几种高等数学中的构造函数法1汇总

编号

几种高等数学中的构造函数法

摘要构造函数法在高等数学中是一种重要的思想方法,它体现了数学发现、类比、化归、猜想、实验和归纳等思想,对于开阔思路,培养分析问题、解决问题和创新的能力是有益的.本文结合实例简单的介绍这一方法及其应用.

关键词构造;分析;数形结合法;作差法;观察法

中图分类号 O172

The constructor of higher mathematics

Chengyan Instructor Wang Renhu

(N. O. 06, Class 1 of 2009. Specialty of Mathematics and Applied Mathematics, Department of

Mathematics, Hexi University, Zhangye, Gansu, 734000, China)

Abstract The constructor method in higher mathematics is an important way of thinking,Study found, analogy, and guess, experiment and induction, etc,To widen, training analysis problem, problem-solving ability and the innovation is beneficial.This paper briefly introduced the method and its application.

Key words tectonic;analysis;Several form combination;For poor method;observation 1 分析法

分析法即从结论出发,从后向前一步一步的进行分析,通过对条件和结论的分析,构造出辅助函数,架起一座连接条件和结论的桥梁,最后获得证明.

例1.1[1] 拉格朗日中值定理如果函数f(x)在闭区间上连续,在开区间内可导,那么在内至少有一点使等式

成立.

分析由于罗尔定理是这一定理的特例,于是定理的证明归结为利用罗尔定理.这里关键是要引进一个满足罗尔定理条件的新的函数F(x).欲证

需证

f(ξ)-

'

f(b)-f(a)b-af(b)-f(a)⎡

=0,而等式左边可转化为⎢f(x)-

b-a⎣

⋅x

⎤

,于是,可取函数x⎥⎦x=ξ

'

F(x)=f(x)-

f(b)-f(a)b-a

,容易验证F(x)满足罗尔定理的条件,顺此思路,即可证本定

理.

例1.2[3] 设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,又f(x)不是线性函数,且f(b)>f(a).试证ξ∈(a,b),使得f'(ξ)>

f(b)-f(a)b-a

.

f(b)-f(a)b-a

(x-a)

分析过点(a,f(a))与(b,f(b))的线性函数为y=f(a)+是线性函数,则

F(x)≡f(x)-f(a)-

f(b)-f(a)b-a

,因f(x)不

(x-a)≠0

,

只要证明F'(ξ)=f'(ξ)-

f(b)-f(a)b-a

>0

即可.

f(b)-f(a)b-a

(x-a)

证明设辅助函数F(x)=f(x)-f(a)-

,则F(x)在[a,b]上连续,在

(a,b)内可导,F(a)=F(b).由于F(x)≠0,存在x0∈(a,b),使F(x0)≠0.

当F(x0)>0时,由Lagrange中值定理,∃ξ∈(a,x0)使F'(ξ)=即f'(ξ)>

F(b)-F(a)

b-a

F(x0)-F(a)

x0-a

>0

,

.

F(b)-F(x0)

b-x0

>0,即f(ξ)>

'

当F(x0)<0时,同理, ∃ξ∈(x0,b),使F'(ξ)=

F(b)-F(a)

b-a

.

例1.3[5] 计算n阶行列式

a+x1

D=

a+x1

a+x1

n

a+x2a+x2

a+x2

n

a+xna+xn

a+xn

n

.

分析该题直接利用行列式“两项和性质”显然无法实现,如果后一列乘(-1)加到前一列,虽然每一列有公因式可提,但行列式中的元素却变得更复杂,无法进行计算.但从行列式D中可以捕捉到“范德蒙行列式的影子”,所以,应想办法构造一个行列式,既让它等于D,又能转化为范德蒙行列式.于是,有下列解法.

解构造行列式,即先将原n阶行列式D加边成一个n+1阶行列式,

100 0

n2

1a+x1a+x1

a+x1

n

2

2

2

1a+x2a+x2

a+x2

n2

2

1a+xna+xn, a+xn

2

n2

然后将此n+1阶行列式第一行乘-ai(i=1,2,…,n)加到第i+1行,再将所得行列式按第一列拆成两个n+1阶行列式相减,并根据范德蒙行列式可得,

1-a

1x1x1x11x1x1x1

2

2

1x2x2x21x2x2x2

2

2

1xn

2

1xnxn xn

n2

D=-a2

-a20

n

n

n

1a

2

1x1x1x1

2

1x2x2x2

2

1xnxn xn

n2

=0

xn--a xn

n

n

n

a

n

n

n

=2x1x2 xn

∏(x

1≤i≤j≤n

i

-xj)-∏(xi-a)⋅

i=1

n

∏(x

1≤i≤j≤n

i

-xj)

n

⎡⎤

=∏(xi-xj)⎢2x1x2 xn-∏(xi-a)⎥.

1≤i≤j≤ni=1⎣⎦

2 数形结合法

建立在数形结合基础上的几何图像常能引导人们去获得解决问题的方法,通过对几何

图像的观察,构造出符合条件的辅助函数,使问题得以解决.

例2.1[2] 设f(x)在[a,+∞)内连续、可导,且当x>a时f'(x)>k>0(k为常数),如果

f(a)⎤⎡

f(a)<0,则方程f(x)=0在⎢a,a-

k⎥⎣⎦

内有且仅有一个根,如图2.

线段AB的斜率刚好为k,y=f(x)在AB的上方,因此很容易找到辅助函数(曲线与直线之差)

证明 (1)存在性.

作辅助函数F(x)=f(x)-[k(x-a)+f(a)],则F(a)=0,

f(a)⎤f(a)⎤⎡⎡, F⎢a-=fa-⎥⎢⎥kk⎣⎦⎣⎦

因为F'(x)=f'(x)-k>0,所以F(x)单调增加,故

f(a)⎤f(a)⎤⎡⎡F⎢a-=fa->F(a)=0, ⎥⎢⎥k⎦k⎦⎣⎣

因此,由f(a)<0,f⎢a-

⎣

根.

(2)唯一性. ⎡f(a)⎤>0k⎥⎦及连续函数的性质,f(x)在⎢a,a-⎣⎡f(a)⎤k⎥⎦内至少有一个

由f'(x)>0,f(x)单调增加,所以f(x)在⎢a,a-

⎣⎡f(x)⎤k⎥⎦内至少有一个根,问题得证.

例2.2[4] 某人身高1.5米,站立在离河岸3米处往水中看去恰好看到对岸河边一根电线杆在水中的倒影,已知水面低于河岸0.5米,河宽15米,求电线杆的高度.

解我们如下构造图形,

河宽为FD,离河岸CB处身高为AB的人从A点往河中看,正好看到电线杆GH在水中整个倒影FM.F,E,D点在水面所处的直线上, H,C,B在河岸所处的直线上. 其中AB=1.5m,BC=3m,FE+ED=15m,HF=CD=0.5m,求GH.

易证∆ABC∽∆CDE,∆ABC∽∆GEF.

因此 ED

CD=BC

AB⇒ED=1m,GH+HF

EF=AB

BC⇒GH=6.5m,即电线杆的高为6.5m.

例2.3[4] 设x,y,z都在(0,1)内,求证:x(1-y)+y(l-z)+z(1-x)<1.

分析证明代数不等式,直接从条件人手难达目的,注意结论并考虑条件可知:x,y,z,1-y,1-z,1-x均为正数,且似两线段积之

和,给每个正数赋予线性形象,从线性联想三角形面积公式S=1

2absinc构造一边长为1的正三角形ABC.

在AB,BC,CD上各取一点P,Q,E使得

AP=x,BQ=z,CD=y,

则BP=1-x,CQ=1-z,AE=1-y,

由图易知S∆ABC=S∆APE+S∆BPQ+S∆CQE不等式成立.

3 作差法

通过作差的方法构造辅助函数

对于形如f(x)>g(x)(或f(x)

F(x)=g(x)-f(x))用单调性证之,其步骤为:

1.构造函数F(x)=f(x)-g(x);

2.证F'(x)>0(或<0)得出单调性

;

3.求出f(x)在区间端点之一处的函数值或极限值;

4.最后根据函数单调性及区间端点的函数值得出所证的不等式. 例3.1[2] 证明当x>0时,x>ln(1+x).

证明令F(x)=x-ln(1+x), x≥0,当x>0时F'(x)=1-

11+x

=

x1+x

>0,所以F(x)

在

(0,∞)上单调递增.又

x>ln(1+x).

F(0)=0

,故当x>0时,F(x)>F(0)=0,即x-ln(1+x)>0,所以

例3.2[2] 设f(x)在[a,b]上连续且单调增加,求证

⎰

b

a

xf(x)dx≥

a+b2

⎰

b

a

f(x)dx

分析将要证明的不等式中的b换成x,构造变上限定积分

F(x)=

⎰

x

a

tf(t)dt-

a+x2

⎰

x

a

f(t)dt

,

然后证明F(b)≥0.

证明令F(x)=

F(x)=xf(x)-

'

⎰

x

a

tf(t)dt-a+x2

a+x2

⎰

x

a

f(t)dt

,则F(a)≥0,且对任意的x∈[a,b],有12

12

⎰

x

a

f(t)dt-f(x)=

x-a2

f(x)-

⎰

x

a

f(t)dt=

12

⎰[f(x)-

a

x

f(t)]dt≥0

因此,f(x)在[a,b]上单调递增,又a≤t≤x,所以f(x)≥f(t). 可见F(x)单调递增,从而

F(b)≥F(x)=0,即得⎰xf(x)dx≥

a

b

a+b2

⎰

b

a

f(x)dx

.

例3.3[3] 设f(x)在[a,b]上连续且a

pf(c)+qf(d)=(p+q)f(ξ)（p,q）为正常数.

证明作辅助函数

F(x)=(p+q)f(x)-pf(c)-qf(d),

因为F(x)在[c,d]⊂[a,b]上连续,又F(c)=q[f(c)-f(d)],F(d)=p[f(d)-f(c)], 且p,q为正常数,所以F(c)⋅F(d)=-pq[f(c)-f(d)]≤0.

2

(1)当f(c)=f(d)时，F(c)=F(d)=0,则当ξ取c或d时,F(ξ)=0. 即pf(c)+qf(d)=(p+q)f(ξ).

(2)当f(c)≠f(d)时，

F(c)⋅F(d)<0,由零点定理,至少存在一点ξ∈(c,d)⊂(a,b),使F(ξ)=0,

即pf(c)+qf(d)=(p+q)f(ξ)

此方法在证明函数单调性、证明不等式等等证明题中经常用到.

4 观察法

将欲证结果适当等价变形;替换;找原函数;作辅助函数.关键是适当"等价变形". 例4.1[2] 设f(x)在[a,b](00(a

'f(ξ)f(ξ)'=ξ.

分析 (1)变形f(ξ)

f(ξ)'

'=ξ,ξf(ξ)-f(ξ)=0,'ξf(ξ)-f(ξ)ξ2=0,

(2)替换 xf(x)-f(x)

x2=0,

⎡f(x)⎤ (3)找原函数⎢=0, ⎥⎣x⎦'

(4)作辅助函数 F(x)=

证明作辅助函数F(x)=

F(a)=f(a)

a,F(b)=f(b)

bf(x)x. ,因为F(x)在[a,b]上连续,在（a,b）内可导,又f(x)x,且af(b)-bf(a)=0,所以

F(a)=F(b),F(x)满足罗尔定理,可得

存在ξ∈(a,b),使F'(ξ)=0.

因此F(ξ)='ξf(ξ)-f(ξ)'

ξ2=0,即ξf(ξ)-f(ξ)=0,所以'f(ξ)f(ξ)'=ξ.

例4.2[3] 设函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=0,f(1)=1,试证对任意的λ∈R,必存在ξ∈(0,1),使得f'(ξ)-λ(f(ξ)-ξ)=1.

分析由f'(ξ)-λ(f(ξ)-ξ)=1得到f'(x)-λf(x)=1-λx,由一阶非齐次微分方程的通解公式得λdx⎡-λdx⎰dx+c⎤=eλxxe-λx+c=ceλx+x, ()f(x)=e⎰1-λxe⎰⎢⎥⎣⎦[]

即(f(x)-x)e-λx=c,于是便得到要找的辅助函数F(x)=(f(x)-x)e-λx.

证明设F(x)=(f(x)-x)e-λx,则F(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且F(0)=F(1)=0,所以满足罗尔定理,即对任意的λ∈R,必存在ξ∈(0,1),使得

F(ξ)=f(ξ)-1-λ(f(ξ)-ξ)e'[']-λξ=0,

即f'(ξ)-λ(f(ξ)-ξ)=1.

总之,通过构造辅助函数,我们可以利用知道的结论和定理来解决目前的题目,需要注意的是原题和辅助题目应是等价的,构造辅助函数的方法是多种多样的,具体问题应具体分析,只要我们仔细分析各类数学问题与函数的直接或间接联系,大胆联想、猜测、推理,就可以构造出合适的函数,恰当地使用构造函数法在高等数学解题中往往能起到事半功倍的功效.

参考文献

[1]袁继红.浅析构造思想在高等数学中的应用[J].数学的实践与认识, 1997, 27 (4): 367~371.

[2]黄光谷,余尚智.高等数学方法导论[M].第2版.武汉:武汉测绘科技大学出版社,1996. 86~93.

[3]杜先能,孙国正.高等数学[M],合肥:安徽大学出版社,2003.

[4]西北工业大学高等数学教研室编.高等数学专题指导[M].上海:同济大学出版社,1999.

[5]李兆强.“辅助函数法”在数学分析中的应用[J].漯河职业技术学院学报,2009.

高中数学6种构造函数法

高中数学6种构造函数法 1、几何体构造法： 几何体构造法是高中数学中常见的构造函数，即根据给定的条件，从 原点出发，通过叠加若干条定义运算，利用实际工具画出题目要求构 造的图形或者要求构造的几何体。例如：根据给定的定义三角形ABC，在其外接圆上构造一个直角，使得构造出的四边形的一条边和三角形 的一条边等长。 2、用线段构造法： 用线段构造法是高中数学中常见的构造函数，是根据给定的条件，几 何体和直线的位置，及题目要求的其他条件，按照一定的步骤和规律 来画出要构造的几何体或其他东西。例如：依据给定的线段AB，在其 上端点A处构造一个半径等于原线段AB一半长度的圆，使得线段AB 的端点A和圆的交点坐标相同；并在构造出的圆上构造一个到线段AB 端点B距离等于原线段AB一半长度的直线段。 3、从原点构造法： 从原点构造法是高中数学中常见的构造函数，是指从某一原点出发， 根据给定的情况，经过若干步的构造，建立若干定义关系，确定一个 几何体的形状和大小，并与给定的几何体完全相同或满足给定条件的 几何体。例如：在原点构造一个半径等于原点O到给定点A的距离的圆，从这个圆上构造与 OA 相等的直线段，在这个直线段依次画上给 定的点B、C。

4、标准图形构造法： 标准图形构造法是在高中数学中学习的构造函数，即根据给定的它定 义的图形和要求画出的图形之间的规律，采用实际的工具画出要求的 图形。例如：构造出与正方形相等的长方形(15cm×20cm)，方法为：在 一根边长15cm的尺子上划分出4等分点，然后再在另一根尺子上划分 出5等分点，将它们相互链接，即可构造出长方形。 5、参数方程构造法： 参数方程构造法是高中数学中学习的构造函数，即根据给定的参数条 件所决定的几何体的特征，可利用参数方程的技巧，根据参数条件用 参数方程来求出构造出几何体的函数，并且利用函数求出相应的构造 过程，或者利用参数方程既定的几何图形，求出给定点的位置。例如：求出构造出半径为 2 的半圆的函数，可以用参数方程 x = 2cos t，其中 x 为构造出的半圆的横坐标，t 为角度参数。 6、角度记法构造法： 角度记法构造法是高中必修的一种构造函数，即通过将一个几何体分 解成一系列几何图形构成的组合，利用角度记法来确定每个几何图形 的定义关系。例如：正六边形ABCDEF满足∠AED = 60°，AE=ED； 将正六边形几何体分解成两个三角形构成，即AEF和ADF，由此可知，∠AEF = 60° ; ∠ADF = 60°。

几种高等数学中的构造函数法1汇总

几种高等数学中的构造函数法1汇总在高等数学中，构造函数法是一种常用的证明方法，它通过构造一个特定的函数来满足一些条件，从而证明定理或问题。构造函数法在解决一些特定问题时非常有效，并且可以应用于各个数学分支，例如微积分、线性代数等。以下是几种常见的构造函数法的应用及其原理： 1.构造逼近函数法： 构造逼近函数法是利用一组函数来逼近所求函数的方法。它在证明极限存在、连续性、可导性等问题时很常用。例如，在证明函数的极限存在时，可以通过构造一个逼近函数序列来逼近所求函数的极限。在证明函数的连续性时，可以构造逼近函数序列使其在一定条件下逐点收敛于所求函数。在证明函数可导性时，可以通过构造一组逼近函数，利用它们的导数性质来推导出所求函数的导函数。 2.构造反函数法： 构造反函数法是通过构造函数的反函数来证明其中一种性质。例如，在证明奇偶函数特性时，可以构造一个函数的反函数，并根据函数的特性来判断所求函数的奇偶性。在证明函数的双射性时，可以通过构造函数的反函数来证明。 3.构造矩阵法： 构造矩阵法是在线性代数中常用的一种证明方法。它通过构造一个特定的矩阵，利用矩阵的性质来证明一些结论。例如，在证明矩阵的逆存在时，可以构造一个矩阵来满足逆矩阵的定义，并证明其逆矩阵存在。 4.构造序列法：

构造序列法是利用一组序列来证明一些定理或性质。例如，在证明函 数的一致连续性时，可以构造一组满足一致收敛条件的序列来逼近所求函数，从而证明其一致连续性。在证明函数的可积性时，可以构造一组逼近 函数序列，并利用其可积性质来推导出所求函数的可积性。 5.构造映射法： 构造映射法是在集合论和离散数学中常用的一种证明方法。它通过构 造一个特定的映射关系来证明一些性质。例如，在证明两个集合的等势时，可以构造一个双射映射来证明它们的元素个数相等。在证明一些图的性质时，可以构造一个映射关系来对应图的元素和其相邻元素之间的关系。 以上是几种常见的构造函数法的应用及原理。在数学证明中，构造函 数法是一种灵活、有效的方法，可以通过巧妙地构造一个函数来求解问题，从而得到一些重要的结论和性质。

几种高等数学中的构造函数法1汇总

编号 几种高等数学中的构造函数法 摘要构造函数法在高等数学中是一种重要的思想方法,它体现了数学发现、类比、化归、猜想、实验和归纳等思想,对于开阔思路,培养分析问题、解决问题和创新的能力是有益的.本文结合实例简单的介绍这一方法及其应用. 关键词构造;分析;数形结合法;作差法;观察法 中图分类号 O172 The constructor of higher mathematics Chengyan Instructor Wang Renhu (N. O. 06, Class 1 of 2009. Specialty of Mathematics and Applied Mathematics, Department of Mathematics, Hexi University, Zhangye, Gansu, 734000, China) Abstract The constructor method in higher mathematics is an important way of thinking,Study found, analogy, and guess, experiment and induction, etc,To widen, training analysis problem, problem-solving ability and the innovation is beneficial.This paper briefly introduced the method and its application. Key words tectonic;analysis;Several form combination;For poor method;observation 1 分析法 分析法即从结论出发,从后向前一步一步的进行分析,通过对条件和结论的分析,构造出辅助函数,架起一座连接条件和结论的桥梁,最后获得证明. 例1.1[1] 拉格朗日中值定理如果函数f(x)在闭区间上连续,在开区间内可导,那么在内至少有一点使等式 成立. 分析由于罗尔定理是这一定理的特例,于是定理的证明归结为利用罗尔定理.这里关键是要引进一个满足罗尔定理条件的新的函数F(x).欲证 需证 f(ξ)- ' f(b)-f(a)b-af(b)-f(a)⎡ =0,而等式左边可转化为⎢f(x)- b-a⎣ ⋅x ⎤ ,于是,可取函数x⎥⎦x=ξ '

构造函数法证明不等式的八种方法

构造函数法证明不等式的八种方法 一、构造函数法是一种常用的数学证明方法，通过巧妙地构造函数， 并对其性质进行分析，可以证明各种数学不等式。下面就列举八种常用的 构造函数法证明不等式的方法。 1.构造平方函数法：对于形如x^2≥0的不等式，可以构造f(x)=x^2，然后通过分析f(x)的性质，来证明不等式的成立。 2.构造递增函数法：对于形如a≥b的不等式，可以构造f(x)=x，然 后通过分析f(x)的性质，来证明不等式的成立。 3.构造递减函数法：对于形如a≤b的不等式，可以构造f(x)=-x， 然后通过分析f(x)的性质，来证明不等式的成立。 4.构造两个函数之差法：对于形如a-b≥0的不等式，可以构造 f(x)=x^2和g(x)=(x-a)(x-b)，然后通过分析f(x)和g(x)的性质，来证 明不等式的成立。 5. 构造函数的和法：对于形如(a+b)^2≥0的不等式，可以构造 f(x)=x^2和g(x)=a^2+b^2+2ab，然后通过分析f(x)和g(x)的性质，来证 明不等式的成立。 6.构造函数的积法：对于形如(a·b)^2≥0的不等式，可以构造 f(x)=x^2和g(x)=a^2·b^2，然后通过分析f(x)和g(x)的性质，来证明 不等式的成立。 7.构造函数的倒数法：对于形如1/(a·b)≥0的不等式，可以构造 f(x)=1/x和g(x)=a·b，然后通过分析f(x)和g(x)的性质，来证明不等 式的成立。

8.构造指数函数法：对于形如e^x≥1的不等式，可以构造f(x)=e^x 和g(x)=1，然后通过分析f(x)和g(x)的性质，来证明不等式的成立。 以上就是八种常用的构造函数法证明不等式的方法。在实际证明过程中，需要注意选择合适的函数，并结合函数的性质进行分析，以确定不等式的成立情况。此外，还需要注意构造的函数在给定范围内是否满足所要求的性质，以确保证明的正确性。

高等数学构造函数技巧

高等数学构造函数技巧 构造函数技巧是高等数学中非常重要的一种问题解决方法。很多数学问题都可以通过构造函数的方法得到解决。本文将详细介绍构造函数技巧的相关知识。 一、什么是构造函数 在高等数学中，构造函数指的是通过已知函数构造出新的函数。常见的构造函数方法有数列的递推法、函数的复合法、函数的反函数法、拉格朗日插值等。 二、数列的递推法 数列的递推法是构造函数的一种常见方法。在数列中，每一项都可以通过前面的项推导出来。例如斐波那契数列： 1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987，…… 这个数列中，第一个和第二个数都是1，后面的每一项都是前面两项的和。可以通过递推公式来表示： $F_1=1,F_2=1,F_n=F_{n-1}+F_{n-2}(n\ge 3)$ 通过这个递推公式，就可以构造出斐波那契数列。在实际问题中，也可以通过递推法来解决一些问题，例如概率问题、组合问题等。 三、函数的复合法 函数的复合法是通过将多个已知函数进行复合，构造出一个新的函数。例如，已知函数$y=f(x)$和$z=g(y)$，则可以将函数$z=g(f(x))$构造出来。 另外，函数的复合法还可以用来证明一些解析式之间的等式。例如，要证明 $\tan\left(\frac{\pi}{4}+\theta\right)=\frac{1+\tan\theta}{1-\tan\theta}$，可以通过函数的复合法来证明。 四、函数的反函数法 在一些函数中，反函数的存在和性质可以帮助我们解决问题。例如，对于单调函数$f(x)$，反函数$f^{-1}(x)$可以帮助我们将$x$转换为$y$，进而解决问题。例如，已知函数$y=\sin x$，求$x=1$对应的$y$值。可以将函数变形为$x=\sin^{-1}y$，然后求出$x$的解。 另外，函数的反函数还可以帮助我们求出一些函数的导数。例如，对于非常规函数$y=\sqrt{x^2+1}$，可以通过函数的反函数法来求出导数：

14、构造函数的方法

构造函数法证明不等式 1 、利用导数研究函数的单调性极值和最值，再由单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点，也是近几年高考的热点。 2 、解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键。 构造函数的方法： 移项法构造函数,替换（换元）构造，齐次构造（极值点偏移），消参构造（多参数），主元构造，分离参数构造，多次构造，形似构造 一 、移项法构造函数 【例1】 已知函数x x x f -+=)1ln()( ， 求证：当1->x 时，恒有x x x ≤+≤+- )1ln(1 1 1 二、作差法构造函数证明

【 例 2 】 已知函数x x x f ln 2 1)(2 += 求证：在区间 ） ，（∞+1上，函数)(x f 的图象在函数3 3 2)(x x g = 的图象的下方； 【 解 】设 ，即 ， 则 = 当 时， = 从而 在 上为增函数， ∴ ∴当 时 ，即 ， 故 在区间 上，函数 的图象在函数 的图象的下方。 三 、换元法构造函数证明 【 例 3 】 证明：对任意的正整数 n ，不等式3 21 1)11ln(n n n ->+ 都成立 . 【 解 】 令 ， 则 在 上恒正， 所以函数 在 上单调递增，∴ 时，恒有 即 ，∴ 对任意正整数 n ，取 例 设0>>a b ，求证：b a b a b a <--< ln ln

四、从条件特征入手构造函数证明 【 例 4 】 若函数)(x f y = 在 R 上可导且满足不等式)()('x f x xf ->恒成立，且常数 a ， b 满足 a > b ，求证：)()(b bf a af > 【 解 】 由已知 x + >0 ∴构造函数 ， 则 x + >0 ， 从而 在 R 上为增函数。 ∴ 即 a > b 五 、主元法构造函数 例．（全国）已知函数 x x x f -+=)1ln()(，x x x g ln )(= (1) 求函数)(x f 的最大值； (2) 设b a <<0 , 证明 ：2ln )()2 ( 2)()(0a b b a g b g a g -<+-+< .

导数中的构造函数方法

导数中的构造函数方法 导数是微积分中的重要概念，用于描述函数在其中一点上的变化率。 构造函数方法是一种在解析导数时使用的技巧，通过构造一个函数来分析 导数的性质。下面将详细介绍导数中的构造函数方法。 构造函数方法的基本思想是通过构造一个辅助函数来研究原函数的性质。这个辅助函数可以是原函数的函数值、斜率、面积等。下面我们将分 别介绍几种常见的构造函数方法。 1.构造原函数的函数值： 这种方法适用于已知函数在一些特殊点的函数值的情况。比如，已知 函数在其中一点的函数值为1，我们可以构造一个辅助函数f(x)=f(x)-1，然后通过对这个函数求导来研究原函数的性质。 2.构造原函数的斜率： 这种方法适用于已知函数在一些特殊点的斜率的情况。比如，已知函 数在其中一点的斜率为2，我们可以构造一个辅助函数f(x)=2x-f(x)，然 后通过对这个函数求导来研究原函数的性质。 3.构造原函数的面积： 这种方法适用于已知函数在一定范围内的面积的情况。比如，已知函 数在区间[a, b]内的面积为1，我们可以构造一个辅助函数 f(x)=∫abf(t)dt-1，然后通过对这个函数求导来研究原函数的性质。 构造函数方法的使用需要注意以下几点： 1.构造函数需要满足可导性：

为了能够对辅助函数求导，构造的函数必须满足可导的条件。因此，在构造函数的过程中需要确保函数在所研究区间内是可导的。 2.构造函数要反映原函数的性质： 辅助函数的形式和原函数的性质应该有一定的关联，这样才能够通过对辅助函数求导来研究原函数的性质。 3.构造函数方法的局限性： 构造函数方法是一种辅助手段，用于求解导数时的特殊情况。并不是所有的导数问题都适用构造函数方法，因此在实际应用中需要根据具体情况选择合适的方法。 总结起来，构造函数方法是一种在解析导数时使用的技巧，通过构造一个辅助函数来研究原函数的性质。通过构造原函数的函数值、斜率、面积等来分析导数的性质，可以帮助我们更好地理解导数的概念和应用。然而，构造函数方法并不是通用的求导方法，只能用于特定情况下，因此在实际应用中需要灵活选择合适的方法。

构造函数法证明不等式的八种方法

构造函数法证明不等式的八种方法 1、利用导数研究函数的单调性极值和最值，再由单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点，也是近几年高考的热点。 2、解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键。 以下介绍构造函数法证明不等式的八种方法： 一、移项法构造函数 【例1】 已知函数x x x f -+=)1ln()(，求证：当1->x 时，恒有 x x x ≤+≤+-)1ln(1 11 分析：本题是双边不等式，其右边直接从已知函数证明，左边构造函数 11 1)1ln()(-++ +=x x x g ，从其导数入手即可证明。 【解】1111)(+-=-+='x x x x f ∴当01<<-x 时，0)(>'x f ，即)(x f 在)0,1(-∈x 上为增函数 当0>x 时，0)(<'x f ，即)(x f 在),0(+∞∈x 上为减函数 故函数()f x 的单调递增区间为)0,1(-，单调递减区间),0(+∞ 于是函数()f x 在),1(+∞-上的最大值为0)0()(max ==f x f ，因此，当1->x 时，0)0()(=≤f x f ，即0)1ln(≤-+x x ∴x x ≤+)1ln( （右面得证）， 现证左面，令111)1ln()(-+++=x x x g ， 22) 1()1(111)(+=+-+='x x x x x g 则 当0)(,),0(;0)(,)0,1(>'+∞∈<'-∈x g x x g x 时当时 ， 即)(x g 在)0,1(-∈x 上为减函数，在),0(+∞∈x 上为增函数， 故函数)(x g 在),1(+∞-上的最小值为0)0()(min ==g x g ， ∴当1->x 时，0)0()(=≥g x g ，即011 1)1ln(≥-++ +x x ∴111)1ln(+-≥+x x ，综上可知，当x x x x ≤+≤-+->)1ln(11 1,1有时 【警示启迪】如果()f a 是函数()f x 在区间上的最大（小）值，则有()f x ≤()f a （或()f x ≥()f a ）， 那么要证不等式，只要求函数的最大值不超过0就可得证． 2、作差法构造函数证明 【例2】已知函数.ln 21)(2x x x f += 求证：在区间),1(∞+上，函数)(x f 的图象在函数33 2)(x x g =的图象的下方；

导数中构造函数的常见题型与方法归纳

导数中构造函数的常见题型与方法归纳高考中有一难点，即不给出具体的函数解析式，而是给出函数f(x)及其导数满足的条件，需要据此条件构造抽象函数，再根据条件得出构造函数的单调性，应用单调性解决问题的题目，该类题目具有一定的难度，下面总结其基本类型及其处理方法． 题型一f′(x)g(x)±f(x)g′(x)型 【例1】设f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是() A．(－∞，－1)∪(0,1)B．(－1,0)∪(1，＋∞) C．(－∞，－1)∪(－1,0) D．(0,1)∪(1，＋∞) 【解析】令g(x)＝f(x) x，则g′(x)＝ xf′(x)－f(x) x2， 由题意知， 当x>0时，g′(x)<0 ，∴g(x)在(0，＋∞)上是减函数．∵f(x)是奇函数，f(－1)＝0，∴f(1)＝－f(－1)＝0， ∴g(1)＝f(1) 1＝0， ∴当x∈(0,1)时，g(x)>0，从而f(x)>0； 当x∈(1，＋∞)时，g(x)<0，从而f(x)<0. 又∵f(x)是奇函数， ∴当x∈(－∞，－1)时，f(x)>0； 当x∈(－1,0)时，f(x)<0. 综上，所求x的取值范围是(－∞，－1)∪(0,1)． 【例2】设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，且g(－3)＝0，则不等式f(x)g(x)<0

的解集是________________． 【解析】借助导数的运算法则， f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0⇔[f(x)g(x)]′>0， 所以函数y＝f(x)g(x)在(－∞，0)上单调递增． 又由分析知函数y＝f(x)g(x)为奇函数， 所以其图象关于原点对称，且过点(－3,0)，(0,0)，(3,0)． 数形结合可求得不等式f(x)g(x)<0的解集是(－∞，－3)∪(0,3)．【小结】 (1)对于不等式f′(x)＋g′(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝f(x)＋g(x)； (2)对于不等式f′(x)－g′(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝f(x)－g(x)； 特别地，对于不等式f′(x)>k(或0(或<0)，构造函数F(x)＝f(x)g(x)； (4)对于不等式f′(x)g(x)－f(x)g′(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝f(x) g(x) (g(x)≠0)； (5)对于不等式xf′(x)＋f(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝xf(x)； (6)对于不等式xf′(x)－f(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝f(x) x(x≠0)． 题型二xf′(x)±nf(x)型 【例3】设函数f(x)在R上的导函数为f′(x)，且2f(x)＋xf′(x)>x2，则下列不等式在R上恒成立的是() A．f(x)>0B．f(x)<0 C．f(x)>x D．f(x)

专题06 构造函数法解决导数不等式问题(一)(解析版)

专题06 构造函数法解决导数不等式问题(一) 以抽象函数为背景、题设条件或所求结论中具有“f (x )±g (x )，f (x )g (x )，f (x )g (x ) ”等特征式、旨在考查导数运算法则的逆向、变形应用能力的客观题，是近几年高考试卷中的一位“常客”，常以压轴题小题的形式出现，解答这类问题的有效策略是将前述式子的外形结构特征与导数运算法则结合起来，合理构造出相关的可导函数，然后利用该函数的性质解决问题． 导数是函数单调性的延伸，如果把题目中直接给出的增减性换成一个f ′(x )，则单调性就变的相当隐晦了，另外在导数中的抽象函数不等式问题中，我们要研究的往往不是f (x )本身的单调性，而是包含f (x )的一个新函数的单调性，因此构造函数变的相当重要，另外题目中若给出的是f ′(x )的形式，则我们要构造的则是一个包含f (x )的新函数，因为只有这个新函数求导之后才会出现f ′(x )，因此解决导数抽象函数不等式的重中之重是构造函数． 构造函数是数学的一种重要思想方法，它体现了数学的发现、类比、化归、猜想、实验和归纳等思想．分析近些年的高考，发现构造函数的思想越来越重要，而且很多都用在压轴题(无论是主观题还是客观题)的解答上． 构造函数的主要步骤： (1)分析：分析已知条件，联想函数模型； (2)构造：构造辅助函数，转化问题本质； (3)回归：解析所构函数，回归所求问题． 考点一 构造F (x )＝x n f (x )(n ∈Z ，且n ≠0)类型的辅助函数 【方法总结】 (1)若F (x )＝x n f (x )，则F ′(x )＝nx n －1f (x )＋x n f ′(x )＝x n － 1[nf (x )＋xf ′(x )]； (2)若F (x )＝f (x )x n ，则F ′(x )＝f ′(x )x n －nx n －1f (x )x 2n ＝xf ′(x )－nf (x )x n ＋1 ． 由此得到结论： (1)出现nf (x )＋xf ′(x )形式，构造函数F (x )＝x n f (x )； (2)出现xf ′(x )－nf (x )形式，构造函数F (x )＝f (x )x n ． 【例题选讲】 [例1](1)已知f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )为f (x )的导函数，且满足f (x )＜－xf ′(x )，则不等式f (x ＋1)>(x －1)f (x 2－1)的解集是( ) A ．(0，1) B ．(1，＋∞) C ．(1，2) D ．(2，＋∞) 答案 D 解析 因为f (x )<－xf ′(x )，所以f (x )＋xf ′(x )<0，即(xf (x ))′<0，所以函数y ＝xf (x )在(0，＋∞)上

构造函数求导题型常见模型

构造函数求导题型常见模型 一、引言 在高等数学中，构造函数求导是一个非常重要的概念。该概念在微积分、物理学、工程学等领域都有广泛的应用。本文将介绍构造函数求导的常见模型，并提供一个全面详细的函数。 二、构造函数求导模型 1. 复合函数求导 复合函数是由两个或多个函数组成的函数。对于复合函数，我们可以使用链式法则来求导。具体而言，如果f(x)和g(x)都可导，则复合函数h(x)=f(g(x))也可导，并且其导数为h'(x)=f'(g(x))g'(x)。 2. 反函数求导 反函数是指如果f(x)在区间I上单调递增（或单调递减）且连续，则存在其反函数g(y)，使得g(f(x))=x（或f(g(y))=y）。对于反函数，我们可以使用公式g'(y)=1/f'(x)，其中x=f(y)。 3. 参数方程求导 参数方程是指将一个曲线用两个参数表示出来，即x=f(t)和y=g(t)，其中t为参数。对于参数方程，我们可以使用链式法则来求导。具体而言，如果x=f(t)和y=g(t)都可导，则曲线的切线斜率为

dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)=g'(t)/f'(t)。 4. 隐函数求导 隐函数是指将一个方程用x和y表示出来，即F(x,y)=0。对于隐函数，我们可以使用隐函数求导法来求导。具体而言，我们可以将F(x,y)=0 两边同时对x求导，并使用链式法则来计算dy/dx。 三、构造函数求导常见问题及解决方法 1. 忘记使用链式法则 对于复合函数、参数方程和隐函数，我们需要使用链式法则来计算其 导数。如果忘记使用链式法则，则无法正确计算导数。 2. 计算错误 在进行复杂的计算时，容易出现计算错误。因此，在进行构造函数求 导时，需要仔细检查每一步的计算结果，并避免粗心大意。 3. 求解不完整 有时候，在进行构造函数求导时，可能会漏掉某些情况。因此，在进 行构造函数求导时，需要考虑所有可能的情况，并确保没有遗漏。 四、构造函数求导示例代码 #include

简析导数问题中构造辅助函数的常用方法

简析导数问题中构造辅助函数的常用方法 作者：杨光关键 来源：《新课程·中旬》2013年第09期 导数在函数中的应用是现今高考的一大热点问题，年年必考，在这道压轴的大题中，解答时常涉及构造函数，我简单谈一下常用的构造方法. 一、作差法（直接构造法） 这是最常用的一种方法，通常题目中以不等式形式给出，我们可以作差构造新的函数，通过研究新函数的性质从而得出结论.当然，适合用这个方法解的题目中，构造的函数要易于求导，易于判断导数的正负. 例1.设x∈R，求证ex≥1+x 构造函数f （x）=ex-1-x，对函数求导可得f ′ （x）≥ex-1，当x≥0时，f ′ （x）≥0，f （x）在[0，+∞）上是增函数，f （x）≥f （0）=0，当xf （0）=0，因此，当x∈R，f （x）≥f （0）=0，即ex≥1+x 例2.x>-1，求证1-■≤ln（x+1）≤x 以证明右侧为例，设f （x）=x-ln（x+1），f ′ （x）=1-■（x>-1） 令f ′ （x）=0，x=0，当x∈（-1，0）时，f ′ （x）0，函数递增，所以x=0时，函数取最小值f （0）=0，∴f （x）≥0. 二、先去分母再作差 有的问题直接作差构造函数后，求导非常麻烦，不具有可操作性，可先去分母再作差. 例3.x>1，求证■ 分析：设f （x）=■-lnx，f （x）=■-■-lnx，f ′ （x）=■x-■+■x-■-■，f ′ （x）=■≥0，f （x）≥f （1），f （1）=0，∴f （x）>0 三、先分离参数再构造 例4.（哈三中2012期末试题21）已知函数f （x）=xlnx，g （x）= -x2+ax-3

导数构造函数题秘籍 第一讲 (带答案)

导数构造函数题秘籍第一讲 很多导数的选择压轴题，常规方法是构造新函数，大部分情况解答过程比较繁琐，此秘籍从原理本质出发，教会同学们不用构造新函数，也不需要写完整过程，几秒钟就能快速解决问题，大大提高解题效率！！！ 例题展示，揭示原理： 例1、已知定义在R上的函数f（x）的导函数为f'（x），且f（x）﹣f'（x）＜1，f（1）＝2，则不等式f（x）﹣1＞e x﹣1的解集为（）C A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，2）C．（1，+∞）D．（2，+∞） 例2、已知定义在R上的函数f（x），其导函数为f'（x），若f'（x）﹣f（x）＜﹣2，f（0）＝3，则不等式f（x）＞e x+2的解集是（）D A．（﹣∞，1）B．（1，+∞）C．（0，+∞）D．（﹣∞，0） 通法分析： 常规方法展示： 老思数学秘籍第一式： 第一招：观察含导函数的不等式确定新函数单调性——f'（x）大于则增，小于为减 例1：f'（x）大于为增； 例2：f'（x）小于为减. 第二招：确定要求解的不等式左右两边——就是两个f（x）括号里面的内容，右边一个一般是常值可由题设得到 例1：左边为x，右边为1（1是由题设f（1）＝2得出）； 例2：左边为x，右边为0（0是由题设f（0）＝3得出）. 第三招：确定不等式符号，解不等式。——单增同号，单减异号 例1：x>1； 例2：x<0.

课堂演练，融会贯通： 1、定义域为R的可导函数y＝f（x）的导函数为f′（x），满足f（x）＞f′（x）且 f（0）＝1，则不等式＜1的解为（）B A．（﹣∞，0）B．（0，+∞）C．（﹣∞，2）D．（2，+∞） 2、定义在R上的函数f（x）满足：f（x）+f′（x）＞1，f（0）＝4，则不等式e x f（x）＞e x+3（其中e为 自然对数的底数）的解集为（）A A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）∪（3，+∞） C．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D．（3，+∞） 3、已知函数f（x）的定义域为R，且﹣f（x）＞2，若f（0）＝（）﹣﹣， 则不等式＞1的解集为（）A A．（0，+∞）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，0）D．（﹣∞，﹣1） 4、已知函数f（x）的定义域为（﹣∞，0），其导函数为f′（x），且满足2f（x）+f′（x）＜0，则不等式 f（x+2015）＜的解集为（）C A．{x|x＞﹣2019}B．{x|x＜﹣2015} C．{x|﹣2019＜x＜﹣2015}D．{x|﹣2019＜x＜0} 核心提醒：注意定义域 5、设函数f（x）是定义在（0，+∞）上的可导函数，其导函数为f′（x），且有2f（x）+xf′（x）＞x2， 则不等式（x﹣2016）2f（x﹣2016）﹣4f（2）＞0的解集为（）D A．（2014，+∞）B．（0，2014）C．（0，2018）D．（2018，+∞） 6、已知定义在实数集R上的函数f（x）满足f（1）＝1，且f（x）的导数f′（x）在R上恒有f′（x） （x∈R），则不等式f（x2）＜的解集为（）D A．（1，+∞）B．（﹣∞，﹣1） C．（﹣1，1）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）

高中数学：构造函数方法

高中数学：构造函数 常见构造函数方法： 1.利用和差函数求导法则构造 （1）)()()()0(0)()(x g x f x F x g x f +=⇒<>'+'或； （2）)(-)()()0(0)(-)(x g x f x F x g x f =⇒<>''或； （3）kx x f x F k x f -= ⇒<>')()()(k )(或； 2.利用积商函数求导法则构造 （1）)()()()0(0)()()(g )(x g x f x F x g x f x x f =⇒<>'+'或； （2）)0)(() (g ) ()()0(0)()(-)(g )(≠= ⇒<>''x g x x f x F x g x f x x f 或； （3）)()()0(0)()(x x xf x F x f x f =⇒<>+'或； （4）)0(x ) ()()0(0)(-)(x ≠= ⇒<>'x x f x F x f x f 或； （5）)()()0(0)(n )(x x f x x F x f x f n =⇒<>+'或; (6))0(x ) ()()0(0)(n -)(x n ≠= ⇒<>'x x f x F x f x f 或; (7))(e )()0(0)()(x f x F x f x f x =⇒<>+'或; (8))0(e ) ()()0(0)(-)(x ≠= ⇒<>'x x f x F x f x f 或; (9))(e )()0(0)(k )(x f x F x f x f kx =⇒<>+'或; (10))0(e ) ()()0(0)(k -)(k x ≠= ⇒<>'x x f x F x f x f 或; (11))(sin )()0(0tanx )()(x xf x F x f x f =⇒<>'+或; (12))0(sin sinx ) ()()0(0tan )(-)(≠=⇒<>'x x f x F x x f x f 或; (13))0(cos cos ) ()()0(0)(tanx )(≠= ⇒<>+'x x x f x F x f x f 或; (14))(cos )()0(0)(tanx -)(x f x F x f x f =⇒<>'或; (15)()+lna ()0(0)()()x f x f x F x a f x '><⇒=或;

几种构造辅助函数的方法及应用

几种构造辅助函数的方法及应用

()()()())0(0==-=a f a f a b a F a ()()()0=-=b f b b b F a 故 ()x F 在[]b a ,上满足罗尔定理的条件 于是，()b a ,∈∃ξ，使()0='ξF () () ()()()01='-+--ξξξξf b f b a a 即： 亦即： ()()ξξ ξf a b f '⋅-= 证毕 2.3设置变量法 当结论中含两个中值ηξ,时，我们常常联想到应用拉格朗日定理柯西定理的证明，这是可用设置变量法作辅助函数()x F 。即：将结论中的ξ或η看作变量，作恒等变形后与中值定理的公式相对照，即可看出辅助函数的结构。 例3：设函数()() x g x f ,在[]上连续，b a ,且()(),1==a g b g 在()b a ,内()() x g x f ,可导,且 ()()()0 ,0≠'≠'+x f x g x g . 试证明: ()∍ ∈∃,,,b a ηξ ()()()()[]ηξξξηξe g g e f f '+='' 分析:欲证等式 ()()()[]()η ξηξξξe f g g e f '='+'⇔ 将η ξ和均看作变量,则上式写成 () ()[]()() ''=''ηξ ηξξe f g e f 辅助函数可取：x x e x x g e x ==)()()(ψϕ 证明：),()(x g e x x ⋅=ϕ令则由题设可知],[)(),(b a x g x f 在上满足柯西中值定理，于是，使得),,(b a ∈∃ξ

)] ()([) ()()()()(ξξξξ g g e f a g e b g e a f b f a b '+'=-- 因为1)()(==b g a g 所以， )1()] ()([) ()()(ξξξξg g e f e e a f b f a b '+'= -- 再令],[)(),(,)(b a x x f e x x 在则ψψ=上满足柯西中值定理，于是，使得 ),,(b a ∈∃η )2() ()()(η ηe f e e a f b f a b '= -- 由（1），（2）得 )]()([) (ξξξξg g e f '+'=η ηe f )(' y e g g e f f )] ()([)()(ξξηξξ'+=''⇒ 2.4 几何直观法 对于某些证明题可以先从结论的几何意义进行分析，作为符合已知定义、定理的辅助曲线，再利用解析几何知识列出辅助曲线方程进而找出证明题所需要的辅助函数，打开证明思路。 例4 设函数)(x f 在),0[+∞内可导，.0)0()(='f x f 严格递增， 试证明：在 .0)()(),0(≥-'+∞x f x f x 内 分析：由严格递增)(x f '知，)(x f 是下凸函数. 由图1知：)()(),0[1x x f x ϕ≥+∞∈∀有 即： 111()()()()f x f x f x x x '≥+- (1) 即：切线总在曲线的下方（几何意义）. 由图2知：..122121k k l l k k >则的斜率和分别表示和由 即：

数学证明中的构造辅助函数方法

数学证明中的构造辅助函数方法 摘要数学中运用辅助函数就像是在几何中添加辅助线，其应用是非常广泛的. 构造辅助函数是数学命题推证的有效方法，是转化问题的一种重要手段。遇到特殊的问题时，用常规方法可能比较复杂.这时就需要构造辅助函数，就如同架起一座桥梁，不需要大量的算法就可以得到结果.如何构造辅助函数是数学分析解题中的难点，看似无章可循，但仔细研究不失基本方法和一般规律。文章通过对微分中值定理证明中，关于构造辅助函数方法的总结和拓展，给出了多种形式的辅助函数；通过详尽的实例，讲明了辅助函数在不等式、恒等式、函数求极限、讨论方程的根及非齐次线性微分方程求解中的运用，尝试找出如何构造辅助函数的几种方法，并通过这些方法在一些具体实例中的运用归纳出构造函数法的一些思路. 关键词辅助函数；中值定理；恒等式与不等式；函数表达式；极值1.引言 数学中，不等式与等式的证明、微分中值定理、拉格朗日条件极值、线性微分方程求解公式等，都是通过构造一个辅助函数来完成推证的，有时候构造辅助函数也是求证数学命题的简便而有效的方法之一，掌握构造辅助函数证明数学命题的方法的关键是要对“数学现象”善于观察，联想和发现问题，根据直观的结论倒推构造什么样的辅助函数.基本思路是从一个目标出发，联想起某种曾经遇到过的方法、手段，而后借助于这些方法和手段去接近目标，或者从这些方法和手段出发，去联想别的通向目标的方法和手段，这样继续下去，直到达到把问题归结到一个明显成立的结构上为止.构造辅助函数实质上就是分析法的一种技巧，也是数学中的一个难点，值得重视的是，在证明命题的过程中要不断研究问题的本质，从而寻求构造辅助函数的方法，文章重点分析了微分中值定理的证明中辅助函数的构造方法与技巧，进而应用到其他一般命题的证明中.