高中数学立体几何详细教案-知识讲解

【中学数学教案】

立体几何教案

一， 空间直线与直线的关系

a ，相交

b ，平行

c ，异面 a , 相交直线

b, 平行公理：空间中平行于同一条直线的两条直线平行

c, 异面直线：

1，求异面直线所成角问题

注：利用平行公理找角，利用余弦定理计算，结果要锐角或直角

异面直线所成角的范围

(]9000

,

㈠ 平移法利用平行公理把异面直线所成的角转化为相交直线所成的角 例：正方体D C B A ABCD 1

1

1

1

-

中，E ，F 分别是C 1

1

C 和B B 中点，则直线AE

和BF 所成角的余弦值

㈡ 补形法

补形：底面是直角三角形的直三棱柱可以补成一个长方体 例：在直三棱柱

ABC C B A -111中，90

=∠BCA ，点

F

D 1

1

,分别是

C A B A 1

1

1

1

,中点，BC=CA=C C 1

，则F 1

1

A 与D

B 所成角的余弦值

A 、

1030 B 、2

1

C 、1530

D 、1015

2，求异面直线之间的距离问题

和两条异面直线垂直相交的直线叫做异面直线的公垂线，

公垂线夹在两条异面直线之间的长度叫做异面直线的距离。

二， 空间直线和平面关系

a , 直线与平面平行

b , 直线与平面垂直

c , 直线与平面斜交——射影定理和三垂线定理

a, 线面平行

1， 判定定理： 若平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线和这个平

面平行。

2， 性质定理：若一条直线和一个平面平行，则过这条直线的平面和这个已知平面的交

线必和这条直线平行。

b, 线面垂直

1， 判定定理： I, 若一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线和这

个平面垂直。

II, 若两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个

平面。

2， 性质定理： I ，若两条直线同垂直于一个平面，则这两条直线平行。

II，过一点能且仅能做一条直线与一个平面垂直。

c, 射影定理

1，射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长。

2，相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长。

3，垂线段比任何一条斜线段都短。

d, 三垂线定理

1，平面内的一条直线，若和斜线在平面内的射影垂直，则这条直线和斜线垂直。

2，平面内的一条直线，若和平面的斜线垂直，则这条直线和斜线在平面内的射影垂直。

三，空间平面和平面的关系

a, 面面平行 b, 面面垂直 c, 面面斜交

a , 面面平行

1，判定定理：I，如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个

平面平行。

II，垂直于同一条直线的两个平面平行。

III 如果一个平面上的两条相交直线分别和另一个平面上的两条直线平

行，那么这两个平面平行。

2，性质定理： I，如果两个平行平面分别和第三个平面相交，那么它们的两条交线平

行。

II，夹在两个平行平面间的平行线段的长相等。

III，如果两个平行平面中，有一个平面和一条直线垂直，那么另一个平

面也和这条直线垂直。

b, 面面垂直

1，定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，则称这两个平面互相垂直。

2，判定定理： 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。

3，性质定理：I ， 如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线

垂直于另一个平面。

II ， 如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二

个平面的直线，在第一个平面内。

III ，如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线也垂直于

第三个平面。

c, 二面角

定义：一个平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫做半平面，

从一条直线出发的两个半平面所组成的图形，叫做二面角。 这条直线叫做二面角的棱。

二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的

两条射线，两条线所成的角叫做二面角的平面角。

空间直线，平面的做题方法。

一、 空间平行关系转化图及相关定理

I ，线面平行的判定方法

①平行关系转画图???行利用面面平行证线面平行利用线线平行证线面平

②向量法（后面讲）

③线面平行定义:直线与平面没有公共点

II ，线线平行关系的判定

常见的线线平行的判断方法有

①平行关系转画图从面面平行到线面平行从线面平行到线线平行平行公理??

?

??

②三角形，平行四边形（菱形，矩形，正方形）梯形中位线性质

在找三角形中位线是常常利用平行四边形（菱形，矩形，正方形）对角线互相平分 ③利用平行线分线段成比例定理推论找平行线

平行于三角形一边，截其它两边或两边的延长线，所得的对应线段成比例

④向量法（后面讲）

⑤垂直于同一平面的两条直线平行

例 如图所示：已知E ，F ，G ，M 分别是四面体的棱AD ，CD ，BD ，BC 的中点，求证： AM||面EFG

B

C

B

C

设计说明：可以通过面面平行证线面平行 例 已知正方体ABCD-D C B A 1

1

1

1

，棱长为a,E,F 分别在B A 1

，BD 上，且BF E B =1

求证：EF||平面B C BC 1

1

法一：

法二：

III 面面平行关系的判定

面面平行判定方法

①平行关系转画图???行利用线线平行证面面平行利用线面平行证面面平

②向量法（后面讲）

③垂直于同一直线的两个平面平行

④面面平行的定义：两个平面没有公共点

例 三棱柱ABC-C B A 1

1

1

，D 是BC 上一点，且B A 1

||平面D A C 1，D 1是C B 1

1中点，

法二也是从线线平行到线面平行，做平行线构造平行四边形证线线平行

求证：平面

D A B 1

1

||平面D A C 1

例1如图所示正方体ABCD-

D

C B A 1

1

1

1

的棱长都是a,M,N 分别是下底面棱

C B B A 1

1

1

1

,

的中点，P 是上底面棱AD 上一点，AP=3

a

，过P ，M ，N 的平面交上底面于P ，Q ，Q 在CD 上，则PQ=

答案：

a 3

2

2 二 ，空间垂直关系转化图及相关定理

典型例题

I ， 线面垂直的判定与性质

线面垂直与面面垂直是今后我们要研究的主要问题。问题的关键是线线垂直。 线线垂直的判定方法

①空间线面垂直证线线垂直 ②利用三垂线定理 ③向量法

④利用勾股定理算垂直 线面垂直的判定方法 ①空间垂直关系转化图??

?直利用面面垂直证线面垂

直利用线线垂直证线面垂 线线垂直?????←??????→?线面垂直定义线面垂直的判定定理线面垂直??????←??????→?面面垂直的性质定理面面垂直的判定定理面面垂直

②向量法

例1如图所示，AB 圆O 的直径，C 为圆O 上一点，ABC 面⊥AP ，B P A E ⊥于E ，CP AF ⊥于F ，

求证：AEF BP 平面⊥

练习：如图已知PA 垂直于矩形ABCD 所在的平面，M ，N 分别是AB ，PC 的中点，若

45=∠PDA 求证：PCD 面⊥MN

例2、直三棱柱ABC C B A -1

1

1

中，M 为AC 中点

求证：

BMC 1

1

平面⊥C A

本题通过线线垂直证明线面垂直，在找

线面垂直条件时采用了三垂线定理和圆的直径对直角的性质

提示：取PD 中点Q ，证AQ 与面

PCD 垂直，从而利用“线面垂直的性质定理”证MN 与面PCD 垂直

设计说明：

①牢牢把握直（正）棱柱，正棱锥的结构特征对于研究空间几何问题（空间平行关系的判定与性质及空间垂直关系的判定与性质）有很大帮助。

②在三视图的环境下证明线面，面面关系是几何证明的一个重点 练习：⑴如图所示，直三棱柱ABC-C B A 1

1

1

中，C A C B 1

1

1

1

=，B A A C 1

1

⊥，M ，N

是

B A 1

1

，AB 的中点，

⑴求证:

B A

C AB M 1

1

1

面⊥

⑵求证：

AM B A ⊥1

⑶求证：平面C N B 11

面⊥C

AM

练习：如图，在直三棱柱ABC-C B A 1

1

1

中，AB=BC=B B 1

，D 为AC 的中点

⑴求证:BD ||C A 1

1

面B

⑵若B D A

A C 1

1

面⊥求证：A B C B 1

1

1

1

AB 面⊥

⑶在⑵的条件下，设AB=1，求三棱锥B-

D C A 1

1

的体积

II ，面面垂直的判定与性质

面面垂直的判定方法

①空间垂直关系转化图：利用线面垂直证面面垂直 ②向量法

例1如图，ABC ?为正三角形，ABC 平面⊥EC ，BD||CE ，且CE=CA=2BD ，M 是EA 的中点， 求证：⑴DE=DA

⑵平面BDM ⊥平面ECA ⑶平面DEA ⊥面ECA

例2已知BCD ?中，90

=∠BCD ，BC=CD=1，BCD 面⊥AB ，60ADB

=

∠，E ，F

分别是AC ，AD 上动点，且

()10AD

BF

AC AE <<==λλ 求证：⑴不论λ为何值时，总有平面BEF ⊥面ABC ⑵当λ为何值时，平面BEF ⊥面ACD

第二问是存在性问题 当BEF ⊥面ACD 时

由一问可知ABC 面⊥EF 又∵AB C B E ?∴B E EF ⊥∵BEF ⊥面ACD ，BEF BE ?

EF ACD BEF =?面面∴ACD BE 面⊥∵ACD AC ?∴AC BE ⊥

取AC 中点N,证明DN||BN 再证BN ⊥面ECA ，利用线面垂直的性质定理知DM ⊥面ECA 最后利用线面垂直证面面垂直

利用射影定理求AE 从而求λ 设计说明：

①本题是存在性问题，解决存在性问题可以把结论当已知探索使得已知成立的充分性条件 ②解决与空间几何有关的存在性问题最好用向量法

练习：1、如图，在矩形ABCD 中，AB=2BC ，P ，Q 分别为线段AB ，CD 的中点，EP ⊥面ABCD ⑴求证：DP ⊥面EPC

⑵问在EP 上是否存在F ，使平面AFD ⊥面BFC

2、如图所示在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是60

=∠DAB ，且边长为a 的菱形，侧面

PAD 为正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD ⑴若G 为AD 的中点，求证：PAD 面⊥BG ⑵求证：PB A D ⊥

⑶若E 为BC 中点，能否在棱PC 上找到一点F ，使平面ABCD 面⊥DEF ，并证明你的结论

分析：问题⑶是存在性问题，可以把结论当已知找条件，寻找的过程可省略。但本题要求证明即把条件当已知证结论 1、 如图所示，在四棱柱ABCD-D C B A 1

1

1

1

中，已知DC=D D 1

=2AD=2AB ，AD ⊥DC ，AB||DC

⑴求证:

C D A C 1

1

⊥

⑵设E 是DC 上一点，试确定E 的位置，使

BD ||A 1

1

面E D ，并说明理由

问题⑴利用线线垂直证线面垂直，在寻找线线垂直条件AC DP ⊥时采用“算垂直”的方法

一、折叠问题

例如图，四边形ABCD 中，AC||BC ，AD=AB ，45

=

∠BCD ，90

=

∠BAD ，将ABD ?沿

对角线BD 折起，记折起后点的位置为P ，且使平面PBD ⊥面BCD

⑴求证：平面PDC 面⊥PBC

⑵在折叠前的正方形ABCD 中，做AE B D ⊥于E ，过E 作B C EF ⊥于F ，求在折起后的图形中PFE ∠的正切值

设计说明：对于折叠问题，关键是抓住图形折叠前后的不变量及重要的折叠条件

空间直角坐标系及空间向量法

一， 空间直角坐标系

1、右手系：伸出右手，弯曲四指使得四指与掌面垂直，大拇指向上垂直翘起，四指的方向为x 轴，手掌向里的方向为y 轴，大拇指的方向为z 轴，三轴的公共点为z 轴

2、卦限：数轴上原点把数轴分成正负半轴。在坐标平面上，x 轴，y 轴把平面分成四个象限， 在空间三个坐标平面把空间分成八个卦限

注:建系时最好建成右手系，并且尽量把图形放在第一卦限，在坐标轴或坐标平面上的点越多越好，关于坐标平面对称的点越多越好 一、空间直角坐标系上点的坐标：

求一个点的坐标就是找该点在x 轴，y 轴，z 轴上的坐标分量 已知正方体

ABCD D C B A -1

1

1

1

棱长为2，如图所示以正方体的中心O 为原点建立空间

直角坐标系

1、

轴x P ∈P （x,0,0） 轴y P ∈P （0,y,0） 轴z ∈P p （0,0，z ）

2、 在坐标平面上点的坐标

平面上xoy P ∈，P （x,y,0） 平面上yoz P ∈,P （0,y,z ） 平面上xoz P ∈,P （x,0,z ）

3、已知()z y x A

1

1

1

,,,()

z y x B 2

2

2

,,则AB 中点???

? ?

?+++z

z y y x x P 2

1

2

1

21,

2

,2

4、与P （x,y,z ）关于定点A （a,b,c ）对称点的()z a y a x a P ---2,2,21

5、关于坐标平面对称点的坐标

与P （x,y,z ）关于xoy 平面对称点的坐标()z y x P -,,1

与P （x,y,z ）关于xoz 平面对称点的坐标

()z y x P ,,1

-

6、若P 点在xoy 面的射影为L 点，则P 点与A 点的x,y 轴分量相同，P 点z 轴分量为P 点到面xoy 的距离

二、空间向量的坐标运算

注：空间向量的加法，减法，数乘的几何意义；两个向量的共线条件；向量的内积运算公式与平面向量完全相同 空间向量的坐标运算公式

若()()z y x z y x B A

2

2

2

1

1

1

,,,,,则()z z y y x x AB 1

21

21

2,,---=→

若已知()z y x a 11

1

,,→，()z y x b 2

2

2

,,→

加减法:()z z y y x x b a 2

12

12

1,,+±±=±→

→ 数乘：()z y x a 1

1

1

,,λλλλ=→

内积：

z z y y x x b a 2

1

2

1

2

1

?++=?→

→

模

2

12

1

2

1

2

z y

x

a a

++

=??

? ??=→→

其它一些常用公式

b a b

a

b a →

→→→→→?±+=??

? ??±22

2

2

2

2

b a

b a b a →→→→→→-=

??

?

??-??? ??+

02

1

2

12

1

=?+?+??⊥→

→

z

z y y x x b a

设直线a 的方向向量为

a →

，直线b 的方向向量为b →

b a b a ||?=→

→

λ

三、直线的方向向量与平面的法向量

注：直线的方向向量与平面的法向量都不取零向量

1、 直线的方向向量：在直线上或与直线平行的向量叫做直线的方向向量

2、 平面的法向量：和平面上两条不共线向量都垂直的向量叫做平面的法向量 下面介绍平面法向量的求法 例：已知：已知()()1,1,0,0,1,1==→→b a ，求n b a →

→→的法向量与

设

()z y x n ,,→

0→

→

→

→

→

=??⊥a n a n 0→

→

→

→

→

=??⊥b n b n

∴?

?

?=+=+00

z y y x

由于x 每给一个值，就各有一个与之对应的y 值和z 值，由此说明一个平面的法向量有无穷多个，这和常识也是相符的，我们只需取其中一个法向量即可 令x=1,y=-1,z=1 ∴()1,1,1-→

n

一、向量法分析空间线线，线面，面面的位置关系

l →

，m →

分别为直线l,m 的方向向量;n n 2,1→

→分别为平面βα,的法向量

㈠线线平行：

1、 文字语言：两直线的方向向量平行则线线平行

2、 图形语言：

3、符号语言：

()R m l m l m l ∈??=→

→→→

λλ||||

㈡线面平行：

1、 文字语言：如果直线的方向向量与平面的法向量垂直，则线面平行

2、 图形语言：

在这里强调

()R m l m l ∈?=→

→→→

λλ|| 但反之不对,当

00,→

→

→→

≠=l m 时，这是不可以的

这样写正确：

m

l m m l

→

→

→→→

→

=??

?

? ??≠λλ满足存在唯一的实数0||

3、 符号语言：α||101l n l n l ?⊥?=?

→

→

→

→

㈢面面平行：

1、 文字语言：如果两个平面的法向量共线则面面平行

2、 图形语言：

3、 符号语言：

βαλ||2||121??=→

→

→

→

n n n n

㈣线线垂直：

1、 文字语言：两直线的方向向量垂直则线线垂直

2、 图形语言：

3、 符号语言：m l m l n l ⊥?⊥?=?

→

→

→

→

㈤线面垂直：

1、 文字语言：如果直线的方向向量与平面内的两条不共线向量垂直则线面垂直

2、 图形语言：

3、 符号语言：

αα⊥?=?=??→

→

→

→

→

→

→

→l l b l a b a b a 0,0,不共线，与且

㈥面面垂直：

1、 文字语言：如果两个平面的法向量垂直则面面垂直

2、 图形语言：

3、 符号语言：

βα⊥?⊥?=?→

→

→

→

n n n n 21011

二、空间角

㈠空间角的范围

1、线线角的范围

[]900,

2、异面直线所成角的范围(]9000

,

3、线面角的范围[]9000

,

4、斜线与平面所成的角范围(]9000

,

5、二面角的范围[]18000

,

6、向量夹角范围[]18000

,

7、直线的倾斜角范围[)1800,

㈡空间角的定义：

1、 异面直线所成角的定义：略

2、 斜线与平面所成角的定义：斜线与平面所成的角等于斜线与它在这个平面上的射影所成

的角

注：在用定义法求线面角时常会用到空间垂直关系相关定理（特别是线面垂直的判定定理，线面垂直定义，面面垂直性质定理），三垂线定理及推论，直（正）棱柱的结构特征，正棱锥的结构特征，正棱锥的判定方法 例：已知正三棱柱ABC C B A 1

1

1

的侧棱长与底面边长相等，则B A 1

与侧面A C AC 1

1所

成角的正弦值 答案：

4

6 练习：⑴在长方体ABCD-

D

C B A 1

1

1

1

中，AB=BC=211

=A A

，则C B 1与平面

D B D B 11所成角的正弦值

答案：

5

10 ⑵正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成角为 答案：

45

3、 二面角的定义：在二个平面内各引一条与交线垂直的直线，这两条垂线所成的角就是这

两个平面所成的二面角的平面角

二面角的求法：

ⅰ）定义法：在用定义法求二面角时常会用到空间平行及垂直关系相关定理，三垂线定理及推论，直（正）棱柱的结构特征，正棱锥的结构特征，正棱锥的判定方法 利用定义计算二面角常常使用余弦定理。

例1已知已知正四棱锥的体积是12，底面对角线长62，则侧面与底面所成的二面角等于 答案：

3

π ⅱ）平移交线法，截面法与截面法 例2已知正三棱柱ABC-

C B A 1

1

1

的底面边长是2，高为1，过顶点A 做一平面α，与侧

面B

C BC

1

1

交于EF ，且EF||BC ，若平面α与底面ABC 所成二面角大小为x ??

?

?

?

≤<60πx ,四边形BCEF 的面积为y,则函数y=f （x ）的图象大致是：答案：C

法一：平移交线法如图1

∵EF||BC ，ABC BC ABC 面，面??EF ∴EF||面ABC

设l =?ABC AEF 面面 又∵AEF 面?EF

∴EF||l

取EF 中点M ，BC 中点N 则AN ⊥EF ，AN ⊥EF

则MAN ∠就是面AEF 与面ABC 所成的二面角的平面角

注：在本题中很难找到面AEF 与面ABC 的交线，故在图形中找一条与交线平行的直线EF ，在这两个平面内引EF 的垂线，从而找到二面角的平面角

注：求空间角时，空间角大多是特殊角，对于非特殊角题目一般要求求空间角的某个三角函数值。若题目特别强调用反三角函数表式，利用下面公式 公式一：若[]?

??

? ??-∈???

???-

∈=,11,2,2sin m m ππαα 则m arcsin =α

公式二：若[][](),11,,0cos -∈∈=m m παα 则m arccos =α

公式三：若?

??

? ?????

??-

∈=为常实数m m ,2,2tan ππαα 则m arctan =α 例：①απαα求,2,0,31sin ??

?

???∈=

②απαα求,2,0,31cos ???

???∈=

③απαα求,2,0,31tan ??

?

???∈=

通过本题引出下面公式

常用公式：

x

x x x x x arctan tan arccos arccos arcsin arcsin -=--=--=-π 练习：①αππαα求??

?

?

??∈-=,2,3

1cos ②απαα求??

?

??-

∈-=0,2,3

1tan 三、向量法求空间角

㈠向量法求线线角：空间两条直线所成的角与它们方向向量所成的角相等或互补

高中数学“立体几何初步”教学研究

专题讲座 高中数学“立体几何初步”教学研究 袁京生北京市朝阳区教育研究中心 一、“立体几何初步”教学内容的整体把握 （一）“立体几何初步”内容的背景分析 1.从立体几何发展的历程看立体几何课程 （1）不同学段几何学习的特点 一个学生从小学的数学课中就接触到了空间图形，由于知识和年龄的限制，他们对空间图形的认识方法主要是大量的观察、操作，对空间图形形成一定的感性认识. 在初中，课程安排了简单几何体的概念及体积公式，三视图的基本知识，正方体的截面、展开问题，建立了长方体模型概念，已初步具有平面几何基础知识及推理论证能力， 总体上看，初中学生对空间图形的认识主要是直观感知，操作确认，但平面几何的学习又呈现出思辨论证等理性的特征. 总之，高中以前的学生对空间图形的认识主要是对图形的整体形象的直观感知，操作确认，这种基于直观和操作的认知的优点是简便、直观，不需要更多的知识作基础，但不足也是很明显的，即不能对空间图形及其内部的元素关系进行深入的分析，不能产生对空间图形本质的认识. 当学生进入高中以后，教材对空间图形的有了专门的介绍：立体几何.从历次的立体几何教材看，无论教材怎样变化，高中立体几何的最终目标都是要从学生可接受的理论高度来认识空间图形.除了传统的综合几何外，近几年的高中《大纲》或《课程标准》还引入了空间向量，空间向量进入几何，使几何有了更多代数的味道，因此现行的高中几何不完全是欧式几何. 当我们回顾大学的几何学习时，容易发现，大学的几何学习正是沿着几何代数化的方向展开，无论《空间解析几何》、《高等几何》、《微分几何》等无不是通过代数的手段对几何进行研究，通过代数的形式呈现几何结论. （2）几何研究方法的发展

高中数学立体几何教学研究

高中数学“立体几何”教学研究 一 . “立体几何”的知识能力结构 高中的立体几何是按照从局部到整体的方式呈现的，在必修2中，先从对空间几何体的整体认识入手，主通过直观感知、操作确认，获得空间几何体的性质，此后，在空间几何体的点、直线和平面的学习中，充分利用对模型的观察，发现几何体的几何性质并通过简单的“推理”得到一些直线和平面平行、垂直的几何性质，从微观上为进一步深入研究空间几何体做了必要的准备.在选修2-1中，首先引入空间向量，在必修2的基础上完善了几何论证的理论基础，在此基础上对空间几何体进行了深入的研究. 首先安排的是对空间几何体的整体认识，要求发展学生的空间想像能力，几何直观能力，而没有对演绎推理做出要求. 在“空间点、直线、平面之间的位置关系”的研究中，以长方体为模型，通过说理（归纳出判定定理，不证明）或简单推理进行论证（归纳并论证明性质定理）， 在“空间向量与立体几何”的学习中，又以几何直观、逻辑推理与向量运算相结合，完善了空间几何推理论证的理论基础，并对空间几何中较难的问题进行证明. 可见在立体几何这三部分中，把空间想像能力，逻辑推理能力，适当分开，有所侧重地、分阶段地进行培养，这一编排有助于发展学生的空间观念、培养学生的空间想象能力、几何直观能力，同时降低学习立体几何的门槛，同时体现了让不同的学生在数学上得到不同的发展的课标理念. 二. “立体几何”教学内容的重点、难点 1.重点： 空间几何体的结构特征：柱、锥、台、球的结构特征的概括； 空间几何体的三视图与直观图：几何体的三视图和直观图的画法； 空间几何体的表面积与体积：了解柱、锥、台、球的表面积与体积的计算公式； 空间点、直线、平面的位置关系：空间直线、平面的位置关系； 直线、平面平行的判定及其性质：判定定理和性质定理的归纳； 直线、平面垂直的判定及其性质：判定定理和性质定理的归纳. 2.难点： 空间几何体结构特征的概括：柱、锥、台球的结构特征的概括； 空间几何体的三视图与直观图：识别三视图所表示的几何体； 空间点、直线、平面的位置关系：三种语言的转化； 直线、平面平行的判定及其性质：性质定理的证明； 直线、平面垂直的判定及其性质：性质定理的证明.

人教版高中数学教案立体几何04

课题：9. 2空间的平行直线与异面直线（一） 教学目的： 1. 会判断两条直线的位置关系. 2. 理解公理四，并能运用公理四证明线线平行? 3. 掌握等角定理，并能运用它解决有关问题? 4. 了解平移的概念，初步了解平几中成立的结论哪些在立几中成立+ 5. 掌握空间两直线的位置关系，掌握异面直线的概念，会用反证法和异面直线的判定定理证明两直线异面； 6. 掌握异面直线所成角的概念及异面直线垂直的概念，能求出一些较特殊的 异面直线所成的角. 教学重点：公理4及等角定理的运用.异面直线所成的角. 教学难点：公理4及等角定理的运用.异面直线所成的角. 授课类型：新授课. 课时安排：1课时■ 教具：多媒体、实物投影仪 . 内容分析： 本节共有两个知识点，平行直线、异面直线■以平行公理和平面基本性质为 基础进一步学习平行直线的性质，把平行公理和平行线的传递性推广到空间并引出平移概念，了解了平移的初步性质.在这一节还由直线平行的性质学习异面 直线及其夹角的概念? 要求学生正确掌握空间平行直线性质和异面直线及其夹角的概念，这样就为学生学习向量和空间图形的性质打下了基础+ 教学过程： 一、复习引入： 把一张纸对折几次，为什么它们的折痕平行？ （答：把一张长方形的纸对折两次，打开后得4个全等 的矩形，每个矩形的竖边是互相平行的，再应用平行公理，可得知它 们的折痕是互相平行的J 你还能举出生活中的相关应用的例子吗？ 二、讲解新课： 1 +空间两直线的位置关系 （1）相交一一有且只有一个公共点； （2）平行——在同一平面内，没有公共点； （3）异面——不在任何一个平面内，没有公共点； 2 -平行直线 （1）公理4 :平行于同一条直线的两条直线互相平行 + 推理模式：a//b,b//c= a//c .

苏教必修2立体几何初步初步教案学案立体几何第11课时

第11课时直线与平面垂直听课随笔 、【学习导航】 学习要求 1?掌握直线与平面的位置关系? 2 .掌握直线和平面平行的判定与性质定 理. .3.应用直线和平面平行的判定和性质定理证明两条直线平行等有关问题. 自学评价 1. 直线和平面垂直的定义：______________ 符号表示：______________________________ 垂线：___________________________________ 垂面：___________________________________ 垂足：___________________________________ 思考：在平面中，过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直，那么在空间。 (1) 过一点有几条直线与已知平面垂直？ 答： (2) 过一点有几条平面与已知直线垂直？ 答： 2.定理：过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，过一点有且只有一个平面与已知直线垂直 3.点到平面的距离：____________________ 4.直线与平面垂直的判定定理：已知： 求证： 证明： 6 .直线和平面的距离： 【精典范例】 例1:.求证:如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面. 思维点拔： 要证线面垂直，只要证明直线与平面内的两条相交直线垂直，或利用定义进行证明。 Rt△ ABC所在平面外一点S,且SA=SB=SC (1)求证：点S在斜边中点D的连线SD丄面ABC ⑵若直角边BA=BC，求证：BD丄面SAC 符号表示_________________________________ 5 .直线和平面垂直的性质定理: 追踪训练1

必修2立体几何复习(知识点+经典习题)

必修二立体几何知识点与复习题 一、判定两线平行的方法 1、平行于同一直线的两条直线互相平行 2、垂直于同一平面的两条直线互相平行 3、如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平 行 4、如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 5、在同一平面内的两条直线，可依据平面几何的定理证明 二、判定线面平行的方法 1、据定义：如果一条直线和一个平面没有公共点 2、如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线和这个平面平行 3、两面平行，则其中一个平面内的直线必平行于另一个平面 4、平面外的两条平行直线中的一条平行于平面，则另一条也平行于该平面 5、平面外的一条直线和两个平行平面中的一个平面平行，则也平行于另一个平面 三、判定面面平行的方法 1、定义：没有公共点 2、如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则两面平行 3 垂直于同一直线的两个平面平行 4、平行于同一平面的两个平面平行 四、面面平行的性质 1、两平行平面没有公共点 2、两平面平行，则一个平面上的任一直线平行于另一平面 3、两平行平面被第三个平面所截，则两交线平行 4、垂直于两平行平面中一个平面的直线，必垂直于另一个平面 五、判定线面垂直的方法 1、如果一条直线和一个平面内的两条相交线垂直，则线面垂直 2、如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于该平面 3、一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面 4、如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直它们交线的直线垂直于另一个平面 5、如果两个相交平面都垂直于另一个平面，那么它们的交线垂直于另一个平面 六、判定两线垂直的方法 1、定义：成? 90角 2、直线和平面垂直，则该线与平面内任一直线垂直 3、在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直 4、在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直 5、一条直线如果和两条平行直线中的一条垂直，它也和另一条垂直 七、判定面面垂直的方法 1、定义：两面成直二面角,则两面垂直 2、一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这个平面垂直于另一平面 八、面面垂直的性质 1、二面角的平面角为? 90 2、在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面 3、相交平面同垂直于第三个平面，则交线垂直于第三个平面 九、各种角的范围 1、异面直线所成的角的取值范围是：? ≤ < ?90 0θ(]? ?90 , 2、直线与平面所成的角的取值范围是：? ≤ ≤ ?90 0θ[]? ?90 , 3、斜线与平面所成的角的取值范围是：? ≤ < ?90 0θ(]? ?90 , 4、二面角的大小用它的平面角来度量；取值范围是：? ≤ < ?180 0θ(]? ?180 , 十、三角形的心 1、内心：内切圆的圆心，角平分线的交点 2、外心：外接圆的圆心，垂直平分线的交点 3、重心：中线的交点 4、垂心：高的交点 考点一,几何体的概念与性质 【基础训练】 1.判定下面的说法是否正确: (1)有两个面互相平行,其余各个面都是平行四边形的几何体叫棱柱. (2)有两个面平行,其余各面为梯形的几何体叫棱台. 2.下列说法不正确的是（） A．空间中，一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形。 B.同一平面的两条垂线一定共面。 C.过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一平面内。 D.过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直。 【高考链接】 1.设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题： （1）若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；（2）若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l和α平行； （3）设α和β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α和β垂直；

苏教必修2立体几何初步初步教案学案立体几何第23课时

第23课时立体几何总复习课⑵ 一、【学习导航】知识网络见上一课时间 学习要求 1?会证线线、线面、面面的平行与垂直的问题，会求简单的线线、线面、面面间的角与距离以及简单几何体的面积与体积 2、了解并能运用分割求和的思想。 A、平行 B 、相交C 、异面 D 、以上都有可能 2、在正方体ABCD AB I GD,中，下列几种说法正确的是 A AC i AD B、D1C1 AB C AC i 与DC 成45°角D、AC i与BiC 成60°角 3、若直线丨P平面，直线a，则丨与a的位置关系是 A l Pa B丨与a异面 C 、丨与a相交D丨与a没有公共点 4、下列命题中：（1）、平行于同一直线的两个平面平行；（2）、平行于同一平面的两个平面 平行；（3）、垂直于同一直线的两直线平行；（4）、垂直于同一平面的两直线平行.其中正确的个数有 A 1 B 、2 C 3 D 、4 5、在空间四边形ABCD各边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点，如果与 EF、GH能相交于点P，那么 A、点必P在直线AC上B点P必在直线BD上 C点P必在平面ABC内D、点P必在平面ABC外、 6.如图：直三棱柱ABC-ABC的体积为V点P、Q分别在侧棱AA和 CC上，AP=QQ则四棱锥B-APQC勺体积为 V V 2345

【精典范例】、 例 1：已知 ABC 中 ACB 90°, SA 面 ABC , AD SC ,求证：AD 面 SBC 例 2：已知△ BC ［中，/ BCD 90°, BGCt =1, AB 丄平面 BCD) / ADB 60°, E 、 AD 上的动点，且 思维点拔：灵活掌握与运用立体几何中的基本知识与方法。才能有效的解决问 题。 追踪训练 1. a , b , c 表示直线，M 表示平 面，给出下列四个命题：①若 a // M b // M 则a // b ；②若 b M a / b ,则a / M ③若a 丄 c , b 丄c ,则a / b ;④若a 丄M b 丄M 则a / b .其中正确命题的 个数 有 A 、0个 B 1个 C 、2个 D 3个 2. 在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体 ，则截去8个三 棱锥后，剩下的凸多面体的体积是 2 7^4 5 A 、一 B 、一 C 、一 D 3 6 5 6 3 ?已知PA 垂直平行四边形 ABCD 所在平面，若 PC BD ，平行则四边形 ABCD 一定 是 . _______ 4、如图，在直四棱柱 A 1B 1G D 1 — ABCD^，当底面四边形 ABCD?足条件 ___________ 时，有A B 丄B D 1.(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形 AE AF (0 AC AD 1). (I)求证：不论入为何值，总有平面 BEF 丄平面ABC (H)当入为何值时，平面 BEF 丄平面ACD .)

高中数学立体几何知识点归纳总结60996

高中数学立体几何知识点归纳总结 一、立体几何知识点归纳 第一章空间几何体 （一）空间几何体的结构特征 （1）多面体——由若干个平面多边形围成的几何体. 围成多面体的各个多边形叫叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做顶点。 旋转体——把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。其中，这条定直线称为旋转体的轴。 （2）柱，锥，台，球的结构特征 1.棱柱 棱柱——有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相 邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫 做棱柱。 相关棱柱几何体系列（棱柱、斜棱柱、直棱柱、正棱柱）的关系： ① ? ? ??????→ ?? ?????→? ? ?? ?L 底面是正多形 棱垂直于底面 斜棱柱 棱柱正棱柱 直棱柱 其他棱柱 侧棱垂直于底面底面为矩形 侧棱与底面边长相等 棱柱的性质：

①侧棱都相等，侧面是平行四边形； ②两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形； ③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形； ④直棱柱的侧棱长与高相等，侧面与对角面是矩形。 长方体的性质： ①长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的 平方和；【如图】2222 11AC AB AD AA =++ ②（了解）长方体的一条对角线1AC 与过顶点A 的三条棱所 成 的 角 分 别 是 αβγ ，，，那么 222cos cos cos 1αβγ++=，222sin sin sin 2αβγ++=； ③（了解）长方体的一条对角线1AC 与过顶点A 的相邻三个面所成的角分别是αβγ，，，则2 2 2 cos cos cos 2αβγ++=，2 2 2 sin sin sin 1αβγ++=. 侧面展开图：正n 棱柱的侧面展开图是由n 个全等矩形组成的以底面周长和侧棱长为邻边的矩形. 面积、体积公式： 2S c h S c h S S h =?=?+=?直棱柱侧直棱柱全底棱柱底，V （其中c 为底面周长，h 为棱 柱的高） 2.圆柱 圆柱——以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱. 圆柱的性质：上、下底及平行于底面的截面都是等圆；过轴的截面（轴截面）是全等的矩形. 侧面展开图：圆柱的侧面展开图是以底面周长和母线长为邻边的矩形. 面积、体积公式： 侧面 母线

高中数学第一章教案《立体几何初步》

第一章立体几何初步 示范教案 整体设计 教学分析 本节课是对第一章的基本知识和方法的总结与归纳，从整体上来把握本章内容，使学生的基本知识系统化和网络化，基本方法条理化．值得注意的是对于本章知识结构，学生比较陌生，教师要帮助学生完成，并加以引导． 三维目标 通过总结和归纳立体几何的知识，能够使学生综合运用知识解决有关问题，培养学生分析、探究和思考问题的能力，激发学生学习数学的兴趣，培养其分类讨论的思想和提高其抽象思维能力． 重点难点 教学重点：①空间几何体的结构特征． ②由三视图还原为实物图． ③面积和体积的计算． ④平行与垂直的判定与性质． 教学难点：形成知识网络． 课时安排 1课时 教学过程 导入新课 设计 1.第一章是整个立体几何的基础，为了系统地掌握本章的知识和方法，本节对第一章进行复习．教师点出课题． 设计2.大家都知道，农民伯伯在春天忙着耕地、播种、浇水、施肥、治虫，非常辛劳，到了秋天，他们便忙着收获．到了收获的季节，他们既高兴又紧张，因为收获比前面的工作更重要，收获的多少决定着一年的收成．我们前面的学习就像播种，今天的小结就像收获，希望大家重视今天的小结学习．教师点出课题． 推进新课 新知探究 提出问题 请同学们自己梳理本章知识结构. 对比直线与平面、平面与平面的平行关系与垂直关系. 对比面积、体积各自之间的关系. 讨论结果： (1)本章知识结构：

(2)平行关系与垂直关系的对比： (3)①柱、锥、台的侧面积关系：

其中c′、c 分别为上、下底面周长，h′为斜高或母线长，h 为正棱柱或圆柱的高． ②柱、锥、台的体积关系： 其中S 上、S 下分别为台体的上、下底面积，h 为高，S 为柱体或锥体的底面积． ③球的表面积和体积：S 球面＝4πR 2，V 球＝43 πR 3 . 应用示例 思路1 例1 下列几何体是台体的是( ) 解析：A 中的“侧棱”没有相交于一点，所以A 不是台体；B 中的几何体没有两个平行的面，所以B 不是台体；很明显C 是棱锥，D 是圆台． 答案：D 点评：本题主要考查台体的结构特征．像这样的概念辨析题，主要是依靠对简单几何体的结构特征的准确把握． 变式训练 1．将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体包括( ) A ．一个圆台、两个圆锥 B ．两个圆台、一个圆柱

高中立体几何基础知识

高中立体几何基础知识 1. 平面的概念： 平面是没有厚薄的，可以无限延伸，这是平面最基本的属性 2. 平面的画法及其表示方法： ①常用平行四边形表示平面通常把平行四边形的锐角画成45，横边 画成邻边的两倍画两个平面相交时，当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应把被遮住的部分画成虚线或不画 ②一般用一个希腊字母α、β、γ……来表示，还可用平行四边形的对 角顶点的字母来表示如平面AC. 3. 空间图形是由点、线、面组成的 点、线、面的基本位置关系如下表所示： α a ?

a α α//a 直线a 与平面α平行 a A α a A α= 直线a 与平面α交于 点A l α β= 平面α、β相交于直 线l 注意：直线与平面平行（α//a ）和直线与平面相交（a A α=）两种情 形，统称为直线在平面外，记为α?a . 4. 平面的基本性质 (1)公理1:如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的 符号表示： ααα??∈∈a B A ,． 如图示： 应用：是判定直线是否在平面内的依据，也可用于验证一个面是 否是平面． 公理1说明了平面与曲面的本质区别．通过直线的“直”来刻划平 面的“平”，通过直线的“无限延伸”来描述平面的“无限延展性”，它既是判断直线在平面内，又是检验平面的方法． (2)公理2:如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且 所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线 B A α

符号表示： A l A ααββ∈? ?=?∈? 且A l ∈且l 唯一 如图示： 应用：①确定两相交平面的交线位置；② 判定点在 直线上 公理2揭示了两个平面相交的主要特征，是判定两平面相交的依 据，提供了确定两个平面交线的方法． (3)公理3: 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面 推理模式：,, A B C 不共线?存在唯一的平面α，使得,,A B C α∈ 应用：①确定平面；②证明两个平面重合 注意:“有且只有一个”的含义分两部分理解，“有”说明图形存在， 但不唯一，“只有一个”说明图形如果有顶多只有一个，但不保证符合条件的图形存在，“有且只有一个”既保证了图形的存在性，又保证了图形的唯一性．在数学语言的叙述中，“确定一个”，“可以作且只能作一个”与“有且只有一个”是同义词，因此，在证明有关这类语句的命题时，要从“存在性”和“唯一性”两方面来论证． (4)推论1 :经过一条直线和直线外的一点有且只有 一个平面 推理模式：A a ??存在唯一的平面α，使得A α∈，α?l (5)推论2: 经过两条相交直线有且只有一个 平面

人教版高中数学必修二教学案-《立体几何初步》全章复习

人教版高中数学必修一教学讲义 年级：上课次数： 学员姓名：辅导科目：数学学科教师： 课题《立体几何初步》全章复习 课型□预习课□同步课■复习课□习题课 授课日期及时段 教学内容 《立体几何初步》全章复习 【知识网络】 【要点梳理】 知识点一：空间几何体的结构与特征 本章出现的几何体有：①棱柱与圆柱统称为柱体；②棱锥与圆锥统称为锥体；③棱台与圆台统称为台体；④球体． 柱体常以直三棱柱、正三棱柱、正四棱柱、正六棱柱、圆柱等为载体，锥体一般以正三棱锥、正四棱锥、正六棱锥、圆锥等为载体，计算高、斜高、边心距、底面半径、侧面积和体积等．在研究正棱锥和圆锥、正棱台和圆台时要充分利用其中的直角三角形：高线，边心距，斜高组成的直角三角形；高线，侧棱(母线)，外接圆半径(底面半径)组成的直角三角形． 空间几何体的三视图：主视图：它能反映物体的高度和长度；左视图：它能反映物体的高度和宽度；俯视图：

【典型例题】 类型一：空间几何体的三视图 例1．某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图4所示,墩的上半部分是正四棱锥P－EFGH,下半部分是长方体ABCD－EFGH.图5、图6分别是该标识墩的正(主)视图和俯视图. （1）请画出该安全标识墩的侧(左)视图 （2）求该安全标识墩的体积 （3）证明:直线BD 平面PEG 【思路点拨】（1）由于墩的上半部分是正四棱锥P-EFGH，下半部分是长方体ABCD-EFGH，故其正视图与侧视图全等． （2）由三视图我们易得，底面为边长为40cm的正方形，长方体的高为20cm，棱锥高为60cm，代入棱柱和棱锥体积公式，易得结果． 【解析】(1)侧视图同正视图,如下图所示.

必修立体几何复习知识点习题

一、判定两线平行的方法 1、平行于同一直线的两条直线互相平行 2、垂直于同一平面的两条直线互相平行 3、如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就 和交线平行 4、如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 5、在同一平面内的两条直线，可依据平面几何的定理证明 二、判定线面平行的方法 1、据定义：如果一条直线和一个平面没有公共点 2、如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线和这个平 面平行 3、两面平行，则其中一个平面内的直线必平行于另一个平面 4、平面外的两条平行直线中的一条平行于平面，则另一条也平行于该平面 5、平面外的一条直线和两个平行平面中的一个平面平行，则也平行于另一个平面 三、判定面面平行的方法 1、定义：没有公共点 2、如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则两面平行 3 垂直于同一直线的两个平面平行 4、平行于同一平面的两个平面平行 四、面面平行的性质 1、两平行平面没有公共点 2、两平面平行，则一个平面上的任一直线平行于另一平面 3、两平行平面被第三个平面所截，则两交线平行 4、垂直于两平行平面中一个平面的直线，必垂直于另一个平面 五、判定线面垂直的方法 1、定义：如果一条直线和平面内的任何一条直线都垂直，则线面垂直 2、如果一条直线和一个平面内的两条相交线垂直，则线面垂直 3、如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于该平面 4、一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面 5、如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直它们交线的直线垂直于另一个平面 6、如果两个相交平面都垂直于另一个平面，那么它们的交线垂直于另一个平面 六、判定两线垂直的方法 90角 1、定义：成 2、直线和平面垂直，则该线与平面内任一直线垂直 3、在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线 垂直 4、在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影 垂直 5、一条直线如果和两条平行直线中的一条垂直，它也和另一条垂直 七、判定面面垂直的方法

北师大版必修二第一章《立体几何初步》word教案

第一章立体几何初步 一、知识结构 二、重点难点 重点：空间直线，平面的位置关系。柱、锥、台、球的表面积和体积的计算公式。平行、垂直的定义，判定和性质。 难点：柱、锥、台、球的结构特征的概括。文字语言，图形语言和符号语言的转化。 平行，垂直判定与性质定理证明与应用。 第一课时棱柱、棱锥、棱台 【学习导航】 学习要求 1．初步理解棱柱、棱锥、棱台的概念。掌握它们的形成特点。 2．了解棱柱、棱锥、棱台中一些常用名称的含义。 3．了解棱柱、棱锥、棱台这几种几何体简单作图方法 4．了解多面体的概念和分类． 【课堂互动】

自学评价 棱柱的定义： 表示法： 思考:棱柱的特点：. 【答】 棱锥的定义： 表示法： 思考:棱锥的特点：. 【答】 3．棱台的定义： 表示法： 思考:棱台的特点：. 【答】 4．多面体的定义： 5．多面体的分类： ⑴棱柱的分类 ⑵棱锥的分类 ⑶棱台的分类 【精典范例】 例1：设有三个命题： 甲：有两个面平行，其余各面都是平行四边形所围体一定是棱柱；乙：有一个面是四边形，其余各面都三角形所围成的几何体是棱锥；丙：用一个平行与棱锥底面的平面去截棱锥，得到的几何体叫棱台。以上各命题中，真命题的个数是（A） A．0 B. 1 C. 2 D. 3 例2：画一个四棱柱和一个三棱台。 【解】四棱柱的作法： ⑴画上四棱柱的底面----画一个四边形； ⑵画侧棱-----从四边形的每一个顶点画平行且相等的线段； ⑶画下底面------顺次连结这些线段的另一个端点 互助参考７页例１

⑷画一个三棱锥，在它的一条侧棱上取一点，从这点开始，顺次在各个侧面画出与底面平行的线段，将多余的线段檫去． 互助参考７页例１ 点评：(1)被遮挡的线要画成虚线(2)画台由锥截得 思维点拔： 解柱、锥、台概念性问题和画图需要： (1).准确地理解柱、锥、台的定义 (2).灵活理解柱、锥、台的特点： 例如：棱锥的特点是：⑴两个底面是全等的多边形；⑵多边形的对应边互相平行；⑶棱柱的侧面都是平行四边形。反过来，若一个几何体，具有上面三条，能构成棱柱吗？或者说，上面三条能作为棱柱的定义吗？ 答：不能． 点评:就棱柱来验证这三条性质，无一例外，能不能找到反例，是上面三条能作为棱柱的定义的关键。 自主训练一 1. 如图，四棱柱的六个面都是平行四边形。这个四棱柱可以由哪个平面图形按怎样的方向平移得到？ 答由四边形ABCD 沿AA1方向平移得到． 2.右图中的几何体是不是棱台？为什么？ 答：不是，因为四条侧棱延长不交于一点． 3．多面体至少有几个面？这个多面体是怎样的几何体。 答：４个面，四面体． A C B D A1 C1 B1 D1

高中数学必修立体几何教材分析和教学建议

高中数学必修2立体几何教材分析和教学建议立体几何内容的设计： 1.定位：定位于培养和发展学生把握图形的能力，空间想象与几何直观能力、逻辑推理能力等。强调几何直观，合情推理与逻辑推理并重，适当渗透公理化思想。 2.内容处理与呈现：按照从整体到局部的方式展开：柱、锥、台、球→ 点、线、面→ 侧面积、表面积与体积的计算（如图1），而原教材是点、线、面→ 柱、锥、台、球，即从局部到整体（如图2），突出直观感知、操作确认，并结合简单的推理发现、论证一些几何性质． 3.内容设计：螺旋上升，分层递进，逐步到位.在必修课程中，主要是通过直观感知、操作确认，获得几何图形的性质，并通过简单的推理发现、论证一些几何性质.进一步的论证与度量则放在选修2中用向量处理.教材在内容的设计上不是以论证几何为主线展开几何内容，而是先使学生在特殊情境下通过直观感知、操作确认，对空间的点、线、面之间的位置关系有一定的感性认识，在此基础上进一步通过直观感知、操作确认，归纳出有关空间图形位置关系的一些判定定理和性质定理，并对性质定理加以逻辑证明，不是不要证明，而是完善过程，既要发展演绎推理能力，也要发展合情推理能力。 4.教学内容增减： 删除（或在选修课内体现的）： （1）异面直线所成的角的计算。（2）三垂线定理及其逆定理。（3）多面体及欧拉公式.（4）原教材中有4个公理，4个推论，14个定理（都需证明）（不包含以例题出现的定理）.新教材中有4个公理，9个定理（4个需证明）． 增加：（7）简单空间图形的三视图．专设“空间几何体的三视图和直观图”这一节，重点在于培养空间想像能力．（8）台体的表面积和体积等内容．立体几何内容采用上述处理方式，主要是为了增进学生对几何本质的理解，培养学生对几何内容的兴趣，克服以往几何学习中易造成的学生两极分化的弊端． 立体几何初步是初等几何教育重要内容之一，它是在初中平面几何学习的基础上开设 的，以空间图形的性质、画法、计算以及它们的应用为研究对象，以演绎法为研究方法．通 过对三维空间的几何对象进行直观感知、操作确认、思辨论证，使学生的认识水平从平面图 形延拓至空间图形，完成由二维空间向三维空间的转化，发展学生的空间想象能力，逻辑推理能力和分析问题、解决问题的能力． 一、考纲要求： （1）空间几何体 ①认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构. ② 能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图. ③ 会用平行投影与中心投影两种方法，画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式. ④会画某些建筑物的视图与直观图（在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求）. ⑤ 了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）. （2）点、直线、平面之间的位置关系 ①理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理. ◆公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点在此平面内. ◆公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面. ◆公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.

高中文科数学立体几何知识点总结

γm βα l l α β立体几何知识点整理（文科） 一． 直线和平面的三种位置关 系： 1. 线面平行 α l 符号表示： 2. 线面相交 α A l 符号表示： 3. 线在面内 α l 符号表示： 二． 平行关系： 1. 线线平行： 方法一：用线面平行实 现。 m l m l l ////??? ? ??=??βαβ α 方法二：用面面平行实现。 m l m l ////??? ? ?? =?=?βγαγβα 方法三：用线面垂直实现。 若αα⊥⊥m l ,，则m l //。 方法四：用向量方法： 若向量l 和向量m 共线且l 、m 不重合，则 m l //。 2. 线面平行： 方法一：用线线平行实现。 ααα////l l m m l ??? ? ?? ?? 方 法二：用面面平行实现。 αββα////l l ?? ?? ? 方法三：用平面法向量实现。 若n 为平面α的一个法向量， l n ⊥且α?l ,则α//l 。 3. 面面平行： 方法一：用线线平行实现。 β ααβ//',',' //'//????? ??? ??且相交且相交m l m l m m l l 方法二：用线面平行实现。 βαβαα //,////??? ? ?? ?且相交m l m l m l α n α l m'l'l α βm m β α l l m β α

三．垂直关系： 1. 线面垂直： 方法一：用线线垂直实现。 αα⊥???? ? ??? ?=?⊥⊥l AB AC A AB AC AB l AC l , 方法二：用面面垂直实现。 αββαβα⊥??? ? ?? ?⊥=?⊥l l m l m , 2. 面面垂直： 方法一：用线面垂直实现。 βαβα⊥?? ?? ?⊥l l 方法二：计算所成二面角为直角。 3. 线线垂直： 方法一：用线面垂直实现。 m l m l ⊥?? ?? ?⊥αα 方法二：三垂线定理及其逆定理。 PO l OA l PA l αα⊥? ? ⊥?⊥???? 方法三：用向量方法： 若向量l 和向量m 的数量积为0，则m l ⊥。 三． 夹角问题。 (一) 异面直线所成的角： (1) 范围：]90,0(?? (2)求法： 方法一：定义法。 步骤1：平移，使它们相交，找到夹角。 步骤2：解三角形求出角。(常用到余弦定理) 余弦定理： ab c b a 2cos 2 22-+=θ (计算结果可能是其补角) 方法二：向量法。转化为向量的夹角 (计算结果可能是其补角)： AC AB AC AB ??= θcos (二) 线面角 (1)定义：直线l 上任取一点P （交点除外），作PO ⊥α于O,连结AO ，则AO 为斜线PA 在面α内的射影，PAO ∠(图中θ)为直线l 与面α所成的角。 A B C αl l β α m l β α m α l θ c b a A B C θn A O θ P αl A O P α

空间立体几何初步单元测试_教学设计_教案

教学准备 1. 教学目标 立体几何初步 (1)空间几何体 ①认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活 中简单物体的结构. ②能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图， 能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二侧法画出它们的直观图. ③会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间 图形的不同表示形式. ④会画某些建筑物的视图与直观图（在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作 严格要求）. ⑤了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式. (2)点、直线、平面之间的位置关系 ①理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理. ?公理1 :如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内. ?公理2:过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面. ?公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共 直线. ?公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行. ?定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或 互补. ②以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、垂直 的有关性质与判定定理. 理解以下判定定理. ?如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行. ?如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行. ?如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直.

?如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直. 理解以下性质定理，并能够证明. ?如果一条直线与一个平面平行，那么经过该直线的任一个平面与此平面的交线和该直线平行. ?如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行. ?垂直于同一个平面的两条直线平行. ?如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直. ③能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题. 2. 教学重点/难点 1 几何体----多面体与旋转体的结构特征。 ２空间图形的三视图与直观图 3空间平行与垂直的判定及性质定理（８个） 4空间几何体的体积及表面积 3. 教学用具 直尺或三角板 4. 标签 １数形结合，形为数开路，数为形结果２空间想象能力３逻辑推理论证能力４熟练准确的计算能力 教学过程 例题精析，精练： 例 1 （三视图与面积体积） （１）（２０１２湖北４）已知某几何体的三视图如图所示：则该几何体的体积为（） Ａ.6π B.3π C.10π/3 D.8π/3

人教版数学高一-空间几何体的直观图(1课时) 精品教案

1.2.2 空间几何体的直观图（1课时） 一、教学目标 1．知识与技能 （1）掌握斜二测画法画水平设置的平面图形的直观图。 （2）采用对比的方法了解在平行投影下画空间图形与在中心投影下画空间图形两种方法的各自特点。 2．过程与方法 学生通过观察和类比，利用斜二测画法画出空间几何体的直观图。 3．情感态度与价值观 （1）提高空间想象力与直观感受。 （2）体会对比在学习中的作用。 （3）感受几何作图在生产活动中的应用。 二、教学重点、难点 重点、难点：用斜二测画法画空间几何值的直观图。 三、学法与教学用具 1．学法：学生通过作图感受图形直观感，并自然采用斜二测画法画空间几何体的过程。 2．教学用具：三角板、圆规 四、教学思路 （一）创设情景，揭示课题 1．我们都学过画画，这节课我们画一物体：圆柱 把实物圆柱放在讲台上让学生画。 2．学生画完后展示自己的结果并与同学交流，比较谁画的效果更好，思考怎样才能画好物体的直观图呢？这是我们这节主要学习的内容。 （二）研探新知 1．例1，用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图，由学生阅读理解，并思考斜二测画法的关键步骤，学生发表自己的见解，教师及时给予点评。 画水平放置的多边形的直观图的关键是确定多边形顶点的位置，因为多边形顶点的位置一旦确定，依次连结这些顶点就可画出多边形来，因此平面多边形水平放置时，直观图的画法可以归结为确定点的位置的画法。强调斜二测画法的步骤。 练习反馈 根据斜二测画法，画出水平放置的正五边形的直观图，让学生独立完成后，教师检查。 2．例2，用斜二测画法画水平放置的圆的直观图 教师引导学生与例1进行比较，与画水平放置的多边形的直观图一样，画水平放置的圆的直观图，也是要先画出一些有代表性的点，由于不能像多边那样直接以顶点为代表点，因

高一期末复习《立体几何初步》教案

高一期末复习：立体几何初步 教学目的 1. 复习《立体几何初步》的相关知识及基本应用 2. 掌握典型题型及其处理方法 教学重点、难点 《立体几何初步》的知识梳理和题型归类以及重点题型的处理方法 知识分析 1. 多面体的结构特征 对于多面体的结构要从其反应的几何体的本质去把握，棱柱、棱锥、棱台是不同的多面体，但它们也有联系，棱柱可以看成是上、下底面全等的棱台；棱锥又可以看作是一底面缩为一点的棱台，因此它们的侧面积和体积公式可分别统一为一个公式。 2. 旋转体的结构特征 旋转体是一个平面封闭图形绕一个轴旋转生成的，一定要弄清圆柱、圆锥、圆台、球分别是由哪一种平面图形旋转生成的，从而可掌握旋转体中各元素的关系，也就掌握了它们各自的性质。

3. 表面积与体积的计算 有关柱、锥、台、球的面积和体积的计算，应以公式法为基础，充分利用几何体中的直角三角形、直角梯形求有关的几何元素。 4. 三视图与直观图的画法 三视图和直观图是空间几何体的不同的表现形式，空间几何体的三视图可以使我们很好地把握空间几何体的性质．由空间几何体可以画出它的三视图，同样由三视图可以想象出空间几何体的形状，两者之间可以相互转化。 5. 直线和平面平行的判定方法 （1）定义：a a αα=??//； （2）判定定理：a b a b a ////，，???ααα； （3）线面垂直的性质：b a b a a ⊥⊥?，，，ααα//； （4）面面平行的性质：αβαβ////，a a ??。 6. 线线平行的判定方法 （1）定义：同一平面内没有公共点的两条直线是平行直线； （2）公理4：a b b c a c //////，，?； （3）平面几何中判定两直线平行的方法； （4）线面平行的性质：a a b a b ////αβαβ，，?=? ； （5）线面垂直的性质：a b a b ⊥⊥?αα，//； （6）面面平行的性质：αβαγβγ////，， ==a a b 。 7. 证明线面垂直的方法 （1）线面垂直的定义：a 与α内任何直线垂直?⊥a α； （2）判定定理1：m n m n A l m l n l 、，，?=⊥⊥? ???⊥αα ； （3）判定定理2：a b a a b //，⊥?⊥α； （4）面面平行的性质：αβαβ//，a a ⊥?⊥；

高中数学 《立体几何初步》教案(高考回归课本系列)新人教A版

高考数学回归课本教案 立体几何初步 一、基础知识 公理1 一条直线。上如果有两个不同的点在平面。内．则这条直线在这个平面内，记作：a?a．公理2 两个平面如果有一个公共点，则有且只有一条通过这个点的公共直线，即若P∈α∩β，则存在唯一的直线m，使得α∩β=m,且P∈m。 公理3 过不在同一条直线上的三个点有且只有一个平面。即不共线的三点确定一个平面． 推论l 直线与直线外一点确定一个平面． 推论2 两条相交直线确定一个平面． 推论3 两条平行直线确定一个平面． 公理4 在空间内，平行于同一直线的两条直线平行． 定义1 异面直线及成角：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线．过空间任意一点分别作两条异面直线的平行线，这两条直线所成的角中，不超过900的角叫做两条异面直线成角．与两条异面直线都垂直相交的直线叫做异面直线的公垂线，公垂线夹在两条异面直线之间的线段长度叫做两条异面直线之间的距离． 定义2 直线与平面的位置关系有两种；直线在平面内和直线在平面外．直线与平面相交和直线与平面平行(直线与平面没有公共点叫做直线与平面平行)统称直线在平面外． 定义3 直线与平面垂直：如果直线与平面内的每一条直线都垂直，则直线与这个平面垂直．定理1 如果一条直线与平面内的两条相交直线都垂直，则直线与平面垂直． 定理2 两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行． 定理3 若两条平行线中的一条与一个平面垂直，则另一条也和这个平面垂直． 定理4 平面外一点到平面的垂线段的长度叫做点到平面的距离，若一条直线与平面平行，则直线上每一点到平面的距离都相等，这个距离叫做直线与平面的距离． 定义 5 一条直线与平面相交但不垂直的直线叫做平面的斜线．由斜线上每一点向平面引垂线，垂足叫这个点在平面上的射影．所有这样的射影在一条直线上，这条直线叫做斜线在平面内的射影．斜线与它的射影所成的锐角叫做斜线与平面所成的角． 结论1 斜线与平面成角是斜线与平面内所有直线成角中最小的角． 定理4 (三垂线定理)若d为平面。的一条斜线，b为它在平面a内的射影，c为平面a内的一条直线，若c⊥b，则c⊥a．逆定理：若c⊥a，则c⊥b． 定理5 直线d是平面a外一条直线，若它与平面内一条直线b平行，则它与平面a平行 定理6 若直线。与平面α平行，平面β经过直线a且与平面a交于直线6，则a//b． 结论2 若直线。与平面α和平面β都平行，且平面α与平面β相交于b，则a//b． 定理7 (等角定理)如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同，则两个角相等． 定义6 平面与平面的位置关系有两种：平行或相交．没有公共点即平行，否则即相交． 定理8 平面a内有两条相交直线a，b都与平面β平行，则α//β. 定理9 平面α与平面β平行，平面γ∩α=a，γ∩β=b，则a//b． 定义7 (二面角)，经过同一条直线m的两个半平面α,β(包括直线m，称为二面角的棱)所组成的图形叫二面角，记作α—m—β，也可记为A—m一B，α—AB—β等．过棱上任意一点P在两个半平面内分别作棱的垂线AP，BP，则∠APB(≤900)叫做二面角的平面角． 它的取值范围是[0，π]． 特别地，若∠APB＝900，则称为直二面角，此时平面与平面的位置关系称为垂直，即α⊥β.