高中数学空间向量与立体几何经典题型与答案
空间向量与立体几何经典题型与答案
1 已知四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形，//AB DC ,⊥=∠PA DAB ,90
底面ABCD ,且
1
2
PA AD DC ===
，1AB =,M 是PB 的中点 (Ⅰ）证明：面PAD ⊥面PCD ; （Ⅱ）求AC 与PB 所成的角;
（Ⅲ)求面AMC 与面BMC 所成二面角的大小
证明:以A 为坐标原点AD 长为单位长度，如图建立空间直角坐标系,则各点坐标为
1
(0,0,0),(0,2,0),(1,1,0),(1,0,0),(0,0,1),(0,1,)2
A B C D P M
(Ⅰ）证明：因.,0),0,1,0(),1,0,0(DC AP DC AP DC AP ⊥=?==所以故
由题设知AD DC ⊥,且AP 与AD 是平面PAD 内的两条相交直线,由此得DC ⊥面PAD 又DC 在面
PCD 上,故面PAD ⊥面PCD
（Ⅱ）解:因),1,2,0(),0,1,1(-==PB AC
.
510
|
|||,cos ,2,5||,2||=??>=<=?==PB AC PB
AC PB AC PB AC PB AC 所以故
（Ⅲ)解:在MC 上取一点(,,)N x y z ，则存在,R ∈λ使,MC NC λ=
..2
1
,1,1),21,0,1(),,1,1(λλ==-=∴-=---=z y x MC z y x NC
要使14
,00,.25
AN MC AN MC x z λ⊥=-==只需即解得
),5
2
,1,51(),52,1,51(,.
0),5
2
,1,51(,54=?-===?=MC BN BN AN MC AN N 有此时能使点坐标为时可知当λ
ANB MC BN MC AN MC BN MC AN ∠⊥⊥=?=?所以得由.,0,0为
所求二面角的平面角
30304||,||,.555
2
cos(,).3||||2
arccos().
3AN BN AN BN AN BN AN BN AN BN =
==-∴==-?-故所求的二面角为
2 如图，在四棱锥V ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧面VAD 是正三角形,
平面VAD ⊥底面ABCD
（Ⅰ)证明:AB ⊥平面VAD ；
(Ⅱ）求面VAD 与面DB 所成的二面角的大小
证明:以D 为坐标原点，建立如图所示的坐标图系
（Ⅰ)证明:不防设作(1,0,0)A ，
则(1,1,0)B ， )2
3
,
0,21(V , )2
3
,0,21(),0,1,0(-==VA AB
由,0=?VA AB 得AB VA ⊥，又AB AD ⊥,因而AB 与平面VAD 内两条相交直线VA ,AD 都垂直
∴AB ⊥平面VAD
(Ⅱ）解:设E 为DV 中点，则)4
3,
0,41(E ， ).2
3,0,21(),43,1,43(),43,0,43(=-=-=DV EB EA
由.,,0DV EA DV EB DV EB ⊥⊥=?又得 因此，AEB ∠是所求二面角的平面角,
,7
21
|
|||),cos(=
??=
EB EA EB EA EB EA 解得所求二面角的大小为.721arccos
3 如图，在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为矩形，侧棱PA ⊥底
V
面ABCD ，3AB =，1BC =,2PA =, E 为PD 的中点
（Ⅰ)求直线AC 与PB 所成角的余弦值;
(Ⅱ）在侧面PAB 内找一点N ,使NE ⊥面PAC ，
并求出点N 到AB 和AP 的距离
解:(Ⅰ)建立如图所示的空间直角坐标系，
则,,,,,A B C D P E 的坐标为(0,0,0)A 、
(3,0,0)B 、(3,1,0)C 、(0,1,0)D 、
(0,0,2)P 、1
(0,,1)2
E ,
从而).2,0,3(),0,1,3(-==PB AC 设PB AC 与的夹角为θ，则
,147
37
23|
|||cos =
=
??=
PB AC PB AC θ ∴AC 与PB 所成角的余弦值为
14
7
3 (Ⅱ)由于N 点在侧面PAB 内，故可设N 点坐标为(,0,)x z ，则
)1,2
1
,(z x NE --=,由NE ⊥面PAC 可得,
?????=+-=-???
????=?--=?--?????=?=?.021
3,01.0)0,1,3()1,21,(,0)2,0,0()1,21,(.
0,0x z z x z x AC NE AP NE 化简得即 ∴?????==163z x 即N 点的坐标为)1,0,63(，从而N 点到AB 和AP 的距离分别为3
1,6
4 如图所示的多面体是由底面为ABCD 的长方体被截面1AEC F 所
截面而得到的，其中14,2,3,1AB BC CC BE ====
(Ⅰ）求BF 的长； （Ⅱ）求点C 到平面1AEC F 的距离
解:（Ｉ）建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0)D ,(2,4,0)B
1(2,0,0),(0,4,0),(2,4,1),(0,4,3)A C E C 设(0,0,)F z
∵1AEC F 为平行四边形，
.
62,62||).
2,4,2().2,0,0(.2),2,0,2(),0,2(,,
11的长为即于是得由为平行四边形由BF BF EF F z z EC AF F AEC =--=∴∴=∴-=-=∴∴
(ＩI)设1n 为平面1AEC F 的法向量，
)1,,(,11y x n ADF n =故可设不垂直于平面显然 ?
?
?=+?+?-=+?+??????=?=?02020
140,0,011y x y x AF n AE n 得由 ??
???-==∴???=+-=+.
41,
1,022,014y x x y 即 111),3,0,0(n CC CC 与设又=的夹角为α,则 .33
33
4116
1
133|
|||cos 1111=++
?=
??=
n CC n CC α ∴C 到平面1AEC F 的距离为
.11
33
4333343cos ||1=?
==αCC d
５ 如图,在长方体1111ABCD A B C D -,中,11,2AD AA AB ===,点E 在棱AD 上移动 （１)证
明:11D E A D ⊥;
（2）当E 为AB 的中点时,求点E 到面1ACD 的距离； (3)AE 等于何值时,二面角1D EC D --的大小为
4
π 解：以D 为坐标原点,直线1,,DA DC DD 分别为,,x y z 轴,建立空间直角坐标系,设AE x =,则
11(1,0,1),(0,0,1),(1,,0),(1,0,0),(0,2,0)A D E x A C
(1）.,0)1,,1(),1,0,1(,1111E D DA x E D DA ⊥=-=所以因为
(2）因为E 为AB 的中点,则(1,1,0)E ，从而)0,2,1(),1,1,1(1-=-=AC E D ，
)1,0,1(1-=AD ，设平面1ACD 的法向量为),,(c b a n =,则????
?=?=?,
0,
01AD n AC n 也即??
?=+-=+-002c a b a ,得?
??==c a b
a 2，从而)2,1,2(=n ，所以点E 到平面1ACD 的距离为
.3
1
3212|
|||1=-+=
?=
n n E D h （３)设平面1D EC 的法向量),,(c b a n =,∴),1,0,0(),1,2,0(),0,2,1(11=-=-=DD C D x CE
由??
?=-+=-??????=?=?.0)2(0
2,
0,01x b a c b CE n C D n 令1,2,2b c a x =∴==-， ∴).2,1,2(x n -= 依题意.2
25
)2(22
2
|
|||||4
cos
211=
+-?=
??=
x DD n DD n π
∴321+=x (不合,舍去）,322-=x
∴23AE =-时，二面角1D EC D --的大小为4
π
6 如图,在三棱柱111ABC A B C -中，AB ⊥侧面11BB C C ,E 为棱1CC 上异于1,C C 的一点,1EA EB ⊥，已知
112,2,1,3
AB BB BC BCC π
===∠=
,求:
（Ⅰ）异面直线AB 与1EB 的距离;
（Ⅱ）二面角11A EB A --的平面角的正切值
解:（I)以B 为原点,1BB 、BA 分别为,y z 轴建立空间直角坐标系
?由于，112,2,1,3
AB BB BC BCC π
=
==∠=
?在三棱柱111ABC A B C -中有
1(0,0,0),(0,0,2),(0,2,0)B A B ,)0,2
3,23(),0,21,23(
1C C -
设即得由,0,),0,,2
3
(
11=?⊥EB EA EB EA a E
)0,2,2
3()2,,23(0a a --?--
= ,4
32)2(432+-=-+=
a a a a .
,04
3
43)02323()0,21,23()
0,21,23(),(2321,0)23)(21(11EB BE EB BE E a a a a ⊥=+-=??-?=?===--即故舍去或即得
又AB ⊥侧面11BB C C ，故AB BE ⊥ 因此BE 是异面直线1,AB EB 的公垂线，
则14
1
43||=+=
BE ，故异面直线1,AB EB 的距离为1 （I Ｉ）由已知有,,1111EB A B EB EA ⊥⊥故二面角11A EB A --的平面角θ的大小为向量EA A B 与11的夹角
.2
2
tan ,
3
2||||cos ),2,2
1
,23(),2,0,0(111111=
=
?=--===θθ即故因A B EA A B EA EA BA A B
７ 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形,PD ⊥底面ABCD ，E 是AB 上
一点，PF EC ⊥ 已知,2
1,2,2=
==
AE CD PD 求（Ⅰ）异面直线PD 与EC 的距离； （Ⅱ)二面角E PC D --的大小
解:(Ⅰ）以D 为原点,DA 、DC 、DP 分别为
,,x y z 轴建立空间直角坐标系
由已知可得(0,0,0),(0,0,2),(0,2,0)D P C
则(2EF =-
由0EF PC ?=得又由F 在PC 上得,(2222
EF =-因,,EF PC DG PC ⊥⊥故E -的大小为向量EF DG 与的夹角22
||||DG EF DG EF ?=4