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第五讲乘法公式及运用（肖老师工作室135********）

一、知识导引

1、完全平方公式：

（1）、两数和的平方等于它们的平方和加上它们积的2 倍。用公式表示：（2）、两数差的平方等于它们的平方和减去它们积的2 倍。用公式表示：(a b) 2 a2 2ab b2 (a b) 2 a2 2ab b2

（ 3）、两数和（或差）的平方等于它们的平方和加（或减）它们积的 2 倍。公式：(a b) 2a22ab b2 （ 4）、记忆口诀：首平方，尾平方，积的 2 倍放中央；同号加，异号减，符号添在异号前。

（ 5）、公式中的字母可以表示具体的数，也可以表示，等。

2、完全平方公式的变形

（ 1）、变符号；（2）、变项数；（3）、变结构。

3、完全平方公式的转换。

b)2 b)2

转换过程如右图。(a (a 4ab

( a b) 2 (a b) 4ab

(a

2

( a b)

2

b) 4ab

4、平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差。公式表示：( a b)(a b) a2 b2

5、平方差公式的变形

（ 1）、位置变化；（2）、符号变化；（3）、系数变化、（4）、指数变化

6、

二、例题精析

例 1、利用完全平方公式计算

（ 1）(4 a)2 （2）(2 3x) 2 （ 3）(2ab 5a)2 （4）( 1 am 2b) 2

2

针对训练、用完全平方公式计算（1）(3a 1)2 （2）(

1

x 3y)2 （3）(b 4a)2 （4）(a2 2b) 2 3

例 2、用完全平方公式计算

（ 1）( 4a 3b)2 （2）( a b)2 （3）(2a 3b c)2 （ 4）( x y)(2x 2 y)

针对训练、（1）(2x 3y) 2（2）(74a 3c)2（3）( a b)( a b)（4）( a b)(b a) 例 3、简便计算（1）、9992（2）、10012针对训练、2092

例 4、已知实数满足(a b)214 ，ab 3 ，求a2b2和 ( a b) 2的值。

针对训练、已知 3ab 5 ，a2 b 224 ，求 (a b) 2和 (a b)2的值。

例 5、利用平方差公式计算

（ 1）( a2b)( a 2b)；（2）(3a5x)( 5x 3a)；

（ 3）

( 2m 4 y)( 2m 4 y) ；（ 4）(0.2x y)( y

1

x) ；

5

（ 5）( a2 b2 )(a2 b2 ) 。

针对训练、（1）(3x 2 y)( 2 y 3x) ；

（2）(0.5a 2b c)(2b 1

a c) 。

2

例 6、认真计算（1）103 97 （2）、(5 6x)(5 6x) （ 3）(3a 2b x)(3a 2b x)

三、夯实基础

1、计算结果是 2x2－ x－3 的是（）

A.（ 2x－ 3）（ x+1）

B.（ 2x－1）（ x－3）

C.（ 2x+3）（ x－ 1）

D.（ 2x－ 1）（ x+3）

2、下列各式的计算中，正确的是( )

A.（ a+5）（ a－5） =a2－ 5

B.（3x+2）（ 3x－ 2） =3x2－ 4

C.（ a+2）（ a－ 3）=a2－ 6

D.（3xy+1）（ 3xy－ 1） =9x2y2－ 1

3、计算（－ a+2b）2结果是（）

A.－ a2+4ab+b2

B. a2－ 4ab+4b 2

C.－ a2－ 4ab+b2

D. a2－ 2ab+2b 2

4、设 x+y=6， x－ y=5，则 x2－ y2等于（）

A.11

B.15

C. 30

D. 60

5、如果（y+a）2=y2－8y+b，那么a、b的值分别为（）

A. a=4，b=16

B. a=－ 4， b=－16

C. a=4， b=－ 16

D. a=－4，b=16

6、若（ x－2y）2 =（ x+2y）2+m,则 m 等于 ( )

A.4xy

B.－ 4xy

C. 8xy

D.－ 8xy

7、下列式子可用平方差公式计算的式子是（）

A.（ a－ b）（ b－a）

B.（－ x+1）（ x－ 1）

C.（－ a－ b）（－ a+b）

D.（－ x－1 ）（ x+1）

8、当 a=－ 1 时 ,代数式 (a+1)2+a(a－ 3)的值等于 ( )

A.－ 4

B. 4

C.－ 2

D. 2

9、两个连续奇数的平方差是（）

A.6 的倍数

B.8 的倍数

C.12 的倍数

D. 16 的倍数

10、将正方形的边长由acm 增加 6cm ，则正方形的面积增加了（）

A. 36cm2

B. 12acm2

C.（ 36+12a） cm2

D.以上都不对

11、下列各式中哪些可以运用完全平方公式计算

（ 1）a b a c （ 2）x y y x （3） ab 3x 3x ab （4 ）m n m n

12、下列各式能用平方差公式计算的是：（）

A ．

B ．

C ．

D ．

13、下列式子中，不成立的是：（）

A．B．

C．D．

14、，括号内应填入下式中的（）．

A ．

B ．

C ．

D ．

15、计算的结果是（）．

A ．B．C．D．

16、若x y2 M x y 2，则M为（）

A. 2xy

B. 2xy

C.4xy

D. 4 xy

17 、如果 25 x2 kxy 49 y2是一个完全平方式，那么k 的值为（）

A. 35

B. 70

C.70

D. 4 xy

18 、计算： (_ 2 3x)( 2 3x) =__________； ( a b)2 =__________.

19 、一个多项式除以 a2－ 6b2得 5a2+b2，那么这个多项式是_______________.

20 、若 ax2 +bx+c=（2x－ 1）（ x－ 2），则 a=_____，b=_____， c=______.

21 2 2

、已知 (x－ ay) (x + ay ) = x － 16y , 那么 a = __________.

22 、多项式9x2 +1 加上一个单项式，使它能成为一个整式的完全平方，那么加上的单项式可以是______。

23 、计算：（ a－ 1）（ a+1）（ a2－ 1）=________.

24 、已知 x－y=3， x2－ y2=6，则 x+y=______.

25 、若 x+y=5，xy=6，则 x2 +y2=__________.

26 、利用乘法公式计算：1012=___________;123 2－ 124×122=____________.

27、．

28、．

29、．

30、，则

31、（ 1）如上图（ 1），可以求出阴影部分的面积是_________．（写成两数平方差的形式）

（ 2）如上图（ 2），若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，它的宽是________，长是 ________，面积是___________．（写成多项式乘法的形式）

（ 3）比较两个图阴影部分的面积，可以得到乘法公式__________．（用式子表达）

32、计算下列各式：

（ 1）4a7b 4a 7b（2）2m n 2m n（3）（ 4） 5 2x 5 2x（5）23a2 3a22（6）1 a 1 b 1 a 1 b

3 2 3 2

1 1

x 2x 2 3 x x 3 2 2

33、已知 2x －3=0，求代数式

x （ x 2 －x ） +x 2（ 5－ x ）－ 9 的值。

四、巩固训练

34、化简求值 (1) (x+4) (x －2) (x － 4)，其中 x=－ 1

1 (2)x(x+2y)－ (x+1)2+2x ，其中 x=,y=－ 25.

25

35 、已知： a

b

2

， a b 2

7 求：（ ） a 2

b 2 （ ）

ab

11

1

2

36、已知 x

y 6 ， xy 2 ，试求代数式 x

y 2 的值 .

38、已知 a b

a 2

b 2

3 ，求

ab .

2

39、求 x y x

y

x y 2 的值，其中 x 5, y

2

40、若 ( x

y)2 12 , (x y)2 16 , 求xy 的值。

41、（ 1） (2x

3y) 2 (x 2 y)( x 5 y) ( 2x y)(2x

y) 先化简，然后选择一个你喜欢的

x 、y 值代入求值。

（ 2）已知 x

3，求代数式 x 2

x x 2 (5 x) 的值。

42、先化简，再求值 (x 3

2) 2 2( x 2)( x 2)( x 2 4) ( x 2 2)2

，其中 x

1

。

2

43、 有 a 、 b 、 c 三个连续的正整数，以

b 为边长作正方形，分别以 a 、

c 为长和宽作长方形，哪个图形的面积大？

大多少？

44、若 x 2 y 15 ， xy

25 ，求 x 2 4 y 2 1 的值．