导数练习题带答案
导数及其应用
一、选择题
1.函数y f (x) 在一点的导数值为0 是函数 y f ( x) 在这点取极值的（）
A 充分条件B必要条件C充要条件 D 必要非充分条件
2.已知点P(1,2)是曲线 y=2x2上一点，则 P 处的瞬时变化率为（）
1
A ．2 B．4 C．6 D．
2
3.设函数f
32
(x) ＝x﹣x ，则 f (1)的值为（）
A．－ 1 B ．0C． 1 D ． 5
4.已知函数f ( x)a x1( x 0)
，若 lim f ( x) 存在，则 f ' ( 2)
x a( x0)x0
A. 4 ln 2
B.5
C.2
D.1
ln 2
44
5.设球的半径为时间t 的函数R t。若球的体积以均匀速度 c 增长，则球的表面积的增长速
度与球半径
A. 成正比，比例系数为C
B. 成正比，比例系数为2C
C.成反比，比例系数为C
D. 成反比，比例系数为2C
6.已知函数f ( x)x3ax 2x1在 (,) 上是单调函数,则实数a的取值范围是
（）
A ．(,3][3,)B．[3, 3]
C．(,3) (3,) D．(3, 3)
7.一点沿直线运动,如果由始点起经过t 秒后的距离为s 1 t4 5 t32t 2，那么速度为零的时
43
刻是（）A．1 秒末B．0秒C．4 秒末D． 0,1,4秒末
8.下列等于 1 的积分是（）
11( x1)dx1 1 1dx
A ．xdx B．C．1dx D．
0000 2
9. lim x的值是
x0 10x 1 1
A.不存在
B.0
C.2
D.10
1
e x )dx =
10. (e x（）
A ．e 1
B ．2e C．
2
D．e1 e e e
二、填空题
11.设f (x) (1x)6 (1 x)5，则函数 f ' (x) 中x3的系数是 ______________。
12.过原点作曲线y e x的切线，则切点的坐标为，切线的斜率为.
13.曲线 y=x
3在点（ 1， 1）切线方程为.
14.函数f ( x) 1 ax32ax 2x 在R上单调递增，则实数 a 的取值范围为 _________ ．
3
三、解答题
15.设函数f ( x) (1x) 2ln(1x) 2
（ 1）求函数f ( x)的单调区间；
（ 2）若当x [1
1,e1] 时，不等式 f ( x) m 恒成立，求实数m的取值范围；e
（ 3 ）若关于x的方程f(x)x2x a 在区间[ 0 , 2 ]上恰好有两个相异的实根，求实
数 a 的取值范围。
16.设函数 f ( x) x3ax2a2 x m(a0) ．
（1）若a 1 时函数 f (x) 有三个互不相同的零点，求m 的取值范围；
（2）若函数 f (x) 在x1,1 内没有极值点，求 a 的取值范围；
（3）若对任意的 a 3,6 ，不等式 f ( x)1在x2,2 上恒成立，求实数 m 的取值范围．
17.已知函数 f ( x) x33ax b(a0) .
（1）若曲线y f ( x) 在点 (2, f (x)) 处与直线 y 8相切，求 a,b 的值；
（2）求函数 f (x) 的单调区间与极值点。
18.求函数y( x a)( x b)( x c) 的导数。
19.2(3x2则
0k )dx 10, k
20.甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边 A 处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河
岸 40 km 的 B 处，乙厂到河岸的垂足 D与 A 相距 50 km，两厂要在此岸边合建一个供水
站 C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米 3 a元和 5 a元，问供水站 C 建在岸边何处才能使水管费用最省？
A C D
B
答案
一、选择题
1.D
2.B
3.C
4.D
5.解析 :由题意可知球的体积为
V (t ) 4 R 3 (t ) ，则 c V ' ( t) 4 R 2 (t ) R ' ( t)，由此可得
3
c
4 R(t ) ，而球的表面积为 S(t) 4 R 2 (t) ，
R(t ) R ' (t )
所以 v 表＝ S '
(t ) 4 R 2
(t)
8 R(t)R ' (t ) ，
即 v 表＝8
R(t )R '
(t)＝ 2 4 R(t) R '
(t)＝
2c R '
(t )＝ 2c
，故选 D
R(t) R ' (t) R(t)
6. B 解析： f '
( x)
3x 2 2ax 1 0在(
,
) 恒成立，
4a 2 12
0 3 a
3
7. D
8. C 9.D 10.D 二、填空题
11. 40
12. （ 1， e ）, e 13.3x － y － 2=0 14. [0, 1
]
4
三、解答题
15.解析 ：因为 f (x)
(1 x) 2
ln(1 x) 2 所以 f ( x)
2(1 x) 2
1 x
（ 1）令 f ( x) 2(1
x) 1 2 2[(1 x)
1 ] 0 x 2
2x 0
x
1 x
1 x
2
x
1 或 x >0，所以 f ( x ) 的单调增区间为（－ 2，－ 1）和（ 0， +∞）；⋯（ 3
分）
令 f ( x) 2(1
x) 1 2 2[(1 x)
1 ] 0 x 2
2x 0
x
1 x
1 x
1 x 0或x
2, 所以 f ( x) 的单调减区间（－ 1，0）和（－∞，－
2）。⋯⋯（ 5
分）
（ 2）令 f ( x) 0
(1 x)2
1 x 0或 x
2 （舍），由（ 1）知， f ( x ) 连续，
f ( 1
1) 1
2, f (0) 1, f (e
1) e 2
2,
e
e 2
所以 ,当 x
[
1
1,e
1]时, f ( x)的最大值为 e 2
2.
e
因此可得： f ( x )
（9 分）
（ 3）原题可转化为：方程 a =(1+ x ) －ln(1+ x ) 2 在区间 [0 ， 2] 上恰好有两个相异的实根。
令g( x) (1 x) ln(1
x) 2 , 则g
( x)
1
2 x ,令g ( x) 0, 解得 : x 1,
1
当 x 时 , g ( x) 0, g( x) 在 (0,1) 单调递减 ,
(0,1) 当 x 时 , g ( x) 0, g( x) 在 单调递增 .
分
(1,2) (1,2) (12 ) g ( x) 在 x 和 点处连续 , 0 x 2 又 g (0) 1, g (1) 2 ln 4, g( 2) 3 ln 9,
且 2－ ln4<3 － ln9<1 ，∴ g( x) 的最大值是
1， g (x) 的最小值是 2－ ln4 。
所以在区间 [0 ， 2] 上原方程恰有两个相异的实根时实数
a 的取值范围是：
2－ ln4< a ≤3－ ln9
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
（14 分）
16.解析 ：（ 1）当 a
1时 f ( x)
x 3 x 2
x m ，
∵ f (x) 有三个互不相同的零点，
∴ f (x) x 3 x 2 x m 0 即 m x 3 x 2 x 有三个互不相同的实数根．
令 g( x) x 3
x 2 x ，则 g / ( x) 3x 2
2x 1 (3x 1)(x 1)
∵ g (x) 在 (
, 1) 和 (1
,
) 均为减函数，在 (
1, 1
) 为增函数，
3
3
∴ g( x)极小
g( 1)
1, g (x)极大
g( 1
)
5
3
27
所以 m 的取值范围是 ( 1, 5 )
⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分
27
（2）由题设可知，方程
f / ( x) 3x 2
2ax a 2
0 在 1,1 上没有实数根，
f / (1) 3 2a a 2 0
∴ f / (
1) 3 2a a 2 0 ，解得 a
3
⋯⋯⋯8分
a
（3）∵f/(x)3x22ax a23( x a
)( x a), 又 a0 ，3
∴当 x a 或x a
时， f /( x)0 ；当a x
a
时， f / (x)0 ．3
a)和 (
a
,
3
( a,
a
)
∴函数 f ( x) 的递增区间为 (,), 单调递减区间为
33
当 a3,6时，a1,2 ,a 3 ，又x2,2，∴ f (x)max max f ( 2), f (2) 3
而 f (2) f (2)164a20 ，∴ f (x)max f (2)84a2a2m ，
又∵f ( x)1在2,2
上恒成立，∴
即2，
f ( x) max184a2a m1
即 m 9
4a2a2在a3,6上恒成立．
∵ 9 4a2a2的最小值为87 ，∴ m87.⋯⋯⋯ 13 分
17.解析：（Ⅰ）f'x3x23a ,
∵曲线 y f (x) 在点 (2, f ( x)) 处与直线 y8 相切，
f '20
3 4a0a4,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分
∴
f2886a b8b24.
（Ⅱ）∵ f 'x3x2a a 0,
当 a0 时，f'x0， f(x) 在,上单调递增，此时函数 f ( x) 没有极值点.当 a0 时，由f'x0x a ，
当x,a时， f 'x0，函数 f (x) 单调递增，
当 x a,a时， f 'x0，函数 f (x) 单调递减，
当 x a,时， f 'x0 ，函数 f (x)单调递增，
∴此时x a是 f(x) 的极大值点，x a 是f ( x)的极小值点.⋯⋯⋯⋯⋯12分18.解析：y'(x a)' ( x b)( x c) ( x a)( x b)' ( x c) ( x a)( x b)( x c)'
( x b)( x c) ( x a)( x c) (x a)( x b)
19.1
20. 解法一 ：根据题意知，只有点 C 在线段 AD 上某一适当位置，才能使总运费最省，设
C
点距 D 点 x km,
则 ∵ BD=40,AC=50－ x , ∴ BC= BD 2 CD 2
x 2 402
又设总的水管费用为 y 元，依题意有：
y =3 a (50 － x)+5 a x 2
402 (0 x 50)
y ′ =－3 a +
5ax , 令 y ′ =0, 解得 x =30
x 2 402
在 (0,50) 上， y 只有一个极值点，根据实际问题的意义，
函数在 x =30(km) 处取得最小值，此时
AC=50－ x =20(km)
∴供水站建在 A 、 D 之间距甲厂 20 km 处，可使水管费用最省 .
解法二 ：设∠ BCD= , 则 BC=
40
,CD= 40 cot , (0
2)
, AC
50 40cot
sin
设总的水管费用为 f( θ ), 依题意，有
f ( θ )=3 a (50 － 40· cot θ )+5 a
40 =150 a +40 a · 5
3cos
sin
sin
∴ f
( θ )=40 a (5
3cos )
sin (5 3cos ) (sin )
3 5cos
sin 2
40 a sin 2
令 f ( θ )=0, 得 cos θ =
3
5
根据问题的实际意义，当
cos θ = 3
时，函数取得最小值，此时
sin θ = 4
, ∴ cot θ= 3
,
5
5 4
∴AC=50 － 40cot θ=20(km), 即供水站建在 A 、 D 之间距甲厂 20 km 处，可使水管费用最省 .
导数经典练习题及答案
1．设函数f(x)在0x 处可导，则x x f x x f x ?-?-→?) ()(lim 000 等于 A ．)('0x f B ．)('0x f - C ．0'()f x - D ．0'()f x -- 2．若13)()2(lim 000 =?-?+→?x x f x x f x ，则)('0x f 等于 A ．32 B ．2 3 C ．3 D ．2 3．若函数f(x)的导数为f ′(x)=-sinx ，则函数图像在点（4，f （4））处的切线的倾斜角为 A ．90° B ．0° C ．锐角 D ．钝角 4．对任意x ，有34)('x x f =，f(1)=-1，则此函数为 A ．4)(x x f = B ．2)(4-=x x f C ．1)(4+=x x f D ．2)(4+=x x f 5．设f(x)在0x 处可导，下列式子中与)('0x f 相等的是 （1）x x x f x f x ??--→?2)2()(lim 000 ； （2）x x x f x x f x ??--?+→?) ()(lim 000； （3）x x x f x x f x ??+-?+→?)()2(lim 000 （4）x x x f x x f x ??--?+→?)2()(lim 000. A ．（1）（2） B ．（1）（3） C ．（2）（3） D ．（1）（2）（3）（4） 6．若函数f(x)在点0x 处的导数存在，则它所对应的曲线在点))(,(00x f x 处的切线程是___. 7．已知曲线x x y 1+ =，则==1|'x y _____________. 8．设3)('0-=x f ，则=---→h h x f h x f h ) 3()(lim 000 _____________. 9．在抛物线2x y =上依次取两点，它们的横坐标分别为11=x ，32=x ，若抛物
导数典型例题(含答案)
导数典型例题 导数作为考试内容的考查力度逐年增大.考点涉及到了导数的所有内容，如导数的定义，导数的几何意义、物理意义，用导数研究函数的单调性，求函数的最（极）值等等，考查的题型有客观题（选择题、填空题）、主观题（解答题）、考查的形式具有综合性和多样性的特点.并且，导数与传统内容如二次函数、二次方程、三角函数、不等式等的综合考查成为新的热点. 一、与导数概念有关的问题 【例1】函数f (x )=x (x -1) (x -2)…(x -100)在x=0处的导数值为 A.0 B.1002 C.200 D.100！ 解法一 f ＇(0)=x f x f x ∆-∆+→∆) 0()0(lim = x x x x x ∆--∆-∆-∆∆→∆0 )100()2)(1(lim =lim 0 →∆x (Δx -1)(Δx -2)…(Δx -100)=（-1）（-2）…（-100）=100！ ∴选D. 解法二 设f (x )=a 101x 101+ a 100x 100+…+ a 1x +a 0，则f ＇(0)= a 1，而a 1=（-1）（-2）…（-100）=100！. ∴选D. 点评 解法一是应用导数的定义直接求解，函数在某点的导数就是函数在这点平均变化率的极限.解法二是根据导数的四则运算求导法则使问题获解. 【例2】 已知函数f (x )=n n n k k n n n n x c n x c k x c x c c 1121221 +++++ + ，n ∈N *，则 x x f x f x ∆∆--∆+→∆) 2()22(lim = . 解 ∵ x x f x f x ∆∆--∆+→∆) 2()22(lim =2x f x f x ∆-∆+→∆2) 2()22(lim + []x f x f x ∆--∆-+→∆-) 2()(2lim =2f ＇(2)+ f ＇(2)=3 f ＇(2)， 又∵f ＇(x )=1121 --+++++n n n k k n n n x c x c x c c ， ∴f ＇(2)= 21（2n n n k n k n n c c c c 222221+++++ ）=21[(1+2)n -1]= 2 1(3n -1). 点评 导数定义中的“增量Δx ”有多种形式，可以为正也可以为负，如 x m x f x m x f x ∆--∆-→∆-)()(000 lim ，且其定义形式可以是 x m x f x m x f x ∆--∆-→∆) ()(000 lim ，也可以是 00 )()(lim x x x f x f x --→∆（令Δx =x -x 0得到），本题是导数的定义与多项式函数求导及二项式定理有关 知识的综合题，连接交汇、自然，背景新颖. 【例3】 如圆的半径以2 cm/s 的等速度增加，则圆半径R =10 cm 时，圆面积增加的速度是 .
导数的运算专项练习(含答案)
导数的运算 一、单选题（共33题；共66分） 1.f′(x)是函数f(x)＝x3＋2x＋1的导函数，则f′(－1)的值为（） A. 0 B. 3 C. 4 D. － 2.函数的导数为（） A. B. C. D. 3.设函数，若，则等于（） A. B. C. D. 4.设则等于( ) A. B. C. D. 5.已知函数的导函数,且满足，则＝( ) A. B. C. 1 D. 6.已知函数的导函数为，且，则（） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 7.下列求导运算的正确是（） A. 为常数 B. C. D. 8.已知函数的值为（） A. B. C. D. 9.下列求导运算正确的是（） A. B. C. D. 10.已知函数f（x）=sinx-cosx，则f'（）=（） A. B. C. D. 11.若函数f（x）=2+xcos2x，则f'（x）=（） A. cos 2x-xsin 2x B. x-sin 2x C. 1-2sin 2x D. cos2x-2sin2x 12.函数的导数为（） A. ＝2 B. ＝ C. ＝2 D. ＝ 13.设函数的导函数为，且，则＝( ) A. 0 B. －4 C. －2 D. 2
14.设，若，则（） A. B. C. D. 15.已知函数，则其导数（） A. B. C. D. 16.若函数，则的值为（） A. 0 B. 2 C. 1 D. －1 17.已知函数，且，则的值为（） A. B. C. D. 18.已知函数，为的导函数，则的值为（） A. B. C. D. 19.下列求导运算正确的是（） A. B. C. D. 20.已知函数的导函数为，且满足，则（） A. B. C. D. 21.若，则函数的导函数（） A. B. C. D. 22.函数的导数为（） A. B. C. D. 23.下列导数式子正确的是（） A. B. C. D. 24.已知，则等于（） A. -2 B. 0 C. 2 D. 4 25.已知函数，则（） A. B. C. D. 26.已知，则（） A. B. C. D. 27.设，，则x0＝( ) A. e2 B. e C. D. ln 2 28.下列求导数运算正确的是（）
(完整版)导数习题+答案
一．解答题（共9小题） 1．已知a＞0，函数f（x）=lnx﹣ax2，x＞0． （Ⅰ）求f（x）的单调区间； （Ⅱ）若存在均属于区间[1，3]的α，β，且β﹣α≥1，使f（α）=f（β），证明． 2．已知函数f（x）=xlnx﹣2x+a，其中a∈R． （1）求f（x）的单调区间； （2）若方程f（x）=0没有实根，求a的取值范围； （3）证明：ln1+2ln2+3ln3+…+nlnn＞（n﹣1）2，其中n≥2． 3．已知函数f（x）=axlnx（a≠0）． （Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和最值； （Ⅱ）若m＞0，n＞0，a＞0，证明：f（m）+f（n）+a（m+n）ln2≥f（m+n） 4．已知函数f（x）=2e x﹣x （1）求f（x）在区间[﹣1，m]（m＞﹣1）上的最小值； （2）求证：对时，恒有． 5．设a为实数，函数f（x）=e x﹣2x+2a，x∈R． （1）求f（x）的单调区间及极值； （2）求证：当a＞ln2﹣1且x＞0时，e x＞x2﹣2ax+1． 6．已知函数f（x）=ln（x+2）﹣a（x+1）（a＞0）． （1）求函数f（x）的单调区间； （2）若x＞﹣2，证明：1﹣≤ln（x+2）≤x+1． 7．已知函数f（x）=ln（x+1）﹣x． （Ⅰ）求函数f（x）的单调递减区间； （Ⅱ）若x＞﹣1，证明：． 8．已知函数 （1）当a=1时，利用函数单调性的定义证明函数f（x）在（0，1]内是单调减函数； （2）当x∈（0，+∞）时f（x）≥1恒成立，求实数a的取值范围． 9．已知函数f（x）= （1）当a＜0，x∈[1，+∞）时，判断并证明函数f（x）的单调性 （2）若对于任意x∈[1，+∞），不等式f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围． 参考答案与试题解析
导数练习题带答案
导数及其应用 一、选择题 1.函数)(x f y =在一点的导数值为0是函数)(x f y =在这点取极值的 A 充分条件 B 必要条件 C 充要条件 D 必要非充分条件 2.已知点 P1,2是曲线y=2x 2 上一点,则P 处的瞬时变化率为 A ．2 B ．4 C ．6 D ． 2 13.设函数()f x ＝x 3 ﹣x 2 ,则)1(f '的值为 A ．－1 B ．0 C ．1 D ．5 4.已知函数⎩⎨⎧>+<+=) 0() 0(1)(x a x x a x f x ,若)(lim 0 x f x →存在,则= -)2('f A.2ln 4 B.4 5 C.2- D.2 ln 4 15.设球的半径为时间t 的函数()R t ;若球的体积以均匀速度c 增长,则球的表面积的 增长速度与球半径 A.成正比,比例系数为C B. 成正比,比例系数为2C C.成反比,比例系数为C D. 成反比,比例系数为2C 6.已知函数1)(2 3 --+-=x ax x x f 在),(+∞-∞上是单调函数,则实数a 的取值范围是 A ．),3[]3,(+∞--∞ B ．]3,3[- C ．),3()3,(+∞--∞ D ．) 3,3(-7.一点沿直线运动,如果由始点起经过 t 秒后的距离为4 3215 24 3 s t t t =-+,那么速度为零的时刻是 A ．1秒末 B ．0秒 C ．4秒末 D ．0,1,4秒末
8.下列等于1的积分是 A ．dx x ⎰1 0 B ．dx x ⎰+1 0)1( C ．dx ⎰1 01 D ．dx ⎰1 2 19.1 1lim 10 0-+→x x x 的值是 A.不存在 10. dx e e x x ⎰-+1 )(= A ．e e 1+ B ．2e C ．e 2 D ．e e 1- 二、填空题 11.设5 6)1()1()(x x x f -+=,则函数)('x f 中3x 的系数是______________; 12.过原点作曲线x e y =的切线,则切点的坐标为 ,切线的斜率 为 . 13. 曲线 y=x 3在点1,1切线方程为 . 14.函数x ax ax x f ++= 23 23 1)(在R 上单调递增,则实数a 的取值范围为_________．三、解答题 15.设函数2 2) 1ln()1()(x x x f +-+= 1求函数)(x f 的单调区间； 2若当]1,11[--∈e e x 时,不等式m x f <)(恒成立,求实数m 的取值范围； 3若关于x 的方程a x x x f ++=2)(在区间]2,0[上恰好有两个相异的实根,求实数 a 的取值范围; 16.设函数3 2 2 ()(0)f x x ax a x m a =+-+>．1若1a =时函数()f x 有三个互不相同的零点,求m 的取值范围；2若函数()f x 在[]1,1x ∈-内没有极值点,求a 的取值范围； 3若对任意的[]3,6a ∈,不等式()1f x ≤在[]2,2x ∈-上恒成立,求实数m 的取值范围．
导数练习题及答案
章末检测 一、选择题 1．已知曲线y=x2+２x-2在点M处的切线与ｘ轴平行,则点M的坐标是( ）A．(-1,3) Ｂ．(-1,－３) Ｃ.(－2,－3)D．(-2,3） 答案B 解析∵ｆ′(ｘ)=2x＋2＝０，∴ｘ＝－1． ｆ(－1)=(-1)2+2×(-1)－２=－3.∴M（-1,－3). ２．函数y=x4－2x２+5的单调减区间为( ) A．(-∞，－1）及(0,1) B．（－１,0)及(１,＋∞） C.(－１,1) D.（-∞，-1)及(1,＋∞） 答案A 解析y′＝４x3－4x＝4ｘ(ｘ2－1)，令ｙ′<0得x的范围为（-∞,-1)∪（0,1)，故选Ａ. 3.函数f(x)＝x3＋ax２＋3x－9,在x＝-3时取得极值，则a等于( ) A.２ B.３ Ｃ．4Ｄ.5 答案D 解析f′（ｘ）=3x２＋2ax+３.由f(x)在ｘ=－3时取得极值， 即f′(－３)=0,即27-6ａ＋3＝0,∴a＝5. 4．函数ｙ＝ln错误!的大致图象为()
答案D 解析函数的图象关于x=-１对称，排除A、C，当ｘ>-1时，y=-ｌn(x＋１）为减函数，故选D. ５．二次函数y=ｆ(x）的图象过原点,且它的导函数y=f′(x）的图象过第一、二、三象限的一条直线，则函数y=f(x)的图象的顶点所在象限是( ) A．第一Ｂ.第二 C.第三 D.第四 答案C 解析∵ｙ＝f′(x)的图象过第一、二、三象限，故二次函数y＝f（x)的图象必然先下降再上升且对称轴在原点左侧,又因为其图象过原点,故顶点在第三象限． ６.已知函数f(x)＝－x3＋ax2-ｘ－１在（-∞，+∞）上是单调函数，则实数a的取值范围是()Ａ．（－∞，-３) B．[-错误!,错误!］ C．(错误!，＋∞) D．（－错误!未定义书签。,错误!未定义书签。) 答案Ｂ 解析f′(x）＝－３ｘ2+2ax－1≤0在(-∞，+∞）恒成立,Δ=4a2-12≤0⇒-错误!≤a≤错误!未定义书签。． 7.设f（x）=x ln x,若f′（x０)＝２，则x0等于( ) A.ｅ2B．ln 2 Ｃ.错误!未定义书签。 D.e 答案D 解析f′(x)＝ｘ·(ln x)′＋(x)′·lnｘ=1＋ln x． ∴f′(x0)=1＋ｌn x0＝2,
导数练习题(含标准答案)
导数练习题(含标准答案) 选择题： 1.已知 $f(x)=ax+3x+2$，若 $f'(-1)=4$，则 $a$ 的值等于$\frac{19}{3}$。 2.已知直线$y=kx+1$ 与曲线$y=x+ax+b$ 切于点$(1,3)$，则 $b$ 的值为 $-3$。 3.$(x+2a)(x-a)$ 的导数为 $3x$，则函数 $y$ 可以表示为 $3(x^2-a^2)$。 4.曲线 $y=\frac{1}{9}x+\sqrt{x}$ 在点 $(1,\frac{4}{3})$ 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 $\frac{1}{2}$。 5.已知二次函数 $y=ax^2+bx+c$ 的导数为 $f'(x)$， $f'(0)>0$，对于任意实数 $x$，有 $f(x)\geq f(1)$，则最小值为$\frac{3}{2}$。
6.已知函数 $f(x)$ 在 $x=1$ 处的导数为 $3$，则 $f(x)$ 的解析式可能为 $f(x)=2(x-1)$。 7.下列求导数运算正确的是：$(x+\sqrt{x})' = 1+\frac{1}{2\sqrt{x}}$。 8.曲线 $y=2x-x^2+5$ 在 $x=1$ 处的切线的倾斜角为 $- \frac{\pi}{3}$。 9.曲线 $y=x^3-3x^2+5$ 在点 $(1,3)$ 处的切线方程为 $y=-2x+5$。 10.设函数 $y=x\sin x+\cos x$ 的图像上的点 $(x,y)$ 处的切线斜率为 $k$，若 $k=g(x)$，则函数 $k=g(x)$ 的图像大致为$y=\cos x$。 11.一质点的运动方程为 $s=5-3t$，则在一段时间$[1,1+\Delta t]$ 内相应的平均速度为 $-3\Delta t+6$。
导数练习题及答案
导数练习题及答案 导数是微积分的初步知识，是研究函数，解决实际问题的有力工具。以下是导数练习题及答案，欢送阅读。 1．函数在某一点的导数是( ) A．在该点的函数值的增量与自变量的增量的比 B．一个函数 C．一个常数，不是变数 D．函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率 [答案] C [解析] 由定义，f′(x0)是当Δx无限趋近于0时，ΔyΔx无限趋近的常数，故应选C. 2．如果质点A按照规律s＝3t2运动，那么在t0＝3时的瞬时速度为( ) A．6 B．18 C．54 D．81 [答案] B [解析] ∵s(t)＝3t2，t0＝3， ∴Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)＝3(3＋Δt)2－332 ＝18Δt＋3(Δt)2∴ΔsΔt＝18＋3Δt. 当Δt→0时，ΔsΔt→18，故应选B. 3．y＝x2在x＝1处的导数为( ) A．2x B．2 C．2＋Δx D．1 [答案] B [解析] ∵f(x)＝x2，x＝1，
∴Δy＝f(1＋Δx)2－f(1)＝(1＋Δx)2－1＝2Δx＋(Δx)2 ∴ΔyΔx＝2＋Δx 当Δx→0时，ΔyΔx→2 ∴f′(1)＝2，故应选B. 4．一质点做直线运动，假设它所经过的路程与时间的关系为 s(t)＝4t2－3(s(t)的单位：m，t的单位：s)，那么t＝5时的瞬时速度为( ) A．37 B．38 C．39 D．40 [答案] D [解析] ∵ΔsΔt＝4(5＋Δt)2－3－4×52＋3Δt＝40＋4Δt，∴s′(5)＝limΔt→0 ΔsΔt＝limΔt→0 (40＋4Δt)＝40.故应选D. 5．函数y＝f(x)，那么以下说法错误的选项是( ) A．Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)叫做函数值的增量 B.ΔyΔx＝f(x0＋Δx)－f(x0)Δx叫做函数在x0到x0＋Δx 之间的平均变化率 C．f(x)在x0处的导数记为y′ D．f(x)在x0处的导数记为f′(x0) [答案] C [解析] 由导数的定义可知C错误．故应选C. 6．函数f(x)在x＝x0处的导数可表示为y′|x＝x0，即( ) A．f′(x0)＝f(x0＋Δx)－f(x0) B．f′(x0)＝limΔx→0[f(x0＋Δx)－f(x0)] C．f′(x0)＝f(x0＋Δx)－f(x0)Δx
(完整版)导数大题练习带答案
导数解答题练习 1．已知f (x )＝x ln x －ax ，g (x )＝－x 2－2， (Ⅰ)对一切x ∈(0，＋∞)，f (x )≥g (x )恒成立，求实数a 的取值范围； (Ⅱ)当a ＝－1时，求函数f (x )在[m ，m ＋3](m ＞0)上的最值； (Ⅲ)证明：对一切x ∈(0，＋∞)，都有ln x ＋1＞ex e x 2 1-成立． 2、已知函数2 ()ln 2(0)f x a x a x = +->. （Ⅰ）若曲线y =f (x )在点P （1，f (1)）处的切线与直线y =x +2垂直，求函数y =f (x )的单调区间； （Ⅱ）若对于(0,)x ∀∈+∞都有f (x )＞2(a ―1)成立，试求a 的取值范围； （Ⅲ）记g (x )=f (x )+x ―b （b ∈R ）.当a =1时，函数g (x )在区间[e ― 1，e]上有两个零点，求实数b 的取值范围. 3、设函数f (x )=ln x +(x －a )2，a ∈R . （Ⅰ）若a =0，求函数f (x )在[1，e]上的最小值； （Ⅱ）若函数f (x )在1[,2]2 上存在单调递增区间，试求实数a 的取值范围； （Ⅲ）求函数f (x )的极值点.
4、已知函数2 1()(21)2ln ()2 f x ax a x x a = -++∈R . (Ⅰ)若曲线()y f x =在1x =和3x =处的切线互相平行，求a 的值； (Ⅱ)求()f x 的单调区间； (Ⅲ)设2 ()2g x x x =-，若对任意1(0,2]x ∈，均存在2(0,2]x ∈，使得12()()f x g x <，求a 的取值范围. 5、已知函数1ln ()x f x x += ． (1)若函数在区间1 (,)2 a a + (其中0a >)上存在极值，求实数a 的取值范围； (2)如果当1x ≥时，不等式()1 k f x x ≥+恒成立，求实数k 的取值范围．
导数的练习题及答案
导数的练习题及答案 导数是微积分中的一个重要概念，它描述了函数在某一点上的变化率。掌握导数的概念对于解决各种数学和物理问题至关重要。在这篇 文章中，我们将给出一些关于导数的练习题及其答案，帮助读者更好 地理解和应用导数。 练习题一：求函数 $f(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x - 1$ 在 $x = 2$ 处的导数。 解答一：根据导数的定义，我们知道导数可以通过函数的极限来求解。在这个例子中，我们可以使用直接求导的方法来计算导数。 首先，我们对每一项使用求导法则。对于 $2x^3$，它的导数是 $6x^2$；对于 $-5x^2$，它的导数是 $-10x$；对于 $3x$，它的导数是 $3$；对于常数项 $-1$，它的导数是 $0$。 然后，将这些导数相加，得到函数 $f(x)$ 的导数 $f'(x)$。所以， $f'(x) = 6x^2 - 10x + 3$。 接下来，我们求函数 $f(x)$ 在 $x = 2$ 处的导数。将 $x$ 替换为 $2$，得到 $f'(2) = 6(2)^2 - 10(2) + 3 = 28$。 所以，函数 $f(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x - 1$ 在 $x = 2$ 处的导数为 $f'(2) = 28$。 练习题二：求函数 $y = e^x \sin(x)$ 的导数。 解答二：这个问题涉及到两个函数的乘积，所以我们需要使用乘积 规则来求解。
首先，我们将函数 $y = e^x \sin(x)$ 分解为两个函数的乘积：$y = u(x) v(x)$，其中 $u(x) = e^x$，$v(x) = \sin(x)$。 然后，我们求出每个函数的导数。对于 $u(x) = e^x$，它的导数仍 然是 $e^x$；对于 $v(x) = \sin(x)$，它的导数是 $\cos(x)$。 根据乘积规则，函数 $y$ 的导数为 $y' = u'v + uv'$。将以上结果代入，我们得到 $y' = e^x \cos(x) + e^x \sin(x)$。 所以，函数 $y = e^x \sin(x)$ 的导数为 $y' = e^x \cos(x) + e^x \sin(x)$。 通过这两个例子，我们可以看到导数的计算方法和使用导数解决实 际问题的重要性。在数学和物理学中，导数被广泛运用于求解极值、 优化问题、速度和加速度等各种变化率相关的问题。通过不断练习导 数的计算，我们可以更好地理解和应用这个概念。 在学习导数的过程中，我们还可以使用图形、实际问题和其他数学 工具进行练习。这样可以更加全面地掌握导数的概念和技巧。希望这 篇文章能够帮助读者更好地理解和应用导数，提高数学解决问题的能力。
导数测试题(含答案)
导数单元测试题 班级 姓名 一、选择题 1．已知函数y ＝f (x )＝x 2＋1，则在x ＝2，Δx ＝时，Δy 的值为( ) A ． B ． C ． D ． 2．函数f (x )＝2x 2－1在区间(1,1＋Δx )上的平均变化率Δy Δx 等于( ) A ．4 B ．4＋2Δx C ．4＋2(Δx )2 D ．4x 3．设f ′(x 0)＝0，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线( ) A ．不存在 B ．与x 轴平行或重合 [ C ．与x 轴垂直 D ．与x 轴相交但不垂直 4．曲线y ＝－1 x 在点(1，－1)处的切线方程为( ) A ．y ＝x －2 B ．y ＝x C ．y ＝x ＋2 D ．y ＝－x －2 5．下列点中，在曲线y ＝x 2上，且在该点处的切线倾斜角为π 4的是( ) A ．(0,0) B ．(2,4) C ．(14，116) D ．(12，1 4) 6．已知函数f (x )＝1 x ，则f ′(－3)＝( ) A ．4 C ．－14 D ．－1 9 7．函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是( ) A ．(－∞，2) B ．(0,3) C ．(1,4) D ．(2，＋∞) 8．“函数y ＝f (x )在一点的导数值为0”是“函数y ＝f (x )在这点取极值”的( ) ； A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 9．函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内的极小值点有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 10．函数f (x )＝－x 2＋4x ＋7，在x ∈[3,5]上的最大值和最小值分别是( ) A ．f (2)，f (3) B ．f (3)，f (5) C ．f (2)，f (5) D ．f (5)，f (3) 11．函数f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋k 在区间[－4,4]上的最大值为10，则其最小值为( ) A ．－10 B ．－71 C ．－15 D ．－22 — 12． 一点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒运动的距离为s ＝14t 4－5 3t 3＋2t 2，那么速度为零的时刻是( ) A ．1秒末 B ．0秒 C ．4秒末 D ．0,1,4秒末 二、填空题 13．设函数y ＝f (x )＝ax 2＋2x ，若f ′(1)＝4，则a ＝________. 14．已知函数y ＝ax 2＋b 在点(1,3)处的切线斜率为2，则b a ＝________. 15．函数y ＝x e x 的最小值为________． 16．有一长为16 m 的篱笆，要围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积 是________m 2. 三、解答题 17．求下列函数的导数：(1)y ＝3x 2＋x cos x ； (2)y ＝x 1＋x ； (3)y ＝lg x －e x . ` 18．已知抛物线y ＝x 2＋4与直线y ＝x ＋10，求： (1)它们的交点； (2)抛物线在交点处的切线方程． ） 19．已知函数f (x )＝1 3x 3－4x ＋4.(1)求函数的极值； (2)求函数在区间[－3,4]上的最大值和最小值． 导数单元测试题答案
导数练习题含答案
导数练习题 班级 姓名 一、选择题 1．当自变量从x0变到x1时函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数() A．在区间[x0，x1]上的平均变化率B．在x0处的变化率 C．在x1处的变化量 D．在区间[x0，x1]上的导数 2．已知函数y＝f(x)＝x2＋1，则在x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为() A．0.40 B．0.41 C．0.43 D ．0.44 3．函数f(x)＝2x2－1在区间(1,1＋Δx)上 的平均变化率Δy Δx 等于() A．4 B．4＋2Δx C．4＋2(Δx)2 D ．4x 4．如果质点M按照规律s＝3t2运动，则在t＝3时的瞬时速度为() A．6 B．18 C．54 D ．81 5．已知f(x)＝－x2＋10，则f(x)在x＝3 2处 的瞬时变化率是() A．3 B．－3 C．2 D ．－2 6．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线() A．不存在 B ．与x轴平行或重合 C．与x轴垂直 D ．与x轴相交但不垂直7．曲线y＝－ 1 x在点(1，－1)处的切线方程 为() A．y＝x－2 B．y＝x C．y＝x＋2 D ．y＝－x－2 8．已知曲线y＝2x2上一点A(2,8)，则A处 的切线斜率为() A．4 B．16 C．8 D．2 9．下列点中，在曲线y＝x2上，且在该点 处的切线倾斜角为 π 4的是() A．(0,0) B．(2,4) C．( 1 4， 1 16) D ．( 1 2， 1 4) 10．若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的 切线方程是x－y＋1＝0，则() A．a＝1，b＝1 B ．a＝－1，b＝1 C．a＝1，b＝－1 D ．a＝－1，b＝－1 11．已知f(x)＝x2，则f′(3)＝() A．0 B．2x C．6 D．9 12．已知函数f(x)＝ 1 x，则f′(－3)＝() A．4 B. 1 9 C．－ 1 4D．－ 1 9 13．函数y＝ x2 x＋3 的导数是() A. x2＋6x ?x＋3?2 B. x2＋6x x＋3 C. －2x ?x＋3?2 D. 3x2＋6x ?x＋3?2
导数练习题及答案
导数练习题及答案 导数练习题及答案 导数是微积分的初步知识，是研究函数，解决实际问题的有力工具。以下是导数练习题及答案，欢迎阅读。 一、选择题 1．函数在某一点的导数是( ) A．在该点的函数值的增量与自变量的增量的比 B．一个函数 C．一个常数，不是变数 D．函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率 [答案] C [解析] 由定义，f′(x0)是当Δx无限趋近于0时，ΔyΔx无限趋近的常数，故应选C. 2．如果质点A按照规律s＝3t2运动，则在t0＝3时的瞬时速度为( ) A．6 B．18 C．54 D．81 [答案] B [解析] ∵s(t)＝3t2，t0＝3， ∴Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)＝3(3＋Δt)2－332 ＝18Δt＋3(Δt)2∴ΔsΔt＝18＋3Δt. 当Δt→0时，ΔsΔt→18，故应选B. 3．y＝x2在x＝1处的导数为( ) A．2x B．2 C．2＋Δx D．1 [答案] B [解析] ∵f(x)＝x2，x＝1， ∴Δy＝f(1＋Δx)2－f(1)＝(1＋Δx)2－1＝2Δx＋(Δx)2 ∴ΔyΔx＝2＋Δx
当Δx→0时，ΔyΔx→2 ∴f′(1)＝2，故应选B. 4．一质点做直线运动，若它所经过的路程与时间的关系为s(t)＝4t2－3(s(t)的单位：m，t的单位：s)，则t＝5时的`瞬时速度为( ) A．37 B．38 C．39 D．40 [答案] D [解析] ∵ΔsΔt＝4(5＋Δt)2－3－4×52＋3Δt＝40＋4Δt， ∴s′(5)＝limΔt→0 ΔsΔt＝limΔt→0 (40＋4Δt)＝40.故应选D. 5．已知函数y＝f(x)，那么下列说法错误的是( ) A．Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)叫做函数值的增量 B.ΔyΔx＝f(x0＋Δx)－f(x0)Δx叫做函数在x0到x0＋Δx之间的平均变化率 C．f(x)在x0处的导数记为y′ D．f(x)在x0处的导数记为f′(x0) [答案] C [解析] 由导数的定义可知C错误．故应选C. 6．函数f(x)在x＝x0处的导数可表示为y′|x＝x0，即( ) A．f′(x0)＝f(x0＋Δx)－f(x0) B．f′(x0)＝limΔx→0[f(x0＋Δx)－f(x0)] C．f′(x0)＝f(x0＋Δx)－f(x0)Δx D．f′(x0)＝limΔx→0 f(x0＋Δx)－f(x0)Δx [答案] D [解析] 由导数的定义知D正确．故应选D. 7．函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0，a，b，c为常数)在x＝2时的瞬时变化率等于( ) A．4a B．2a＋b C．b D．4a＋b [答案] D [解析] ∵ΔyΔx＝a(2＋Δx)2＋b(2＋Δx)＋c－4a－2b－cΔx
导数练习题(含答案)
导数概念及其几何意义、导数的运算 一、选择题： 1 已知32 ()32f x ax x =++，若(1)4f '-=，则a 的值等于 A 193 B 103 C 16 3 D 133 2 已知直线1y kx =+与曲线3 y x ax b =++切于点（1，3），则b 的值为 A 3 B -3 C 5 D -5 3 函数2y x a a = +2 （）(x-)的导数为 A 222()x a - B 223()x a + C 223()x a - D 22 2()x a + 4 曲线313y x x =+在点4 (1,)3 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 A 1 9 B 29 C 13 D 2 3 5 已知二次函数2 y ax bx c =++的导数为(),(0)0f x f ''>，对于任意实数x ，有()0f x ≥，则(1) (0) f f '的最小值为 A 3 B 52 C 2 D 32 6 已知函数()f x 在1x =处的导数为3，则()f x 的解析式可能为 A 2()(1)3(1)f x x x =-+- B ()2(1)f x x =- C 2()2(1)f x x =- D ()1f x x =- 7 下列求导数运算正确的是 A 211()1x x x '+=+ B 21 (log )ln 2 x x '= C 3(3)3log x x e '=⋅ D 2 (cos )2sin x x x x '=- 8 曲线32 153 y x x =-+在1x =处的切线的倾斜角为 A 6 π B 34π C 4π D 3 π 9 曲线3 2 31y x x =-+在点(1,1)-处的切线方程为 A 34y x =- B 32y x =-+ C 43y x =-+ D 45y x =- 10 设函数sin cos y x x x =+的图像上的点(,)x y 处的切线斜率为k ，若()k g x =，则函数()k g x =的图像大致为
数学导数专题练习题(及答案)
数学导数专题练习题（及答案） 一、单选题 1．已知不等式2ln e 0x a x a x x x ++-≥，对于任意的()0,x ∈+∞恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．21,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ B ．1,e ∞⎡⎫ +⎪⎢⎣⎭ C ．[)1,+∞ D ．[)e,+∞ 2．设函数f （x ）的导函数为()'f x ，将方程()()f x f x ='的实数根称为函数f （x ）的“新驻 点”.记函数()e x f x x =+，()ln g x x x =+，()sin h x x x =+的“新驻点”分别为a ，b ，c ，则 （ ） A ．c a b << B ．c b a << C ．b a c << D ．a c b << 3．下列导数运算正确的是（ ） A ．2 1-'⎛⎫= ⎪⎝⎭ x x B ．()22ln 2x x '= C ．()1 ln 22'=x x D ．()sin cos cos sin x x x x '-=- 4．设()3sin cos 222cos x x f x x + = ，则下列说法正确的是（ ） A ．()f x 值域为33,,22⎛⎤⎡⎫ -∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭ B ．()f x 在0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭ 上单调递增 C ．()f x 在,04π⎛⎫ - ⎪⎝⎭ 上单调递减 D ．()()f x f x π=+ 5．已知函数()2 ln ,0 ,1,0x x x f x x x >⎧=⎨-≤⎩若函数()()=-g x f x k 有三个零点，则（ ） A ．e 1k -<≤ B ．1 1e k -<< C ．e 0k -<< D ．1 0e k -<< 6．已知在(],2-∞上的连续函数()f x ，其导函数为()f x '，满足(],2x ∀∈-∞， ()()2 56x x f x -+'+() ()2220x x f x -->恒成立，设()2e 1a f =-，()120b f =-，0c ，则 （ ） A ．a c b >> B ．a b c >> C ．c b a >> D ．b a c >> 7．下列各式中正确的是（ ） A ．()1ln 22 '= B ．()33x x '= C ．若()21 f x x =，则 ()2327 f '=- D ．()21 log ln 2x x '= 8．若()()14f f x x x '= +，则'f '（1）=（ ）