条件概率与独立事件

条件概率与独立事件

【要点梳理】 要点一：条件概率 1.概念

设A 、B 为两个事件，求已知B 发生的条件下，A 发生的概率，称为B 发生时A 发生的条件概率，记为()|P A B ，读作：事件B 发生的条件下A 发生的概率。 要点诠释：

我们用韦恩图能更好的理解条件概率，如图，我们将封闭图形的面积理解为相应事件的概率，那么由条件概率的概率，我们仅局限于B 事件这个范围来考察A 事件发生的概率，几何直观上，()|P A B 相当于B 在A 内的那部分（即事件AB ）在A 中所占的比例。 2.公式 .

要点诠释：

（1）对于古典（几何）概型的题目，可采用缩减样本空间的办法计算条件概率：

古典概型：(|)AB P A B B =

包含的基本事件数

包含的基本事件数，即()()

card (|)card AB P AB B =；

几何概型：(|)AB P A B B =

的测度

的测度

.

（2）公式()

(|)()

P AB P A B P B =

揭示了()P B 、()|P AB

、()P AB 的关系，常常用于知二求一，即要熟练应用它的变形公式如，若()P B ＞0，则()()()=|P AB P A P B A ，该式称为概率的乘法公式． （3）类似地，当()0P A >时，A 发生时B 发生的条件概率为：()()()

|=P AB P B A P A .

3. 性质

（1）非负性：()|0P A B ≥；

（2）规范性：()|=1P B Ω（其中Ω为样本空间）；

（3）可列可加性：若两个事件A 、B 互斥，则()()()+||+|P A B C P A C P B C =. 4.概率()P A |B 与()P AB 的联系与区别：

当()0P B >时，()()()

|=

P A B P A B P B I .

联系：事件A ，B 都发生了。 区别：

①在()|P A B 中，事件A ，B 发生有时间上的差异，事件B 先发生，事件A 后发生；在()P AB 中，事件A ，B 同时发生；

②基本事件空间不同在()|P A B 中，事件B 成为基本事件空间，即()

()

card (|)card AB P AB

B =；在()P AB 中，

基本事件空间保持不变，仍为原基本事件空间，即()()

card ()card AB P AB =Ω。

要点二：独立事件 1.定义：

事件A （或B ）是否发生对事件B （或A ）发生的概率没有影响，即(|)()P B A P B =，这样的两个事件叫做相互独立事件。

若A 与B 是相互独立事件，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也相互独立。 2．相互独立事件同时发生的概率公式：

对于事件A 和事件B ，用A B ?表示事件A 、B 同时发生。 （1）若A 与B 是相互独立事件，则()()()P A B P A P B ?=?；

（2）若事件12,,,n A A A L 相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积， 即：1212()()()()n n P A A A P A P A P A ???=???L L 。 要点诠释

（1）P （A B ）=P （A ）P （B ）使用的前提是A 、B 为相互独立事件，也就是说，只有相互独立的两个事件同时发生的概率，才等于每个事件发生的概率的积．

（2）两个事件A 、B 相互独立事件的充要条件是()()()P A B P A P B ?=?。 3．相互独立事件与互斥事件的比较

互斥事件与相互独立事件是两个不同的概念，它们之间没有直接关系。

互斥事件是指两个事件不可能同时发生，而相互独立事件是指一个事件是否发生对另一个事件发生的概率没有影响。

一般地，两个事件不可能既互斥又相互独立，因为互斥事件是不可能同时发生的，而相互独立事件是以它们能够同时发生为前提的。相互独立事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积,这一点与互斥事件的概率和也是不同的。 4. 几种事件的概率公式的比较

已知两个事件A ，B ，它们发生的概率为P （A ），P （B ），则： A ，B 中至少有一个发生记为事件A +B （或A B U ）； A ，B 都发生记为事件AB （或A B I ）

；

都不发生记为事件AB （或A B I ）； 恰有一个发生记为事件+AB AB ；

至多有一个发生记为事件A B A B A B ?+?+?. 则它们的概率间的关系如下表所示：

典型例题】 类型一：条件概率

例1． 一种耐高温材料，能承受200℃高温不熔化的概率为0.9，能承受300℃高温不熔化的概率为0.5，现有一种这样的材料，在能承受200℃高温不熔化的情况下，还能承受300℃高温不熔化的概率是多少？ 【思路点拨】用集合来表示事件，将所求事件的概率表示成条件概率的形式，根据定义计算．

【解析】 用A 表示事件“该材料承受200℃高温不熔化”，用B 表示事件“该材料承受300℃高温不熔化”，则“能承受200℃高温不熔化的情况下，还能承受300℃高温不熔化的概率”可表示为()|P B A .

依题意得，()()0.90.5，P A P B ==.

因为B ?A ，所以A ∩B=B ，故有()()==0.5P AB P B ， 由条件概率的定义可得 ()0.55

(|)()0.99

P B P B A P A =

==． 所以，在能承受200℃高温不熔化的情况下，还能承受300℃高温不熔化的概率是59

. 【总结升华】计算条件概率最常用的方法是定义法，其具体步骤如下：

（1）将文字语言翻译成集合语言：设出事件A ，B ，将所求概率表示成()|P A B 的形式； （2）计算概率()P A 和()P AB ，特别是； （3）根据条件概率公式()()()

|=

P A B P A B P B I 计算结果；

举一反三：

【变式1】一个盒子中装有6只好晶体管和4只坏晶体管，任取两次，每次取1只，第一次取后不放回，若第一次取到的是好的，则第二次也取到好的概率为（）

A．3

5

B．

1

3

C．

5

9

D．

4

9

【答案】C

设

i

A=“第i次取到好的晶体管”（i=1，2）。

因为

1

63

()

105

P A==，

12

651

()

1093

P A A

?

==

?

，

所以12

21

1

()5

(|)

()9

P A A

P A A

P A

==。

【变式2】在10000张有奖储蓄的奖券中，设有1个一等奖，5个二等奖，10个三等奖，从中依次买两张，求在第一张中一等奖的条件下，第二张中二等奖或三等奖的概率．

【答案】设“第一张中一等奖”为事件A，“第二张中二等奖”为事件B，“第二张中三等奖”为事件C，则

1

()

10000

P A=，

155

()

10000999999990000

P AB

?

==

?

，

11010

()

10000999999990000

P AC

?

==

?

，

∴

()5

(|)

()9999

P AB

P B A

P A

==，

()10

(|)

()9999

P AC

P C A

P A

==．

∴

5105

(|)(|)(|)

999999993333

P B C A P B A P C A

=+=+=

U．

即在第一张中一等奖的条件下，第二张中二等奖或三等奖的概率为

5

3333

．

例2. 假定生男孩或女孩是等可能的，在一个有3个孩子的家庭中，已知有一个女孩，求至少有一个男孩的概率．

【思路点拨】这个古典概型，利用缩减样本空间的方法计算条件概率较简便。

【解析】用A表示为“至少有一个男孩”，用B表示事件“至少有一个是女孩”，则“有一个女孩，至少有一个男孩的概率”可用表示.()

|

P A B.

将B作为样本空间，它可用树形图可以直观的表示出来，如下：

所以()

card=7

B，()

card=6

AB，

所以()()card 6(|)=card 7

AB P AB

B =. 所以在有一个女孩的情况下，至少有一个男孩的概率为

6

7

． 【总结升华】对于古典概率求条件概率型题目，可采用缩减基本事件总数的方法，具体方法如下： （1）将文字语言翻译成集合语言：设出事件A ，B ，将所求概率表示成()|P A B 的形式； （2）写出样本空间B ，并找出B 中A 发生（即事件AB ）的基本事件数； （3）计算()()card card B AB ，；

（4）根据条件概率公式()()card 6(|)=card 7

AB P AB

B =计算结果. 举一反三：

【变式1】在100件产品中有95件合格品，5件不合格品.现在从中不放回的取两次，每次任取一件，试求：在第一次取到不合格品后，第二次再次取到不合格品的概率.

【答案】在第一次取到不合格品后，产品总数为99件，其中：合格品：95件，不合格品：4件。 由条件概率的概率可知，所求条件概率为在第一次取到不合格品后，不合格品占产品总数的比例，即

设事件“第二次取到不合格品”为A ，事件“第一次取到不合格品”为B ，则

4

99

. 【变式2】从一副不含大小王的扑克牌（共52张）中不放回地抽取2次，每次抽1张，若第一次抽到J ，则第二次也抽到J 的概率为________。

【答案】第1次抽到J 后，总扑克牌数为51张，其中：J 有3张。由条件概率的定义可知，“第一次抽到J ，则第二次也抽到J ”表示在第1次抽到J 后，J 所占总扑克牌数的比例，即1

3=5117

. 类型二：独立事件

例3. 容器中盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球．

（1）“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”这两个事件是否相互独立？为什么？

（2）“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“把取出的1个白球放回容器，再从容器中任意取出1个，取出的是黄球”这两个事件是否相互独立？为什么？ 【思路点拨】 从相互独立事件的定义入手．

【解析】 （1）“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为5

8

，若这一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为4

7

；若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为

5

7

．可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以二者不是相互独立事件． （2）由于把取出的白球放回容器，故对“从中任意取出1个，取出的是黄球”的概率没有影响，所以二者是相互独立事件．

【总结升华】 判断两事件是否相互独立的方法有：

（1）通过计算P （B|A ）=P （B ）可以判断两个事件相互独立： （2）通过验证P （AB ）=P （A ）P （B ）也可以判断两个事件相互独立． 举一反三：

【变式】判断下列各对事件是互斥事件还是相互独立事件． （1）运动员甲射击1次，“射中9环”与“射中8环”；

（2）甲、乙两运动员各射击1次，“甲射中10环”与“乙射中9环”：

（3）甲、乙两运动员各射击1次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没有射中目标”；

（4）甲、乙两运动员各射击1次，“至少有1人射中目标”与“甲射中目标，但乙没有射中目标”． 【答案】

（1）甲射击1次，“射中9环”与“射中8环”这两个事件不可能同时发生，二者是互斥事件．

（2）甲、乙各射击1次，“甲射中10环”发生与否对“乙射中9环”的概率没有影响，二者为相互独立事件．

（3）甲、乙各射击1次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没有射中目标”不可能同时发生，二者是互斥事件．

（4）甲、乙各射击1次，“至少有1人射中目标”与“甲射中目标，但乙没有射中目标”可能同时发生，二者构不成互斥事件，但也不可能是相互独立事件．

例5. 要制造一种机器零件，甲机床的废品率为0.04，乙机床的废品率是0.05，从它们制造的产品中，各任意抽取一件，求：

（1）其中至少有一件废品的概率； （2）其中恰有一件废品的概率； （3）其中至多有一件废品的概率； （4）其中没有废品的概率； （5）其中全是废品的概率．

【思路点拨】 依题意记事件A 为“从甲机床生产的产品中抽得的一件是废品”，事件B 为“从乙机床生产的产品中抽得的一件是废品”，两事件对应的概率为P （A ）=0.04，P （B ）=0.05，则此题可解．显然，这两台机床的生产应当看作是相互独立的．

【解析】 记事件A 为“从甲机床生产的产品中抽得的一件是废品”，事件B 为“从乙机床生产的产品中抽得的一件是废品”．

则P （A ）=0.04，P （A ）=0.96，P （B ）=0.05，P （B ）=0.95． 由题意可知，A 与B ，A 与B ，A 与B ，A 与B 都是相互独立的． （1）“至少有一件废品”为事件A+B ，

则()1()1()()10.960.950.088P A B P AB P A P B +=-=-=-?=． （2）“恰有一件废品”为事件AB AB +，

则()()()()()()()P AB AB P AB P AB P A P B P A P B +=+=+ =0.96×0.05+0.04×0.95=0.048+0.038=0.086．

（3）方法一：“至多有一件废品”为事件AB AB AB ++， 则()()()()P AB AB AB P AB P AB P AB ++=++ ()()()()()()P A P B P A P B P A P B =++ =0.04×0.95+0.96×0.05+0.96×0.95=0.998．

方法二：“至多有一件废品”的对立事件为“两件都是废品”，即事件AB ， 则()1()1()()10.040.050.998P AB AB AB P AB P A P B ++=-=-=-?=． （4）“其中没有废品”就是“两件都是正品”，即事件AB ， 则()()()0.960.950.912P AB P A P B ==?=． （5）“其中全是废品”为事件AB ，

则P （AB ）=P （A ）P （B ）=0.04×0.05=0.002．

【总结升华】（1）审题应注意关键的词句，例如“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰有一个发生”等，应学会在求复杂事件的概率时对事件等价拆分来求解．

（2）求相互独立事件同时发生的概率的方法有：①利用相互独立事件的概率乘法公式；②正面计算较繁琐时，可以从对立面入手求解． 举一反三：

【变式1】甲、乙两个袋中均装有红、白两种颜色的球，这些球除颜色外完全相同，其中甲袋装有4个红球、2个白球，乙袋装有1个红球、5个白球。若分别从甲、乙两袋中各随机取出一个球，求取出的两球都是红球的概率。

【答案】因从甲袋中取一球为红球的概率为

46，从乙袋中取一球为红球的概率为1

6

， 故从两袋中各取一球，取出的都是红球的概率为411

669

?=。

【高清课堂：条件概率 事件的相互独立性 408736 例题2】

【变式2】甲、乙二射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，求：

（1）2人都射中目标的概率； （2）2人中恰有1人射中目标的概率； （3）2人至少有1人射中目标的概率； （4）2人至多有1人射中目标的概率.

【答案】记“甲射击1次，射中目标”为事件A ，“乙射击1次，射中目标”为事件B ， 则()0.8P A =，()0.9P B =,

且事件A 与B ，事件A 与B ，事件A 与B ，事件A 与B 都是相互独立事件。 （1）2人都射中的概率为：()()()0.80.90.72P A B P A P B ?=?=?=， ∴2人都射中目标的概率是0.72．

（2）“2人各射击1次，恰有1人射中目标”包括两种情况： 一种是甲射中、乙未射中（事件A B ?发生）， 另一种是甲未射中、乙射中（事件A B ?发生）， 且事件A B ?与A B ?互斥。 所求的概率为：

()()()()()()()P A B A B P A B P A B P A P B P A P B ?+?=?+?=?+?

0.8(10.9)(10.8)0.90.080.180.26=?-+-?=+=

∴2人中恰有1人射中目标的概率是0.26． （3）

法一：因为事件“2人中至少有1人射中”，包括事件“2人都射中”和事件“2人中只有1人射中”， 即事件AB ，AB ，AB ，

又因为事件AB ，AB ，AB 两两互斥， 故所求概率为：

()()()()()()()P AB AB AB P A P B P A P B P A P B ++=++

0.80.90.8(10.9)(10.8)0.90.98=?+?-+-?=。

法二：因为事件“2人中至少有1人射中”与事件“2人都未射中”为对立事件， “2人都未射中”的概率()()()(10.8)(10.9)0.02P A B P A P B ?=?=--=， ∴“2人中至少有1人射中”的概率1()10.020.98P P A B =-?=-=。 （4）

法一：因为事件“2人中至多有1人射中”，包括事件“2人都未射中”和事件“2人中只有1人射中”， 即事件AB ，AB ，AB ，

又因为事件AB ，AB ，AB 两两互斥， 故所求概率为：

()()()()()()()P AB AB AB P A P B P A P B P A P B ++=++

(10.8)(10.9)0.8(10.9)(10.8)0.90.28=-?-+?-+-?=。

法二：因为事件“2人中至多有1人射中”与事件“2人都未射中”为对立事件，

所以事件“2人中至多有1人射中”的概率为1()1()()10.80.90.28P AB P A P B -=-=-?= 例6. 有三种产品，合格率分别是0.90、0.95和0.95，从中各抽取一件进行检验． （1）求恰有一件不合格的概率；

（2）求至少有两件不合格的概率．（结果都精确到0.001）

【思路点拨】 三件（或三件以上）相互独立的事同时发生，和两个相互独立的事同时发生是类似的，都用乘法公式。

【解析】设从三种产品中各抽取一件，抽到合格产品的事件分别为A 、B 和C ．

（1）P （A ）=0.90，P （B ）=P （C ）=0.95，则()0.10P A =，()()0.05P B P C ==．

因为事件A 、B 、C 相互独立，所以恰有一件不合格的概率为

()()()P A B C P A B C P A B C ++I I I I I I ()()()()()()()()()P A P B P C P A P B P C P A P B P C =++

=2×0.90×0.95×0.05+0.10×0.95×0.95≈0.176 （2）方法一：至少有两件不合格的概率为

()()()()P A B C P A B C P A B C P A B C +++I I I I I I I I =0.90×0.05×0.05+2×0.10×0.05×0.95

+0.10×0.05×0.05=0.012．故至少有两件不舍格的概率为0.012．

方法二：三件产品都合格的概率为P （A ∩B ∩C ）=P （A ）·P （B ）P （C ）=0.90×0.95×0.95=0.812．由（1）知，恰有一件不合格的概率约为0.176，所以至少有两件不合格的概率为1－[P(A ∩B ∩C)+0.176]≈1－0.812+0.176)=0.012．故至少有两件不合格的概率为0.012．

【思路点拨】 本题主要考查互斥事件有一个发生的概率和相互独立事件同时发生的概率的计算及运用数学知识解决实际问题的能力．在求解某些含有“至少”“至多”等字眼的事件概率问题时，若从正面讨论比较繁杂，可采用逆向思维的方法，先求其对立事件的概率，然后再求原来事件的概率． 举一反三：

【变式1】在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，只要其中有1个开关能够闭合，线路就能正常工作假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率

都是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率【答案】分别记这段时间内开关A J ，B J ，C J 能够闭合为事件A ，B ，C ．

由题意，这段时间内3个开关是否能够闭合相互之间没有影响根据相互独立事件的概率乘法公式，这

段时间内3个开关都不能闭合的概率是

()()()()P A B C P A P B P C ??=??

[][][]1()1()1()P A P B P C =--- (10.7)(10.7)(10.7)0.027=---=

∴这段时间内至少有1个开关能够闭合，，从而使线路能正常工作的概率是

1()10.0270.973P A B C -??=-=．

答：在这段时间内线路正常工作的概率是0.973．

【变式2】已知在某次1500米体能测试中，甲、乙、丙3人各自通过测试的概率分别为25，34，1

3

。求：（1）3人都通过体能测试的概率；

（2）只有2人通过体能测试的概率； （3）只有1人通过体能测试的概率。 【答案】

设事件A=“甲通过体能测试”，事件B=“乙通过体能测试”，事件C=“丙通过体能测试”， 由题意有：2()5P A =

，3()4P B =，1()3

P C =。 （1）设事件M 1=“甲、乙、丙3人都通过体能测试”，即事件M 1=ABC ， 由事件A ，B ，C 相互独立可得：

12411

()()()()()53310

P M P ABC P A P B P C ==??=??=；

（2）设事件M 2=“甲、乙、丙3人中只有2人通过体能测试”，则2M ABC ABC ABC =++， 由于事件A ，B ，C ，A ，B ，C 均相互独立，并且事件ABC ，ABC ，ABC 两两互斥， 因此2()()()()P M P A P B P C =()()()P A P B P C +??()()()P A P B P C +??

231231231(1)(1)(1)543543543=??-+?-?+-?? 2360

=； （3）设事件M 3=“甲、乙、丙3人中只有1人通过体能测试”，则3M ABC ABC ABC =++， 由于事件A ，B ，C ，A ，B ，C 均相互独立，并且事件ABC ，ABC ，ABC 两两互斥， 因此3()()()()P M P A P B P C =??()()()P A P B P C +??()()()P A P B P C +??

231231231(1)(1)(1)(1)(1)(1)543543543=?-?-+-??-+-?-? 512

=。 【变式3】已知某种高炮在它控制的区域内击中敌机的概率为0.2．

（1）假定有5门这种高炮控制某个区域，求敌机进入这个区域后未被击中的概率； （2）要使敌机一旦进入这个区域后有0.9以上的概率被击中，需至少布置几门高炮？ 【答案】

因为敌机被击中的就是至少有1门高炮击中敌机，故敌机被击中的概率即为至少有1门高炮击中敌机的概率

（1）设敌机被第k 门高炮击中的事件为K A (k=1,2,3,4,5)，那么5门高炮都未击中敌机的事件为

12345A A A A A ????．

∵事件1A ，2A ，3A ，4A ，5A 相互独立， ∴敌机未被击中的概率为

12345()P A A A A A ????=12345()()()()()P A P A P A P A P A ????

5(10.2)=-=)5

4

(

∴敌机未被击中的概率为5)5

4(．

（2）至少需要布置n 门高炮才能有0.9以上的概率被击中，仿（1）可得：

敌机被击中的概率为1-n )5

4( ∴令41()0.95n -≥，∴41

()510

n ≤

两边取常用对数，得1

13lg 2

n ≥

≈-

∵+∈N n ，∴n =

∴至少需要布置11门高炮才能有0.9以上的概率击中敌机

条件概率与独立性

()()()()()()()()1012+C AB A P AB n P B A P A n P B A B C P B C A P B A P A ?????==????≤≤?????=???定义：对于两个事件A 和B ，在已知事件A 发生 的条件下，事件B 发生的概率。 公式：古典概型条件概率、性质、若事件、互斥，则有 条件概率题型： 题型一：根据公式换算求概率 ()()()()11,,23P B A P A B P A P B ===求（P(B)=1/3） 若P (A )＝34，P (B |A )＝12 ，则P (AB )等于 ( 3/8 ) 题型二：求条件概率 ()()()P AB P B A P A ?=???? 公式法：条件概率求解基本事件法：确定新的基本事件空间 1、公式法：由条件概率公式 ()()()P AB P B A P A =，分别求出()P AB 和()P A ，代入即可；公式法适用于所有条件概率问题；如例1 2、基本事件法：确定满足已知条件事件A 的基本事件数，确定新的基本事件 空间。基本事件法适用于解决与古典概型或几何概型相关的条件概率问题，比公式法方便，尤其是解决对于有次序的条件概率问题，如例2 用两种方法求解下列问题： 例1、 （公式法）盒中装有形状，大小完全相同的5个球，其中红色球3个， 黄色球2个，若从中随机取出2个球，已知其中一个为红色，则另一个为黄色的概率为（ ）

A. 3 5 B. C. 2 3 D. 2 5 例2、（基本事件法）袋中装有6个不同的红球和4个不同的白球，不放回地依次摸出2个球，在第1次摸出红球的条件下，第2次摸出的也是红球的概率为（） A．5 9 B． 4 9 C． 2 9 D． 2 3 例3、（基本事件法）有一匹叫Harry的马，参加了100场赛马比赛，赢了20场，输了80场．在这100场比赛中，有30场是下雨天，70场是晴天．在30场下雨天的比赛中，Harry赢了15场．如果明天下雨，Harry参加赛马的赢率是（1/2） 解答：此题所求就是Harry在雨天赛马赢的概率即 151 302 P== 例4、（基本事件法）一个袋中装有7个大小完全相同的球，其中4个白球，3个黄球，从中不放回地摸4次，一次摸一球，已知前两次摸得白球， 则后两次也摸得白球的概率为___1 5 _____． 例5、（基本事件法）某生在一次口试中，共有10题供选择，已知该生会答其中6题，随机从中抽5题供考生回答，答对3题及格，求该生在第 一题不会答的情况下及格的概率．（25 42 ） 习题： 1.把一枚骰子连续掷两次，已知在第一次抛出的是偶数点的情况下，第二次抛 出的也是偶数点的概率为 ( ) A．1 B．1 2 C． 1 3 D． 1 4 2.盒中装有形状，大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个，若 从中随机取出2个球，已知其中一个为红色，则另一个为黄色的概率为（） A. 3 5 B. C. 2 3 D. 2 5 9 10 9 10

1.2.1条件概率与独立事件

条件概率 【问题导思】 一个家庭有两个孩子，假设男女出生率一样． (1)这个家庭一男一女的概率是多少？ (2)预先知道这个家庭中至少有一个女孩，这个家庭一男一女的概率是多少？【提示】 (1)12，(2)2 3 . (1)概念：已知事件B 发生的条件下，A 发生的概率称为B 发生时A 发生的条件概率，记为P (A |B )． (2)公式：当P (B )＞0时，P (A |B )＝ P AB P B .

独立事件 【问题导思】 在一次数学测试中，甲考满分，对乙考满分有影响吗？ 【提示】 没有影响． (1)定义：对两个事件A ，B ，如果P (AB )＝P (A )P (B )，则称A ，B 相互独立． (2)性质：如果A ，B 相互独立，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也相互独立． (3)如果A 1，A 2，…，A n 相互独立，则有P (A 1A 2…A n )＝P (A 1)P (A 2)…P (A n ). 应用 在100件产品中有95件合格品，5件不合格品，现从中不放回地 取两次，每次任取一件，试求： (1)第一次取到不合格品的概率； (2)在第一次取到不合格品后，第二次再次取到不合格品的概率． 【思路探究】 求解的关键是判断概率的类型．第一问是古典概型问题；第二问是条件概率问题． 【自主解答】 设“第一次取到不合格品”为事件A ，“第二次取到不合格品”为事件B . (1)P (A )＝5 100 ＝0.05. (2)法一 第一次取走1件不合格品后，还剩下99件产品，其中有4件不合格品．于是第二次再次取到不合格品的概率为 4 99 ，这是一个条件概率，表示为P (B |A )＝499 . 法二 根据条件概率的定义计算，需要先求出事件AB 的概率． P (AB )＝5100×499，∴有P (B |A )＝P AB P A ＝5100× 4995100 ＝499 . 1．注意抽取方式是“不放回”地抽取． 2．解答此类问题的关键是搞清在什么条件下，求什么事件发生的概率． 3．第二问的解法一是利用缩小样本空间的观点计算的，其公式为P (B |A )＝ n AB n A ，此法常应用于古典概型中的条件概率求法．

北师大数学选修课时分层作业2 条件概率与独立事件 含解析

课时分层作业(二) (建议用时：60分钟) [基础达标练] 一、选择题 1．两人打靶，甲击中的概率为0.8，乙击中的概率为0.7，若两人同时射击一目标，则它们都中靶的概率是() A．0.56B．0.48 C．0.75 D．0.6 A[设甲击中为事件A，乙击中为事件B. 因为A，B相互独立，则P(AB)＝P(A)·P(B)＝0.8×0.7＝0.56.] 2．某人忘记了一个电话号码的最后一个数字，只好任意去试拨，他第一次失败、第二次成功的概率是() A.1 10 B. 2 10 C.8 10 D. 9 10 A[某人第一次失败，第二次成功的概率为P＝9×1 10×9 ＝ 1 10，所以选A.] 3．一袋中装有5只白球和3只黄球，在有放回地摸球中，用A1表示第一次摸得白球，A2表示第二次摸得白球，则事件A1与A2是() A．相互独立事件B．不相互独立事件 C．互斥事件D．对立事件 A[由题意可得A2表示“第二次摸到的不是白球”，即A2表示“第二次摸到的是黄球”，由于采用有放回地摸球，故每次是否摸到黄球或白球互不影响，故事件A1与A2是相互独立事件．] 4．如图所示，A，B，C表示3种开关，若在某段时间内它们正常工作的概率分别为0.9,0.8,0.7，那么系统的可靠性是()

A ．0.504 B ．0.994 C ．0.496 D ．0.06 B [系统可靠即A ，B ， C 3种开关至少有一个能正常工作，则P ＝1－[1－P (A )][1－P (B )][1－P (C )] ＝1－(1－0.9)(1－0.8)(1－0.7) ＝1－0.1×0.2×0.3＝0.994.] 5．2018年国庆节放假，甲去北京旅游的概率为1 3，乙，丙去北京旅游的概率分别为14，1 5.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1个去北京旅游的概率为( ) A.5960 B.35 C.12 D.160 B [用A ，B ， C 分别表示甲，乙，丙三人去北京旅游这一事件，三人均不去的概率为P (A B C )＝P (A )·P (B )·P (C )＝23×34×45＝2 5，故至少有一人去北京旅游的概率为1－25＝35.] 二、填空题 6．将两枚均匀的骰子各掷一次，已知点数不同，则有一个是6点的概率为________． 1 3 [设掷两枚骰子点数不同记为事件A ，有一个是6点记为事件B .则P (B |A )＝2×530＝13.] 7．明天上午李明要参加奥运志愿者活动，为了准时起床，他用甲、乙两个闹钟叫醒自己，假设甲闹钟准时响的概率是0.80，乙闹钟准时响的概率是0.90，则两个闹钟至少有一个准时响的概率是________． 0．98 [设A ＝“两个闹钟至少有一个准时响”，

相互独立事件的概率

第79课 相互独立事件的概率 ●考试目标 主词填空 1.如果事件A (或B )是否发生的对事件B (或A )发生的概率没有影响，那么这样的事件叫做相互独 立事件.相互独立事件A 和B 同时发生，记作A ·B,其概率由相互独立事件概率的乘法公式： P (A ·Ｂ)＝Ｐ（Ａ）·Ｐ（Ｂ）． 2.“互斥”事件A 与B ，要记住其判别的依据是A ∩Ｂ=；而“相互独立”事件A 与B ，是指它们中的任何一个发生与否对另一个事件发生的概率没有“影响”. 3.如果在1次试验中，某事件发生的概率为P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次 的概率. P n (k )=k n k k n P P C --)1(． ● 题型示例 点津归纳 【例1】 甲、乙两人各进行一次射击，如果两人击中目标的概率是0.8.计算： (1)两人都击中目标的概率； (2)其中恰有1人击中目标的概率； (3)至少有1人击中目标的概率. 【解前点津】 “两人都击中目标”是事件A ·B ；“恰有1人击中目标”是A ·A B 或·B ；“至少有1人击中目标”是A ·B 或A ·A B 或·B . 【规范解答】 我们来记“甲射击一次击中目标”为事件A ，“乙射击一次击中目标”为事件B . (1)显然，“两人各射击一次，都击中目标”就是事件A ·B ，又由于事件A 与B 相互独立. ∴ P (A ·B )=P (A )·P (B )=0.8×0.8=0.64. (2)“两个各射击一次，恰好有一人击中目标”包括两种情况：一种是甲击中乙未击中(即A ·B )，另一种是甲未击中乙击中(即A ·B )，根据题意这两种情况在各射击一次时不可能同时发生，即事件A ·A B 与·B 是互斥的，所以所求概率为： P =)()()()()()(B P A P B P A P B A P B A P ?+?=?+? =0.8×(1-0.8)+(1-0.8)×0.8=0.16+0.16=0.32. (3) “两人各射击一次，至少有一人击中目标”的概率为： P =P (A ·Ｂ)+［P (A ·A P B ()+·Ｂ)］=0.64+0.32=0.96. 【解后归纳】 本题考查应用相互独立事件同时发生的概率的有关知识的正确应用. 【例2】如图，电路由电池A 、B 、C 并联组成.电池A 、B 、C 损坏的概率分别是0.3、0.2、0.2，求电路断电的概率. 【解前点津】 可规定A =“电池A 损坏”，B =“电池B 损坏”，C =“电池C 损坏”.这样，就有事

概率 2 条件概率与相互独立事件

概率 2 条件概率与相互独立事件 基础梳理 1．条件概率及其性质 (1)对于任何两个事件A 和B ，在已知事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率叫做条件概率，用符号P (B |A )来表示，其公式为P (B |A )＝ P (AB ) P (A ) . 在古典概型中，若用n (A )表示事件A 中基本事件的个数，则P (B |A )＝n (AB ) n (A ) . (2)条件概率具有的性质： ①0≤P (B |A )≤1； ② 如果B 和C 是两互斥事件，则P (B ∪C |A )＝P (B |A )＋P (C |A )． 2．相互独立事件 (1)对于事件A 、B ，若A 的发生与B 的发生互不影响，则称A 、B 是相互独立事件． (2)若A 与B 相互独立，则P (B |A )＝P (B )， P (AB )＝P (B |A )·P (A )＝P (A )·P (B )． (3)若A 与B 相互独立，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也都相互独立． (4)若P (AB )＝P (A )P (B )，则A 与B 相互独立． 基础训练 1.甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军．若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为( )． A.34 B.23 C.35 D.12 2.如图，用K 、A 1、A 2三类不同的元件连接成一个系统，当K 正常工作且A 1、A 2至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K 、A 1、A 2正常工作的概率依次为0.9,0.8,0.8，则系统正常工作的概率为( )． A ．0.960 B ．0.864 C ．0.720 D ．0.576

独立事件积的概率

4.2 独立事件积的概率 五、教学过程设计 (一)、复习回顾1.事件和 2.事件积------设A 、B 为两个随机事件,把“事件A 与事件B 同时出现”叫做事件A 与事件B 的积.记作A ∩B 或AB. (二)、讲授新课 1、有关概念、公式 概念引入 请同学们观察下面这样两个随机事件:将一枚均匀的硬币接连旋转两次,设A 表示第一次旋转停下后出现图朝上,B 表示第二次旋转停下后出现图朝上.不论第一次旋转停下后出现图朝上还是字朝上对第二次旋转停下后出现图朝上的概率没有影响. 上述现象说明事件A 是否出现对事件B 出现的概率没有影响.同样事件B 是否出现对事件A 出现的概率也没有影响. 概念---互相独立事件 如果事件A 出现和事件Ｂ出现,相互之间没有影响,那么称事件Ａ和事件Ｂ互相独立. 注1. 对立事件指事件Ａ和A 满足⑴A ∪A =Ω⑵A ∩A =φ; 注２.互不相容事件或互斥事件是指不可能同时出现的两个事件; 注3.如果事件A 和事件Ｂ互相独立. A 与Ｂ、Ａ与B 、A 与B 也是互相独立. 概率乘法公式 一般地,如果事件Ａ和事件Ｂ是互相独立事件, 那么 P(AB)=P(A)·P(B) 也就是说, 互相独立的随机事件的积的概率等于各个事件概率的乘积.这个公式叫做互相独立随机事件的概率乘法公式. 更一般地,如果n 21A ,,A ,A ?中每个事件与余下的任意几个事件的积(事件)互相独立,那么称n 21A ,,A ,A ?互相独立.如果n 21A ,,A ,A ?互相独立, 那么 P(n 21A A A ?)=)A (P )A (P )A (P n 21? 2、例题精析 (1)产品检验事件的概率问题(p.67) 例1 如果100件产品有５件次品,那么返回抽取２件产品都是次品的概率是多少？ 解:设事件Ｅ表示“第一次抽取是次品”,事件F 表示“第二次抽取是次品”, “事件Ｅ出现”与“事件F 出现”互相没有影响,即事件Ｅ与事件F 是互相独立事件. 据题意,.1005)F (P ,1005)E (P == 依据互相独立随机事件的概率乘法公式,可得:

条件概率独立事件习题

条件概率与独立事件习题课 1.抛掷红、蓝两颗骰子，设事件A为“蓝色骰子的点数为3或6”，事件B 为“两颗骰子的点数之和大于8”则P（B|A）的值为（） A ． B ． C ． D ． 2．从1～9这9个正整数中任取2个不同的数，事件A为“取到的2个数之和为偶数”，事件B为“取到的2个数均为偶数”，则P（B|A）=（）A ．B ．C ．D ． 3．10件产品中有5件次品，从中不放回的抽取2次，每次抽1件，已知第一次抽出的是次品，则第二次抽出的是正品的概率（） A ． B ． C ． D ． 4．甲、乙两名同学参加一项射击比赛游戏，其中任何一人每射击一次击中目标得2分，未击中目标得0分．若甲、乙两人射击的命中率分别为和P，且甲、乙两人各射击一次得分之和为2的概率为．假设甲、乙两人射击互不影响，则P值为（） A ． B ． C ． D ． 5．若甲以10发8中，乙以10发6中，丙以10发7中的命中率打靶，三人各射击一次，则三人中只有一人命中的概率是．二．解答题 6．某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的重量（单位：克），重量的分组区间为（490，495]，（495，500]，…，（510，515]，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示． （1）根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量． （2）在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y为重量超过505克的产品数量，求Y的分布列． （3）从流水线上任取5件产品，求恰有2件产品合格的重量超过505克的概率．（删）

7．2013年12月21日上午10时，省会首次启动重污染天气Ⅱ级应急响应，正式实施机动车车尾号限行，当天某报社为了解公众对“车辆限行”的态度，随机抽查了50人，将调查情况进行整理后制成下表： 年龄（岁）[15， 25）[25， 35） [35， 45） [45， 55） [55， 65） [65， 75] 频数510151055 赞成人数469634 （Ⅰ）完成被调查人员的频率分布直方图； （Ⅱ）若从年龄在[15，25），[25，35）的被调查者中各随机选取两人进行进行追踪调查，记选中的4人中不赞成“车辆限行”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列8．盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同． （1）从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P；（2）从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x1，x2，x3，随机变量X表示x1，x2，x3中的最大数，求X的概率分布． 9．甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立． （Ⅰ）求甲在3局以内（含3局）赢得比赛的概率； （Ⅱ）记X为比赛决出胜负时的总局数，求X的分布列．

条件概率与独立事件、二项分布练习题及答案

条件概率与独立事件、二项分布 1．(2012·广东汕头模拟)已知某射击运动员，每次击中目标的概率都是0.8，则该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为( ) A ．0.85 B ．0.819 2 C ．0.8 D ．0.75 2．(2011·广东高考)甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军．若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为( ) A.34 B.23 C.35 D.12 3．(2011·湖北高考)如图，用K 、A 1、A 2三类不同的元件连接成一个系统．当K 正常工作且A 1、A 2至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知K 、A 1、A 2正常工作的概率依次为0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为( ) A ．0.960 B ．0.864 C ．0.720 D ．0.576 4．(2011·辽宁高考)从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A ＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B ＝“取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )＝( ) A.18 B.14 C.25 D.1 2 5．(2012·山西模拟)抛掷一枚硬币，出现正反的概率都是1 2 ，构造数列{a n }，使得a n ＝ ????? 1 (第n 次抛掷时出现正面)，－1 (第n 次抛掷时出现反面)， 记S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n (n ∈N *)，则S 4＝2的概率为( ) A.116 B.18 C.1 4 D.1 2 6．高三毕业时，甲、乙、丙等五位同学站成一排合影留念，已知甲、乙二人相邻，则甲、丙相邻的概率是( ) A.12 B.13 C.14 D.25 7．某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为16 25 ，则该队员每次罚球的命中率为________． 8．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于

相互独立事件与概率的乘法公式

相互独立事件与概率的乘法公式 说课人：董新森 工作单位：东平县职业中专 时间：2007年5月22日

“相互独立事件与概率的乘法公式”说课稿 一、教材分析 1、教材所处的地位和作用 本节课是概率的第三个计算公式，是在学习了互斥事件和概率的加法公式后而引入的，是对概率计算公式的进一步研究，同时又为下一步学习独立重复试验概率的计算奠定了知识和方法基础。 2、教学目标 （1）能正确区分互斥事件和相互独立事件，会用乘法公式解决简单问题。 （2）在归纳总结乘法公式过程中，进一步提高由特殊推测一般的合情推理能力。 （3）通过教师指导下的学生探索归纳活动，激发学生学习的兴趣，使学生经历数学思维过程，获得成功的体验。 3、教学重点与难点 教学重点：概率的乘法公式的应用 教学难点：区分互斥事件和相互独立事件 二、教学和学法 本节课采用启发探究式教学，由浅入深,由特殊到一般地提出问题,鼓励学生采用观察分析、归纳、总结的学习方法，让学生经历数学知识的应用过程。

三、教学过程设计 1、从数学问题引入探究主题 若事件A=｛甲同学的生日是5月份｝，B=｛乙同学的生日是5月份｝，则A∩B=｛甲和乙的生日都是5月份｝ 问题：（1）说出事件A和事件B是否为互斥事件，为什么？ （引出相互独立事件的概念） （2）试计算P（A）、P（B）、P（A∩B）。 （3）试分析P（A）、P（B）、P（A∩B）三者之间关系。 （4）试举出几个相互独立事件的例子。 2、发现规律 从以上事例中引导学生观察、分析、归纳 P（A∩B）=P（A）×P（B） 一般地说，如果事件A1，A2，…A n相互独立，那么这几个事件

2019年北师大版数学选修1-2练习(第1章)条件概率与独立事件(含答案)

2019年北师大版精品数学资料 条件概率与独立事件 同步练习 【选择题】 1、一个盒子中有6只好晶体管，4只坏晶体管，任取两次，每次取一只，第一次 取后不放回.则若已知第一只是好的，第二只也是好的概率为（ ） A ．53 B ．52 C ．95 D ．3 1 2、袋中有2个白球，3个黑球，从中依次取出2个，则取出两个都是白球的概率 （ ） A ．53 B ．101 C ．31 D ．5 2 3、某射手命中目标的概率为P ，则在三次射击中至少有1次未命中目标的概率为 （ ） A ．P 3 B ．(1-P)3 C ．1-P 3 D ．1-(1-P)3 4、设某种产品分两道独立工序生产，第一道工序的次品率为10%，第二道工序的 次品率为3%，生产这种产品只要有一道工序出次品就将生产次品，则该产品的次品率是（ ）． A ．0.873 B ．0.13 C ．0.127 D ．0.03 5、甲、乙、丙三人独立地去译一个密码，分别译出的概率为51，31，4 1，则此密码能译出的概率是 （ ） A ． 60 1 B ．5 2 C ．5 3 D ． 60 59 6、一射手对同一目标独立地进行四次射击，已知至少命中一次的概率为 81 80 ，则此射手的命中率为 （ ） A ．3 1 B ．4 1 C ．3 2 D ．5 2 7、n 件产品中含有m 件次品，现逐个进行检查，直至次品全部被查出为止．若第 n-1次查出m-1件次品的概率为r ，则第n 次查出最后一件次品的概率为（ ） A ．1 B ．r-1 C ．r D ．r +1 8、对同一目标进行三次射击，第一、二、三次射击命中目标的概率分别为0.4， 0.5和0.7，则三次射击中恰有一次命中目标的概率是 （ ） A ．0.36 B ．0.64 C ．0.74 D ．0.63 【填空题】 9、某人把6把钥匙，其中仅有一把钥匙可以打开房门，则前3次试插成功的概率 为 __. 10、甲乙两地都位于长江下游，根据一百多年的气象记录，知道甲乙两地一年中雨天占的比例分别为20%和18%，两地同时下雨的比例为12%，问：

独立事件积的概率

4.2 独立事件积的概率 事件Ａ和事件Ｂ的和 2. 事件Ａ和事件Ｂ的积 3.互不相容事件或互斥事件 4.概率加法公式 互相独立事件----如果事件A 出现和事件Ｂ出现,相互之间没有影响,那么称事件Ａ和事件Ｂ互相独立. 相独立随机事件的概率乘法公式. （1）一般地,如果事件Ａ和事件Ｂ是互相独立事件, 那么P(AB)=P(A)·P(B) （2）推广：如果n 21A ,,A ,A ?中每个事件与余下的任意几个事件的积(事件)互相独立,那么称n 21A ,,A ,A ?互相独立. 如果n 21A ,,A ,A ?互相独立, 那么P(n 21A A A ?)=)A (P )A (P )A (P n 21? 产品检验事件的概率问题 例1、如果100件产品有５件次品,那么返回抽取２件产品都是次品的概率是多少？ 扑克牌抽取事件的概率问题 例2、从一副52张的扑克牌中随机抽取2张牌,求下列事件的概率: （Ⅰ）在放回抽取的情况下,两张牌都是K ； （Ⅱ）在不放回抽取的情况下,两张牌都是K 。 帕斯卡和费马的友人的一个猜测 例3、试证明：将一颗骰子接连抛掷４次至少出现一次６点的可能性大于将两颗 骰子接连抛掷2４次至少出现一次双６点的可能性。

机床维护事件的概率 例4、一名工人维护甲乙丙３台独立的机床,在一小时内,甲乙和丙需要维护的概 率分别为0.9、0.8、0,85,求一小时内下列事件的概率 (Ⅰ)没有一台机床需要维护； (Ⅱ)至少有一台机床不需要护。 频率问题 例5、在射击训练中,小强射中9环及以上频率为0.20,射中7环或8环的频率为0.40,射中3环至6环的频率为0.10,计算小强射击成绩在7环及以上频率和射击成绩3环以下的频率。 例6、已知甲射手射中目标的频率为80%,乙射手射中目标的频率为70%,如果甲乙两人的射击相互独立,那么甲乙两射手同时瞄准一个目标射击,目标被射中的频率是多少？ 1、甲以10发8中，乙以10发6中，丙以10发7中的命中率打靶，3人各射击一次，求3 人中只有一人命中的概率。 2、甲乙两人下象棋，每下三盘，甲平均能胜两盘，若两个人下五盘棋，求甲至少胜三盘的概率。

2.2.1条件概率与事件的相互独立性

2． 2．1条件概率与事件的相互独立性 教学目标：1、通过对具体情景的分析，了解条件概率的定义。理解两个事件相互独立的概念。 2，掌握一些简单的条件概率的计算。能进行一些与事件独立有关的概率的计算。 3，通过对实例的分析，会进行简单的应用 教学重点：条件概率定义的理解 教学难点：概率计算公式的应用 教学设想：引导学生形成 “自主学习”与“合作学习”等良好的学习方式 教学过程：概念：1，对于两个事件A 与B ，如果P(A)>0,称P(B ︱A)=P(AB)/P(A),为在事件A 发生的条件下,事件B 发生的条件概率. 2，如果两个事件A 与B 满足等式 P(AB)=P(A)P(B),称事件A 与B 是相互独立的，简称A 与B 独立。 例1．一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可从9~0中任选一个，某人在银行自 动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字.求 （1） 任意按最后一位数字，不超过2次就对的概率； （2） 如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次就按对的概率. 解：设第i 次按对密码为事件i A (i=1,2) ，则1 12()A A A A =表示不超过2次就按对 密码． (1）因为事件1A 与事件12A A 互斥，由概率的加法公式得 1121911()()()101095 P A P A P A A ?=+=+=?. (2）用B 表示最后一位按偶数的事件，则 112(|)(|)(|)P A B P A B P A A B =+ 14125545 ?=+=?. 例2．一个家庭中有两个小孩，假定生男、生女是等可能的，已知这个家庭有一个是女孩， 问这时另一个小孩是男孩的概率是多少？ 解：一个家庭的两个孩子有四种可能：{（男，男）}，{（男，女）}，{（女，男）}，{（女，女）}。 这个家庭中有一个女孩的情况有三种：{（男，女）}，{（女，男）}，{（女，女）}。在这种情况下“其中一个小孩是男孩”占两种情况，因此所求概率为2／3. 例3．甲、乙两名篮球运动员分别进行一次投篮，如果两人投中的概率都是6.0，计算： (1)两人都投中的概率；(2)其中恰有一人投中的概率；(3)至少有一人投中的概率. 解：（1）“两人各投一次，都投中”就是事件AB 发生，因此所求概率为 P （ AB ）=P （A ）P （B ）=0.6×0.6=0.36 （2）分析：“两人各投一次，恰有一人投中”包括两种情况：甲投中，乙未投中；甲未击中，乙击中。 因此所求概率为 48.06.0)6.01()6.01(6.0)()()()()()(=?-+-?=+=+B P A P B P A P B A P B A P 。

相互独立事件概率求解

相互独立事件概率问题求解辨析 事件A 、B 是相互独立事件，当且仅当事件A 和B 是否发生，相互之间没有影响。如果事件A 与B 相互独立，那么A 与B 、A 与B 、A 与B 也都是相互独立的。尤其在涉及“至多”或“至少”问题时，常先求此事件的对立事件的概率，再利用公式()1()P A P A =-求出所求事件的概率。这种解法，称为逆向思考方法。下面就相互独立事件概率问题举例分析如下。 一、 反面求解相互独立事件同时发生的概率 例1、加工某零件需3道工序，设第1、2、3道工序出现次品的概率分别为0.02，0.03，0.05，假设三道工序互不影响，求加工出来的零件是次品的概率。 解：由题中“三道工序互不影响”，可判定1、2、3道工序出现次品的事件是相互独立事件，可用相互独立事件的乘法公式。 设A=“加工出来的零件是次品”，i A =“第i 道工序出现次品”，则123A A A A =??， 由于三道工序互不影响，123()()()()P A p A P A P A ∴=??=（1-0.12）（1-0.03）（1-0.05）=0.90307。所以 ()1()10.903070.09693P A P A =-=-=。 点评：两个或多个相互独立事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率积，结合“对立事件的概率和为1”，先求其对立事件的概率，然后再求原事件概率，采用这种解法可使问题变得简易。 二、用排列组合思想理解相互独立事件的概率 例2、甲乙两人各投篮3次，每次投中得分概率为0.6，0.7，求甲乙两人得分相同的概率。 解： 甲乙两人得分相同可以有；甲乙都中0、1、2、3次共四种情况。设甲投中0、1、2、3次概率分别为0123A A A A 、、、，乙投中0、1、2、3次概率分别为 0123B 、B 、B 、B ， 则 0012233()()()()P P A B P AB P A B P A B =+++ 1122 33222233330.40.30.60.40.70.30.60.40.70.3 C C C C =?+???+???330.60.70.321+?=。 点评：全面考虑各种可能性，然后利用公式()(1)k k n k n n P k p p C -= -。 三、通过分类或分步将复杂事件分解为简单事件 例3、某辆汽车载有8名学生从学校回家，途中共有甲、乙、丙三个停车点。如果某停车点无人下车，那么该车在这个点就不停车，假设每个学生在每个停车点下车的可能性都相等。求 （1）停车次数不少于2的概率；（2）恰好停2次的概率。

条件概率与事件的独立性练习题

条件概率与事件的独立性练习题 1．如图所示的电路，有a ，b ，c 三个开关，每个开关开或关的概率都是12 ，且 是相互独立的，则灯泡甲亮的概率为( ) A.18 B.14 C.12 D.116 2、某人射击一次击中目标的概率为0.6，经过3次射击，此人至少有两次击中目标的概率 为( ) A.81125 B.54125 C.36125 D.27125 3、一学生通过英语听力测试的概率是21，他连续测试两次，那么其中恰好一次通过的概率 是（） A. 41 B. 31 C.21 D.4 3 4．某人射击一次击中的概率为0.6,经过3次射击,此人至少有两次击中目标的概率为（） A ．12581 B ．1255 4 C ．12536 D ．125 27 5、甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“3局2胜”，即以先赢2局者为胜．根据经验，每局比赛中甲获胜的概率为0．6，则本次比赛甲获胜的概率是 ( ) (A) 0．216 (B)0．36 (C)0．432 (D)0．648 6．甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题，规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格． (1)分别求甲、乙两人考试合格的概率； (2)求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率．

7．2009年12月底，一考生参加某大学的自主招生考试，需进行书面测试，测试题中有4道题，每一道题能否正确做出是相互独立的，并且每一道题被该考生正确做出的概率都是34 . (1)求该考生首次做错一道题时，已正确做出了两道题的概率； (2)若该考生至少正确作出3道题，才能通过书面测试这一关，求这名考生通过书面测试的概率．

条件概率与独立事件

条件概率与独立事件 【要点梳理】 要点一：条件概率 1.概念 设A 、B 为两个事件，求已知B 发生的条件下，A 发生的概率，称为B 发生时A 发生的条件概率，记为()|P A B ，读作：事件B 发生的条件下A 发生的概率。 要点诠释： 我们用韦恩图能更好的理解条件概率，如图，我们将封闭图形的面积理解为相应事件的概率，那么由条件概率的概率，我们仅局限于B 事件这个范围来考察A 事件发生的概率，几何直观上，()|P A B 相当于B 在A 内的那部分（即事件AB ）在A 中所占的比例。 2.公式 . 要点诠释： （1）对于古典（几何）概型的题目，可采用缩减样本空间的办法计算条件概率： 古典概型：(|)AB P A B B = 包含的基本事件数 包含的基本事件数，即()() card (|)card AB P AB B =； 几何概型：(|)AB P A B B = 的测度 的测度 . （2）公式() (|)() P AB P A B P B = 揭示了()P B 、()|P AB 、()P AB 的关系，常常用于知二求一，即要熟练应用它的变形公式如，若()P B ＞0，则()()()=|P AB P A P B A ，该式称为概率的乘法公式． （3）类似地，当()0P A >时，A 发生时B 发生的条件概率为：()()() |=P AB P B A P A . 3. 性质 （1）非负性：()|0P A B ≥； （2）规范性：()|=1P B Ω（其中Ω为样本空间）； （3）可列可加性：若两个事件A 、B 互斥，则()()()+||+|P A B C P A C P B C =. 4.概率()P A |B 与()P AB 的联系与区别： 当()0P B >时，()()() |= P A B P A B P B I .

独立事件的概率(一)

相互独立事件同时发生的概率 【教学目的】 1．了解相互独立事件的意义，会用相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率； 2.掌握相互独立事件同时发生的概率乘法公式； 3．通过对概率知识的学习，了解偶然性寓于必然性之中的辨证唯物主义思想； 【教学重点】 用相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率； 【教学难点】 互斥事件与相互独立事件的区别；相互独立事件的判断； 【教学用具】 投影仪、多媒体电脑等。 【教学方法】 引导法——引导学生逐步认识相互独立事件及其同时发生的概率。 【教学过程】 [设置情境] （1）一个坛子里有6个白球，3个黑球，l 个红球，设摸到一个球是白球的事件为A ，摸到一个球是黑球的事件为B ，问A 与B 是互斥事件呢，还是对立事件？ （2）甲坛子里有3个白球，2个黑球；乙坛子里有2个白球，2个黑球．设从甲坛子里摸出一个球，得到白球叫做事件A ，从乙坛子里摸出一个球，得到白球叫做事件B ．问A 与B 是互斥事件呢？还是对立事件？还是其他什么关系？ （3）在问题（2）中，若记事件A 与事件B 同时发生为B A ?，那么()B A P ?与()A P 及()B P 有什么关系呢？它们之间有着某种必然的规律吗？ [探索研究] 1．独立事件的定义 我们把“从甲坛子里摸出1个球，得到白球”叫做事件A ，把“从乙坛子里摸出1个球，得到白球”叫做事件B ．很明显，从一个坛子里摸出的是白球还是黑球，对从另一个坛子里摸出白球的概率没有影响．这就是说，事件A （或B ）是否发生对事件B （或A ）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件． 事件间的“互斥”与“相互独立”是两个不同的概念，两个事件互斥是指这两个

沪教版高中数学高三下册第十七章17.1古典概型-独立事件积的概率教案

独立事件积的概率教学设计 一、指导思想与理论依据 “独立事件积的概率”是上海高考的理科考察内容，由于概率问题与人们的实际生活有着紧密的联系，对指导人们从事社会生产、生活具有十分重要的意义，诸如自动控制、通讯技术、军事、气象、卫生医疗、地质、经济等领域的应用非常普遍；通过对这一知识点的学习运用，使学生了解偶然性寓于必然之中的辩证唯物主义思想，学习和体会数学的奇异美和应用美.所以概率这个章节也比较容易渗透德育目标进去。 概率所研究的对象具有抽象和不确定性等特点，学生很难用已获得的解决确定性数学问题的思维方法，去求得“活”的概率问题的解，教师必须引导学生从中获得问题情境性的情境体验和感悟。根据课程标准的要求，结合教材实际，我将从背景分析、目标定位、教法学法、教学设想、教学评价等五个方面对本节课的教学设计进行说明． 二、背景分析 1、教材的地位与作用 相对于传统的代数、几何而言，概率论形成较晚，而独立事件积的概率在概率的基础上更进一步，其定义方式新颖独特，具有不确定性，这是理解概率的难点所在．因此，我认为这节课学生要会判断几个事件是否独立，会计算独立事件积的概率，并用它解决一些生活实际问题。 2、学生情况分析 <1>学生已经具备的基础和能力 学生在高中阶段已经学习了概率初步，对事件的分类和古典概率的计算有一定的认识，有阅读、观察的基础，具备一定的合作交流，自主探究能力。 <2>学生欠缺之处 他们不知道如何利用概率去解决实际问题，不会自己构造模型，这是教学中的一大难点，大部分学生不具备很强的归纳能力。 <3>心理特点 学生都来自贫困家庭，勤学善问，深思好学，但不善于表现自我，需要鼓励，且自主探索的能力欠缺。 3、重点、难点 一堂渗透德育思想的数学课应是一个以学生为主体，教师和学生共同探求新知，并让学生领悟内在德育的过程。学习不是由教师把知识简单地传递给学生，而是由学生自己建构知识的过程。根据以上分析及这节课的内容特点，我将教学重点定为：正确理解独立事件积的概率公式，并学会计算相应问题。 难点定为：通过解决实际问题，归纳总结，发现规律，真正做到在探索中学习，在探索中提高。 三、学法与教学用具： 1、引导学生对身边的事件加以注意、分析，总结。指导学生建立简单可操作的模型，让学生发现随机事件的某一结果发生的规律性； 2、教学用具：计算机及多媒体教学． 四、教学目标设计 1、知识与技能目标 （1）理解独立事件的定义，掌握独立事件同时发生的概率乘法公式。 （2）能应用公式计算一些独立事件同时发生的概率，进一步理解偶然性与

理科拓展 专题4 4.2.1 独立事件积的概率(含答案)

【课堂例题】 例1.连续投掷一均匀硬币两次,定义三事件如下: 事件:A第一次出现正面,事件:B第二次出现正面,事件:C至少出现一次正面. 判断A与B及A与C是否相互独立. 例2.连续投掷一公正骰子两次,求第一次不出现6点且第二次出现5点的概率. 课堂练习 1.,A B是独立事件且 12 (),(), 23 P A P B ==则()? P A B= 2.投掷一公正骰子两次,判断事件,A B是否独立? (1)A:第一次投出1点,B:两次点数之和为7; (2)A:两次点数最大数为2,B:两次点数最小为2. 3.甲、乙两人打靶命中率分别为0.7与0.6，两人同时打一靶，但彼此互不影响，若每人一发，求靶面恰中一发的概率.

【知识再现】 1.设,A B 是同一样本空间中的两事件，若 ，则称,A B 为相互独立的事件. 2.若,A B 是相互独立的事件，,A B 分别为,A B 的对立事件，则 ， ， 都是相互独立的事件. 【基础训练】 1.已知事件,A B 相互独立，且11(),()34 P A P AB = =，则()P B = . 2.已知事件,A B 相互独立，且11(),()34 P A P B ==，则()P AB = . 3.同一样本空间S 下的必然事件S 与任一事件A 都互相独立吗？说明理由. . 4.下列,A B 为独立事件的是 (写出所有正确选项的序号). ①投掷公正骰子一次，A:投出点数为3，B:投出点数为2； ②投掷公正骰子两次，A:第一次投出点数为3，B:第二次投出点数为5； ③从一副52张牌中，随机不放回地依次抽取2张，A:第一张抽中7，B:第二张抽中7； ④从一副52张牌中，随机有放回地依次抽取2张，A:第一张抽中红桃，B:第二张抽中黑桃. 5.设A 与B 为独立事件且42(),()53 P A B P A ==,求()P B . 6.投掷一公正骰子一次,定义三事件如下:{1,2,3},{1,4,5},{1,2,3,4}A B C ===. 试判断:(1),A C 是否为独立事件?(2),B C 是否为独立事件? 7.投掷一公正骰子两次,求第一次点数不是3且第二次点数不是6的概率.

条件概率与独立事件教案

2.1条件概率与独立事件（一） 丹凤县竹林关中学兰栋霞 ●学情分析 高二学生在高一阶段已经学习了古典概型、几何概型，对于概率知识有了一定的认识，为条件概率与独立事件的学习，奠定了一定的理论基础。 ●三维目标 1．知识与技能 （1）通过具体情境了解条件概率的概念，能利用条件概率分析和解决简单的实际问题． （2）掌握求条件概率的两种方法. 2．过程与方法 在对条件概率的学习过程中，进一步培养学生准确把握随机事件，掌握利用概率的知识，分析解决实际问题的方法．3．情感、态度与价值观 通过利用概率知识解决简单的实际问题，进一步体会和感受数学知识在生活中的应用，培养随机意识． ●重点难点 重点：求条件概率的方法，利用条件概率分析和解决简单的实际问题． 难点：对条件概率的概念的理解． ●教学方法 主要采取教师启发、讲授和学生探究、练习相结合的方法

●教学过程： 一、知识回顾 1.古典概型的概念： 1)试验的所有可能结果(即基本事件)只有有限个,每次试验只出现其中的一个结果;2)每一个结果出现的可能性相同。 2.古典概型的概率计算公式： 二、实例探究 100个产品中有93个产品的长度合格，90个产品的质量合格，85个产品的长度、质量都合格。现在任取一个产品，若已知它的质量合格，那么它的长度合格的概率是多少？ 分析：令A={产品的长度合格} ，B={产品的质量合格}，那么A ∩B={产品的长度、质量都合格} 现任取一个产品，已知它的质量合格（即B 发生），则它的 长度合格（即A 发生）的概率是9085 思考：这个概率与事件A 、B 发生的概率有什么关系么? 三、精讲点拨 求B 发生的条件下，A 发生的概率，称为B 发生时A 发生的条件概率，记为 。 n m A A P ==试验的所有可能结果数包含的可能结果数事件)(当 时 ，其中 可记为 0 )(>B P )()()(B P B A P B A P ?=B A I AB )(B A P 类似地，当 时， ，此即为A 发生时B 发生的条件概率。 0)(>A P )()()(A B P AB P A P =