八年级数学上人教版《 无理数》教案
《无理数》教案
一、教学目标
1.掌握无理数的概念和性质，能够正确判断一个数是否为无理数。
2.理解无理数在数轴上的表示方法，能够利用数轴进行无理数的大小比较。
3.掌握无理数的四则运算规则和运算顺序，能够进行简单的无理数运算。
4.培养学生的数学思维能力和逻辑推理能力，提高学生运用数学知识解决实际问
题的能力。
二、教学重点
1.无理数的概念和性质。
2.无理数在数轴上的表示方法。
3.无理数的四则运算规则和运算顺序。
三、教学难点
1.理解无理数的概念，能够正确判断一个数是否为无理数。
2.掌握无理数的四则运算规则和运算顺序，注意运算过程中的符号问题。
四、教学方法
1.通过实例引入无理数的概念，让学生感受无理数在日常生活中的应用。
2.通过探究活动让学生自主发现无理数的性质和特点，加深学生对无理数的理解。
3.通过小组合作的方式进行无理数的四则运算练习，让学生掌握运算规则和运算
顺序。
4.通过问题解决的方式让学生了解无理数在实际问题中的应用，并能够运用所学
知识解决实际问题。
五、教学过程
1.导入新课：通过复习已学知识引入课题，如有理数的概念、数轴等，从而引出
无理数的概念。
2.新课学习：通过实例讲解无理数的概念和性质，让学生了解无理数的特点；通
过探究活动让学生自主发现无理数在数轴上的表示方法以及大小比较方法；通过小组合作的方式进行无理数的四则运算练习，让学生掌握运算规则和运算顺序。
3.课堂小结：对本节课所学知识进行回顾和总结，强调重点和难点内容，让学生
明确自己的学习成果和需要改进的地方。
4.作业布置：根据学生的学习情况和实际需要布置适量的作业，以巩固所学知识
和提高解题能力。
六、教学反思
1.本节课的教学内容较为抽象，要注重学生的理解和掌握情况，及时调整教学策
略。
2.在进行无理数的四则运算练习时，要注意学生的运算顺序和符号问题，及时纠
正错误。
3.要注重培养学生的数学思维能力和逻辑推理能力，提高学生运用数学知识解决
实际问题的能力。
八年级数学上册2.1认识无理数
《 认识无理数 》教学案 主备教师： 一、学习目标 1、了解无理数发现的历程，知道无理数是客观存在的； 2、知道实数的概念并能对其进行分类； 3、知道实数与数轴上的点一一对应，会用数轴上的点表示实数；会判断一个数是有理数还是无理数。 二、练习引入 1. 有理数的概念： 和 ，统称为有理数 2. 数的分类： 正整数 如 整数 零 负整数 如 有理数 正分数 如 分数 负分数 如 3、把下列各有理数填在相应的大括号里 12，-3，+1，31，-1.5，0，0.2，413 ，5 34 正数： （ ） 负数：（ ） 整数： （ ） 分数：（ ） 正分数：（ ） 负分数：（ ） 三、新课一讲一练 知识点一： 1、做两个边长为1分米的小正方形，剪一剪，拼一拼，你能得到一个大正方形吗？ 画出你的做法： 设大正方形的边长为a 分米，a 满足的条件为（ ） a 是整数吗？（ ），理由：------------------------------------------------ a 是分数吗？（ ），理由：------------------------------------------------ a 是有理数吗？（ ），理由：----------------------------------------------- 总结： 在现实生活中，存在着既不是整数又不是分数的数，也就是存在着不是（ ）的数 即时练习： 将上述活动中的小正方形的边长变为2分米，大正方形的边长是有理数吗？为什么？ （ ） 2、．无理数的概念 无理数： 无限不循环小数
例：.下面各数中，哪些是无理数？哪些是有理数？ (1)π=3.14159265…… （2）1.21021002100021……（相邻的两个21之间0的个数逐次加1） （3）0.. .75=0.575757…… 是有理数， 是无理数 练习一： 1．判断题：（1）无理数都是无限小数。（ ） （2）无限小数都是无理数。 2． 2x = 8，则x______分数，______整数，______有理数．（填“是”或“不是”） ． 3．_________小数或____________小数是有理数，____________小数是无理数 4．下列各数，，π，0.010010001……，既不是 ，也不是 ，所以它们都 （是，不是）有理数。 5. 把下列各数填入相应的集合内：213、0、3π、0.5、3.14159、--0.020020002、 0.131131113……. 有理数集合（ ） 无理数集合（ ） 四、知识归纳梳理 五、巩固训练 1．选择题 （1）、下列说法正确的是 ( ) A. 有理数是有限小数 B. 无理数是无限小数 C. 无限小数是无理数 D. 3π 是分数 （2）、下列说法中正确的是（ ） A ．不循环小数是无理数 B ．分数不是有理数 C ．有理数都是有限小数 D ．3.1415926是有理数
八年级上册数学 认识无理数教案
八年级数学上册教案 吧 斗 Assistant teacher 为 梦 想 奋
2．1 认识无理数 1．了解无理数的概念及意义，会判断一个数是有理数还是无理数；(重点) 2．会对一个无理数进行估算．(难点) 一、情境导入 拼图发现新数——无理数 请大家四个人为一组，拿出自己准备好的两个边长为1的正方形纸片和剪刀，按虚线剪开拼成一个大的正方形． 因为两个小正方形面积之和等于大正方形的面积，所以根据正方形面积公式可知a 2 ＝2，那么a 是整数吗？a 是分数吗？ 二、合作探究 探究点一：无理数的概念及认识 下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？ 3．14，－5 3 ，0.58·· ，－0.125，－5π， 0.35，22 7，5.3131131113…(相邻两个3之 间1的个数逐次加1)． 解析：准确理解有理数和无理数的概念是解答本题的关键．任何有限小数或无限循环小数都是有理数；无限不循环小数称为无理数，故－5π，5.3131131113…是无理数，其他都是有理数． 解：有理数：3.14，－5 3 ，0.58·· ，－0.125， 0.35，22 7；无理数：－5π，5.3131131113… (相邻两个3之间1的个数逐次加1)． 方法总结：有理数与无理数的主要区别． (1)无理数是无限不循环小数，而有理数可以用有限小数或无限循环小数表示． (2)任何一个有理数都可以化为分数形 式，而无理数则不能． 探究点二：借助计算器用“夹逼法”求 无理数的近似值 正数x 满足x 2 ＝17，则x 精确到十分位的值是________． 解析：已知x 2＝17，所以4
2019八年级上册数学2.1《认识无理数》(1)(教案)
2.1认识无理数 (1) 教学目标 知识与技能 1.通过拼图活动，让学生感受无理数产生的实际背景和引入的必要性. 2.能判断给出的数是否为有理数；并能说出理由. 过程与方法 1.让学生亲自动手做拼图活动，感受无理数存在的必要性和合理性，培养大家的动手能力和合作精神. 2.通过回顾有理数的有关知识，能正确地进行推理和判断，识别某些数是否为有理数，训练他们的思维判断能力. 情感与价值观 通过现实中的实例,让学生认识到无理数与实际生活是紧密联系的,数学是来源于实践又应用于实践的. 重点难点 重点：1.让学生经历无理数发现的过程，感知生活中确实存在着不同于有理数的数. 2.会判断一个数是否为有理数. 难点：1.把两个边长为1的正方形拼成一个大正方形的动手操作过程. 2.判断一个数是否为有理数. 教学过程 【新课导入】创设问题情境,引入新课 师：同学们,我们学过不计其数的数,概括起来我们都学过哪些数呢? 生1：在小学我们学过自然数、小数、分数. 生2：在七年级我们还学过负数. 师：对，我们学过非负数以后，当发现数不够用了，继而引入了负数，即把学过的正数、零扩充到有理数范围，有理数包括整数和分数，那么有理数范围是否就能满足我们实际生活的需要呢？下面我们就来共同研究这个问题. 【新知构建】 一、展示教材P21探究活动题目 如图是两个边长为1的小正方形,剪一剪、拼一拼,设法得到一个大的正方形. 师：请大家四个人为一组，拿出自己准备好的两个边长为1的正方形和剪刀，认真讨论之后，动手剪一剪，拼一拼，设法得到一个大的正方形，好吗？ 生：好.(学生非常高兴地投入活动中). 师：经过大家的共同努力，每个小组都完成了任务，请各组把拼的图展示一下. 同学们非常踊跃地呈现自己的作品给老师. 师：现在我们一起把大家的做法总结一下：
八年级数学上人教版《 无理数》教案
《无理数》教案 一、教学目标 1.掌握无理数的概念和性质，能够正确判断一个数是否为无理数。 2.理解无理数在数轴上的表示方法，能够利用数轴进行无理数的大小比较。 3.掌握无理数的四则运算规则和运算顺序，能够进行简单的无理数运算。 4.培养学生的数学思维能力和逻辑推理能力，提高学生运用数学知识解决实际问 题的能力。 二、教学重点 1.无理数的概念和性质。 2.无理数在数轴上的表示方法。 3.无理数的四则运算规则和运算顺序。 三、教学难点 1.理解无理数的概念，能够正确判断一个数是否为无理数。 2.掌握无理数的四则运算规则和运算顺序，注意运算过程中的符号问题。 四、教学方法 1.通过实例引入无理数的概念，让学生感受无理数在日常生活中的应用。 2.通过探究活动让学生自主发现无理数的性质和特点，加深学生对无理数的理解。 3.通过小组合作的方式进行无理数的四则运算练习，让学生掌握运算规则和运算 顺序。 4.通过问题解决的方式让学生了解无理数在实际问题中的应用，并能够运用所学 知识解决实际问题。 五、教学过程
1.导入新课：通过复习已学知识引入课题，如有理数的概念、数轴等，从而引出 无理数的概念。 2.新课学习：通过实例讲解无理数的概念和性质，让学生了解无理数的特点；通 过探究活动让学生自主发现无理数在数轴上的表示方法以及大小比较方法；通过小组合作的方式进行无理数的四则运算练习，让学生掌握运算规则和运算顺序。 3.课堂小结：对本节课所学知识进行回顾和总结，强调重点和难点内容，让学生 明确自己的学习成果和需要改进的地方。 4.作业布置：根据学生的学习情况和实际需要布置适量的作业，以巩固所学知识 和提高解题能力。 六、教学反思 1.本节课的教学内容较为抽象，要注重学生的理解和掌握情况，及时调整教学策 略。 2.在进行无理数的四则运算练习时，要注意学生的运算顺序和符号问题，及时纠 正错误。 3.要注重培养学生的数学思维能力和逻辑推理能力，提高学生运用数学知识解决 实际问题的能力。
优品课件之八年级数学上册《认识无理数》教案
八年级数学上册《认识无理数》教案 八年级数学上册《认识无理数》教案 一、教学目标 1.通过拼图活动，感受无理数产生的实际背景和引入的必要性，在探究过程中培养动手实践的能力和独立思考、合作交流的习惯. 2.会判断一个数是否为有理数，并能说明理由. 二、学情分析 学生在七年级通过生活中的事例已经经历了数系的第一次扩充，从非负有理数到负有理数的扩充，从而扩充到整个有理数范围，本节从有理数扩充无理数，学生理解起来有一定的难度，可以从实例出发，引入无理数。而且通过第一章《勾股定理》的学习，学生已经掌握勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决简单的问题，为引入“新数”奠定了基础．同时学生对于剪切这样的活动已经具备基本的能力，并且比较感兴趣，也开阔了学生的发散思维能力。 三、教学重点 1.通过拼图活动，经历无理数发现的过程，感知生活中确实存在着不同于有理数的数. 2.会判断一个数是否为有理数，并能说明理由. 三、教学难点 1.把两个边长为1的正方形拼成一个大正方形的动手操作过程. 2.判断一个数是否为有理数. 四、教学方法 教师引导，主要由学生分组讨论得出结果. 认识无理数教学设计五、教学过程 （一）激情导课 工人师傅要加固一个高2米、宽1米的大门，需要在对角线位置加固一条钢板，设钢板长为a米，则a2的值是多少？ （二）民主导学 1.拼一拼 如图是两个边长为1的小正方形，请你通过剪一剪、拼一拼，设法得到一个大正方形．
问题1：设大正方形的边长为a,a满足什么条件？ 问题2：a可能是整数吗？说说你的理由． 问题3：a可能是分数吗？说说你的理由，并与同伴进行交流． 问题4：a可能是有理数吗？尝试说明理由． 认识无理数教学设计2.做一做 （1）如图，以直角三角形的斜边为正方形的面积是多少？ （2）设该正方形的边长为b，b满足什么条件？ （3）b是有理数吗？ 3.读一读：无理数的发现 4.巩固应用 （1）长、宽分别为3，2的长方形，它的对角线的长（） A．是分数 B．是小数 C．是整数 D．不是有理数 （2）下列各数中，是有理数的是（） A．面积为3的正方形的边长 B．体积为8的正方体的棱长 C．两直角边长分别为2和3的直角三角形的斜边长 D．圆周率π（3）如图,在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，则△ABC中三边边长不是有 理数的有（） A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 5.拓展提高 （1）在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，任意连接这些小正方形的若干个顶点，可得到一些线段．试分别找出两条长度是有理数的线段和两条长度不是有理数的线段． （2）如图是小明以他画的线段为边长设计出的一个正方形，请解决下列问题： ①阴影正方形的面积是多少？ 认识无理数教学设计②阴影正方形的边长介于哪两个整数之间? 认识无理数教学设计认识无理数教学设计认识无理数教学设计（3）在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，请按要求设计如下图形： ①三边边长均是有理数的三角形；
人教版八年级数学教案设计：17.1利用勾股定理在数轴上表示无理数
教学设计 新课题目 17.1 勾股定理 (3) 利用勾股定理在数轴上表示无理数 教学（学习）目标 知识与 技能目标 利用勾股定理能在数轴上找到表示无理数的点以及直角三角形中长度为无理数的线段. 过程与 方法目标 经历在数轴上寻找无理数的点的过程，发展学生灵活运用勾股定理解决问题的能力． 情感、态 度和价值 观目标 体验勾股定理的重要作用，并从中获得成功的体验，锻炼学生克服困难的意志.建立自信心。 重点 利用勾股定理在数轴上寻找表示2 , 3 ,5… 这样的表示无理数的点． 难点利用勾股定理寻找直角三形中长度为无理数的线段． 教具多媒体课件、直尺、三角板、圆规． 教学方法分组讨论法、讲练结合法 教学方式 实验课演示课电教课多媒体课 √√ 回顾旧知 导入新课一、温顾而知新 1.勾股定理的内容是什么？ 2、如图，在Rt△ABC中,∠c = 90° ①已知ɑ， b 则c= ②已知ɑ， c 则b= ③已知b， c 则ɑ=
二、导入新课 实数与数轴上的点有怎样的关系？说出下列数轴上各字母所表示的实数： 你能在数轴上表示出无理数对应的点吗? 揭示课题：17.1利用勾股定理在数轴上表示无理数 教学过程设计（教学内容，方法 及重难点的处理方法， 师生活动、总结基础知识） 教学过程设计（教学内容，方法 及重难点的处理方法， 师生活动、总结基础知识）三、探究新知 1、议一议 我们知道数轴上的点，有的表示有理数，有的表示无理数.那么你能在数轴上表示出2、13所对应的点吗？ 教师可指导学生寻找象2，3，……这样的包含在直角三角形中 的线段． 此活动，教师应重点关注： ①学生能否找到含长为2，13这样的线段所在的直角三角形； ②学生是否有克服困难的勇气和坚强的意志； ③学生能否积极主动地交流合作． 师：由于在数轴上表示13的点到原点的距离为13，所以只需画出长为13的线段即可． 我们不妨先来画出长为2的线段． 2、画一画、议一议 在数轴上画出表示2的点. 作法：①在数轴上找到点A,使OA=1 ②、作直线m⊥OA,在m上取一点B，使AB=1 ③、以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴交于C点，则点C即为表示2的点。
初中数学北师大八年级上册(2023年修订) 实数八年级数学上册《认识无理数》集体备课教案
八年级数学上册集体备课教案学科：数学授课年级：八年级主备教师：审核人：时间： 课题认识无理数第1课时共课时辅备教师 目标知识与 技能通过拼图活动，让学生感受客观世界中无理数的存在 过程与 方法 能判断三角形的某边长是否为无理数 情感态 度与价 值观 能正确地进行判断某些数是否为有理数，加深对有理数和无理数的 理解 重点 无理数概念的探索过程 难点用所学定义正确判断所给数的属性.教学 媒体 学法 指导 先学后教，当堂训练。 教学过程 共性教案个性探索 一、创设问题情境，引入新课 ［师］同学们，我们在上节课了解到有理数又不够用了，并且我们还发现了一 些数，如a2=2,b2=5中的a，b既不是整数，也不是分数，那么它们究竟是什么数 呢？本节课我们就来揭示它的真面目. 二、讲授新课 1.导入：［师］请看图 大家判断一下3个正方形的边长之间有怎样的大小关系？说说你的理由. ［生］因为3个正方形的面积分别为1，2，4，而面积又等于边长的平方，所以 面积大的正方形边长就大. ［师］大家能不能判断一下面积为2的正方形的边长a的大致范围呢？ ［生］因为a2大于1且a2小于4，所以a大致为1点几. ［师］很好.a肯定比1大而比2小，可以表示为1＜a＜2.那么a究竟是1点几 呢？请大家用计算器进行探索，首先确定十分位，十分位究竟是几呢？如=，=，=， =，=，而a2=2，故a应比大且比小，可以写成＜a＜，所以a是1点4几，即十分位 上是4，请大家用同样的方法确定百分位、千分位上的数字. ［生］因为=，=，所以a应比大且比小，所以百分位上数字为1. ［生］因为=，=，=，=，=，所以a应比大而比小，即千分位上
《认识无理数》第2课时示范课教学设计【数学八年级上册北师大】
《认识无理数》教学设计 第2课时 一、教学目标 1.探索无理数的定义，，并从中体会无限逼近的思想； 2.能辨别出一个数是无理数还是有理数，训练学生的思维判断能力. 3.在探索无理数是无限不循环小数的过程中，培养学生的估算能力，发展学生的抽象概括能力； 4.充分调动学生参与数学问题的积极性，同时培养学生的合作精神，提高辨识能力. 二、教学重难点 重点：比较无理数与有理数的区别，能辨别出一个数是无理数还是有理数. 难点：探索无理数是无限不循环小数的过程. 三、教学用具 多媒体、课件、计算器 四、教学过程设计
从而归纳出无理数的概念（无限不循环小数）. 问题：面积为2的正方形的边长a究竟是多少呢？能不能确定一下a的大致范围？ 预设答案： ∵a2=2, 而12=1, 22=4,··· ∴12 预设答案： a的整数部分是1，十分位是4，百分位是1，千分位是4. 追问：还可以继续算下去吗？a可能是有限小数吗？ 通过想一想提出问题来解决该追问. 【想一想】 边长a会不会算到某一位时，它的平方恰好等于2呢？为什么？a可能是有限小数吗？ 预设答案： 假如a算到某一位时，它的平方恰好等于2，即a是一个有限小数，那么它的平方一定是一个有限小数，而不可能是2，所以边长a不会算到某一位时，它的平方恰好等于2，所以a不可能是有限小数. 【做一做】 （1）估计面积为5的正方形的边长b的值 本课在整个单元中，属于比较重要的环节。除了起到承接上个课时、转接下课时的作用之外，还有一些重点的计算知识和转化相应的课时。本单元在学科核心素养中，具体体现出非常重要的一环，就是在高效课堂的设计和转化过程中，注意学生主体意识的培养和学生学习兴趣的提高。学习兴趣之于学生，是非常重要而且更加有意义的教学活动。对于不同层次的学生来讲，环节上的应用更加大了不同学生之间互相弥合的意义。 2.1.1认识无理数 1.让学生亲自动手做拼图活动，感受无理数存在的必要性和合理性，培养大家的动手能力和合作精神. 2.通过回顾有理数的有关知识，能正确地进行推理和判断，识别某些数是否为有理数，训练他们的思维判断能力. 3.了解有关无理数发现的知识，鼓励学生大胆质疑，培养他们为真理而奋斗的献身精神. 教学重点与难点 重点： 1.让学生经历无理数发现的过程.感知生活中确实存在着不同于有理数的数. 2.会判断一个数是否为有理数. 难点: 1.把两个边长为1的正方形拼成一个大正方形的动手操作过程. 2.判断一个数是否为有理数. 教法及学法指导：自主探究与合作学习相结合的方法，本节课以学生的练习为主. 课前准备： 制作课件，学生课前进行相关调查及预习工作. 教学过程: 一创设情境、引入新课： ［师］同学们,我们这一章将继续学习数.数经历了哪些发展史呢？ ［生］在小学我们学过自然数、小数、分数. ［生］在七年级我们还学过负数. ［师］对，我们在小学学了非负数，在初一发现数不够用了，引入了负数，即把从小学学过的正数、零扩充到有理数范围，有理数包括整数和分数，那么有理数范围是否就能满足我们实际生活的需要呢？下面我们就来共同研究这个问题. 设计意图：通过复习发现有理数不够用了，激发学生的好奇心和求知欲，引出本节课题. 活动效果：大多数学生能较熟练地掌握有理数的概念，但也有部分学生对有理数的分类不太 八年级上数学知识点无理数在八年级上学的数学知识点中，无理数是一项重要而又复杂的内容。从定义到应用，无理数涵盖了多方面的知识，需要我们在学习的过程中，认真理解和掌握。本文将从以下五个方面来介绍无理数的知识点。 一、无理数的定义 无理数是不能表示为两个整数的比值的实数，一般情况下不可以化为有限小数，也不可以化为循环小数。例如，根号2就是一个无理数，它的十进制表示为1.41421356…。 二、无理数的表示方法 我们可以通过根式来表示无理数，即$a=\sqrt{b}$，其中b是一个正整数，而且b不是完全平方数，否则a就是有理数，例如$\sqrt{16}=4$。 另一种表示方法是用小数表示无理数，在使用计算器计算的时候，我们通常会看到一些无限不循环小数，这样的小数一般都是无理数。例如，根号2的小数表示为1.41421356…。 三、无理数的运算 与有理数不同，无理数并不满足加法和乘法的封闭性质，因此无理数之间的运算比较复杂。例如，两个无理数相加得到的结果有可能是有理数，也有可能是无理数，而两个无理数相乘的结果仍然是无理数。 四、无理数与图形的关系 在几何图形中，无理数也经常出现。例如，在勾股定理中，当直角三角形的两短边长分别为1时，直角边长的长度就是根号2，这个值正是一个无理数。此外，在圆的周长和面积计算中，无理数也经常出现。 五、无理数的应用 无理数在科学和工程中有着广泛的应用。例如，在电路中，能 量的单位——焦耳，就是一个涉及到$\pi$的无理数。在物理学中，爱因斯坦的相对论就涉及到速度的无限接近于光速，这种情况下，我们就需要用到无理数。 总的来说，无理数是一个比较综合的数学知识点，它涵盖了数 学的各个领域和应用，在学习的过程中需要认真领会和掌握。 无理数 学习目的: 1.理解无理数地概念.（难点） 2.理解实数地概念.(重点） 学习重点:开平方运算. 学习难点:平方根地性质及开平方运算. 知识链接 1. （1）30.001= （2 ）—317427 += （3）()27±-= （4）124 -= 二,新知预习 2.如图所示,在Rt △ABC 中,两条直角边AC=BC=2,如果将Rt △ABC 延斜边AB 上地高CD 剪开后,拼成如图（2）所示地正方形,那么这个正方形地边长是多少？ 讨论: （1）对于整数—3,—2,—1,0,1,2,3,它们地地平方分别等于 结果是怎样地数 ,有平方等于2地正数吗？ . （2）对于分数—43,—23,—12,12,—23,—43 ,它们地平方分别等于 ,结果是怎样地数？ 有平方以后等于2地分数吗？ （3）m 是有理数吗？ 探究: （1）2·······根据以上地结果,2是有理数而是一个 小数 自主学习 （2）我们知道地圆周率 也是一个小数.妳还可以举出类似地小数吗？ 我们把这样地数叫无理数,即无理数:无限不循环小数像 π …….. 实数:_______与_________统称为实数. 三,自学自测 1,判断下列说法是否正确: （1）无限小数都是无理数.（） （2）无理数都是无限小数.（） （3）带根号地数都是无理数.（） 2.在下列各数中,哪些数是有理数,哪些数是无理数？ 4 7 四,我地疑惑 _____________________________________________________________________ ________ _____________________________________________________________________ ________ _____________________________________________________________________ ________ _____________________________________________________________________ ________ _____________________________________________________________________ ________ 要点探究 探究点:无理数及实数地概念 问题:下列各数中,哪些是有理数？哪些是无理数？ 3．14,－ 5 3 ,0.58 ·· ,－0.125,－5π,0.35, 22 7 ,5.3131131113…(相邻两个3之间1地个数逐次加1)． 认识无理数 教师寄语：迎着 朝阳自我激励，一天努力，沐着晚霞自我反馈，一天无悔. 一、学习目标——目标明确、有的放矢 1、会判断一个数是有理数还是无理数； 2、探索无理数的定义，以及无理数与有理数的区别，并能辨别出一个数是无理数还是有理数. 课标要求：了解无理数的概念． 二、温馨提示——方法得当、事半功倍 学习重点：了解无理数与有理数的区别，并能正确地进行判断． 学习难点：无理数概念的建立及估算． 预习提示：阅读教材21-24页. 三、课前热身——激发兴趣、温故知新 1. 勾股定理：直角三角形两直角边的________等于斜边的______． 2. 有理数的概念：_________和_________统称为有理数． 四、课堂探究——质疑解疑、合作探究 探究点1：判断一个数不是有理数 有两个边长为1的小正方形，剪一剪，拼一拼，设法得到一个大的正方形. ⑴ 假设拼成大正方形的边长为a ，则a 应满足什么条件呢？ ⑵ a 可能是整数吗？说说你的理由. ⑶ a 可能是分数吗？说说你的理由. 结论：a 既不是________，也不是____________． (1)在右图中，以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少？ (2)设该正方形的边长为b ，则b 应满足什么条件？b 是有理数吗？ 结论：上面讨论的数a ，b 都不是有理数，而是另一类数——无理数． 例题：面积为6的长方形，长是宽的2倍，则宽为（ ） A ．小数 B ．分数 C ．无理数 D ．不能确定 练习：在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC= 2 3 ，BC=2，则AB 为（ ） A ．整数 B ．分数 C ．无理数 D ．不能确定 探究点2：无理数概念 如图：面积为2的正方形的边长a 究竟是多少呢？ ⑴ 三个正方形的边长之间有怎样的大小关系？说说你的理由． ⑵ 边长a 的整数部分是几？十分位是几？百分位呢？ ⑶ 小明的探索过程如下： 4 ⑷ a 可能是有限小数吗？ 事实上，a =1.414 213 56…它是一个无限不循环小数. 无理数的概念:无限不循环小数叫无理数． 例题：下列说法正确的是（ ） A ．无限小数是无理数 B ．不循环小数是无理数 C ．无限不循环小数是无理数 D ．面积为4的正方形的边长是无理数 练习：下列说法中正确的是（ ） A ．有理数是有限小数 B ．无限小数是无理数 2.1 认识无理数〔第2课时〕 学习目标： 1．借助计算器探索无理数是无限不循环小数，培养学生的估算能力，开展学生的抽象概括能力，并从中体会无限逼近的思想。 2．探索无理数的定义，比拟无理数与有理数的区别，并能区分出一个数是无理数还是有理数，进一步体会分类思想。 预习案 课习导学： 阅读课本P22-24,完成以下内容 1、有理数是如何分类的？ 2、称为无理数。 尝试练习 填空:0.351， 4.96••-，32- ， 3.14159， 6， －5.2323332…，3 π，…(由相继的正整数组成). 学习案 知识点拨： 1. 探索无理数的小数表示 2. 明确无理数的概念 课内训练： 1、借助计算器以小组讨论的形式对面积为2的正方形的边长a 和面积为5的正方形的边长b 进行估计. 2、使用计算器计算，把以下有理数写成小数的形式，你有什么发现？ 3，9 5,9011,119,847,53-. 议一议：分数化成小数，最终此小数的形式有哪几种情况？ 我们把无限不循环小数叫做无理数.(圆周率π=3.14159265…也是一个无限不循环小数，故π是无理数). 3、判断以下说法是否正确 (1)有限小数是有理数; 〔 〕 (2)无限小数都是无理数; 〔 〕 (3)无理数都是无限小数; 〔 〕 (4)有理数是有限数. 〔 〕 反应案 根底训练 ：在数4 3-，5， 1.42••-，π，3.1416，32，0，24，2n (1)- ， －1.424224222…中， 〔1〕写出所有有理数； 〔2〕写出所有无理数； 〔3〕把这些数按由小到大的顺序排列起来，并用符号“<〞连接. 拓展提高 1、以下各正方形的边长是无理数的是〔 〕 〔A 〕面积为25的正方形； 〔B 〕面积为25 4的正方形； 〔C 〕 面积为8的正方形； 〔D 〕 面积为1.44的正方形. 2、一个直角三角形两条直角边的长分别是3和5，那么斜边a 是有理数吗? 有理数集合 无理数集合 … … 无理数 一、学生起点分析 学生在小学阶段已经学习了非负数，七年级又学习了有理数.本章第一课时的学习，学生感受到了生活中确实存在着不是有理数的数，让学生认识到所学的数又不够用了，从而激发他们学习的好奇心，能积极主动地参与到学习中，充分认识到学习无理数引入的必要性，发展学生的合情推理能力. 二、教学任务分析 1．借助计算器探索无理数是无限不循环小数，借助计算器进行估算，培养学生的估算能力，发展学生的抽象概括能力，并从中体会无限逼近的思想. 2．探索无理数的定义，比较无理数与有理数的区别，并能辨别出一个数是无理数还是有理数，训练学生的思维判断能力. 3．能够准确地将目前所学习的数按不同角度进行分类，并说明理由，进一步体会分类思想，培养学生解决问题的能力. 4.充分调动学生参与数学问题的积极性，培养学生的合作精神，提高他们的辨识能力. 三、教学过程设计 本节课设计六个教学环节: 第一环节：新课引入；第二环节：活动与探究；第三环节：知识分类整理；第四环节：知识运用与巩固；第五环节：课堂小结；第六环节：作业布置. 第一环节：新课引入 内容:想一想： 1. 有理数是如何分类的？ 整数（如1-，0，2，3，…) 有理数 分数(如3 1，5 2-， 11 9 ，0.5，… ) 2. 除上面的数以外，我们还学习过哪些不同的数? 如圆周率π，0.00002…上节课又了解到一些数，如22=a ，25=b 中的a ，b 不是整数，能不能转化成分数呢？那么它们究竟是什么数呢？本节课我们就来揭示它们的真面目. 意图：通过这些问题让学生发现有理数不够用了，存在既不是整数，也不是分数的数，激发学生的求知欲，去揭示它的真面目. 效果：激发学生的好奇心和求知欲，引出本节课题“数不够用了（2）”. 第二个环节：活动与探究 1. 探索无理数的小数表示 内容：借助计算器以小组讨论的形式对面积为2的正方形的边长a 和面积为5的正方形的边长b 进行估计. 请看图，判断下面3个正方形的边长之间有怎样的大小关系？边长a 八年级数学上册知识点：无理数 无理数的定义 无理数是指实数范围内不能表示成两个整数之比的数。简单的说，无理数就是10进制下的无限不循环小数。 初一数学阶段接触到的无理数主要有无限不循环小数、开方开不尽的数、含有圆周率π的代数式。 有理数和无理数的区别 实数分为有理数和无理数。有理数和无理数主要区别有两点： ）把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数或无限循环小数，比如4=4.0；4/5=0.8；1/3=0.3...而无理数只能写成无限不循环小数，比如√2=1.4142，π=3.1415926，根据这一点，人们把无理数定义为无限不循环小数． ）所有的有理数都可以写成两个整数之比，而无理数却不能写成两个整数之比．根据这一点，有人建议给无理数摘掉“无理”的帽子，把有理数改叫“比数”，把无理数改叫“非比数”. 初一时，我们认识了负数，使数的范围扩展到了有理数，初二，我们又开始学习了无理数，把数的范围再一次扩展到了实数。刚刚学习无理数，认为无理数不象有理数那样，直 观易懂，总有一种虚幻的感觉，其次，无理数和有理数一样，有自己的鲜明特征。那么怎样学习无理数呢？请同学们注意以下四个方面。 一.明确无理数的存在 无理数来自实践，无理数并不“无理”，也不是人们臆想出来的，它是实实在在存在的，例如： 一个直角三角形，两条直角边长分别为1和2，由勾股定理知，它的斜边长为； 任何一个圆，它的周长和直径之比为一常数等等； 像这样的数，在我们周围的生活中，不是只有少数几个，而是像有理数一样有无限个。 二.弄清无理数的定义 教材中指出：无限不循环小数叫无理数，这说明无理数是具有两个基本特征的小数：一是小数位数是无限的；二是不循环的。这对初学者来说有一定难度，因此，我们必须掌握它的表现形式。 三.掌握无理数的表现形式 在初中阶段，无理数表现形式主要有以下几种： 无限不循环的小数，如0.1010010001…… 含的数，如：，，等。 开方开不尽而得到的数，如，等。 某些三角函数值：如，等。 课题：2.1.1.认识无理数课型：新授课年级：八年级教学目标： 1．经历拼图活动的过程，感受无理数产生的实际背景和引入的必要性。 2．通过学生亲自动手拼图，感受无理数存在的合理性，培养学生的动手能力和合作精神.通过回顾有理数的有关知识，能正确地进行推理和判断，识别某些数是否为有理数，训练思维判断能力. 3．引导学生充分进行交流，讨论与探索等教学活动，培养学生的合作与钻研精神，了解有关无理数发现的知识，鼓励学生大胆质疑，培养为真理而奋斗的献身精神. 教学重点与难点： 重点：经历无理数发现的过程．感知生活中确实存在着不同于有理数的数，会判断一个数是否为有理数． 难点：把两个边长为1的正方形拼成一个大正方形的动手操作过程；会判断一个数是否为有理数． 教法与学法： 教法：采用引导发现法。教师着眼于引导，学生着重于探索，在老师的启发引导下，学生经过观察、操作、猜测、推理论证、发现、归纳等方法，探究出新知。 学法：采用动手实践，自主探索、合作交流的学习方法，学生亲历探索的全过程，体验知识产生和发展，在教师的引导下从直观感知上升到理性思考． 课前准备：多媒体课件． 教学过程: 一、创设情境，导入新课 活动内容：解决下面的问题： 小红是刚升入八年级的新生，一个周末的上午，当工程师的爸爸给小红出了两个数学题：1.两个数 3.252525……与 3.252252225……一样吗？它们有什么不同？ 2.一个边长为3米的正方形木板，按如图的痕迹锯 掉四个一样的直角三角形.请计算剩下的正方形木板的 面积是多少？剩下的正方形木板的边长又是多少厘米呢？ 你能帮小红解决这个问题吗？ 【处理方式】：学生先独立思考，小组讨论，并派代表在全班交流，师解答释疑. 【设计意图】:通过问题情境先让学生得到一个以前没有见过的新数，为新课的引入做好铺垫，同时让学生在感性上先体会无理数的客观存在，为新课的学习做好铺垫． 二、探究学习，感悟新知 活动内容1：拼图实践，发现新数 问题1：将课前已准备好的两个边长为1的小正方形剪一剪，拼一拼，设法得到一个大正方形.你能摆出几种不同的方法？ 【处理方式】：学生每四人一组，用自己准备好的两个边长为1的正方形和剪刀，先独立完成，设法得到一个面积为2的正方形，1 一、教学内容： 1、无理数的概念 2、平方根的概念、表示、求法 3、算术平方根的表示、概念、求法 二、教学目标 1、掌握无理数的概念，会判断一个数是否是无理数。 2、理解平方根的概念，会求一个非负数的平方根。 3、理解算术平方根的概念，会求一个非负数的算术平方根。 4、能应用平方根和算术平方根解决问题。 三、知识要点分析 1、无理数的概念 （这是重点）无限不循环小数叫做无理数.无理数可分为正无理数和负无理数.带根号的数不一定是无理数,如9;无理数也不一定带根号,如圆周率. 2、算术平方根 （这是重点）如果一个数x 的平方等于a 即 a x =2 ，那么这个正数x 就叫做a 的算术平 方根，记作“a ”，读作根号“a”；规定0的算术平方根即0=0，如422 =，那么2叫做4 的算术平方根。 3、平方根 （这是重、难点）平方根：如果一个数x 的平方等于a ，即a x =2 ，那么这个数x 就叫做 a 的平方根（也叫做二次方根）；①平方根的意义：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0只有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根；②开方：求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方，其中a 叫做被开方数。 【典型例题】 考点一：无理数的概念 例1. 如图，每个小正方形的边长为1，四边形ABCD 的AC 、BD 相交于O ，试说明边 长AB 、BC 、CD 、AD 和对角线AC 、BD 的长度哪些是有理数，哪些不是有理数。 【思路分析】从图上看AC 、BD 、AB 是有理数，因此BC 、CD 、AD 的长度不是有理数． 解：AC=7，BD=5是有理数，而AO=4，BO=3，CO=3，DO=2，由勾股定理AB 2=32+4=25,AB=5是有理数，而BC 2=32+32=18,CD 2=32+22=13,AD 2=42+22=20,因此BC 、CD 、 AD 的长度不是有理数。 方法与规律:利用网格的特点进行分析，并借助勾股定理及数的平方来判定什么是有理数，什么不是有理数。 例2 如图，在△ABC 中，AC ＝b,CD=5，高AD 可能是整数吗?可能是分数吗?可能是有理数吗? 【思路分析】找出直角三角形,利用勾股定理计算AD 的平方是b 2-25，由于b 的取值不同,结果不一样，不妨试一试 解：可能是整数，可能是分数，也可能是无理数. 方法与规律：根据有理数的特点，只要这个数是整数或分数则属于有理数，否则，不是有理数。 考点二：算术平方根 例3. 求下列各数的算术平方根。 （1）225 （2）12125 （3）971 （4）2)32 ( 【思路分析】求一个正数的算术平方根，只要先找出一个正数的平方等于这个数，不必考虑负数平方等于这个数；如果一个数为带分数，一般先化成假分数，再求其算术平方根。 解：（1）因为152=225，所以225的算术平方根是15，即225=15。 （2）因为2) 115( =12125 ，所以12125的算术平方根是115，即12125= 115 。 （3）197=916，因为（34）2=916，所以197的算术平方根是34（或131），即) 971(=131。 2.1 认识无理数（1）教学设计 一、学生起点分析 通过前一章《勾股定理》的学习，学生已经明白什么是勾股数，但也发现并不是所有的直角三角形的边长都是勾股数，甚至有些直角三角形的边长连有理数都不是，例如：①腰长为1的等腰直角三角形的底边长不是有理数，②两条直角边分别为1，2的直角三角形的斜边长不是有理数，这为引入“新数”奠定了必要性． 二、教学任务分析 《数不够用了》是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级（上）第二章《实数》的第一节．本节内容安排了2个课时完成，第1课时让学生感受无理数的存在，初步建立无理数的印象，结合勾股定理知识，会根据要求画线段；第2课时借助计算器感受无理数是无限不循环小数，会判断一个数是无理数．本课是第1课时，学生将在具体的实例中，通过操作、估算、分析等活动，感受无理数的客观存在性和引入的必要性，并能判断一个数是不是有理数． 本节课的教学目标是： ①通过拼图活动，让学生感受客观世界中无理数的存在； ②能判断三角形的某边长是否为无理数； ③学生亲自动手做拼图活动，培养学生的动手能力和探索精神； ④能正确地进行判断某些数是否为有理数，加深对有理数和无理数的理解； 三、教学过程设计 本节课设计了6个教学环节： 第一环节：置疑；第二环节：课题引入；第三环节：获取新知；第四环节：应用与巩固；第五环节：课堂小结；第六环节：作业布置． 第一环节：质疑 内容：【想一想】 ⑴一个整数的平方一定是整数吗？ ⑵一个分数的平方一定是分数吗？ 目的：作必要的知识回顾，为第二环节埋下伏笔，便于后续问题的说理． 效果：为后续环节的进行起了很好的铺垫的作用 第二环节：课题引入 内容：1．【算一算】 已知一个直角三角形的两条直角边长分别为1和2，算一算斜边长的平方，并提出问题：是整数（或分数）吗？ 2．【剪剪拼拼】 把边长为1的两个小正方形通过剪、拼，设法拼成一个大正方形，你会吗？ 目的：选取客观存在的“无理数“实例，让学生深刻感受“数不够用了”． 效果：巧设问题背景，顺利引入本节课题． 第三环节：获取新知 内容：【议一议】→【释一释】→【忆一忆】→【找一找】 【议一议】：已知，请问：①可能是整数吗？②可能是分数吗？ 【释一释】：释1．满足的为什么不是整数？ 释2．满足的为什么不是分数？ 【忆一忆】：让学生回顾“有理数”概念，既然不是整数也不是分数，那么一定不是有理数，这表明：有理数不够用了，为“新数”（无理数）的学习奠 定了基础 【找一找】：在下列正方形网格中，先找出长度为有理数的线段，再找出长度不是有理数的线段 目的：创设从感性到理性的认知过程，让学生充分感受“新数”（无理数）的存在，从而激发学习新知的兴趣 效果：学生感受到无理数产生的过程，确定存在一种数与以往学过的数不同，产生了学习新数的必要性． 第四环节：应用与巩固 内容：【画一画1】→【画一画2】→【仿一仿】→【赛一赛】 【画一画1】：在右1的正方形网格中，画出两条线段： 1．长度是有理数的线段 2．长度不是有理数的线段 【画一画2】：在右2的正方形网格中画出四个三角形（右1） 2．三边长都是有理数 2．只有两边长是有理数 3．只有一边长是有理数 4．三边长都不是有理数 【仿一仿】：例：在数轴上表示满足的2021年同课异构市级比赛《认识无理数》一等奖教案 (6)
八年级上数学知识点无理数
初中八年级数学学案无理数
【人教版】2020八年级数学上册 第二章 实数 2.1 认识无理数学案
八年级上数学.1认识无理数(2)
冀教版八年级上册数学第14章 实数 【教学设计】无理数
八年级数学上册知识点：无理数
初中数学_认识无理数教学设计学情分析教材分析课后反思
八年级数学上 无理数的概念
八年级数学上册 2.1 认识无理数教学设计(1) (新版)北师大版