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人教版数学选修21第二章直线与圆锥曲线讲义

案例(二) --- 精析精练

课堂合作探究

重点难点突破

知识点一直线与圆锥曲线的位置关系

(1) 直线与椭圆的位置关系

根据曲线和方程的理论,如果直线和椭圆有交点,那么交点坐标就应该同时满足直线和椭圆的方程,否则就不满足,因此我们可以将直线和椭圆的位置关系转化为对直线的方程与椭圆的方程所联立的方程组上来,即通过考查方程组解的情况来判断直线和椭圆的位置关系,也就是:

设直线方程y=kx+m,若直线与椭圆方程联立,消去y 得关于x 的一元二次方程:ax2+bx+c=0(a≠0),①△ >0,直线与椭圆有两个交点,直线与椭圆相交；②△ =0 时,直线与椭圆有个公共点,直线与椭圆相切；③△<0 时,直线与椭圆没有公共点，直线与椭圆相离.

在直线与椭圆相交的问题中,两公共点之间的距离,也即直线被椭圆截得的弦长可以用下面的公式来求取.

设直线与椭圆的两个交点为A(x 1,y1),B(x 2,y2),直线方程为

y=kx+m(k ≠ 0)则|AB|= (x1 x2)2(y1 y2)2=

(x1 x2)2(kx1 m kx2 m)2= 1 k2|x1-x2|

或者|AB|= 1 k12 |y1-y2|；当k=0 时直线平行

x 轴,|AB|=|x1-x2|.

于

(2) 直线与双曲线的位置关

根据曲线和方程的理论,如果直线和双曲线有交点,那么交点坐标就应该to 同时满足直线和双曲线的方程,否则就不满足.因此我们可以将直线和双曲线的位置关系转化为对直线的方程与双曲线的方程所联立的方程组上来,即通过考查方程组解的情况来判断直线和双曲线的位置关系,也就是:

设直线方程y=kx+m,若直线与双曲线方程联立,消去y 得关于x 的一元二次方程:ax2+bx+c=0,当二次项前面的系数为零时,直线与双曲线有一个交点,直线与渐近线平行;当二次项前面的系数不为零时, ①△>0,直线与双曲线有两个交点,直线与双曲线相

交;②△=0 时,直线与双曲线有一个公共点,直线与双曲线相

切;③△<0 时,直线与双曲线没有公共点,直线与双曲线相离.

在直线与双曲线相交的问题中,两公共点之间的距离,也即三直线被双曲线截得的弦长可以用上面的公式来求取.

直线和双曲线的位置关系的判别比较复杂,需要耐心细致地处理,主要原因在于双曲线不是封闭的曲线.

(3) 直线与抛物线的位置关系的处理在处理直线与抛物线的交点问题,特别是抛物线的弦的问题时,往往采取设而不求的方

法,以及直线方程和抛物线方程联立方程组,借助根与系数关系来解,可达到化繁为简的目的.这里要注意:当直线与抛物线相切时,直线与抛物线只有一个交点,当直线与抛物线的对称轴平行时,直线与抛物线也只有一个交点，造成这样情况的原因在于抛物线和双曲线一样,它们都是不封闭曲线,因此在处理直线和抛物线的问题时,要关注消元后的一元二次方程的二次项前的系数以及判别式.

另外,前面所提的弦长公式仍然适用. 利用抛物线的对称性解题往往会柳暗花明又一村. 知识点二直线与圆锥曲线位置关系的三种题型.

(1) 直线与圆锥曲线的交点问题常用方法是代数方法和几何方法,但在代数方法中,要注意二次项前面系数是0 的情况,在几何方法中,要注意直线与圆锥曲线相切不是直线与圆锥曲线只有一个交点的充要条件.

(2) 与弦的中点有关的问题常用方法是韦达定理和点差法.

(3) 弦长问题

求弦长的方法:①公式法；②如果弦经过圆锥曲线的焦点，可利用焦半径公式.

典型例题分析

题型 1 直线与圆锥曲线的交点问题

【例1】直线1:y=kx+1,抛物线C:y2=4x,当k为何值时l 与C

有:(1) 一个公共点；(2)两个公共点；(3)没有公共点.

解析讨论直线与圆锥曲线的位置关系时,一般都将两个方程联

消去 y 得 k 2x 2+(2k-4)x+1=0. ①

当 k=0 时,方程①只有一个解 x=1

,此时 y=1. 4

∴直线 l 与 C 只有一个公共点 ( 1

，1),此时直线 l 平行于抛物线的 4

对称轴.

当 k ≠ 0 时,方程①是一个一元二次方程

△=(2k-4)2-4k 2

=-16k+16=-16(k-1). (1) 当△ >0,即 k<1,且 k ≠0时,l 与 C 有两个公共点 ,此时称直线 1 与 C 相交

(2) 当△ =0,即 k=1 时,与 C 有一个公共点 ,此时称直线 l 与 C 相切；

(3) 当△ <0,即 k>1 时,与 C 没有公共点 ,此时称直线 l 与 C 相离.

综上所述 ,当 k=0,或 k=1 时,与 C 有一个公共点；

当 k<1 时 ,与 C 有两个公共点；

当 k>1 时 ,与 C 没有公共点 .

规律总结 (1)直线与抛物线相切 ,则直线与抛物线只有个公共点反过来 ,直线与抛物线只有一个公共点 ,则直线与抛物线不一定

立.

答案将 l 和 C 的方程联立

y kx 1, y 2 4x.

是相切的；

(2)解析中方程①的二次项系数带有字母,不可忽视对字母k 的讨

变式训练 1】直线 l:ax+by-3a=0与双曲线 x 9 y

=1只有一个公

答案 (1)当 b=0时,l:x=3, x 9 y

9 =1, ∴ y=0,此时 ,l 与双曲线只有一个公共点 .

a(3 x)

(2)当 b ≠0 时, y b 4x 2 9y 2 36 得(4b 2-9a 2)x 2+54a 2x-9(9a 2+4b 2

)=0.① a.若 462-9a 2=0,即=± 2

时,只有一个公共点 ,此时 l:y=± 2 (3-x),即

2x+3y-6=0.

b.4b2-9a2≠0,即a ≠± 2

时,二次方程① b3

△=542a 4+36(4b 2-9a 2)(4b 2+9a 2)=36(81a 4+16b 4-81a 4)=36×16b 4>0, 此时直线 l 与双曲线必有两个交点 .

综上所述 ,共有 3条,其方程为 x3=0或 2x+3y-6=0.

题型 2 弦长问题

【例 2】已知直线 y=x-4 被抛物线 y 2

=2mx(m ∈ R)截得的弦长为 6 2 ,求抛物线的标准方程 .

解析直线和抛物线的位置关系仍然是转化为对直线的方程与椭圆的方程所联立的方程组上来 ,即通过考查方程组解的情况来判断直线和抛物线的位置关系；同时弦长公式仍然适用 .

论.

共点,则 l 共有

条,它们的方程是

高中数学人教版选修1-1(文科) 第二章圆锥曲线与方程 2.2.1 双曲线及其标准方程(I)卷

高中数学人教版选修1-1（文科）第二章圆锥曲线与方程 2.2.1 双曲线及其标准方程（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 一、选择题 (共8题；共16分) 1. （2分）过已知双曲线-=1（b＞0）的左焦点F1作⊙O2：x2+y2=4的两条切线，记切点为A，B，双曲线的左顶点为C，若∠ACB=120°，则双曲线的离心率为（）【考点】 2. （2分）(2018·石嘴山模拟) 已知双曲线的左、右焦点分别为，以为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为，则双曲线的方程为（） A . B . C . D . 【考点】 3. （2分） (2019高二上·四川期中) 已知圆：（为圆心），点，点是圆上的动点，线段的垂直平分线交线段于点，则动点的轨迹是（） A . 两条直线 B . 椭圆 C . 圆 D . 双曲线【考点】 4. （2分） (2017高二下·新疆开学考) 过椭圆的左焦点F1作直线l交椭圆于A，B两点，F2是椭圆右焦点，则△ABF2的周长为（） A . 8

B . 4 C . 4 D . 【考点】 5. （2分）(2017·常德模拟) 已知双曲线C： =1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=± x，则双曲线C的离心率为（） A . B . C . D . 【考点】 6. （2分）“”是“直线与圆相切”的（） A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充分必要条件 D . 既不充分也不必要条件【考点】 7. （2分）双曲线的渐近线方程是（）【考点】 8. （2分） (2019高二下·南山期末) 直线l过点且与双曲线仅有一个公共点，这样的直线有（）条. A . 1 B . 2

2019-2020年高中数学选修2-1圆锥曲线

2019-2020年高中数学选修2-1圆锥曲线教学目标（1）通过用平面截圆锥面,经历从具体情境中抽象出椭圆、抛物线模型的过程，掌握它们的定义；（2）通过用平面截圆锥面,感受、了解双曲线的定义；（3）能用数学符号或自然语言描述双曲线的定义．教学重点，难点（1）椭圆、抛物线、双曲线的定义；（2）用数学符号或自然语言描述三种曲线的定义．教学过程一．问题情境 1．情境：我们知道，用一个平面截一个圆锥面，当平面经过圆锥面的顶点时，可得到两条相交直线，当平面与圆锥面的轴垂直时，截得的图形是一个圆，试改变平面的位置，观察截得的图形的变化情况。提出问题： 2．问题：用平面去截圆锥面能得到哪些曲线？这些曲线具有哪些几何特征？二．学生活动学生讨论上述问题，通过观察,可以得到以下三种不同的曲线：对于第一种情况，可在圆锥截面的两侧分别放置一球，使它们都与截面相切（切点分别为，），且与圆锥面的侧面相切，两球与圆锥面的侧面的公共点分别构成圆和圆．（图）设点是平面与圆锥面的截线上任意一点，过M点作圆锥面的一条母线，分别交圆，圆与，两点，则和，和分别是上下两球的切线．因为过球外一点作球的切线长相等，所以，，所以 12 MF MF MP MQ PQ +=+=．因为，而，是常数，所以是一个常数．即截线上任意一点到两个定点，的距离的和等于常数．可直接给出放进双球后的图形，再由学生发现＂到感知、认同即可．三．建构数学 1．椭圆的定义：平面内到两定点，的距离和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆，两个定点，叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．说明：图

数学选修2-1第二章知识点总结

（好好记公式，你们是最棒的，加油，老师与你们一起努力！）椭圆的几何性质焦点的位置焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形标准方程 ()22 2210x y a b a b +=>> ()22 2210y x a b a b +=>> 范围 a x a -≤≤且 b y b -≤≤ b x b -≤≤且a y a -≤≤ 顶点 ()1,0a A -、()2,0a A ()10,b B -、()20,b B ()10,a A -、()20,a A ()1,0b B -、()2,0b B 轴长短轴的长2b = 长轴的长2a = 焦点 ()1,0F c -、()2,0F c ()10,F c -、()20,F c 焦距 ()222122F F c c a b ==- 对称性关于x 轴、y 轴、原点对称离心率 )2 2101c b e e a a ==-<< 准线方程 2a x c =± 2 a y c =± 13、设M 是椭圆上任一点，点M 到1F 对应准线的距离为1d ，点M 到2F 对应准线的距离为2d ，则121 2 F F e d d M M = =．

双曲线方程平面内与两个定点1F ，2F 的距离之差的绝对值等于常数（小于12F F ）的点的轨迹称为双曲线．这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距． 15、双曲线的几何性质：焦点的位置焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形标准方程 ()22 22 10,0x y a b a b -=>> ()22 22 10,0y x a b a b -=>> 范围 x a ≤-或x a ≥，y R ∈ y a ≤-或y a ≥，x R ∈ 顶点 ()1,0a A -、()2,0a A ()10,a A -、()20,a A 轴长虚轴的长2b = 实轴的长2a = 焦点 ()1,0F c -、()2,0F c ()10,F c -、()20,F c 焦距 ()222122F F c c a b ==+ 对称性关于x 轴、y 轴对称，关于原点中心对称

人教版数学高二选修2-1测试题组第二章圆锥曲线B组

（数学选修2-1）第二章圆锥曲线 [综合训练B 组] 一、选择题 1．如果22 2 =+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是（） A ．()+∞,0 B ．()2,0 C ．()+∞,1 D ．()1,0 2．以椭圆 116 252 2=+y x 的顶点为顶点，离心率为2的双曲线方程（） A ． 1481622=-y x B ．12792 2=-y x C ． 1481622=-y x 或127 92 2=-y x D ．以上都不对 3．过双曲线的一个焦点2F 作垂直于实轴的弦PQ ，1F 是另一焦点，若∠2 1π = Q PF ，则双曲线的离心率e 等于（） A ．12- B ．2 C ．12+ D ．22+ 4．21,F F 是椭圆17 92 2=+y x 的两个焦点，A 为椭圆上一点，且∠02145=F AF ，则 Δ12AF F 的面积为（） A ．7 B ． 47 C ．2 7 D ．257 5．以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆09622 2 =++-+y x y x 的圆心的抛物线的方程是（） A ．2 3x y =或2 3x y -= B ．2 3x y = C ．x y 92 -=或2 3x y = D ．2 3x y -=或x y 92 = 6．设AB 为过抛物线)0(22 >=p px y 的焦点的弦，则AB 的最小值为（） A ． 2 p B ．p C ．p 2 D ．无法确定二、填空题

1．椭圆 22189x y k +=+的离心率为1 2 ，则k 的值为______________。 2．双曲线2 2 88kx ky -=的一个焦点为(0,3)，则k 的值为______________。 3．若直线2=-y x 与抛物线x y 42 =交于A 、B 两点，则线段AB 的中点坐标是______。 4．对于抛物线2 4y x =上任意一点Q ，点(,0)P a 都满足PQ a ≥，则a 的取值范围是____。 5．若双曲线142 2=-m y x 的渐近线方程为x y 23±=，则双曲线的焦点坐标是_________． 6．设AB 是椭圆22 221x y a b +=的不垂直于对称轴的弦，M 为AB 的中点，O 为坐标原点，则AB OM k k ?=____________。三、解答题 1．已知定点(A -，F 是椭圆 22 11612 x y +=的右焦点，在椭圆上求一点M ，使2AM MF +取得最小值。 2．k 代表实数，讨论方程2 2 280kx y +-=所表示的曲线 3．双曲线与椭圆 136 272 2=+y x 有相同焦点，且经过点4)，求其方程。 4．已知顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线被直线21y x =+截得的弦长为15，求抛物线的方程。（数学选修2-1）第二章圆锥曲线 [综合训练B 组]

高中数学选修2-1 圆锥曲线的定义

高中数学选修2-1 圆锥曲线定义练习卷一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1.已知为椭圆的焦点，为椭圆上一点，垂直于x轴，且，则椭圆的离心率为（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ． 2.方程表示的曲线是（）Ａ．一条直线和一双曲线Ｂ．两条直线Ｃ．两个点Ｄ．圆 3.已知点（4，2）是直线被椭圆所截得的线段的中点，则的方程是（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ． 4.若不论k为何值，直线与曲线总有公共点，则的取值范围是（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ． 5.过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线（）Ａ．有且仅有一条Ｂ．有且仅有两条 12 F F ， 22 22 1(0) x y a b a b +=>>M 2 MF 12 60 F MF ∠= 1 2232 22 ()(1)0 x y xy -+-= l 22 1 369 x y +=l 20 x y -= 240 x y +-= 2340 x y ++=280 x y +-= (2) y k x b =-+221 x y -= b ([ (22) -，[22] -， 24 y x =A B ，姓名： _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 班级： _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 考号： _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - - - - - - - - - - - 线 - - - - - - - - - - - - - - 内 - - - - - - - - - - - - - - 请 - - - - - - - - - - - - - - 不 - - - - - - - - - - - - - - 要 - - - - - - - - - - - - - - 答 - - - - - - - - - - - - - - 题 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ●

数学选修21知识点总结

数学选修2－1知识点总结第一章：命题与逻辑结构知识点： 1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句. 真命题：判断为真的语句.假命题：判断为假的语句. 2、“若p ，则q ”形式的命题中的p 称为命题的条件，q 称为命题的结论. 3、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两个命题称为互逆命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆命题。若原命题为“若p ，则q ”，它的逆命题为“若 q ，则p ”. 4、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，则这两个命题称为互否命题.中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题.若原命题为“若p ，则q ”，则它的否命题为“若p ?，则q ?”. 5、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，则这两个命题称为互为逆否命题。其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命题。若原命题为“若p ，则q ” ，则它的否命题为“若q ?，则p ?”。 6 ()1两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性； ()2两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系． 7、若 p q ?，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件．若p q ?，则p 是q 的充要条件（充分必要条件）． 8、用联结词“且”把命题p 和命题q 联结起来，得到一个新命题，记作p q ∧．当p 、q 都是真命题时，p q ∧是真命题；当p 、q 两个命题中有一个命题是假命题时，p q ∧是假命题．用联结词“或”把命题 p 和命题q 联结起来，得到一个新命题，记作p q ∨．当p 、q 两个命题中有一个命题是真命题时，p q ∨是真命题；当p 、q 两个命题都是假命题时，p q ∨是假命题．对一个命题p 全盘否定，得到一个新命题，记作p ?．若p 是真命题，则p ?必是假命题；若p 是假命题，则p ?必是真命题． 9、短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词，用“?”表示．含有全称量词的命题称为全称命题．全称命题“对M 中任意一个x ，有()p x 成立” ，记作“x ?∈M ，()p x ”．短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词，用“?”表示．含有存在量词的命题称为特称命题．特称命题“存在M 中的一个x ，使()p x 成立” ，记作“x ?∈M ，()p x ”． 10、全称命题p ：x ?∈M ，()p x ，它的否定p ?：x ?∈M ，()p x ?。全称命题的否定是特称命题。特称命题 p ：x ?∈M ，()p x ，它的否定p ?：x ?∈M ，()p x ?。特称命题的否定是全称命题。

人教版数学选修2-1圆锥曲线知识总结

数学选修2-1圆锥曲线知识归纳一、复习总结：名称椭圆双曲线图象x O y x O y 定义平面内到两定点 2 1 ,F F的距离的和为常数（大于 2 1 F F）的动点的轨迹叫椭圆即a MF MF2 2 1 = + 当2a﹥2c时，轨迹是椭圆当2a=2c时，轨迹是一条线段 2 1 F F 当2a﹤2c时，轨迹不存在平面内到两定点2 1 ,F F的距离的差的绝对值为常数（小于2 1 F F ）的动点的轨迹叫双曲线即 a MF MF2 2 1 = - 当2a﹤2c时，轨迹是双曲线当2a=2c时，轨迹是两条射线当2a﹥2c时，轨迹不存在标准方程焦点在x轴上时：1 2 2 2 2 = + b y a x 焦点在y轴上时：1 2 2 2 2 = + b x a y 注：是根据分母的大小来判断焦点在哪一坐标轴上焦点在x轴上时： 1 2 2 2 2 = - b y a x 焦点在y轴上时： 1 2 2 2 2 = - b x a y 常数 c b a, ,的关系 2 2 2b c a+ =2 2 2b a c+ =，渐近线焦点在x轴上时： = - b y a x 焦点在y轴上时： = - b x a y

抛物线：图形 x y O F l x y O F l 方程 )0(22>=p px y )0(22>-=p px y )0(22>=p py x )0(22>-=p py x 焦点 )0,2 (p )0,2(p - )2,0(p )2,0(p - 准线 2 p x -= 2p x = 2p y -= 2 p y = 二、知识点：椭圆、双曲线、抛物线分别是满足某些条件的点的轨迹，由这些条件可以求出它们的标准方程，并通过分析标准方程研究这三种曲线的几何性质 1．椭圆定义：在平面内，到两定点距离之和等于定长（定长大于两定点间的距离）的动点的轨迹 2．椭圆的标准方程：12222=+b y a x ，122 22=+b x a y （0>>b a ） 3．椭圆的性质：由椭圆方程122 22=+b y a x (0>>b a ) (1)范围: a x a ≤≤-,b y b ≤≤-，椭圆落在b y a x ±=±=,组成的矩形中． (2)对称性:图象关于y 轴对称．图象关于x 轴对称．图象关于原点对称原点叫椭圆的对称中心，简称中心．x 轴、y 轴叫椭圆的对称轴．从椭圆的方程中直接可以看出它的范围，对称的截距．（3）顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点．椭圆共有四个顶点： )0,(),0,(2a A a A -，),0(),,0(2b B b B -加两焦)0,(),0,(21c F c F -共有六个特殊点 21A A 叫椭圆的长轴，21B B 叫椭圆的短轴．长分别为b a 2,2.b a ,分别为椭圆的长半轴长和短半轴长，椭圆的顶点即为椭圆与对称轴的交点． x y O F l x y O F l

北师大高二数学选修圆锥曲线方程测试题及答案

高二数学选修1-1圆锥曲线方程检测题斗鸡中学强彩红一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1、设定点 () 10,3F -， () 20,3F ，动点 () ,P x y 满足条件 a PF PF =+21(a ＞)0，则动点 P 的轨迹是（）. A. 椭圆 B. 线段 C. 不存在 D.椭圆或线段或不存在 2、抛物线 2 1y x m = 的焦点坐标为（） . A ．??? ??0,41m B ． 10,4m ?? ??? C ． ,04m ?? ??? D ．0,4m ?? ??? 3、双曲线 22 1mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍，则m 的值为（）. A ．14- B ．4- C ．4 D ．1 4 4、设双曲线的焦点在x 轴上，两条渐近线为y=± x 2 1 ，则该双曲线的离心率e 为（）（A ）5 （B ）5 （C ） 25 （D ）4 5 5、线段∣AB ∣=4，∣PA ∣+∣PB ∣=6，M 是AB 的中点，当P 点在同一平面内运动时，PM 的长度的最小值是（）（A ）2 （B ）2 （C ） 5 （D ）5 6、若椭圆13 22 2=++y m x 的焦点在x 轴上，且离心率e=2 1，则m 的值为（）（A ） 2 （B ）2 （C ）－2 （D ）± 2 7、过原点的直线l 与双曲线42x －32 y =－1有两个交点，则直线l 的斜率的取值范围是 A.(－23，23) B.(－∞,－23)∪(23 ,+∞) C.［－23,23］ D.(－∞,－23］∪［23 ,+∞) 8、如图，在正方体ABCD －A1B1C1D1中，P 是侧面BB1C1C 内一动点，若P 到直线BC

人教版高中数学选修21第二章圆锥曲线与方程2.4抛物线(教师版)【个性化辅导含答案】范文文稿

抛物线 __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ 1. 了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用； 2. 掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质. 1．抛物线的定义 (1)平面内与一个定点F 和一条定直线l (F ?l )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线． (2)其数学表达式：|MF |＝d (其中d 为点M 到准线的距离)． 2．抛物线的标准方程与几何性质图形标准方程 y 2＝2px (p >0) y 2＝－2px (p >0) x 2＝2py (p >0) x 2 ＝－2py (p >0) p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离性质顶点 O (0，0) 对称轴 y ＝0 x ＝0 焦点 F ? ????p 2，0 F ? ????－p 2，0 F ? ?? ??0，p 2 F ? ?? ??0，－p 2 离心率 e ＝1 准线方程 x ＝－p 2 x ＝p 2 y ＝－p 2 y ＝p 2 范围 x ≥0，y ∈R x ≤0，y ∈R y ≥0，x ∈R y ≤0，x ∈R 开口方向向右向左向上向下例1：过点(0，－2)的直线与抛物线y 2 ＝8x 交于A 、B 两点，若线段AB 中点的横坐标为2，则|AB|等于( ) A ．217 B .17 C ．215 D .15 【解析】设直线方程为y ＝kx －2，A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)．由? ???? y ＝kx －2，y 2 ＝8x ，得k 2x 2 －4(k ＋2)x ＋4＝0. ∵直线与抛物线交于A 、B 两点， ∴Δ＝16(k ＋2)2 －16k 2 >0，即k>－1. 又x 1＋x 22 ＝ 2k ＋2 k 2 ＝2，∴k ＝2或k ＝－1(舍去)．

2018年人教版数学选修1-1考点归纳：圆锥曲线

圆锥曲线高考热点题型归纳圆锥曲线的考题一般以两个选择、一个填空、一个解答题，客观题的难度为中等，解答题目相对较难，同时平面向量的介入，增加了本专题高考命题的广度与深度，成为近几年高考命题的一大亮点，备受命题者的青睐，本专题还经常结合函数、方程、不等式、数列、三角等知识进行综合考查。下面对圆锥曲线在高考中出现的热点题型作简单的探究：一、圆锥曲线的定义与标准方程：例1、设分别是双曲线的左、右焦点．若点在双曲线上，且，则（） A B ． C D ．解析．设分别是双曲线的左、右焦点．若点在双曲线上，且，则=，选B 。点评：圆锥曲线的定义反映了它们的图形特点，是画图、解题的依据和基础，在实际问题中正确的使用定义可以使问题的解决更加灵活。同时平面向量与圆锥曲线的有机结合也是考查的重点和难点，是高考常常考查的重要内容之一。变式练习：已知是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上一个动点，则的最大值为（）（A ） 1 （B ） 2 （C ） 3 （D ） 4 解析：本题主要考查了椭圆的定义，根据条件， 12F F ，2 2 19 y x +=P 120PF PF =12PF PF +=12F F ，2 2 19 y x +=P 120PF PF =12PF PF +=2||PO 12||F F =12,F F 2 214 x y +=12PF PF ?124PF PF +=

所以，所以的最大值为4 故答案选 D 二、圆锥曲线的几何性质：例2、设F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点。若双曲线上存在点 A ，使∠F 1AF 2=90o，且|AF 1|=3|AF 2|，则双曲线离心率为 (B) (C) (D) 解析．设F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点。若双曲线上存在点 A ，使∠F 1AF 2=90o，且|AF 1|=3|AF 2|，设|AF 2|=1，|AF 1|=3，双曲线中，离心率，选B 。点评：本题主要考查圆锥曲线的离心率的求解问题，这类问题的一般解法是将题目提供的曲线的几何关系转化为关于曲线基本量的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围，这是求离心率的的值或范围问题的常用解法。变式练习： 1、若双曲线的右支上到原点和右焦点距离相等有两个，则双曲线的离心率的取值范围是（） A 、 B 、 C 、 D 、解析：由于到原点O 和右焦点F 的距离相等的点在线段OF 的垂直平分线上，其方程为，依题意，在双曲线的右支上到原点和右 2 121242PF PF PF PF ?+? ?≤= ??? 12PF PF ?22 221x y a b -=22 221x y a b -=122||||2a AF AF =-=2c ==e = ,,a b c ()22 2210,0x y a b a b -=>>e >1e <<2e >12e <<2c x =()22 2210,0x y a b a b -=>>

人教A版高中数学选修一圆锥曲线专题训练一

圆锥曲线专题训练一 1．以12 42 2y x -＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为(D ) A ．121622y x +＝1 B ．161222y x +＝1 C ．41622y x +＝1 D ．16 42 2y x + ＝1 2．θ是任意实数，则方程x 2＋y 2sin θ＝4的曲线不可能是( C ) A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线 D ．圆 3．已知是双曲线13 2 2=-y m x 的离心率2=e ,则该双曲线两条准线间的距离为（C ） A ． 2 B ． 23 C ．1 D ．21 4．方程x 2－4x ＋1=0的两个根可分别作为（ A ） A ．一椭圆和一双曲线的离心率 B ．两抛物线的离心率 C ．一椭圆和一抛物线的离心率 D ．两椭圆的离心率 5．曲线221259x y +=与曲线22 1(9)259x y k k k +=<--的（ B ） A ．长、短轴相等 B ．焦距相等 C ．离心率相等 D ．准线相同 6．抛物线x 2 =－3 2y 的焦点的纵坐标与它的通径的比是（ D ） A ．4 B ．－4 C ．41 D ．－4 1 7．椭圆中心在原点,F 是左焦点,直线1AB 与BF 交于D,且 901=∠BDB ,则椭圆的离心率为 ( B ) A ．213- B ．215- C ．2 15- D ．23 8．双曲线虚轴的一个端点为M ，两个焦点为1.F 、2F ， 12120F MF ∠=?，则双曲线的离心率为（ B ）A ．3 B ． 62 C ．63 D ．33 9．过点P(－2, －4)的抛物线的标准方程为 x y y x 8,22-=-= 10．双曲线两条渐进线方程为034=±y x ,一条准线方程为5 9=x ,则双曲线方程为 11692 2=-y x

高中数学选修圆锥曲线复习

1 / 8 选修2-1圆锥曲线与方程（复习）编者：史亚军 1. 掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义及标准方程；椭圆、双曲线、抛物线的几何性质； 2. 能解决直线与圆锥曲线的一些问题； 3.激情投入，积极思考，勇于发言，培养科学的态度和正确的价值观。学习重点：椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程及几何性质学习难点：椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程及几何性质使用说明：（1）快速阅读教材第二章和所学导学案；（2）用严谨认真的态度完成导学案中要求的内容，用红色笔画出疑惑之处，并尝试完成下列问题，总结规律方法；（3）不做标记的为C 级，标记★为B 级，标记★★为A 级。预习案（20分钟）一．知识再现问题1：回忆椭圆、双曲线、抛物线的第一定义及标准方程？（1）椭圆的定义：椭圆的标准方程：（2）双曲线的定义：双曲线的标准方程：（3）抛物线的定义：抛物线的标准方程：组长评价：教师评价：

问题2：根据下面的标准方程，作出相应椭圆、双曲线、抛物线的图形，并说明图像具有的几何性质？（1）2212516x y += （2）22 12516 x y -= （3）28y x = 问题3：回忆椭圆、双曲线、抛物线的第二定义？一动点M 到定点F 的距离和它到一条定直线l 的距离的比是一个常数e ，如果常数e ∈ ，那么这个点的轨迹是椭圆；如果常数e ∈ ，那么这个点的轨迹是双曲线；如果常数e = ，那么这个点的轨迹是抛物线；其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数e 就是离心率。请用第二定义推导焦半径公式：（12,F F 分别为左右焦点）（1）点P 是椭圆上一动点：1PF = ；2PF = ；（2）点P 是双曲线左支上一动点：1PF = ；2PF = ；（3）点P 是抛物线上一动点：1PF = ；2PF = ；

2018年北师大版高中数学选修2-1第二章《空间向量与立体几何》教案

北师大版高中数学选修2-1第二章《空间向量与立体几何》第一课时平面向量知识复习一、教学目标：复习平面向量的基础知识，为学习空间向量作准备二、教学重点：平面向量的基础知识。教学难点：运用向量知识解决具体问题三、教学方法：探究归纳，讲练结合四、教学过程（一）、基本概念向量、向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量、相反向量、向量的加法、向量的减法、实数与向量的积、向量的坐标表示、向量的夹角、向量的数量积。（二）、基本运算 1、向量的运算及其性质

2、平面向量基本定理：如果21,e e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数21,λλ，使a = ；注意)(2 1 OB OA OP += ,OA OA OP )1(λλ-+=的几何意义 3、两个向量平行的充要条件： ⑴ //a b 的充要条件是：；（向量表示） ⑵ 若),(),,(2211y x b y x a == ，则//a b 的充要条件是：；（坐标表示） 4、两个非零向量垂直的充要条件： ⑴ a b ⊥ 的充要条件是：；（向量表示） ⑵ 若),(),,(2211y x b y x a == ，则a b ⊥ 的充要条件是：；（坐标表示）（三）、课堂练习 1．O 为平面上的定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三点，若( -)·(+－2)=0，则?ABC 是（） A ．以A B 为底边的等腰三角形B ．以B C 为底边的等腰三角形 C ．以AB 为斜边的直角三角形 D ．以BC 为斜边的直角三角形 2．P 是△ABC 所在平面上一点，若?=?=?，则P 是△ABC 的（） A ．外心B ．内心 C ．重心D ．垂心 3．在四边形ABCD 中，?→ ?AB ＝?→?DC ，且?→?AC ·?→ ?BD ＝0，则四边形ABCD 是（） A ．矩形 B ．菱形 C ．直角梯形 D ．等腰梯形 4．已知||p = ||3q = ，p 、q 的夹角为45?，则以52a p q =+ ，3b p q =- 为邻边的平行四边形的一条对角线长为（）

陕西省高中数学人教版选修2-1(理科)第二章圆锥曲线与方程2.2.2椭圆的简单几何性质

陕西省高中数学人教版选修2-1（理科）第二章圆锥曲线与方程 2.2.2 椭圆的简单几何性质姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 一、选择题 (共8题；共16分) 1. （2分） (2017高二上·南阳月考) 已知为坐标原点，是椭圆的左焦点，分别为的左，右顶点．为上一点，且轴．过点的直线与线段交于点，与轴交于点．若直线经过的中点，则的离心率为（） A . B . C . D . 2. （2分） (2015高二上·天水期末) 已知椭圆E的中心为坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：y2=﹣4x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|=（） A . 3 B . 6 C . 9 D . 12 3. （2分）椭圆的焦距是（） A . B .

C . 2 D . 4. （2分）椭圆与圆（为椭圆半焦距）有四个不同交点，则离心率的取值范围是（） A . B . C . D . 5. （2分） (2016高二上·黄陵开学考) 曲线 =1与曲线 =1（k＜9）的（） A . 长轴长相等 B . 短轴长相等 C . 离心率相等 D . 焦距相等 6. （2分） (2019高二下·雅安期末) 直线被椭圆截得的弦长是（） A . B . C . D . 7. （2分）椭圆的两个焦点为,，过作垂直于X轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则=

A . B . C . D . 4 8. （2分）(2019·邢台模拟) 已知椭圆，设过点的直线与椭圆交于不同的，两点，且为钝角（其中为坐标原点），则直线斜率的取值范围是（） A . B . C . D . 二、填空题 (共3题；共4分) 9. （1分） (2017高二上·阜宁月考) 已知焦点在y轴上的椭圆的长轴长为8，则m=________. 10. （1分） (2020高二上·吉林期末) 已知P为椭圆上一点,F1、F2是椭圆的两个焦点, ,则△F1PF2的面积是________. 11. （2分） (2019高二上·诸暨月考) 已知椭圆中心在原点，一个焦点为，且长轴长是短轴长的2倍.则该椭圆的长轴长为________；其标准方程是________．三、解答题 (共3题；共25分)

北师大版高二数学选修圆锥曲线方程测试题及答案

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高二数学选修1-1圆锥曲线方程检测题斗鸡中学强彩红一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1、设定点 () 10,3F -， () 20,3F ，动点 () ,P x y 满足条件 a PF PF =+21(a ＞)0，则动点 P 的轨迹是（）. A. 椭圆 B. 线段 C. 不存在 D.椭圆或线段或不存在 2、抛物线 2 1y x m = 的焦点坐标为（） . A ．??? ??0,41m B ． 10,4m ?? ??? C ． ,04m ?? ??? D ．0,4m ?? ? ?? 3、双曲线 221mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍，则m 的值为（）. A ．14- B ．4- C ．4 D ．1 4 4、设双曲线的焦点在x 轴上，两条渐近线为y=±x 21 ，则该双曲线的离心率e 为（）（A ）5 （B ）5 （C ） 25 （D ）4 5 5、线段∣AB ∣=4，∣PA ∣+∣PB ∣=6，M 是AB 的中点，当P 点在同一平面内运动时，PM 的长度的最小值是（）（A ）2 （B ）2 （C ） 5 （D ）5 6、若椭圆13 22 2=++y m x 的焦点在x 轴上，且离心率e=2 1，则m 的值为（）（A ） 2 （B ）2 （C ）－2 （D ）± 2

7、过原点的直线l 与双曲线42x －32 y =－1有两个交点，则直线l 的斜率的取值范围是 A.(－23，23) B.(－∞,－23)∪(23 ,+∞) C.［－23,23］ D.(－∞,－23］∪［23 ,+∞) 8、如图，在正方体ABCD －A1B1C1D1中，P 是侧面BB1C1C 内一动点，若P 到直线BC 与直线C1D1的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是（）. A.直线 B. 抛物线 C.双曲线 D. 圆 9、已知椭圆x 2sin α－y 2cos α=1（0＜α＜2π）的焦点在x 轴上，则α的取值范围是（）（A ）（4 3π，π）（B ）（4 π，4 3π ）（C ）（2 π，π）（D ）（2 π，4 3π ） 10、 F 1、F 2是双曲线116 9 2 2 =- y x 的两个焦点，点P 在双曲线上且满足∣P F 1∣·∣P F 2∣=32，则∠F 1PF 2是（）（A ）钝角（B ）直角（C ）锐角（D ）以上都有可能 11、与椭圆125 16 2 2 =+ y x 共焦点，且过点（－2，10）的双曲线方程为（）（A ） 14522=-x y （B ）14522=-y x （C ）13522=-x y （D ）13 52 2=-y x 12．若点到点的距离比它到直线的距离小1，则点的轨迹方程是（） A ． ?????? B ． C ． ??????? D ．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 13、已知双曲线的渐近线方程为y=±34x ，则此双曲线的离心率为________. B D A 1 B 1 C 1 1 P

高中数学选修圆锥曲线基本知识点与典型题举例

高中数学选修圆锥曲线基本知识点与典型题举例一、椭圆 1.椭圆的定义：第一定义：平面内到点的轨迹叫做椭圆,这两个定点叫做椭圆的 ,两焦点的距离叫做第二定义: 平面内到的距离之比是常数的点的轨迹是椭圆,定点叫做椭圆的焦点,定直线l 叫做椭圆的 ,常数e 叫做椭圆的离心率. 2.椭圆的标准方程及其几何性质(如下表所示) 标准方程图形顶点对称轴焦点焦距离心率例1. F 1，F 2是定点，且|F 1F 2|=6，动点M 满足|MF 1|+|MF 2|=6，则M 点的轨迹方程是( ) (A)椭圆 (B)直线 (C)圆 (D)线段例2. 已知ABC ?的周长是16，)0,3(-A ，B )0,3(, 则动点的轨迹方程是( ) (A) 1162522=+y x (B))0(1162522≠=+y y x (C)1251622=+y x (D))0(125 162 2≠=+y y x

例3. 若F (c ，0)是椭圆22 221x y a b +=的右焦点，F 与椭圆上点的距离的最大值为M ，最小值为m ，则椭圆上与F 点的距离等于 2 M m +的点的坐标是( ) (A)(c ，2b a ±) 2 ()(,)b B c a -± (C)(0，±b ) (D)不存在例4 设F 1(-c ，0)、F 2(c ，0)是椭圆22x a +2 2y b =1(a >b >0)的两个焦点，P 是以F 1F 2为直径的圆与椭圆的一个交点,若∠PF 1F 2=5 ∠PF 2F 1,则椭圆的离心率为( ) (A)32 (B)63 (C)22 (D)23 例5. P 点在椭圆 120 452 2=+y x 上，F 1、F 2是两个焦点，若21PF PF ⊥，则P 点的坐标是 . 例6. 写出满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)长轴与短轴的和为18，焦距为6; . (2)焦点坐标为)0,3(-,)0,3(,并且经过点(2，1); . (3)椭圆的两个顶点坐标分别为)0,3(-,)0,3(,且短轴是长轴的3 1 ; ____. (4)离心率为2 3 ，经过点(2，0); 二、双曲线 1.双曲线的定义：第一定义：平面内到等于定值的点的轨迹叫做双曲线,这两个定点叫做双曲线的 ,两焦点的距离叫做双曲线的第二定义: 平面内到距离之比是常数的点的轨迹是双曲线,定点叫做双曲线的焦点,定直线l 叫做双曲线的 ,常数e 叫做双曲线的离心率标准方程

苏教版高中数学选修1-1圆锥曲线

圆锥曲线一、考纲要求 1.掌握直角坐标系中的曲线与方程的关系和轨迹的概念，能够根据所给条件，选择适当的直角坐标系求曲线的方程，并画出方程所表示的曲线. 2.掌握圆锥曲线的标准方程及其几何性质，并根据并给的条件画圆锥曲线，了解圆锥曲线的一些实际应用. 3.理解坐标变换的意义，掌握利用坐标轴平移化简圆锥曲线方程的方法. 4.了解用坐标法研究几何问题的思想，初步掌握利用方程研究曲线性质的方法. 二、知识结构 1.方程的曲线在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系： (1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解； (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线. 点与曲线的关系若曲线C的方程是f(x,y)=0，则点P 0(x ,y )在曲线C上f(x ,y )=0；点P 0(x ,y )不在曲线C上f(x ,y )≠0 两条曲线的交点若曲线C 1，C 2 的方程分别为f 1 (x,y)=0,f 2 (x,y)=0,则点P 0(x ,y )是C 1 ，C 2 的交点方程组有n个不同的实数解，两条曲线就有n个不同的交点；方程组没有实数解，曲线就没有交点. 2.圆圆的定义点集：｛M｜｜OM｜=r｝，其中定点O为圆心，定长r为半径. 圆的方程 (1)标准方程圆心在c(a,b)，半径为r的圆方程是 (x-a)2+(y-b)2=r2 圆心在坐标原点，半径为r的圆方程是 x2+y2=r2 (2)一般方程当D2+E2-4F＞0时，一元二次方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 叫做圆的一般方程，圆心为(-,-，半径是.配方，将方程x2+y2+Dx+Ey+F=0化为 (x+)2+(y+)2= 当D2+E2-4F=0时，方程表示一个点 (-,-); 当D2+E2-4F＜0时，方程不表示任何图形. 点与圆的位置关系已知圆心C(a,b),半径为r,点M的坐标为(x 0,y )，则｜MC｜＜r点M在圆C内，｜MC｜=r点M在圆C上，｜MC｜＞r点M在圆C内，其中｜MC｜=. (3)直线和圆的位置关系 ①直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系