2023年新高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试专题2

专题2.2 基本不等式及其应用（真题测试）

一、单选题

1．（2015·湖南·高考真题（文））若实数,a b 满足12

a b

+=，则ab 的最小值为

A

B ．2

C ．

D ．4

2．（2019·浙江·高考真题）若0,0a b >>，则“4a b +≤”是 “4ab ≤”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

3．（2017·山东·高考真题（理））若a>b>0，且ab=1，则下列不等式成立的是 A ．21log ()2a

b

a a

b b +

<<+ B ．

21log ()2a b a b a b

<+<+ C ． 21log ()2

a b a a b b +

<+< D ． 21log ()2a

b

a b a b +<+

< 4．（2015·四川·高考真题（理））如果函数()()()()21281002f x m x n x m n =-+-+≥≥，

在区间122⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

，上单调递减，则mn 的最大值为 A ．16

B ．18

C ．25

D ．

81

2

5．（2014·福建·高考真题（文））要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是( ) A ．80元 B ．120元 C ．160元

D ．240元

6.（2022·全国·模拟预测（文））已知11a b c b >>>>，给出以下不等式：①2b c +>；②1

a c

>；③1a c b +>+，则其中正确的个数为（ ） A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

7．（2022·江苏·泰州中学高二阶段练习）已知实数a ，b ，c 满足1a b c ++=，2221a b c ++=，则a b +的取值范围是（ ） A ．[1,1]-

B ．1,03⎡⎤

-⎢⎥⎣⎦

C ．40,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦

D ．[0,2]

8．（2022·浙江湖州·模拟预测）已知0,0a b >>，定义29(,)max 2,2b b H a b a a -⎧⎫

=++⎨⎬⎩⎭

，则(,)H a b 的最小值是

（ ） A ．5

B ．6

C ．8

D ．1

二、多选题9．（2021·上海金山·高一期末）已知00a b >>，，则下列不等式恒成立的是（ ）

A ．()2

4

a b ab +≤

； B ．

2

a b

+≥ C ．2a b a b a ++-≤； D ．2a b a b b +--≥.

10．（2020·海南·高考真题）已知a >0，b >0，且a +b =1，则（ ） A ．221

2

a b +≥

B ．122

a b ->

C ．22log log 2a b +≥-

D

11．（2022·海南·海口一中高一期中）已知0,0a b >>，且2a b +=，则（ ） A ．24a b -< B ．

2211

2

a b ≥+

C ．lg lg a b +≤0

D ．23b a b +≥

12．（2022·福建·三明一中模拟预测）已知,x y ∈R ，且11

0,2x y x y

>>+=，则下列不等式中一定成立的是（ ）

A ．x y >

B ．11

2x y

+≥

C ．22

222x y x y +>+- D ．2

211324x y ⎛

⎫++> ⎪⎝

⎭

三、填空题

13.（2010·重庆·高考真题（文））已知0t >，则函数241

t t y t

-+=的最小值为____________ .

14．（2017·天津·高考真题（文））若,a b ∈R ，0ab >，则4441

a b ab ++的最小值为___________.

15．（2015·山东·高考真题（文））定义运算“⊗”： 22

x y x y xy -⊗=（,0x y R xy ∈≠，）.当00x y >>，时，

(2)x y y x ⊗+⊗的最小值是_______ .

16．（2020·天津·高考真题）已知0,0a b >>，且1ab =，则118

22a b a b

+++的最小值为_________． 四、解答题

17．（2022·河北保定·高二阶段练习）已知()1010,0a b a b +=>>. (1)求ab 的最大值； (2)求

11

a b

+的最小值. 18．（2021·云南德宏·高一期末）运货卡车以x 千米/时的速度匀速行驶300千米，按交通法规限制50100

x ≤≤(单位千米/时)，假设汽车每小时耗油费用为2

(24)70x +元，司机的工资是每小时46元．（不考虑其他因所素产

生的费用）

(1)求这次行车总费用y (元)关于x (千米/时)的表达式；

(2)当x 为何值时，这次行车的总费用y 最低？求出最低费用的值．

19．（2022·新疆喀什·高一期末）首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题.某单位在国家科研部门的支持下进行技术攻关，采取了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似的表示为2

1200800002

y x x =-+ ，且处理每吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.

(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？

(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使单位不亏损？

20．（2022·湖北·洪湖市第一中学高一阶段练习）已知关于x 的不等式2540bx x -+>的解集为{|1x x <或}x a >（1a >）.

(1)求a ，b 的值；

(2)当0x >，0y >，且满足1a b

x y

+=时，有226x y k k +>--恒成立，求k 的取值范围.

21．（2022·全国·哈师大附中模拟预测（文））已知不等式()2

20ax a x b -++>的解集为A ，a ，b R ∈．

(1)若{|1A x x =<或2}x >，求||||x a x b -++的最小值；

(2)若2b =，且2A ∈，求32

33a a

+的最小值． 22．（2022·河南·开封市东信学校模拟预测（理））已知函数()|1||2|f x x x =-++. (1)求不等式()5f x ≤的解集；

(2)设x ∈R 时，()f x 的最小值为M .若正实数a ，b ，满足a b M +=，求11

12+

++a b 的最小值.

专题2.2 基本不等式及其应用（真题测试）

一、单选题

1．（2015·湖南·高考真题（文））若实数,a b 满足12

a b

+=，则ab 的最小值为

A

B ．2

C ．

D ．4

【答案】C 【解析】 【详解】

12

121

002ab a b ab ab a b

a b a +=∴=

+≥⨯∴≥，＞，＞，（当且仅当2b a =时取等号），所以

ab 的最小值为 C.

2．（2019·浙江·高考真题）若0,0a b >>，则“4a b +≤”是 “4ab ≤”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件

【答案】A 【解析】

本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取,a b 的值，推出矛盾，确定必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查. 【详解】

当0, 0a >b >时，a b +≥，则当4a b +≤时，有4a b ≤+≤，解得4ab ≤，充分性成立；当=1, =4a b 时，满足4ab ≤，但此时=5>4a+b ，必要性不成立，综上所述，“4a b +≤”是“4ab ≤”的充分不必要条件. 3．（2017·山东·高考真题（理））若a>b>0，且ab=1，则下列不等式成立的是 A ．21log ()2a

b

a a

b b +

<<+ B ．

21log ()2a b a b a b

<+<+ C ． 21log ()2

a b a a b b +

<+< D ． 21log ()2a

b

a b a b +<+

< 【答案】B 【解析】 【详解】

因为0a b >>，且1ab =，所以221,01,1,log ()log 1,2a

b

a b a b ><<∴+= 1

211

2

log ()a b

a a

b a a b b b

+>+

>+⇒+>+ ，所以选B.4．

（2015·四川·高考真题（理））如果函数

()()()()21281002f x m x n x m n =

-+-+≥≥，

在区间122⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

，上单调递减，则mn 的最大值为 A ．16 B ．18 C ．25 D ．

81

2

【答案】B 【解析】 【详解】

2m ≠时，抛物线的对称轴为82n x m -=-

-.据题意，当2m >时，8

22

n m --

≥-即212m n +≤.226,182

m n

m n mn +⋅≤∴≤.由2m n =且212m n +=得3,6m n ==.当2m <时，抛物线开口向下，据题意得，81

22

n m --

≤-即218m n +≤.281

29,22

n m n m mn +⋅≤∴≤.由2n m =且218m n +=得92m =>，故应舍去.要使得mn 取得最大值，应有218m n +=(2,8)m n .所以(182)(1828)816mn n n =-<-⨯⨯=，所以最大值为18.选B..

5．（2014·福建·高考真题（文））要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是( ) A ．80元 B ．120元 C ．160元 D ．240元

【答案】C 【解析】 【详解】

设长方体底面边长分别为,x y ，则4

y x

=

， 所以容器总造价为4

2()102020()80z x y xy x x =+⨯+=++，

由基本不等式得，4

20()80160z x x

=++≥，

当且仅当底面为边长为2的正方形时，总造价最低，选C. 6.（2022·全国·模拟预测（文））已知11a b c b >>>>，给出以下不等式：①2b c +>；②1

a c

>；③1a c b +>+，则其中正确的个数为（ ） A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

【答案】B 【解析】 【分析】

对于①：利用基本不等式证明；对于②、③：取特殊值否定结论. 【详解】

对于①：因为11b c b >>>，所以10b >，所以12b c b b +>+≥=，即2b c +>.故①正确；

对于②：取1

2,2a c ==满足11a b c b >>>>，但是12a c

==，所以1a c >不一定成立.

故②错误；

对于③：取732,,44a b c ===满足11a b c b >>>>，但是311244

a c +=+=，711

1144b +=+=，此时1a c b +=+，

所以1a c b +>+不一定成立.故③错误. 故选：B

7．（2022·江苏·泰州中学高二阶段练习）已知实数a ，b ，c 满足1a b c ++=，2221a b c ++=，则a b +的取值范围是（ ） A ．[1,1]- B ．1,03⎡⎤

-⎢⎥⎣⎦

C ．40,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦

D ．[0,2]

【答案】C 【解析】 【分析】

根据题意可得1+=-a b c ，()()

2

222[12

]ab a b a b c c =+-+=-，结合基本不等式，求出c 的范围，即可求出a b

+的取值范围． 【详解】

∵1a b c ++=，2221a b c ++=，

∴1+=-a b c ，()()

2222

[12

]ab a b a b c c =+-+=-，

∵2

2a b ab +⎛⎫

≤ ⎪⎝⎭

，

∴()2

214

c c c --≤

，

∴113c -≤≤，∴4

013

c ≤-≤，

∴4

03

a b ≤+≤

，故选：C. 8．（2022·浙江湖州·模拟预测）已知0,0a b >>，定义29(,)max 2,2b b H a b a a -⎧⎫

=++⎨⎬⎩⎭

，则(,)H a b 的最小值是

（ ）

A ．5

B ．6

C ．8

D ．1

【答案】A 【解析】 【分析】

利用定义得到2(,)29(,)2b b H a b a H a b a -⎧≥+⎪

⎨≥+⎪

⎩，两个不等式相加后利用基本不等式可求出结果.

【详解】

由定义29(,)max 2,2b b H a b a a -⎧⎫

=++⎨⎬⎩⎭，得2(,)29(,)2b

b H a b a H a b a -⎧≥+⎪⎨≥+⎪

⎩

，

所以292(,)22b

b H a b a a -≥+++2922b b a a -=++

+≥6410=+=，

当且仅当2922b b a a -⎧

=

⎪⎨⎪=⎩，即31a b =⎧⎨=⎩时，取等号.

所以(,)5H a b ≥，即(,)H a b 的最小值为5. 故选：A 二、多选题

9．（2021·上海金山·高一期末）已知00a b >>，，则下列不等式恒成立的是（ ）

A ．()2

4

a b ab +≤

； B

．

2

a b

+≥ C ．2a b a b a ++-≤； D ．2a b a b b +--≥.

【答案】AB 【解析】 【分析】

利用基本不等式、绝对值三角不等式，判断出正确结论. 【详解】

由基本不等式可知2a b +a b =时等号成立，B 选项正确，两边平方得()2

4

a b ab +≤，当且仅当a b =时等号成立，A 选项正确.

根据绝对值三角不等式2a b a b a b a b a ++-≥++-=，C 选项错误.

根据绝对值三角不等式2a b a b a b b a a b b a b +--=+--≤++-=，D 选项错误. 故选：AB

10．（2020·海南·高考真题）已知a >0，b >0，且a +b =1，则（ ） A ．221

2

a b +≥

B ．122

a b ->

C ．22log log 2a b +≥- D

【答案】ABD 【解析】 【分析】

根据1a b +=，结合基本不等式及二次函数知识进行求解. 【详解】

对于A ，()

2

2

2

2

2

1221a b a a a a +=+-=-+2

1211

222a ⎛⎫⎪⎭+ ⎝

≥-=，

当且仅当1

2

a b ==

时，等号成立，故A 正确； 对于B ，211a b a -=->-，所以11

2

22

a b

-->=，故B 正确；

对于C ，2

222221log log log log log 224a b a b ab +⎛⎫

+=≤==- ⎪⎝⎭

，

当且仅当1

2

a b ==时，等号成立，故C 不正确；

对于D ，因为

2

112a b =+++=，

1

2

a b ==时，等号成立，故D 正确； 故选：ABD

11．（2022·海南·海口一中高一期中）已知0,0a b >>，且2a b +=，则（ ） A ．24a b -< B ．

2211

2

a b ≥+

C ．lg lg a b +≤0

D ．23b a b

+≥

【答案】ACD 【解析】 【分析】

对于A 选项，由不等式的性质运算可得，对于B 选项，取特殊值可判断错误，对于C 选项，运用基本不等式即可，对于D 选项，注意将2转化为a b +，即可用基本不等式运算. 【详解】

A 选项，∵0,0a b >>，∴a b a b -<+，∴224a b a b -+<=，A 正确

B 选项，当13,22

a b ==时，221121

==1952+44a b <

+，B 错误；

C 选项，2

lg lg lg lg(

)lg102

a b a b ab ++=≤==，C 正确； D 选项，21213b b a b b a

a b a b a b

++=+

=++≥+=，D 正确. 故选：ACD

12．（2022·福建·三明一中模拟预测）已知,x y ∈R ，且11

0,2x y x y

>>+=，则下列不等式中一定成立的是（ ） A ．x y >

B ．11

2x y

+≥

C ．22

222x y x y +>+- D ．2

211324x y ⎛

⎫++> ⎪⎝

⎭

【答案】BC 【解析】 【分析】

由不等式的性质与基本不等式判断. 【详解】

11

0x y

>>，0x y ∴<<，A 错；0,2x y x y <<+=，

1111112222x y x y x y x y y x ⎛⎫+∴+=⋅+=++>= ⎪⎝⎭， 11

2x y ∴+≥成立，即B 正确；()222110x x x -+=-≥， 得221x x ≥-，当且仅当1x =时取等号，同理，221y y ≥-，

当且仅当1y =时取等号，又0x y <<，即,x y 不同时等于1，22222x y x y ∴+>+-，C 正确； 当13,22x y ==时，2

211349124x y ⎛

⎫++=+⎪= ⎝

⎭，D 错.

故选：BC 三、填空题

13.（2010·重庆·高考真题（文））已知0t >，则函数241t t y t -+=的最小值为____________ .

【答案】-2 【解析】

【详解】

解析：2411

42(0)t t y t t t t -+==+-≥->，当且仅当1t =时，min 2y =-

14．（2017·天津·高考真题（文））若,a b ∈R ，0ab >，则4441

a b ab

++的最小值为___________.

【答案】4 【解析】 【详解】

44224141144a b a b ab ab ab ab +++≥=+≥= ，（前一个等号成立条件是222a b =，后一个等号成立的条

件是12ab =

，两个等号可以同时取得，则当且仅当22a b ==. 15．（2015·山东·高考真题（文））定义运算“⊗”： 22

x y x y xy

-⊗=（,0x y R xy ∈≠，）.当00x y >>，时，

(2)x y y x ⊗+⊗的最小值是_______ .

【解析】 【详解】

由新定义运算知，2222

(2)4(2)(2)2y x y x y x y x xy

--⊗==，因为，00x y ，>>，

所以，22222242(2)22x y y x x y x y y x xy xy xy --+⊗+⊗=+=≥=当且仅当x =时，(2)x y y x ⊗+⊗的

16．（2020·天津·高考真题）已知0,0a b >>，且1ab =，则118

22a b a b

+++的最小值为_________． 【答案】4【解析】 【分析】

根据已知条件，将所求的式子化为8

2a b a b

+++，利用基本不等式即可求解. 【详解】

0,0,0a b a b >>∴+>，1ab =,11882222ab ab a b a b a b a b

∴

++=++++

842a b a b +=

+≥=+，当且仅当a b +=4时取等号，

结合1ab =,解得22a b ==22a b ==. 故答案为：4

四、解答题

17．（2022·河北保定·高二阶段练习）已知()1010,0a b a b +=>>.

(1)求ab 的最大值；

(2)求11a b

+的最小值. 【答案】(1)140

(2)11+【解析】

【分析】

（1）直接利用基本不等式求解即可；

（2）利用“1”的代换，将原式变形后再利用基本不等式求解即可.

(1)

因为0a >，0b >，所以101a b +=≥ 所以140

ab ≤， 当且仅当10a b =，即11,220

a b ==时，等号成立， 所以ab 的最大值为

140

. (2)

因为()1010,0a b a b +=>>，所以()11111010111111b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥++ ⎪⎝⎭

当且仅当

10b a a b =，即a b ==

所以11a b +的最小值为11+ 18．（2021·云南德宏·高一期末）运货卡车以x 千米/时的速度匀速行驶300千米，按交通法规限制50100

x ≤≤(单位千米/时)，假设汽车每小时耗油费用为2

(24)70

x +元，司机的工资是每小时46元．（不考虑其他因所素产生的费用）

(1)求这次行车总费用y (元)关于x (千米/时)的表达式；

(2)当x 为何值时，这次行车的总费用y 最低？求出最低费用的值．

【答案】(1)2100030(50100)7

x y x x =+≤≤

(2)当70x =时，这次行车的总费用y 最低，最低费用为600元

【解析】

【分析】

（1）先得到行车所用时间300()t h x

=，再根据汽车每小时耗油费用和司机的工资求解； （2）由（1）的结论，利用基本不等式求解.

(1) 解：行车所用时间300()t h x =，汽油每小时耗油费用为2

(24)70

x +元，司机的工资是每小时46元， 所以行车总费用为：23003002100030(24)46(50100)707

x x y x x x x =⨯++⨯=+≤≤； (2)

因为210003026007x y x =+≥=， 当且仅当21000307

x x =，即70x =时，等号成立， 所以当70x =时，这次行车的总费用y 最低，最低费用为600元.

19．（2022·新疆喀什·高一期末）首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题.某单位在国家科研部门的支持下进行技术攻关，采取了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似的表示为21200800002

y x x =

-+ ，且处理每吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.

(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？

(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使单位不亏损？

【答案】(1)400吨；

(2)不获利，需要国家每个月至少补贴40000元才能不亏损.

【解析】

【分析】

（1）由题设平均每吨二氧化碳的处理成本为y x ，应用基本不等式求其最小值，注意等号成立条件. （2）根据获利100S x y =-，结合二次函数的性质判断是否获利，由其值域确定最少的补贴额度.

(1)

由题意知，平均每吨二氧化碳的处理成本为1800002002002002y x x x =+-≥=； 当且仅当1800002x x

= ，即400x = 时等号成立， 故该当每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低为200元.

(2)

不获利，设该单位每个月获利为S 元，则2211100100200800003008000022S x y x x x x x ⎛⎫=-=--+=-+- ⎪⎝⎭ ()21300350002

x =---， 因为[]400,600x ∈，则[]80000,40000S ∈--，

故该当单位每月不获利，需要国家每个月至少补贴40000元才能不亏损.

20．（2022·湖北·洪湖市第一中学高一阶段练习）已知关于x 的不等式2540bx x -+>的解集为{|1x x <或}x a >（1a >）.

(1)求a ，b 的值；

(2)当0x >，0y >，且满足1a b x y

+=时，有226x y k k +>--恒成立，求k 的取值范围. 【答案】(1)41a b =⎧⎨=⎩

(2)(3,5)-

【解析】【分析】

（1）根据一元二次不等式的解法可得1和a 是方程2540bx x -+=的两个实数根且0b >，从而利用韦达定理建立方程组即可求解；

（2）由均值不等式中“1”的灵活运用可得min ()9x y +=，从而解一元二次不等式22150k k --<即可得答案.

(1)

解：因为不等式2540bx x -+>的解集为{|1x x <或}x a >（1a >），

所以1和a 是方程2540bx x -+=的两个实数根且0b >， 所以5141a b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪⋅=⎪⎩

，解得41a b =⎧⎨=⎩； (2)

解：由（1）知411x y

+=，且0x >，0y >，

所以4144()5529y x y x y x y x y x y x ⎛⎫+=++=+++= ⎪⎝⎭

，当且仅当4y x x y =，即63x y =⎧⎨=⎩时等号成立， 依题意有2min ()26x y k k +>--，即2926k k >--，

所以22150k k --<，解得35k -<<，

所以k 的取值范围为(3,5)-.

21．（2022·全国·哈师大附中模拟预测（文））已知不等式()220ax a x b -++>的解集为A ，a ，b R ∈．

(1)若{|1A x x =<或2}x >，求||||

x a x b -++的最小值；

(2)若2b =，且2A ∈，求3

233a a

+的最小值． 【答案】(1)3

【解析】 【分析】

（1）由题意可知方程()220ax a x b -++=的根为1,2，利用根与系数的关系可求出,a b 的值，再根据绝对值

三角不等式即可求出结果；

（2）根据题意可知1a >，再根据32231366

a a a a a +=++，利用基本不等式即可求出结果.(1) 解：由于不等式的解集为{|1x x <或2}x >，

所以21213212a a a a b b b a +⎧+=⎪=⎧⎪⇒⇒+=⎨⎨=⎩⎪⨯=⎪⎩

． ∴|||||()|||3x a x b x a x b a b -++≥--+=+=（当且仅当()()0x a x b -+≤时，等号成立）

(2)

解：当2b =时，不等式为2(2)20 ax a x -++>

，(1)(2)0

x ax -->

因为2A ∈，2b =，所以可得1a >，

所以3

2223113366a a a a

a a a +=+=++≥=（当且仅当a =，所以3

233a a + 22．（2022·河南·开封市东信学校模拟预测（理））已知函数()|1||2|f x x x =-++.

(1)求不等式()5f x ≤的解集；

(2)设x ∈R 时，()f x 的最小值为M .若正实数a ，b ，满足a b M +=，求

1112

+++a b 的最小值. 【答案】(1)[3,2]- (2)23

【解析】

【分析】 （1）利用零点分区间法去绝对值号，解不等式，即可求出不等式的解集； （2）利用绝对值三角不等式求出3M =，再利用基本不等式“1”的妙用求出

1112

+++a b 的最小值. (1)

()|1||2|5f x x x =-++≤， 当2x -≤时，不等式化为512x x ≤-+--，解得3x ≥-，此时32x --≤≤； 当21x -<<时，不等式化为1235x x -+++=≤，恒成立，此时21x -<<； 当1≥x 时，不等式化为12215x x x -++=+≤，解得2x ≤，此时12x ≤≤. 综上所述，不等式的解集为[3,2]-；

(2)

()|1||2||12|3f x x x x x =-++≥---=.所以3M =，即3a b +=.所以(1)(2)6a b +++=， 所以1111112112[(1)(2)]2(22)1261261263b a a b a b a b a b ++⎛⎫⎛⎫+=++++=++≥⨯+= ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭， 当且仅当12+=+a b ，即2,1a b ==时取等号. 即1112+++a b 的最小值为23.

新教材老高考适用2023高考数学一轮总复习单元质检卷二函数与基本初等函数北师大版(含答案)

新教材老高考适用2023高考数学一轮总复习： 单元质检卷二函数与基本初等函数 (时间:120分钟满分:150分) 一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.(2021山东潍坊高三期中)若函数f(x)=ax x+a 的定义域是{x|x∈R,x≠2},则函数f(x)的值域为() A.(-∞,-2)∪(-2,+∞) B.(-∞,2)∪(2,+∞) C.(-∞,-2) D.(-2,+∞) 2.(2021天津和平高三期中)若2a=3b=6,则1 a2+1 ab +1 b =() A.1 B.1 6C.3 2 D.6 5 3.(2021江苏南京高三月考)函数y=4x-6·2x+8的所有零点的和等于() A.8 B.6 C.3 D.2 4.(2021湖南师大附中高三期中)若f(x)是R上周期为5的奇函数,且满足f(1)=1,f(2)=2,则f(- 12)-f(4)等于() A.-2 B.2 C.-1 D.1 5.(2021广东佛山高三月考)已知函数f(x)=ln|x|+e x+e-x,则f-1 3,f1 2 ,f1 4 的大小关系是 () A.f-1 3>f1 4 >f1 2 B.f1 4>f-1 3 >f1 2 C.f1 2>f-1 3 >f1 4

D.f 12 >f 14 >f -1 3 6.已知函数f (x )=x 2 -2ax+a 在区间[0,3]上的最小值为-2,则实数a 的值为( ) A.-2 B.-2或11 5 C.-2或1 D.±2 7.(2021山东省实验中学高三二模)中国科学院院士吴文俊在研究中国古代数学家刘徽著作的基础上,把刘徽常用的方法概括为“出入相补原理”:一个图形不论是平面的还是立体的,都可以切割成有限多块,这有限多块经过移动再组合成另一个图形,则后一图形的面积或体积保持不变.利用这个原理,解决下面问题:已知函数f (x )满足f (4-x )=f (x ),且当x ∈[0,2]时的解析式为 f (x )={ -log 2(2-x),0≤x ≤1, log 2x,1

2023年高考数学一轮复习提升专练(新高考地区用)3-2-2 函数的性质(二)(精讲)(解析版)

3.2.2 函数的性质（二）（精讲）（提升版）思维导图

考点呈现

考点一 函数的周期性 【例1-1】（2022·黑龙江）己知()f x 是定义在R 上的周期为4的奇函数，当(0,1)x ∈时，5()e x f x a =+，若 323(22)2e 5f f ⎛⎫ -= ⎪⎝⎭，则195f ⎛⎫ = ⎪⎝⎭（ ） A ．3e e + B ．3e e -+ C ．3e e - D ．3e e -- 【答案】D 【解析】由题意可得，()f x 为定义在R 上的周期为4的奇函数，故(4)()()f x f x f x +==-- ， 故(2)(24)(2)f f f =-+=-，所以(2)0f = 故()()32332222e 55f f f f ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 即()3 322e 5f f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 即332e 5f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，而当()0,1x ∈时，()5e x f x a =+， 故333e 2e ,e 35f a a ⎛⎫=+== ⎪⎝⎭ ，则当()0,1x ∈时，()53 e e x f x =+， 故3 19191(4)()e e 555f f f ⎛⎫=-=-=-- ⎪⎝⎭ ，故选：D 【例1-2】（2022·湖南衡阳·三模）定义在R 上的奇函数()f x 满足()1f x +为偶函数，且当[]0,1x ∈时，()4cos x f x x =-，则下列结论正确的是（ ） A ．40434039(2022)22f f f ⎛⎫⎛⎫ >> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B ．40394043(2022)22f f f ⎛⎫⎛⎫ >> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C ．40434039(2022)22f f f ⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D ．40394043(2022)22f f f ⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 【答案】A 【解析】因为()1f x +为偶函数,所以满足(1)(1)f x f x +=-+,又因为()f x 是奇函数,所以(1)(1),f x f x -+=--故[](1)(1)(3)(3)f x f x f x f x +=--=---=- 例题剖析

2023年高考数学(文科)一轮复习讲义——圆锥曲线的综合问题 第二课时 定值问题

第二课时 定值问题 题型一 长度或距离为定值 例1 (2020·新高考山东卷)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为2 2，且过点 A (2，1). (1)求C 的方程； (2)点M ，N 在C 上，且AM ⊥AN ，AD ⊥MN ，D 为垂足.证明：存在定点Q ，使得|DQ |为定值. (1)解 由题设得4a 2＋1 b 2＝1, 且a 2－b 2a 2＝12，解得a 2＝6，b 2＝3. 所以C 的方程为x 26＋y 2 3＝1. (2)证明 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2). 若直线MN 与x 轴不垂直， 设直线MN 的方程为y ＝kx ＋m ， 代入x 26＋y 2 3＝1， 得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－6＝0. 于是x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2，x 1x 2＝2m 2－61＋2k 2.① 由AM ⊥AN ，得AM →·AN →＝0， 故(x 1－2)(x 2－2)＋(y 1－1)(y 2－1)＝0， 整理得(k 2＋1)x 1x 2＋(km －k －2)(x 1＋x 2)＋(m －1)2＋4＝0. 将①代入上式，可得(k 2＋1)2m 2－61＋2k 2－(km －k －2)4km 1＋2k 2 ＋(m －1)2＋4＝0， 整理得(2k ＋3m ＋1)(2k ＋m －1)＝0.

因为A (2，1)不在直线MN 上， 所以2k ＋m －1≠0， 所以2k ＋3m ＋1＝0，k ≠1. 所以直线MN 的方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －23－1 3(k ≠1). 所以直线MN 过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 3，－13. 若直线MN 与x 轴垂直，可得N (x 1，－y 1). 由AM →·AN →＝0， 得(x 1－2)(x 1－2)＋(y 1－1)(－y 1－1)＝0. 又x 216＋y 21 3＝1，所以3x 21－8x 1＋4＝0. 解得x 1＝2(舍去)，或x 1＝2 3. 此时直线MN 过点P ⎝ ⎛⎭ ⎪⎫2 3，－13. 令Q 为AP 的中点，即Q ⎝ ⎛⎭ ⎪⎫ 43，13. 若D 与P 不重合，则由题设知AP 是Rt △ADP 的斜边， 故|DQ |＝12|AP |＝22 3. 若D 与P 重合，则|DQ |＝1 2|AP |. 综上，存在点Q ⎝ ⎛⎭ ⎪⎫ 43，13，使得|DQ |为定值. 感悟提升 1.求某线段长度为定值.利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得. 2.求点到直线的距离为定值.利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得. 训练1 (2022·成都诊断)已知动点P (x ，y )(其中x ≥0)到定点F (1，0)的距离比点P 到y 轴的距离大1.

2023年新高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试专题2

专题2.2 基本不等式及其应用（真题测试） 一、单选题 1．（2015·湖南·高考真题（文））若实数,a b 满足12 a b +=，则ab 的最小值为 A B ．2 C ． D ．4 2．（2019·浙江·高考真题）若0,0a b >>，则“4a b +≤”是 “4ab ≤”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 3．（2017·山东·高考真题（理））若a>b>0，且ab=1，则下列不等式成立的是 A ．21log ()2a b a a b b + <<+ B ． 21log ()2a b a b a b <+<+ C ． 21log ()2 a b a a b b + <+< D ． 21log ()2a b a b a b +<+ < 4．（2015·四川·高考真题（理））如果函数()()()()21281002f x m x n x m n =-+-+≥≥， 在区间122⎡⎤ ⎢⎥⎣⎦ ，上单调递减，则mn 的最大值为 A ．16 B ．18 C ．25 D ． 81 2 5．（2014·福建·高考真题（文））要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是( ) A ．80元 B ．120元 C ．160元 D ．240元 6.（2022·全国·模拟预测（文））已知11a b c b >>>>，给出以下不等式：①2b c +>；②1 a c >；③1a c b +>+，则其中正确的个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 7．（2022·江苏·泰州中学高二阶段练习）已知实数a ，b ，c 满足1a b c ++=，2221a b c ++=，则a b +的取值范围是（ ） A ．[1,1]- B ．1,03⎡⎤ -⎢⎥⎣⎦ C ．40,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．[0,2] 8．（2022·浙江湖州·模拟预测）已知0,0a b >>，定义29(,)max 2,2b b H a b a a -⎧⎫ =++⎨⎬⎩⎭ ，则(,)H a b 的最小值是 （ ） A ．5 B ．6 C ．8 D ．1 二、多选题9．（2021·上海金山·高一期末）已知00a b >>，，则下列不等式恒成立的是（ ）

2023年新高考数学一轮复习2-3 二次函数与一元二次方程、不等式(知识点讲解)解析版

专题2.3 二次函数与一元二次方程、不等式（知识点讲解） 【知识框架】 【核心素养】1．结合二次函数的图象，考查一元二次不等式的解法，凸显直观想象、数学运算的核心素养． 2．结合“三个二次”间的关系，考查转化与化归能力，凸显数学抽象的核心素养． 3．与实际问题相结合，考查应用不等式性质、一元二次不等式解决问题的能力，凸显数学建模的核心素养．【知识点展示】 （一）二次函数与方程、不等式 1．函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的交点和相应方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的关系 2 设二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)对应的方程的根为x1、x2.

或 另外，x 1 ，x 2 ∈(0，＋∞)，即两正根，也可通过满足条件⎩⎪⎨⎪⎧ b 2－4a c ≥0， －b a ＞0， c a ＞0 来解决；x 1，x 2∈(－∞，0)，即两 负根，也可通过满足条件⎩⎪⎨⎪⎧ b 2－4a c ≥0， －b a ＜0， c a ＞0 来解决；x 1，x 2一正一负也可通过满足⎩⎪⎨⎪ ⎧ b 2－4a c ＞0，c a ＜0来解决． （二）一元二次不等式恒成立问题 1.一元二次不等式恒成立问题的求解策略

(1)不等式ax 2 ＋bx ＋c ＞0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨ ⎪⎧ a ＝ b ＝0， c ＞0 或⎩⎪⎨ ⎪ ⎧ a ＞0， b 2 －4ac ＜0. (2)不等式ax 2 ＋bx ＋c ＜0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨ ⎪⎧ a ＝ b ＝0， c ＜0 或⎩⎪⎨ ⎪ ⎧ a ＜0， b 2 －4ac ＜0. 2．一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题的求解方法 (1)若f (x )＞0在集合A 中恒成立，即集合A 是不等式f (x )＞0的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值(或范围)． *(2)转化为函数值域问题，即已知函数f (x )的值域为[m ，n ]，则f (x )≥a 恒成立⇒f (x )min ≥a ，即m ≥a ；f (x )≤a 恒成立⇒f (x )max ≤a ，即n ≤a . *3．一元二次不等式在参数某区间上恒成立确定变量x 范围的方法 解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数．一般情况下，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解． 【常考题型剖析】 题型一 二次函数的图象和性质 例1.（2021·湖南·高考真题）函数2()41f x x x =--的单调递减区间是（ ） A ．[)2,+∞ B ．[)2,-+∞ C ．(],2-∞ D ．(],4-∞ 【答案】C 【解析】 【分析】 求出二次函数的对称轴，根据二次函数的性质即可求解. 【详解】 函数2()41f x x x =--的对称轴为2x =，开口向上， 所以函数2()41f x x x =--的单调递减区间是(],2-∞， 故选：C. 例2.（2015·山东·高考真题）关于函数22y x x =-+，以下表达错误的选项是（ ） A ．函数的最大值是1 B ．函数图象的对称轴是直线1x = C ．函数的单调递减区间是[)1,-+∞ D ．函数图象过点()2,0 【答案】C

2023年新高考数学一轮复习2-3 二次函数与一元二次方程、不等式(真题测试)解析版

专题2.3 二次函数与一元二次方程、不等式（真题测试） 一、单选题 1．（2021·河北·沧县中学高一阶段练习）函数()()()[]224,,21,2,2,1x x x f x x x ∞∞⎧--+∈--⋃+⎪=⎨-+∈-⎪⎩ 的值域为（ ） A ．(],4∞- B ．(],2-∞ C ．[)1,+∞ D ．(),4-∞ 【答案】A 【解析】 【分析】 利用分段函数的性质求解. 【详解】 解：()()() []2 24,,21,2,2,1x x x f x x x ∞∞⎧--+∈--⋃+⎪=⎨ -+∈-⎪⎩ , 当[]2,1x ∈-，()[]21,4f x x =-+∈， 当()()1,,2x ∈+∞⋃-∞-，()()2 154f x x =-++<， 所以()(,4]∈-∞f x ， 故选：A 2．（2008·江西·高考真题（文））已知函数2()2(4)4f x x m x m =+-+-，()g x mx =，若对于任一实数x ，()f x 与()g x 的值至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是 A ．[4,4]- B ．(4,4)- C ．(,4)-∞ D ．(,4)-∞- 【答案】C 【解析】 【详解】 当2160m ∆=-<时，显然成立 当4,(0)(0)0m f g ===时，显然不成立； 当24,()2(2),()4m f x x g x x =-=+=-显然成立； 当4m <-时12120,0x x x x +，则()0f x =两根为负，结论成立故4m <,故选C.

3．（2014·北京·高考真题（文））加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”，在特定条件下，可食用率p 与加工时间t （单位：分钟）满足函数关系p=at 2+bt+c （a ，b ，c 是常数），如图记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为 A ．3.50分钟 B ．3.75分钟 C ．4.00分钟 D ．4.25分钟 【答案】B 【解析】 【详解】 由图形可知，三点(3,0.7),(4,0.8),(5,0.5)都在函数2p at bt c =++的图象上， 所以930.7 {1640.82550.5 a b c a b c a b c ++=++=++=，解得0.2, 1.5,2a b c =-==-， 所以20.2 1.52p t t =-+-=215130.2()416t -- +，因为0t >，所以当15 3.754 t ==时，p 取最大值， 故此时的t=3.75分钟为最佳加工时间，故选B. 4．（2022·河南·焦作市第一中学高二期中（文））设p ：二次函数()()2 10f x ax ax a =++≠的图象恒在x 轴的 上方，q ：关于x 的方程22210x ax a -+-=的两根都大于－1，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】 由p 可得2 0Δ40a a a >⎧⎨ =-<⎩，由q 可得11 11 a a ->-⎧⎨+>-⎩，进而判断两集合关系，即可得到答案. 【详解】由p ，则2 Δ40a a a >⎧⎨=-<⎩ ，解得04a <<；

2023年新高考数学一轮复习3-2 函数的单调性与最值(真题测试)解析版

专题3.2 函数的单调性与最值（真题测试） 一、单选题 1．（2014·北京·高考真题（文））下列函数中，定义域是R 且为增函数的是（ ） A ．x y e -= B ．3y x = C ．ln y x = D ．y x = 【答案】B 【解析】 【分析】 分别求出选项中各函数的定义域，并判断其单调性，从而可得结论. 【详解】 对于A ，1x x y e e -⎛⎫== ⎪⎝⎭，是R 上的减函数，不合题意； 对于B ，3y x =是定义域是R 且为增函数，符合题意； 对于C ，ln y x =，定义域是()0,∞+，不合题意； 对于D ，y x =，定义域是R ，但在R 上不是单调函数，不合题，故选B. 2．（2020·山东·高考真题）已知函数()f x 的定义域是R ，若对于任意两个不相等的实数1x ，2x ，总有()()2121 0f x f x x x ->-成立，则函数()f x 一定是（ ） A ．奇函数 B ．偶函数 C ．增函数 D ．减函数 【答案】C 【解析】 【分析】 利用函数单调性定义即可得到答案. 【详解】 对于任意两个不相等的实数1x ，2x ，总有()()2121 0f x f x x x ->-成立， 等价于对于任意两个不相等的实数12x x <，总有()()12f x f x <. 所以函数()f x 一定是增函数.故选：C

3.（2015·山东·高考真题）关于函数22y x x =-+，以下表达错误的选项是（ ） A ．函数的最大值是1 B ．函数图象的对称轴是直线1x = C ．函数的单调递减区间是[)1,-+∞ D ．函数图象过点()2,0 【答案】C 【解析】 【分析】 根据二次函数的图像与性质，直接进行求解即可. 【详解】 ()2 2211y x x x =-+=--+，最大值是1，A 正确； 对称轴是直线1x =，B 正确； 单调递减区间是[)1,+∞，故C 错误； 令2x =的22220y =-+⨯=，故()2,0在函数图象上，故D 正确， 故选：C 4．（2021·全国·高三专题练习）函数()232f x x x =-+的单调递增区间是（ ） A ． 3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ B ． 31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦和[)2,+∞ C ．(],1-∞和3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ． 3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝ ⎭和[)2,+∞ 【答案】B 【解析】 【分析】 去绝对值符号表示出分段函数的解析式，根据函数的解析式作出函数图象，进而根据函数图象求出单调区间，即可求出结果. 【详解】 222232,13232,1232,2x x x y x x x x x x x x ⎧-+≤⎪=-+=-+-<<⎨⎪-+≥⎩如图所示：

2023年新高考数学大一轮复习专题二平面向量与三角函数第1讲平面向量(含答案)

新高考数学大一轮复习专题： 第1讲 平面向量 [考情分析] 1.平面向量是高考的热点和重点，命题突出向量的基本运算与工具性，在解答题中常与三角函数、直线和圆锥曲线的位置关系问题相结合，主要以条件的形式出现，涉及向量共线、数量积等.2.常以选择题、填空题形式考查平面向量的基本运算，中低等难度；平面向量在解答题中一般为中等难度． 考点一 平面向量的线性运算 核心提炼 1．平面向量加减法求解的关键是：对平面向量加法抓住“共起点”或“首尾相连”．对平面向量减法应抓住“共起点，连两终点，指向被减向量的终点”，再观察图形对向量进行等价转化，即可快速得到结果． 2．在一般向量的线性运算中，只要把其中的向量当作一个字母看待即可，其运算方法类似于代数中合并同类项的运算，在计算时可以进行类比． 例1 (1)如图所示，AD 是△ABC 的中线，O 是AD 的中点，若CO →＝λAB →＋μAC → ，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ的值为( ) A ．－12 B.1 2 C ．－14 D.14 答案 A 解析 由题意知，CO →＝12(CD →＋CA →)＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫ 12CB →＋CA → ＝14(AB →－AC →)＋12CA →＝14AB →－34AC → ， 则λ＝14，μ＝－34，故λ＋μ＝－12 . (2)已知e 1，e 2是不共线向量，a ＝m e 1＋2e 2，b ＝n e 1－e 2，且mn ≠0.若a ∥b ，则m n ＝________. 答案 －2

解析 ∵a ∥b ，∴m ×(－1)＝2×n ，∴m n ＝－2. (3)A ，B ，C 是圆O 上不同的三点，线段CO 与线段AB 交于点D ，若OC →＝λOA →＋μOB → (λ∈R ， μ∈R )，则λ＋μ的取值范围是________． 答案 (1，＋∞) 解析 由题意可得，OD →＝kOC →＝kλOA →＋kμOB → (01，即λ＋μ的取值范围是(1，＋∞)． 易错提醒 在平面向量的化简或运算中，要根据平面向量基本定理恰当地选取基底，变形要有方向，不能盲目转化． 跟踪演练1 (1)如图，在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别为边AB ，BC 的中点，连接CE ，DF ， 交于点G .若CG →＝λCD →＋μCB → (λ，μ∈R )，则λμ ＝________. 答案 12 解析 由题意可设CG →＝xCE → (0

2023年新高考数学一轮复习4-2 应用导数研究函数的单调性(真题测试)含详解

专题4.2 应用导数研究函数的单调性（真题测试） 一、单选题 1.（2022·上海松江·二模）下列函数中，与函数3y x =的奇偶性和单调性都一致的函数是（ ） A ．2y x B ．sin y x x =+ C ．||2x y = D ．tan y x = 2．（2015·陕西·高考真题（文））设()sin f x x x =-，则()f x =（ ） A ．既是奇函数又是减函数 B ．既是奇函数又是增函数 C ．是有零点的减函数 D ．是没有零点的奇函数 3．（2016·全国·高考真题（文））函数2||2x y x e =-在[]–2,2的图象大致为（ ） A ． B ． C ． D ． 4.（2009·湖南·高考真题（文））若函数()y f x =的导函数在区间[,]a b 上是增函数，则函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象可能是（ ） A ． B ． C ．

D ． 5．（2013·全国·高考真题（理））若函数2 1 ()f x x ax x =++ 在1(,)2 +∞是增函数，则a 的取值范围是（ ） A ．[1,0]- B ．[1,)-+∞ C ．[0,3] D ．[3,)+∞ 6．（2015·福建·高考真题（理））若定义在R 上的函数()f x 满足()01f =-，其导函数()f x '满足()1f x k '>>，则下列结论中一定错误的是（ ） A ．11 f k k ⎛⎫< ⎪⎝⎭ B ．111 f k k ⎛⎫ > ⎪-⎝⎭ C ．1111 f k k ⎛⎫< ⎪ --⎝⎭ D ．111 k f k k ⎛⎫> ⎪ --⎝⎭ 7．（2011·辽宁·高考真题（文））函数()f x 的定义域为R ，()12f -=，对任意x ∈R ，()2f x '>，则()24f x x >+的解集为（ ） A ．()1,1- B ．()1,-+∞ C ．(),1-∞- D ．(),-∞+∞ 8．（2022·青海·模拟预测（理））若01a b <<<，则（ ） A ．e e ln ln b a b a -<- B ．e e ln ln b a b a -≥- C ．e e a b b a ≤ D ．e e a b b a > 二、多选题 9．（2022·全国·模拟预测）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()0f x f x +'>，则下列式子成立的是（ ） A ．()()20212022f ef < B ．()()20212022f ef > C ．()f x 是R 上的增函数 D ．0t ∀>，则()()t f x e f x t <+ 10．（2022·湖北·模拟预测）已知正实数a ，b ，c 满足1log b a c c b a <<<，则一定有（ ） A ．1a < B ．a b < C ．b c < D ．c a < 11．（2022·辽宁沈阳·二模）已知奇函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，且()()1120f x f x x --++=恒成立，若()f x 在[]0,1单调递增，则（ ）A ．()f x 在[]1,2上单调递减 B ．()00f = C ．()20222022f = D ．()20231f '=

备战2023数学高考一轮复习真题演练(2021-22年真题) 一元二次不等式与其他常见不等式解法

专题05 一元二次不等式与其他常见不等式解法 【考点预测】 1、一元二次不等式 一元二次不等式2 0(0)ax bx c a ++>≠，其中24b ac ∆=-，12,x x 是方程2 0(0)ax bx c a ++>≠的两个根，且12x x < （1）当0a >时，二次函数图象开口向上. （2）①若0∆>，解集为{} 21|x x x x x ><或. ②若0∆=，解集为|2b x x R x a ⎧⎫∈≠-⎨⎬⎩⎭ 且. ③若0∆<，解集为R . (2) 当0a <时，二次函数图象开口向下. ①若0∆>，解集为{}12|x x x x << ②若0∆≤，解集为∅ 2、分式不等式 （1） () 0()()0() f x f x g x g x >⇔> （2） () 0()()0() f x f x g x g x <⇔< （3） ()()0() 0()0()f x g x f x g x g x ≥⎧≥⇔⎨ ≠⎩ （4） ()()0() 0()0 ()f x g x f x g x g x ≤⎧≤⇔⎨ ≠⎩ 3、绝对值不等式 （1）2 2 ()()[()][()]f x g x f x g x >⇔> （2）()()(()0)()()()()f x g x g x f x g x f x g x >>⇔><-或； ()()(()0)()()()f x g x g x g x f x g x <>⇔-<<； （3）含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分段法和图象法求解 【方法技巧与总结】

1.已知关于x 的不等式02>++c bx ax 的解集为)(n m ，（其中0>mn ） ，解关于x 的不等式02>++a bx cx ．由02>++c bx ax 的解集为)(n m ，，得:01)1(2>++c x b x a 的解集为)11(m n ，，即关于x 的 不等式02>++a bx cx 的解集为)1 1(m n ，． 已知关于x 的不等式02>++c bx ax 的解集为)(n m ，，解关于x 的不等式02≤++a bx cx ． 由02>++c bx ax 的解集为)(n m ，，得:01)1(2≤++c x b x a 的解集为)1[]1(∞+-∞，，m n 即关于x 的不等 式02≤++a bx cx 的解集为)1 []1(∞+-∞，，m n ． 2.已知关于x 的不等式02>++c bx ax 的解集为)(n m ，（其中0>>m n ），解关于x 的不等式02>+-a bx cx ． 由02>++c bx ax 的解集为)(n m ，，得:01)1(2>+-c x b x a 的解集为)1 1(n m --，即关于x 的不等式 02>+-a bx cx 的解集为)1 1(n m -- ，． 3.已知关于x 的不等式02>++c bx ax 的解集为)(n m ，，解关于x 的不等式02≤+-a bx cx ． 由02>++c bx ax 的解集为)(n m ，，得:01)1(2≤+-c x b x a 的解集为)1 []1(∞+---∞，，n m 即关于x 的 不等式02≤+-a bx cx 的解集为)1[]1(∞+-- -∞，，n m ，以此类推． 4.已知关于x 的一元二次不等式02>++c bx ax 的解集为R ，则一定满足⎩⎨⎧<∆>00 a ； 5.已知关于x 的一元二次不等式02>++c bx ax 的解集为φ，则一定满足⎩⎨⎧≤∆<00 a ； 6.已知关于x 的一元二次不等式02<++c bx ax 的解集为R ，则一定满足⎩⎨⎧<∆<00 a ； 7.已知关于x 的一元二次不等式02<++c bx ax 的解集为φ，则一定满足⎩ ⎨⎧≤∆>00 a ． 【题型归纳目录】 题型一：不含参数一元二次不等式的解法 题型二：含参数一元二次不等式的解法 题型三：一元二次不等式与韦达定理及判别式 题型四：其他不等式解法 题型五：二次函数根的分布问题 【典例例题】题型一：不含参数一元二次不等式的解法

2023年高考数学一轮复习专练(新高考地区用)2-1 不等式的性质及一元二次不等式(精练)(含详解)

2.1 不等式的性质及一元二次不等式（精练）（提升版） 1．（2022·湖北·高三阶段练习）（多选）对于实数a ，b ，m ，下列说法正确的是（ ） A ．若22am bm >，则a b > B ．若b a >，0m >，则 a m a b m b +>+ C ．若0a b >>且ln ln a b =，则()23,a b +∈+∞ D ．若e b a >>，则b a a b > 2．（2022·山东聊城·一模）（多选）设0a b <<，且2a b +=，则( ) A ．12b << B ．21a b -> C ．1ab < D ．12 3a b + 3．（2022·江苏南京·高三开学考试）（多选）下列说法中正确的有（ ） A ．若0a b <<，则2ab b > B ．若0a b >>，则 b a a b > C ．(0,)∀∈+∞x ，“1 x m x + ≥恒成立”是“2m ≤”的充分不必要条件 D ．若0,0,1a b a b >>+=，则 11 a b +的最小值为4 4．（2021·江苏·高三阶段练习）（多选）若不等式m n <与11 m n >（m ，n 为实数）同时成立，则下列不等关系可能成立的是（ ） A ．0m n << B ．0m n << C ．0m n << D ．0mn < 5．（2022·重庆八中模拟预测）（多选）已知,,a b c 是实数，则下列不等关系的表述，一定正确的有（ ） A ．22 2 ()2a b a b ++≥ B ．若0ab ≠，则 ||||2||||a b b a +≥ C ．若a b <，则11 a b > D ．若0,< 6．（2022·湖南长沙·高三阶段练习）（多选）若0ab ＜，则下列结论正确的是（ ） A ．222a b ab +≥ B ．0a b +< C ．()0a a b -> D ．b a a b +2> 题组一 不等式性质

2023届高考数学一轮复习卷2

一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 1.(考点:随机抽样,★)中国古代数学算经十书之一的《九章算术》有一衰分问题:今有北乡八千一百人,西乡 七千四百八十八人,南乡六千九百一十二人,凡三乡,发役三百人,则北乡应派遣人数为(). A.104 B.108 C.112 D.120 2.(考点:复数,★)设复数z满足|z+1|=|z-2i|,且z在复平面内对应的点为(x,y),则(). A.x+2y-3=0 B.2x+4y-3=0 C.2x-4y+3=0 D.x-2y+3=0 3.(考点:等差数列,★)已知等差数列{a n}的前n项和为S n,满足a4=5,S n+S n-2=2S n-1+2(n≥3),则(). A.a n=n B.a n=2n-3 C.a1=-2 D.S n=n(n-1) 2 4.(考点:基本初等函数,★)设a=log0.25,b=0.23,c=(1 4 )-0.2,则a,b,c的大小关系为(). A.a

2023年新高考数学一轮复习1-2 全称量词与存在量词、充要条件(真题测试)解析版

专题1.1集合（真题测试） 一、单选题 1．（2021·天津·高考真题）已知a ∈R ，则“6a >”是“236a >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】 由充分条件、必要条件的定义判断即可得解. 【详解】 由题意，若6a >，则236a >，故充分性成立； 若236a >，则6a >或6a <-，推不出6a >，故必要性不成立； 所以“6a >”是“236a >”的充分不必要条件. 故选：A. 2．（2021·北京·高考真题）已知()f x 是定义在上[0,1]的函数，那么“函数()f x 在[0,1]上单调递增”是“函数()f x 在[0,1]上的最大值为(1)f ”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】 利用两者之间的推出关系可判断两者之间的条件关系. 【详解】 若函数()f x 在[]0,1上单调递增，则()f x 在[]0,1上的最大值为()1f ， 若()f x 在[]0,1上的最大值为()1f ， 比如()2 13f x x ⎛⎫=- ⎪⎝ ⎭， 但()213f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦为减函数，在1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦为增函数， 故()f x 在[]0,1上的最大值为()1f 推不出()f x 在[]0,1上单调递增，故“函数()f x 在[]0,1上单调递增”是

“()f x 在[]0,1上的最大值为()1f ”的充分不必要条件， 故选：A. 3．（2021·浙江·高考真题）已知非零向量,,a b c ，则“a c b c ⋅=⋅”是“a b =”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】 考虑两者之间的推出关系后可得两者之间的条件关系. 【详解】 如图所示，,,,OA a OB b OC c BA a b ====-,当AB OC ⊥时，a b -与c 垂直，，所以 成立，此时a b ≠， ∴不是a b =的充分条件， 当a b =时，0a b -=，∴()00a b c c -⋅=⋅=,∴ 成立， ∴ 是a b =的必要条件， 综上，“”是“”的必要不充分条件 故选：B. 4．（2021·全国·高考真题（理））等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，设甲：0q >，乙：{}n S 是递增数列，则（ ） A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C ．甲是乙的充要条件 D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】B

2023年高考数学一轮复习(新高考地区专用)6-2 古典概型及条件概率(精练)(解析版)(1)

6.2 古典概型及条件概率（精练）（基础版） 题组一古典概型 1．（2022·山东滨州）法国著名的数学家笛卡尔曾经说过：“阅读优秀的书籍，就是和过去时代中最杰出的人们（书籍的作者）一一进行交谈，也就是和他们传播的优秀思想进行交流，阅读会让精神世界闪光”.某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了100位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示： (1)求a； (2)根据频率分布直方图，估计该地年轻人每天阅读时间的中位数（精确到0.1）（单位：分钟）； (3)为了进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组[50,60)，[60,70)和[80,90)的年轻人中抽取5人，再从中任选3人进行调查，求其中恰好有2人每天阅读时间位于[80,90)的概率. 2．（2022·青海西宁）新冠肺炎疫情期间，为确保“停课不停学”，各校精心组织了线上教学活动，开学后，某校采用分层抽样的方法从三个年级的学生中抽取一个容量为150的样本进行关于线上教学实施情况的问卷调查.已知该校高一年级共有学生660人，抽取的样本中高二年级有50人，高三年级有45人.下表是根据抽样调查情况得到的高二学生日睡眠时间（单位：h）的频率分布表. 分组频数频率 [) 6,6.550.10 [) 6.5,780.16 [) 7,7.5x0.14 [) 7.5,812y

(1)求该校学生总数及频率分布表中实数,,x y z 的值； (2)已知日睡眠时间在区间[)6,6.5的5名高二学生中，有2名女生，3名男生，若从中任选2人进行面谈，求选中的2人恰好为一男一女的概率. 3．（2022·河北张家口）英才中学为普及法律知识，组织高一学生学习法律常识小册子，并随机抽出100名学生进行法律常识考试，并将其成绩制成如图所示的频率分布直方图. (1)估计这100人的平均成绩； (2)若成绩在[]90,100的学生中恰有两位是男生，现从成绩在[]90,100的学生中抽取3人去校外参加社会法律知识竞赛，求其中恰有一位男生的概率. 4．（2022·河南·商丘市）蹦床是一项将运动和美学完美结合的运动，随着全民健身时代的到来，蹦床越来越受到人们的喜爱，某大型蹦床主题公园为吸引顾客，推出优惠活动对首次消费的顾客，先注册成为会员，首次按60元收费，对会员逐次消费给予相应优惠，标准如下： 该蹦床主题公园从注册的会员中，随机抽取了100位统计他们的消费次数，得到数据如下： 假设每消费一次，蹦床主题公园的成本为30元，根据所给数据，解答下列问题： (1)以频率估计概率，估计该蹦床主题公园一位会员至少消费2次的概率； (2)某会员消费6次，求这6次消费中，该蹦床主题公园获得的平均利润；

2023年新高考数学一轮复习5-2 同角三角函数的基本关系与诱导公式(真题测试)解析版

专题5.2 同角三角函数的基本关系与诱导公式（真题测试） 一、单选题 1．（2013·广东·高考真题（文））已知51 sin()25 πα+=，那么cos α=（ ） A ．25 - B ．1 5- C ．15 D ．25 【答案】C 【解析】 由51 sin 25 πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，得 1cos 5α=.故选C ． 2．（2022·浙江·杭州市富阳区场口中学高二期末）已知3 tan 4 α= ，α为第三象限角，则cos α的值为（ ） A ．35 B ． 35 C ．45 D ．45 - 【答案】D 【解析】 【分析】 根据同角三角函数的关系求解即可 【详解】 因为3tan 4α= ，故sin 3cos 4αα=，即2216sin 9cos αα=，221616cos 9cos αα-=，所以216 cos 25 α=，因为α为 第三象限角，故4 cos 5 α=- 故选：D 3．（2022·辽宁· ） A ．sin 4cos4- B ．sin4cos4-- C ．cos4sin 4- D ．sin4cos4+ 【答案】C 【解析】 【分析】 利用诱导公式和平方关系求解. 【详解】 ==

cos4sin 4=-， 故选：C 4．（2007·山西·高考真题（理））α是第四象限角，5 tan 12 α=- ，则sin α=（ ） A ．15 B ．15 - C ． 513 D ．513 - 【答案】D 【解析】 【分析】 根据同角三角函数基本关系，得到22sin 5cos 12sin cos 1αααα⎧=-⎪ ⎨⎪+=⎩，求解，再根据题意，即可得出结果. 【详解】 因为5tan 12α=-，由同角三角函数基本关系可得：22sin 5cos 12sin cos 1α ααα⎧=-⎪ ⎨⎪+=⎩， 解得：5 sin 13 α=± ， 又α是第四象限角，所以5sin 13 α=-. 故选：D. 5．（2020·全国·高考真题（理））已知 π()0,α∈ ，且3cos28cos 5αα-=，则sin α=（ ） A B ．23 C ．13 D 【答案】A 【解析】 【分析】 用二倍角的余弦公式，将已知方程转化为关于cos α的一元二次方程，求解得出cos α，再用同角间的三角函数关系，即可得出结论. 【详解】 3cos28cos 5αα-=，得26cos 8cos 80αα--=， 即23cos 4cos 40αα--=，解得2cos 3α=-或cos 2α=（舍去） ，又(0,),sin απα∈∴== 故选：A.