15.已a?p a?p + s?p 。求x，y和z。

知

解：由题意得

1 ? v11 (1 + i)z ? vy

解得

x = 4, y = 7, z = 4

1530

16.化简a15?p (1 + v+ v)。

解：

a?p (1 + v+ v) = a?p

北京大学数学科学学院金融数学系第 3 页

17.计算下面年金在年初的现值：首次在下一年的4月1日，然后每半年一

次2000元，半年结算名利率9%。

4.5%解：年金在4月1日的价值为p =

2000 = 46444.44 ，则

1+4

p v =

(1 + i)

= 41300.657

18.某递延永久年金的买价为p ，实利率

解：设递延时间为t，有

1 p = i v

解得

t = ? ln(1+

19.从现在开始每年初存入1000元，一直进行20年。从第三十年底开始每年领取一定的金额x，直至永远。计算x。

解：设年实利率为i，由两年金的现值相等，有

x ?=

解得

x = 1000((1 + i)? (1 + i))

20.某人将遗产以永久年金的方式留给后代a、b、c、和d：前n年，

a、b和c三人

平分每年的年金，n年后所有年金由d一人继承。如果四人的遗产

份额的现值相

同。计算(1 + i)。

解： i，那么a,b,c得到的遗产的现值

为 i ，而d得到遗产的现值为v。由题意得 3?pi

1 ? v

= v 3

所以

(1 + i)= 4

21.永久期末年金有a、b、c、和d四人分摊，a接受第一

个n年，b接受第二

个n年，c接受第三个n 年，d接受所有剩余的。已知：c与a的

份额之比为0.49，求b与d的份额之比。

解：由题意知

那么

p vc = a?n= 0.49

p vav2n

p vb =

a?p

= 0.61

a? n

p vd

22.1000元年利率4.5%的贷款从第五年底开始每年还贷100元，直至还清，如果最后一次的还款大于100元。计算最后一次还款的数量和时间。

np4.5%41000 100a?

解：

100an+1?p4.5%v41000

解得 n = 17

列价值方程解得

100a?p4.5%xv1 = 1000

x = 146.07

23.36年的期末年金每次4元，另有18年的期末年金每次5元；两者现值相等。如果

以同样的年利率计算货币的价值在n年内将增加一倍，计算n。

由题意， (1 + i)= 2 解得 n = 9

24.某借款人可以选择以下两种还贷方式：每月底还100元，5年还清；k个月后一

次还6000元。已知月结算名利率为12%，计算k。

解：由题意可得方程

100a?p1% = 6000(1 + i)?k

解得

k = 29

25.已知a?pi= 1.75，求i。

解：由题意得

1 ? v= 1.75i

解得

i = 9.38%

26.某人得到一万元人寿保险赔付。如果购买10年期末年金可以每

年得到1538元，20年的期末年金为每年1072元。计算年利率。解：

【篇二：金融数学引论北大版第4章答案】

现有1000 元贷款计划在5 年内按季度偿还。已知季换算名利率6%，计算第2 年底的未结贷款余额。

解：设每个季度还款额是r ，有

ra(4)

5p6%

￢ = 1000

解得r ，代入b2 的表达式

b2 = ra(4)

3p6%

￢

= 635.32 元

2 设有10000 元贷款，每年底还款2000 元，已知年利率12% ，计

算借款人的还款总额等于原贷款额时的未结贷款余额。

解：

n =

10000

2000

= 5

= 4917.72 元

3 某贷款在每季度末偿还1500 元，季换算名利率10% ，如果已知第一年底的未结贷款余额为12000 元，计算最初的贷款额。

解：以季度为时间单位，i = 2.5% 。

b0 = b1 ? v + 1500a4pi ￢

= 16514.4 元

4 某贷款将在1

5 年内分期偿还。前5 年每年底还4000 元，第二个

5 年每年底还 3000 元，最后5 年每年底还2000 元。计算第二次3000 元还款后的未结贷款余额的表达式。

解：对现金流重新划分，有

b7 = 2000a￢8p + 1000a￢3p

北京大学数学科学学院金融数学系第1 页

5 某贷款将以半年一次

的年金方式在3 年半内偿还，半年名利率8% 。如果已知第4 次还款后的未结贷款余额为5000 元，计算原始贷款金额。

解：设原始贷款额为l ，每次还款为r ，以半年为时间单位，有 ??

5000 = ra3p4% ￢

l = ra7p4% ￢

整理得：

l = 5000 ? a￢7p

a￢3p

= 10814.16 元

6 现有20000 元贷款将在12 年内每年底分期偿还。若(1+i)4 = 2 ，计算第4 次还款后的未结贷款余额。

解：设第4 次还款后的未结贷款余额为l ，每次还款为r ，有 ??

20000 = r ? a12pi ￢

l = r ? a8pi ￢

把(1 + i)4 = 2 代入整理得：

l = 5000 ? 1 ? (1 + i)?8

1 ? (1 + i)?12

= 17142.86 元

7 20000 元抵押贷款将在20 年内每年分期偿还，在第5 次还款后，因资金短缺，随后的两年内未进行正常还贷。若借款人从第8 年底

重新开始还贷，并在20 年内还清。计算调整后的每次还款额。

解：设正常每次还款为r ，调整后每次还款x ，以当前时间和第5

年底为比较日，有

20000 = ra2￢0p

xa1￢3p ? v2 = ra1￢5p

整理得：

x = 20000 ? a15p ￢

a2￢0p

? (1 + i)2

a1￢3p

8 某贷款l 原计划在25 年内分年度等额还清。但实际上从第6 次到第10 次的还款中每次多付k 元，结果提前5 年还清贷款。试证明： k =

a2￢0p ? a1￢5p

a2￢5p a￢5p l

证：以第20 年年底为比较日，设每次还款为r ，有

l = ra2￢5p

ks￢5p (1 + i)10 = ra￢5p

整理即得。

9 设bt 表示未结贷款余额，证明：

(1) (bt ? bt+1)(bt+2 ? bt+3) = (bt+1 ? bt+2)2;

(2) bt + bt+3 bt+1 + bt+2

证： (1)

(bt ? bt+1)(bt+2 ? bt+3) = (

r + bt+1

1 + i

? bt+1) ? (bt+2 ? ((1 + i)bt+2 ? r))

r ? ibt+1

1 + i

? (r ? ibt+2)

= (r ? ibt+1) ? r ? i((1 + i)bt+1 ? r)

1 + i

= (r ? ibt+1)2

= (bt+1 ? bt+2)2

(2)

bt ? bt+1 = r ? ibt

r ? ibt+2

= bt+2 ? bt+3

) bt + bt+3 bt+1 + bt+2

默认每次还款额是相同的！

10 某贷款按季度分期偿还。每次1000 元，还期5 年，季换算名利率12%。计算第6 次还款中的本金量。

解：

p6 = b5 ? b6

= 1000a20?5p3% ￢ ? 1000a20?6p3% ￢

= 641.86 元

11 n 年期贷款，每年还款1元。试导出支付利息的总现值(去掉：之和)。解：设第t 年支付的利息为it ，有

it = ibn+1?t

= ian+1?￢tp

= 1 ? vn+1?t

支付利息的总现值为：

i =

t=1

itvt

t=1

(1 ? vn+1?t)vt

= a￢np ? nvn+1

12 设10000 元贷款20 年还清，年利率10%，证明第11 次中的利息为 1000

1 + v10

元。

此处有改动10000改成1000

证：设每期还款额为r ，由上题的结论有

i11 = r(1 ? v10)

10000

a2￢0p (1 ? v10)

= 10000 ? i

1 + v10

1000

1 + v10

13 设有20 次分期还贷，年利率9%。问：第几次还款中的本金量与利息量差额最小。

解：不妨设每次还款额为1。

pt ? it = vnt+1 ? (1 ? vn?t+1)

= 2vn?t+1 ? 1

由

2vn?t+1 ? 1 = 0 ? t ≈ 12.96

验证t = 12, 13 的情形易得第13 次本金量与利息量差额最小。

14 现有5 年期贷款，分季度偿还。已知第3 次还款中的本金为100 元，季换算的名利率10%。计算最后5 次还款中的本金量之和。解：以一季度为时间单位，设每次还款额为r，由题意得

rv20?3+1 = 100

? r =

100

v18

于是最后5 次本金总额为

r(v1 + ? ? ? + v5) = 724.59 元

15 现准备用20 年时间分期偿还一笔贷款，且已知前10 年的年利率为i ，后10 年的年利率为j 。计算：(1) 第5 次偿还中的利息量；

(2) 第15 次偿还中的本金量。

解：设初始贷款量为1 ，每年还款额为r ，有：

1 = ra10pi ￢ + ra10pj ￢ (1 + i)?10

) r =

a10pi ￢ + (1 + i)?10a10pj ￢

(1) i5 = ib4

= ir(a6pi ￢ + (1 + i)?6a10pj ￢ )

(2) p15 = b14 ? b15

= ra6pj ￢ ? ra5pj ￢

= r(1 + j)?6

16 原始本金为a 的抵押贷款计划在尽可能长的时间内每年偿还k ，且最后一

次将不足部分一次还清。计算：(1) 第t 次偿还的本金量；(2) 摊还表中的本金部分是否为等比数列？

解：设总还款次数为n ，最后一次还款中不足部分设为b 。

(1) 利用追溯法可得

bt =

a(1 + i)t ? ks￢tp , t n

0, t = n

故

pt =

(k ? ia)(1 + i)t?1, t n

(k ? ia)(1 + i)n?1 + b, t = n

(2) 显然前n ? 1 次本金呈等比数列，最后一次与前面没有等比关系。

17 现有20 年的抵押贷款分年度偿还，每次1元。如果在第7 次正

常还款的同时，额外偿还原摊还表中第8 次的本金，而且今后的还

款仍然正常进行。（正常的意思是依然按照摊还表进行，改变期限，每次还款的金额不变）。证明：还贷期间节约的利息为1 ? v13 。证：在第7 次额外多还以后，第n 次还款刚好对应原摊还表中第n + 1 次的还款。所以节约的利息为原摊还表中第8 次还款中的的利

息量，为1 ? v13 。 18 总量为l 的贷款分10 年偿还，已知v5 =

。计算：

(1) 前5 次偿还中的本金之和；

(2) 如果最后5 次还款因故取消，计算第10 年底的未结贷款余额。解： (1) 由题意得前5 次偿还本金之和为

r(v10 + ? ? ? + v6) = rv6 1 ? v5

1 ? v

a1￢0p

1 ? v

v5(1 ? v5)

1 ? v10 v5(1 ? v5)

= 0.4l

(2) 利用追溯法

b10 = l(1 + i)10 ? rs￢5p (1 + i)5

【篇三：金融数学引论答案第一章__北京大学出版[1]】解: 把t = 0 代入得a(0) = 3 于是:a(t) =a(t)/a(0)=（t2 + 2t + 3）/3 in = a(n) ? a(n ? 1)

= (n2 + 2n + 3) ? ((n ? 1)2 + 2(n ? 1) + 3))

= 2n + 1

2. 解:?1?i?a(n)?a(t)?in?in-1?????it?1?n(n? 1)/2?t(t? 1)/2

(2)i?a(n)?a(t)?

k?t?1?ink? 2n?1?2t?1

3.解: 由题意得

a(0) = 1, a(3) =a(3)/a(0)= 1.72? a = 0.08, b = 1

∴ a(5) = 100

a(10) = a(0) ? a(10) = a(5) ? a(10)/

4. 解：(1)i5 =(a(5) ? a(4))/a(4)=5120≈ 4.17%

i10 =(a(10) ? a(9))/a(9)=5145≈ 3.45%

(2)i5 =(a(5) ? a(4))/a(4)

100(1 ? 0.1)5?100(1 ? 0.1)4

?? 10%100(1 ? 0.1)4

i10?(a?10??a?9?)/a?9??100(1 ? 0.1)?100(1 ? 0.1)? 10%100(1 ?

0.1)9109

5.解:a(7) = a(4)(1 + i5)(1 + i6)(1 + i7)

= 1190.91

6.解: 设年单利率为i

500(1 + 2.5i) = 615

解得i = 9.2%

设500 元需要累积t 年

解得t = 3 年4 个月

7.解: 设经过t 年后，年利率达到2.5%

1 ? 4%?t? (1 ? 2.5%)tt ≈ 36.367

8. 解:(1 + i)11 = (1 + i)5+2*3 = xy 3

9. 解: 设实利率为i

600[(1 + i)2 ? 1] = 264

解得i = 20%

∴ a(3) = 2000(1 + i)3 = 3456 元

10.解: 设实利率为i

11??1 n2n(1?i)(1?i)

解得(1 + i)-n

=1 2

23?)?22所以(1 + i)2n

于是pv =100001000010000 ??204060 (1 ?i)(1 ?i)(1 ?i) ?2

3?4

= 3281.25

12解:(1 + i)a = 2 (1)

3(1 + i)b = (2) 2

c(1 + i) = 5 (3)

3(1 + i)n = (4) 2

(4) ? n ? ln (1 + i) = ln 5 ? ln 3

故n = c ? (a + b)

13.解:???a ? i = 336

a ? d = 300

i ? d = i ? d

? a = 2800

14.解: (1)

d5 =

=a?5??a?4? a510% 1 ? 5?10%

= 6.67%

(2)a-1(t) = 1 ? 0.1t

? a(t) = 1= 1?0.1t

a?5??a?4?? d5 = a5= 16.67%

15.解:由

i(3)

3d(4)

(?4)(1?)?(1?)34 3(3)i??d(4)?4?[1?(1?)4]3

由

i(6)

6d(12)

(?12)(1?)?(1?)612 (12)d?i(6)?6?[(1?)?2?1]12

4*24 ) = 112.65元

17.解: 利用1/d(m)? 1/i(m) = 1/m? m = 8

aa(t)0.1?aa(t)1?0.1t

a?1b

ba?1a(t)?1?0.05t??b?(t))0.05?(t)1?0.05t

t = 5

19.解: 依题意，累积函数为a(t) = at2 + bt + 1?? a(0.5) = 0.25a + 0.5b + 1 = 1.025

a(1) = a + b + 1 = 1.07

?a = 0.04

b = 0.03

由?a(t)??b(t)

2t2? 21 ?t1 ?t

? t 1 ?

d??? 8%，设复利下月实贴现率为d，单利下实利率为d0。21．解： 4__________全部采用复利：

8%(1?d)3? 1? 2

pv? 5000(1?d)25? 4225.25前两年用复利：

1?3d0? 1?8% 2

pv? 5000(1?d)24(1?d0) ? 4225.46

6%4)?1 ? 6.14% 4

设第3年初投入x,以第3年初为比较日，列价值方程 4 22．解：i??? 6%，则i? (1 ?

2000(1 ?i)2? 2000(1 ?i) ?x? 2000v2? 5000v8解得x = 504.67 元

23．解：对两种付款方式，以第5年为比较日，列价值方程： 200 ? 500v5? 400.94解得v5? 0.40188

所以

p? 100(1 ?i)10? 120(1 ?i)5? 917.762

24．解：1000?1 ? 6%?? 2?1000?1 ? 4%?解得： t = 36 年

25．解：列价值方程为100vn? 100v2n? 100解得n = 6.25

26．解：?t?

0tt1，得基金b的积累函数为 6tt2ab(t) ?exp(??sds) ?exp()欲使

aa(t) ?ab(t)则 12

1?12?12tt2

(1 ?i)?exp() 1212

解得t = 1.4

27解： 1000(1 + i)15 = 3000

12则i??? ((1 ?i)?1)?2 ? 7.46% 2

28．解：列价值方程为

300(1 ?i)2? 200(1 ?i) ? 100 ? 700解得i = 11.96%

29．解： ?t?kt则积累函数为

ka(t) ?exp?t

0ksds?exp(t2) 2

由a(10) = 2 得e50k? 2

解得k = 0.0139

30．解：(1 + i)3 + (1 ? i)3 = 2.0096

解得i = 0.04

31.解：一个货币单位在第一个计息期内的利息收入j，第二个计息期内的利息

收入j + j2,故差为j2,即第一期利息产生的利息。

32.解：设半年实利率为i，则有：

15(1 ?i) ? 13.65 ? 28(1 ?i)

i? 0.05故：i? (1 ?i)2?1 ? 0.1025 解得:

33.解：价值方程：

正常: 1000 ? 100(1 ?j)-1? 100(1 ?j)?2? 1000(1 ?j)?3 转让: 960 ? 100(1 ?k)?1? 1000(1 ?k)?2 解得：j = 6.98%, k = 7.4%

从而:j k

e-??e-2?

-??e -?1?e

35．证明：

??di??1lim2? lim2?证： d?0?i?0?2

??d??1?e??1?e??e??1lim2? lim? lim? lim?

2d?0???0??0??0?2?22limd?0i???2?

lim??0???1?e??2?1?e?e?1? lim? lim? ??0??022?2

36.解: 设货款为s,半年实利率为i,则有：0.7s(1 ?i) ? 0.75s 解得：1 ?i? 1.0714

故i? (1 ?i)2?1 ? 14.80%

37．解： 1)单利方式：x1(1 + (1 ? t)i) = 1

2)复利方式：x2(1 + i)1-t = 1

(1?ti)3)单利方式：x3? 1?i

由taylor展开易证：(1 ?i)1-t?1 ? (1?t)i (1 ?i)t?1 ?it故x1? x2? x3

38．解：设基金a,b的本金为a,b