§12.7 条件概率与事件的独立性汇总

第十二章 统计与概率

§12.7 条件概率与事件的独立性

【知识回顾】

1．条件概率及其性质

(1)相互独立的定义：事件A 是否发生对事件B 发生的概率__________，即__________这时，称两个事件A ，

B 相互独立，并把这两个事件叫做相互独立事件． (2)概率公式：

3.(1)独立重复试验：

①定义：在__________条件下，__________做n 次试验，各次试验的结果__________，那么一般就称它们为n 次独立重复试验．

②概率公式：在一次试验中事件A 发生的概率为p ，则n 次独立重复试验中，事件A 恰好发

生k 次的概率为P n (k )＝C k n p k (1－p )

n －

k (k ＝0,1,2，…，n )． (2)二项分布：在n 次独立重复试验中，事件A 发生的次数

第170页设为X ，事件A 不发生的概率为q ＝1－p ，则n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率是P (X ＝k )＝__________，其中k ＝0,1,2，…，n .于是X 的分布列：

若X ～B (n ，p )，则E (X )＝np ，D (X )＝npq ．

参考答案：1．事件A 发生，事件B 发生，P (B |A )，P (A )，A ∩B 2.(1)没有影响，P (B |A )＝P (B )．

3.(2)概率公式：P (A )×P (B )，P (A 1)×P (A 2)×…×P (A n ) 3.(1)①相同的，重复地，相互独立，

(2)C k n p k q n －

k ，C 0n p 0q

n C 1

n pq n －1

C n n p n q

X ～B (n ，p )．

【基础训练】

1．判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)条件概率一定不等于它的非条件概率．(×)

(2)相互独立事件就是互斥事件．(×)

(3)对于任意两个事件，公式P (AB )＝P (A )P (B )都成立．(×)

(4)P (B |A )表示在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率，P (BA )表示事件A ，B 同时发生的概率．(√)

2．袋中有3红5黑8个大小形状相同的小球，从中依次摸出两个小球，则在第一次摸得红球的条件下，第二次仍是红球的概率为( ) A.38 B.27 C.28 D.37

解析 第一次摸出红球，还剩2红5黑共7个小球，所以再摸到红球的概率为27.

答案 B

3．某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为4

5，那么播下3粒这样的种子恰有2粒发芽的

概率是( )

A.12125

B.16125

C.48125

D.96125

解析 每1粒发芽的概率为定值，播下3粒种子相当于做了3次重复试验，用X 表示发芽的粒数，独立重复试验服从二项分布，即B ～????3，45，P (X ＝2)＝C 23×????452

×????151

＝48125. 答案 C

4．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( ) A.0.648

B.0.432

C.0.36

D.0.312

解析 根据独立重复试验公式得，该同学通过测试的概率为22330.60.40.6C ?+=0.648.

答案 A

5．国庆节放假，甲去北京旅游的概率为13，乙去北京旅游的概率为1

4，假定二人的行动相互

之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为________．

解析 记在国庆期间“甲去北京旅游”为事件A ，“乙去北京旅游”为事件B ，又P (A －

B －

)＝P (A －

)·P (B －

)＝[1－P (A )][1－P (B )]＝????1－13????1－14＝12

，

甲、乙二人至少有一人去北京旅游的对立事件为甲、乙二人都不去北京旅游，所求概率为1－P (A －

B －

)＝1－12＝1

2

.

答案 12

【例题分析】

例1．(1)从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A ＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B ＝“取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )等于( ) A.18 B.14 C.25 D.12

(2)已知1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，则两次都取到红球的概率是( ) A.1127 B.1124 C.827 D.924

解析 (1)法一 (1)P (A )＝C 23＋C 2

2

C 2

5＝410＝25

， P (AB )＝C 22

C 25＝110

，由条件概率公式，得

P (B |A )＝P （AB ）P （A ）

＝1

10410

＝1

4.

法二 n (A )＝C 23＋C 2

2＝4，n (AB )＝1，

∴P (B |A )＝n （AB ）n （A ）＝1

4

.

(2)设从1号箱取到红球为事件A ，从2号箱取到红球为事件B . 由题意，P (A )＝

42＋4＝2

3，P (B |A )＝3＋18＋1＝49

， ∴P (AB )＝P (B |A )·P (A )＝23×49＝8

27，

所以两次都取到红球的概率为8

27.

答案 (1)B (2)C

规律方法 条件概率的求法：(1)利用定义，分别求P (A )和P (AB )，得P (B |A )＝

P （AB ）

P （A ）

.这

是通用的求条件概率的方法．(2)借助古典概型概率公式，先求事件A 包含的基本事件数n (A )，再在事件A 发生的条件下求事件B 包含的基本事件数，即n (AB )，得P (B |A )＝

n （AB ）

n （A ）

.

变式练习1： 已知盒中装有3只螺口灯泡与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则在他第1

次抽到的是螺口灯泡的条件下，第2次抽到的是卡口灯泡的概率为( ) A.310 B.29 C.78 D.79

解析 法一 设事件A 为“第1次抽到的是螺口灯泡”，事件B 为“第2次抽到的是卡口灯泡”，则P (A )＝310

，

P (AB )＝310×79＝7

30，则所求概率为P (B |A )＝P （AB ）P （A ）

＝7

30310

＝79.

法二 第1次抽到螺口灯泡后还剩余9只灯泡，其中有7只卡口灯泡，故第2次抽到卡口灯泡的概率为C 17C 19＝79.

答案 D

例2．在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手(1至5号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中选3名歌手．

(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；

(2)X 表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求“X ≥2”的事件概率． 解 (1)设A 表示事件“观众甲选中3号歌手”，B 表示事件“观众乙选中3号歌手”， 则P (A )＝C 12C 23＝23，P (B )＝C 24

C 35＝35

.

∵事件A 与B 相互独立，A 与B －

相互独立．则A ·B －

表示事件“甲选中3号歌手，且乙没选中3号歌手”．

∴P (AB －

)＝P (A )·P (B －

)＝P (A )·[1－P (B )]＝23×25＝4

15

，

(2)设C 表示事件“观众丙选中3号歌手”， 则P (C )＝C 24

C 35＝35

，

依题意，A ，B ，C 相互独立，A －

，B －

，C －

相互独立，

且ABC －

，AB －

C ，A －

BC ，ABC 彼此互斥．

又P (X ＝2)＝P (ABC －

)＋P (AB －

C )＋P (A －

BC ) ＝23×35×25＋23×25×35＋13×35×35＝3375， P (X ＝3)＝P (ABC )＝23×35×35＝18

75

，

∴P (X ≥2)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝3375＋1875＝17

25

.

规律方法 (1)正确分析所求事件的构成，将其转化为几个彼此互斥事件的和或相互独立事件的积，然后利用相关公式进行计算．(2)注意根据问题情境正确判断事件的独立性．(3)在应用相互独立事件的概率公式时，对含有“至多有一个发生”“至少有一个发生”的情况，可结合对立事件的概率求解．

变式练习2：甲、乙两人各进行一次射击，如果两人击中目标的概率都是0.8，计算： (1)两人都击中目标的概率； (2)其中恰有一人击中目标的概率； (3)至少有一人击中目标的概率．

解 记“甲射击一次，击中目标”为事件A ，“乙射击一次，击中目标”为事件B .“两人都

击中目标”是事件AB ；“恰有1人击中目标”是AB －

∪A －

B ；“至少有1人击中目标”是

AB ∪AB －

∪A －

B .

(1)显然，“两人各射击一次，都击中目标”就是事件AB ，又由于事件A 与B 相互独立，∴P (AB )＝P (A )·P (B )＝0.8×0.8＝0.64.

(2)“两人各射击一次，恰好有一人击中目标”包括两种情况：一种是甲击中乙未击中(即

AB －

)，另一种是甲未击中乙击中(即A －

B )．根据题意，这两种情况在各射击一次时不可能同时

发生，即事件AB －

与A －

B 是互斥的，所以所求概率为P ＝P (AB －

)＋P (A －

B )＝P (A )·P (B －

)＋P (A －

)·P (B )＝0.8×(1－0.8)＋(1－0.8)×0.8＝0.16＋0.16＝0.32.

(3)“两人各射击一次，至少有一人击中目标”的概率为P ＝P (AB )＋[P (AB －

)＋

P (A －

B )]＝0.64＋0.32＝0.96.

例3．一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分(即获得－200分)．设每次击鼓出现音乐的概率为1

2，且各次击鼓出现音乐相互独立．

(1)设每盘游戏获得的分数为X ，求X 的分布列； (2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率． 解 (1)X 可能的取值为10，20，100，－200. 根据题意，有

P (X ＝10)＝C 13×

????121×????1－122

＝38

，

P (X ＝20)＝C 23×

????122

×????1－121

＝38

，

P (X ＝100)＝C 33×

????123×????1－120

＝18，

P (X ＝－200)＝C 03×????120

×????1－123

＝18

. 所以X 的分布列为

(2)设“第i i 则P (A 1)＝P (A 2)＝P (A 3)＝P (X ＝－200)＝1

8

.

所以，“三盘游戏中至少有一次出现音乐”的概率为 1－P (A 1A 2A 3)＝1－????183

＝1－1512＝511512

. 因此，玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是511512

.

规律方法 利用独立重复试验概率公式可以简化求概率的过程，但需要注意检查该概率模型

是否满足公式P n (k )＝C k n p k (1－p )

n －k

的三个条件：(1)在一次试验中某事件A 发生的概率是一个常数p ；(2)n 次试验不仅是在完全相同的情况下进行的重复试验，而且各次试验的结果是相互独立的；(3)该公式表示n 次试验中事件A 恰好发生了k 次的概率．

变式练习3：乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行，比赛采用7局4胜制(即先胜4局者获胜，比赛结束)，假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同． (1)求甲以4比1获胜的概率；

(2)求乙获胜且比赛局数多于5局的概率； (3)求比赛局数的分布列．

解 (1)由已知，得甲、乙两名运动员在每一局比赛中获胜的概率都是1

2.

记“甲以4比1获胜”为事件A ， 则

P (A )＝C 3

4

????123????124－3·12＝18

. (2)记“乙获胜且比赛局数多于5局”为事件B .乙以4比2获胜的概率为P 1＝C 35

????123

???

?125－3·12＝5

32

， 乙以4比3获胜的概率为

P 2＝C 36

????123????126－3·12＝532，所以P (B )＝P 1＋P 2

＝516

. (3)设比赛的局数为X ，则X 的可能取值为4，5，6，7.

P (X ＝4)＝2C 44????124

＝18，

P (X ＝5)＝2C 34???

?123????124－3·12＝14

， P (X ＝6)＝2C 35????123????125－3·12＝516， P (X ＝7)＝2C 36

????123????126－3·12＝516

. 比赛局数的分布列为

【课后练习】

1．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是( ) A ．0.8

B ．0.75

C ．0.6

D ．0.45

解析 记事件A 表示“一天的空气质量为优良”，事件B 表示“随后一天的空气质量为优良”，P (A )＝0.75，P (AB )＝0.6，由条件概率公式P (B |A )＝P （AB ）P （A ），可得所求概率为0.6

0.75＝

0.8. 答案 A

2．设随机变量X ～B ），（2

16，则P (X ＝3)等于( )

A.5

16

B.3

16

C.58

D.38

解析 X ～B ），（2

16，由二项分布可得， P (X ＝3)＝C 36

3

21）（32

11）（-·＝516. 答案 A

3．甲射击命中目标的概率是12，乙命中目标的概率是13，丙命中目标的概率是1

4.现在三人同

时射击目标，则目标被击中的概率为( ) A.3

4

B.23

C.45

D.7

10

解析 设甲命中目标为事件A ，乙命中目标为事件B ，丙命中目标为事件C ，则击中目标表

示事件A ，B ，C 中至少有一个发生．又P (A －

·B －

·C －

)＝P (A －

)·P (B －

)·P (C －

)＝[1－P (A )]·[1－P (B )]·[1－P (C )]＝????1－12×????1－13×????1－14＝14.∴击中的概率P ＝1－P (A －

·B －

·C －

)＝3

4

. 答案 A

4．一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了X 次球，则P (X ＝12)等于( ) A ．2

10

10

12)8

5()8

3(C

B ．83

)

85()8

3(29

9

12C C ．2

2

911)8

3()8

5(C

D ．2

10

9

11)8

5()8

3(C

解析 由题意知第12次取到红球，前11次中恰有9次红球2次白球，由于每次取到红球的概率为38

，

所以P (X ＝12)＝8

3

)85()8

3

(29

9

11C . 答案 D

5．已知随机变量X 服从二项分布(),n p B ，若()30E X =，()D 20X =，则p = ． 答案

13

． 6．某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为16

25，

则该队员每次罚球的命中率为________．

解析 设该队员每次罚球的命中率为p ，其中0

5.

答案 3

5

7．有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率为________．

解析 设种子发芽为事件A ，种子成长为幼苗为事件B (发芽又成活为幼苗)． 依题意P (B |A )＝0.8，P (A )＝0.9.

根据条件概率公式P (AB )＝P (B |A )·P (A )＝0.8×0.9＝0.72，即这粒种子能成长为幼苗的概率为0.72. 答案 0.72

8．某一部件由三个电子元件按如图所示方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件

3正常工作，则部件正常工作．设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N (1 000，502)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为________．

解析 设元件1，2，3的使用寿命超过1 000小时的事件分别记为A ，B ，C ，显然P (A )＝

P (B )＝P (C )＝1

2

，∴该部件的使用寿命超过1 000小时的事件为(AB －＋A －

B ＋AB )

C ，

∴该部件的使用寿命超过1 000小时的概率 P ＝????12×12＋12×12＋12×12×12＝38. 答案 38

9．某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为1

6.甲、乙、丙三位同学每人购买了一

瓶该饮料．

(1)求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率； (2)求中奖人数X 的分布列．

解 (1)设甲、乙、丙中奖的事件分别为A ，B ，C ，且相互独立，那么A ，B －

，C －

相互独立． 又P (A )＝P (B )＝P (C )＝1

6

，

∴P (A ·B －

·C －

)＝P (A )P (B －

)P (C －

)＝16·????562＝25

216

，

即甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率为25

216.

(2)X 的可能取值为0，1，2，3，且X ～B ????3，16， ∴P (X ＝k )＝C k 3????16k ???

?563－k

(k ＝0，1，2，3)． 则

P (X ＝0)＝C 03

????160????563

＝125216

， P (X ＝1)＝C 13????161????562

＝2572， P (X ＝2)＝C 23

????162????561

＝572

，

P (X ＝3)＝C 33

????163????560

＝1216

， 所以中奖人数X 的分布列为

10.产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：

(1)设X (2)若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于2 000元的概率． 解 (1)设A 表示事件“作物产量为300 kg ”，B 表示事件“作物市场价格为6元/kg ”，由题设知P (A )＝0.5，P (B )＝0.4， 因为利润＝产量×市场价格－成本， 所以X 所有可能的取值为

500×10－1 000＝4 000，500×6－1 000＝2 000， 300×10－1 000＝2 000，300×6－1 000＝800.

P (X ＝4 000)＝P (A －

)P (B －

)＝(1－0.5)×(1－0.4)＝0.3，

P (X ＝2 000)＝P (A －

)P (B )＋P (A )P (B －

)＝(1－0.5)×0.4＋0.5×(1－0.4)＝0.5， P (X ＝800)＝P (A )P (B )＝0.5×0.4＝0.2， 所求X 的分布列为

(2)设C i 表示事件“第i 由题意知C 1，C 2，C 3相互独立，由(1)知，

P (C i )＝P (X ＝4 000)＋P (X ＝2 000)＝0.3＋0.5＝0.8(i ＝1，2，3)， 3季的利润均不少于2 000元的概率为 P (C 1C 2C 3)＝P (C 1)P (C 2)P (C 3)＝0.83＝0.512； 3季中有2季的利润不少于2 000元的概率为

P (C －

1C 2C 3)＋P (C 1 C －

2C 3)＋P (C 1C 2 C －

3)＝3×0.82×0.2＝0.384， 所以，这3季中至少有2季的利润不少于2 000元的概率为

0．512＋0.384＝0.896.

11．设随机变量X ～B (2，p )，Y ～B (4，p )，若P (X ≥1)＝5

9，则P (Y ≥2)的值为( )

A.32

81

B.11

27

C.65

81

D.1681

解析 P (X ≥1)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝C 12p (1－p )＋C 22

p 2

＝59，解得p ＝13(0≤p ≤1，故p ＝53舍去)． 故

P (Y ≥2)＝1－P (Y ＝0)－P (Y ＝1)＝1－C 04×

????234

－C 14×13×????233

＝1127. 答案 B

12．口袋里放有大小相等的两个红球和一个白球，有放回地每次摸取一个球，定义数列{a n }：

a n ＝?

????－1，第n 次摸取红球，

1，第n 次摸取白球，如果S n 为数列{a n }的前n 项和，那么S 7＝3的概率为 ( )

A ．5

2

5

7)3

2()3

1

(C

B ．5

2

2

7)3

1()3

2(C C ．5

2

5

7)3

1()3

1(C

D ．5

2

3

7)3

2()3

1(C

解析 S 7＝3即为7次摸球中，有5次摸到白球，2次摸到红球，又摸到红球的概率为2

3，摸

到白球的概率为13.故所求概率为P ＝C 27????232????135.

答案 B

13．某射手每次击中目标的概率是2

3，各次射击互不影响，若规定：其若连续两次射击不中，

则停止射击，则其恰好在射击完第5次后停止射击的概率为________．

解析 由题意该射手第四、五次未击中，第三次击中，第一、二次至少有一次击中，由于互

为不影响，所以所求概率为P ＝??????1－????132×23×

????132＝16

243

. 答案

16243

14．现有甲、乙两个靶，某射手向甲靶射击一次，命中的概率为3

4，命中得1分，没有命中

得0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为2

3，每命中一次得2分，没有命中得0分．该

射手每次射击的结果相互独立．假设该射手完成以上三次射击． (1)求该射手恰好命中一次的概率； (2)求该射手的总得分X 的分布列．

解 (1)记“该射手恰好命中一次”为事件A ，“该射手射击甲靶命中”为事件B ，“该射手第一次射击乙靶命中”为事件C ，“该射手第二次射击乙靶命中”为事件D ，由题意知P (B )＝34

，

P (C )＝P (D )＝2

3

，由于A ＝BC － D －＋B －C D －＋B － C －

D ，

根据事件的独立性和互斥性得

P (A )＝P (BC －

D －

＋B －

CD －

＋B －

C －

D )

＝P (BC －

D －

)＋P (B －

C D －

)＋P (B －

C －

D )

＝P (B )P (C －

)P (D －

)＋P (B －

)P (C )P (D －

)＋P (B －

)P (C －

)P (D )

＝3

4×????1－23×????1－23＋?

???1－34×23×????1－23＋????1－34×????1－23×23＝736. (2)根据题意，X 的所有可能取值为0，1，2，3，4，5， 根据事件的独立性和互斥性得

P (X ＝0)＝P (B －

C －

D －

)＝[1－P (B )][1－P (C )][1－P (D )] ＝????1－34×????1－23×????1－23＝136

， P (X ＝1)＝P (BC －

D －

)＝P (B )P (C －

)P (D －

) ＝34×????1－23×????1－23＝112

， P (X ＝2)＝P (B －

C D －

＋B －C －

D )＝P (B －

CD －

)＋P (B －C －

D )＝????1－34×23×????1－23＋????1－34×????1－23×2

3

＝1

9

， P (X ＝3)＝P (BCD －

＋BC －

D )＝P (BCD －

)＋P (BC －

D )＝34×2

3×????1－23＋34×????1－23×23＝13

， P (X ＝4)＝P (B －

CD )＝????1－34×23×23＝1

9

， P (X ＝5)＝P (BCD )＝34×23×23＝1

3.

故X 的分布列为

条件概率与独立性

()()()()()()()()1012+C AB A P AB n P B A P A n P B A B C P B C A P B A P A ?????==????≤≤?????=???定义：对于两个事件A 和B ，在已知事件A 发生 的条件下，事件B 发生的概率。 公式：古典概型条件概率、性质、若事件、互斥，则有 条件概率题型： 题型一：根据公式换算求概率 ()()()()11,,23P B A P A B P A P B ===求（P(B)=1/3） 若P (A )＝34，P (B |A )＝12 ，则P (AB )等于 ( 3/8 ) 题型二：求条件概率 ()()()P AB P B A P A ?=???? 公式法：条件概率求解基本事件法：确定新的基本事件空间 1、公式法：由条件概率公式 ()()()P AB P B A P A =，分别求出()P AB 和()P A ，代入即可；公式法适用于所有条件概率问题；如例1 2、基本事件法：确定满足已知条件事件A 的基本事件数，确定新的基本事件 空间。基本事件法适用于解决与古典概型或几何概型相关的条件概率问题，比公式法方便，尤其是解决对于有次序的条件概率问题，如例2 用两种方法求解下列问题： 例1、 （公式法）盒中装有形状，大小完全相同的5个球，其中红色球3个， 黄色球2个，若从中随机取出2个球，已知其中一个为红色，则另一个为黄色的概率为（ ）

A. 3 5 B. C. 2 3 D. 2 5 例2、（基本事件法）袋中装有6个不同的红球和4个不同的白球，不放回地依次摸出2个球，在第1次摸出红球的条件下，第2次摸出的也是红球的概率为（） A．5 9 B． 4 9 C． 2 9 D． 2 3 例3、（基本事件法）有一匹叫Harry的马，参加了100场赛马比赛，赢了20场，输了80场．在这100场比赛中，有30场是下雨天，70场是晴天．在30场下雨天的比赛中，Harry赢了15场．如果明天下雨，Harry参加赛马的赢率是（1/2） 解答：此题所求就是Harry在雨天赛马赢的概率即 151 302 P== 例4、（基本事件法）一个袋中装有7个大小完全相同的球，其中4个白球，3个黄球，从中不放回地摸4次，一次摸一球，已知前两次摸得白球， 则后两次也摸得白球的概率为___1 5 _____． 例5、（基本事件法）某生在一次口试中，共有10题供选择，已知该生会答其中6题，随机从中抽5题供考生回答，答对3题及格，求该生在第 一题不会答的情况下及格的概率．（25 42 ） 习题： 1.把一枚骰子连续掷两次，已知在第一次抛出的是偶数点的情况下，第二次抛 出的也是偶数点的概率为 ( ) A．1 B．1 2 C． 1 3 D． 1 4 2.盒中装有形状，大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个，若 从中随机取出2个球，已知其中一个为红色，则另一个为黄色的概率为（） A. 3 5 B. C. 2 3 D. 2 5 9 10 9 10

随机变量条件概率与事件相互独立

2． 2．1条件概率 一、复习引入： 探究: 三张奖券中只有一张能中奖,现分别由三名同学无放回地抽取,问最后一名同学抽到中奖奖券的概率是否比前两名同学小. 若抽到中奖奖券用“Y ”表示，没有抽到用“ Y ” ，表示，那么三名同学的抽奖结果共有三种可能：Y Y Y ，Y Y Y 和 Y Y Y ．用 B 表示事件“最后一名同学抽到中奖奖券” , 则 B 仅包含一个基本事件Y Y Y ．由古典概型计算公式可 知，最后一名同学抽到中奖奖券的概率为1()3 P B = . 思考:如果已经知道第一名同学没有抽到中奖奖券，那么最后一名同学抽到奖券的概率又是多少？ 因为已知第一名同学没有抽到中奖奖券，所以可能出现的基本事件只有Y Y Y 和Y Y Y ．而“最后一名同学抽到中奖 奖券”包含的基本事件仍是Y Y Y .由古典概型计算公式可知．最后一名同学抽到中奖奖券的概率为 1 2 ，不妨记为P （B|A ) ， 其中A 表示事件“第一名同学没有抽到中奖奖券”. 已知第一名同学的抽奖结果为什么会影响最后一名同学抽到中奖奖券的概率呢？ 在这个问题中，知道第一名同学没有抽到中奖奖券，等价于知道事件 A 一定会发生，导致可能出现的基本事件必然在事件 A 中，从而影响事件 B 发生的概率，使得 P ( B|A ）≠P ( B ) . 思考:对于上面的事件A 和事件B ，P ( B|A ）与它们的概率有什么关系呢？ 用Ω表示三名同学可能抽取的结果全体，则它由三个基本事件组成，即Ω=｛Y Y Y , Y Y Y ,Y Y Y ｝ ．既然已知事件A 必然发生，那么只需在A={Y Y Y , Y Y Y}的范围内考虑问题，即只有两个基本事件Y Y Y 和Y Y Y ．在事件 A 发 生的情况下事件B 发生，等价于事件 A 和事件 B 同时发生，即 AB 发生．而事件 AB 中仅含一个基本事件Y Y Y ，因 此 (|)P B A = 12=() () n AB n A . 其中n ( A ）和 n ( AB ）分别表示事件 A 和事件 AB 所包含的基本事件个数．另一方面，根据古典概型的计算公式， ()() (),()()() n AB n A P AB P A n n = =ΩΩ 其中 n （Ω）表示Ω中包含的基本事件个数．所以， (|)P B A =()()()() ()()()() n AB n AB P AB n n A n P n Ω==ΩΩΩ. 因此，可以通过事件A 和事件AB 的概率来表示P （B| A ) . 条件概率 1.定义 设A 和B 为两个事件，P(A )>0，那么，在“A 已发生”的条件下，B 发生的条件概率（conditional probability ). (|)P B A 读作A 发生的条件下 B 发生的概率．

1.2.1条件概率与独立事件

条件概率 【问题导思】 一个家庭有两个孩子，假设男女出生率一样． (1)这个家庭一男一女的概率是多少？ (2)预先知道这个家庭中至少有一个女孩，这个家庭一男一女的概率是多少？【提示】 (1)12，(2)2 3 . (1)概念：已知事件B 发生的条件下，A 发生的概率称为B 发生时A 发生的条件概率，记为P (A |B )． (2)公式：当P (B )＞0时，P (A |B )＝ P AB P B .

独立事件 【问题导思】 在一次数学测试中，甲考满分，对乙考满分有影响吗？ 【提示】 没有影响． (1)定义：对两个事件A ，B ，如果P (AB )＝P (A )P (B )，则称A ，B 相互独立． (2)性质：如果A ，B 相互独立，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也相互独立． (3)如果A 1，A 2，…，A n 相互独立，则有P (A 1A 2…A n )＝P (A 1)P (A 2)…P (A n ). 应用 在100件产品中有95件合格品，5件不合格品，现从中不放回地 取两次，每次任取一件，试求： (1)第一次取到不合格品的概率； (2)在第一次取到不合格品后，第二次再次取到不合格品的概率． 【思路探究】 求解的关键是判断概率的类型．第一问是古典概型问题；第二问是条件概率问题． 【自主解答】 设“第一次取到不合格品”为事件A ，“第二次取到不合格品”为事件B . (1)P (A )＝5 100 ＝0.05. (2)法一 第一次取走1件不合格品后，还剩下99件产品，其中有4件不合格品．于是第二次再次取到不合格品的概率为 4 99 ，这是一个条件概率，表示为P (B |A )＝499 . 法二 根据条件概率的定义计算，需要先求出事件AB 的概率． P (AB )＝5100×499，∴有P (B |A )＝P AB P A ＝5100× 4995100 ＝499 . 1．注意抽取方式是“不放回”地抽取． 2．解答此类问题的关键是搞清在什么条件下，求什么事件发生的概率． 3．第二问的解法一是利用缩小样本空间的观点计算的，其公式为P (B |A )＝ n AB n A ，此法常应用于古典概型中的条件概率求法．

北师大数学选修课时分层作业2 条件概率与独立事件 含解析

课时分层作业(二) (建议用时：60分钟) [基础达标练] 一、选择题 1．两人打靶，甲击中的概率为0.8，乙击中的概率为0.7，若两人同时射击一目标，则它们都中靶的概率是() A．0.56B．0.48 C．0.75 D．0.6 A[设甲击中为事件A，乙击中为事件B. 因为A，B相互独立，则P(AB)＝P(A)·P(B)＝0.8×0.7＝0.56.] 2．某人忘记了一个电话号码的最后一个数字，只好任意去试拨，他第一次失败、第二次成功的概率是() A.1 10 B. 2 10 C.8 10 D. 9 10 A[某人第一次失败，第二次成功的概率为P＝9×1 10×9 ＝ 1 10，所以选A.] 3．一袋中装有5只白球和3只黄球，在有放回地摸球中，用A1表示第一次摸得白球，A2表示第二次摸得白球，则事件A1与A2是() A．相互独立事件B．不相互独立事件 C．互斥事件D．对立事件 A[由题意可得A2表示“第二次摸到的不是白球”，即A2表示“第二次摸到的是黄球”，由于采用有放回地摸球，故每次是否摸到黄球或白球互不影响，故事件A1与A2是相互独立事件．] 4．如图所示，A，B，C表示3种开关，若在某段时间内它们正常工作的概率分别为0.9,0.8,0.7，那么系统的可靠性是()

A ．0.504 B ．0.994 C ．0.496 D ．0.06 B [系统可靠即A ，B ， C 3种开关至少有一个能正常工作，则P ＝1－[1－P (A )][1－P (B )][1－P (C )] ＝1－(1－0.9)(1－0.8)(1－0.7) ＝1－0.1×0.2×0.3＝0.994.] 5．2018年国庆节放假，甲去北京旅游的概率为1 3，乙，丙去北京旅游的概率分别为14，1 5.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1个去北京旅游的概率为( ) A.5960 B.35 C.12 D.160 B [用A ，B ， C 分别表示甲，乙，丙三人去北京旅游这一事件，三人均不去的概率为P (A B C )＝P (A )·P (B )·P (C )＝23×34×45＝2 5，故至少有一人去北京旅游的概率为1－25＝35.] 二、填空题 6．将两枚均匀的骰子各掷一次，已知点数不同，则有一个是6点的概率为________． 1 3 [设掷两枚骰子点数不同记为事件A ，有一个是6点记为事件B .则P (B |A )＝2×530＝13.] 7．明天上午李明要参加奥运志愿者活动，为了准时起床，他用甲、乙两个闹钟叫醒自己，假设甲闹钟准时响的概率是0.80，乙闹钟准时响的概率是0.90，则两个闹钟至少有一个准时响的概率是________． 0．98 [设A ＝“两个闹钟至少有一个准时响”，

事件的独立性与条件概率练习专题

事件的独立性与条件概率专题 1．口袋内装有100个大小相同的红球、白球和黑球，其中红球有45个，从口袋中摸出一个球，摸出白球的概率为0.23，则摸出黑球的概率为( ) A ．0.31 B ．0.32 C ．0.33 D ．0.36 2．在5道题中有3道理科题和2道文科题．如果不放回地依次抽取2道题，在第1次抽到文科题的条件下，第2次抽到理科题的概率为 ( ) A.12 B.35 C.34 D.310 3．打靶时甲每打10次可中靶8次，乙每打10次可中靶7次，若两人同时射击一个目标，则它们都中靶的概率是( ) A.35 B.34

C.1225 D.1425 4．已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们大小形状完全相同，现需一个红球，甲每次从中任取一个不放回，在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率为( ) A.310 B.13 C.38 D.29 5．(优质试题·济南质检)优质试题年国庆节放假，甲去北京旅游的 概率为13，乙，丙去北京旅游的概率分别为14，15 .假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1个去北京旅游的概率为 ( ) A.5960 B.35 C.12 D.160 6．(优质试题·合肥月考)周老师上数学课时，给班里同学出了两道选择题，她预估计做对第一道题的概率为0.8，做对两道题的概率为0.6，则预估计做对第二道题的概率为( ) A ．0.80 B ．0.75 C ．0.60 D ．0.48 7．从应届毕业生中选拔飞行员，已知该批学生体型合格的概率为13 ，视力合格的概率为16，其他几项标准合格的概率为15 ，从中任选一名学生，则该学生三项均合格的概率为(假设三次标准互不影响)( )

相互独立事件的概率

第79课 相互独立事件的概率 ●考试目标 主词填空 1.如果事件A (或B )是否发生的对事件B (或A )发生的概率没有影响，那么这样的事件叫做相互独 立事件.相互独立事件A 和B 同时发生，记作A ·B,其概率由相互独立事件概率的乘法公式： P (A ·Ｂ)＝Ｐ（Ａ）·Ｐ（Ｂ）． 2.“互斥”事件A 与B ，要记住其判别的依据是A ∩Ｂ=；而“相互独立”事件A 与B ，是指它们中的任何一个发生与否对另一个事件发生的概率没有“影响”. 3.如果在1次试验中，某事件发生的概率为P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次 的概率. P n (k )=k n k k n P P C --)1(． ● 题型示例 点津归纳 【例1】 甲、乙两人各进行一次射击，如果两人击中目标的概率是0.8.计算： (1)两人都击中目标的概率； (2)其中恰有1人击中目标的概率； (3)至少有1人击中目标的概率. 【解前点津】 “两人都击中目标”是事件A ·B ；“恰有1人击中目标”是A ·A B 或·B ；“至少有1人击中目标”是A ·B 或A ·A B 或·B . 【规范解答】 我们来记“甲射击一次击中目标”为事件A ，“乙射击一次击中目标”为事件B . (1)显然，“两人各射击一次，都击中目标”就是事件A ·B ，又由于事件A 与B 相互独立. ∴ P (A ·B )=P (A )·P (B )=0.8×0.8=0.64. (2)“两个各射击一次，恰好有一人击中目标”包括两种情况：一种是甲击中乙未击中(即A ·B )，另一种是甲未击中乙击中(即A ·B )，根据题意这两种情况在各射击一次时不可能同时发生，即事件A ·A B 与·B 是互斥的，所以所求概率为： P =)()()()()()(B P A P B P A P B A P B A P ?+?=?+? =0.8×(1-0.8)+(1-0.8)×0.8=0.16+0.16=0.32. (3) “两人各射击一次，至少有一人击中目标”的概率为： P =P (A ·Ｂ)+［P (A ·A P B ()+·Ｂ)］=0.64+0.32=0.96. 【解后归纳】 本题考查应用相互独立事件同时发生的概率的有关知识的正确应用. 【例2】如图，电路由电池A 、B 、C 并联组成.电池A 、B 、C 损坏的概率分别是0.3、0.2、0.2，求电路断电的概率. 【解前点津】 可规定A =“电池A 损坏”，B =“电池B 损坏”，C =“电池C 损坏”.这样，就有事

概率 2 条件概率与相互独立事件

概率 2 条件概率与相互独立事件 基础梳理 1．条件概率及其性质 (1)对于任何两个事件A 和B ，在已知事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率叫做条件概率，用符号P (B |A )来表示，其公式为P (B |A )＝ P (AB ) P (A ) . 在古典概型中，若用n (A )表示事件A 中基本事件的个数，则P (B |A )＝n (AB ) n (A ) . (2)条件概率具有的性质： ①0≤P (B |A )≤1； ② 如果B 和C 是两互斥事件，则P (B ∪C |A )＝P (B |A )＋P (C |A )． 2．相互独立事件 (1)对于事件A 、B ，若A 的发生与B 的发生互不影响，则称A 、B 是相互独立事件． (2)若A 与B 相互独立，则P (B |A )＝P (B )， P (AB )＝P (B |A )·P (A )＝P (A )·P (B )． (3)若A 与B 相互独立，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也都相互独立． (4)若P (AB )＝P (A )P (B )，则A 与B 相互独立． 基础训练 1.甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军．若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为( )． A.34 B.23 C.35 D.12 2.如图，用K 、A 1、A 2三类不同的元件连接成一个系统，当K 正常工作且A 1、A 2至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K 、A 1、A 2正常工作的概率依次为0.9,0.8,0.8，则系统正常工作的概率为( )． A ．0.960 B ．0.864 C ．0.720 D ．0.576

概率论知识点总结

概率论知识点总结 基本概念随机实验：将一切具有下面三个特点：（1）可重复性（2）多结果性（3）不确定性的试验或观察称为随机试验，简称为试验，常用 E 表示。随机事件：在一次试验中，可能出现也可能不出现的事情（结果）称为随机事件，简称为事件。不可能事件：在试验中不可能出现的事情，记为Ф。 必然事件：在试验中必然出现的事情，记为Ω。 样本点：随机试验的每个基本结果称为样本点，记作ω、样本空间：所有样本点组成的集合称为样本空间、样本空间用Ω表示、一个随机事件就是样本空间的一个子集。基本事件多点集一个随机事件发生，当且仅当该事件所包含的一个样本点出现。事件的关系与运算（就是集合的关系和运算）包含关系：若事件A 发生必然导致事件B发生，则称B包含A，记为或。 相等关系：若且，则称事件A与事件B相等，记为A＝B。事件的和：“事件A与事件B至少有一个发生”是一事件，称此事件为事件A与事件B的和事件。记为A∪B。事件的积：称事件“事件A与事件B都发生”为A与B的积事件，记为A∩ B或AB。事件的差：称事件“事件A发生而事件B不发生”为事件A 与事件B的差事件,记为 A－B。用交并补可以表示为。互斥事件：如果A，B两事件不能同时发生，即AB＝Φ，则称事件A与事件B是互不相容事件或互斥事件。互斥时可记为A＋B。对立事

件：称事件“A不发生”为事件A的对立事件（逆事件），记为。对立事件的性质：。事件运算律：设A，B，C为事件，则有（1）交换律：A∪B=B∪A，AB=BA（2）结合律： A∪(B∪C)=(A∪B)∪C=A∪B∪C A(BC)=(AB)C=ABC（3）分配律：A∪(B∩C)＝(A∪B)∩(A∪C) A(B∪C)＝(A∩B)∪(A∩C)= AB∪AC（4）对偶律（摩根律）： 第二节事件的概率概率的公理化体系：（1）非负性： P(A)≥0；（2）规范性：P(Ω)＝1（3）可数可加性：两两不相容时概率的性质：（1）P(Φ)＝0（2）有限可加性：两两不相容时当AB=Φ时P(A∪B)＝P(A)＋P(B)（3）（4）P(A－B)＝P(A)－ P(AB)（5）P（A∪B）＝P(A)＋P(B)－P(AB)第三节古典概率模型 1、设试验E是古典概型, 其样本空间Ω由n个样本点组成,事件A由k个样本点组成、则定义事件A的概率为 2、几何概率：设事件A是Ω的某个区域，它的面积为 μ(A)，则向区域Ω上随机投掷一点，该点落在区域 A 的概率为假如样本空间Ω可用一线段，或空间中某个区域表示，则事件A 的概率仍可用上式确定，只不过把μ理解为长度或体积即可、第四节条件概率条件概率：在事件B发生的条件下，事件A发生的概率称为条件概率，记作 P(A|B)、乘法公式：P(AB)=P(B)P(A|B)＝P(A)P(B|A)全概率公式：设是一个完备事件组，则

条件概率与独立事件、二项分布练习题及答案

条件概率与独立事件、二项分布 1．(2012·广东汕头模拟)已知某射击运动员，每次击中目标的概率都是0.8，则该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为( ) A ．0.85 B ．0.819 2 C ．0.8 D ．0.75 2．(2011·广东高考)甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军．若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为( ) A.34 B.23 C.35 D.12 3．(2011·湖北高考)如图，用K 、A 1、A 2三类不同的元件连接成一个系统．当K 正常工作且A 1、A 2至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知K 、A 1、A 2正常工作的概率依次为0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为( ) A ．0.960 B ．0.864 C ．0.720 D ．0.576 4．(2011·辽宁高考)从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A ＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B ＝“取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )＝( ) A.18 B.14 C.25 D.1 2 5．(2012·山西模拟)抛掷一枚硬币，出现正反的概率都是1 2 ，构造数列{a n }，使得a n ＝ ????? 1 (第n 次抛掷时出现正面)，－1 (第n 次抛掷时出现反面)， 记S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n (n ∈N *)，则S 4＝2的概率为( ) A.116 B.18 C.1 4 D.1 2 6．高三毕业时，甲、乙、丙等五位同学站成一排合影留念，已知甲、乙二人相邻，则甲、丙相邻的概率是( ) A.12 B.13 C.14 D.25 7．某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为16 25 ，则该队员每次罚球的命中率为________． 8．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于

条件概率与事件的独立性

条件概率与事件的独立性 1． 条件概率及其性质 （1）条件概率的定义：设A 、B 为两个事件，且P(A)>0，称P(A|B)= 为在 发生的条件下， 发生的概率。 2．相互独立事件：事件A （或B ）是否发生对事件B （或A ）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做 . 若A 与B 是相互独立事件，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也相互独立. 3．相互独立事件同时发生的概率：()()()P A B P A P B ?=? 4．互斥事件与相互独立事件是有区别的： 互斥事件与相互独立事件研究的都是两个事件的关系,但互斥的两个事件是一次实验中的两个事件，相互独立的两个事件是在两次试验中得到的，注意区别。 如果A 、B 相互独立，则P （A +B ）=P （A ）+P （B ）-P （A ?B ） 如:某人射击一次命中的概率是0.9,射击两次,互不影响,至少命中一次的概率是0.9+0.9-0.9×0.9=0.99,(也即1-0.1×0.1=0.99) 5．独立重复试验 （1）独立重复试验的定义： （2）n 次独立重复试验的概率公式： 三、基础再现 1.一学生通过英语听力测试的概率是2 1 ，他连续测试两次，那么其中恰好一次通过的概率是 （ ） A. 41 B. 31 C. 21 D. 4 3 2．已知,53 )(,103)(==A P AB P 则)|(A B P 等于 （ ） A. 50 9 B. 21 C. 109 D. 41 3．某人射击一次击中的概率为0.6,经过3次射击,此人至少有两次击中目标的概率为（ ） A ． 125 81 B ． 125 54 C ． 125 36 D ． 125 27 4．甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是p 1，乙解决这个问题的概率是p 2，那么恰好有1人解决这个问题的概率是 ( ) A. p 1p 2 B.p 1（1－p 2）+p 2（1－p 1） C.1－p 1p 2 D.1－（1－p 1）（1－p 2） 5.（浙江）甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“3局2胜”，即以先赢2局者为胜．根据经验，每局比赛中甲获胜的概率为0．6，则本次比赛甲获胜的概率是 ( ) (A) 0．216 (B)0．36 (C)0．432 (D)0．648 6．一道数学竞赛试题，甲生解出它的概率为21，乙生解出它的概率为3 1 ，丙生解出它的概率为 4 1 ，由甲、乙、丙三人独立解答此题只有一人解出的概率为______.

2019年北师大版数学选修1-2练习(第1章)条件概率与独立事件(含答案)

2019年北师大版精品数学资料 条件概率与独立事件 同步练习 【选择题】 1、一个盒子中有6只好晶体管，4只坏晶体管，任取两次，每次取一只，第一次 取后不放回.则若已知第一只是好的，第二只也是好的概率为（ ） A ．53 B ．52 C ．95 D ．3 1 2、袋中有2个白球，3个黑球，从中依次取出2个，则取出两个都是白球的概率 （ ） A ．53 B ．101 C ．31 D ．5 2 3、某射手命中目标的概率为P ，则在三次射击中至少有1次未命中目标的概率为 （ ） A ．P 3 B ．(1-P)3 C ．1-P 3 D ．1-(1-P)3 4、设某种产品分两道独立工序生产，第一道工序的次品率为10%，第二道工序的 次品率为3%，生产这种产品只要有一道工序出次品就将生产次品，则该产品的次品率是（ ）． A ．0.873 B ．0.13 C ．0.127 D ．0.03 5、甲、乙、丙三人独立地去译一个密码，分别译出的概率为51，31，4 1，则此密码能译出的概率是 （ ） A ． 60 1 B ．5 2 C ．5 3 D ． 60 59 6、一射手对同一目标独立地进行四次射击，已知至少命中一次的概率为 81 80 ，则此射手的命中率为 （ ） A ．3 1 B ．4 1 C ．3 2 D ．5 2 7、n 件产品中含有m 件次品，现逐个进行检查，直至次品全部被查出为止．若第 n-1次查出m-1件次品的概率为r ，则第n 次查出最后一件次品的概率为（ ） A ．1 B ．r-1 C ．r D ．r +1 8、对同一目标进行三次射击，第一、二、三次射击命中目标的概率分别为0.4， 0.5和0.7，则三次射击中恰有一次命中目标的概率是 （ ） A ．0.36 B ．0.64 C ．0.74 D ．0.63 【填空题】 9、某人把6把钥匙，其中仅有一把钥匙可以打开房门，则前3次试插成功的概率 为 __. 10、甲乙两地都位于长江下游，根据一百多年的气象记录，知道甲乙两地一年中雨天占的比例分别为20%和18%，两地同时下雨的比例为12%，问：

2.2.1条件概率与事件的相互独立性

2． 2．1条件概率与事件的相互独立性 教学目标：1、通过对具体情景的分析，了解条件概率的定义。理解两个事件相互独立的概念。 2，掌握一些简单的条件概率的计算。能进行一些与事件独立有关的概率的计算。 3，通过对实例的分析，会进行简单的应用 教学重点：条件概率定义的理解 教学难点：概率计算公式的应用 教学设想：引导学生形成 “自主学习”与“合作学习”等良好的学习方式 教学过程：概念：1，对于两个事件A 与B ，如果P(A)>0,称P(B ︱A)=P(AB)/P(A),为在事件A 发生的条件下,事件B 发生的条件概率. 2，如果两个事件A 与B 满足等式 P(AB)=P(A)P(B),称事件A 与B 是相互独立的，简称A 与B 独立。 例1．一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可从9~0中任选一个，某人在银行自 动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字.求 （1） 任意按最后一位数字，不超过2次就对的概率； （2） 如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次就按对的概率. 解：设第i 次按对密码为事件i A (i=1,2) ，则1 12()A A A A =表示不超过2次就按对 密码． (1）因为事件1A 与事件12A A 互斥，由概率的加法公式得 1121911()()()101095 P A P A P A A ?=+=+=?. (2）用B 表示最后一位按偶数的事件，则 112(|)(|)(|)P A B P A B P A A B =+ 14125545 ?=+=?. 例2．一个家庭中有两个小孩，假定生男、生女是等可能的，已知这个家庭有一个是女孩， 问这时另一个小孩是男孩的概率是多少？ 解：一个家庭的两个孩子有四种可能：{（男，男）}，{（男，女）}，{（女，男）}，{（女，女）}。 这个家庭中有一个女孩的情况有三种：{（男，女）}，{（女，男）}，{（女，女）}。在这种情况下“其中一个小孩是男孩”占两种情况，因此所求概率为2／3. 例3．甲、乙两名篮球运动员分别进行一次投篮，如果两人投中的概率都是6.0，计算： (1)两人都投中的概率；(2)其中恰有一人投中的概率；(3)至少有一人投中的概率. 解：（1）“两人各投一次，都投中”就是事件AB 发生，因此所求概率为 P （ AB ）=P （A ）P （B ）=0.6×0.6=0.36 （2）分析：“两人各投一次，恰有一人投中”包括两种情况：甲投中，乙未投中；甲未击中，乙击中。 因此所求概率为 48.06.0)6.01()6.01(6.0)()()()()()(=?-+-?=+=+B P A P B P A P B A P B A P 。

独立事件的概率(一)

相互独立事件同时发生的概率 【教学目的】 1．了解相互独立事件的意义，会用相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率； 2.掌握相互独立事件同时发生的概率乘法公式； 3．通过对概率知识的学习，了解偶然性寓于必然性之中的辨证唯物主义思想； 【教学重点】 用相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率； 【教学难点】 互斥事件与相互独立事件的区别；相互独立事件的判断； 【教学用具】 投影仪、多媒体电脑等。 【教学方法】 引导法——引导学生逐步认识相互独立事件及其同时发生的概率。 【教学过程】 [设置情境] （1）一个坛子里有6个白球，3个黑球，l 个红球，设摸到一个球是白球的事件为A ，摸到一个球是黑球的事件为B ，问A 与B 是互斥事件呢，还是对立事件？ （2）甲坛子里有3个白球，2个黑球；乙坛子里有2个白球，2个黑球．设从甲坛子里摸出一个球，得到白球叫做事件A ，从乙坛子里摸出一个球，得到白球叫做事件B ．问A 与B 是互斥事件呢？还是对立事件？还是其他什么关系？ （3）在问题（2）中，若记事件A 与事件B 同时发生为B A ?，那么()B A P ?与()A P 及()B P 有什么关系呢？它们之间有着某种必然的规律吗？ [探索研究] 1．独立事件的定义 我们把“从甲坛子里摸出1个球，得到白球”叫做事件A ，把“从乙坛子里摸出1个球，得到白球”叫做事件B ．很明显，从一个坛子里摸出的是白球还是黑球，对从另一个坛子里摸出白球的概率没有影响．这就是说，事件A （或B ）是否发生对事件B （或A ）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件． 事件间的“互斥”与“相互独立”是两个不同的概念，两个事件互斥是指这两个

条件概率与事件的独立性练习题

条件概率与事件的独立性练习题 1．如图所示的电路，有a ，b ，c 三个开关，每个开关开或关的概率都是12 ，且 是相互独立的，则灯泡甲亮的概率为( ) A.18 B.14 C.12 D.116 2、某人射击一次击中目标的概率为0.6，经过3次射击，此人至少有两次击中目标的概率 为( ) A.81125 B.54125 C.36125 D.27125 3、一学生通过英语听力测试的概率是21，他连续测试两次，那么其中恰好一次通过的概率 是（） A. 41 B. 31 C.21 D.4 3 4．某人射击一次击中的概率为0.6,经过3次射击,此人至少有两次击中目标的概率为（） A ．12581 B ．1255 4 C ．12536 D ．125 27 5、甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“3局2胜”，即以先赢2局者为胜．根据经验，每局比赛中甲获胜的概率为0．6，则本次比赛甲获胜的概率是 ( ) (A) 0．216 (B)0．36 (C)0．432 (D)0．648 6．甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题，规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格． (1)分别求甲、乙两人考试合格的概率； (2)求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率．

7．2009年12月底，一考生参加某大学的自主招生考试，需进行书面测试，测试题中有4道题，每一道题能否正确做出是相互独立的，并且每一道题被该考生正确做出的概率都是34 . (1)求该考生首次做错一道题时，已正确做出了两道题的概率； (2)若该考生至少正确作出3道题，才能通过书面测试这一关，求这名考生通过书面测试的概率．

相互独立事件概率求解

相互独立事件概率问题求解辨析 事件A 、B 是相互独立事件，当且仅当事件A 和B 是否发生，相互之间没有影响。如果事件A 与B 相互独立，那么A 与B 、A 与B 、A 与B 也都是相互独立的。尤其在涉及“至多”或“至少”问题时，常先求此事件的对立事件的概率，再利用公式()1()P A P A =-求出所求事件的概率。这种解法，称为逆向思考方法。下面就相互独立事件概率问题举例分析如下。 一、 反面求解相互独立事件同时发生的概率 例1、加工某零件需3道工序，设第1、2、3道工序出现次品的概率分别为0.02，0.03，0.05，假设三道工序互不影响，求加工出来的零件是次品的概率。 解：由题中“三道工序互不影响”，可判定1、2、3道工序出现次品的事件是相互独立事件，可用相互独立事件的乘法公式。 设A=“加工出来的零件是次品”，i A =“第i 道工序出现次品”，则123A A A A =??， 由于三道工序互不影响，123()()()()P A p A P A P A ∴=??=（1-0.12）（1-0.03）（1-0.05）=0.90307。所以 ()1()10.903070.09693P A P A =-=-=。 点评：两个或多个相互独立事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率积，结合“对立事件的概率和为1”，先求其对立事件的概率，然后再求原事件概率，采用这种解法可使问题变得简易。 二、用排列组合思想理解相互独立事件的概率 例2、甲乙两人各投篮3次，每次投中得分概率为0.6，0.7，求甲乙两人得分相同的概率。 解： 甲乙两人得分相同可以有；甲乙都中0、1、2、3次共四种情况。设甲投中0、1、2、3次概率分别为0123A A A A 、、、，乙投中0、1、2、3次概率分别为 0123B 、B 、B 、B ， 则 0012233()()()()P P A B P AB P A B P A B =+++ 1122 33222233330.40.30.60.40.70.30.60.40.70.3 C C C C =?+???+???330.60.70.321+?=。 点评：全面考虑各种可能性，然后利用公式()(1)k k n k n n P k p p C -= -。 三、通过分类或分步将复杂事件分解为简单事件 例3、某辆汽车载有8名学生从学校回家，途中共有甲、乙、丙三个停车点。如果某停车点无人下车，那么该车在这个点就不停车，假设每个学生在每个停车点下车的可能性都相等。求 （1）停车次数不少于2的概率；（2）恰好停2次的概率。

条件概率与独立事件

条件概率与独立事件 【要点梳理】 要点一：条件概率 1.概念 设A 、B 为两个事件，求已知B 发生的条件下，A 发生的概率，称为B 发生时A 发生的条件概率，记为()|P A B ，读作：事件B 发生的条件下A 发生的概率。 要点诠释： 我们用韦恩图能更好的理解条件概率，如图，我们将封闭图形的面积理解为相应事件的概率，那么由条件概率的概率，我们仅局限于B 事件这个范围来考察A 事件发生的概率，几何直观上，()|P A B 相当于B 在A 内的那部分（即事件AB ）在A 中所占的比例。 2.公式 . 要点诠释： （1）对于古典（几何）概型的题目，可采用缩减样本空间的办法计算条件概率： 古典概型：(|)AB P A B B = 包含的基本事件数 包含的基本事件数，即()() card (|)card AB P AB B =； 几何概型：(|)AB P A B B = 的测度 的测度 . （2）公式() (|)() P AB P A B P B = 揭示了()P B 、()|P AB 、()P AB 的关系，常常用于知二求一，即要熟练应用它的变形公式如，若()P B ＞0，则()()()=|P AB P A P B A ，该式称为概率的乘法公式． （3）类似地，当()0P A >时，A 发生时B 发生的条件概率为：()()() |=P AB P B A P A . 3. 性质 （1）非负性：()|0P A B ≥； （2）规范性：()|=1P B Ω（其中Ω为样本空间）； （3）可列可加性：若两个事件A 、B 互斥，则()()()+||+|P A B C P A C P B C =. 4.概率()P A |B 与()P AB 的联系与区别： 当()0P B >时，()()() |= P A B P A B P B I .

条件概率与独立性

§4 条件概率与事件的独立性 一、条件概率 二、全概率公式，贝叶斯(Bayes)公式 三、事件独立性 四、贝努里概型 补充和注记 习 题 一、条件概率 任一个随机试验都是在某些基本条件下进行的，在这些基本条件下某个事件A 的发生具有某种概率. 但如果除了这些基本条件外还有附加条件，所得概率就可能不同.这些附加条件可以看成是另外某个事件B 发生. 条件概率这一概念是概率论中的基本工具之一. 给定一个概率空间 (,,)P ΩF ，并希望知道某一事件A 发生的可能性大小. 尽管我们不可能完全知道试验结果，但往往会掌握一些与事件A 相关的信息，这对我们的判断有一定的影响. 例如，投掷一均匀骰子，并且已知出现的是偶数点，那么对试验结果的判断与没有这一已知条件的情形有所不同. 一般地，在已知另一事件B 发生的前提下，事件A 发生的可能性大小不一定再是()P A . 已知事件B 发生条件下事件A 发生的概率称为事件A 关于事件B 的条件概率(conditional probability)，记作(|)P A B . 在某种情况下，条件的附加意味着对样本空间进行压缩，相应的概率可在压缩的样本空间内直接计算. 例1 盒中有球如右表1-2. 任取一球，记A ={取得蓝球}，B ={取得玻璃球}， 显然这是古典概型. Ω包含的样本点总数为16，A 包含的样本点总数为11，故 11 ()16P A =. 表1-2

如果已知取得为玻球，这就B 是发生条件璃下A 发生的条件概率，记作(|)P A B . 在B 发生的条件下可能取得的样本点总数应为“玻璃球的总数”，也即把样本空间压缩到玻璃球全体. 而在B 发生条件下A 包含的样本点数为蓝玻璃球数，故 42(|)63P A B ==. 一般说来，在古典概型下，都可以这样做.但若回到原来的样本空间，则当()0P B ≠，有 (|) B A P A B B AB B 在发生的条件下包含的样本点数 ＝ 在发生的条件下样本点数 包含的样本点数＝包含的样本点数 AB P AB B P B 包含的样本点数/总数（）＝＝包含的样本点数/总数（）. 这式子对几何概率也成立. 由此得出如下的一般定义. 定义1 对任意事件A 和B ，若()0P B ≠，则“在事件B 发生的条件下A 的条件概率”，记作P(A | B)，定义为 (|)P AB P A B P B （） ＝（）. (1) 反过来可以用条件概率表示A 、B 的乘积概率，即有乘法公式 若()0P B ≠，则()()(|)P AB P B P A B =, (2) 同样有 若()0P A ≠，则()()(|)P AB P A P B A =. (2)' 从上面定义可见，条件概率有着与一般概率相同的性质，即非负性，规范性和可列可加性. 由此它也可与一般概率同样运算，只要每次都加上“在某事件发生的条件下”即成. 两个事件的乘法公式还可推广到n 个事件，即 312121(|)(|) n n P A A A P A A A A -? (3)

条件概率与事件的独立性练习

条件概率与事件的独立性练习： 一、条件概率 1．已知P(B|A)=10 3,P(A)=5 1,则P(AB)=( ) A ．2 1 B.2 3 C ．32 D.50 3 2、一个袋中有9张标有1,2,3，…，9的票，从中依次取两张，则在第一张是奇数的 条件下第二张也是奇数的概率（ ） A.5 2 B.5 1 C.2 1 D. 7 3 3、在某次考试中，从20道题中随机抽取6道题，若考生至少能答对其中的4道即可通过；若至少能答对其中5道就获得优秀．已知某考生能答对其中10道题，并且知道他在这次考试中已经通过，求他获得优秀成绩的概率． 一、 事件的独立性 实质：P(B|A)=P(B) 。因此) () ()(A P AB P B P ，所以 P(AB)=P(A)·P(B). 注意两点：（1）当A 与B 相互独立时，A 与B 、A 与B 、A 与B 之间也是相互独立的； （2）公式可推广到多个相互独立事件。 1、典型的串并联电路问题： （1） 如图1，当元件A 和B 都正常工作时，系统正常工作。

如果元件A和B正常工作的概率依次为0.9和0.8，当系统正常工作的概率是多少？

（2） 如图2，当元件A 和B 至少有一个正常工作时，系统 正常工作。如果元件A 和B 正常工作的概率依次为0.9和0.8，当系统正常工作的概率是多少？ 图1 B A 图2 B A （3）（2011湖北）如图，用K 、1A 、2A 三类不同的元件连接成一个系统。当K 正常工作且1A 、2A 至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K 、1A 、2A 正常工作的概率依次为0．9、0．8、0．8，则系统正常工作的概率为 A ．0．960 B ．0．864 C ．0．720 D ．0．576 2、甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一次就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为（ ） A ．1 2 B ．35 C ．23 D ．3 4

条件概率与独立事件教案

2.1条件概率与独立事件（一） 丹凤县竹林关中学兰栋霞 ●学情分析 高二学生在高一阶段已经学习了古典概型、几何概型，对于概率知识有了一定的认识，为条件概率与独立事件的学习，奠定了一定的理论基础。 ●三维目标 1．知识与技能 （1）通过具体情境了解条件概率的概念，能利用条件概率分析和解决简单的实际问题． （2）掌握求条件概率的两种方法. 2．过程与方法 在对条件概率的学习过程中，进一步培养学生准确把握随机事件，掌握利用概率的知识，分析解决实际问题的方法．3．情感、态度与价值观 通过利用概率知识解决简单的实际问题，进一步体会和感受数学知识在生活中的应用，培养随机意识． ●重点难点 重点：求条件概率的方法，利用条件概率分析和解决简单的实际问题． 难点：对条件概率的概念的理解． ●教学方法 主要采取教师启发、讲授和学生探究、练习相结合的方法

●教学过程： 一、知识回顾 1.古典概型的概念： 1)试验的所有可能结果(即基本事件)只有有限个,每次试验只出现其中的一个结果;2)每一个结果出现的可能性相同。 2.古典概型的概率计算公式： 二、实例探究 100个产品中有93个产品的长度合格，90个产品的质量合格，85个产品的长度、质量都合格。现在任取一个产品，若已知它的质量合格，那么它的长度合格的概率是多少？ 分析：令A={产品的长度合格} ，B={产品的质量合格}，那么A ∩B={产品的长度、质量都合格} 现任取一个产品，已知它的质量合格（即B 发生），则它的 长度合格（即A 发生）的概率是9085 思考：这个概率与事件A 、B 发生的概率有什么关系么? 三、精讲点拨 求B 发生的条件下，A 发生的概率，称为B 发生时A 发生的条件概率，记为 。 n m A A P ==试验的所有可能结果数包含的可能结果数事件)(当 时 ，其中 可记为 0 )(>B P )()()(B P B A P B A P ?=B A I AB )(B A P 类似地，当 时， ，此即为A 发生时B 发生的条件概率。 0)(>A P )()()(A B P AB P A P =