2010年拓普杯天津市大学生物理竞赛参考答案及评分标准
2010年“拓普杯”天津市大学生物理竞赛参考答案及评分标准
一、请写出国际单位制中七个基本物理量单位的名称和量纲。
答：长度（m ）2分 质量（kg ）2分 时间（s ）2分 电流（A ）1分 热力学温度（K ）1分 发光强度（cd ）1分 物质的量（mol ）1分
二、一列静止长度为600米的超快速火车通过一个封闭式的火车站，据站长讲车站全长为450米，火车通过时正好装进车站，即站长观察到火车后端刚好在进口处的同时其前端刚好在出口处。求: （1）火车的速率是多少？ (2) 对火车上的乘务员来说，他观测到的车站长度是多少？
解：（1
）L L = 4分
V ==
2分 （2
）L '= 2分 337.5m = 2分
三、航天英雄乘坐的神州六号舱容积为9.0立方米，在标准状态下，求：（1）舱内空气的质量是多少？（2）舱内氮气的分压是多少？（3）在正常照度下，人眼瞳孔直径为3.0mm ，在可见光中眼最敏感的波长λ=550nm 。若晴好白天飞船位于长城正上方350公里处，设长城宽度5.0米，航天英雄能直接看清长城吗？（按质量百分比计，氮气76﹪，氧气23﹪，氩气1﹪，其它气体可略，它们的分子量分别为28， 32， 40）
解：标准状态，气化P 0=1atm,气温为0 0c ，空气平均mol 质量3
109.28-?=μ千克/摩尔。
1. 内质量： 33
0V 910M 28.91011.6V 22.4
μ-?=?=??=（千克） 3分
2. 由气体状态方程可得：RT M
V μ
=
0P 2分 RT M V P 2
2
2N
N N μ=
1分
0.784428
28.9
0.76M
M P P 2
22N N 0
N =?=?
=
∴
μμ ()atm 0.78440.7844P P 0N 2
==∴ 1分 3. 依瑞利判据知人眼的最小分辨角为
51.22
2.210rad
D
?λ
δ-==? 2分
可分辨最小间距：77102.23500005y =??=?=-?δδL (米) 1分 看不到长城！
四、将质量相同、温度分别为T 1、T 2 的两杯水在等压下绝热地混合，试问：（1）此系统达
到最后状态，计算此过程的熵变。（2）分析判断熵是增加、减少、还是未变？要有推算过程并对结论说明理由。（设水的摩尔等压热容量为C p ，每杯水的量为ν摩尔） 解：（1）两杯水构成一个孤立系统。
设想第一杯水依次与温度为T T T ?+11,，T T ?+21，…，
2
2
1T T +的热源接触。
设想第一杯水依次与温度为T T T ?-22,，T T ?-22，…，2
2
1T T +的热源接触。 初态： 终态：
设摩尔等压热容量为P
，每杯水为νmol 。
p p dQ C ndT
=
，ν=n 则:p p dQ C dT ν= （3分）
总的熵变应等于两杯水熵变之和：
对第一杯水熵变：12121
1
T 2
2
12
11
S ln
2T T T P P T T C dT
T T dQ
C T
T
T νν+++?=
==?? （1分） 对第二杯水熵变：12122
2
T 2
2
12
22
ln
2T T T P P T T C dT
T T dQ
S C T
T
T νν+++?=
==?
?
（1分） 总熵变为：()2
121
21212P 1212
S S C ln ln ln 224P T T T T T T S C T T TT νν+??
++?=?+?=+= ???（1分） （2）.由：221212
12T 2S ln 4P T TT C TT ν++?= 212221212T ,T T T T T >+∴≠
2212121212
P 1212
T 222S ln C ln 044P T TT TT TT C TT TT νν+++∴?=>= （2分）
即0>?S 。此过程熵增加。（2分）
水在等压绝热的混合过程，系统变化时自发宏观过程，总是向熵增加的方向进行。
五、在两正交偏振片M 、N 之间，放置一厚度为0.5mm 的石英晶片（n e
主 =1.5534，n o =1.5443）
，其光轴Z 与M 、N 之间夹角均为450，垂直入射到M 的自然光的波长为0.5μm ，设所有元件对光没有散射和吸收，问：(1) 在偏振片N 后能看见多少条等厚干涉条纹？(2) 如果所放置的石英晶片为如图所示的劈尖形状（其劈背厚度a=0.5mm ，光轴不变），则在偏振片N 后A 处（对应于劈尖最顶端处）观测到的光强度为多少？ 解：.
这是一个劈尖干涉的情况：M 的投射光为线偏光，设光强为m I ，它振动的方向与晶轴夹角45。
，故晶体出射光强： m m e I I I 2145cos 2
=
=。
m m o I I I 2
145sin 2==。 M
A
)
,(),,(21p T p T
此时o ，e 光（在劈背）光程差：
2()o e d
n n πδλ
=
-主
o ，e 光出射后的光强： m e eN I I I 4145cos 2
=
=。
m o oN I I I 4
145cos 2==。 eN I 与oN I 又有附加光程π，在N 后看劈背出来eN I ，oN I 的相位差：
（2k+1）π （k=0，1，2，3….） 暗纹
2()o e d
n n πδπλ
=
-+=主 （5分）
2k π （k=0，1，2，3….） 明纹
若是明纹：36
10.5101()(1.5534 1.5443)9.620.5102
e o d
k n n ξλ--?=-+=-+=?（2分） 可看到10条条纹
（2）在劈尖的最顶端A 处，其d=0mm 则：δπ= 为暗纹（2分） 则其光强0I =（1分）
六、空气折射率n 约为1.0003。用下列给定装置：一台迈克尔逊干涉仪；扩展钠光灯面光源（平均波长为λ）；两个完全相同的长度为L 的玻璃管，侧面带有阀门都是打开的，其内为一个大气压的空气；一台高精度真空泵及真空管、阀等配件；若干个可升降光学支架。设计一个可行方案，要求：（1）画出实验设计光路图；（2）简略写出主要操作步骤；（3）推算出空气折射率n 的数学表达式。 解：3分
4分
实验步骤：
1、 打开钠光灯电源开关，调节光强，并水平照射到干涉仪的
分光板G1上。 2、 调整光束与G1成45度。 3、 调整定臂光路，发现从定镜M2反射到钠光入射孔附件的
光斑有四个，其中光强最强的那个光斑就是要调整的光斑。 4、 反复调整到两个臂上的反射光斑都应进入钠灯反射孔，且
在毛玻璃屏上的两组光斑重合。 5、 用扩展钠光灯，按上诉步骤反复调节，直到毛玻璃屏上出现清晰的等倾干涉条纹，
再在一臂光路中放入真空管。 6、 调换另一个玻璃管，观察现象。
记录数据，并画出表格，绘出N 与△P 的关系变化曲线。 3分
数学表达式：
空气折射率与其密度成正比：
ρρ0
0/1/1=--n n
ρ0
，n 0
是空气在热力学标准状态下的密度和折射率；ρ，n 对应于任意温度和压强下
的密度和折射率。
根据理想气体状态方程有：ρ/ρ0
=p T 0
/P
T=n -1/
n 0
-1
如果温度不变：)/()/
1(/0
T p n T
p n
?-=?? 其中，p n ??/为压强变化引起的
折射率变化。因为)1(0
t T T
α+=
，其中α为相对压强系数。
所以有))1/()(/
1(
α+?-=?p n p n
由于折射率的变化，引起干涉仪两束光路光程差的变化：
λδ
N nL =?=2, 其中N 为相应条纹干涉的变化数，为光源的波长。
所以：
)/)(2/)(1(10
p N L t p n
?++
=λα，n 0
为空气折射率。
七、在光滑水平桌面上，有一长为L 质量为m 的匀质金属棒，绕一端在桌面上旋转，棒的另一端在半径为L 的光滑金属圆环上滑动，接触良好。旋转中心的一端与圆环之间连接一电阻R （不影响棒转动），若在垂直桌面加一均匀磁场B ，当t=0，起始角θ=0处，金属棒获得初角速度为ω0。求：（1）任意时刻t 金属棒的角速度ω ；（2）金属棒停下来时转过的角度θ=？（其它电阻、摩擦力不计）。 解：（1）某时刻大，棒的角速度为ω，
此时，棒切割磁力线获得电动势：2
1B L 2εω=，棒中电流：2B L I R 2R
εω== 2分
棒中（r-r+dr ）所受安培力为：：dF IBdr =，
dr 所受的磁力矩：M d IBrdr =；
合力矩：24
20
124L
L
B L M dM IBrdr IBL R
ω=
===?
?
2分
2241
)31(0)43d M J
J mL dt B L d d mL R dt dt
ωωω
ω===-<由力学转动方程：（转动惯量
220
22
3B 22
400
B 4B ......24L t t
Rm
d L dt
Rm
d L
dt e Rm
ω
ωω
ωω
ωωω
-∴=-=-
∴=?
?分量变量：积分:分
22
3B 40000
22
2..2dt
4.........................................23L t Rm d d dt d e dt
Rm B L
θθ
ωθωθωωθ-∞=?==∴=??（）分分
八、粒子在无限深方势阱 [-a/2，a/2] 内作一维运动的波函数为a
x n A n πψcos
=（n=1,2,3,……）。求：(1) 归一化常数A ；(2) 粒子的零点能；(3) 第一激发态，粒子在 [a/8，a/2] 间出现的几率； (4) 粒子运动的坐标不确定度()
2
2x x x -=
?（x 为位移平均值，2
x 为位移平方的平均值），由不确定关系，估算在基态时相应的动量不确定度p ?不小于多少？
解：
（1）由归一化条件：
/2
2
/2
1a n a dx ψ-=?
1分
得 /2
/22
2
2
2/2/221cos
cos 122
a a a a n x
n a a A xdx A dx A a
π
π--+==?=??
A ∴= 1分
所以，归一化的波函数为：()1,2,3n n x n a
π
ψ==
（2）零点能即基态能，这是1n =
可由111
?H E ψψ= 1分 即2
22
2
11122
(2/cos )22a x E m x a m a ππψψ?-
==? 2
2
2
122
28h E m a ma π∴=
= 1分
（3）第二激发态2n = 波函数为
22x a
π
ψ= 1
分 2
228
a a dx ρψ∴=? 1分 228
231)0.29684a a x dx a π
π
==-≈? 1分 （4）基态下：/2
/2
2
21/2
/2
)0a a a a x x dx x x dx a
π
ψ--=
==?
?
1分
22/2
/22
2
2
221
2/2
/22cos 122a a a a a a x x dx x xdx a a πψπ
--==
=-?
?
1分
x ∴?===
由不确定关系：2
x p ???≥
222
6(6)p a ππ∴?≥- p ?不小于2
226(6)
a ππ- 1分 九、有一不带自由电荷铁电体（去掉外电场仍然保持极化状态的电介质）长圆筒，其长度为
L ，内外半径为a 、b ，极化强度矢量p=k r/r 2 (k 为常数，介质内部无极化电荷)，相对介电常数为εr 、相对磁导率为μr ，求：（1）圆筒内外的电场强度E 、电位移矢量D 分布；（2）若圆筒绕其中心轴以匀角速ω转动，圆筒内外的磁场强度H 、磁感应强度B 分布。 解：
极化体电荷密度：'
111()()0k
D p r p r r r r r r
ρ??=-?=?=?=?? 1分 极化面电荷：'
a r a
r a
r a
k
k
p n p r r
a
σ====?=-?=-
=- 0.5分
'
b k
b
σ=
0.5分 圆筒表面单位长度的极化电荷：
''
212a a a k λπσπ=??=- 1分 ''
212b b b k λπσπ=??= 0.5分
由高斯定理求极化电荷产生附加场'E 分布：
000()'
'()20()
a r a k E a r
b r
r r b λπεε?
?==-<? 1分
由于00E =，故0''E E E E =+=，故介质内外电场分布：
00()
'()0()
r a k
E E a r b r r b ε?? 0.5分
由0D E P ε=+，求D 分布，介质外0E =，0P =，故：
000()()0()0()
r a k k D a r b r r r b εε?
?
=-+=<? 1分
筒旋转，内外表面异号极化电荷形成流向相反的载流长直螺线管，单位长度圆筒面荷','a b λλ旋转形成电流密度：
'222a a j k k ωω
λπωππ=?
=-?=- 1分 '222b b j k k ωωλπωππ
=?=?= 1分 螺线管内部，H nI j ==，外部为0，磁场叠加：
0,(),()0,()r a H k a r b r b ω
=<?
1分
由0B H μμ=，求得B 的分布：
00,(),()0,()r r a B k a r b r b μμω
=<?
1分
十、质量为m 的质点A ，在一个光滑且足够大的水平桌面上运动，质点A 系一轻绳子，绳子穿过桌面上一光滑小孔O ， 另一端挂一质量也为m 的质点B 。若A 在桌面上离O 点为a 的地方，沿垂直于OA 的方向以初速度29ga 射出，
证明质点A 在以后运动中离O 点距离必在a 与 3 a 之间。（g 为重力加速度）
解：
当A 获得初速度后，离心力大于绳子拉力，有向外运动的趋势，速度的径向分量Vr≠0，当离心力和拉力平衡时，由于惯性仍有向外运动的趋势，但Vr 在减小，当达到径向最高处时，Vr=0，A 的速度垂直径向，这时的上升速度V B =0，此后开始向内运动趋势，达到最近处。 A ，B 组成质点系，在运动中，A ，在水平方向之手绳子拉力作用而B 最在竖直方向只受拉力和重力作用，拉里为内力，故系统整过过程角动量守恒，机械能守恒，故初态和A 最高点处作为末态来列方程，设A 在最高点处速度为V ，此时B 的速度为0，上升高度设h 故 角动量守恒：0)(v m h a am A A += （1）2分 机械能守恒：
2
202
121A
A B A v m gh m v m += （2）3分 由于m A =m B =m 化简：??
?
??+=+=）（4212)
3()(2
200A A v m gh v v h a av 由（3）0a
v v a h
=
+ 1分
0v =和4）化简 3
2
4140(2)(47)0
h ah ah h h a h a --=-+=
7
0,2,(4
h h a h a ===-得舍去） 3分
a 十一、现有一质量半径为a 的均匀带电圆薄盘，其面电荷密度为σ，求圆盘边缘处的电势大小。（设无穷远处电势为零）