高中数学立体几何习题(含答案与解析)

立体几何试卷五

一、选择题

1、线段AB 在平面α内，则直线AB 与平面α的位置关系是

A 、A

B α? B 、AB α?

C 、由线段AB 的长短而定

D 、以上都不对 2、下列说法正确的是

A 、三点确定一个平面

B 、四边形一定是平面图形

C 、梯形一定是平面图形

D 、平面α和平面β有不同在一条直线上的三个交点 3、垂直于同一条直线的两条直线一定

A 、平行

B 、相交

C 、异面

D 、以上都有可能 4、在正方体1111ABCD A B C D -中，下列几种说法正确的是

A 、11AC AD ⊥

B 、11D

C AB ⊥ C 、1AC 与DC 成45o 角

D 、11AC 与1B C 成60o

角

5、若直线l P 平面α，直线a α?，则l 与a 的位置关系是

A 、l a P

B 、l 与a 异面

C 、l 与a 相交

D 、l 与a 没有公共点

6、下列命题中：（1）、平行于同一直线的两个平面平行；（2）、平行于同一平面的两个平面平行；（3）、垂直于同一直线的两直线平行；（4）、垂直于同一平面的两直线平行.其中正确的个数有 A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 二、填空题

1、等体积的球和正方体,它们的表面积的大小关系是S 球_____S 正方体

(填”大于、小于或等于”).

2、正方体1111ABCD A B C D -中，平面11AB D 和平面1BC D 的位置关系为

3、已知PA 垂直平行四边形ABCD 所在平面，若PC BD ⊥，平行则四边形ABCD 一定是 .

4、如图，在直四棱柱A 1B 1C 1 D 1－ABCD 中，当底面四边形ABCD 满足条件_________时，有A 1 B ⊥B 1 D 1． 5．正三棱锥P －ABC 中，三条侧棱两两垂直，且侧棱长为a ，则P 点到面ABC 的距离是

6．三个平面两两垂直，它们的三条交线交于一点O ，P 到三个面的距离分别是6，8，10，则OP 的长为 。

（理科）已长方体的全面积是8，则其对角线长的最小值是 认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形.) 三、解答题

1、已知圆台的上下底面半径分别是

2、5,且侧面面积等于两底面面积之和,求该圆台的母线长.

(10分) 2、已知E 、F 、G 、H 为空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 上的点，且ＥＨ∥ＦＧ．

求证：EH ∥BD . (12分)

3、已知ABC ?中90ACB ∠=o

，SA ⊥面ABC ，AD SC ⊥，求证：AD ⊥面SBC ．(12分)

4、一块边长为10cm 的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下,

H G F

E D

B A C

S

D C

B A

四棱锥形容器,试建立容器的容积V 与x 的函数关系式,并求出函数的定义域. (12分)

5、已知正方体1111ABCD A B C D -，O 是底ABCD 对角线的交点. 求证：（１）1C O P 面11AB D ；

（2 ）1

AC ⊥面11AB D ． (14分)

6、已知△BCD 中，∠BCD =90°，BC =CD =1，AB ⊥平面BCD ，

∠ADB =60°，E 、F 分别是AC 、AD 上的动点，且

(01).AE AF

AC AD λλ==<< （Ⅰ）求证：不论λ为何值，总有平面BEF ⊥平面ABC ；

（Ⅱ）当λ为何值时，平面BEF ⊥平面ACD ？ (14分)

7、如图3所示，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形冰淇淋，如果冰淇淋融化了，会溢出杯子吗？

8、矩形ABCD 中，1,(0)AB BC a a ==>，PA ⊥平面AC ，BC 边上存在点Q ，使得PQ QD ⊥，求a 的取值范围．

参考答案

选择ACDDDB

填空1、小于2、平行3、菱形4、1111AC B D 对角线与互相垂直5、设P 点到面ABC 的距离为h ，由体积公式可

得：

()

326

1

231a h a =?，故a h 332=。 6、如图，构造长方体，其中侧面AO ，BO ，A 1O 所在的平面即为已知的三个两两垂直的平面，则长方体的长、宽、高分别为6，8，10，而OP 的

长即为长方体的体对角线的长，所以OP 2

=36+64+100=200． 故210=OP 。设长方体的长、宽、高分别

为c

b a ,,，

则4=++ca bc ab ，对角线

2

2

2

c

b a l ++=22

2222

222222=++≥

++=ca

bc ab c b a

三、解答题

1、解:设圆台的母线长为l ,则圆台的上底面面积为224S ππ=?=上圆台的上底面面积为2

525S ππ=?=下所以圆台

x

10

5D 1

O

D

B

A

C 1

B 1

A 1

C F E

D B A

C

Ａ

Ｂ

Ｃ Ａ1

Ｂ1

O

Ｐ

第14题图

cm 4 cm 12

图3

的底面面积为29S S S π=+=下上又圆台的侧面积(25)7S l l ππ=+=侧于是7πl=29π即29

7

l =

为所求.2、证明：,EH FG EH ?Q P 面BCD ，FG ?面BCD EH ∴P 面BCD 又EH ?Q 面BCD ，面BCD I

面

ABD BD =EH BD ∴P 3、证明：90ACB ∠=o Q BC AC ∴⊥又SA ⊥面ABC SA BC ∴⊥BC ∴⊥面SAC BC AD ∴⊥又,SC AD SC BC C ⊥=I AD ∴⊥面SBC 4、解:如图,设所截等腰三角形的底边边长为xcm .

在

Rt EOF

V 中,

15,2

EF cm OF xcm ==

,所

以

EO =,于

是

13V x =

依题意函数的定义域为{|010}x x << 5、证明：（1）连结11A C ，设11111AC B D O =I 连结1AO ，

Q 1111ABCD A B C D -是正方体11A ACC ∴是平行四边形11A C AC ∴P 且 11A C AC =又1,O O 分别是11,A C AC 的中点，11O C AO ∴P 且

11O C AO =11AOC O ∴是平行四边形111,C O AO AO ∴?P 面11AB D ，1C O ?面11AB D ∴1C O P 面11AB D

（

2

）

1CC ⊥

Q 面1111A B C D 11!

CC B D ∴⊥又

1111

A C

B D ⊥Q 1111B D A

C C ∴⊥面

111AC B D ⊥即同

理

可

证

11A C AB ⊥又

1111D B AB B =I ∴

1A C ⊥面

11AB D

6、证明：（Ⅰ）∵AB ⊥平面BCD ， ∴AB ⊥CD ，∵CD ⊥BC 且AB ∩BC=B ， ∴CD ⊥平面ABC. 又),

10(<<==λλAD

AF AC AE Θ∴不论λ为何值，恒有EF ∥CD ，∴EF ⊥平面ABC ，EF ?平面BEF,∴不论λ为何值恒有平面BEF ⊥平面ABC. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，BE ⊥EF ，又平面BEF ⊥平面ACD ，∴BE ⊥平面ACD ，∴BE ⊥AC. ∵

BC=CD=1

，

∠

BCD=90

°

，

∠

ADB=60

°

，

∴

,660tan 2,2===οAB BD

,722=+=∴BC AB AC 由AB 2=AE ·AC 得,7

6,7

6==∴=AC

AE AE λ故当7

6

=λ时，平面BEF ⊥平面ACD.

7．解：3128434213ππ=

??=

半球V ；πππ641243

1

313122=??==?=h r Sh V 锥。因为锥半球V V <，故冰淇淋融化了，不会溢出杯子。

8．如图，连结AQ ，∵PQ ⊥QD ，P A ⊥QD ，PQ ∩P A =P ，∴QD ⊥平面PQA ，于是QD ⊥AQ ，∴在线段BC 上存在一点Q ，

使得QD ⊥AQ ，等价于以AD 为直径的圆与线段BC 有交点，∴12

≥a

,a ≥2.

P

A

B

C

D

Q

第18题图

P

A

B

C

D E

F O 第19题图