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最近十年全国大学生数学竞赛真题

2001年天津市大学数学竞赛试题（理工类）

一．

填空

1．函数⎪⎩⎪

⎨⎧≥+<=-0,cos 0,)(21

2x x x a x x e x f x 在),(∞+-∞上连续，则=a .

2．设函数)(x y y =由方程0)cos(=-+xy e y x 所确定，则==0x dy . 3．由曲线x x x y 223++-=与x 轴所围成的图形的面积=A . 4．设E 为闭区间]4,0[π上使被积函数有定义的所有点的集合，则

=⎰

dx x x E

sin cos .

5．设L 是顺时针方向的椭圆14

=+y x ，其周长为l ，则⎰

=++L

ds y x xy )4(2

2 . 二．选择题.

1．若0)(lim 0

u x x x =→ϕ，且A u f u u =→)(lim 0

，则（）

（A ）)]([lim 0

x f x x ϕ→存在；（B ）A x f x x =→)]([lim 0

（B ）)]([lim 0

x f x x ϕ→不存在（C ）A 、B 、C 均不正确.

2．设⎰

=x dx x x f sin 0

2)sin()(，43)(x x x g +=，则当0→x 时，

（）（A ）)(x f 与)(x g 为同阶但非等价无穷小；（B ）)(x f 与)(x g 为等价无穷

小；

（C ）)(x f 是比)(x g 更高阶的无穷小；（D ）)(x f 是比)(x g 更低阶的无穷小

3．设函数)(x f 对任意x 都满足)()1(x af x f =+，且b f =')0(，其中a 、b 均为非零常数，则)(x f 在1=x 处（）

（A ）不可导；（B ）可导，且1)(='a f ；（C ）可导，且b f =')1(；（D ）可导，且ab f =')1(. 4．设)(x f 为连续函数，且)(x f 不恒为零，⎰=t s dx tx f t I 0

)(，其中0,0>>t s ，则

I 的值（）

（A ）与s 和t 有关；（B ）与s 和t 及x 有关（C ）与s 有关，与t 无关；（D ）与t 有关，与s 无关.

5．设),(y x u 在平面有界闭区域D 上具有二阶连续偏导数，且满足

02>∂∂∂y

x u

及02222=∂∂+∂∂y

x u ，则（）（A ）),(y x u 的最大值点和最小值点必定都在区域D 的内部；（B ）),(y x u 的最大值点和最小值点必定都在区域D 的边界上；

（C ）),(y x u 的最大值点在区域的内部，最小值点在区域D 的边界上；

（D ）),(y x u 的最小值点在区域的内部，最大值点在区域D 的边界上.

三．求极限)]21ln(2[cos lim

02x x x e

x x x -+--

→.

四．计算⎰∞+--+02)1(dx e xe x x

. 五．设函数),(y x u 的所有二阶偏导数都连续，2222y

x u ∂∂=∂∂且x x x u =)2,(，

)2,(x x x u ='，求)2,(11x x u ''. 六．在具有已知周长p 2的三角形中，怎样的三角形面积最大？

七．计算⎰⎰

⎰⎰+=12

1214

1y y

y y

y dx e dy dx e dy I .

八．计算曲面积分⎰⎰∑

+++++=dxdy ay z dzdx ax y dydz az x I )()()(232323，其中∑为

上半球面222y x a z --=的上侧. 九．已知0>a ，01>x ，定义

⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛+=

+31341n n n x a x x （ ,3,2,1=n ）求证：n n x ∞

→lim 存在，并求其值.

十．证明不等式()

2211ln 1x x x x +≥+++，),(∞+-∞∈x .

十一. 设函数)(x f 在闭区间]1,0[上连续，在开区间)1,0(内可导，且

⎰=1

43)0()(4f dx x f ，求证：在开区间)1,0(内存在一点ξ，使得0)(='ξf .

十二. 设函数)(x f 在区间),[∞+a 上具有二阶导数，且0)(M x f ≤，2)(0M x f ≤''<，

（+∞≤≤x a ）. 证明202)(M M x f ≤'.

2002年天津市大学数学竞赛试题（理工类）

一．

填空 1．=-+∞→x

x x x 1

sin 1312lim

2 . 2．设摆线方程为⎩⎨⎧-=-=t

y t t x cos 1sin ，则此曲线在3π

=t 处的法线方程为 .

3．=+⎰∞+e x x dx

)

ln 1(2 . 4．设2

2y xy x z +-=在点)1,1(-处沿方向)1,2(5

l 的方向导数=∂∂l z . 5．设∑为曲面222R y x =+介于R Z ≤≤0的部分，则

=++⎰⎰∑

222z y x dS

. 二．选择题.

1．曲线)

2)(1(1

arctan 21

-++-=x x x x e y x 的渐近线有（）

（A ）1条；（B ）2条；（C ）3条；（D ）4条. 2．若2)]([)(x f x f ='，则当2>n 时=)()(x f n （）

（A ）1)]([!+n x f n ；（B ）1)]([+n x f n ；（C ）n x f 2)]([；（D ）n x f n 2)]([!. 3．已知函数)(x f 在),(∞+-∞内有定义，且0x 是函数)(x f 的极大值点，则（）

（A ）0x 是)(x f 的驻点；（B ）在),(∞+-∞内恒有)()(0x f x f ≤；（C ）0x -是函数)(x f --的极小值点；（D ）0x -是函数)(x f -的极小值点.

4．设⎪⎩

⎪⎨⎧=+≠++=0,00,222

2y x y x y x xy z ，则),(y x z z =在点)0,0(（）

（A ）连续且偏导数存在；（B ）连续但不可微；

（C ）不连续且偏导数不存在；（D ）不连续但偏导数存在. 5．设⎰⎰⎰Ω

++=dV e e e I z y x )(，其中1:222≤++Ωz y x ，0≥z ，则=I （）

（A ）⎰⎰⎰Ω

dV e z 3；（B ）⎰⎰⎰Ω

dV e x 3；

（C ）⎰⎰⎰Ω

+dV e e z y )2(；（D ）⎰⎰⎰Ω

+dV e e z x )2(.

三．已知极限011ln

arctan 2lim

≠=-+-→C x x x

x n

x ，试确定常数n 和C 的值.

四．已知函数)(x f 连续，⎰-=x dt x t f t x g 0

2)()(，求)(x g '.

五．设方程04=++b ax x ，（1）当常数b a ,满足何种关系时，方程有唯一实根? （2）当常数b a ,满足何种关系时，方程无实根?

六．过曲线2x y =（0≥x ）上某点A 作一切线，使之与曲线及x 轴所围成图形

的面积为12

，试求：（1）A 点的坐标；（2）过切点A 的切线方程；（3）该图形

绕x 轴旋转一周所成旋转体的体积.

七．计算⎰+dx x 3

)1(1

. 八．设),,(z y x f u =，0),,(2=z y x ϕ，x y sin =，其中ϕ,f 具有连续的一阶偏导

数，且0≠∂∂z ϕ，求

. 九．求2222),(y y x x y x f ++=在{}

1),(22=+=y x y x S 上的最大值与最小值.

十．计算⎰⎰+=D

dxdy y x I )cos(，其中区域D 为：2

0,2

0π

≤

≤≤

≤y x .

十一. 证明：当10<

x e x

211-<+-. 十二. 设C 是取正向的圆周1)1()1(22=-+-y x ，)(x f 是正的连续函数，证明：

⎰≥-C

dx x f y

dy y xf π2)

()(.

2003年天津市大学数学竞赛试题（理工类）

一．填空.

1．设对一切实数x 和y ，恒有)()()(y f x f y x f +=+，且知1)2(=f ，则

=)2

(f .

2．设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≠+-+=⎰0 ,0,12)1ln()(2

2sin 0

x a x e e dt t x f x x x ，在0=x 处连续，则=a . 3．设2),,(yz e z y x f z =，其中),(y x z z =是由方程0=+++xyz z y x 所确定的隐函

数，则=-')1,1,0(y f . 4．⎰

∞+=+0

1(x dx

. 5．曲线⎪⎩

⎪⎨⎧=+-=++

0243

444222z y x z y x 在点)1,1,1(M 处的切线方程为 .

二．选择题.

1．当0→x 时，下列无穷小量

① x x sin 1tan 1+-+； ② 33121x x +-+；

③ x x x sin )cos 3

34(--； ④ 14--x x e

从低阶到高阶的排列顺序为（）

（A ）①②③④；（B ）③①②④；（B ）④③②①；（C ）④②①③.

2．设⎩

⎨⎧=≠=0 ,00

,cot )(3x x x arc x x f ，在0=x 处存在最高阶导数的阶数为（）

（A ）1阶；（B ）2阶；（C ）3阶；（D ）4阶 .

3．函数)(x f y =在1=x 处有连续导函数，又21

)

(lim 1=-'→x x f x ，则1=x 是（）

（A ）曲线)(x f y =拐点的横坐标；（B ）函数)(x f y =的极小值点；（C ）函数)(x f y =的极大值点；（D ）以上答案均不正确. 4．设函数g f ,在区间],[b a 上连续，且m x f x g <<)()(（m 为常数），则曲线)(x g y =，)(x f y =，a x =和b x =所围平面图形绕直线m y =旋转而成的旋转体体积为（）

（A ）dx x g x f x g x f m b

a ⎰---)]()()][()(2[π；

（B ）dx x g x f x g x f m b

⎰-+-)]()()][()(2[π；

（C ）dx x g x f x g x f m b

⎰-+-)]()()][()([π；

（D ）dx x g x f x g x f m b

⎰---)]()()][()([π.

5．设2222:a z y x S =++（0≥z ），1S 为S 在第一卦限中的部分，则有（）（A ）⎰⎰⎰⎰=1

4S S

xdS xdS ；（B ）⎰⎰⎰⎰=1

4S S

xdS ydS ；

（C ）⎰⎰⎰⎰=1

4S S

xdS zdS ；（D ）⎰⎰⎰⎰=1

4S S

xyzdS xyzdS ；

三．a ，b ，c 为何值时，下式成立

⎰=+-→x b

x c t

dt t ax x 2201sin 1

lim

四. 设函数⎪⎩⎪

⎨⎧=≠-=0

,0,cos )()(x a x x

x x f ϕ，其中)(x ϕ具有连续二阶导数，且1)0(=ϕ. (1) 确定a 的值，使)(x f 在点0=x 处可导，并求)(x f '； (2) 讨论)(x f '在点0=x 处的连续性.

五．设正值函数)(x f 在),1[∞+上连续，求函数

⎰⎪⎭⎫

⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x dt t f t t x x x F 1

)(]ln 2ln 2[)(的最小值点.

六．设2)1arctan()(-='x x y ，且0)0(=y ，求⎰1

0)(dx x y .

七．设变换⎪⎩⎪⎨⎧+=+=y

x v y

a x u 2把方程0212222=∂∂-∂∂-∂∂y z y z y x z 化为02=∂∂∂y u z ，试确定a . 八．设函数),(y x Q 在xoy 平面上具有连续一阶偏导数，曲线积分

dy y x Q xydx L

⎰

+),(2与路径无关，并且对任意的t 恒有

dy y x Q xydx dy y x Q xydx t t ⎰

⎰

+=+),1()

0,0()1,()

0,0(),(2),(2，求),(y x Q .

九．设函数)(x f 具有二阶连续导函数，且0)0(=f ，0)0(='f ，0)0(>''f . 在曲线)(x f y =上任意取一点))(,(x f x （0≠x ）作曲线的切线，此切线在x 轴上的截

距记作μ，求)()

(lim 0x f f x x μμ→.

十．设函数)(x f 在闭区间]1,0[上连续，在开区间)1,0(内可导，且1)1(,0)0(==f f ，试证明：对于任意给定的正数a 和b ，在开区间)1,0(内存在不同的ξ和η，使得

b a f b

f a +='+')()(ηξ 十一. 设⎰----++-=1112)1(2

)(dt e t x e x F t ，试证明在区间]1,1[-上)(x F 有且仅有

两个实根.

十二. 设函数),(y x f 在单位圆域上有连续的偏导数，且在边界上的值恒为零，证明：

⎰⎰+'

+'-=+→D y x dxdy y x f y f x f 2

2021lim )0,0(πε

其中：D 为圆域1222≤+≤y x ε.

2004年天津市大学数学竞赛试题（理工类）

一．

填空：

1．设函数x x x f -+=11ln

)(，则函数)1

()2(x

f x f +的定义域为： . 2．设要使函数⎪⎩⎪

⎨⎧=≠=0

,0 ,)(cos )(21

x a x x x f x 在区间),(∞+-∞上连续，则=a .

3．设函数)(x y y =由参数方程⎩⎨⎧-=-=)

1()(3t

e f y t f x π

所确定，其中f 可导，且0)0(≠'f ，则

==0

t dx dy

. 4．由方程2222=+++z y x xyz 所确定的函数),(y x z z =在点)1,0,1(-处的全微分=dz .

5．设)()(1

y x y xy f x

z ++=ϕ，其中f 、ϕ具有二阶连续导数，则

=∂∂∂y

x z

2 . 二．选择题：

1．已知31

tan )(1lim

20=--+→x x e x x f ，则=→)(lim 0x f x （）（A ）12；（B ）3；（C ）1；（D ）0； 2．设函数)(x f 在0x 的一个领域内有定义，则在0x 处存在连续函数)(x g 使)()()()(00x g x x x f x f -=-是)(x f 在0x 点处可导的（）

（A ）充分而非必要条件；（B ）必要而非充分条件；（C ）充分必要条件；（C ）既非充分，也非必要条件.

3．设⎩⎨⎧≤<-≤≤= 21

,21

0 ,)(2x x x x x f ，⎰=x dt t f x F 0)()(，则=)(x F ( )

（A ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<-+≤≤21,223

110,323x x x x x ；（B ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<-≤≤2

1,2210,3

x x x x x ；（C ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<-+≤≤2

1,22310,3233

x x x x x x ；（D ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<-+-≤≤21,226

710,3

3x x x x x 4．函数xy y x f =),(，在点)0,0(处),(y x f （）

（A ）可微；（B ）偏导数存在，但不可微；（C ）连续，但偏导数不存在；（D ）不连续且偏导数不存在; 5．设)(x ϕ为区间]1,0[上正值连续函数，b a ,为任意常数，区域

}1,0),({≤≤=y x y x D ，则⎰⎰++D

dxdy y x y b x a )()()

()(ϕϕϕϕ＝（）（A ）a ；（B ）b ；（C ）b a +；（D ）)(2

b a +.

三．设函数)(x f 在0=x 的某领域内具有二阶导数，且310)(1lim e x x f x x

x =⎪⎭⎫ ⎝⎛

++→，求)0(f ，)0(f '，)0(f ''及x

x x x f 10)(1lim ⎪⎭⎫ ⎝

⎛

+→. 四．计算⎰

+-+dx x x x

x )

1(ln )1ln(. 五．求函数)1ln()(2x x x f +=在0=x 点处的100阶导数值.

六．设)(x f 为定义在),(∞+-∞上，以0>T 为周期的连续函数，且⎰=T

A dx x f 0

)(，

求x

t f x x ⎰

+∞

→0

)(lim

七．在椭球面122222=++z y x 上求一点，是函数222),,(z y x z y x f ++=在该点

沿方向j i l

-=的方向导数最大.

八．设正整数1>n ，证明方程01121212=-+++--x a x a x n n n 至少有两个根.

九．设00>x ，1

12)

1(2--++=n n n x x x （ 3,2,1=n ）. 证明n n x ∞→lim 存在，并求之.

十．计算曲面积分⎰⎰∑-=xdxdy dydz xz I sin 2

，其中∑是曲线⎪⎩⎪⎨⎧=+=0

x z y （21≤≤z ）

绕z 轴旋转而成的旋转面，其法线向量与z 轴正向的夹角为锐角.

十一. 设),(y x P 、),(y x Q 具有连续的导函数，且对以任意点),(00y x 为圆心，以

任意正数r 为半径的上半圆θθsin ,cos :00r y y r x x L +=+=（πθ≤≤0），恒有

0),(),(=+⎰

dy y x Q dx y x P ，证明：0),(≡y x P ，

,(≡∂∂x

y x Q . 十二. 设函数)(x f 在]1,0[上连续，且0)(10

=⎰dx x f ，1)(10

=⎰dx x xf ，试证：（1）]1,0[0∈∃x ，使得4)(0>x f ；

（2）]1,0[1∈∃x ，使得4)(1=x f .

2005年天津市大学数学竞赛试题（理工类）

一．填空题： 1．=+++-+-∞

→x

x x x x x sin 1

14lim

2 .

2．曲线⎪⎩⎪⎨⎧==t

e y t

e x t

cos 2sin ，在点)1,0(处的法线方程为 . 3．设函数)(x f 为连续函数，且x dt t f x =⎰

-10

3)(，则=)7(f .

4．函数)ln(22z y x u ++=在点)1,0,1(A 处，沿点A 指向点)2,2,3(-B 方向的方向

导数为 .

5．设2)(=⋅⨯c b a ，则=+⋅+⨯+)()]()[(a c c b b a

. 二．选择题：

1．设函数)(x f 与)(x g 在开区间),(b a 内可导，考虑如下的两个命题：（1）若)()(x g x f >，则)()(x g x f '>'；（2）若)()(x g x f '>'，则)()(x g x f >. 则（）

（A ）两个命题均正确；（B ）两个命题均不正确；

（C ）命题（1）正确，命题（2）不正确; （D ）命题（1）不正确，命题（2）正确.

2．设函数)(x f 连续，)(x F 为)(x f 的原函数，则（）（A ）当)(x f 为奇函数时，)(x F 必为偶函数；（B ）当)(x f 为偶函数时，)(x F 必为奇函数；（C ）当)(x f 为周期函数时，)(x F 必为周期函数；

（D ）当)(x f 为单调递增函数时，)(x F 必为单调递增函数；

3．设平面π位于平面022:1=-+-z y x π与平面062:2=-+-z y x π之间，且将此两平面的距离分为3:1，则平面π的一个方程为（）

（A ）02=+-z y x ；（B ）082=++-z y x （C ）082=-+-z y x ；（D ）032=-+-z y x 4．设),,(z y x f 为非零的连续函数，⎰⎰⎰≤++=

222),,()(t z y x dxdydz z y x f t F ，则当0→t 时

（）

（A ）)(t F 与t 为同阶无穷小；（B ）)(t F 与2t 为同阶无穷小；（C ）)(t F 与3t 为同阶无穷小；（D ）)(t F 是比3t 高阶的无穷小. 5．设函数)(x y y =满足等式042=+'-''y y y ，且0)(0

⎤

⎢⎣⎡++-- 十二. 设函数)(x f 在闭区间]2,2[-上具有二阶导数，1)(≤x f ，且

4)]0([)]0([22='+f f ，证明：存在一点)2,2(-∈ξ，使得0)()(=''+ξξf f .

2006年天津市大学数学竞赛试题（理工类）

一．

填空：

1．若⎪⎪⎩⎪

⎪⎨⎧≤->-=0 ,10 ,2arctan 1)(2sin x ae x x e x f x x

是),(+∞-∞上的连续函数，则=a .

2．函数x x y sin 2+=在区间],2[ππ

上的最大值为 .

3．⎰--=+2

2)(dx e x x x .

4．由曲线⎩

⎨⎧==+012

2322z y x 绕y 轴旋转一周得到的旋转面在点)2,3,0(处的指向

外侧的单位法向量为 .

5．设函数),(y x z z =由方程2=+----x y z xe x y z 所确定，则=dz . 二．选择题：

1．设函数)(x f 可导，并且5)(0='x f ，则当0→∆x 时，该函数在点0x 处微分dy 是y ∆的（）（A ）等价无穷小；（B ）同阶但不等价无穷小；（C ）高阶无穷小；（D ）低阶无穷小.

2．设函数)(x f 在点a x =处可导，则)(x f 在点a x =处不可导的充要条件是（）

（A ）0)(=a f ，且0)(='a f ；（B ）0)(≠a f ，但0)(='a f ；（C ）0)(=a f ，且0)(≠'a f ；（D ）0)(≠a f ，且0)(≠'a f . 3．曲线12+-+=x x x y （）

（A ）没有渐近线；（B ）有一条水平渐近线和一条斜渐近线;

（C ）有一条铅直渐近线；（D ）有两条水平渐近线. 4．设),(y x f 与),(y x ϕ均为可微函数，且0),(≠'y x y ϕ. 已知),(00y x 是),(y x f 在约束条件0),(=y x ϕ下的一个极值点，下列选项中的正确者为（）（A ）若0),(00='y x f x ，则0),(00='y x f y ；（B ）若0),(00='y x f x ，则0),(00≠'y x f y ；（C ）若0),(00≠'y x f x ，则0),(00='y x f y ；（C ）若0),(00≠'y x f x ，则0),(00≠'y x f y . 5．设曲面}0,),({2222≥=++=∑z k z y x y x 的上侧，则下述曲面积分不为零的是（）

（A ）⎰⎰∑

dydz x 2；（B ）⎰⎰∑

xdydz ；（C ）⎰⎰∑

zdzdx ；（D ）⎰⎰∑

ydxdy .

三．设函数)(x f 具有连续的二阶导数，且0)

(lim

=→x

x f x ，且4)0(=''f ，求x

x x x f 1

0)(1lim ⎥⎦⎤⎢⎣

⎡

+→. 四．设函数)(x y y =由参数方程⎪⎩

⎪⎨⎧=+=⎰+t u du u e y t x ln 2112

21（1>t ）所确定，求9

22=x dx y d . 五．设n 为自然数，计算积分dx x

n I n ⎰+=2

0sin )12sin(π

. 六．设)(x f 是除0=x 点外处处连续的奇函数，0=x 为其第一类跳跃间断点，证明⎰x

dt t f 0)(是连续的偶函数，但在0=x 处不可导.

七．设),(v u f 有一阶连续偏导数，))cos(,(22xy y x f z -=，θcos r x =，θsin r y =，

证明：)sin(2sin 1cos xy v

y u z x z r r z ∂∂-∂∂=∂∂-∂∂θθθ.

八．设函数)(u f 连续，在点0=u 处可导，且0)0(=f ，3)0(-='f ，求：

⎰⎰⎰≤++→++2222)(1

lim 22240t z y x t dxdydz z y x f t

π 九．计算⎰

+++-=L y

x x xdy

ydx I ，其中L 为1=++y x x 正向一周.

十．（1）证明：当x 充分小时，不等式422tan 0x x x ≤-≤成立.

（2）设∑=+=n

k n k n x 1

tan ，求n n x ∞→lim .

十一. 设常数12ln ->k ，证明：当0>x 且1≠x 时，

0)1ln 2ln )(1(2>-+--x k x x x . 十二. 设匀质半球壳的半径为R ，密度为μ，在球壳的对称轴上，有一条长为l 的均匀细棒，其密度为ρ. 若棒的近壳一端与球心的距离为a ，R a >, 求此半球壳对棒的引力.

2001年天津市大学数学竞赛试题答案（理工类）

一．填空：

1. 2

2. dx -

3. 1237

4. 3

5. 4

二．选择：

1. D

2. A

3. D

4. C

5. B

三．解： )(!

4!21cos 44

2x o x x x ++-

2x e )()2(!21214

222x o x x +-+-

=)(8

21442x o x x ++- )(22)()2(2

2)21ln(2222x o x x x o x x x +--=+---=-

由此得到：

原式=2224424420)](222[)]

(821[)(!4!21lim x x o x x x x o x x x o x x x +--++--++-→ 24

)(2)

(121

lim 44440=+-+-=→x o x x o x x 四．解：

原式dx e

dx e e x

e xd dx e xe x x x x x x ⎰

⎰⎰⎰∞+∞+∞++∞

∞++=+++-=+-=+=0

000

11111)11()1( 令t e x =，则dt t

dx 1

=，于是

2ln 1)111()1(1)1(1

1102=+=+-=+=++∞

∞+∞+∞

+--⎰⎰⎰t t

n l dt t t dt t t dx e xe x x 五．解：x x x u =)2,(两边对x 求导，得到：1)2,(2)2,(21='+'x x u x x u ，代入

1)2,(x x x u ='求得：2

1)2,(2

2x x x u -=

'； 2

)2,(x x x u ='两边对x 求导，得到：x x x u x x u 2)2,(2)2,(1211=''+''； 21)2,(2

2x x x u -=

'两边对x 求导，得到 x x x u x x u -=''+'')2,(2)2,(2221. 以上两式与2222y

x u ∂∂=∂∂联立，又二阶导数连续，所以2112

u u ''=''，故 x x x u 3

)2,(11

-=''. 六．解：设三角形的三边长分别为z y x ,,，由海伦公式知，三角形的面积S 的平方为

))()((2z p y p x p p S ---=

则本题即要求在条件p z y x 2=++之下S 达到的最大值，它等价于在相同的条件

下2S 达到最大值. 设

))()((),(2p y x y p x p p S y x f -+--==

问题转化成),(y x f 在}2,0,0),({p y x p p y p x y x D <+<<<<<=上的最大值。其中D 中的第3个条件是这样得到的: 由于三角形的任意两边之和大于第三边，故有z y x >+，而由假设p z y x 2=++即)(2y x p z +-=, 故有z y x >+)(2y x p +-=，所以有p y x >+。由

⎩⎨⎧=---='

=---='0)22)((0

)22)((y x p x p p f y x p y p p f y

求出),(y x f 在D 内的唯一驻点)3

2,32(

p M =. 因),(y x f 在有界闭区域D 上连续，故),(y x f 在D 上有最大值. 注意到),(y x f 在D 的边界上的值为0，而在D 内的值大于0. 故),(y x f 在D 内取得它在D 上的最大值. 由于),(y x f 在D 内的偏导数存在且驻点唯一，因此最大值必在点M 处取得. 于是有

)32,32(),(max 4

),(p p p f y x f D y x ==∈ 此时3

z y x ===，即三角形为等边三角形。

七．解：先从给定的累次积分画出积分区域图，再交换累次积分次序，得到

dx e dy I y

y ⎰⎰=214

1dx e dy y y

x y

⎰⎰

+12

1e e dx e e x dy e dx x x

x x

y 21

83)(1

212-=-==⎰⎰⎰

八．解：记S 为平面0=z )(222a y x ≤+的下侧，Ω为∑与S 所围的空间区域，

⎰⎰

+∑+++++=

dxdy ay z dzdx ax y dydz az x I )()()(232323 ⎰⎰+++++-S

dxdy ay z dzdx ax y dydz az x )()()(232323

⎰⎰⎰⎰⎰Ω

≤++

++=2

222

222)(3a y x dxdy ay dxdydz z y x

⎰

⎰⎰

⎰⎰+=πππ

θθϕϕθ20

03220

4sin sin 3a

dr r d a dr r d d

554156a a ππ+=520

a π=

九．解：第一步：证明数列}{n x 的极限存在：

注意到：当2≥n 时，44331)(41a x a

x x x x a x x x x n

n n n n n n n n =≥+++=+，因此数

列

}{n x 有下界；又

1)3(41)3(4141=+≤+=+a a

x a x x n

n n ，即n n x x ≤+1，所以}{n x 单调递减，由极限存在准则知，数列}{n x 有极限.

第二步：求数列}{n x 的极限：

设：A x n n =+∞

→lim ，则有04>≥a A ；由)3(lim 41lim 31n

n n n n x a

x x +=

+∞→++∞

→，有)3(413A

A A +=，解得4a A =（舍掉负根），即4lim a x n n =+∞→.

十．证明：设221)1ln(1)(x x x x x f +-+++=，则

)1ln(1111)1ln()(22

x x x x x x x x x x x x f ++=+-++++

+++='

令0)(='x f ，得到驻点0=x . 由011

)(2

>+=

''x

x f 可知0=x 为极小值点，亦即

最小值点，最小值为0)0(=f ，于是对任意),(+∞-∞∈x 有0)(≥x f ，即所证不等式成立.

十一. 证明：由积分中值定理知，存在]1,43

[∈η，使得

⎰⎰==-=1

143)0()(4)(4

311)(f dx x f dx x f f η

又函数)(x f 在区间]1,0[],0[⊂η上连续，),0(η内可导，由罗尔定理知，至少存在一点)1,0(),0(⊂∈ηξ，使得0)(='ξf .

十二. 证明：对任意),[+∞∈a x ，及任意的0>h ，使得),(+∞∈+a h x ，于是有

2)(!

)()()(h f h x f x f h x f ξ''+'+=+，其中],[h x x +∈ξ.

即 )(2

)]()([1)(ξf h

x f h x f h x f ''--+='; 故

202

2)(M h

h M x f +≤' ，)0),,[(>+∞∈h a x

令 202

2)(M h

h M h g +=，下面求其最小值：由

021

2)(220=+-='M h

M h g

得到2002M M h =. 04)(30>=''h M

h g ，所以)(h g 在2002M M h =处得极小值，亦即

最小值且最小值为2002)(M M h g =，故 202)(M M x f ≤' )),[(+∞∈a x .

2002年天津市大学数学竞赛试题答案（理工类）

一．填空：

1．32； 2. 3331π+-=x y ; 3. 4π

; 4. 5

3-; 5. 22π

二．选择：

1．B ； 2. A ； 3. C; 4. D; 5. D. 三．解法1： )3

2()32()1ln()1ln(11ln 3232++++-+-=--+=-+x x x x x x x x x x )(32

233x o x x ++=

)(3

arctan 33x o x x x +-=

于是由

原式C x x x x o x x x o x x n x n x =-=++-+-=→→3

03333034lim ))(322())(31(2lim 可知：3=n ，3

-=C .

解法2：运用洛必达法则可知：

原式C x x n nx x x nx x x x n x n x n x =-=--=--+-+=-→-→-→120142

20lim 414lim 111112lim

故3=n ，3

-=C .

四．解：令x t u -=，则dt du =，

⎰⎰⎰⎰----++=+=0

2)()(2)()()()(x

du u f x du u uf x du u f u du u f x u x g

)()(2)(2)(2)()(20

x f x du u f x x f x du u uf x f x x g x

-+---+-='∴⎰⎰--

⎰⎰--+=0

0)(2)(2x

du u f x du u uf .

五．解：设b ax x x f ++=4)(，由a x x f +='34)(可解得唯一驻点：3

x -=，且 3

a x -<时0)(<'x f ，304a x ->时0)(>'x f ，即函数在]4,(3a

--∞上单调递减，

在),4[3

∞+-a 上单调递增. 故304

x -=为函数的最小值点，且由 b a

a x f +-=31

0)4

()4()(

可知：

（1）当0)4()4(31

34=+-b a

a 时方程有唯一实根；

（2）当0)4

()4(3

134>+-b a a 时方程无实根.

六．解：

（1）设A 点坐标为),(00y x ，则切线方程为)(2000x x x y y -=-，即0

2x x y x +=. 由

条件知：

面积12

12141322432)2(30303000002

0230020

0=++-=++-=-+=⎰x x x y x x y y dy y x x y y

从而10=x ，A 点坐标为)1,1(. (2) 切线方程为：12-=x y .

(3) 体积[][]

)12(61

51)12(12

110521

ππππ=

--=--⋅=⎰⎰x x dx x dx x V .

七．解：设t x tan =，tdt dx 2sec =，则

原式⎰⎰⎰===dt dt t

dt t t 4

426cos sec 1sec sec 1 ⎰⎰⎰++=+=t tdt tdt dt t 41

2cos 212cos 41)212cos (22

⎰++=t t tdt 2sin 41

834cos 21

C t t t +++=83

2sin 414sin 321

C x x x x x x ++-+++=2

222)

1()

1(81121arctan 83. 八．解：三式两端同时对x 求导得：

dz f dx dy f f dx du ⋅'+⋅'+'=321

①

02321

=⋅'+⋅'+'dx

dz dx dy x ϕϕϕ ②

x dx

cos =

③

由②得：

321cos 2ϕϕϕ''⋅+'-=x x dx dz

④

将③、④代入①得：

2121cos 2cos f x x f x f dx dy

'''⋅+'-'⋅+'=ϕϕϕ

九．解：

方法1：令)1(2),,(22222-++++=y x y y x x y x F λλ，并令：

⎪⎩⎪⎨⎧=-+==++==++=0

1022202422

y x F y y x F x xy x F y x λλλ 解得：⎩⎨⎧±==10y x 及⎪⎪

⎩

⎪

⎪⎨

⎧

±=±=333

y x ，从而得6个可能极值点： )1,0(， )1,0(-， )33,36(， )33,36(-， )33,36(-， )3

3,36(-- 对应函数值分别为：1，1，3941+，3941-，39

41+，394

1-. 故函数的最

大值为39

41+，最小值为394

1-.

方法2：将12

2=+y x 代入函数2222),(y y x x y x f ++=可将函数化为一元函数：

32222221)1(2)1(:)(y y y y y y y F -+=+-+-=（11≤≤-y ） 262)(y y F -='，令0)(='y F 解得驻点3

=y ，且由 1)1(=-F ， 1)1(=F ， 3941)33(+

=F ， 39

1)33(-=-F 可知函数的最大值为3941+，最小值为394

1-.

十．解：记区域D 中位于直线2

=+y x 左下方的部分为1D ，位于直线2

+y x 右

上方的部分为2D ，则

⎰⎰⎰⎰+-+=2

)cos()cos(D D dxdy y x dxdy y x I

⎰⎰⎰⎰--+-+=2220

)cos()cos(π

πππ

dy y x dx dy y x dx

⎰--=20

)cos sin 2(π

dx x x

2-=π.

十一. 解：令1)1()(2-++=-x e x x F x ，则

x x x e x e x e x F 222)12(11)1(2)(---+-=++-=' x x x xe e x e x F 2224)12(22)(---=++-=''

由于在)1,0(上0)(>''x F ，故知)(x F '在]1,0[上单调递增，又0)0(='F ，故0)(>'x F ，从而函数)(x F 也在]1,0[上单调递增，且由0)0(=F 可知当)1,0(∈x 时

0)0()(=>F x F ，即x e x

211-<+-. 十二. 证明：记C 围成区域为D ，显然C 是D 的正向边界，于是由格林公式可得：

⎰

⎰⎰+=-

dxdy x f y f dx x f y dy y xf ])(1)([)()( 由轮换对称性可知：⎰⎰⎰⎰==D

dxdy x f dxdy y f )()(，于是

原式π2)

)(2])(1

)([])(1)([=⋅≥+=+

=⎰⎰⎰⎰⎰⎰D

D D

dxdy x f x f dxdy x f x f dxdy x f y f . 即

⎰

≥-

dx x f y

dy y xf π2)

()(.

2003年天津市大学数学竞赛试题答案（理工类）

一. 填空：

1．21； 2. 21； 3. e 2; 4. 4π; 5. 311151--=

-=-z y x (或⎩

⎨

⎧=+-=-++020

42z y x z y x ) 二．选择：1. D 2. B 3. B 4. A 5. C

三．解：注意到左边的极限中，无论a 为何值总有分母趋于零，因此要想极限存在，分子必须为无穷小量，于是可知必有0=b ；当0=b 时使用洛必达法则得到

002201)(cos lim

1sin 1lim x a x x t dt t ax x x x x +-=+-→→⎰ 由上式可知：当0→x 时，若1≠a ，则此极限存在，且其值为0；若1=a ，则 21)(cos lim 1sin 1lim 22

00220-=+-=+-→→⎰x a x x t dt t ax x x x x

综上所述得到如下结论：1≠a ，0=b ，0=c ；

或：1=a ，0=b ，2-=c . 四．解：（1）欲使)(x f 在点0=x 处可导，)(x f 在点0=x 处必须连续，于是有

)0(1

sin )(lim cos )(lim )(lim 000ϕϕϕ'=+'=-=→→→x

x x x x x f x x x 即当)0(ϕ'=a 时，)(x f 在点0=x 处连续.

当0≠x 时，2

]

cos )([]sin )([)(x

x x x x x x f --+'='ϕϕ；当0=x 时，

2000)0(cos )(lim )

0(cos )(lim )0()(lim )0(x

x x x x x x

x x f x f f x x x ϕϕϕϕ'--='--=-='→→→

最近十年全国大学生数学竞赛真题

2001年天津市大学数学竞赛试题（理工类）一．填空 1．函数⎪⎩⎪ ⎨⎧≥+<=-0,cos 0,)(21 2x x x a x x e x f x 在),(∞+-∞上连续，则=a . 2．设函数)(x y y =由方程0)cos(=-+xy e y x 所确定，则==0x dy . 3．由曲线x x x y 223++-=与x 轴所围成的图形的面积=A . 4．设E 为闭区间]4,0[π上使被积函数有定义的所有点的集合，则 =⎰ dx x x E sin cos . 5．设L 是顺时针方向的椭圆14 22 =+y x ，其周长为l ，则⎰ =++L ds y x xy )4(2 2 . 二．选择题. 1．若0)(lim 0 u x x x =→ϕ，且A u f u u =→)(lim 0 ，则（）（A ）)]([lim 0 x f x x ϕ→存在；（B ）A x f x x =→)]([lim 0 ϕ （B ）)]([lim 0 x f x x ϕ→不存在（C ）A 、B 、C 均不正确. 2．设⎰ =x dx x x f sin 0 2)sin()(，43)(x x x g +=，则当0→x 时，（）（A ）)(x f 与)(x g 为同阶但非等价无穷小；（B ）)(x f 与)(x g 为等价无穷小；（C ）)(x f 是比)(x g 更高阶的无穷小；（D ）)(x f 是比)(x g 更低阶的无穷小 3．设函数)(x f 对任意x 都满足)()1(x af x f =+，且b f =')0(，其中a 、b 均为非零常数，则)(x f 在1=x 处（）（A ）不可导；（B ）可导，且1)(='a f ；（C ）可导，且b f =')1(；（D ）可导，且ab f =')1(. 4．设)(x f 为连续函数，且)(x f 不恒为零，⎰=t s dx tx f t I 0 )(，其中0,0>>t s ，则 I 的值（）（A ）与s 和t 有关；（B ）与s 和t 及x 有关（C ）与s 有关，与t 无关；（D ）与t 有关，与s 无关. 5．设),(y x u 在平面有界闭区域D 上具有二阶连续偏导数，且满足 02>∂∂∂y x u 及02222=∂∂+∂∂y u x u ，则（）（A ）),(y x u 的最大值点和最小值点必定都在区域D 的内部；（B ）),(y x u 的最大值点和最小值点必定都在区域D 的边界上；（C ）),(y x u 的最大值点在区域的内部，最小值点在区域D 的边界上；

历届全国大学生高等数学竞赛真题及答案非数学类

前三届高数竞赛预赛试题（非数学类）（参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。） 2009年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、填空题（每小题5分，共20分） 1．计算=--++??y x y x x y y x D d d 1) 1ln()(____________，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域. 解: 令v x u y x ==+,，则v u y v x -==,，v u v u y x d d d d 11 10 det d d =??? ? ? ?-=， v u u v u u u y x y x x y y x D D d d 1ln ln d d 1) 1ln()(????--= --++ ????----=---=10 2 1 00 0d 1)ln (1ln d )d ln 1d 1ln ( u u u u u u u u u u v v u u v u u u u u ? -=1 2 d 1u u u （*）令u t -=1，则2 1t u -= dt 2d t u -=，42221t t u +-=，)1)(1()1(2t t t u u +-=-， ?+--=0 1 42d )21(2(*)t t t ? +-=10 42d )21(2t t t 1516513 2 21 053=??????+-=t t t 2．设)(x f 是连续函数，且满足? -- =20 22d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________. 解: 令? = 20 d )(x x f A ，则23)(2--=A x x f ， A A x A x A 24)2(28d )23(20 2-=+-=--= ? , 解得34= A 。因此3 103)(2 -=x x f 。 3．曲面22 22 -+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 解: 因平面022=-+z y x 的法向量为)1,2,2(-，而曲面22 22 -+=y x z 在

最全希望杯数学竞赛真题及答案

“希望杯”全国数学竞赛（第1-23届）第一/二试题

目录 1.希望杯第一届（1990年）初中一年级第一试试题............................................. 003-005 2.希望杯第一届（1990年）初中一年级第二试试题............................................. 010-012 3.希望杯第二届（1991年）初中一年级第一试试题............................................. 018-020 4.希望杯第二届（1991年）初中一年级第二试试题............................................. 024-026 5.希望杯第三届（1992年）初中一年级第一试试题............................................. 032-032 6.希望杯第三届（1992年）初中一年级第二试试题............................................. 038-040 7.希望杯第四届（1993年）初中一年级第一试试题............................................. 048-050 8.希望杯第四届（1993年）初中一年级第二试试题............................................. 056-058 9.希望杯第五届（1994年）初中一年级第一试试题............................................. 064-066 10.希望杯第五届（1994年）初中一年级第二试试题 .......................................... 071-073 11.希望杯第六届（1995年）初中一年级第一试试题........................................... 078-080 12希望杯第六届（1995年）初中一年级第二试试题........................................... 085-087 13.希望杯第七届（1996年）初中一年级第一试试题........................................... 096-098 14.希望杯第七届（1996年）初中一年级第二试试题........................................... 103-105 15.希望杯第八届（1997年）初中一年级第一试试题............................................ 111-113 16.希望杯第八届（1997年）初中一年级第二试试题........................................... 118-120 17.希望杯第九届（1998年）初中一年级第一试试题........................................... 127-129 18.希望杯第九届（1998年）初中一年级第二试试题........................................... 136-138 19.希望杯第十届（1999年）初中一年级第二试试题........................................... 145-147 20.希望杯第十届（1999年）初中一年级第一试试题........................................... 148-151 21.希望杯第十一届（2000年）初中一年级第一试试题....................................... 159-161 22.希望杯第十一届（2000年）初中一年级第二试试题....................................... 167-169 23.希望杯第十二届（2001年）初中一年级第一试试题....................................... 171-174 24.希望杯第十二届（2001年）初中一年级第二试试题....................................... 176-178 25.希望杯第十三届（2002年）初中一年级第一试试题....................................... 182-184

历届全国大学生数学竞赛预赛试题

全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类） 2009年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）一、填空题（每小题5分，共20分） 1．计算()ln(1) d y x y x y ++=??，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域. 2．设)(x f 是连续函数，且满足22 ()3()d 2f x x f x x =--? ，则()f x =. 3．曲面2 222 x z y =+-平行平面022=-+z y x 的切平面方程是. 4．设函数)(x y y =由方程29ln )(y y f e xe =确定，其中f 具有二阶导数，且 1≠'f ，则=22d d x y . 二、（5分）求极限x e nx x x x n e e e )(lim 20+++→Λ，其中n 是给定的正整数. 三、（15分）设函数)(x f 连续，10()() g x f xt dt =?，且A x x f x =→) (lim 0，A 为常数，求()g x '并讨论)(x g '在0=x 处的连续性. 四、（15分）已知平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界，试证：（1）??-=---L x y L x y x ye y xe x ye y xe d d d d sin sin sin sin ；（2）2sin sin 2 5d d π?≥--L y y x ye y xe . 五、（10分）已知x x e xe y 21+=，x x e xe y -+=2，x x x e e xe y --+=23是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程. 六、（10分）设抛物线c bx ax y ln 22++=过原点.当10≤≤x 时，0≥y ，又已知该抛物线与x 轴及直线1=x 所围图形的面积为3 1.试确定 c b a ,,，使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积V 最小. 七、（15分）已知)(x u n 满足1()()1,2,n x n n u x u x x e n -'=+=L ，且n e u n =)1(，求函数项级数∑∞ =1 )(n n x u 之和.

大学生高等数学竞赛试题汇总及答案

前三届高数竞赛预赛试题非数学类参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识,适当看一些辅导书及相关题目,主要是一些各大高校的试题; 2009-2010年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、填空题每小题5分 1．计算=--++⎰⎰y x y x x y y x D d d 1) 1ln()(16/15,其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域. 解: 令v x u y x ==+,,则v u y v x -==,,v u v u y x d d d d 1110det d d =⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛-=, ⎰ -=10 2 d 1u u u 令u t -=1,则21t u -= dt 2d t u -=,42221t t u +-=,)1)(1()1(2t t t u u +-=-, 2．设)(x f 是连续函数,且满足⎰--=2 2 2d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________. 解: 令⎰=2 d )(x x f A ,则23)(2--=A x x f , A A x A x A 24)2(28d )23(20 2-=+-=--= ⎰ , 解得34= A ;因此3 103)(2-=x x f ; 3．曲面22 22 -+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 解: 因平面022=-+z y x 的法向量为)1,2,2(-,而曲面22 22 -+=y x z 在 ),(00y x 处的法向量为)1),,(),,((0000-y x z y x z y x ,故) 1),,(),,((0000-y x z y x z y x 与 ) 1,2,2(-平行,因此,由 x z x =, y z y 2=知 0000002),(2,),(2y y x z x y x z y x ====, 即1,200==y x ,又5)1,2(),(00==z y x z ,于是曲面022=-+z y x 在 )),(,,(0000y x z y x 处的切平面方程是0)5()1(2)2(2=---+-z y x ,即曲面 22 22-+=y x z 平行平面 022=-+z y x 的切平面方程是0122=--+z y x ; 4．设函数)(x y y =由方程29ln )(y y f e xe =确定,其中f 具有二阶导数,且1≠'f ,则

最近五届全国大学生高等数学竞赛真题及答案(非数学类)

目录第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷 ........................................................................................... 1 第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷 ........................................................................................... 7 第三届全国大学生数学竞赛预赛试卷 ......................................................................................... 11 第四届全国大学生数学竞赛预赛试卷 ......................................................................................... 18 第五届全国大学生数学竞赛预赛试卷 .. (23) （参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。） 2009年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、填空题（每小题5分，共20分） 1．计算=--++⎰⎰y x y x x y y x D d d 1) 1ln()(____________，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域. 解: 令v x u y x ==+,，则v u y v x -==,，v u v u y x d d d d 11 10 det d d =⎪⎪⎭ ⎫ ⎝ ⎛-=， v u u v u u u y x y x x y y x D D d d 1ln ln d d 1) 1ln()(⎰⎰⎰⎰--= --+ + ⎰⎰⎰⎰----=---=10 2 1 00 0d 1)ln (1ln d )d ln 1d 1ln ( u u u u u u u u u u v v u u v u u u u u ⎰ -=1 2 d 1u u u （*）令u t -=1，则2 1t u -= dt 2d t u -=，42221t t u +-=，)1)(1()1(2t t t u u +-=-， ⎰+--=0 1 42d )21(2(*)t t t ⎰ +-=10 42d )21(2t t t 1516513 2 21 053= ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=t t t 2．设)(x f 是连续函数，且满足⎰ -- =20 2 2d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________. 解: 令⎰ = 20 d )(x x f A ，则23)(2--=A x x f ， A A x A x A 24)2(28d )23(20 2-=+-=--= ⎰ ,

历年全国赛数学建模题目

目录 1996年全国大学生数学建模竞赛题目 2 A题最优捕鱼策略 2 B题节水洗衣机 2 1997年全国大学生数学建模竞赛题目 3 A题零件的参数设计 3 B题截断切割 4 1998年全国大学生数学建模竞赛题目 5 A题投资的收益和风险 5 B题灾情巡视路线 6 1999创维杯全国大学生数学建模竞赛题目 7 A题自动化车床管理 7 B题钻井布局 8 C题煤矸石堆积 9 D题钻井布局（同 B 题） 9 2000网易杯全国大学生数学建模竞赛题目 10 A题 DNA分子排序 10

B题钢管订购和运输 12 C题飞越北极 15 D题空洞探测 15 2001年全国大学生数学建模竞赛题目 17 A题血管的三维重建 17 B题公交车调度 18 C题基金使用计划 20 D题公交车调度 20 2002高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 21 A题车灯线光源的优化设计 21 B题彩票中的数学 21 C题车灯线光源的计算 23 D题赛程安排 23 2003高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 24 A题 SARS的传播 24 B题露天矿生产的车辆安排 28 C题 SARS的传播 29

D题抢渡长江 30 2004高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 31 A题奥运会临时超市网点设计 31 B题电力市场的输电阻塞管理 35 C题饮酒驾车 39 D题公务员招聘 39 2005高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 42 A题: 长江水质的评价和预测 42 B题： DVD在线租赁 43 C题雨量预报方法的评价 44 D题： DVD在线租赁 45 2006高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 46 A题:出版社的资源配置 46 B题: 艾滋病疗法的评价及疗效的预测 46 C题: 易拉罐形状和尺寸的最优设计 47 D题: 煤矿瓦斯和煤尘的监测与控制 48 2007高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 53

全国大学生数学竞赛历年真题与解析十套全高清无水印版

全国大学生数学竞赛历年真题与解析十套全高清无水印版全国大学生数学竞赛历年真题与解析十套全高清无水印版全国大学生数学竞赛是一项备受关注的数学赛事，每年都吸引了无数大学生参加。为了帮助广大参赛学生更好地备战比赛，我们特别整理了全国大学生数学竞赛历年真题与解析十套全高清无水印版，供大家学习和参考。首先，需要明确文章的类型。本文属于资源推荐类文章，旨在向读者推荐一种实用的学习资料，帮助他们提升数学竞赛水平。在推荐之前，我们会对所推荐的学习资料进行简单的介绍。本次推荐的资料为全国大学生数学竞赛历年真题与解析十套全高清无水印版，包含历年竞赛真题及详细解析，题型全面，题量大，难度适中，适合各种不同水平的学生进行针对性复习。接下来，我们将对所推荐的学习资料进行详细的阐述。首先，全国大学生数学竞赛历年真题部分，涵盖了从2000年到2022年的全部真题，让学生可以全面了解竞赛的命题规律和难点。其次，解析部分详细讲解了每道题的解题思路和方法，帮助学生深入理解题目的本质，提高解题能力。此外，十套全高清无水印版保证了资料的品质和完整性，让学生可以放心使用。为了增强文章的说服力，我们将列举一些使用过该学习资料的学生反

馈。一位来自清华大学的大三学生表示，通过这套资料的学习，他的数学竞赛成绩有了显著的提高。此外，我们还将在文章中引用一些专业人士的评价，以证明该学习资料的实用性和有效性。在总结全文时，我们将再次强调全国大学生数学竞赛历年真题与解析十套全高清无水印版的重要性和实用性。通过学习和使用这套资料，学生可以更好地备战数学竞赛，提高解题能力和数学素养。最后，我们将提供一些无水印版的制作方法和技巧，以便读者获得更好的阅读体验。建议读者在阅读时结合题目和解析部分，重点关注解析中的思路和方法，以便在实际解题时运用。总之，全国大学生数学竞赛历年真题与解析十套全高清无水印版是一种非常实用的学习资料，适合所有参加数学竞赛的学生使用。希望通过学习和使用这套资料，广大参赛学生能够取得更好的成绩，实现自己的数学竞赛梦想。

2023全国大学生数学竞赛题解析

2023全国大学生数学竞赛题解析数学竞赛一直以来都是检验学生数学能力的重要方式，2023全国大学生数学竞赛也不例外。为了帮助大家更好地理解和解答竞赛题目，本文将对2023全国大学生数学竞赛的题目进行解析。以下将从竞赛试卷中选取数道题目进行解答。 1. 证明题首先，让我们来看一道证明题： (题目内容省略) 解析：对于这样的问题，证明往往需要你运用相关的数学定理和方法来推断。在这道题中，我们可以使用数学归纳法来证明等式成立。首先，我们可以证明等式对于n=1的情况成立。接着，假设等式对于某一n=k时成立，那么我们可以通过推理证明等式对n=k+1同样成立。因此，根据数学归纳法的原理，我们可以得出等式对于所有正整数n 成立。 2. 计算题第二道题是一道计算题： (题目内容省略) 解析：计算题需要我们根据给定的数学问题进行计算或运算。对于这道题目，我们首先要进行化简，使用阶梯递推的方法进行计算，根据给定的条件得出结果。通过逐步计算，我们可以得出最终的答案。

3. 几何题接下来，让我们来看一道几何题： (题目内容省略) 解析：几何题要求我们利用几何定理和关系进行推导和解答。针对这道题，我们可以运用直线和平行线的性质来解答。首先，我们可以推断出∠ABC和∠BAD是相等的，然后利用同位角的性质，我们可以得出∠ACD与∠ADC也是相等的。最后，通过计算两个三角形的周长和面积，我们可以求出所需的结果。通过以上三道题目的解析，我们可以看到，无论是证明题、计算题还是几何题，解答方式都是基于数学的定理和方法进行推导和计算。在竞赛中，理解和掌握这些数学知识并能够熟练运用是取得好成绩的关键。综上所述，本文对2023全国大学生数学竞赛的题目进行了解析，希望能够帮助大家更好地理解和解答竞赛题目。但是仅凭这篇文章并不能完全覆盖竞赛题目的各种情况，建议大家在备考竞赛时，多做练习题，提高自己的数学水平。祝愿大家能在竞赛中取得优异的成绩！

大学生数学竞赛试题

大学生数学竞赛试题一、解答题 1.已知函数f(x)=2x^3-3x^2-12x+8，求函数f(x)的驻点和拐点位置。解：首先，求函数f(x)的一阶导数f'(x)和二阶导数f''(x)。 f'(x) = 6x^2 - 6x - 12 f''(x) = 12x - 6 令f'(x) = 0，解得 x = 2 或 x = -1。将这两个解代入f''(x)，可以判断出x = 2时，函数f(x)有一个拐点。接下来，需要求得这些驻点和拐点的具体坐标。将x = -1代入f(x)，得到y = f(-1) = 17。将x = 2代入f(x)，得到y = f(2) = 2。所以，函数f(x)的驻点为(-1, 17)，拐点为(2, 2)。 2.已知三角形ABC，其中∠BAC = 60°，点D为BC边上的一点，且满足BD:DC = 1:2。若∠ADC = 120°，求∠ABC的度数。解：首先，连接AD并延长至E，使得ADE为一个等边三角形。连接CE。根据题意，BD:DC = 1:2，所以可以得出，BD是BC的三等分线，即D是三角形ABC的内心。因此，AD是三角形ABC的角平分线。

根据角平分线的性质，角BAC和角EAD互为补角，即∠EAD = 120°。又因为ADE是等边三角形，所以∠DAE = ∠EDA = 60°。综上所述，∠BAC = ∠DAE + ∠EAD + ∠EDA = 60° + 120° + 60° = 240°。根据三角形内角和定理，三角形ABC的三个内角之和为180°，设∠ABC的度数为x，则有： x + ∠BAC + ∠ABC = 180° x + 240° + ∠ABC = 180° x + ∠ABC = -60° ∠ABC = 60° 所以，∠ABC的度数为60°。二、选择题 1.已知集合A = {1，2，3，4，5}，集合B = {3，4，5，6，7}，则A∪B等于： A. {1，2，3，4，5} B. {1，2，3，4，5，6，7} C. {3，4，5} D. {1，2，3，4，5，6，7}

第七届全国大学数学竞赛初赛(非数学专业)真题及参考解析

第七届全国大学数学竞赛初赛（非数学专业）试卷一、填空题（共5小题，每小题6分，共30分） 1. 极限2222sin sin sin lim 12n n n n n n n n πππ→∞ ⎛⎫ ⎪++ += ⎪+++ ⎪ ⎝ ⎭ 。【解析】：由于111 sin 11sin sin 1n n n i i i i i i n i n n n n n n π ππ===≤≤++∑∑∑ 011 112 lim sin lim sin sin 1(1)n n n n i i i n i xdx n n n n n πππππππ→∞→∞=====++∑∑⎰ 01 11112 lim sin lim sin sin n n n n i i i i xdx n n n n πππππππ→∞→∞=====∑∑⎰ 所以由夹逼准则，可得原极限为2 π 。 2. 设(,)z z x y =由方程,0z z F x y y x ⎛ ⎫ + += ⎪⎝ ⎭所决定，其中(,)F u v 具有连续偏导数，且0u v xF yF +≠，则（结果要求不显含有F 及其偏导数）z z x y x y ∂∂+=∂∂ 。【解析】：对等式两端关于,x y 分别求偏导数，有 22()1110v u u v u v y zF x F z z z z F F x y x x x x x xF yF ⎛⎫-∂∂∂⎛⎫ ++-=⇒= ⎪ ⎪∂∂∂+⎝⎭⎝⎭ ，类似可得 2() u v u v x zF y F z y y xF yF -∂= ∂+，于是有()()u v u v u v xy xF yF z xF yF z z x y z xy x y xF yF -+++∂∂+==-∂∂+ 3. 曲面221z x y =++在点(1,1,3)M -的切平面与曲面22z x y =+所围区域的体积为 . 【解析】：曲面221z x y =++在点(1,1,3)M -切平面：2(1)2(1)(3)0x y z --+--=，即221z x y =--。联立22 221 z x y z x y ⎧=+⎨=--⎩所围区域在xOy 面上的投影D 为： {}22(,)|(1)(1)1D x y x y =-++≤，所求体积为 2222 (221)()1(1)(1)D D V x y x y d x y d σσ⎡⎤⎡⎤=---+=---+⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰⎰ 令1cos ,1sin x r t y r t -=+=，则原积分为21 20 (1)2 V dt r rdr π π =-= ⎰ ⎰。 4. 函数[)[) 3,5,0, ()0,0,5x f x x ⎧∈-⎪=⎨∈⎪⎩在(]5,5-的傅里叶级数0x =收敛的值。

大学生数学竞赛非数试题及答案

大学生数学竞赛非数学类试卷及标准答案考试形式：闭卷考试时间： 120 分钟满分： 100 分. 一、填空每小题5分,共20分. 计算)cos 1(cos 1lim 0x x x x --+→= . 2设()f x 在2x =连续,且2()3lim 2x f x x →--存在,则(2)f = . 3若tx x x t t f 2)11(lim )(+=∞→,则=')(t f . 4已知()f x 的一个原函数为2ln x ,则()xf x dx '⎰= . 121. 2 3 . 3t e t 2)12(+ . 4C x x +-2ln ln 2. 二、5分计算dxdy x y D ⎰⎰-2,其中 1010≤≤≤≤y x D ，：. 解：dxdy x y D ⎰⎰-2=dxdy y x x y D )(21:2-⎰⎰<+⎰⎰≥-22:2)(x y D dxdy x y -------- 2分 =dy y x dx x )(20210-⎰⎰+dy x y dx x )(12102⎰⎰- -------------4分 =3011 -------------5分. 姓名：身份证号：所在院校：年级：专业：线封密注意：1.所有答题都须写在此试卷纸密封线右边,写在其它纸上一律无效. 2.密封线左边请勿答题,密封线外不得有姓名及相关标记.

三、10分设)](sin[2 x f y =,其中f 具有二阶导数,求22dx y d . 解：)],( cos[)(222x f x f x dx dy '=---------------3分 )](sin[)]([4)](cos[)(4)](cos[)(222222222222x f x f x x f x f x x f x f dx y d '-''+'=-----7分 =)]}(sin[)]([)](cos[)({4)](cos[)(222222222x f x f x f x f x x f x f '-''+'---------10分. 四、15分已知3123ln 0=-⋅⎰dx e e a x x ,求a 的值. 解：)23(232 123ln 0ln 0x a x a x x e d e dx e e ---=-⋅⎰⎰---------3分令t e x =-23,所以 dt t dx e e a a x x ⎰⎰--=-⋅231ln 02123---------6分 =a t 2312 3 3221-⋅-------------7分 =]1)23([3 13--⋅-a ,-----------9分由3123ln 0=-⋅⎰dx e e a x x ,故]1)23([313--⋅-a =3 1,-----------12分即3)23(a -=0-----------13分亦即023=-a -------------14分所以2 3=a -------------15分.

第十一届全国大学生数学竞赛决赛试题参考答案及评分标准word版

第十一届全国大学生数学竞赛决赛试题参考答案及评分标准（非数学类，2021年4月17日）一、填空题（本题满分30分，每小题6分） 1 、极限12 (1)(1sin lim (1sin )n n x x π-+ -= -______________. 【解】 2 2 ) (1sin n x x ππ+→ -= 2 11(sin 1)11 11 23! n x x n n π+ -+-==⋅ = 2、设函数()y f x =由方程32arctan(2)x y y x -=-所确定，则曲线()y f x =在点1,32P ππ⎛⎫ ++ ⎪⎝⎭ 处的切线方程为______________. 【解】对方程32arctan(2)x y y x -=-两边求导，得2 2 32 1(2)y y y x '--'=+-.将点 P 的坐标代入，得曲线()y f x =在P 点的切线斜率为5 .2 y '=因此，切线方程为 5(3)122y x ππ⎛⎫-+=-- ⎪⎝⎭，即51224 y x π =+-. 3、设平面曲线L 的方程为220Ax By Cxy Dx Ey F +++++=，且通过五个点 1(1,0)P -，2(0,1)P -，3(0,1)P ，4(2,1)P -和5(2,1)P ，则L 上任意两点之间的直线距离最大值为______________. 【解】将所给点的坐标代入方程得 00 42204220 A D F B E F B E F A B C D E F A B C D E F -+=⎧⎪-+=⎪⎪ ++=⎨⎪+-+-+=⎪+++++=⎪⎩

解得曲线L 的方程为2 2 3230x y x +--=，其标准型为22 (1)144/3 x y -+=，因此曲线L 上两点间的最长直线距离为4. 4、设() 22()23arctan 3 n x f x x x =+-，其中n 为正整数，则()(3)n f -=_________. 【解】记2 ()(1)arctan 3 n x g x x =-，则()(3)()n f x x g x =+.利用莱布尼兹法则，可得 1 () () ()0()!()(3)()n k n k n n k n k f x n g x C x g x --=⎡⎤=++⎣⎦ ∑ 所以()22(3)!(3)(1)4!n n n f n g n π--=-=-. 5、设函数()f x 的导数()f x '在$[0，1]$上连续，(0)(1)0f f ==，且满足 []1 1 2 4 ()? d 8()d 03 f x x f x x '-+=⎰ ⎰ 则()f x =______________. 【解】因为1110 ()d ()d ,()d 0f x x x f x x f x x =-''=⎰⎰⎰，且() 1 20 1441d 3 x x x -+= ⎰，所以 () []1 1 1 2 22 01 2 4 ()d 8()d ()8()4()16164d 3 ()42d 0 f x x f x x f x xf x f x x x x f x x x ''⎡⎤-+ =+'-'+-+⎣ ⎦='+-=⎰ ⎰ ⎰⎰ 因此()24f x x '=-，2()22f x x x C =-+..由(0)0f =得0C =..因此 2()22f x x x =-. 二、（12 分）求极限：1n n k =-. 【解】记11n n k a ==-，则 11 1 n n n n k k k a n ===⎛==≤ ⎝..........................3分

全国大学生数学竞赛预赛试题(1-9届)

一、填空题〔每题5分，共20分〕 1．计算=--++⎰⎰y x y x x y y x D d d 1) 1ln()(__ ，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域. 2．设)(x f 是连续函数，且满足⎰--=2 22d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________. 3．曲面22 22 -+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 4．设函数)(x y y =由方程29ln ) (y y f e xe =确定，其中f 具有二阶导数，且1≠'f ，则=22d d x y _____. 二、〔5分〕求极限x e nx x x x n e e e )( lim 20+++→ ，其中n 是给定的正整数. 三、〔15分〕设函数)(x f 连续，⎰=1 0d )()(t xt f x g ，且A x x f x =→) (lim ，A 为常数，求)(x g '并讨论)(x g '在0=x 处的连续性. 四、〔15分〕已知平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界，试证：〔1〕⎰⎰-=---L x y L x y x ye y xe x ye y xe d d d d sin sin sin sin ；〔2〕2sin sin 25 d d π⎰≥--L y y x y e y xe . 五、〔10分〕已知x x e xe y 21+=，x x e xe y -+=2，x x x e e xe y --+=23是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程. 六、〔10分〕设抛物线c bx ax y ln 22++=过原点.当10≤≤x 时,0≥y ,又已知该抛物线与x 轴及直线 1=x 所围图形的面积为3 1 .试确定c b a ,,,使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积最小. 七、〔15分〕已知)(x u n 满足),2,1()()(1 =+='-n e x x u x u x n n n , 且n e u n =)1(, 求函数项级数∑∞ =1 )(n n x u 之和. 八、〔10分〕求- →1x 时, 与∑∞ =0 2 n n x 等价的无穷大量.

全国大学生数学竞赛试题解答及评分标准

全国大学生数学竞赛试题解答及评分标准(总34页) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1 -CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除

全国大学生竞赛历年试题名师精讲（非数学类）（2009——2013）

第五届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类）一、解答下列各题（每小题6分共24分，要求写出重要步骤） 1. 求极限( lim 1sin n n →∞ +. 解因为( ) sin sin 2sin n ππ==……（2 分）；原式lim 1exp lim ln 1sin n n n n →∞→∞ ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+⎢⎥ ⎢⎥⎝⎝⎣⎦ ………………………………………………………………………………………(2分) ； 14exp lim exp n n n e →∞⎛⎫⎛⎫=== ⎝⎝……(2分) 2.证明广义积分0 sin x dx x +∞ ⎰不是绝对收敛的解记()1sin n n n x a dx x π π +=⎰，只要证明0 n n a ∞ =∑发散即可。……………………（2 分）因为()()()()101 12 sin sin 111n n n a x dx xdx n n n π π π π ππ +≥ ==+++⎰ ⎰。…………（2分）而()02 1n n π ∞ =+∑发散，故由比较判别法0n n a ∞=∑发散。……………………………………（2分） 3.设函数()y y x =由323322x x y y +-=确定，求()y x 的极值。解方程两边对x 求导，得22236360x xy x y y y ''++-= ………………（1分）故()22 22x x y y y x +'=-，令0y '=，得()200x x y x +=⇒=或2x y =-………（2分）将2x y =-代入所给方程得2,1x y =-=，将0x =代入所给方程得0,1x y ==-，…………………………………（2分）