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高一升高二数学暑假衔接班讲义第1讲(学)

第1讲空间点、直线、平面之间的位置关系（一）热点透析考查目标 1.考查点、线、面的位置关系，考查逻辑推理能力与空间想象能力；2.考查公理、定理的应用，证明点共线、线共点、线共面的问题；3.运用公理、定理和结论证明或判断一些空间图形的位置关系．

达成目标 1.理解、熟记平面的性质公理，灵活运用并判断直线与平面的位置关系；2.异面直线位置关系的判定是本节难点，可以结合实物、图形思考．

（二）知识回顾

1．平面的基本性质

公理1：如果一条直线上的在一个平面内，那么这条直线在此平面内．

公理2：过上的三点，有且只有一个平面．

公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有过该点的公共直线．

2．直线与直线的位置关系

(1)位置关系的分类

⎩⎨⎧ 共面直线⎩⎪⎨⎪⎧ 平行相交异面直线：不同在任何一个平面内

(2)异面直线所成的角

①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a ，b 所成的角(或夹角)．

②范围：⎝

⎛⎦⎥⎤0，π2. 3．直线与平面的位置关系有、、三种情况．

4．平面与平面的位置关系有、两种情况．

5．公理4 平行于的两条直线互相平行．

6．定理

空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角．

[难点正本疑点清源]

1．公理的作用

公理1的作用是判断直线是否在某个平面内；公理2及其推论给出了确定一个平面或判断“直线共面”的方法；公理3的作用是如何寻找两相交平面的交线以及证明“线共点”的理论依据；公理4是对初中平行线的传递性在空间中的推广．

2．正确理解异面直线的定义：异面直线不同在任何一个平面内，没有公共点．不能错误地理解为不在某一个平面内的两条直线就是异面直线．

附件：当堂过手训练（快练五分钟，稳准建奇功！）

1．在下列命题中，所有正确命题的序号是________．

①平面α与平面β相交，它们只有有限个公共点；

②经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面；

③经过两条相交直线，有且只有一个平面；

④如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合；

⑤四边形确定一个平面．

2．正方体各面所在平面将空间分成________部分．

3．空间四边形ABCD中，各边长均为1，若BD＝1，则AC的取值范围是

________．

4．已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b( )

A．一定是异面直线B．一定是相交直线

C．不可能是平行直线D．不可能是相交直线

5．已知A、B表示不同的点，l表示直线，α、β表示不同的平面，则下列推理错误的是( ) A．A∈l，A∈α，B∈l，B∈α⇒l⊂α

B．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β＝AB

C．l⊄α，A∈l⇒A∉α

D．A∈α，A∈l，l⊄α⇒l∩α＝A

二、高频考点专题链接

题型一平面基本性质的应用

例1在正方体ABCD—A1B1C1D1中，对角线A1C与平面BDC1交于点O，AC，BD交于点M，求证：点C1，O，M共线．

探究提高(1)证明若干点共线也可以公理3为依据，找出两个平面的交线，然后证明各个点都是这两平面的公共点．

(2)利用类似方法也可证明线共点问题．

(1)E、C、D1、F四点共面；

(2)CE、D1F、DA三线共点．

题型二异面直线的判定

的中点．问：

(1)AM和CN是否是异面直线？说明理由；

(2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由．

探究提高(1)证明直线异面通常用反证法；(2)证明直线相交，通常用平面的基本性质，平面图形的性质等．

已知空间四边形ABCD中，E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是边BC、CD的中点．求证：

(1)BC与AD是异面直线；

(2)EG与FH相交．

题型三异面直线所成的角

例3正方体ABCD—A

1B1C1D1中，

(1)求AC与A1D所成角的大小；

(2)若E、F分别为AB、AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小．

探究提高求异面直线所成的角常采用“平移线段法”，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行.

直三棱柱ABC－A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于

( )

A．30°B．45°

C．60°D．90°

反思总结

点、直线、平面位置关系考虑不全面致误

典例：(5分)l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是() A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3

B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3

C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面

D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面

易错分析由于空间点、直线、平面的位置关系是在空间考虑，这与在平面上考虑点、线的位置关系相比复杂了很多，特别是当直线和平面的个数较多时，各种位置关系错综复杂、相互交织，如果考虑不全面就会导致一些错误的判断．

温馨提醒(1)平面几何中的一些定理和结论在空间中不一定成立，如“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”在空间中不成立，所以在用一些平面几何中的定理和结论时，必须说明涉及的元素都在某个平面内．

(2)解决点、线、面位置关系问题的基本思路：一是逐个判断，利用空间线面关系证明正确的结论，寻找反

例否定错误的结论；二是结合长方体模型或实际空间位置(如课桌、教室)作出判断，但要注意定理应用要准确、考虑问题要全面细致．

构造衬托平面研究直线相交问题

典例：(4分)在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD 都相交的直线有________条．

审题视角找三条异面直线都相交的直线，可以转化成在一个平面内，作与三条直线都相交的直线．因而可考虑过一条直线及另外一条直线上的一点作平面．进而研究公共交线问题．

温馨提醒(1)本题难度不大，但比较灵活．对平面的基本性质、空间两条直线的位置关系的考查，难度一般都不会太大．

(2)误区警示：本题解法较多，但关键在于构造平面，但不少学生不会构造平面，因此失分较多．这说明学

生还是缺少空间想象能力，缺少对空间直线位置关系的理解.

方法与技巧

1．主要题型的解题方法

(1)要证明“线共面”或“点共面”可先由部分直线或点确定一个平面，再证其余直线或点也在这个平面内(即

“纳入法”)．

(2)要证明“点共线”可将线看作两个平面的交线，只要证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理3

可知这些点在交线上，因此共线．

2．判定空间两条直线是异面直线的方法

(1)判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点B的直线是异面直线．

(2)反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面．

3．求两条异面直线所成角的大小，一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决．根据空

间等角定理及推论可知，异面直线所成角的大小与顶点位置无关，往往可以选在其中一条直线上(线面的端点或中点)利用三角形求解．

失误与防范

1．全面考虑点、线、面位置关系的情形，可以借助常见几何模型．

2．异面直线所成的角范围是(0°，90°]．

巩固练习 (时间：35分钟，满分：57分)

一、选择题(每小题5分，共20分)

1．若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的

( ) A．充分非必要条件B．必要非充分条件

C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件

2．下列命题正确的个数为 ( )

①经过三点确定一个平面

②梯形可以确定一个平面

③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面

④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．

A．0 B．1 C．2 D．3

3．设P表示一个点，a、b表示两条直线，α、β表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的命题是

( )

①P∈a，P∈α⇒a⊂α

②a∩b＝P，b⊂β⇒a⊂β

③a∥b，a⊂α，P∈b，P∈α⇒b⊂α

④α∩β＝b，P∈α，P∈β⇒P∈b

A．①②B．②③C．①④D．③④

4. 在正方体ABCD—A1B1C1D1中，过顶点A1与正方体其他顶点的连线与

直线BC1成60°角的条数为( )

A．1 B．2

C．3 D．4

二、填空题(每小题5分，共15分)

5．平面α、β相交，在α、β内各取两点，这四点都不在交线上，这四点能确定________个平面．

6．下列命题中不．正确的是________．(填序号)

①没有公共点的两条直线是异面直线；

②分别和两条异面直线都相交的两直线异面；

③一条直线和两条异面直线中的一条平行，则它和另一条直线不可能平行；

④一条直线和两条异面直线都相交，则它们可以确定两个平面．

7． (2011·大纲全国)已知正方体ABCD －A 1 B 1 C 1 D 1中，E 为C 1D 1的中点，则异面直线AE 与BC 所成角的余弦值

为______．

三、解答题(共22分)

8． (10分) 如图所示，四边形ABEF 和ABCD 都是直角梯形，∠BAD

＝∠FAB ＝90°，BC 綊12AD ，BE 綊12FA ，G 、H 分别为FA 、FD 的

中点．

(1)证明：四边形BCHG 是平行四边形；

(2)C 、D 、F 、E 四点是否共面？为什么？

9． (12分)如图，在四面体ABCD 中作截面PQR ，若PQ 、CB 的延长

线交于M，RQ、DB的延长线交于N，RP、DC的延长线交于K，

求证：M、N、K三点共线．

拓展训练(时间：25分钟，满分：43分)

一、选择题(每小题5分，共15分)

1. 如图，α∩β＝l，A、B∈α，C∈β，且C∉l，直线AB∩l＝M，过A，B，

C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过 ( )

A．点A

B．点B

C．点C但不过点M

D．点C和点M

2．已知空间中有三条线段AB、BC和CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直线AB与CD的位置关系是

( )

A．AB∥CD

B．AB与CD异面

C．AB与CD相交

D．AB∥CD或AB与CD异面或AB与CD相交

3．以下四个命题中

①不共面的四点中，其中任意三点不共线；

②若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则点A、B、C、D、E共面；

③若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面；

④依次首尾相接的四条线段必共面．

正确命题的个数是( )

A．0 B．1 C．2 D．3

二、填空题(每小题5分，共15分)

4．在图中，G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH、MN是异面直线的图形有________．(填上所有正确答案的序号)

5. 如图是正四面体的平面展开图，G 、H 、M 、N 分别为DE 、BE 、EF 、

EC 的中点，在这个正四面体中，

①GH 与EF 平行；

②BD 与MN 为异面直线；

③GH 与MN 成60°角；

④DE 与MN 垂直．

以上四个命题中，正确命题的序号是________．

6． (2012·四川)如图，在正方体ABCD －A

1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是棱CD 、

CC 1的中点，则异面直线A 1M 与DN 所成的角的大小是________．

三、解答题

7． (13分)如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，O 为正方形ABCD 的中

心，H 为直线B 1D 与平面ACD 1的交点．求证：D 1、H 、O 三点共线．

高中数学暑期讲义课程大纲(含高一、高二、高三)

高一暑假课程大纲·数学讲次内容教学目标第一讲二次函数及高次不等式①掌握二次函数系数与交点的问题 ②因式分解解高次不等式第二讲集合的含义和表示①掌握元素与集合之间的关系 ②掌握集合的常见的表示方法第三讲集合间的基本关系①掌握集合间的一些运算 ②了解集合运算间的结论第四讲函数的概念及表示方法①理解函数的概念 ②掌握函数的定义域值域问题 ③了解函数的三种表达形式第五讲单调性与最值①掌握用定义法求函数的单调性 ②掌握对勾函数的性质 ③掌握复杂函数的单调新 ④掌握利用单调性求函数的最值第六讲奇偶性①掌握定义法求奇偶性 ②掌握复杂函数的奇偶性 ③掌握奇偶性的简单运用第七讲函数性质综合①掌握函数单调性与奇偶性的结合 ②了解周期性 ③理解对称性 ④了解函数对称性和周期性的区别第八讲指数运算与指数函数①掌握指数的相关运算 ②掌握指数的函数的相关性质第九讲对数运算①掌握对数的概念 ②掌握对数的相关性质及运算第十讲对数函数①掌握对数函数的概念与性质 ②理解对数函数与指数函数的性质第十一讲幂函数与二次函数①理解幂函数的概念与性质 ②掌握二次根的分布及根系关系第十二讲函数与方程①理解函数与方程的关系 ②掌握如何进行一些简单的函数图象变换 ③掌握排除法求解函数图象

高二暑假课程大纲·数学讲次内容教学目标第一讲直线的倾斜角与斜率①掌握直线斜率与倾斜角的间的关系 ②理解直线的五种表达形式 ③掌握直线与直线的位置关系第二讲点到直线距离问题、对称问题 ①掌握距离公式 ②掌握点跟直线的对称问题第三讲圆的方程①掌握圆的概念 ②掌握圆的标准方程与一般方程之间的转化第四讲直线与圆的位置关系①掌握直线与圆的位置关系 ②掌握直线与圆的弦长计算问题 ③了解圆与圆的计算问题第五讲空间几何体结构、三视图、直观图 ①了解一些常见的几何体 ②掌握常见的几何体的三视图 ③掌握直观图的做法第六讲空间几何体的表面积、体积的计算 ①掌握三视图的还原 ②掌握椎体、柱体的表面积、体积的计算第七讲点线面的位置关系①掌握三大公理 ②掌握点线面的之间的关系第八讲线、面平行①线、面平行的判定 ②线、面平行的性质第九讲线、面垂直判定①线面垂直的判定 ②面面垂直的判定第十讲线面垂直的性质①掌握线面垂直的性质 ②掌握面面垂直的性质第十一讲线面角计算①掌握线面角的概念 ②掌握线面角的几种处理处理方方法第十二讲二面角的计算①掌握二面角的概念 ②掌握二面角的几种处理方法

【初高一衔接】专题02 乘法公式-走进新高一之2020年暑假初升高数学完美衔接课(解析版)

乘法公式主要讲解几个常见公式的证明，并补充一些常用的公式公式一、平方差公式公式二、完全平方公式在实际应用中，需要将公式进行变形，常见的变形如下：1. 2. 3. 4. 5. 公式三、立方和公式公式四、立方差公式例1、计算例2 例3、已知a、b是方程的两个根，求：（1）（2）；（3）；（4）

【解答】（1）77；（2）；（3）112；（4）24 【解析】∵a、b是方程a+b=7，ab＝11. （1）；（2）；（3）；乘法公式巩固练习一. 选择题 1．下列式子计算正确的是（） A．m3?m2＝m6B．（﹣m）﹣2＝ C．m2+m2＝2m2D．（m+n）2＝m2+n2 【解答】C 【解析】A、m3?m2＝m5，故A错误； B、（﹣m）﹣2＝，故B错误； C、按照合并同类项的运算法则，该运算正确． D、（m+n）2＝m2+2mn+n2，故D错误． 2．如图（1），边长为m的正方形剪去边长为n的正方形得到①、②两部分，再把①、②两部分拼接成图（2）所示的长方形，根据阴影部分面积不变，你能验证以下哪个结论（）

A．（m﹣n）2＝m2﹣2mn+n2B．（m+n）2＝m2+2mn+n2 C．（m﹣n）2＝m2+n2D．m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）【解答】D 【解析】图（1）中，①、②两部分的面积和为：m2﹣n2，图（2）中，①、②两部分拼成长为（m+n），宽为（m﹣n）的矩形面积为：（m+n）（m﹣n），因此有m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）， 3．将图甲中阴影部分的小长方形变换到图乙位置，能根据图形的面积关系得到的关系式是（） A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2B．（a﹣b）2＝a2﹣b2 C．b（a﹣b）＝ab﹣b2D．ab﹣b2＝b（a﹣b）【解答】A 【解析】（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2. 4．如图1的8张长为a，宽为b（a＜b）的小长方形纸片，按如图2的方式不重叠地放在长方形ABCD 内，未被覆盖的部分（两个长方形）用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S，当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，则a，b满足（） A．b＝5a B．b＝4a C．b＝3a D．b＝a 【解答】A

《精品》20182019版数学高一、高二同步系列课堂讲义人教A版必修5第三章不等式3.4一

§3.4 基本不等式：ab ≤a ＋b 2(一) 学习目标 1.理解基本不等式的内容及证明(重点)；2.能熟练运用基本不等式来比较两个实数的大小；3.能初步运用基本不等式证明简单的不等式(难点). 预习教材P97－98完成下列问题：知识点重要不等式与基本不等式【预习评价】 1.(1)基本不等式中的a ，b 可以是代数式吗？ (2)a ＋b 2≥ab 与? ?? ??a ＋b 22 ≥ab 是等价的吗？提示 (1)可以.但代数式的值必须是正数，否则不成立. (2)不等价，前者条件是a ＞0，b ＞0，后者是a ，b ∈R . 2.下列不等式正确的是( ) A.a ＋1 a ≥2 B.(－a )＋? ???? －1a ≤－2 C.a 2 ＋1 a 2≥2 D.(－a )2 ＋? ?? ??－1a 2 ≤－2 解析 ∵a 2＞0，故a 2＋1 a 2≥2成立. 答案 C 题型一利用基本不等式比较大小【例1】设0

C.a 0，即ab >a ，排除D 项，故选B. 法二取a ＝2，b ＝8，则ab ＝4，a ＋b 2＝5，所以a ＜ab ＜a ＋b 2＜b . 答案 B 规律方法利用基本不等式比较实数大小的注意事项 (1)利用基本不等式比较大小，常常要注意观察其形式(和与积)，同时要注意结合函数的性质(单调性). (2)利用基本不等式时，一定要注意条件是否满足a ＞0，b ＞0. 【训练1】 (1)已知m ＝a ＋1 a －2 (a ＞2)，n ＝22－b 2(b ≠0)，则m ，n 之间的大小关系是( ) A.m ＞n B.m ＜n C.m ＝n D.m ≥n (2)若a ＞b ＞1，P ＝lg a ·lg b ，Q ＝1 2(lg a ＋lg b )，R ＝lg a ＋b 2，则P ，Q ，R 的大小关系是________. 解析 (1)因为a ＞2，所以a －2＞0，又因为m ＝a ＋1a －2＝(a －2)＋1a －2 ＋2，所以m ≥2（a －2）·1 a －2 ＋2＝4，由b ≠0，得b 2≠0，所以2－b 2＜2，n ＝22－ b 2＜4，综上可知m ＞n . (2)因为a ＞b ＞1，所以lg a ＞lg b ＞0，所以Q ＝1 2(lg a ＋lg b )＞lg a ·lg b ＝P ； Q ＝1 2(lg a ＋lg b )＝lg a ＋lg b ＝lg ab ＜lg a ＋b 2＝R .所以P ＜Q ＜R . 答案 (1)A (2)P ＜Q ＜R 题型二用基本不等式证明不等式【例2】已知a ，b ，c 为正数，且a ＋b ＋c ＝1，证明：1a ＋1b ＋1 c ≥9.