经济数学微积分期末复习总结资料

经济数学--微积分大一下期末复习资料 考试题型：

1.求偏导数5*8’=40’

2.求偏弹性1*6’=6’

3.条件极值1*6’=6’

4.二重积分2*6’=12’

5.微分方程与差分方程4*6’=24’

6.无穷级数2*6’=12’ a.判断正项级数敛散性

判断交错级数敛散性及条件或绝对收敛 b.求和函数（收敛半径、收敛域）

求和函数展开式

一.求偏导

类型1：展开式形式，如：xy z =

求解：将求的看做变量，另一个看做常数。求二阶时，只要对相应的一阶再求一次即可。

Eg ：设133

2

3

+--=xy xy y x z ，求22x z ??、x y z ???2、y

x z

???2、22y z ??

解：

y -y 3-y x 3x

z

322=??

x -x y 9-y x 2y

z

23=??

2

2x z ??=

2x y 6

x

y z

???2=1-y 9-y x 622

y

x z

???2=1-y 9-y x 622

22y

z

??=x y 18-x 23 二选一

二选一

类型2:），（y x z f =

求解：画链式法则进行求解

Eg ：）（z ，，xy y x f w ++=，求z

x w

x w ?????2，

解：设u=x+y+z ，v=xyz ，

），（v u f w =

则

链

式

法

则

如右

图

所

示

参考资料：课本练习册7-16页 二.求偏弹性

u

w

v

x

z y x y

z

经济数学-微积分P310 例8 PS ：例8

答案中2

2

2

1

222221222P P P Q P P P Q -=??-=??应改为

参考资料：练习册21-22页 三.条件极值

求解：找出目标函数与约束条件，设出拉格朗日函数，解方程组，得出答案。 参考资料：练习册19-20页 四.二重积分 类型1.直角坐标系下 a.X 型 先积x 再积y b.Y 型 先积y 再积x 类型2.极坐标系下

?

?

?==θθrsin y rcos x θσr d r d

d =：PS 求解：1.做出积分区间

2.判断适合用直角坐标解答还是极坐标

3.如果适合用直角坐标系解答，判断是X 型还是Y 型。

4.如果需要，要考虑交换积分次序。 参考资料：练习册23-26页 五.微差分方程 微分方程：

（一）)x (y x dx

dy Q P =+）（

??

????+????==+≡===+≡???C Q Q P Q P P P Q P P dx x Y x y x dx

dy

x dx x -y

dy

y x -dx dy

0y x dx

dy

0x dx x dx x -）

（）（）（运用公式

）（）（）不（②）（）（可分离变量为）（时）（①

（二）为常数）、（）（q p x f qy y p y x

λ =+'+''

*

x n x

n

k *x n

k *x x 21x 21rx 21x r 1x r 1212y y x f qy y p y x y y y x x y 2k 1k 0k x x y x f qy y p y x f qy y p y 0qy y p y 0x f 0x f x sin x cos r r 0x r 0r r 00

q pr r 0

qy y p y 0

x f 21+==+'+'''''=??

?

??=====+'+''=+'+''=+'+''=≡??

???+=±=?=++=+'+''≡Y Q Q Q C C Y i C C Y C C Y 的通解为）（综上可得）中的相关未知值。（通过待定系数法可求出带入原方程中。、、将的一阶导与二阶导，并）（求出是特征方程的重根。，是特征方程的单根。，不是特征方程的解。，）（的特解为）（即设的特解。

）（再求的通解。即①步骤。，求出）（先令时

）不（②）（。则，，解得虚根）（。则，解得单根。则，，解得双根特征方程为）（①λλλλλαλλλβββα

非齐次方程的通解=所对应的齐次方程的通解+非齐次方程的特解

差分方程：一阶 （一））

（x Q ay -y n x 1x =+ ①当时）

（0x Q n ≡ x

x 1x Ca y a

0a -0ay -y ====+方程的通解为解得特征方程为λλ

②当时）不（0x Q n ≡

即）

（x Q ay -y n x 1x =+ 先求所对应的齐次方程的通解。即① 再求非齐次方程的特解。

即设）（x Q ay -y n x 1x =+的特解为）

（x x y n k *Q = ?

?

?==是特征方程的解。，不是特征方程的解。

，k 1k k 0k 求出1x *y +，并将*y 、1x *y +代入）（x Q ay -y n x 1x =+中求出）（x n Q 中的各值。

因此）（x Q ay -y n x 1x =+的通解是其所对应的其次方程的通解+原方程的特解，即y=Y+*y （二））（x Q by ay y n x 1x 2x =++++ ①当）

（x n Q =0时

0by ay y x 1x 2x =++++

特征方程为0b a 2=++λλ

）

（，其中）（。则，，解得虚根）（。则，解得单根。则，，解得双根πθβα

β

θβαθθβαλλλλλλλλ<<>=+=??

?

??+=±=

=?+=>?0,0tan r x sin x cos r 0x 002221x 21x 21x 21x

1121C C Y i C C Y C C Y ②当）

（x n Q 不=0时。 ）

（x by ay y n x 1x 2x Q =++++ 先求出所对应的齐次方程的通解，即① 再求非齐次的特解，即

即设）（x by ay y n x 1x 2x Q =++++的特解为）

（x x y n k *Q = ?

?

?==是特征方程的解。，不是特征方程的解。

，k 1k k 0k 求出2x *y +、*y 、1x *y +，并代入）

（x by ay y n x 1x 2x Q =++++中求出）

（x n Q 中的各值。 因此）

（x by ay y n x 1x 2x Q =++++的通解是其所对应的其次方程的通解+原方程的特解，即y=Y+*y 参考资料:练习册29-38页。 六.无穷级数 1.判断敛散性

找出无穷级数的通项，并进行求极限，若有极限，则收敛，反之，则发散。

基本定理，比较审敛法，比值审敛法

2.判断交错级数 莱布尼茨定理

3.判断收敛交错级数

收敛交错级数带绝对值后，如果收敛，则为绝对收敛，反之，条件收敛。

4.求和函数（收敛半径，收敛域）

找出级数通项并???????==∞

→+∞→ρ

ρn n n n

1n n a lim a a lim ，R=ρ1，收敛域为（ρρ11-，），

在将两端点带入原级数中进行检验并决定开闭区间。 5.求和函数展开式 重点：间接展开。

必背：n

0n n 0n n x 1-x -x 11）（）（）（∑∑∞

=∞===+ （-1

n 20

n n x 1n 21-sinx +∞

=∑+=）！（）（ （∞+∞，-） ∑∞

=?='=0n n

2n

n 2x 1-sinx cosx ）！

（）（）（ （∞+∞，-） 1n 2x 1-dx x 1-dx x

11

0arctan -arctanx arctanx 1

n 21

n n

x

n 2n

n x

02

+==+=

=+∞

=∞

=∑?

∑?

）

（）（ [-1,1]

In(1+x)=

?∑∑?∑?

∞

=+∞

=∞====+x

00

n n 1

n n 0n n x 0n

0n n x

n x 1-dx x 1-dx

x 1-dx x 11）（）（）（）（ (-1,1]

建议做一下课本中老师所画练习

题