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经济数学微积分复习资料(1)

17级《经济数学》复习题

一、函数的定义域：

1、21

ln(1)arcsin 3

x y x -=-+ 2

、2

11y x =+- 3

、arcsin y x = 4

、y

5、下列函数哪些是同一函数

()f x =x x g =)(

2) 2

()ln f x x =,()2ln g x x =;

3) ()arcsin arccos f x x x =+ ，()2

g x π

;

()f x =

()f x = 5)

()f x =()g x x = ;

6) 22()sin cos f x x x =+,()1g x =;

7) ()arctan arccot f x x x =+,()2

f x π

()ln

x f x x

-=,()ln(1)ln f x x x =-- 二、求极限：

1、sin 1

lim(sin )x x x x x

→∞+

2、01

lim arctan x x x

→

3、2

01lim sin x x x

→

4、20152052

lim 321

x x x x x →∞++++

5、2030

50(31)(23)lim (71)

x x x x →∞-++ 6、3222(32)

lim (21)(34)

x x x x x x →∞++++

7、1lim sin

x x x

→∞

8、3232

lim 31x x x x x →∞++++

9、02lim sin x x x e e x

x x

-→---

10、2

lim 221-+-→x x x x

11、2sin lim

0-+--→x x x e e x

12、201

sin lim x

x e x x --→ 13、lim x

x x a x a →∞+??

?-?? 14、1lim 1x

x x x →∞+?? ?-?? 15、23lim 1x x x →∞

??+ ???

16、lim 1x

x x x →∞??

?-?? 17、1lim 2x

x x x →∞+?? ?-?? 18、32lim 1x x x →∞

??- ???

19、2

0sin 1

lim x x e x x →--

20、332132

lim 1x x x x x x →-+--+

21、2

lim x x x e e x -→+-

22、2)

1(lim x

x x x +∞→ 23、1

lim 0-→x x e x

24、x

x e 10

lim →

25、1

lim 21--→x x x

26、1

ln dt

lim

x t x →-?

27、0

tan dt lim

x t x →?

28、0

(3)()

lim

h f x h f x h

→--三、连续

1、函数2sin 20()0x

x f x x x k x ?

=??+≥?在0=x 处连续，求k

2、设函数29

3()33x x f x x k x ?-≠?

=-??=?

连续，求K.

3、设函数0

()0x e x f x x k x ?<=?-≥?连续，求K.

4、设函数sin 0()cos 0

x f x x

x k x ?

=??+≥?连续，求K 5、设函数2

()1kx x f x x

x -

1. 曲线ln y x =在点（1,0）处的切线方程

2. 曲线1y x =

在点1

(3,)3处的切线方程 3. 曲线x

y xe =在点(0,0)处的切线方程

4. 求曲线2

(1)arctan y x x =+在点(0,1)处的切线方程

5. 设(sin cos )2sin 2f x x x +=+,则()f x '

6. 设()cos 2,x

f x x x e =++求(0)f '' 7. 设2(1)1f x x x +=-+,求"

()f x 8.

设ln(y x =，求y '

9. 设,arcsin )(x x f =求()f x 在0x =处的微分 10. 函数2

(41)arctan 2y x x =+，求dy ,y '' 11. 函数2

(1)x

y x e +=+，求dy ,y ''

12. 函数arccot(21)y x =+，求dy ,y ''

13. 函数arcsin 2y x =，求dy ,y '' 14. 函数3

8cos y x x x =+-，求dy ,y ''

15. 函数()ln a x

f x a x

-=+，求dy ,y '' 16. 已知函数()2ln 1y x =+，求y '，dy ,y ''

17. 已知函数()2sin y x

=，求dy ,y ''.

18. 函数2

cos(1)y x =-，求dy ,y '' 19.

设函数已知y = (0) '''及y y . 20. 函数

y =

dy ,y ''

21. 函数2

(41)arctan 2y x x =+，求dy ,y ''

22. ()x

dy y y x e dx

=函数由方程-e -sinxy=0确定，求

,dy. 23. ()y y x =是由方程0x y

xy e e -+-=确定的隐函数，求dy dx

24. 2

()10x y dy y y x e xy y dx +=++=函数由方程确定，求,dy.

25. ()y y x =是由方程2y

y xy e e --=确定的隐函数，求dy dx

26. ()y y x =是由方程33

30x y axy +-=确定的隐函数，求dy dx ，

()1,1dy dx

27. ()y y x =是由方程32

236x y xy +=确定的隐函数，求dy dx

28. 求方程33

3x xy y +-=确定的隐函数的导数dy dx

五、积分：

1. 若()f x 的一个原函数为cos x ,求

()f x dx '?

2. 已知tan(3)x

是()f x 的原函数，求

()f x dx ?.

3. 若()f x 的一个原函数为x

xe , 求

()xf x dx '?

4. 若()=sin f x x ,求'()f x dx ?

若()cos f x x =，求()f x dx '? 6. 已知()f x 的导数为cos x ，求

()f x dx ?

7. 2()sin 2f x dx x x C =++?

若成立，

求()f x

8. sin cos x xdx ? 9.

cos(1)x x dx +?

10. ?+dx e

e x

5 11. 2

-x

xe dx ?

12.

22cos 2sin cos x

dx x x ?

13. 1

1cos 2dx x +?

14. 1

(1)dx x x +?

15. 2

1x dx x +? 16. 1

dx e +?

17. 1x

e dx e +? 18.

? 19. 2cos sin x xdx ?

20. 2

x x

dx e ?

21. 2

sin x x dx ?

22.

)x dx -?

23.

22cos cos x x

dx x x -+?

24. 2

121tan 1

x x

dx x -+? 25. 1

1(cos )x x x dx -+?

26. 1

(tan sin )x x dx -+?

27.

； 28. sin 0

cos x e xdx π

29.

0(2)x

x e dx +? 30. 1

ln e x xdx ?

31. ()1

1ln e

x xdx -?

32. ()2

x e dx -? 33. 0

cos x xdx π

34.

20sin x xdx π

35. 1

ln e

x xdx ? 36. sin 0

cos x e xdx π

37.

38. 2

0x xe dx π

39. 1

(3)x x e dx -?

40.

cos x x dx

六、应用

1. 求函数()3

39f x x x x =--的单调区间与极值、凹凸区间与拐点.

2. 求函数()3

2221673f x x x x =

--+的单调区间与极值、凹凸区间与拐点. 3. 求32

()395f x x x x =-++-的单调区间与极值、凹凸区间与拐点。

4. 求函数32

393y x x x =--+的单调区间、极值及凹凸区间、拐点。

5. 求函数32

()39f x x x x =--的单调区间、极值及凹凸区间、拐点。

6. 求函数143)(3

4+-=x x x f 的单调区间、极值及凹凸区间、拐点。

7. 求函数32

71612y x x x =-+-的单调区间，并求极值及凹凸区间、拐点。 8. 求由曲线,x x

y e y e -==及直线1=x 所围图形的面积.

9. 求由曲线2

y x =

和y =

10. 求由曲线2

y x =和2y x =-所围成的图形的面积 11. 由曲线2

y x =和2

2y x =-所围成的图形的面积 12. 求由曲线1

y x

和直线y x =、2x =所围成的平面图形的面积。 13. 求由曲线sin y x =和cos y x =及直线0x =，2

x π

所围成的图形的面积。

14. 已知某产品的总成本函数为2

()156C Q Q Q Q =-+，求产量为多少时平均成本最小?并计算此

时的边际成本。

15. 已知某企业收入函数为()60R x x =，总成本函数为23()1000600.30.001C x x x x =+-+，求使

得利润最大时的产量x ，并求出最大利润。

16. 已知总成本函数为：2

()144=-+C Q Q Q Q ，要使其平均成本最低，产量Q 应为多少?并求

出此时的边际成本.

17. 某工厂生产q （件）产品时，生产成本函数为2

C(q)=9000+40q+0.001q （单位：元）. (1)求

该厂生产多少件产品时，平均成本达到最小？并求出其最小平均成本

18. 某工厂生产q （件）产品时，生产成本函数为2

()100200

q C q =+（单位：元），收入函数为

()100R q q =。

求该厂生产多少件产品时，利润最大？并求出其最最大利润和相应的边际成本。 19. 设某产品日产量为Q 件时，需要付出的总成本为2

1()201600100

C Q Q Q =++（元）

，求：（1）日产量为500件的总成本和平均成本（2）最低平均成本及相应的产量

20. 设某工艺品的需求函数为800.1P =-Q (P 是价格，单位：元, Q 是需求量，单位：（件), 成

本函数为 400020C =+Q (元).(1) 求边际利润函数()L 'Q , 并分别求200=Q 和400=Q 时的边际利润，并解释其经济意义. (2) 要使利润最大，需求量Q 应为多少?

21. 已知某企业的利润为2

()1120.1L q q q =+-，求生产多少单位产品时，利润最大，并求出最

大利润？

微积分笔记

第一章函数、极限和连续 §1.1 函数一、主要内容㈠函数的概念 1. 函数的定义: y=f(x), x ∈D 定义域: D(f), 值域: Z(f). 2.分段函数: ?? ?∈∈=2 1 ) ()(D x x g D x x f y 3.隐函数: F(x,y)= 0 4.反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f -1(y) y=f -1 (x) 定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是严格单调增加(或减少)的；则它必定存在反函数： y=f -1(x), D(f -1)=Y, Z(f -1)=X 也是严格单调增加(或减少)的。㈡函数的几何特性 1.函数的单调性: y=f(x),x ∈D,x 1、x 2∈D 当x 1＜x 2时, 若f(x 1)≤f(x 2),则称f(x)在D 内单调增加( )；若f(x 1)≥f(x 2),则称f(x)在D 内单调减少( )；若f(x 1)＜f(x 2),则称f(x)在D 内严格单调增加( )；若f(x 1)＞f(x 2),则称f(x)在D 内严格单调减少( )。 2.函数的奇偶性：D(f)关于原点对称奇函数：f(-x)=-f(x) 偶函数：f(-x)=f(x) 3.函数的周期性：周期函数：f(x+T)=f(x), x ∈(-∞，+∞) 周期：T ——最小的正数 4.函数的有界性： |f(x)|≤M , x ∈(a,b) ㈢基本初等函数 1.常数函数： y=c ， (c 为常数) 2.幂函数： y=x n , (n 为实数) 3.指数函数： y=a x , (a ＞0、a ≠1) 4.对数函数： y=log a x ,(a ＞0、a ≠1) 5.三角函数： y=sin x , y=con x y=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x 6.反三角函数：y=arcsin x, y=arccon x y=arctan x, y=arccot x ㈣复合函数和初等函数 1.复合函数： y=f(u) , u=φ(x) y=f[φ(x)] , x ∈X 2.初等函数:由基本初等函数经过有限次的四则运算（加、减、乘、除）和复合所构成的，并且能用一个数学式子表示的函数 §1.2 极限一、主要内容㈠极限的概念 1. 数列的极限: A y n n =∞ →lim 称数列{}n y 以常数A 为极限；或称数列{}n y 收敛于A. 定理: 若{}n y 的极限存在 ?{}n y 必定有界.

专科经济数学试题与答案

江夏学院成教院2011春专科《经济数学基础》试题级专业姓名成绩一、单项选择(2×5分) 1.函数2 4 2--= x x y 的定义域就是( ) A.),2[+∞- B.),2()2,2[+∞?- C.),2()2,(+∞-?--∞ D.),2()2,(+∞?-∞ 2、若函数4 cos )(π =x f ,则x x f x x f x ?-?+→?) ()(lim =( )。 A.0 B. 22 C.4sin π- D. 4 sin π 3.下列函数中,( )就是2 sin x x 的原函数。 A. 2cos 2 1 x B.2cos 2x C.2cos 2x - D.2cos 21x - 4.设A 为m×n 矩阵,B 为s×t 矩阵,且B AC T 有意义,则C 就是( )矩阵。 A.m×t B.t×m C.n×s D.s×n 5.用消元法解线性方程组123233241 02x x x x x x +-=?? +=??-=? 得到的解为( )。 A.123102x x x =??=??=-? B.1237 22x x x =-?? =??=-? C.1231122x x x =-??=??=-? D.123 1122x x x =-?? =-??=-? 二、填空题:(3×10分) 6.已知生产某种产品的成本函数为C(q)=80+2q,则当产量q=50单位时,该产品的平均成本为。 7.函数23 ()32 x f x x x -= -+ 的间断点就是= 。 8.1 1 (cos 1)x x dx -+? = 。 9.矩阵111201134-????-??-???? 的秩为。 10.若线性方程组1212 0x x x x λ-=?? +=? 有非0解,则λ= 。 11、已知函数21 ()1 x f x x -=-,则点1x =就是函数()f x 的间断点; 12、设0()()()f x x x x ?=-,()x ?在点0x 连续,则'0()f x =________; 13、若()()f x dx F x c =+?,则2()f x xdx =?______________; 14、设0k >,函数()ln x f x x k e =-+在(0,)+∞内有个零点; 15、已知函数ln()y x π=,则dy =_________; 16、若某国人口增长的速率为()t μ,则2 1()T T t dt μ?表示_____________ 三、微积分计算题(10×2分) 17.设1ln(1) 1x y x +-=-,求(0)y '。解: 18.ln 2 20 (1)x x e e dx +? 。解: 四、代数计算题(10×2分) 19.设矩阵A=1113115,()121I A --?? ??-+??--???? 求。解 20.设齐次线性方程组123123123 3202530380x x x x x x x x x λ-+=?? -+=??-+=? ,问λ取何值时方程组有非0解,并求一般解。解

经济数学—微积分第二版吴传生期末考试题

一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，学科网只有一项是符合题目要求的. 1.设集合M=｛0,1,2｝，N= ，则 =（） A. ｛1｝ B. ｛2｝ C. ｛0，1｝ D. ｛1，2｝ 2.设复数，在复平面内的对应点关于虚轴对称，zxxk ，则（） A. - 5 B. 5 C. - 4+ i D. - 4 - i 3.设向量a,b满足|a+b|=，|a-b|=，则a．b= （） A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 4.钝角三角形ABC的面积是，AB=1，BC= ，则AC＝（） A. 5 B. C. 2 D. 1 5.某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良学科网的概率是0.75，连续两为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（） A. 0.8 B. 0.75 C. 0.6 D. 0.45 6.如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm）,图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（）

7.执行右图程序框图，如果输入的x,t均为2，则输出的S= （） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 9.设x,y满足约束条件，则的最大值为（） A. 10 B. 8

C. 3 D. 2 10.设F为抛物线的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为（） 11.直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM 与AN所成的角的余弦值为（） 12.设函数，则m 的取值范围是（）第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题，学科网每个试题考生必须做答.第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答. 二.填空题 13.的展开式中，的系数为15，则a=________.(用数字填写答案) 14.函数的最大值为_________. 15.已知偶函数，则的取值范围是__________. 16.设点上存在点N，使得zxxk∠OMN=45°，则的取值范围是________. 三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）已知数列

高等数学笔记

第1章函数 §1 函数的概念一、区间、邻域自然数集N整数集Z有理数集Q实数集R 建立数轴后：建立某一实数集A与数轴上某一区间对应区间：设有数a,b,a0)，则称实数集{x|a?δ

a称为N(a,δ)的中心，δ>0称为邻域N(a,δ)的半径。去心邻域：把N(a,δ)的中心点a去掉，称为点a的去心邻域，记为N(a^,δ)={x|0<|x?a|<δ}=N(a,δ)?{a} 注：其中，?{a}表示去掉由a这一个数组成的数集。二、函数概念例1. 设圆的半径为x(x>0)，它的面积A=πx2，当x在(0,+∞)内任取一个数值（记为?x∈(0,+∞)）时，由关系式A=πx2就可以确定A的对应数值。文章来源：https://www.docsj.com/doc/8e12937060.html,/ 例2. 设有半径为r的圆，作圆的内接正n边形，每一边对应的圆心角α=2πn，周长S n=n?2r sinπn，当边数n在自然数集N(n≥3)任取一个数，通过关系式S n=2nr sinπn就有一个S n对应确定数值。函数定义：设有数集X,Y，f是一个确定的对应法则，对?x∈X，通过对应法则f都有唯一的y∈Y与x对应，记为x→f y，或f(x)=y，则称f为定义在X上的函数。其中X称为f的定义域，常记为D f。 X——自变量，Y——因变量。当X遍取X中的一切数时，那么与之对应的y值构成一个数集V f={y|y=f(x),x∈X}，称V f为函数f的值域。文章来源：https://www.docsj.com/doc/8e12937060.html,/ 注意：（1）一个函数是由x,y的对应法则f与x的取值范围X所确定的。把“对应法则f”、“定义域”称为函数定义的两个要素。例如，y=arcsin(x2+2)这个式子，由于x2+2>2，而只有当|x2+2|≤1时，arcsin才有意义，因此这个式子不构成函数关系。又例如，y=ln x2与y=2ln x不是同一个函数，因为定义域不同。而y=ln x2与y=2ln|x|是同一个函数，因为定义域相同。（2）函数的值域是定义域和对应法则共同确定的。（3）确定函数定义域时，注意：若函数有实际意义，需依据实际问题是否有意义来确定。若函数不表示某实际问题，则定义域为自变量所能取得的使函数y=f(x)成立的一切实数所组成的数值。函数的几何意义：设函数y=f(x)定义域为D f，?x∈D f，对应函数值y=f(x)在XOY平面上得到点(x,y)，当x遍取D f中一切实数时，就得到点集P={(x,y)|y=f(x),x∈D f}。点集P称为函数y=f(x)的图形。文章来源：https://www.docsj.com/doc/8e12937060.html,/ 三、函数的几个简单性质 1. 函数的有界性若?M>0,s.t.|f(x)|≤M,x∈I，则称y=f(x)在区间I上有界。否则称f(x)在I上无界。注：s.t.是“使得，满足于”的意思，I表示某个区间。

经济数学微积分试题

经济数学-微积分模拟试题-按模块分类一、单项选择题（每小题3分，） 1.下列各函数对中，（ D ）中的两个函数相等． A. x x g x x f ==)(,)()(2 B. 1)(,1 1)(2 +=--= x x g x x x f C. x x g x x f ln 2)(,ln )(2== D. 1)(,cos sin )(2 2 =+=x g x x x f 2.已知1sin )(-= x x x f ，当（ A ）时，)(x f 为无穷小量． A. 0→x B. 1→x C. -∞→x D. +∞→x 3. ? ∞+1 3 d 1x x （ C ）． A. 0 B. 2 1- C. 2 1 D. ∞+ 1.下列函数中为奇函数的是（）．B (A) x x y sin = (B) x x y -=3 (C) x x y -+=e e (D) x x y +=2 2.下列结论正确的是（）．C (A) 若0)(0='x f ，则0x 必是)(x f 的极值点 (B) 使)(x f '不存在的点0x ，一定是)(x f 的极值点 (C) 0x 是)(x f 的极值点，且)(0x f '存在，则必有0)(0='x f (D) 0x 是)(x f 的极值点，则0x 必是)(x f 的驻点 3.下列等式成立的是（）．D (A) x x x d d 1= (B) )1d( d ln x x x = (C) )d(e d e x x x --= (D) )d(cos d sin x x x =- 1．若函数x x x f -= 1)(， ,1)(x x g +=则=-)]2([g f ( )．A A ．-2 B ．-1 C ．-1.5 D ．1.5

大一微积分期末试题附答案

微积分期末试卷一、选择题（6×２） cos sin 1.()2,()()22 ()()B ()()D x x f x g x f x g x f x g x C π ==1设在区间（0，）内（　）。Ａ是增函数，是减函数是减函数，是增函数二者都是增函数二者都是减函数 2x 1 n n n n 20cos sin 1n A X (1) B X sin 21C X (1) x n e x x n a D a π →-=--==>、x 时，与相比是（　）Ａ高阶无穷小Ｂ低阶无穷小Ｃ等价无穷小Ｄ同阶但不等价无价小３、ｘ=０是函数ｙ=（１-sinx)的（　）Ａ连续点Ｂ可去间断点Ｃ跳跃间断点Ｄ无穷型间断点４、下列数列有极限并且极限为１的选项为（）n 1 X cos n = 2 00000001 () 5"()() ()()0''( )<0 D ''()'()06x f x X X o B X o C X X X X y xe =<===、若在处取得最大值，则必有（　）Ａf ＇f ＇f ＇且f f 不存在或f 、曲线（）Ａ仅有水平渐近线Ｂ仅有铅直渐近线Ｃ既有铅直又有水平渐近线Ｄ既有铅直渐近线二、填空题 1 d 1 2lim 2,,x d x ax b a b →++=ｘｘ２２１１、（）＝ｘ+1 、求过点（２，０）的一条直线，使它与曲线ｙ＝相切。这条直线方程为：ｘ２３、函数ｙ＝的反函数及其定义域与值域分别是：２＋１ｘ５、若则的值分别为：ｘ＋2x-3

三、判断题 1、无穷多个无穷小的和是无穷小（） 2、 0sin lim x x x →-∞+∞在区间（，）是连续函数（） 3、 0f"(x ）=0一定为f(x)的拐点（） 4、若f(X)在0x 处取得极值，则必有f(x)在0x 处连续不可导（） 5、设函数ｆ (x) 在 [] 0,1上二阶可导且 '()0A '0B '(1),(1)(0),A>B>C( )f x f f C f f <===-令（），则必有四、计算题 1用洛必达法则求极限2 1 2 lim x x x e → 2 若34()(10),''(0)f x x f =+求 3 2 4 lim(cos )x x x →求极限 4 (3y x =-求 5 3tan xdx ? 五、证明题。 1、证明方程3 10x x +-=有且仅有一正实根。 2、arcsin arccos 1x 12 x x π +=-≤≤证明（）六、应用题 1、描绘下列函数的图形 21y x x =+

高等数学学习笔记

第一章代数运算与自然数主要内容： 1、集合与映射的概念 2、映射及其运算 3、代数系统 4、自然数及其他相关定义 5、归纳法原理与反归纳法的运用重点掌握 1、由A →B 的单映射σ的定义为：设2121,,,:a a A a A a B A ≠∈∈→若由σ，就推出)()21a a σσ≠（，则称σ为从A 到B 的单映射。 2、由A →B 的满映射σ的定义为：设B ran B A =→)(,:σσ若，则称σ为从A 到B 的满映射。 3、给出一个由整数集合Z 到自然数集合N 的双射：可考虑分段映射，即将定义域分为小于0、等于0、大于0的整数三部分分别给出其象 4、若集合|A|=n ，则集合A →A 的映射共有n n 种。 5、皮阿罗公理中没有前元的元素为1。 6、自然数a 与b 加法的定义中两个条件为①：'1a a =+②：)'('b a b a +=+. 7、自然数a 与b 相乘的定义中两个条件为: ①：a a =?1;②：a b a b a +?=?' 8、自然数a>b 的定义为:如果给定的两个自然数a 与b 存在一个数k,使得a=b+k ，则称a 大于b,b 小于a,记为a>b 或b

12、若A 是有限集合，则A →A 的不同映射个数为：||||A A 。 13、从整数集合Z 到自然数集合N 存在一个单映射。 14、若A 是有限集合，则不存在A 到其真子集合的单映射。 15、若A 为无限集合，则存在A 的真子集合B 使其与A 等价。 16、存在从自然数集合N 到整数集合Z 的一个满映射，但不是单映射。可考虑将定义域分成奇数、偶数两部分，定义一个与n )1(-有关的映射 17、存在从自然数N 到整数集合Z 的双射。可考虑分段映射 18、代数系统(+R ,?)与代数系统(R,+)是同构的，其中+R 表示正实数集合，R 表示实数集合，?与+就是通常的实数乘法与加法。根据同构定义，只需找到一个从(+R ,?)到(R,+)的一一映射，例如lgx 就可以证明上述论述。 19、令+Q 为正有理数集合，若规定 2 b a b a +=⊕，ab b a =? 则：（1）{+Q ,⊕}构成代数体系，但不满足结合律。（2）{+Q ,?}不构成代数体系，但满足结合律。根据代数体系和结合律的定义可得上述论述成立。 20、若在实数集合中规定b a ⊕=a+b-a ×b ，其中+与×是通常的加法与乘法，则⊕满足结合律。只需证明等式（b a ⊕）⊕c=)(c b a ⊕⊕成立 21、分别利用归纳法与反归纳法可以证明n 个数的算术平均值大于等于这n 个数的几何平均值。归纳法根据定义易证，在运用反归纳法证明时可先证n=2,4,…,n 2都成立，假设命题对n=k 成立，令,...21k a a a S k k +++= 1 ...1211-+++=--k a a a S k k ，利用12111...---≥k k k a a a S 证之成立

电大历年试题——经济数学基础微积分

电大历年试题——经济数学基础微积分一、单项选择题： 1、设，则=))((x f f （）. A. x 1 B.21 x C.x D.2x 2、下列各函数对中，（）中的两个函数相等. A. x x g x x f ==)(,()(2 B. x x g x x f ==)(,)()(2 C. x x g x y ln 3)(,ln 3== D. x x g x y ln 2)(,ln 2== 3、下列各函数对中，（）中的两个函数相等. A.x x g x x f ==)(,)()(2 B.1)(,1 1 )(2+=--= x x g x x x f C.x x g x y ln 2)(,ln 2== D.1)(,cos sin )(22=+=x g x x x f 4、下列函数在指定区间（-∞，＋∞﹚上单调增加的是（）. A.x sin B.x e C.2x D.x -3 5、下列函数在指定区间（-∞，＋∞﹚上单调下降的是（）. A.x sin B. x 3 C.2x D. 5-x 6、下列函数在指定区间（-∞，＋∞﹚上单调增加的是（）. A.x sin B.x 2 1 C.x 3 D.21x - 7、函数的定义域是（）. A. [-2,+ ∞) B. [-2,2)),2(+∞? C. （-∞,-2)),2(+∞-? D. （-∞,2)),2(+∞? 8、函数的定义域是（）. A.(-2,4) B. (-2,4)),4(+∞? C.)4,(-∞ D.),2(+∞- 9、函数的定义域是（）. A.1->x B.0>x C.0≠x D. 1->x 且0≠x 10、下列函数中为奇函数的是（）.

经济数学基础期末考试试题

经济数学基础(一) 微积分统考试题(B)(120分钟) 一、填空题（20102=?分） 1、设()?? ?≥-<=0 20 2 x x x x x f ，则()[]=1f f 。 2、 ( ) =--∞ →x x x x 2lim 。 3、为使()x x x x f 111?? ? ??-+=在0=x 处连续，需补充定义()=0f 。 4、若()()x f x f =-，且()21'=-f ，则()=1'f 。 5、已知()x x f 22cos sin =，且()10=f ，则()=x f 。 6、设)(x y y =由y y x =所确定，则=dy 。 7、设某商品的需求函数为p Q 2.010-=，则需求弹性分析()=10E 。 8、设()?? ?>+≤=0 10 x ax x e x f x ，且()x f 在0=x 处可导，则=a 。 9、 () dx x x ?+2 11 = 。 10、 =?xdx ln 。二、单项选择（1052=?分） 1、若0→x 时，k x x x ~2sin sin 2-，则=k （） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 2、若(),20'-=x f 则()() =--→000 2lim x f x x f x x （） A 、 41 B 、41 - C 、1 D 、1- 3、?=+-dx x x x 5 222 （）

A 、() C x x x +-++-21 arctan 252ln 2 B 、() C x x x +-++-21 arctan 52ln 2 C 、() C x x x +-++-41 arctan 252ln 2 D 、() C x x x +-++-41 arctan 52ln 2 4、1 2 -= x x y 有（）条渐近线。 A 、 1 B 、 2 C 、 3 D 、 4 5、下列函数中，（）不能用洛必达法则 A 、x x x x x sin sin lim 0+-→ B 、()x x x 10 1lim +→ C 、x x x cos 1lim 0-→ D 、??? ? ?--→111 lim 0x x e x 三、计算题（一）（1535=?分） 1、()x x x 3sin 21ln lim 0-→ 2、() (),0ln 22>+++=a a x x xa y x 求()x y ' 3、求?+dx x x ln 11

高等数学微积分总结

积分整个高数课本,我们一共学习了不定积分,定积分,重积分(二重,三重),曲线积分(两类),曲面积分(两类).在此,我们对积分总结,比较,以期同学们对积分有一个整体的认识. 一、不定积分不定积分是微分的逆运算,其计算方法、各种技巧是我们后面各种积分计算的基础，希望同学们熟记积分公式，及各种方法(两类换元,分部积分,有理函数积分等) 二、定积分 1.定义式: ()b a f x dx ? 2.定义域:一维区间,例如[,]a b 3.性质:见课本P 229-P 232 特殊:若 1f =,则()b a f x dx b a =-?,即区间长度. 4.积分技巧:奇偶对称性. 注意:定积分中积分变量可以任意替换即()()b b a a f x dx f y dy =? ?,而不定积分不具有这种性质. 5.积分方法:与不定积分的方法相同. 6.几何应用: 定积分的几何意义: ()b a f x dx ? 表示以()f x 为顶与x 轴所夹区域面积的代数和(注意如()0f x <,则面积为负); 其他应用:如 ()f x 表示截面积,则积分为体积;平面弧长 (b a f x ? 等. 三、二重积分 1.定义式: (,)xy D f x y d σ ?? 2.定义域:二维平面区域 3.性质:见下册课本P 77 特殊: 若 1f =,则(,)xy D f x y dxdy S =?? ,即S 为xy D 的面积. 4.坐标系: ①直角坐标系: X 型区域,Y 型区域 ②极坐标系:适用范围为圆域或扇形区域,注意坐标转换后不要漏掉r ,积分时一般先确定θ的范围,再确定r 的范围. 5.积分技巧:奇偶对称性(见后),质心; 6.几何应用: 二重积分的几何意义:若(,)0f x y ≥,则(,)xy D f x y dxdy ?? 表示以(,)f x y 为顶以xy D 为底的曲顶柱体体积; 其他应用:求曲面(,)z z x y =的面积xy D ?? 四、三重积分 1.定义式 (,,)f x y z dv Ω??? 2.定义域:三维空间区域; 3.性质:与二重积分类似; 特殊: 若 1f =,则(,,)f x y z dv V Ω =???,其中V 表示Ω的体积. 4.坐标系: ①直角坐标系:投影法,截面法(一般被积函数有一个自变量,而当该变量固定时所得截面积易求时采用) ②柱坐标系:积分区域为柱形区域,锥形区域,抛物面所围区域时可采用; ③球坐标系:积分区域为球域或与球面相关的区域时,确定自变量范围时,先θ,后?,最后 r . 5.积分技巧:奇偶对称性,变量对称性(见后),质心等. 6.应用: (,,)f x y z 表示密度,则(,,)f x y z dv Ω ???为物体质量.(不考虑几何意义) 五、第一类曲线积分

经济数学--微积分期末测试及答案(A)

经济数学--微积分期末测试第一学期期末考试试题 ( A ) 一.选择题（每小题只有一个正确答案，请把正确答案前的字母填入括号，每题2分，共 30分） 1.函数1 ()x f x += Ａ）； ()(1,1)(1,) ()(1,) ()(1,) ()(1,1) A B C D -+∞-+∞+∞-U 2.下列函数中，与3y x =关于直线y x =对称的函数是（Ａ）； 33 3 3()()()()A y x B x y C y x D x y = ==-=- 3.函数2 14y x = -的渐近线有（Ａ）； 3（A ）条（B ）2条（C ）1条（D ）0条 4.若函数()f x 在(,)-∞+∞有定义，下列函数中必是奇函数的是（Ｂ）； 32()() ()() ()()() ()() A y f x B y x f x C y f x f x D y f x =--==+-= 5.0x →时，下列函数中，与x 不是等价无穷小量的试题号一二三四总分考分阅卷人

11 00 1()lim (1) ()lim (1) ()lim(1) ()lim (1) x x x x x x x x A x B x C D x x +→∞ →∞ →→++++ 13.若ln x y x = ，则dy ＝（Ｄ）； 2 2 2 ln 11ln ln 1 1ln () () () () x x x x A B C dx D dx x x x x ---- 14.函数2()f x x =，在区间[０，１]内，满足拉格朗日中值定理的条件，其中ξ＝（Ｄ）； 1 121() () () () 4 3 3 2 A B C D 15.若函数()f x 在(,)-∞+∞内连续，则2 ()x f x dx ' ? ?= ???（Ｄ）． 2222()[2()()]()2()() ()()()() A xf x x f x dx B xf x x f x C x f x dx D x f x ''++ 二.计算题（每小题7分，共 56分） 1. 2arccos 1y x x x =-y ' 解：1 22 2 2 (arccos )[(1) ]arccos arccos 121y x x x x x x x '''=--==-- 2. 求2(cos sin 32)x x x x e dx -+++? 解：原式＝3 sin cos 2x x x x e x c +++++ （其中c 是任意常数） 3. 求曲线51001y x x y -+= 在0x =对应的点处的切线方程．解：0x =时，代入方程得 1 y =；方程两边对x 求导６７７５

《高等数学》读书笔记

类型课程学习名称：高等数学 1 时间：2006.7.7 体裁：说明文知识内容与结构备注一.课程目录 1函数 2极限和连续 3一元函数的导数和微分 4微分中值定理和导数的应用 5一元函数积分学 6多元函数微积分二.知识层次分解2.3说明：函数 1.预备知识 1)集合及其运算 1>概念集合：元素 2>绝对值及其基本性质

>区间和邻域 2.函数 3.基本特性 4.反函数 5.复合函数 6.初等数学 7.简单函数关系的建立极限和连续 1数列极限 2数列级数的基本概念 3函数的极限 4极限的运算法则 5无穷小（量）和无穷大（量）6两个重要的极限 7函数的连续性和连续函数 8函数的间断点一元函数的导数和微分 1导数的概念 2求导法则

基本求导公式 4高阶导数 5函数的微分 6导数和微分在经济学中的简单应用微分中值定理和导数的应用 1微分中值定理 2洛必达法则 3 函数的单调性 4 曲线的凹凸性和拐点 5函数的极值与最值一元函数积分学 1原函数和不定积分的概念 2基本积分公式 3换元积分法 4分部积分法 5微分方程初步 6定积分的概念及其基本性质 7 微积分基本公式 8 定积分的换元积分法和分部积分法 9 无穷限反常积分 10 定积分的应用

1空间解析几何 2多元函数的基本概念 3偏导数 4全微分 5多元复合函数的求导法则 6隐函数及其求导法则 7二元函数的极值 8二重积分注： 1标识符：红色已领会理解橙色已弄懂粉色已记住绿色已会用蓝色已掌握黑色增删修内容 2 说明：凡属课程都属说明文。要掌握其整体结构和层次内容和最后一层次的说明内容的意思 3 步骤：1 填写结构 2 对照课程阅读，理解弄懂

经济数学微积分期末复习资料

经济数学--微积分大一下期末复习资料考试题型： 1.求偏导数5*8’=40’ 2.求偏弹性1*6’=6’ 3.条件极值1*6’=6’ 4.二重积分2*6’=12’ 5.微分方程与差分方程4*6’=24’ 6.无穷级数2*6’=12’ a.判断正项级数敛散性判断交错级数敛散性及条件或绝对收敛 b.求和函数（收敛半径、收敛域）求和函数展开式一.求偏导类型1：展开式形式，如：xy z = 求解：将求的看做变量，另一个看做常数。求二阶时，只要对相应的一阶再求一次即可。 Eg ：设133 2 3 +--=xy xy y x z ，求22x z ??、x y z ???2、y x z ???2、22y z ?? 解： y -y 3-y x 3x z 322=?? x -x y 9-y x 2y z 23=?? 2 2x z ??= 2x y 6 x y z ???2=1-y 9-y x 622 y x z ???2=1-y 9-y x 62 2 22y z ??=x y 18-x 23 类型2:），（y x z f =

求解：画链式法则进行求解 Eg ：）（z ，，xy y x f w ++=，求z x w x w ?????2，解：设u=x+y+z ，v=xyz ，，（v u f w = 则链式法则如右图所示参考资料：课本练习册7-16页二.求偏弹性经济数学-微积分P310 例8 u w v x z y x y

PS ：例8 参考资料：练习册21-22页三.条件极值求解：找出目标函数与约束条件，设出拉格朗日函数，解方程组，得出答案。参考资料：练习册19-20页四.二重积分类型1.直角坐标系下型先积x 再积y 型先积y 再积x 类型2.极坐标系下 ?? ?==θ θrsin y rcos x θσrdrd d =：PS 求解：1.做出积分区间 2.判断适合用直角坐标解答还是极坐标 3.如果适合用直角坐标系解答，判断是X 型还是Y 型。 4.如果需要，要考虑交换积分次序。参考资料：练习册23-26页五.微差分方程微分方程：（一）)x (y x dx dy Q P =+）（

经济数学-微积分期末考试试卷与答案

经济数学--微积分期末测试第一学期期末考试试题 ( B ) 一.选择题（每小题只有一个正确答案，请把正确答案前的字母填入括号，每题2分，共30分） 1. 函数?????<<-≤-=4 393 9)(22x x x x x f 的定义域是（A ）； (A) )4,3[- (B) )4,3(- (C) ]4,3(- (D) )4,4(- 2. 函数2 1 4y x = -的渐近线有（Ａ）； 3（A ）条（B ）2条（C ）1条（D ）0条 3. 设函数)1,0()1(log 2≠>++=a a x x y a ,则该函数是(A ) (A) 奇函数 (B) 偶函数 (C) 非奇非偶函数 (D) 既奇又偶函数 4. 下列函数中，与3y x =关于直线y x =对称的函数是（A ）； 33()()()()A y B x C y x D x y = ==-=- 5. 若()f x =，则点2x =是函数()f x 的（Ｂ）； ()A 左连续点 ()B 右连续点 ()C 驻点 ()D 极值点 6. 已知点（1，3）是曲线23bx ax y +=的驻点，则b a ,的值是（B ）（A ） 9,3=-=b a （B ） 9,6=-=b a （C ） 3,3=-=b a （D ） 3,6=-=b a 7. 当0x →时，下列函数极限不存在的是（C ）； 1sin 11() ()sin () ()tan 1 x x A B x C D x x x e + 8. 极限 =-→x x x 1ln lim 0 （C ）；

()1()0()1()A B C D -不存在 9.下列函数中在［－３，３］上满足罗尔定理条件的是（C ）； 22 2 1 ()() ()2()(3)A x B C x D x x -+ 10．若函数()f x 在点0x 处可导，则极限x x x f x x f x x ??--?+→2) 2()2(lim 000 ＝（C ）； 00001 ()4() ()3()()2() () ()2 A f x B f x C f x D f x '''' 11. 0x →时，下列函数中，与x 不是等价无穷小量的函数是（C ） (A) x tan (B) )1ln(x + (c) x x sin - (D) x sin 12.下列极限中，极限值为e 的是（Ｄ）； 11 00 1()lim (1) ()lim (1) ()lim(1) ()lim (1) x x x x x x x x A x B x C D x x +→∞ →∞ →→++++ 13. 若ln x y x = ，则dy ＝（D ）； 2 2 2 ln 11ln ln 1 1ln ()() () () x x x x A B C dx D dx x x x x ---- 14.函数2()f x x =，在区间[０，１]内，满足拉格朗日中值定理的条件，其中ξ＝（Ｄ）； 1 121() () () () 4 3 3 2 A B C D 15.若函数()f x 在(,)-∞+∞内连续，则2 ()x f x dx '??=?? ?（Ｄ）． 2222()[2()()]()2()() ()()()() A xf x x f x dx B xf x x f x C x f x dx D x f x ''++ 二.计算题（每小题7分，共56分） 1.x e x x y -+-=11 2 1，求y ' 解：)11 ( )1(1)()1(112 2112 '-+'-+-='+'-='--x e x x x e x x y x x 2112 2112 2 2)1(1)1(1221x e x x e x x x x x --+ -=--+ --+ -=-- ２分 7分

高等数学(张宇)_-_笔记_PDF

目录第一讲极限一极限定义 (3) 二极限性质 (4) 三函数极限基本计算 (8) 四综合计算 (11) 五数列极限计算 (14) 六函数连续与间断 (16) 第二讲一元函数微积分一概念 (17) 1. 导数 (18) 2. 微分 (20) 3. 不定积分 (21) 4. 定积分 (23) 5. 变限积分 (28) 6. 反常积分 (29) 二计算 (29) 1. 求导 (29) 2. 求积 (33) 三应用 (40) 1. 微分应用 (40) 2. 积分应用 (43) 四逻辑推理 (43) 1. 中值定理 (49) 2. 等式证明 (50) 3. 不等式证明 (51) 第三讲多元函数的微分学（公共部分）一概念 (51) 1. 极限的存在性 (51) 2. 极限的连续性 (52) 3. 偏导数的存在性 (52) 4. 可微性 (53) 5. 偏导数的连续性 (54) 二计算 (54) 三应用 (56) 第四讲二重积分（公共部分）

一概念与性质 (59) 二计算 (60) 1. 基础题 (60) 2. 技术题 (61) 三综合计算 (62) 第五讲微分方程一概念及其应用 (63) 二一阶方程的求解 (64) 三高阶方程的求解 (66) 第六讲无穷级数一数项级数的判敛 (67) 二幂级数求收敛域 (69) 三展开与求和 (69) 四傅里叶级数 (71) 第七讲多元函数微分学一基础知识 (73) 二应用 (75) 第八讲多元函数积分学一三重积分 (76) 二第一型曲线、曲面积分 (78) 1. 一线 (78) 2. 一面 (79) 三第二型曲线、曲面积分 (80) 1. 二线 (81) 2. 二面 (83)

高等数学归纳笔记(全)

一、函数与极限 (2) 1、集合的概念 (2) 2、常量与变量 (3) 2、函数 (4) 3、函数的简单性态 (4) 4、反函数 (5) 5、复合函数 (6) 6、初等函数 (6) 7、双曲函数及反双曲函数 (7) 8、数列的极限 (9) 9、函数的极限 (10) 10、函数极限的运算规则 (12)

一、函数与极限 1、集合的概念一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a A。 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。集合的表示方法 ⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合 ⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。集合间的基本关系 ⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A B（或B A）。。 ⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。 ⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。 ⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作，并规定，空集是任何集合的子集。 ⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论： ①、任何一个集合是它本身的子集。即A A ②、对于集合A、B、C，如果A是B的子集，B是C的子集，则A是C的子集。 ③、我们可以把相等的集合叫做“等集”，这样的话子集包括“真子集”和“等集”。集合的基本运算 ⑴、并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集。记作A ∪B。（在求并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次。）即A∪B＝｛x|x∈A，或x∈B｝。 ⑵、交集：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合称为A与B的交集。记作A ∩B。即A∩B＝｛x|x∈A，且x∈B｝。 ⑶、补集： ①全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集。通常记作U。

经济数学基础练习题——微积分部分

经济数学基础练习题——微积分部分一、填空题 1．函数x x x f -- +=21)5ln()(的定义域是． 2．若函数52)1(2 -+=+x x x f ，则=)(x f ． 3．设函数x x x f -= 1)(，则)1 (x f = 。 4．函数2 )(x x a a x f --=是_____________函数。 5．设3e )21(lim -∞→=+ kx x x ，则=k _____________． 6．=+∞→x x x x sin lim ． 6．若函数3ln =y ，则y '= ． 7．若y = x (x – 1)(x – 2)(x – 3)，则y '(0) = ． 8．曲线x y = 在点（4, 2）处的切线方程是． 9．函数y x =-312 ()的单调增加区间是 . 10．函数y x =-312 ()的驻点是 . 11．设某产品的需求量q 为价格p 的函数，且p q 5.0e 1000-=，则需求对价格的弹性为 . 12．过点)3,1(且切线斜率为x 2的曲线方程是y = ． 13．已知)(x f 的一个原函数为x -e ，则)(x f = ． 14．若)(x f '存在且连续，则='? ])(d [x f ． 15．若 c x F x x f +=?)( d )(，则x f x x )d e (e --?= . 二、单项选择题 1．设1)(+=x x f ，则)1)((+x f f =（）． A ． x B ．x + 1 C ．x + 2 D ．x + 3 2．下列函数中，（）不是基本初等函数． A ． x y )e 1(= B ． 2 ln x y = C ． x x y cos sin = D ． 35x y =