5知识讲解 条件概率与独立事件 提高

条件概率与独立事件

【学习目标】

1.了解条件概率和两个事件相互独立的概念.

2.通过实例探究条件概率计算公式的推导过程和事件独立性的概念，学会判断事件独立性的方法.

3.通过本节的学习，体会数学来源于实践又服务于实践，发展数学的应用意识. 【要点梳理】 要点一：条件概率 1.概念

设A 、B 为两个事件，求已知B 发生的条件下，A 发生的概率，称为B 发生时A 发生的条件概率，记为()|P A B ，读作：事件B 发生的条件下A 发生的概率。 要点诠释：

我们用韦恩图能更好的理解条件概率，如图，我们将封闭图形的面积理解为相应事件的概率，那么由条件概率的概率，我们仅局限于B 事件这个范围来考察A 事件发生的概率，几何直观上，()|P A B 相当于B 在A 内的那部分（即事件AB ）在A 中所占的比例。 2.公式 .

要点诠释：

（1）对于古典（几何）概型的题目，可采用缩减样本空间的办法计算条件概率：

古典概型：(|)AB P A B B =

包含的基本事件数

包含的基本事件数，即()()

card (|)card AB P AB B =；

几何概型：(|)AB P A B B =

的测度

的测度

.

（2）公式()

(|)()

P AB P A B P B =

揭示了()P B 、()|P AB

、()P AB 的关系，常常用于知二求一，即要熟练应用它的变形公式如，若()P B ＞0，则()()()=|P AB P A P B A ，该式称为概率的乘法公式． （3）类似地，当()0P A >时，A 发生时B 发生的条件概率为：()()()

|=P AB P B A P A .

3. 性质

（1）非负性：()|0P A B ≥；

（2）规范性：()|=1P B Ω（其中Ω为样本空间）；

当()0P B >时，()()()

|=

P A

B P A B P B .

（3）可列可加性：若两个事件A 、B 互斥，则()()()+||+|P A B C P A C P B C =. 4.概率()P A |B 与()P AB 的联系与区别：

联系：事件A ，B 都发生了。 区别：

①在()|P A B 中，事件A ，B 发生有时间上的差异，事件B 先发生，事件A 后发生；在()P AB 中，事件A ，B 同时发生；

②基本事件空间不同在()|P A B 中，事件B 成为基本事件空间，即()

()

card (|)card AB P AB

B =；在()P AB 中，

基本事件空间保持不变，仍为原基本事件空间，即()()

card ()card AB P AB =Ω。

要点二：独立事件 1.定义：

事件A （或B ）是否发生对事件B （或A ）发生的概率没有影响，即(|)()P B A P B =，这样的两个事件叫做相互独立事件。

若A 与B 是相互独立事件，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也相互独立。 2．相互独立事件同时发生的概率公式：

对于事件A 和事件B ，用A B ?表示事件A 、B 同时发生。 （1）若A 与B 是相互独立事件，则()()()P A B P A P B ?=?； （2）若事件12,,,n A A A 相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，

即：1212()()()()n n P A A A P A P A P A ???=??

?。

要点诠释

（1）P （A B ）=P （A ）P （B ）使用的前提是A 、B 为相互独立事件，也就是说，只有相互独立的两个事件同时发生的概率，才等于每个事件发生的概率的积．

（2）两个事件A 、B 相互独立事件的充要条件是()()()P A B P A P B ?=?。 3．相互独立事件与互斥事件的比较

互斥事件与相互独立事件是两个不同的概念，它们之间没有直接关系。

互斥事件是指两个事件不可能同时发生，而相互独立事件是指一个事件是否发生对另一个事件发生的概率没有影响。

一般地，两个事件不可能既互斥又相互独立，因为互斥事件是不可能同时发生的，而相互独立事件是以它们能够同时发生为前提的。相互独立事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积,这一点与互斥事件的概率和也是不同的。 4. 几种事件的概率公式的比较

已知两个事件A ，B ，它们发生的概率为P （A ），P （B ），则：

A ，

B 中至少有一个发生记为事件A +B （或A B ）

； A ，B 都发生记为事件AB （或A

B ）

； 都不发生记为事件AB （或A

B ）；

恰有一个发生记为事件+AB AB ；

至多有一个发生记为事件A B A B A B ?+?+?. 则它们的概率间的关系如下表所示：

典型例题】 类型一：条件概率

例1． 一种耐高温材料，能承受200℃高温不熔化的概率为0.9，能承受300℃高温不熔化的概率为0.5，现有一种这样的材料，在能承受200℃高温不熔化的情况下，还能承受300℃高温不熔化的概率是多少？ 【思路点拨】用集合来表示事件，将所求事件的概率表示成条件概率的形式，根据定义计算．

【解析】 用A 表示事件“该材料承受200℃高温不熔化”，用B 表示事件“该材料承受300℃高温不熔化”，则“能承受200℃高温不熔化的情况下，还能承受300℃高温不熔化的概率”可表示为()|P B A .

依题意得，()()0.90.5，P A P B ==.

因为B ?A ，所以A ∩B=B ，故有()()==0.5P AB P B ， 由条件概率的定义可得 ()0.55

(|)()0.99

P B P B A P A =

==． 所以，在能承受200℃高温不熔化的情况下，还能承受300℃高温不熔化的概率是59

. 【总结升华】计算条件概率最常用的方法是定义法，其具体步骤如下：

（1）将文字语言翻译成集合语言：设出事件A ，B ，将所求概率表示成()|P A B 的形式； （2）计算概率()P A 和()P AB ，特别是；

（3）根据条件概率公式()()

()

|=P A

B P A B P B 计算结果；

举一反三：

【变式1】一个盒子中装有6只好晶体管和4只坏晶体管，任取两次，每次取1只，第一次取后不放回，若第一次取到的是好的，则第二次也取到好的概率为（ ）

A ．

35 B ．13 C ．59 D ．49

【答案】C

设i A =“第i 次取到好的晶体管”（i =1，2）。 因为163()105P A =

=，12651

()1093

P A A ?==?， 所以12211()5

(|)()9

P A A P A A P A =

=。

【变式2】在10000张有奖储蓄的奖券中，设有1个一等奖，5个二等奖，10个三等奖，从中依次买两张，求在第一张中一等奖的条件下，第二张中二等奖或三等奖的概率．

【答案】设“第一张中一等奖”为事件A ，“第二张中二等奖”为事件B ，“第二张中三等奖”为事件C ，则

1()10000P A =

，155()10000999999990000

P AB ?==?， 11010

()10000999999990000

P AC ?==

?， ∴()5(|)()9999P AB P B A P A =

=，()10

(|)()9999

P AC P C A P A ==． ∴5105

(|)(|)(|)999999993333

P B C A P B A P C A =+=

+=

． 即在第一张中一等奖的条件下，第二张中二等奖或三等奖的概率为

5

3333

． 例2. 假定生男孩或女孩是等可能的，在一个有3个孩子的家庭中，已知有一个女孩，求至少有一个男孩的概率．

【思路点拨】这个古典概型，利用缩减样本空间的方法计算条件概率较简便。

【解析】用A 表示为“至少有一个男孩”，用B 表示事件“至少有一个是女孩”，则“有一个女孩，至少有一个男孩的概率”可用表示.()|P A B .

将B 作为样本空间，它可用树形图可以直观的表示出来，如下：

所以()card =7B ，()card =6AB ，

所以()()card 6

(|)=card 7

AB P AB

B =.

所以在有一个女孩的情况下，至少有一个男孩的概率为

6

7

． 【总结升华】对于古典概率求条件概率型题目，可采用缩减基本事件总数的方法，具体方法如下： （1）将文字语言翻译成集合语言：设出事件A ，B ，将所求概率表示成()|P A B 的形式； （2）写出样本空间B ，并找出B 中A 发生（即事件AB ）的基本事件数； （3）计算()()card card B AB ，；

（4）根据条件概率公式()()card 6

(|)=card 7

AB P AB

B =计算结果.

举一反三：

【变式1】在100件产品中有95件合格品，5件不合格品.现在从中不放回的取两次，每次任取一件，试求：在第一次取到不合格品后，第二次再次取到不合格品的概率.

【答案】在第一次取到不合格品后，产品总数为99件，其中：合格品：95件，不合格品：4件。 由条件概率的概率可知，所求条件概率为在第一次取到不合格品后，不合格品占产品总数的比例，即

设事件“第二次取到不合格品”为A ，事件“第一次取到不合格品”为B ，则

4

99

. 【变式2】从一副不含大小王的扑克牌（共52张）中不放回地抽取2次，每次抽1张，若第一次抽到J ，则第二次也抽到J 的概率为________。

【答案】第1次抽到J 后，总扑克牌数为51张，其中：J 有3张。由条件概率的定义可知，“第一次抽到J ，则第二次也抽到J ”表示在第1次抽到J 后，J 所占总扑克牌数的比例，即1

3=5117

. 类型二：独立事件

例3. 容器中盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球．

（1）“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”这两个事件是否相互独立？为什么？

（2）“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“把取出的1个白球放回容器，再从容器中任意取出1个，取出的是黄球”这两个事件是否相互独立？为什么？

【思路点拨】从相互独立事件的定义入手．

【解析】（1）“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为5

8

，若这一事件发生了，则“从剩

下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为4

7

；若前一事件没有发生，则后一事件发生的概

率为5

7

．可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以二者不是相互独立事件．

（2）由于把取出的白球放回容器，故对“从中任意取出1个，取出的是黄球”的概率没有影响，所以二者是相互独立事件．

【总结升华】判断两事件是否相互独立的方法有：

（1）通过计算P（B|A）=P（B）可以判断两个事件相互独立：

（2）通过验证P（AB）=P（A）P（B）也可以判断两个事件相互独立．

举一反三：

【变式】判断下列各对事件是互斥事件还是相互独立事件．

（1）运动员甲射击1次，“射中9环”与“射中8环”；

（2）甲、乙两运动员各射击1次，“甲射中10环”与“乙射中9环”：

（3）甲、乙两运动员各射击1次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没有射中目标”；

（4）甲、乙两运动员各射击1次，“至少有1人射中目标”与“甲射中目标，但乙没有射中目标”．【答案】

（1）甲射击1次，“射中9环”与“射中8环”这两个事件不可能同时发生，二者是互斥事件．（2）甲、乙各射击1次，“甲射中10环”发生与否对“乙射中9环”的概率没有影响，二者为相互独立事件．

（3）甲、乙各射击1次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没有射中目标”不可能同时发生，二者是互斥事件．

（4）甲、乙各射击1次，“至少有1人射中目标”与“甲射中目标，但乙没有射中目标”可能同时发生，二者构不成互斥事件，但也不可能是相互独立事件．

例5. 要制造一种机器零件，甲机床的废品率为0.04，乙机床的废品率是0.05，从它们制造的产品中，各任意抽取一件，求：

（1）其中至少有一件废品的概率；

（2）其中恰有一件废品的概率；

（3）其中至多有一件废品的概率；

（4）其中没有废品的概率；

（5）其中全是废品的概率．

【思路点拨】依题意记事件A为“从甲机床生产的产品中抽得的一件是废品”，事件B为“从乙机床生产的产品中抽得的一件是废品”，两事件对应的概率为P（A）=0.04，P（B）=0.05，则此题可解．显然，这两台机床的生产应当看作是相互独立的．

【解析】记事件A为“从甲机床生产的产品中抽得的一件是废品”，事件B为“从乙机床生产的产品中抽得

的一件是废品”．

则P （A ）=0.04，P （A ）=0.96，P （B ）=0.05，P （B ）=0.95． 由题意可知，A 与B ，A 与B ，A 与B ，A 与B 都是相互独立的． （1）“至少有一件废品”为事件A+B ，

则()1()1()()10.960.950.088P A B P AB P A P B +=-=-=-?=． （2）“恰有一件废品”为事件AB AB +，

则()()()()()()()P AB AB P AB P AB P A P B P A P B +=+=+ =0.96×0.05+0.04×0.95=0.048+0.038=0.086．

（3）方法一：“至多有一件废品”为事件AB AB AB ++， 则()()()()P AB AB AB P AB P AB P AB ++=++ ()()()()()()P A P B P A P B P A P B =++ =0.04×0.95+0.96×0.05+0.96×0.95=0.998．

方法二：“至多有一件废品”的对立事件为“两件都是废品”，即事件AB ， 则()1()1()()10.040.050.998P AB AB AB P AB P A P B ++=-=-=-?=． （4）“其中没有废品”就是“两件都是正品”，即事件AB ， 则()()()0.960.950.912P AB P A P B ==?=． （5）“其中全是废品”为事件AB ，

则P （AB ）=P （A ）P （B ）=0.04×0.05=0.002．

【总结升华】（1）审题应注意关键的词句，例如“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰有一个发生”等，应学会在求复杂事件的概率时对事件等价拆分来求解．

（2）求相互独立事件同时发生的概率的方法有：①利用相互独立事件的概率乘法公式；②正面计算较繁琐时，可以从对立面入手求解． 举一反三：

【变式1】甲、乙两个袋中均装有红、白两种颜色的球，这些球除颜色外完全相同，其中甲袋装有4个红球、2个白球，乙袋装有1个红球、5个白球。若分别从甲、乙两袋中各随机取出一个球，求取出的两球都是红球的概率。

【答案】因从甲袋中取一球为红球的概率为

46，从乙袋中取一球为红球的概率为1

6

， 故从两袋中各取一球，取出的都是红球的概率为411

669

?=。

【高清课堂：条件概率 事件的相互独立性 408736 例题2】

【变式2】甲、乙二射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，求：

（1）2人都射中目标的概率； （2）2人中恰有1人射中目标的概率； （3）2人至少有1人射中目标的概率； （4）2人至多有1人射中目标的概率.

【答案】记“甲射击1次，射中目标”为事件A ，“乙射击1次，射中目标”为事件B ， 则()0.8P A =，()0.9P B =,

且事件A 与B ，事件A 与B ，事件A 与B ，事件A 与B 都是相互独立事件。 （1）2人都射中的概率为：()()()0.80.90.72P A B P A P B ?=?=?=， ∴2人都射中目标的概率是0.72．

（2）“2人各射击1次，恰有1人射中目标”包括两种情况： 一种是甲射中、乙未射中（事件A B ?发生）， 另一种是甲未射中、乙射中（事件A B ?发生）， 且事件A B ?与A B ?互斥。 所求的概率为：

()()()()()()()P A B A B P A B P A B P A P B P A P B ?+?=?+?=?+?

0.8(10.9)(10.8)0.90.080.180.26=?-+-?=+=

∴2人中恰有1人射中目标的概率是0.26． （3）

法一：因为事件“2人中至少有1人射中”，包括事件“2人都射中”和事件“2人中只有1人射中”， 即事件AB ，AB ，AB ，

又因为事件AB ，AB ，AB 两两互斥， 故所求概率为：

()()()()()()()P AB AB AB P A P B P A P B P A P B ++=++

0.80.90.8(10.9)(10.8)0.90.98=?+?-+-?=。

法二：因为事件“2人中至少有1人射中”与事件“2人都未射中”为对立事件， “2人都未射中”的概率()()()(10.8)(10.9)0.02P A B P A P B ?=?=--=， ∴“2人中至少有1人射中”的概率1()10.020.98P P A B =-?=-=。

（4）

法一：因为事件“2人中至多有1人射中”，包括事件“2人都未射中”和事件“2人中只有1人射中”， 即事件AB ，AB ，AB ，

又因为事件AB ，AB ，AB 两两互斥， 故所求概率为：

()()()()()()()P AB AB AB P A P B P A P B P A P B ++=++

(10.8)(10.9)0.8(10.9)(10.8)0.90.28=-?-+?-+-?=。

法二：因为事件“2人中至多有1人射中”与事件“2人都未射中”为对立事件，

所以事件“2人中至多有1人射中”的概率为1()1()()10.80.90.28P AB P A P B -=-=-?= 例6. 有三种产品，合格率分别是0.90、0.95和0.95，从中各抽取一件进行检验． （1）求恰有一件不合格的概率；

（2）求至少有两件不合格的概率．（结果都精确到0.001）

【思路点拨】 三件（或三件以上）相互独立的事同时发生，和两个相互独立的事同时发生是类似的，都用乘法公式。

【解析】设从三种产品中各抽取一件，抽到合格产品的事件分别为A 、B 和C ．

（1）P （A ）=0.90，P （B ）=P （C ）=0.95，则()0.10P A =，()()0.05P B P C ==．

因为事件A 、B 、C 相互独立，所以恰有一件不合格的概率为

()()()P A B C P A B C P A B C ++

()()()()()()()()()P A P B P C P A P B P C P A P B P C =++

=2×0.90×0.95×0.05+0.10×0.95×0.95≈0.176 （2）方法一：至少有两件不合格的概率为

()()()()P A B C P A B C P A B C P A B C +++=0.90×0.05×0.05+2×0.10×0.05×0.95

+0.10×0.05×0.05=0.012．故至少有两件不舍格的概率为0.012．

方法二：三件产品都合格的概率为P （A ∩B ∩C ）=P （A ）·P （B ）P （C ）=0.90×0.95×0.95=0.812．由（1）知，恰有一件不合格的概率约为0.176，所以至少有两件不合格的概率为1－[P(A ∩B ∩C)+0.176]≈1－0.812+0.176)=0.012．故至少有两件不合格的概率为0.012．

【思路点拨】 本题主要考查互斥事件有一个发生的概率和相互独立事件同时发生的概率的计算及运用数学知识解决实际问题的能力．在求解某些含有“至少”“至多”等字眼的事件概率问题时，若从正面讨论比较繁杂，可采用逆向思维的方法，先求其对立事件的概率，然后再求原来事件的概率． 举一反三：

【变式1】在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，只要其中有1个开

关能够闭合，线路就能正常工作假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内

线路正常工作的概率【答案】分别记这段时间内开关A J ，B J ，C J 能够闭合为事件A ，B ，C ．

由题意，这段时间内3个开关是否能够闭合相互之间没有影响根据相互独立事件的概率乘法公式，这

段时间内3个开关都不能闭合的概率是

()()()()P A B C P A P B P C ??=??

[][][]1()1()1()P A P B P C =--- (10.7)(10.7)(10.7)0.027=---=

∴这段时间内至少有1个开关能够闭合，，从而使线路能正常工作的概率是

1()10.0270.973P A B C -??=-=．

答：在这段时间内线路正常工作的概率是0.973．

【变式2】已知在某次1500米体能测试中，甲、乙、丙3人各自通过测试的概率分别为25，34，1

3

。求：（1）3人都通过体能测试的概率；

（2）只有2人通过体能测试的概率； （3）只有1人通过体能测试的概率。 【答案】

设事件A=“甲通过体能测试”，事件B=“乙通过体能测试”，事件C=“丙通过体能测试”， 由题意有：2()5P A =

，3()4P B =，1()3

P C =。 （1）设事件M 1=“甲、乙、丙3人都通过体能测试”，即事件M 1=ABC ， 由事件A ，B ，C 相互独立可得：

12411

()()()()()53310

P M P ABC P A P B P C ==??=??=；

（2）设事件M 2=“甲、乙、丙3人中只有2人通过体能测试”，则2M ABC ABC ABC =++， 由于事件A ，B ，C ，A ，B ，C 均相互独立，并且事件ABC ，ABC ，ABC 两两互斥， 因此2()()()()P M P A P B P C =()()()P A P B P C +??()()()P A P B P C +??

231231231(1)(1)(1)543543543=??-+?-?+-?? 2360

=； （3）设事件M 3=“甲、乙、丙3人中只有1人通过体能测试”，则3M ABC ABC ABC =++， 由于事件A ，B ，C ，A ，B ，C 均相互独立，并且事件ABC ，ABC ，ABC 两两互斥， 因此3()()()()P M P A P B P C =??()()()P A P B P C +??()()()P A P B P C +??

231231231(1)(1)(1)(1)(1)(1)543543543=?-?-+-??-+-?-? 512

=。 【变式3】已知某种高炮在它控制的区域内击中敌机的概率为0.2．

（1）假定有5门这种高炮控制某个区域，求敌机进入这个区域后未被击中的概率； （2）要使敌机一旦进入这个区域后有0.9以上的概率被击中，需至少布置几门高炮？ 【答案】

因为敌机被击中的就是至少有1门高炮击中敌机，故敌机被击中的概率即为至少有1门高炮击中敌机的概率

（1）设敌机被第k 门高炮击中的事件为K A (k=1,2,3,4,5)，那么5门高炮都未击中敌机的事件为

12345A A A A A ????．

∵事件1A ，2A ，3A ，4A ，5A 相互独立， ∴敌机未被击中的概率为

12345()P A A A A A ????=12345()()()()()P A P A P A P A P A ????

5(10.2)=-=)5

4

(

∴敌机未被击中的概率为5)5

4(．

（2）至少需要布置n 门高炮才能有0.9以上的概率被击中，仿（1）可得：

敌机被击中的概率为1-n )5

4( ∴令41()0.95n -≥，∴41

()510

n ≤

两边取常用对数，得1

13lg 2

n ≥

≈-∵+∈N n ，∴n =

∴至少需要布置11门高炮才能有0.9以上的概率击中敌机

b6相互独立事件概率求解

本文为自本人珍藏 版权所有 仅供参考 本文为本人珍藏，有较高的使用、参考、借鉴价值！！ 本文为本人珍藏，有较高的使用、参考、借鉴价值！！ 相互独立事件概率问题求解辨析 焦景会 055350 河北隆尧一中 事件A 、B 是相互独立事件，当且仅当事件A 和B 是否发生，相互之间没有影响。如果事件A 与B 相互独立，那么A 与B 、A 与B 、A 与B 也都是相互独立的。尤其在涉及“至多”或“至少”问题时，常先求此事件的对立事件的概率，再利用公式()1()P A P A =-求出所求事件的概率。这种解法，称为逆向思考方法。下面就相互独立事件概率问题举例分析如下。 一、 反面求解相互独立事件同时发生的概率 例1、加工某零件需3道工序，设第1、2、3道工序出现次品的概率分别为0.02，0.03，0.05，假设三道工序互不影响，求加工出来的零件是次品的概率。 解：由题中“三道工序互不影响”，可判定1、2、3道工序出现次品的事件是相互独立事件，可用相互独立事件的乘法公式。 设A=“加工出来的零件是次品”，i A =“第i 道工序出现次品”，则123A A A A =??， 由于三道工序互不影响，123()()()()P A p A P A P A ∴=??=（1-0.12）（1-0.03）（1-0.05）=0.90307。所以 ()1()10.903070.09693P A P A =-=-=。 点评：两个或多个相互独立事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率积，结合“对立事件的概率和为1”，先求其对立事件的概率，然后再求原事件概率，采用这种解法可使问题变得简易。 二、用排列组合思想理解相互独立事件的概率 例2、甲乙两人各投篮3次，每次投中得分概率为0.6，0.7，求甲乙两人得分相同的概率。 解： 甲乙两人得分相同可以有；甲乙都中0、1、2、3次共四种情况。设甲投中0、1、2、3次概率分别为0123A A A A 、、、，乙投中0、1、2、3次概率分别为 0123B 、B 、B 、B ， 则 0012233()()()()P P A B P A B P A B P A B =+++ 1 1 2 2 3 3 2 2 2 2 3 33 30.40.30.60.40.70.30.60.40.70.3C C C C =?+ ???+???3 30.60.70.321+?=。 点评：全面考虑各种可能性，然后利用公式()(1)k k n k n n P k p p C -=-。 三、通过分类或分步将复杂事件分解为简单事件

初三数学九上概率初步所有知识点总结和常考题型测验题

概率初步知识点 一、 概率的概念 某种事件在某一条件下可能发生， 也可能不发生， 但可以知道它发生的可能性的大小， 我们把刻划 （描述） 事件发生的可能性的大小的量叫做概率 . 2、事件类型： ①必然事件：有些事情我们事先肯定它一定发生，这些事情称为必然事件 . ②不可能事件： 有些事情我们事先肯定它一定不会发生，这些事情称为不可能事件 . ③不确定事件： 许多事情我们无法确定它会不会发生，这些事情称为不确定事件 . 3、概率的计算 一般地，如果在一次试验中，有 n 种可能的结果，并且它们发生的可能性都 相等，事件 A 包含其中的 m 中结果，那么事件 A 发生的概率为 （ 1） 列表法求概率 当一次试验要设计两个因素， 并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通 常采用列表法。 （ 2） 树状图法求概率 当一次试验要设计三个或更多的因素时，用列表法就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法求概率。 4、利用频率估计概率 ①利用频率估计概率 ：在同样条件下，做大量的重复试验，利用一个随机事件发生的频率逐渐稳定到某 个常数，可以估计这个事件发生的概率。 ②在统计学中，常用较为简单的试验方法代替实际操作中复杂的试验来完成概率估计，这样的试验称为模 拟实验。 ③随机数：在随机事件中，需要用大量重复试验产生一串随机的数据来开展统计工作。把这些随机产生的 数据称为随机数。 概率初步练习 一、选择题 1、下列成语所描述的事件是必然事件的是（ ） A ．瓮中捉鳖 B ．拔苗助长 C ．守株待兔 D ．水中捞月 2、在一个不透明的口袋中，装有 5 个红球 3 个白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，摸到 红球的概率为（ ） A ． 1 B ． 1 C ． 5 D ． 3 5 3 8 8 3、小伟掷一个质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面分别刻有 1 到 6 的点数。则向上的一面的点数大于 1 / 3

1.2.1条件概率与独立事件

条件概率 【问题导思】 一个家庭有两个孩子，假设男女出生率一样． (1)这个家庭一男一女的概率是多少？ (2)预先知道这个家庭中至少有一个女孩，这个家庭一男一女的概率是多少？【提示】 (1)12，(2)2 3 . (1)概念：已知事件B 发生的条件下，A 发生的概率称为B 发生时A 发生的条件概率，记为P (A |B )． (2)公式：当P (B )＞0时，P (A |B )＝ P AB P B .

独立事件 【问题导思】 在一次数学测试中，甲考满分，对乙考满分有影响吗？ 【提示】 没有影响． (1)定义：对两个事件A ，B ，如果P (AB )＝P (A )P (B )，则称A ，B 相互独立． (2)性质：如果A ，B 相互独立，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也相互独立． (3)如果A 1，A 2，…，A n 相互独立，则有P (A 1A 2…A n )＝P (A 1)P (A 2)…P (A n ). 应用 在100件产品中有95件合格品，5件不合格品，现从中不放回地 取两次，每次任取一件，试求： (1)第一次取到不合格品的概率； (2)在第一次取到不合格品后，第二次再次取到不合格品的概率． 【思路探究】 求解的关键是判断概率的类型．第一问是古典概型问题；第二问是条件概率问题． 【自主解答】 设“第一次取到不合格品”为事件A ，“第二次取到不合格品”为事件B . (1)P (A )＝5 100 ＝0.05. (2)法一 第一次取走1件不合格品后，还剩下99件产品，其中有4件不合格品．于是第二次再次取到不合格品的概率为 4 99 ，这是一个条件概率，表示为P (B |A )＝499 . 法二 根据条件概率的定义计算，需要先求出事件AB 的概率． P (AB )＝5100×499，∴有P (B |A )＝P AB P A ＝5100× 4995100 ＝499 . 1．注意抽取方式是“不放回”地抽取． 2．解答此类问题的关键是搞清在什么条件下，求什么事件发生的概率． 3．第二问的解法一是利用缩小样本空间的观点计算的，其公式为P (B |A )＝ n AB n A ，此法常应用于古典概型中的条件概率求法．

北师大数学选修课时分层作业2 条件概率与独立事件 含解析

课时分层作业(二) (建议用时：60分钟) [基础达标练] 一、选择题 1．两人打靶，甲击中的概率为0.8，乙击中的概率为0.7，若两人同时射击一目标，则它们都中靶的概率是() A．0.56B．0.48 C．0.75 D．0.6 A[设甲击中为事件A，乙击中为事件B. 因为A，B相互独立，则P(AB)＝P(A)·P(B)＝0.8×0.7＝0.56.] 2．某人忘记了一个电话号码的最后一个数字，只好任意去试拨，他第一次失败、第二次成功的概率是() A.1 10 B. 2 10 C.8 10 D. 9 10 A[某人第一次失败，第二次成功的概率为P＝9×1 10×9 ＝ 1 10，所以选A.] 3．一袋中装有5只白球和3只黄球，在有放回地摸球中，用A1表示第一次摸得白球，A2表示第二次摸得白球，则事件A1与A2是() A．相互独立事件B．不相互独立事件 C．互斥事件D．对立事件 A[由题意可得A2表示“第二次摸到的不是白球”，即A2表示“第二次摸到的是黄球”，由于采用有放回地摸球，故每次是否摸到黄球或白球互不影响，故事件A1与A2是相互独立事件．] 4．如图所示，A，B，C表示3种开关，若在某段时间内它们正常工作的概率分别为0.9,0.8,0.7，那么系统的可靠性是()

A ．0.504 B ．0.994 C ．0.496 D ．0.06 B [系统可靠即A ，B ， C 3种开关至少有一个能正常工作，则P ＝1－[1－P (A )][1－P (B )][1－P (C )] ＝1－(1－0.9)(1－0.8)(1－0.7) ＝1－0.1×0.2×0.3＝0.994.] 5．2018年国庆节放假，甲去北京旅游的概率为1 3，乙，丙去北京旅游的概率分别为14，1 5.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1个去北京旅游的概率为( ) A.5960 B.35 C.12 D.160 B [用A ，B ， C 分别表示甲，乙，丙三人去北京旅游这一事件，三人均不去的概率为P (A B C )＝P (A )·P (B )·P (C )＝23×34×45＝2 5，故至少有一人去北京旅游的概率为1－25＝35.] 二、填空题 6．将两枚均匀的骰子各掷一次，已知点数不同，则有一个是6点的概率为________． 1 3 [设掷两枚骰子点数不同记为事件A ，有一个是6点记为事件B .则P (B |A )＝2×530＝13.] 7．明天上午李明要参加奥运志愿者活动，为了准时起床，他用甲、乙两个闹钟叫醒自己，假设甲闹钟准时响的概率是0.80，乙闹钟准时响的概率是0.90，则两个闹钟至少有一个准时响的概率是________． 0．98 [设A ＝“两个闹钟至少有一个准时响”，

2019年七年级数学下册第六章概率初步知识点归纳(新版)北师大版

第六章概率初步 必然事件 事件不可能事件 不确定事件 概率等可能性游戏的公平性 概率的定义 概率几何概率 设计概率模型 一、事件 1、事件分为必然事件、不可能事件、不确定事件。 2、必然事件：事先就能肯定一定会发生的事件。也就是指该事件每次一定发生，不可能不发生，即发生的可能是100%（或1）。 3、不可能事件：事先就能肯定一定不会发生的事件。也就是指该事件每次都完全没有机会发生，即发生的可能性为零。 4、不确定事件：事先无法肯定会不会发生的事件，也就是说该事件可能发生，也可能不发生，即发生的可能性在0和1之间。 5、三种事件都是相对于事件发生的可能性来说的，若事件发生的可能性为100%，则为必然事件；若事件发生的可能性为0，则为不可能事件；若事件不一定发生，即发生的可能性在0∽1之间，则为不确定事件。 6、简单地说，必然事件是一定会发生的事件；不可能事件是绝对不可能发生的事件；不确定事件是指有可能发生，也有可能不发生的事件。 7、表示事件发生的可能性的方法通常有三种： （1）用语言叙述可能性的大小。 （2）用图例表示。 （3）用概率表示。 二、等可能性 1、等可能性：是指几种事件发生的可能性相等。 2、游戏规则的公平性：就是看游戏双方的结果是否具有等可能性。 （1）首先要看游戏所出现的结果的两种情况中有没有必然事件或不可能事件，若有一个必然事件或不可能事件，则游戏是不公平的； （2）其次如果两个事件都为不确定事件，则要看这两个事件发生的可能性是否相同；即看双方获胜的可能性是否相同，只有双方获胜的可能性相同，游戏才是公平的。 （3）游戏是否公平，并不一定是游戏结果的两种情况发生的可能性都是二分之一，只要对游戏双方获胜的事件发生的可能性一样即可。 三、概率 1、概率：是反映事件发生的可能性的大小的量，它是一个比例数，一般用P来表示，P（A）=事件A可能出现的结果数/所有可能出现的结果数。 2、必然事件发生的概率为1，记作P（必然事件）=1； 3、不可能事件发生的概率为0，记作P（不可能事件）=0； 4、不确定事件发生的概率在0∽1之间，记作0

概率初步知识点总结

概率初步知识点总结 一、可能性： 1. 必然事件：有些事情我们能确定他一定会发生，这些事情称为必然事件; 2.不可能事件：有些事情我们能肯定他一定不会发生，这些事情称为不可能事件; 3.确定事件：必然事件和不可能事件都是确定的; 4.不确定事件：有很多事情我们无法肯定他会不会发生，这些事情称为不确定事件。 5.一般来说，不确定事件发生的可能性是有大小的。. 二、概率： 1.概率的意义：表示一个事件发生的可能性大小的这个数叫做该事件的概率。 2.必然事件发生的概率为1，记作P(必然事件)=1;不可能事件发生的概率为0，记作P(不可能事件)=0;如果A为不确定事件，那么0 3.一步试验事件发生的概率的计算公式是P=k/n，n为该事件所有等可能出现的结果数，k为事件包含的结果数。两步试验事件发生的概率的发生的概率的计算方法有两种，一种是列表法，另一种是画树状图，利用这两种方法计算两步实验时，应用树状图或列表将简单的两步试验所有可能的情况表示出来，从而计算随机事件的概率。

初中数学知识点总结：平面直角坐标系 下面是对平面直角坐标系的内容学习，希望同学们很好的掌握下面的内容。 平面直角坐标系 平面直角坐标系：在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。 水平的数轴称为x轴或横轴，竖直的数轴称为y轴或纵轴，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。 平面直角坐标系的要素：①在同一平面②两条数轴③互相垂直④原点重合 三个规定： ①正方向的规定横轴取向右为正方向，纵轴取向上为正方向 ②单位长度的规定；一般情况，横轴、纵轴单位长度相同；实际有时也可不同，但同一数轴上必须相同。 ③象限的规定：右上为第一象限、左上为第二象限、左下为第三象限、右下为第四象限。 相信上面对平面直角坐标系知识的讲解学习，同学们已经能很好的掌握了吧，希望同学们都能考试成功。 初中数学知识点：平面直角坐标系的构成 对于平面直角坐标系的构成内容，下面我们一起来学习哦。平面直角坐标系的构成 在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平

概率 2 条件概率与相互独立事件

概率 2 条件概率与相互独立事件 基础梳理 1．条件概率及其性质 (1)对于任何两个事件A 和B ，在已知事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率叫做条件概率，用符号P (B |A )来表示，其公式为P (B |A )＝ P (AB ) P (A ) . 在古典概型中，若用n (A )表示事件A 中基本事件的个数，则P (B |A )＝n (AB ) n (A ) . (2)条件概率具有的性质： ①0≤P (B |A )≤1； ② 如果B 和C 是两互斥事件，则P (B ∪C |A )＝P (B |A )＋P (C |A )． 2．相互独立事件 (1)对于事件A 、B ，若A 的发生与B 的发生互不影响，则称A 、B 是相互独立事件． (2)若A 与B 相互独立，则P (B |A )＝P (B )， P (AB )＝P (B |A )·P (A )＝P (A )·P (B )． (3)若A 与B 相互独立，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也都相互独立． (4)若P (AB )＝P (A )P (B )，则A 与B 相互独立． 基础训练 1.甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军．若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为( )． A.34 B.23 C.35 D.12 2.如图，用K 、A 1、A 2三类不同的元件连接成一个系统，当K 正常工作且A 1、A 2至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K 、A 1、A 2正常工作的概率依次为0.9,0.8,0.8，则系统正常工作的概率为( )． A ．0.960 B ．0.864 C ．0.720 D ．0.576

初三数学 概率初步知识点归纳

概率初步知识点归纳 1、事件类型： ○1必然事件：有些事情我们事先肯定它一定发生，这些事情称为必然事件. ○2不可能事件： 有些事情我们事先肯定它一定不会发生，这些事情称为不可能事件. ○3不确定事件： 许多事情我们无法确定它会不会发生，称为不确定事件（又叫随机事件）. 说明：（1）必然事件、不可能事件都称为确定性事件. （2）事件分为确定事件和不确定事件，确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中， ① 必然事件发生的概率为1，即P(必然事件)=1； ② 不可能事件发生的概率为0,即P （不可能事件）=0； ③ 如果A 为不确定事件，那么0

相互独立事件同时发生的概率典型例题

典型例题 例1 掷三颗骰子，试求： （1）没有一颗骰子出现1点或6点的概率； （2）恰好有一颗骰子出现1点或6点的概率． 分析：我们把三颗骰子出现1点或6点分别记为事件，由已知，是相互独立事件．问题（1）没有1颗骰子出现1点或6点相当于，问题（2）恰有一颗骰子出现1点或6点可分为三类：，三个事件为互斥事件．问题（1）可以用相互独立事件的概率公式求解，问题（2）可以用互斥事件的概率公式求解． 解：记“第1颗骰子出现1点或6点”为事件，由已知是相互独立事件，且． （1）没有1颗骰子出现1点或6点，也就是事件全不发生，即事件，所以所求概率为： ． （2）恰好有1颗骰子出现1点或6点，即发生不发生不发生或 不发生发生不发生或不发生不发生发生，用符号表示为事件 ，所求概率为：

说明：再加上问题：至少有1颗骰子出现1点或6点的概率是多少我们逆向思考，其对立事件为“没有一颗骰子出现1点或6点，即问题（1）中的事件， 所求概率为，在日常生活中，经常遇到几个独立事件，要求出至少有一个发生的概率，比如例1中的至少有1个人译出密码的概率，再比如：有两门高射炮，每一门炮击中飞机的概率都是，求同时发射一发炮弹，击中飞机的概率是多少把两门炮弹击中飞机分别记为事件A与B，击中飞机即 A与B至少有1个发生，所求概率为 ． 例2 某工厂的产品要同时经过两名检验员检验合格方能出厂，但在检验时也可能出现差错，将合格产品不能通过检验或将不合格产品通过检验，对于两名检验员，合格品不能通过检验的概率分别为，不合格产品通过检验的概率分别为，两名检验员的工作独立．求：（1）一件合格品不能出厂的概率，（2）一件不合格产品能出厂的概率． 分析：记“一件合格品通过两名检验员检验”分别记为事件和事件，问题（1）一件合格品不能出厂相当于一件合格品至少不能通过一个检验员检验，逆向考虑，其对立事件为合格品通过两名检验，即发生，而的概率可以用相互独立事件的概率公式求解．我们把“一件不合格品通过两名检验员检验”分别记为事件和事件，则问题（2）一件不合格品能出厂相当于一件不合格品同时通过两名检验员检验，即事件发生，其概率可用相互独立事件概率公式求解． 解：（1）记“一件合格品通过第i名检验员检验”为事件，“一件合格品不能通过检验出厂”的对立事件为“一件合格品同时通过两名检验员检验”，即事件发生．

初中数学概率初步知识点

概率初步知识点 1、事件类型 （1）确定事件 （a）必然事件：在一定的条件下重复进行试验时，在每次试验中必然发生的事件。如：太阳从东方升起；若a、b、c均为实数，则a(bc) = (ab)c。 （b）不可能事件：有的事件在每次试验中都不会发生，这样的事件叫做不可能事件。如：没有水分种子也能发芽。 （2）随机事件：在一定的条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件。如：掷一次硬币正面朝上。 注意： （a）事件分为确定事件与不确定事件（随机事件）。确定事件又分为必然事件与不可能事件。 （b）事件一般用英文大写字母A、B、C、…表示。 2、事件的概率（probability） （1）事件的概率：对于一个，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A发生的概率，记为P(A)。 （2）必然事件发生的概率为1，即P(必然事件) = 1。 （3）不可能事件发生的概率为0，即P(不可能事件) = 0。 （4）如果A为随机事件，那么0 < P(A) < 1。当事件发生的可能性越来越小时，P(A)接近0；当事件发生的可能性越来越大时，P(A)接近1。 （5）对于任意事件A，有0()1 P A ≤≤。 3、频率（frequency）：事件实际发生次数与可能发生次数的比率。设在相同条 件下，独立重复进行n次试验，事件A出现f 次，则事件A出现的频率为f n 。 如：掷均匀硬币的试验。 注意：前提是在一定的条件下重复进行试验。 注意：频率与概率的关系 （1）频率总是围绕概率上下波动；

（2）样本量n越大，波动幅度越小，频率越接近概率； （3）随着实验次数增至足够大，频率逐渐稳定于某一常数附近，则该常数为概率。 4、古典概型： 一种概率模型。如果一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都 相等，事件A中包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为()m P A n 。如：掷一枚均匀的硬币，出现正面的概率。 注意：古典概型与频率的区别。 5、几何概型： 一种概率模型。如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积或度数）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型。 古典概型与几何概型的主要区别：试验的结果是无限个。 如：往下图中抛点，该点刚好落入四分之一圆内的概率。 6、用列举法求事件发生概率的常用方法 （1）穷举法：如果试验的结果较少，我们可以采用简单列举的方法，把所有的结果直接排列出来。 （2）列表法：当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法。 （3）树状图法：当一次试验要涉及三个或更多的因素时，用列表法就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法。 掷骰[读tóu]子试验

人教版九年级第二十五章概率初步知识点

第二十五章概率初步知识点总结 25.1 概率 1.随机事件 （1）确定事件 事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的． （2）随机事件 在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件． （3）事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中， ①必然事件发生的概率为1，即P（必然事件）=1； ②不可能事件发生的概率为0，即P（不可能事件）=0； ③如果A为不确定事件（随机事件），那么0＜P（A）＜1． 随机事件发生的可能性（概率）的计算方法： 2.可能性大小

（1）理论计算又分为如下两种情况： 第一种：只涉及一步实验的随机事件发生的概率，如：根据概率的大小与面积的关系，对一类概率模型进行的计算；第二种：通过列表法、列举法、树状图来计算涉及两步或两步以上实验的随机事件发生的概率，如：配紫色，对游戏是否公平的计算． （2）实验估算又分为如下两种情况： 第一种：利用实验的方法进行概率估算．要知道当实验次数非常大时，实验频率可作为事件发生的概率的估计值，即大量实验频率稳定于理论概率． 第二种：利用模拟实验的方法进行概率估算．如，利用计算器产生随机数来模拟实验． 3.概率的意义 （1）一般地，在大量重复实验中，如果事件A发生的频率mn会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率，记为P（A）=p． （2）概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现． （3）概率取值范围：0≤p≤1． （4）必然发生的事件的概率P（A）=1；不可能发生事件的概率P（A）=0． （4）事件发生的可能性越大，概率越接近与1，事件发生的可能性越小，概率越接近于0．（5）通过设计简单的概率模型，在不确定的情境中做出合理的决策；概率与实际生活联系密切，通过理解什么是游戏对双方公平，用概率的语言说明游戏的公平性，并能按要求设计游戏的概率模型，以及结合具体实际问题，体会概率与统计之间的关系，可以解决一些实际问题． 25.2 用列举法求概率 1.概率的公式 （1）随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数所有可能出现的结果数． （2）P（必然事件）=1． （3）P（不可能事件）=0． 2. 几何概型的概率问题 是指具有下列特征的一些随机现象的概率问题：设在空间上有一区域G，又区域g包含在区域G内（如图），而区域G与g都是可以度量的（可求面积），现随机地向G内投掷一点M，假设点M必落在G中，且点M落在区域G的任何部分区域g内的概率只与g的度量（长度、面积、体积等）成正比，而与g的位置和形状无关．具有这种性质的随机试验（掷点），称为几何概型．关于几何概型的随机事件“向区域G中任意投掷一个点M，点

条件概率与独立事件、二项分布练习题及答案

条件概率与独立事件、二项分布 1．(2012·广东汕头模拟)已知某射击运动员，每次击中目标的概率都是0.8，则该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为( ) A ．0.85 B ．0.819 2 C ．0.8 D ．0.75 2．(2011·广东高考)甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军．若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为( ) A.34 B.23 C.35 D.12 3．(2011·湖北高考)如图，用K 、A 1、A 2三类不同的元件连接成一个系统．当K 正常工作且A 1、A 2至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知K 、A 1、A 2正常工作的概率依次为0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为( ) A ．0.960 B ．0.864 C ．0.720 D ．0.576 4．(2011·辽宁高考)从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A ＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B ＝“取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )＝( ) A.18 B.14 C.25 D.1 2 5．(2012·山西模拟)抛掷一枚硬币，出现正反的概率都是1 2 ，构造数列{a n }，使得a n ＝ ????? 1 (第n 次抛掷时出现正面)，－1 (第n 次抛掷时出现反面)， 记S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n (n ∈N *)，则S 4＝2的概率为( ) A.116 B.18 C.1 4 D.1 2 6．高三毕业时，甲、乙、丙等五位同学站成一排合影留念，已知甲、乙二人相邻，则甲、丙相邻的概率是( ) A.12 B.13 C.14 D.25 7．某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为16 25 ，则该队员每次罚球的命中率为________． 8．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于

概率初步知识点总结

概率初步知识点总结 41件竝的几|曾1世J它的槪唱鵡搖城节；事悴童生的可■忡Jt小?悄它 的 專可険曙苗的詆準处盍 1. 随机事件 （ 1 ）确定事件事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的. （ 2 ）随机事件在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件. （3）事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事 件 ? 苴 丿 中 ? ①必然事件发生的概率为1, 即P必然事件）=1 ; ②不可能事件发生的概率为0,即P（不可能事件）=0 ；③ 如 卩 果 A为不确定事件（随机事 件） ，5么0 v P(A)v1. 随机事件发生的可能性( 概率）的计算方法：2.可能性大小 概率初步 撫率的走义及计算方法 事件的相关槪念 应识别 利 用 频 辜 佶 计 槪 率 用 列 表 洱 画 材 状 图 法 进 行 列 举 : … ____ _ ____________________ A 用 列 举 法 求 规 率 用 期 率 公 式 求 概 率 古 典 拯 型 试 噓 紙 率 的 定 义 I s 件 的 橱 念 及 识 别 不 可 能 事 件 的 规 念 泾 识 别 龍 机 事 件 的 般 念 艮 识 别 概率 <<=1 ? ￡熔事件 PtJ} = 可孤炸女:啲就 （1 <1

(1 ) 理论计算又分为如下两种情况： 第一种：只涉及一步实验的随机事件发生的概率，如：根据概率的大小与面积的关系，对一类概率模型进行的计算；第二种：通过列表法、列举法、树状图来计算涉及两步或两步以上实验的随机事件发生的概率，如：配紫色，对游戏是否公平的计算. (2 ) 实验估算又分为如下两种情况： 第一种：利用实验的方法进行概率估算?要知道当实验次数非常大时，实验频率可作为事件发生的概率的估计值，即大量实验频率稳定于理论概率. 第二种：利用模拟实验的方法进行概率估算?如，利用计算器产生随机数来模拟实验. 3.概率的意义 (1)一般地，在大量重复实验中，如果事件A发生的频率mn会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p 就叫做事件A 的概率，记为P ( A ) =p ? (2)概率是频率(多个)的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现. 3 ) 概率取值范围：O W p wi ? 4 )必然发生的事件的概率P ( A) =1 ;不可能发生事件的概率P ( A) =0 ? (4)事件发生的可能性越大，概率越接近与1,事件发生的可能性越小，概率越接近于0. (5)通过设计简单的概率模型，在不确定的情境中做出合理的决策；概率与实际生活联系密切，通过理解什么是游戏对双方公平，用概率的语言说明游戏的公平性，并能按要求设计游戏的概率模型，以及结合具体实际问题，体会概率与统计之间的关系，可以解决一些实际问题. 用列举法求概率 壊其慨星，上灵H莘出所有可能性相爭的牺呆祁 .中的IE生-V型可.也壮越刊举決卓慨車* "灶秦弐"—I ￡古4WS4K率* 当窪蔓对事件中咁规葩歎宇cg＞进打览鼻討?? 常用片贏的方崔来列華航K址能桂罪等的站杲 不重夏彳：?舄时列*出T刃 -讪湫? 事韩的发生111■ J＞通常曲蚪融圈 1. 概率的公式 1 )随机事件A的概率P ( A)=事件A可能出现的结果数所有可能出现的结果数. 2 ) P (必然事件) =1 ? (3)P (不可能事件)=0. 2. 几何概型的概率问题 是指具有下列特征的一些随机现象的概率问题：设在空间上有一区域G,又区域g包含在 区域G内(如图)，而区域G与g都是可以度量的(可求面积)，现随机地向G内投掷一点M假设点M必落在G中，且点M落在区域G的任何部分区域g内的概率只与g的度量(长度、面积、体积等)成正比，而与g的位置和形状无关?具有这种性质的随机试验(掷点)， 称为几何概型?关于几何概型的随机事件“向区域G中任意投掷一个点M,点M落在G内的部 分区域g”的概率P定义为：g的度量与G的度量之比，即P=g的测度G的测度简单来说：求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率?计算方法是长度比，面积比，体积比等.

2019年北师大版数学选修1-2练习(第1章)条件概率与独立事件(含答案)

2019年北师大版精品数学资料 条件概率与独立事件 同步练习 【选择题】 1、一个盒子中有6只好晶体管，4只坏晶体管，任取两次，每次取一只，第一次 取后不放回.则若已知第一只是好的，第二只也是好的概率为（ ） A ．53 B ．52 C ．95 D ．3 1 2、袋中有2个白球，3个黑球，从中依次取出2个，则取出两个都是白球的概率 （ ） A ．53 B ．101 C ．31 D ．5 2 3、某射手命中目标的概率为P ，则在三次射击中至少有1次未命中目标的概率为 （ ） A ．P 3 B ．(1-P)3 C ．1-P 3 D ．1-(1-P)3 4、设某种产品分两道独立工序生产，第一道工序的次品率为10%，第二道工序的 次品率为3%，生产这种产品只要有一道工序出次品就将生产次品，则该产品的次品率是（ ）． A ．0.873 B ．0.13 C ．0.127 D ．0.03 5、甲、乙、丙三人独立地去译一个密码，分别译出的概率为51，31，4 1，则此密码能译出的概率是 （ ） A ． 60 1 B ．5 2 C ．5 3 D ． 60 59 6、一射手对同一目标独立地进行四次射击，已知至少命中一次的概率为 81 80 ，则此射手的命中率为 （ ） A ．3 1 B ．4 1 C ．3 2 D ．5 2 7、n 件产品中含有m 件次品，现逐个进行检查，直至次品全部被查出为止．若第 n-1次查出m-1件次品的概率为r ，则第n 次查出最后一件次品的概率为（ ） A ．1 B ．r-1 C ．r D ．r +1 8、对同一目标进行三次射击，第一、二、三次射击命中目标的概率分别为0.4， 0.5和0.7，则三次射击中恰有一次命中目标的概率是 （ ） A ．0.36 B ．0.64 C ．0.74 D ．0.63 【填空题】 9、某人把6把钥匙，其中仅有一把钥匙可以打开房门，则前3次试插成功的概率 为 __. 10、甲乙两地都位于长江下游，根据一百多年的气象记录，知道甲乙两地一年中雨天占的比例分别为20%和18%，两地同时下雨的比例为12%，问：

概率初步知识点总结和题型

概率初步知识点和题型 【知识梳理】 1. 生活中的随机事件分为确定事件和不确定事件，确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中, ①必然事件发生的概率为1,即P（必然事件）=1 ； ②不可能事件发生的概率为0,即P （不可能事件）=0； ③如果A为不确定事件，那么0

只是强化练习套用公式进行计算。 3. 概率应用: 通过设计简单的概率模型，在不确定的情境中做出合理的决策；概率与实际生活联系密切，通过理解什么是游戏对双方公平，用概率的语言说明游戏的公平性，并能按要求设计游戏的概率模型，以及结合具体实际问题，体会概率与统计之间的关系，可以解决一些实际问题。 【练习】 随机事件与概率： .选择题 1. 下列事件必然发生的是（） A. 一个普通正方体骰子掷三次和为19 B. 一副洗好的扑克牌任抽一张为奇数。 C. 今天下雨。 D. 一个不透明的袋子里装有4个红球，2个白球，从中任取3个球，其中至少有2球同色。 2. 甲袋中装着1个红球9个白球，乙袋中装着9个红球1个白球，两个口袋中的球都已搅匀。想从两个口袋中摸出一个红球，那么选哪一个口袋成功的机会较大？（ A. 甲袋 B.乙袋 C.两个都一样 D.两个都不行 3. 下列事件中，属于确定事件的是（） A. 发射运载火箭成功 B. 2008年，中国女足取得冠军 C?闪电、雷声出现时，先看到闪电，后听到雷声 D.掷骰子时，点数“ 6”朝上 4. 下列事件中，属于不确定的事件的是（） A. 英文字母共28个 B. 某人连续两次购买两张彩票，均中头奖 C. 掷两个正四面体骰子（每面分别标有数字1，2，3，4）接触地面的数字和为9 D. 哈尔滨的冬天会下雪 5. 下列事件中属于不可能的事件是（） A.军训时某同学打靶击中靶心 B.对于有理数x,l x IW 0 C. 一年中有365天 D.你将来长到4米高 6. 一个袋子中放有红球、绿球若干个，黄球5个，如果袋子中任意摸出黄球的概率为， 那么袋子中共有球的个数为（） A. 15 B. 18 C. 20 D. 25

2.2.1条件概率与事件的相互独立性

2． 2．1条件概率与事件的相互独立性 教学目标：1、通过对具体情景的分析，了解条件概率的定义。理解两个事件相互独立的概念。 2，掌握一些简单的条件概率的计算。能进行一些与事件独立有关的概率的计算。 3，通过对实例的分析，会进行简单的应用 教学重点：条件概率定义的理解 教学难点：概率计算公式的应用 教学设想：引导学生形成 “自主学习”与“合作学习”等良好的学习方式 教学过程：概念：1，对于两个事件A 与B ，如果P(A)>0,称P(B ︱A)=P(AB)/P(A),为在事件A 发生的条件下,事件B 发生的条件概率. 2，如果两个事件A 与B 满足等式 P(AB)=P(A)P(B),称事件A 与B 是相互独立的，简称A 与B 独立。 例1．一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可从9~0中任选一个，某人在银行自 动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字.求 （1） 任意按最后一位数字，不超过2次就对的概率； （2） 如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次就按对的概率. 解：设第i 次按对密码为事件i A (i=1,2) ，则1 12()A A A A =表示不超过2次就按对 密码． (1）因为事件1A 与事件12A A 互斥，由概率的加法公式得 1121911()()()101095 P A P A P A A ?=+=+=?. (2）用B 表示最后一位按偶数的事件，则 112(|)(|)(|)P A B P A B P A A B =+ 14125545 ?=+=?. 例2．一个家庭中有两个小孩，假定生男、生女是等可能的，已知这个家庭有一个是女孩， 问这时另一个小孩是男孩的概率是多少？ 解：一个家庭的两个孩子有四种可能：{（男，男）}，{（男，女）}，{（女，男）}，{（女，女）}。 这个家庭中有一个女孩的情况有三种：{（男，女）}，{（女，男）}，{（女，女）}。在这种情况下“其中一个小孩是男孩”占两种情况，因此所求概率为2／3. 例3．甲、乙两名篮球运动员分别进行一次投篮，如果两人投中的概率都是6.0，计算： (1)两人都投中的概率；(2)其中恰有一人投中的概率；(3)至少有一人投中的概率. 解：（1）“两人各投一次，都投中”就是事件AB 发生，因此所求概率为 P （ AB ）=P （A ）P （B ）=0.6×0.6=0.36 （2）分析：“两人各投一次，恰有一人投中”包括两种情况：甲投中，乙未投中；甲未击中，乙击中。 因此所求概率为 48.06.0)6.01()6.01(6.0)()()()()()(=?-+-?=+=+B P A P B P A P B A P B A P 。

初中概率初步知识点归纳

第九章概率初步知识点归纳 【知识梳理】 济宁附中李涛 1、事件类型： ○1必然事件：有些事情我们事先肯定它一定发生，这些事情称为必然事件. ○2不可能事件： 有些事情我们事先肯定它一定不会发生，这些事情称为不可能事件. ○3不确定事件： 许多事情我们无法确定它会不会发生，称为不确定事件（又叫随机事件）. 说明：（1）必然事件、不可能事件都称为确定性事件. （2）事件分为确定事件和不确定事件，确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中， ① 必然事件发生的概率为1，即P(必然事件)=1； ② 不可能事件发生的概率为0,即P （不可能事件）=0； ③ 如果A 为不确定事件，那么0

以下补充是初三学习内容: （2）列表法（适应两个过程）：当一次试验要设计两个因素，可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法．其中一个因素作为行标，另一个因素作为列标． 特别注意放回去与不放回去的列表法的不同． 如：一只箱子中有三张卡片，上面分别是数字１、２、３，第一抽出一张后再放回去再抽第二次，两次抽到数字为数字１和２或者２和１的概率是多少？若不放回去，两次抽到数字为数字１和２或者２和１的概率是多少？ 放回去P（１和２）=2 不放回去P（１和２）= 2 （3）树状图法（适应一个两个或多个过程）：当一次试验要设计三个或更多的因素时，用列表法就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法求概率． 还是以上例题：(1)放回去,树状图如下: 由树状图可知,总共有9种等可能结果，而两次抽到数字为数字１和２或者２和１的结果有两种。∴P（１和２）= 9 2 不放回去, 树状图如下: ∴P（１和２）= 6 2

九年级数学： 第二十五章_概率初步_复习课_教案

第二十五章概率初步复习课教学设计 一、教学目标： 1、知识技能目标 了解必然发生的事件、不可能发生的事件、随机事件的特点. 2、数学思考目标 学生经历体验、操作、观察、归纳、总结的过程,发展学生从纷繁复杂的表象中，提炼出本质特征并加以抽象概括的能力. 3、解决问题目标 能根据随机事件的特点,辨别哪些事件是随机事件. 4、情感态度目标 引领学生感受随机事件就在身边,增强学生珍惜机会，把握机会的意识.二、重点难点： 重点：随机事件的特点. 难点：判断现实生活中哪些事件是随机事件. 三、教学过程： (一).知识网络 自我梳理本章知识网络： 设计意图：使学生进一步对概率 初步中涉及的各个知识点有了较 为系统的认识，正确理解频率与 概率的关系，进而认识数学是与 实际问题密不可分，人们的需要 产生数学。 （二）.考点分类解析过程： 考点一：事件分类 1. 下列事件中，必然事件是（） A. 掷一枚硬币，正面朝上 B. a 是实数，|a|≥0 C. 某运动员跳高的最好成绩是 20.1 米 D. 从车间刚生产的产品中任意抽取一个，是次品 2. 有 4个红球、3个白球、2个黑球，放入一个不透明的袋子里，从中摸出8个球，恰好红球、白球、黑球都摸到，这件事情是（） A．随机事件 B．不可能事件

C．很可能事件 D．必然事件 考点二：对概率意义的理解 例1 在一场足球比赛前，甲教练预言说：“根据我掌握的情况，这场比赛我们队有 60％的机会获胜”意思最接近的是（） A. 这场比赛他这个队应该会赢 B. 若两个队打100场比赛，他这个队会赢60场 C. 若这两个队打10场比赛，这个队一定会赢6场比赛. D. 若这两个队打100场比赛，他这个队可能会赢60场左右. 考点三：直接列举求简单事件的概率 例2 甲、乙、丙、丁四位同学进行一次乒乓球单打比赛，要从中选出两位同学打第一场比赛. (1) 请用树状图法或列表法，求恰好选中甲、乙两位同学的概率； (2) 若已确定甲打第一场，再从其余三位同学中随机选取一位，求恰好选中乙同学的概率． 小结与反思：通过列表或画树状图可以不遗漏情况总量和成功事件数. 考点四：有无放回的概率（易错） 例3 （1）口袋里有4张卡片，上面分别写了数字1、 2、3、4、先抽一张，不放回，再抽一张，“两张卡片上的数字一奇一偶”的概率是多少？ （2）把一枚正方体骰子连掷两次，“朝上的数字一奇一偶”的概率是多少？ 注意：在解答此类问题中，一定要分清实验是“有放回”还是“无放回”. 考点五：判断游戏是否公平（提高） 例4 在一个不透明的口袋中装有 4 张相同的纸牌，它们分别标有数字 1、2、3、4. 随机地摸取出一张纸牌然后放回，再随机摸取出一张纸牌． (1) 计算两次摸取纸牌上数字之和为 5 的概率； (2) 甲、乙两个人进行游戏，如果两次摸出纸牌上数字之和为奇数，则甲胜；如果两次摸出纸牌上数字之和为偶数，则乙胜．这是个公平的游戏吗？请说明理由．小结与反思：游戏公平问题实际是概率相等问题. 考点六：用频率估计概率 例5 在一个暗箱里放有 a 个除颜色外其它完全相同的球，这 a 个球中红球只有 3 个，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回暗箱. 通过大量反复试验后发现，摸到红球的频率稳定在25%，那么可以推算出 a 大约是（） 拓展应用 2. 如图，长方形内有一不规则区域，现在玩投掷游戏，如果随机掷中长方形的300 次中，有100次是落在不规则图形内. (1)你能估计出掷中不规则图形的概率吗？ (2)若该长方形的面积为150，试估计不规则图形的面积. 拓展小结：可以利用频率估计概率的实验方法估算不规则图形的面积 设计意图：把概率初步知识细分为六个考点，让学生通过猜想试验、分析讨论、合作探究的学习方式十分有益于加深学生对概率意义的理解，使之明确频率与概率的联系，经历实验、列表、统计、运算、设计等活动，学生在具体情境中分析事件，计算其发生的概率。渗透数形结合，分类讨论，由特殊到一般的思想，提