(完整版)导数大题练习带答案
导数解答题练习
1．已知f (x )＝x ln x －ax ，g (x )＝－x 2－2，
(Ⅰ)对一切x ∈(0，＋∞)，f (x )≥g (x )恒成立，求实数a 的取值范围； (Ⅱ)当a ＝－1时，求函数f (x )在[m ，m ＋3](m ＞0)上的最值；
(Ⅲ)证明：对一切x ∈(0，＋∞)，都有ln x ＋1＞ex e x 2
1-成立．
2、已知函数2
()ln 2(0)f x a x a x
=
+->. （Ⅰ）若曲线y =f (x )在点P （1，f (1)）处的切线与直线y =x +2垂直，求函数y =f (x )的单调区间；
（Ⅱ）若对于(0,)x ∀∈+∞都有f (x )＞2(a ―1)成立，试求a 的取值范围；
（Ⅲ）记g (x )=f (x )+x ―b （b ∈R ）.当a =1时，函数g (x )在区间[e ―
1，e]上有两个零点，求实数b 的取值范围.
3、设函数f (x )=ln x +(x －a )2，a ∈R .
（Ⅰ）若a =0，求函数f (x )在[1，e]上的最小值；
（Ⅱ）若函数f (x )在1[,2]2
上存在单调递增区间，试求实数a 的取值范围； （Ⅲ）求函数f (x )的极值点.
4、已知函数2
1()(21)2ln ()2
f x ax a x x a =
-++∈R . (Ⅰ)若曲线()y f x =在1x =和3x =处的切线互相平行，求a 的值； (Ⅱ)求()f x 的单调区间；
(Ⅲ)设2
()2g x x x =-，若对任意1(0,2]x ∈，均存在2(0,2]x ∈，使得12()()f x g x <，求a 的取值范围.
5、已知函数1ln ()x
f x x
+=
． (1)若函数在区间1
(,)2
a a +
(其中0a >)上存在极值，求实数a 的取值范围； (2)如果当1x ≥时，不等式()1
k
f x x ≥+恒成立，求实数k 的取值范围．
1.解：(Ⅰ)对一切)()(),,0(x g x f x ≥+∞∈恒成立，即2ln 2
--≥-x ax x x 恒成立.
也就是+
+≤x x a ln x
2
在),0(+∞∈x 恒成立.………1分 令x
x x x F 2ln )(+
+= ， 则F '2
222)
1)(2(2211)(x x x x x x x x x -+=-+=-+=，……2分
在)10(，上F '0)(
(Ⅱ)当时，
1-=a x x x x f +=ln )(， f '2ln )(+=x x ，由f '0)(=x 得21
e
x =
. ………6分 ①当210e
m <
<时，在)1,[2e m x ∈上f '0)( (2 +∈m e x 上f '0)(>x 因此，)(x f 在21e x = 处取得极小值，也是最小值. 2 min 1)(e x f -=. 由于0]1)3)[ln(3()3(,0)(>+++=+ ………8分 ②当时21 e m ≥ ，0)('≥x f ，因此]3,[)(+m m x f 在上单调递增， 所以)1(ln )()(min +==m m m f x f ， ]1)3)[ln(3()3()(max +++=+=m m m f x f ……9分 (Ⅲ)证明：问题等价于证明)),0((2 ln +∞∈-> +x e e x x x x x ,………10分 由(Ⅱ)知1-=a 时，x x x x f +=ln )(的最小值是2 1 e -，当且仅当21e x =时取得，……11分 设)),0((2)(+∞∈-= x e e x x G x ，则G 'x e x x -=1)(，易知 e G x G 1 )1()(max -==，当且仅当1x =时取到， ………12分 但，e e 112 ->- 从而可知对一切(0,)x ∈+∞， 都有ex e x x 2 11ln -> +成立. ………13分 2、解：（Ⅰ）直线y =x +2的斜率为1.函数f (x )的定义域为（0，+∞），因为22'()a f x x x =- +，所以22'(1)111 a f =-+=-，所以a =1.所以2()ln 2f x x x =+-. 22'()x f x x -=.由 '()0f x >解得x ＞0；由'()0f x <解得0＜x ＜2. 所以f (x )的单调增区间是（2，+∞）， 单调减区间是（0，2）.…… 4分 （Ⅱ）22 22'()a ax f x x x x -=- +=， 由'()0f x >解得2 x a >；由'()0f x <解得20x a <<.所以f (x )在区间2(,)a +∞上单调递增，在区间2(0,)a 上单调递减.所以当2 x a = 时，函数f (x )取得最小值，min 2 ()y f a =. 因为对于(0,)x ∀∈+∞都有()2(1)f x a >-成立， 所以2()2(1)f a a >-即可. 则22 ln 22(1)2a a a a +->-.由2ln a a a >解得20e a <<.所 以a 的取值范围是2 (0,)e . ……………… 8分 （Ⅲ）依题得2 ()ln 2g x x x b x =++--，则222'()x x g x x +-=.由'()0g x >解得x ＞1； 由'()0g x <解得0＜x ＜1.所以函数()g x 在区间（0，1）为减函数，在区间（1，+∞）为 增函数.又因为函数()g x 在区间[e － 1，e]上有两个零点，所以1()0 ()0(1)0g e g e g -⎧≥⎪≥⎨⎪<⎩ .解得 21e 1e b <≤ +-.所以b 的取值范围是2 (1,e 1]e +-. (13) 分 3．解：（Ⅰ）f (x )的定义域为（0，+∞）. ……………… 1分 因为1 '()20f x x x = +>，所以f (x )在[1，e]上是增函数， 当x =1时，f (x )取得最小值f (1)=1. 所以f (x )在[1，e]上的最小值为1. ……………… 3分 （Ⅱ）解法一：21221 '()2()x ax f x x a x x -+=+-= 设g (x )=2x 2―2ax +1， ……………… 4分 依题意，在区间1[,2]2 上存在子区间使得不等式g (x )＞0成立. …… 5分 注意到抛物线g (x )=2x 2―2ax +1开口向上，所以只要g (2)＞0，或1()02 g >即可 ……………… 6分 由g (2)＞0，即8―4a +1＞0，得94 a < ， 由1()02g >，即1102a -+>，得32a <， 所以9 4 a <， 所以实数a 的取值范围是9 (,)4 -∞. ……………… 8分 解法二：21221 '()2()x ax f x x a x x -+=+-=， ……………… 4分 依题意得，在区间1[,2]2 上存在子区间使不等式2x 2―2ax +1＞0成立. 又因为x ＞0，所以12(2)a x x <+. ……………… 5分 设1()2g x x x =+ ，所以2a 小于函数g (x )在区间1 [,2]2的最大值. 又因为1 '()2g x x =-， 由2 1 '()20g x x =- >解得2x >； 由2 1 '()20 g x x =- <解得02x <<. 所以函数g (x )在区间2)2上递增，在区间1(,22 上递减. 所以函数g (x )在1 2 x = ，或x =2处取得最大值. 又9(2)2g =，1()32g =，所以922a <，9 4 a < 所以实数a 的取值范围是9 (,)4 -∞. ……………… 8分 （Ⅲ）因为2221 '()x ax f x x -+=，令h (x )=2x 2―2ax +1 ①显然，当a ≤0时，在（0，+∞）上h (x )＞0恒成立，f '(x )＞0，此时函数f (x )没有极值点； ……………… 9分 ②当a ＞0时， （i ）当Δ≤0，即0a <≤ 时，在（0，+∞）上h (x )≥0恒成立，这时f '(x )≥0，此 时，函数f (x )没有极值点； ……………… 10分 （ii ）当Δ＞0时，即a > x < 当02a x <<或2 a x >时，h (x )＞0，这时f '(x )＞0； 所以，当a >2a x =是函数f (x )的极大值点；2 a x +=是函 数f (x )的极小值点. ……………… 12分 综上，当a ≤ f (x )没有极值点； 当a >x =是函数f (x )的极大值点；x =是函数f (x )的极 小值点. 4．解：2 ()(21)f x ax a x '=-++ (0)x >. ………1分 (Ⅰ)(1)(3)f f ''=，解得2 3 a =. ………3分 (Ⅱ)(1)(2) ()ax x f x x --'= (0)x >. ………4分 ①当0a ≤时，0x >，10ax -<， 在区间(0,2)上，()0f x '>；在区间(2,)+∞上()0f x '<， 故()f x 的单调递增区间是(0,2)，单调递减区间是(2,)+∞. ………5分 ②当102a << 时，1 2a >， 在区间(0,2)和1(,)a +∞上，()0f x '>；在区间1 (2,)a 上()0f x '<， 故()f x 的单调递增区间是(0,2)和1(,)a +∞，单调递减区间是1 (2,)a . ……… 6分 ③当12 a =时，2 (2)()2x f x x -'=， 故()f x 的单调递增区间是(0,)+∞. ………7分 ④当12a > 时，1 02a <<， 在区间1(0,)a 和(2,)+∞上，()0f x '>；在区间1 (,2)a 上()0f x '<， 故()f x 的单调递增区间是1 (0,)a 和(2,)+∞，单调递减区间是 1 (,2)a . ………8分 (Ⅲ)由已知，在(0,2]上有max max ()()f x g x <. ………9分 由已知，max ()0g x =，由(Ⅱ)可知， ①当1 2 a ≤ 时，()f x 在(0,2]上单调递增， 故max ()(2)22(21)2ln 2222ln 2f x f a a a ==-++=--+， 所以，222ln 20a --+<，解得ln 21a >-，故1 ln 212 a -<≤.……10分 ②当12a > 时，()f x 在1(0,]a 上单调递增，在1 [,2]a 上单调递减， 故max 11 ()()22ln 2f x f a a a ==-- -. 由12a >可知11 ln ln ln 12e a >>=-，2ln 2a >-，2ln 2a -<， 所以，22ln 0a --<，max ()0f x <， 综上所述，ln 21a >-. ………12分 5、(Ⅰ)直线y ＝x ＋2的斜率为1， 函数f (x )的定义域为 ()+∞,0 因为x a x x f +-=2' 2)(，所以()111 212 ' -=+-=a f ，所以a ＝1 所以()()2'2 ,2ln 2x x x f x x x f -=-+= 由()0' >x f 解得x ＞2 ； 由()0' 所以f (x )得单调增区间是()+∞,2，单调减区间是()2,0 ………4分 (Ⅱ)2 2' 2 2)(x ax x a x x f -= +- = 由()0'>x f 解得;2a x >由()0' 所以f (x )在区间),2(+∞a 上单调递增，在区间)2 ,0(a 上单调递减 所以当a x 2=时，函数f (x )取得最小值)2 (min a f y = 因为对于任意()())1(2,0->+∞∈a x f x 都有成立， 所以)1(2)2(->a a f 即可 则 )1(222ln 22->-+a a a a ，由a a a >2ln 解得e a 20<< 所以a 得取值范围是)2,0(e ……… 8分 (Ⅲ)依题意得b x x x g --+=2ln 2)(，则2 2' 2)(x x x x g -+= 由()0' >x g 解得x ＞1，由()0' 所以函数g (x )在区间[ ] e ,e 1 -上有两个零点， 所以⎪⎩ ⎪ ⎨⎧<≥≥-0 )1(0)(0 )(1g e g e g 解得121-+≤ 所以b 得取值范围是]12 ,1(-+e e ……… 12分 6、解： (1)因为1ln ()x f x x += ，0x >，则2ln ()x f x x '=-， …1分 当01x <<时，()0f x '>；当1x >时，()0f x '<． ∴()f x 在(0,1)上单调递增；在(1,)+∞上单调递减， ∴函数()f x 在1x =处取得极大值．………3分 ∵函数()f x 在区间1 (,)2 a a +(其中0a >)上存在极值， ∴1,11,2 a a <⎧⎪⎨ +>⎪⎩解得1 12a <<．……….5分 (2)不等式()1k f x x ≥ +，即为(1)(1ln ) x x k x ++≥， ………7分 记(1)(1ln )()x x g x x ++= ∴22 [(1)(1ln )](1)(1ln )ln ()x x x x x x x g x x x '++-++-'==，…9分 令()ln h x x x =-，则1 '()1h x x =- ，∵1x ≥，∴'()0h x ≥，∴()h x 在[1,)+∞上递增， ∴min [()](1)10h x h ==>，从而()0g x '>，故()g x 在[1,)+∞上也单调递增， ∴min [()](1)2g x g ==，∴2k ≤．………12分 1．设函数f(x)在0x 处可导，则x x f x x f x ?-?-→?) ()(lim 000 等于 A ．)('0x f B ．)('0x f - C ．0'()f x - D ．0'()f x -- 2．若13)()2(lim 000 =?-?+→?x x f x x f x ，则)('0x f 等于 A ．32 B ．2 3 C ．3 D ．2 3．若函数f(x)的导数为f ′(x)=-sinx ，则函数图像在点（4，f （4））处的切线的倾斜角为 A ．90° B ．0° C ．锐角 D ．钝角 4．对任意x ，有34)('x x f =，f(1)=-1，则此函数为 A ．4)(x x f = B ．2)(4-=x x f C ．1)(4+=x x f D ．2)(4+=x x f 5．设f(x)在0x 处可导，下列式子中与)('0x f 相等的是 （1）x x x f x f x ??--→?2)2()(lim 000 ； （2）x x x f x x f x ??--?+→?) ()(lim 000； （3）x x x f x x f x ??+-?+→?)()2(lim 000 （4）x x x f x x f x ??--?+→?)2()(lim 000. A ．（1）（2） B ．（1）（3） C ．（2）（3） D ．（1）（2）（3）（4） 6．若函数f(x)在点0x 处的导数存在，则它所对应的曲线在点))(,(00x f x 处的切线程是___. 7．已知曲线x x y 1+ =，则==1|'x y _____________. 8．设3)('0-=x f ，则=---→h h x f h x f h ) 3()(lim 000 _____________. 9．在抛物线2x y =上依次取两点，它们的横坐标分别为11=x ，32=x ，若抛物 导数典型例题 导数作为考试内容的考查力度逐年增大.考点涉及到了导数的所有内容，如导数的定义，导数的几何意义、物理意义，用导数研究函数的单调性，求函数的最（极）值等等，考查的题型有客观题（选择题、填空题）、主观题（解答题）、考查的形式具有综合性和多样性的特点.并且，导数与传统内容如二次函数、二次方程、三角函数、不等式等的综合考查成为新的热点. 一、与导数概念有关的问题 【例1】函数f (x )=x (x -1) (x -2)…(x -100)在x=0处的导数值为 A.0 B.1002 C.200 D.100！ 解法一 f ＇(0)=x f x f x ∆-∆+→∆) 0()0(lim = x x x x x ∆--∆-∆-∆∆→∆0 )100()2)(1(lim =lim 0 →∆x (Δx -1)(Δx -2)…(Δx -100)=（-1）（-2）…（-100）=100！ ∴选D. 解法二 设f (x )=a 101x 101+ a 100x 100+…+ a 1x +a 0，则f ＇(0)= a 1，而a 1=（-1）（-2）…（-100）=100！. ∴选D. 点评 解法一是应用导数的定义直接求解，函数在某点的导数就是函数在这点平均变化率的极限.解法二是根据导数的四则运算求导法则使问题获解. 【例2】 已知函数f (x )=n n n k k n n n n x c n x c k x c x c c 1121221 +++++ + ，n ∈N *，则 x x f x f x ∆∆--∆+→∆) 2()22(lim = . 解 ∵ x x f x f x ∆∆--∆+→∆) 2()22(lim =2x f x f x ∆-∆+→∆2) 2()22(lim + []x f x f x ∆--∆-+→∆-) 2()(2lim =2f ＇(2)+ f ＇(2)=3 f ＇(2)， 又∵f ＇(x )=1121 --+++++n n n k k n n n x c x c x c c ， ∴f ＇(2)= 21（2n n n k n k n n c c c c 222221+++++ ）=21[(1+2)n -1]= 2 1(3n -1). 点评 导数定义中的“增量Δx ”有多种形式，可以为正也可以为负，如 x m x f x m x f x ∆--∆-→∆-)()(000 lim ，且其定义形式可以是 x m x f x m x f x ∆--∆-→∆) ()(000 lim ，也可以是 00 )()(lim x x x f x f x --→∆（令Δx =x -x 0得到），本题是导数的定义与多项式函数求导及二项式定理有关 知识的综合题，连接交汇、自然，背景新颖. 【例3】 如圆的半径以2 cm/s 的等速度增加，则圆半径R =10 cm 时，圆面积增加的速度是 . 【巩固练习】 一、选择题 1．设函数310()(12)f x x =-，则'(1)f =（ ） A ．0 B ．―1 C ．―60 D ．60 2．（2014 江西校级一模）若2()2ln f x x x =-，则'()0f x >的解集为（ ） A.(0,1) B.()(),10,1-∞-U C. ()()1,01,-+∞U D.()1,+∞ 3．（2014春 永寿县校级期中）下列式子不正确的是（ ） A.()'23cos 6sin x x x x +=- B. ()'1ln 2 2ln 2x x x x -=- C. ()' 2sin 22cos 2x x = D.'2sin cos sin x x x x x x -??= ??? 4．函数4538 y x x =+-的导数是（ ） A ．3543 x + B ．0 C ．3425(43)(38)x x x ++- D ．3425(43)(38)x x x +-+- 5．（2015 安徽四模）已知函数()f x 的导函数为' ()f x ，且满足关系式2'()3(2)ln f x x xf x =++，则'(2)f 的值等于（ ） A. 2 B.-2 C. 94 D.94- 6．设曲线1(1)1 x y x x +=≠-在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a=（ ） A ．2 B ．12 C ．―12 D ．―2 7．23log cos (cos 0)y x x =≠的导数是（ ） A ．32log tan e x -? B ．32log cot e x ? C ．32log cos e x -? D ． 22log cos e x 二、填空题 8．曲线y=sin x 在点,12π?? ??? 处的切线方程为________。 9．设y=(2x+a)2，且2'|20x y ==，则a=________。 10．31sin x x '??-= ??? ____________，()2sin 25x x '+=????____________。 11．在平面直角坐标系xOy 中，点P 在曲线C ：y=x 3―10x+3上，且在第二象限内，已知曲 一．解答题（共9小题） 1．已知a＞0，函数f（x）=lnx﹣ax2，x＞0． （Ⅰ）求f（x）的单调区间； （Ⅱ）若存在均属于区间[1，3]的α，β，且β﹣α≥1，使f（α）=f（β），证明． 2．已知函数f（x）=xlnx﹣2x+a，其中a∈R． （1）求f（x）的单调区间； （2）若方程f（x）=0没有实根，求a的取值范围； （3）证明：ln1+2ln2+3ln3+…+nlnn＞（n﹣1）2，其中n≥2． 3．已知函数f（x）=axlnx（a≠0）． （Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和最值； （Ⅱ）若m＞0，n＞0，a＞0，证明：f（m）+f（n）+a（m+n）ln2≥f（m+n） 4．已知函数f（x）=2e x﹣x （1）求f（x）在区间[﹣1，m]（m＞﹣1）上的最小值； （2）求证：对时，恒有． 5．设a为实数，函数f（x）=e x﹣2x+2a，x∈R． （1）求f（x）的单调区间及极值； （2）求证：当a＞ln2﹣1且x＞0时，e x＞x2﹣2ax+1． 6．已知函数f（x）=ln（x+2）﹣a（x+1）（a＞0）． （1）求函数f（x）的单调区间； （2）若x＞﹣2，证明：1﹣≤ln（x+2）≤x+1． 7．已知函数f（x）=ln（x+1）﹣x． （Ⅰ）求函数f（x）的单调递减区间； （Ⅱ）若x＞﹣1，证明：． 8．已知函数 （1）当a=1时，利用函数单调性的定义证明函数f（x）在（0，1]内是单调减函数； （2）当x∈（0，+∞）时f（x）≥1恒成立，求实数a的取值范围． 9．已知函数f（x）= （1）当a＜0，x∈[1，+∞）时，判断并证明函数f（x）的单调性 （2）若对于任意x∈[1，+∞），不等式f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围． 参考答案与试题解析 章末检测 一、选择题 1．已知曲线y=x2+２x-2在点M处的切线与ｘ轴平行,则点M的坐标是( ）A．(-1,3) Ｂ．(-1,－３) Ｃ.(－2,－3)D．(-2,3） 答案B 解析∵ｆ′(ｘ)=2x＋2＝０，∴ｘ＝－1． ｆ(－1)=(-1)2+2×(-1)－２=－3.∴M（-1,－3). ２．函数y=x4－2x２+5的单调减区间为( ) A．(-∞，－1）及(0,1) B．（－１,0)及(１,＋∞） C.(－１,1) D.（-∞，-1)及(1,＋∞） 答案A 解析y′＝４x3－4x＝4ｘ(ｘ2－1)，令ｙ′<0得x的范围为（-∞,-1)∪（0,1)，故选Ａ. 3.函数f(x)＝x3＋ax２＋3x－9,在x＝-3时取得极值，则a等于( ) A.２ B.３ Ｃ．4Ｄ.5 答案D 解析f′（ｘ）=3x２＋2ax+３.由f(x)在ｘ=－3时取得极值， 即f′(－３)=0,即27-6ａ＋3＝0,∴a＝5. 4．函数ｙ＝ln错误!的大致图象为() 答案D 解析函数的图象关于x=-１对称，排除A、C，当ｘ>-1时，y=-ｌn(x＋１）为减函数，故选D. ５．二次函数y=ｆ(x）的图象过原点,且它的导函数y=f′(x）的图象过第一、二、三象限的一条直线，则函数y=f(x)的图象的顶点所在象限是( ) A．第一Ｂ.第二 C.第三 D.第四 答案C 解析∵ｙ＝f′(x)的图象过第一、二、三象限，故二次函数y＝f（x)的图象必然先下降再上升且对称轴在原点左侧,又因为其图象过原点,故顶点在第三象限． ６.已知函数f(x)＝－x3＋ax2-ｘ－１在（-∞，+∞）上是单调函数，则实数a的取值范围是()Ａ．（－∞，-３) B．[-错误!,错误!］ C．(错误!，＋∞) D．（－错误!未定义书签。,错误!未定义书签。) 答案Ｂ 解析f′(x）＝－３ｘ2+2ax－1≤0在(-∞，+∞）恒成立,Δ=4a2-12≤0⇒-错误!≤a≤错误!未定义书签。． 7.设f（x）=x ln x,若f′（x０)＝２，则x0等于( ) A.ｅ2B．ln 2 Ｃ.错误!未定义书签。 D.e 答案D 解析f′(x)＝ｘ·(ln x)′＋(x)′·lnｘ=1＋ln x． ∴f′(x0)=1＋ｌn x0＝2, 导数及其应用 一、选择题 1.函数y f (x) 在一点的导数值为0 是函数 y f ( x) 在这点取极值的（） A 充分条件B必要条件C充要条件 D 必要非充分条件 2.已知点P(1,2)是曲线 y=2x2上一点，则 P 处的瞬时变化率为（） 1 A ．2 B．4 C．6 D． 2 3.设函数f 32 (x) ＝x﹣x ，则 f (1)的值为（） A．－ 1 B ．0C． 1 D ． 5 4.已知函数f ( x)a x1( x 0) ，若 lim f ( x) 存在，则 f ' ( 2) x a( x0)x0 A. 4 ln 2 B.5 C.2 D.1 ln 2 44 5.设球的半径为时间t 的函数R t。若球的体积以均匀速度 c 增长，则球的表面积的增长速 度与球半径 A. 成正比，比例系数为C B. 成正比，比例系数为2C C.成反比，比例系数为C D. 成反比，比例系数为2C 6.已知函数f ( x)x3ax 2x1在 (,) 上是单调函数,则实数a的取值范围是 （） A ．(,3][3,)B．[3, 3] C．(,3) (3,) D．(3, 3) 7.一点沿直线运动,如果由始点起经过t 秒后的距离为s 1 t4 5 t32t 2，那么速度为零的时 43 刻是（）A．1 秒末B．0秒C．4 秒末D． 0,1,4秒末 8.下列等于 1 的积分是（） 11( x1)dx1 1 1dx A ．xdx B．C．1dx D． 0000 2 9. lim x的值是 x0 10x 1 1 A.不存在 B.0 C.2 D.10 1 e x )dx = 10. (e x（） A ．e 1 B ．2e C． 2 D．e1 e e e 二、填空题 11.设f (x) (1x)6 (1 x)5，则函数 f ' (x) 中x3的系数是 ______________。 12.过原点作曲线y e x的切线，则切点的坐标为，切线的斜率为. 13.曲线 y=x 3在点（ 1， 1）切线方程为. 14.函数f ( x) 1 ax32ax 2x 在R上单调递增，则实数 a 的取值范围为 _________ ． 3 三、解答题 15.设函数f ( x) (1x) 2ln(1x) 2 （ 1）求函数f ( x)的单调区间； （ 2）若当x [1 1,e1] 时，不等式 f ( x) m 恒成立，求实数m的取值范围；e （ 3 ）若关于x的方程f(x)x2x a 在区间[ 0 , 2 ]上恰好有两个相异的实根，求实 数 a 的取值范围。 16.设函数 f ( x) x3ax2a2 x m(a0) ． （1）若a 1 时函数 f (x) 有三个互不相同的零点，求m 的取值范围； （2）若函数 f (x) 在x1,1 内没有极值点，求 a 的取值范围； （3）若对任意的 a 3,6 ，不等式 f ( x)1在x2,2 上恒成立，求实数 m 的取值范围． 高考数学专题：导数大题专练含答案 一、解答题 1．已知函数()ln e x f x x =，()2 ln 1g x a x x =-+，e 是自然对数的底数． (1)求函数()f x 的最小值； (2)若()0g x ≤在()0,∞+上恒成立，求实数a 的值； (3)求证：2022 2023 20232023e 20222022⎛⎫ ⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎝⎭ ⎝⎭ ． 2．已知函数()()e sin x f x rx r * =⋅∈N ，其中e 为自然对数的底数. (1)若1r =，求函数()y f x =的单调区间； (2)证明：对于任意的正实数M ，总存在大于M 的实数a ，b ，使得当[,]x a b ∈时，|()|1f x ≤. 3．已知：()e x f x mx =+. (1)当1m =时，求曲线()y f x =的斜率为2的切线方程； (2)当0x ≥时，()2213 222 m f x x ≥+-成立，求实数m 的范围 4．设函数()1e ln 1x a f x a x -=--，其中0a > (1)当1a =时，讨论()f x 单调性； (2)证明：()f x 有唯一极值点0x ，且()00f x ≥. 5．已知函数()ln 1f x x ax =++，R a ∈，函数()()21e ln 2x g x x x x x x =-++-， )2 e ,x -∈+∞⎡⎣． (1)试讨论函数()f x 的单调性； (2)若0x 是函数()g x 的最小值点，且函数()()h x xf x =在0x x =处的切线斜率为2，试求a 的值． 6．已知函数()()32131.3 f x x a x x =-++ (1)若1a =，求函数()f x 的单调区间; (2)证明：函数()2y f x a =-至多有一个零点. 7．已知函数()ln x f x x = ， ()()1g x k x =-． (1)证明： R k ∀∈，直线y g x 都不是曲线()y f x =的切线； (2)若2e,e x ⎡⎤∀∈⎣⎦，使()()f x g x ≤恒成立，求实数k 的取值范围． 8．2020年9月22日，中国政府在第七十五届联合国大会上提出：“中国将提高国家自主贡献力度，采取更加有力的政策和措施，二氧化碳排放力争于2030 导数练习题 班 级 姓名 一、选择题 1．当自变量从x 0变到x 1时函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数( ) A ．在区间[x 0，x 1]上的平均变化率 B ．在x 0处的变化率 C ．在x 1处的变化量 D ．在区间[x 0，x 1]上的导数 2．已知函数y ＝f (x )＝x 2 ＋1，则在x ＝2，Δx ＝0.1时，Δy 的值为( ) A ．0.40 B ．0.41 C ．0.43 D ．0.44 3．函数f (x )＝2x 2－1在区间(1,1＋Δx )上的平均变化率Δy Δx 等于( ) A ．4 B ．4＋2Δx C ．4＋2(Δx )2 D ．4x 4．如果质点M 按照规律s ＝3t 2 运动，则在t ＝3时的瞬时速度为( ) A ． 6 B ．18 C ．54 D ．81 5．已知f (x )＝－x 2＋10，则f (x )在x ＝32处的瞬时变化率是( ) A ．3 B ．－3 C ． 2 D ．－2 6．设f ′(x 0)＝0，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线( ) A ．不存在 B ．与x 轴平行或重合 C ．与x 轴垂直 D ．与x 轴相交但不垂直 7．曲线y ＝－1 x 在点(1，－1)处的切线方程 为( ) A ．y ＝x －2 B ．y ＝x C ．y ＝x ＋ 2 D ．y ＝－x －2 8．已知曲线y ＝2x 2上一点A (2,8)，则A 处的切线斜率为( ) A ．4 B ．16 C ．8 D ．2 9．下列点中，在曲线y ＝x 2上，且在该点 处的切线倾斜角为π 4的是( ) A ．(0,0) B ．(2,4) C ．(14，1 16) D ．(12，1 4) 10．若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( ) A ．a ＝1，b ＝ 1 B ．a ＝－1，b ＝1 C ．a ＝1，b ＝－ 1 D ．a ＝－1，b ＝－1 11．已知f (x )＝x 2，则f ′(3)＝( ) A ．0 B ．2x C ． 6 D ．9 12．已知函数f (x )＝1 x ，则f ′(－3)＝( ) A ． 4 B.1 9 C ．－14 D ．－1 9 13．函数y ＝x 2 x ＋3 的导数是( ) 高考数学专题：导数大题专练附答案 一、解答题 1． 已知函数()()2ln 0f x a x ax a =+-> (1)求()f x 的最大值 (2)若()0f x ≤恒成立，求a 的值 2．已知函数()1ln f x ax x =--，a R ∈． (1)讨论函数()f x 在区间()1,e 的极值； (2)若函数()f x 在1x =处取得极值，对()0,x ∀∈+∞，()2f x bx ≥-恒成立，求实数 b 的取值范围． 3．已知函数1()2ln f x x x x =+-． (1)求函数的单调区间和极值； (2)若12x x ≠且()()12f x f x =，求证：121x x <． 4．已知a R ∈，函数()2 2e 2 x ax f x =+． (1)求曲线()y f x =在0x =处的切线方程 (2)若函数()f x 有两个极值点12,x x ，且1 201x x ， （ⅰ）求a 的取值范围； （ⅱ）当9a <-时，证明：21x x <-<． （注： 2.71828e =…是自然对数的底数） 5．设函数()()2 ()ln 1f x x a x x =++-，其中R a ∈. (1)1a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； (2)讨论函数()f x 极值点的个数，并说明理由； (3)若()0,0x f x ∀>成立，求a 的取值范围. 6．求下列函数的导数： (1)2 cos x x y x -= ； (2)()e 1cos 2x x y x =+-； (3)()3log 51y x =-． 7．已知函数()e x f x kx =-，()()28ln a g x x x a R x =--∈. (1)当1k =时，求函数()f x 在区间[]1,1-的最大值和最小值； 导数解答题练习 1．已知f (x )＝x ln x －ax ，g (x )＝－x 2－2， (Ⅰ)对一切x ∈(0，＋∞)，f (x )≥g (x )恒成立，求实数a 的取值范围； (Ⅱ)当a ＝－1时，求函数f (x )在[m ，m ＋3](m ＞0)上的最值； (Ⅲ)证明：对一切x ∈(0，＋∞)，都有ln x ＋1＞ex e x 2 1-成立． 2、已知函数2 ()ln 2(0)f x a x a x = +->. （Ⅰ）若曲线y =f (x )在点P （1，f (1)）处的切线与直线y =x +2垂直，求函数y =f (x )的单调区间； （Ⅱ）若对于(0,)x ∀∈+∞都有f (x )＞2(a ―1)成立，试求a 的取值范围； （Ⅲ）记g (x )=f (x )+x ―b （b ∈R ）.当a =1时，函数g (x )在区间[e ― 1，e]上有两个零点，求实数b 的取值范围. 3、设函数f (x )=ln x +(x －a )2，a ∈R . （Ⅰ）若a =0，求函数f (x )在[1，e]上的最小值； （Ⅱ）若函数f (x )在1[,2]2 上存在单调递增区间，试求实数a 的取值范围； （Ⅲ）求函数f (x )的极值点. 4、已知函数2 1()(21)2ln ()2 f x ax a x x a = -++∈R . (Ⅰ)若曲线()y f x =在1x =和3x =处的切线互相平行，求a 的值； (Ⅱ)求()f x 的单调区间； (Ⅲ)设2 ()2g x x x =-，若对任意1(0,2]x ∈，均存在2(0,2]x ∈，使得12()()f x g x <，求a 的取值范围. 5、已知函数1ln ()x f x x += ． (1)若函数在区间1 (,)2 a a + (其中0a >)上存在极值，求实数a 的取值范围； (2)如果当1x ≥时，不等式()1 k f x x ≥+恒成立，求实数k 的取值范围． 导数练习题 1.已知函数f(x)= ax3+ bx1 2+ ex在x= ±1处取得极值，在 x= 0处的切线与直线3x+ y= 0平行. (1)求f(x)的解析式； ⑵已知点A(2, m)，求过点A的曲线y= f(x)的切线条数. 解 (l)f' (x)= 3ax2 + 2bx+ e, f (1 尸3a+ 2b+ e = 0, f a= 1, 由题意可得f' — 1 = 3a — 2b+ e= 0, 解得 b= 0, f' 0 = e=— 3, - e=— 3. 所以 f(x)= x3— 3x. ⑵设切点为(t, t3— 3t)，由(1)知f' (x) = 3x2— 3，所以切线斜率 k= 3t2— 3, 切线方程为 y — (t3— 3t) = (3t2— 3)(x— t). 又切线过点 A(2, m),代入得 m— (t3— 3t)= (3t2— 3)(2 — t)，解得 m = — 2t3 + 6t2— 6. 设 g(t) =— 2t3 + 6t2— 6,令 g ' (t)= 0, 即—6t2 + 12t= 0,解得 t= 0 或 t = 2. 当t变化时，g' (t)与g(t)的变化情况如下表： 所以g(t)的极小值为g(0) =— 6,极大值为g(2) = 2. 作出函数草图(图略)，由图可知： ①当m>2或m< — 6时，方程m=— 2t3 + 6t2— 6只有一解，即过点 A只有一条切线; ②当m= 2或m=— 6时，方程 m=— 2t3 + 6t2— 6恰有两解，即过点 A有两条切线; ③当—6 数学导数专题练习题（及答案） 一、单选题 1．已知不等式2ln e 0x a x a x x x ++-≥，对于任意的()0,x ∈+∞恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．21,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ B ．1,e ∞⎡⎫ +⎪⎢⎣⎭ C ．[)1,+∞ D ．[)e,+∞ 2．设函数f （x ）的导函数为()'f x ，将方程()()f x f x ='的实数根称为函数f （x ）的“新驻 点”.记函数()e x f x x =+，()ln g x x x =+，()sin h x x x =+的“新驻点”分别为a ，b ，c ，则 （ ） A ．c a b << B ．c b a << C ．b a c << D ．a c b << 3．下列导数运算正确的是（ ） A ．2 1-'⎛⎫= ⎪⎝⎭ x x B ．()22ln 2x x '= C ．()1 ln 22'=x x D ．()sin cos cos sin x x x x '-=- 4．设()3sin cos 222cos x x f x x + = ，则下列说法正确的是（ ） A ．()f x 值域为33,,22⎛⎤⎡⎫ -∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭ B ．()f x 在0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭ 上单调递增 C ．()f x 在,04π⎛⎫ - ⎪⎝⎭ 上单调递减 D ．()()f x f x π=+ 5．已知函数()2 ln ,0 ,1,0x x x f x x x >⎧=⎨-≤⎩若函数()()=-g x f x k 有三个零点，则（ ） A ．e 1k -<≤ B ．1 1e k -<< C ．e 0k -<< D ．1 0e k -<< 6．已知在(],2-∞上的连续函数()f x ，其导函数为()f x '，满足(],2x ∀∈-∞， ()()2 56x x f x -+'+() ()2220x x f x -->恒成立，设()2e 1a f =-，()120b f =-，0c ，则 （ ） A ．a c b >> B ．a b c >> C ．c b a >> D ．b a c >> 7．下列各式中正确的是（ ） A ．()1ln 22 '= B ．()33x x '= C ．若()21 f x x =，则 ()2327 f '=- D ．()21 log ln 2x x '= 8．若()()14f f x x x '= +，则'f '（1）=（ ） 导数练习题 班级 姓名 一、选择题 1．当自变量从x0变到x1时函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数() A．在区间[x0，x1]上的平均变化率B．在x0处的变化率 C．在x1处的变化量 D．在区间[x0，x1]上的导数 2．已知函数y＝f(x)＝x2＋1，则在x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为() A．0.40 B．0.41 C．0.43 D ．0.44 3．函数f(x)＝2x2－1在区间(1,1＋Δx)上 的平均变化率Δy Δx 等于() A．4 B．4＋2Δx C．4＋2(Δx)2 D ．4x 4．如果质点M按照规律s＝3t2运动，则在t＝3时的瞬时速度为() A．6 B．18 C．54 D ．81 5．已知f(x)＝－x2＋10，则f(x)在x＝3 2处 的瞬时变化率是() A．3 B．－3 C．2 D ．－2 6．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线() A．不存在 B ．与x轴平行或重合 C．与x轴垂直 D ．与x轴相交但不垂直7．曲线y＝－ 1 x在点(1，－1)处的切线方程 为() A．y＝x－2 B．y＝x C．y＝x＋2 D ．y＝－x－2 8．已知曲线y＝2x2上一点A(2,8)，则A处 的切线斜率为() A．4 B．16 C．8 D．2 9．下列点中，在曲线y＝x2上，且在该点 处的切线倾斜角为 π 4的是() A．(0,0) B．(2,4) C．( 1 4， 1 16) D ．( 1 2， 1 4) 10．若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的 切线方程是x－y＋1＝0，则() A．a＝1，b＝1 B ．a＝－1，b＝1 C．a＝1，b＝－1 D ．a＝－1，b＝－1 11．已知f(x)＝x2，则f′(3)＝() A．0 B．2x C．6 D．9 12．已知函数f(x)＝ 1 x，则f′(－3)＝() A．4 B. 1 9 C．－ 1 4D．－ 1 9 13．函数y＝ x2 x＋3 的导数是() A. x2＋6x ?x＋3?2 B. x2＋6x x＋3 C. －2x ?x＋3?2 D. 3x2＋6x ?x＋3?2 导数概念及其几何意义、导数的运算 一、选择题： 1 已知32 ()32f x ax x =++，若(1)4f '-=，则a 的值等于 A 193 B 103 C 16 3 D 133 2 已知直线1y kx =+与曲线3 y x ax b =++切于点（1，3），则b 的值为 A 3 B -3 C 5 D -5 3 函数2y x a a = +2 （）(x-)的导数为 A 222()x a - B 223()x a + C 223()x a - D 22 2()x a + 4 曲线313y x x =+在点4 (1,)3 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 A 1 9 B 29 C 13 D 2 3 5 已知二次函数2 y ax bx c =++的导数为(),(0)0f x f ''>，对于任意实数x ，有()0f x ≥，则(1) (0) f f '的最小值为 A 3 B 52 C 2 D 32 6 已知函数()f x 在1x =处的导数为3，则()f x 的解析式可能为 A 2()(1)3(1)f x x x =-+- B ()2(1)f x x =- C 2()2(1)f x x =- D ()1f x x =- 7 下列求导数运算正确的是 A 211()1x x x '+=+ B 21 (log )ln 2 x x '= C 3(3)3log x x e '=⋅ D 2 (cos )2sin x x x x '=- 8 曲线32 153 y x x =-+在1x =处的切线的倾斜角为 A 6 π B 34π C 4π D 3 π 9 曲线3 2 31y x x =-+在点(1,1)-处的切线方程为 A 34y x =- B 32y x =-+ C 43y x =-+ D 45y x =- 10 设函数sin cos y x x x =+的图像上的点(,)x y 处的切线斜率为k ，若()k g x =，则函数()k g x =的图像大致为 一、单选题 1．已知可导函数()f x 的导函数为()'f x ， ()02018f =，若对任意的x R ∈，都有()()'f x f x >，则不等式()2018x f x e <的解集为（ ） A. ()0,+∞ B. 21,e ⎛⎫ +∞ ⎪⎝⎭ C. 21,e ⎛ ⎫-∞ ⎪⎝⎭ D. (),0-∞ 2．定义在R 上的偶函数()f x 的导函数为()f x '，且当()()0,20x xf x f x +'><.则（ ） A. ()()2 24 f e f e > B. ()()931f f > C. ()()2 39 f e f e -< D. ()()2 24 f e f e -< 3．已知()f x 为定义在()0,+∞上的可导函数，且()()'f x xf x >恒成立，则不等式()2 10x f f x x ⎛⎫ -> ⎪⎝⎭ 的解集为（ ） A. ()1,+∞ B. (),1-∞ C. ()2,+∞ D. (),2-∞ 二、解答题 4．已知函数()()2 ln f x ax x a R =-+∈ . （1）讨论()f x 的单调性； （2）若存在()()1,,x f x a ∈+∞>-，求a 的取值范围. 5．设函数()() 222ln f x x ax x x x =-++-． （1）当2a =时，讨论函数()f x 的单调性； （2）若()0,x ∈+∞时， ()0f x >恒成立，求整数a 的最小值． 6．已知函数()()()1ln ,a f x x a x g x a R x +=-=-∈. 若1a =，求函数()f x 的极值； 设函数()()()h x f x g x =-，求函数()h x 的单调区间； 若在区间[] ()1, 2.71828e e =⋯上不存在．．．0x ，使得()()00f x g x <成立，求实数a 的取值范围. 完整版)导数大题练习带答案 1.已知 $f(x)=x\ln x-ax$，$g(x)=-x^2-2$，要求实数 $a$ 的取值范围。 Ⅰ）对于所有 $x\in(0,+\infty)$，都有 $f(x)\geq g(x)$，即$x\ln x-ax\geq -x^2-2$，整理得 $a\leq \ln x +\frac{x}{2}$，对于 $x\in(0,+\infty)$，$a$ 的取值范围为 $(-\infty。+\infty)$。 Ⅱ）当 $a=-1$ 时，$f(x)=x\ln x+x$，求 $f(x)$ 在 $[m。m+3]$ 上的最值。$f'(x)=\ln x+2$，令 $f'(x)=0$，解得 $x=e^{-2}$，在 $[m。m+3]$ 上，$f(x)$ 单调递增，所以最小值为 $f(m)=me^{m}$。 Ⅲ）证明：对于所有 $x\in(0,+\infty)$，都有 $\ln x+1>\frac{1}{x}$。证明：$f(x)=\ln x+1-\frac{1}{x}$， $f'(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}=\frac{1}{x^2}(x-1)>0$，所以$f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增，即对于所有 $x\in(0,+\infty)$，都有 $\ln x+1>\frac{1}{x}$。 2.已知函数 $f(x)=\frac{2}{x}+a\ln x-2(a>0)$。 Ⅰ）若曲线 $y=f(x)$ 在点 $P(1,f(1))$ 处的切线与直线$y=x+2$ 垂直，求函数 $y=f(x)$ 的单调区间。$f'(x)=- 高考数学专题：导数大题专练(含答案) 一、解答题 1．已知函数()()2 e 1=-+x f x ax x （a ∈R ，e 为自然对数的底数）． (1)若()f x 在x=0处的切线与直线y=ax 垂直，求a 的值； (2)讨论函数()f x 的单调性； (3)当21 e a ≥ 时，求证：()2ln 2x x f x x ---≥． 2．已知()2,1 3,1x x x f x x x ⎧-≥-=⎨+<-⎩ ，()()ln g x x a =+． (1)存在0x 满足：()()00f x g x =，()()00f x g x ''=，求a 的值； (2)当4a ≤时，讨论()()()h x f x g x =-的零点个数． 3．已知2e 1 ()(0),()e ()2 x x m f x m g x x ax ax a x =≠=--∈R ． (1)当0x >时，讨论()f x 的单调性； (2)若12 m =-，对12[1,),[0,)x x ∀∈+∞∀∈+∞，使得()()21g x f x >恒成立，求a 的取值范围． 4．已知()2e x x a f x -=． (1)若()f x 在3x =处取得极值，求()f x 的最小值； (2)若()1f x x ≤-对[)1,x ∞∈+恒成立，求a 的取值范围． 5．己知函数()2ln ,f x x ax a R =-∈. (1)当0a =时，求曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程； (2)设函数()()ln 21g x f x x x =--+，若()0g x ≤在其定义域内恒成立，求实数a 的最小值； (3)若关于x 的方程()2 ln f x x x =+恰有两个相异的实根12,x x ，求实数a 的取值范 围，并证明121x x >. 6．已知函数21 ()(1)ln 2 f x x ax a x =-+-，(2) 2.f '= (1)求a 的值; (2)求函数()f x 的极小值. 7．已知函数2()ln f x x x ax =-． (1)若()0f x ≤恒成立，求实数a 的取值范围； (2)若()112212ln 2ln 200x ax x ax x x -=-=>>，证明：()1212ln ln 1 0ln 2 x x x x ⋅< <．导数经典练习题及答案
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