各种有趣的分形

各种有趣的分形

各种有趣的分形

我们看到正方形，圆，球等物体时，不仅头脑里会迅速反映出它是什么，同时，只要我们有足够的数学知识，我们头脑中也反映出它的数学概念，如正方形是每边长度相等的四边形，圆是平面上与某一点距离相等的点的集合，等等。

但是，当我们看到一个山的形状时，我们会想到什么?"这是山"，没错，山是如此的不同于其他景象，以至于你如果绘画水平不高，根本画不出象山的东西。可是，山到底是什么?它既不是三角形，也不是球，我们甚至不能说明山具有怎样的几何轮廓，但为什么我们却有如此直观而又强烈的山的印象?分形的创始人是曼德布洛特思考了这个问题。让

图中的风景图片又

是说明分形的另一

很好的例子。这张美

丽的图片是利用分

形技术生成的。在生

成自然真实的景物

中，分形具有独特的

优势，因为分形可以

很好地构建自然景

物的模型。

这是一棵厥类植物，

仔细观察，你会发

现，它的每个枝杈都

在外形上和整体相

同，仅仅在尺寸上小

了一些。而枝杈的枝

杈也和整体相同，只

是变得更加小了。

Sierpinski三角形具

有严格的自相似特

性

Kohn雪花具有严格

的自相似特性

分维及分形的定义

分维概念的提出

对于欧几里得几何所描述的整形来说，可以由长度、面积、体积来测度。但用这种办法对分形的层层细节做出测定是不可能的。曼德尔布罗特放弃了这些测定而转向了维数概念。分形的主要几何特征是关于它的结构的不规则性和复杂性，主要特征量应该是关于它的不规则性和复杂性程度的度量，这可用“维数”来表征。维数是几何形体的一种重要性质，有其丰富的内涵。整形几何学描述的都是有整数维的对象：点是零维的，线是一维的，面是二维的，体是三维的。这种几何对象即使做拉伸、压缩、折叠、扭曲等变换，它们的维数也是不变的；这种维数称为“拓扑维”，记为d。例如当把一张地图卷成筒，它仍然是一个二维信息载体；一根绳子团成团，仍然是一维结构。但曼德尔布罗特认为，在分形世界里，维数却不一定是整数的。特别是由于分形几何对象更为不规则，更为粗糙，更为破碎，所以它的分数维（简称“分维”，记为D）不小于它的拓扑维，即D≥d。

维数和测量有密切关系。如为了测一平面图形的面积，就要用一个边长为l、面积为l2的标准面元去覆盖它，所得的数目就是所测的面积。如果用长度l去测面积，就会得到无穷大；而如果用l3去测这块面积，结果就是零。这就表明，用n维的标准体l n去测量一个几何对象，只当n与拓扑维数d一致时，才能得出有限的数值。如果n＜d，就会得到无穷大；如果n＞d，则结果为零。分数维也是按照这个要求来定义的。由于分形的复杂性有多种不同类型，所以可以提出不同定义的分维概念，从不同的角度表示分形的不规则性。通常用的是“容量维”。简单地说，分维所表示的不规整程度，相当于一个物体占领空间的本领。一条光滑的一维直线，完全不能占领空间；但是“科赫曲线”却有无穷的长度，比光滑的直线有更多的折皱，拥挤在一个有限的面积里，的确占领了空间，它已不同于一条直线，但又小于一个平面。所以它大于一维，又小于二维，它的容量维为 1.2618，这看来是理所当然的。海岸线的分维数通常在1.15到1.25之间。曼德尔布罗特指出，对于各种分形来说，即使在不同的尺度上，用分维表示的不规整程度却是一个常量。这真是一个令人惊奇的性质，也表明“分维”概念的客观现实特性。分维所表征的正是大自然的规则的不规则性。一个分形的曲线意味着一种有组织的结构，这个结构隐藏在奇特怪异的形状之中。

分数维概念

我们知道0维是

点，一维是线，二维

是面，三维是空间。那么，谁能告诉我1.5维是什么? 一条直线段是一维的，由四条这样的直线段组成的正方形是二维的。六个这样的正方形组成的正方体是三维的。直线的长度数值，正方形的面积数值和立方体的体积数值都和我们测量的单位有关。测量的单位也往往是我们所能分辨的最小单位。假设我们的分辨能力增加了一倍，因此我们把直线段长度单位减小到原单位的一半，直线段长度的计量值就变为原来的两倍，正方形面积就变为原来的四倍，体积则变为原来的八倍。我们有下式:

log4/log2=2 log8/log2=3

这里的二和三不是巧合，这是另一种维数的定义:测度维的概念。为了定量地描述客观事物的“非规则”程度，1919年，数学家从测度的角度引入了维数概念，将维数从整数扩大到分数，从而突破了一般拓扑集维数为整数的界限。

如果某图形是由把原图缩小为1/λ的相似的b个图形所组成，有：λ^D=ｋ

D即维数D=logｋ/logλ

其中的λ为线度的放大倍数，K为“体积”的放大倍数。

回到海岸线长度的问题。当用直线段来近似曲线时，长度单位减为原来的一半往往意味着我们可以用长度为原来的二分之一的直线段来近似曲线。这时，海岸线长度增加程度近似于一个固定的倍数。对于英国海岸线来说，其值约为 2.7，而log2.7/log2=1.41，1.41就是英国海岸线的维数。1.41由于是一个分式所得出的比值，因此人们称之为分数维。还有其他一些分数维的定义方法，但得出的结果都比较近似。分数维是衡量分形的基本参数之一。

自然界的山,其分形维数在2.2维左右,但从2.1维到2.5维画出来的都有一定的山的效果.

下面详细介绍分维及计算

1)新的维数(全维数:整数维+分维)

a.由欧氏几何的"整数维"引出的非欧几何----分维:

a).欧氏几何的"整数维"

欧氏几何学是一门具有2000多年历史的数学分支,他是以规整几何图形为其研究对象的.有线性和曲线两大类.这些规整几何图形的点,直线,平面图形(曲线),空间图形的维数(欧氏维数)都是整数维,分别为0,1,2,3.对规整几何图形的几何测量是指长度,面积和体积的测量.则上述两类几何图形的测量结果,可以归纳简化表述为如下两点:

i. 长度=l,面积=l2 ,体积=l3

ii.长度(半径)=r1,面积=πr2,(球)体积=(4/3)πr3

上述各种关系的量纲分别是长度单位l的1,2,3次方,即这些方次恰与该几何图形的欧氏维数相等,并且是整数.

归结上述两点,各类几何图形的测量都是以长度l为基础的.所以,欧氏几何中对规整几何图形的测量,可以概括表述为

长度=l 面积A=al2体积V=bl3

式中a和b为常数,称为几何因子,他与具体的几何图形的形状有关.如圆a=π;球b=4π/3. 以上都是欧几里得几何规则图形的整数维.而对于不规则的非欧几何图形,其维数关系也就不那末规整了,即欧几里得测度----长度,宽度,厚度----不能抓住不规则形状的本质,于是曼德勃罗特转向新的想法,即关于维数的新想法.

b).非欧几何的"分维"

欧氏几何中的空间是3维的,平面是2维的,直线是1维的,而点是0维的.那末,一个线团的维数如何呢?这与观察方法有关.远看,他是一个点,是0维;近些看,象球,有空间3维感;再近看,就看到了绳子,又成为1维的了.引发人们注意到几何中也具有"相对关系",以及维数的多样性.曼德勃罗特"越过"了0,1,2,3,......的"传统整数维"(同时也超越了传统观念),进入了看起来象是不可能的"分数维数",分维出现了.从概念上说,这是一场走钢丝表演,是冒险.对于非数学家,"外行",(年轻的)新手,生手,即开拓创新者(或所谓的"半瓶子醋"),他要求先自愿地暂停疑虑(思考),再另寻它路.而对数学家或该行业保守的专家,可能会不懈一顾,不予考虑,不许生疑,被传统所限制束缚住,以至难有大突破.而事实证明前者的方法和策略是极为强劲有力的成就大功者.

分维与古典的欧几里得维数是有联系的.将欧氏维数统一扩展成

M=l d

则由对数定义可知,指数d可以表示为以l为底的,M的对数,即d=log l M

经用换底公式换底,就可以得到关于维数的解析通式,

分维中广泛使用的关系式d=lnM/lnl

他可以被看成是各种维数的综合表达式,即广义维数(欧氏维数及各种分维)的由来或基准式.分维是一种测度,是用其它方法不能明确定义的一些性质----一个对象粗糙,破碎或不规则程度----的手段.即对某种特征性的粗糙度的量度.是有规则的不规则性的反映.此法的关键要点就是使在不同的尺度上(放大或缩小)不规则(图形,功能等)的程度保持恒定.

2).拓扑维和豪斯道夫维——维数的定义

连续空间的概念,空间维数是连续的,不是间断离散的.对数,换底,

拓扑维数是比分形维数更基本的量,以Dt表示,它取整数值,在不作位相变换的基础上是不变的,即通过把空间适当地放大或缩小,甚至扭转,可转换成孤立点那样的集合的拓扑维数是0,而可转换成直线那样的集合的拓扑维数是 1.所以,拓扑维数就是几何对象的经典维数Dt=d.拓扑维数是不随几何对象形状的变化而变化的整数维数.

对于任何一个有确定维数的几何体,若用与它相同维数的"尺r"去度量,则可得到一确定的数值N;若用低于它维数的"尺"去量它,结果为无穷大;若用高于它维数的"尺"去量它,结果为零.其数学表达式为:N(r)～r-Dh.上式两边取自然对数,整理后可得

Dh=lnN(r)/ln(1/r) 或Dh=lim[lnN(σ)/ln(1/σ)] σ→0

式中的Dh就称为豪斯道夫维数,它可以是整数,也可以是分数.欧氏几何体,它们光滑平整,其D值是整数.人们常把豪斯道夫维数是分数的物体称为分形,把此时的Dh值称为该分形的分形维数,简称分维.也有人把该维数称为分数维数.当然还必须看其是否具有自相似性和标度不变性.

维数的其它定义

(1) 信息维数Di = lim (∑PilnPi/lnσ) σ→0

(2) 关联维数Dg = lim (lnC(σ)/ln(1/σ)) σ→0

(3) 相似维数Ds = lnN/ln(1/r)

(4) 容量维数Dc = lim (lnN(ε)/ln(1/ε)) σ→0

Dc≥Dh

(5) 谱维数 D (分形子维数)——是研究具有自相似分布的随机过程,如随机行走的粒子的统计性质,可用渗流模型来描述的多孔介质,高聚物凝胶(经络的通道及传质)等一类"蚂蚁在迷宫中"的问题.

(6) 填充维数Dp——由半径不同的互不相交的小球尽可能稠密的填充定义的维数称之为填充维数(Packing Dimension).

(7) 分配维数Dd——可以看成是利用两脚间隔距离为σ的两脚规测量曲线C所得的"长度".即定义为

Dd = lim (lnMσ(C)/(-lnσ)) σ→0曲线的分配维数至少等于盒维数.

(8) 李雅普诺夫(Lyapunov)维数Dl——是作为混沌的吸引子维数,他是利用Lyapunov指数来定义的.奇怪吸引子的断面图总是呈分形构造的(经络的断面切片),因此就可以测定其分形维数.

分形维数的测量

1.基本方法

分形维数的定义有很多,但适合所有事物的定义还没出现.每个维数的测定对象常是不同的,所以要区别对待,物适其用.

实际的测定分形维数的方法,大致可以分成如下五类:

(1)改变观察尺度求维数:是用圆和球,线段和正方形,立方体等具有特征长度的基本图形去近似分形图形.

(2)根据测度关系求维数:这个方法是利用分形具有非整数维数的测度来定义维数的.

(3)根据相关函数求维数;C(r)∝r-a，a=d-D

(4)根据分布函数求维数;p(r)∝p(λr) p(r) ∝r-D

(5)根据频谱求维数.

2.盒维数(计盒维数,Kolmogorov熵,熵维数,度量维数,对崐数密度等)

3.函数图的维数

4.码尺与分形维数的关系----分形维数的不确定性对实际分形体而言,测量的分形维数值随码尺而变化,•也就是说,对同一分形体由于选取的码尺不同,会得到不同的分维值.原因是,结构层次不同,自相似的程度不同.测量时要注意.

分形定义

分形难下确切的定义。分形的原意是“不规则的，分数的，支离破碎的”，故又可称为"碎形"。分形是研究自然和社会中广泛存在的零碎而复杂,无序,不规则,非线性,不光滑,具有自相似,自仿射和标度不变性的复杂系统,图形,构造,功能,性质和复杂现象,及隐藏在这些复杂现象背后的,具有精细结构,内在随机性,局部与整体本质联系的,被传统线性科学(物理,欧氏几何学)排斥在外的不规则"病态",不可微的事体,形体.在尺度变换(放大,缩小)下具有"自相似性"和"标度不变性(无特征长度) "的,从有限认识无限的特殊规律的科学.即其组成部分(局部)以某种方式(结构,•信息,功能等广义分形)与整体相似的形体,事物,或现象;或在多个层次上,适当地放大或缩小其几何尺寸，其局部与整体的整个精细结构，形态，性质等不因此而发生改变(统计)的形体，体系、分形是整体与局部在某种意义下：大小尺度之间的对称性与统一性的集合，是非线性变换下的不变性,是整体观(统一观),共性观，非二分法的产物，是有规则的不规则性。分形是没有特征长度，但具有一定意义(广义)下的自相似图形，结构，性质和形态的总称。

分形是一种具有自相似特性的现象、图象或者物理过程。也就是说，在分形中，每一组成部分都在特征上和整体相似。

除了自相似性以外，分形具有的另一个普遍特征是具有无限的细致性。即无论放大多少倍，图象的复杂性依然丝毫不会减少。但是每次放大的图形却并不和原来的图形完全相似。这告诉我们：其实，分形并不要求具有完全的自相似特性。

分形的数学定义

定义1 如果一个集合在欧氏空间中的豪斯道夫维数Dh恒大于其拓扑维数Dt，

即Dh>Dt

则称该集合为分形集,简称为分形。(Dh≥Dt)

这个定义是由曼德勃罗特在1982年提出的，四年后他又提出了一个实用的定义。

定义2 组成部分以某种方式与整体相似的形体叫分形。

它突出了分形的自相似性,反映了自然界中广泛存在的一类"事物"的基本属性:局部与局部,•局部与整体在形态,功能,信息,时间与空间等方面具有统计意义上的自相似性.它与欧氏几何中的"相似"不同.上述定义还不是严密,精确的定义.

要完整地理解分形还必需知道它的一些特性。

分形的特征和产生机制

分形特征

大自然中的山、树、云、海岸线都可以看成是分形。一般地说，分形具有以下一些特征：该集合具有精细的结构，即有任意小比例的细节（无限可分性）；该集合整体与局部间有某种自相似性；分形集合的分形维数一般不是整数，而是分数，且一般大于它的拓扑维数；分形集合是如此的不规则，以至它的整体与局部都不能用传统的几何语言来描述；在大多数情况下，分形集合可以以非常简单的方法来定义，可能由迭代产生；通常有某种自相似的形式,可能是近似的或是统计的.。具体的说有下面几个特征。

1)1)自相似性

是复杂系统的总体与部分,这部分与那部分之间的精细结构或性质所具有的相似性,或者说从整体中取出的局部(局域)能够体现整体的基本特征.即几何或非线性变换下的不变性:•在不同放大倍数上的性状相似.包括几何结构与形态,过程,信息,功能,•性质,能量,物质(组份),时间,空间等特征上,具有自相似性的广义分形。自相似性的数学表示

为:f(λr)=λαf(r),或f(r)～rα.其中λ称为标度因子,α称为标度指数(分维),它描述了结构的空间性质.函数f(r)是面积,体积,质量等占有数,量等性质的测度。

一个系统的自相似性是指某种结构或过程的特征从不同的空间尺度或时间尺度来看都是相似的,•或者某系统或结构的局域性质或局域结构与整体类似.另外,在整体与整体之间或部分与部分之间,也会存在自相似性.一般情况下自相似性有比较复杂的表现形式,而不是局域放大一定倍数以后简单地和整体完全重合.但是,表征自相似系统或结构的定量性质如分形维数,并不会因为放大或缩小等操作而变化[这一点被称为伸缩对称性],所改变的只是其外部的表现形式.自相似性通常只和非线性复杂系统的动力学特征有关。

人们在观察和研究自然的过程中,认识到自相似性可以存在于物理,化学,天文学,生物学,(中医,针灸,经络)材料科学,经济学,以及社会科学等众多学科中,可以存在于物质系统的多个层次上,•他是物质运动,发展的一种普遍的表现形式,即是自然界的普遍规律之一.但是科学工作者真正把自相似性作为自然界的本质特性来进行研究还只是近一,二十年的事。

2)2)标度不变性(无特征长度)

一个具有自相似性的物体(系统,事物)必定满足标度不变性,或者说这类物体没有特征长度。标度不变性是指在分形上任选一局部区域,不论将其放大或缩小,它的形态,复杂程度,不规则性等各种特性均不会发生变化,所以标度不变性又称为伸缩对称性.

标度不变性(无特征长度)：具有自相似性的系统,物体,事物必定满足标度不变性,或者说这类形体没有特征长度——没长短，面积,体积等。特征长度是指所考虑的对象中最具代表性的尺度,•如空间的长,宽,高,及时间的分,秒,时等.标度不变性是指在分形上任选一局部区域,不论将其放大还是缩小,它的结构,形态,性质(功能),复杂程度,不规则性等各种特性均不会发生变化(或是统计性的),故标度不变性又称为伸缩对称性.此空间称无标度空间，其内是分形,范围以外就不是分形了,它有有限与无限之分。

对于实际的分形体来说,这种标度不变性只在一定的范围内适用。人们通常把标度不变性适用的空间称为该分形体的无标度空间.在此范围以外，就不是分形了。

3)3)层次性,递归性

自相似性是不同尺度上的对称,是跨层次的共性观(分形元,不变性)--同样形态在不同尺度,不同层次上的相同,或相似结构的重复构建与变换,其结构套着结构,特征或结构隐含嵌套,具有多层次性和递归性。

4)4)自仿射性

自相似系统是局部与整体在不同方向上的缩放,拉伸的拷贝,其比例

都是同一的,是常数.而自仿射系统,其在各方向上的伸缩,拉放拷贝的比例不同。

5)5)分形元－初始元－生成元

是构成分形整体,相对独立的,放大与缩小均不改变,及共同相似的基本部分,即相似单元,相似单位,或是变换中不变性(共性)的共同的,最基本的,简单的结构,性质的单位或单元,是整体与局部共性的统一体.

分形性就是分形性质的统合,如自相似性和标度不变性,分数维性等。

6)分形元－支(枝,肢),岔(叉,杈)

如五行的“金，木，水，火，土”就是五行分形元的五个分形元支，五杈；阴阳有两个分形元支等。

分形图形一般都比较复杂，其复杂程度可用分形维数去定量描述。现在有不少维数的定义，其中最容易理解的且与分形维数有密切关系的是相似维数。一般地说，如果某图形是由把全体缩小为1／a的a D个相似图形构成的，那么此指数D就具有维数的意义。此维数被称之为相似维数。相似维数只对具有严格自相似性的有规分形才适用，使用范围有限。所以定义对所有集都适用的维数是很有必要的。Hausdorff维数就是这样一个最有代表性的维数，它适用于包括随机图形在内的任意图形。如测定某集的测度的单位半径为r,则测定的结果N（r）将满足下式：N（r）＝Cr-D H∝r-D H式中的C为常数，则该集的维数为D H,该维数称为Hausdorff维数。不过，Hausdorff维数在许多情况下难以用计算的方法来计算或估计。因此，在实际应用中较少采用Hausdorff维数，而采用便于计算的相似维数等。

分形原理

(1)自相似原理

(2)积和原理: 对S1∩S2=0的分形子集Df=D1+D2.

(3)加和原理: 如果分形子集S1∩S2=S,则Df=D1+D2-d.

(4)合并原理: 分形集S=Sa+Sb,Da>Db,则Ds=Da.

(5)匹配原理: 若想S1∪S2→S,需D1=D2 (=Ds).

(6)级差原理: Si∈S,i是级次(层次).

(7)自仿射原理

*(8)互补原理: S∪S'=U=1,S∩S'=0,S与S'互补.

分形几何与解析几何的关系(经络定位)

分形几何与欧氏几何类似,是研究或考察物体形状的几何学,不象解析几何可以通过坐标A(x,y,z)进行定位.不过将来的"解析分形几何"应该可以有双重作用.

生命现象和社会现象都是复杂现象，具有复杂现象的系统成为复杂系统。如生命繁殖过程是一个复杂的过程，生命系统是一个复杂系统。

所有复杂系统都存在三个基本特征：

１、复杂系统有许多基本单元(称之为细胞)组成。

２、每个细胞的状态只有极少数几种。

３、每个细胞的状态随时间的演变只随其邻居的细胞状态决定。

例如：雪花的生成过程由其邻居的冰象和汽象决定根据这三个特征，通过各细胞的局部相互作用，整体上可以显示出多种多样的复杂形态。生命繁殖过程也不例外，在计算机上按此三个基本特征可以模拟演示繁衍过程。在繁衍过程中产生大量的艺术图案。

产生分形的物理机制

一般认为非线性,随机性,以及耗散性是出现分形结构的必要物理条件. 非线性是指运动方程中含有非线性项(迭代),状态演化(相空间轨迹)发生分支,是混沌的根本原因. 随机性分为两大类,即噪声热运动和混沌,它们反映了系统的内在随机性. 而随机性系统未必就是完全无序的.耗散性强调开放性,研究熵变的过程和机制,即传统的无序熵增过程,及未来的有序熵减过程,宇宙的"有序与无序,物质与能量与信息的相互转换的两大循环"。

系统产生分形结构的充分条件是"吸引子(Attractor)",不严格地说, 一个吸引子就是一个集合,并且使得附近的所有轨道都收敛到这个集合上.非线性耗散系统能产生无规运动, 耗散系统的无规运动,最终会成为趋向吸引子的无规运动,而无规运动的吸引子(结果)便是相间的分形结构.奇怪吸引子的产生必须以系统发生的失稳为前提,如对称破缺等. 涨落形成波动,具有周期性的波动,单个周期是简单有序,周期3便是混乱(混沌)。

分形和混沌关系

分形和混沌动力学之间的联系很快就被发现了。混沌的奇怪吸引子都是分形。结构的复杂性使现实世界出现了大量分形几何形体，也使确定性动力学体系出现无规性。奇怪吸引子都有层次的自相似性。无穷相似结构互相套叠起来，就相当于没有规则结构，所以“无穷嵌套的自相似结构”呈现出总体的混沌。非线性动力学系统一旦进入混沌吸引子区域，就会随机地在吸引子内部四处游荡，但又不能充满整个区域，区域内存在着无穷多的随机空隙，从而使整个混沌区出现维数上的“空洞”，呈现分数维数。洛仑兹吸引子就是三维背景空间中的一张分形曲面，其容量维等于2.06；若斯勒吸引子也是三维背景空间中的一张分形曲面。所以，“分形几何学”和“分维”概念已经成为混沌学研究的重要工具。

分形与混沌理论的关系密切,多是以自组织系统为其研究对象的,而含义又各不相同。自组织现象,常常是时空有序的结构,是复杂的系统, 用传统的简化方法无法解决.所以,要依靠新的研究复杂性的方法来处理,混沌与分形就首当其冲。混沌中有时包容有分形, 而分形中有时又孕育着混沌。分形更注重形态或几何特性,图形的描述。混沌更偏重数理的

动力学及动力学与图形结合的多方位的描述和研究.分形更看中有自相似性的系统,而混沌涉及面似乎更广,对所有的有序与无序,有序与有序现象都感兴趣.特别是混沌中的分叉, 分支现象与分形关系最密切.而有些混沌系统自相似性未必特别显眼, 分形恐怕就难涉足了。分形可以是混沌研究中一种手段或方法等等。总之,目前要较详细和系统地阐明分形与混沌的关系及差异, 还比较困难,还有待混沌与分形理论进一步的深入拓展,完善和趋细。

分形(一种别样的数学美丽)

分形（一种别样的数学美丽） 从海螺和螺旋星云到人类的肺脏结构，我们身边充满各种各样的混沌图案。分形（一种几何形状，被以越来越小的比例反复折叠而产生不能被标准几何所定义的不标准的形状和表面）是由混沌方程组成，它包含通过放大会变的越来越复杂的自相似图案。要是把一个分形图案分成几小部分，结果会得到一个尺寸缩小，但形状跟整个图案一模一样的复制品。 分形的数学之美，是利用相对简单的等式形成无限复杂的图案。它通过多次重复分形生成等式，形成美丽的图案。我们已经在我们的地球上搜集到一些这方的天然实例，下面就让我看一看。 1.罗马花椰菜：拥有黄金螺旋 罗马花椰菜 这种花椰菜的变种是最重要的分形蔬菜。它的图案是斐波纳契数列，或称黄金螺旋型(一种对数螺旋，小花以花球中心为对称轴，螺旋排列)的天然代表。 2.世界最大盐沼——天空之镜

盐沼

坚硬的盐层上呈现非常一致的不规则图案 过去一个世纪，上图里的旧金山海湾盐沼一直被用来进行工业盐生产。下图显示的是位于玻利维亚南部的世界最大盐沼——天空之镜(Salar de Uyuni)。坚硬的盐层上呈现非常一致的不规则图案，这是典型的分形。 3.菊石缝线 菊石的外壳还生长成一个对数螺旋型

大约6500万年前灭绝的菊石 在大约6500万年前灭绝的菊石，是制作分成许多间隔的螺旋形外壳的海洋头足纲动物。这些间隔之间的壳壁被称作缝线，它是分形复曲线。美国著名古生物学家史蒂芬·杰伊·古尔德依据不同时期的菊石缝线的复杂性得出结论说，进化并没驱使它们变得更加复杂，我们人类显然是“一个例外”，是宇宙里独一无二的。菊石的外壳还生长成一个对数螺旋型，很显然，自然界经常会出现这种图案，例如罗马花椰菜。 4.山脉 山脉 山脉是构造作用力和侵蚀作用的共同产物，构造作用力促使地壳隆起，侵蚀作用导致一些地壳下陷。这些因素共同作用的产物，是一个分形。上图显示的是喜马拉雅山脉，它

自然界中的数学

自然界中的数学 你是否曾经停下来环顾四周，注意到我们周围世界中的神奇的形状和图案？数学构成了自然世界的基石，并以惊人的方式展现出来。下面是一些自然界数学的例子。 斐波那契序列(The Fibonacci Sequence) 斐波那契数列（Fibonacci sequence），又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、……在数学上，斐波那契数列以如下被以递推的方法定义：F(0)=0，F(1)=1，F(n)=F(n - 1)+F(n - 2)（n ≥ 2，n ∈ N*）在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波纳契数列都有直接的应用。它是一个简单而深奥的数列。序列从数字1和1开始，然后每个后续的数字通过将前面的两个数字相加来找到。因此，在1和1之后，下一个数字是2(1 + 1)。下一个数字是3(1

+ 2) ，然后是5(2 + 3) ，如此类推。 值得注意的是，序列中的数字在自然界中经常可以看到。一些例子包括松果的螺旋数，菠萝或向日葵的种子数，或一朵花的花瓣数。

上图：向日葵的两条螺旋线符合斐波那契数列的数字规律 上图：松果的螺旋数 斐波那契数列中的数字还形成了一个独特的形状，被称为斐波那契螺旋，我们在自然界中看到它的形式是贝壳和飓

风的形状。 上图：贝壳的形状 自然界的分形(Fractals in Nature)： 分形是我们在自然界中看到的另一种有趣的数学形状。分形是一种相似的、重复的形状，这意味着同样的基本形状在形状本身中反复出现。换句话说，如果你要放大或缩小，整个形状都是一样的。

生活中的美妙分形

从海洋贝类、螺旋星系再到人类肺部的结构，混沌的模型无处不在。 分形是从混沌方程形成的一系列图形，包含不断放大的复杂自相似图案。如果将一个分形图案分为几个部分，那么每一小块都和整体形状完全一样。 分形的数学之美在于可以从相对简单的方程推导出无限复杂的系统。通过多次迭代或重复分形生成方程，随机输出就可以产生独特且可识别的美丽图案。 地球上也存在一些自然生成的分形图形，下面我们将从中挑出一些最美丽的图案，以飨读者。 1. 罗马花椰菜（Romanesco Broccoli） 这种花椰菜的变种形式是一种极限分形蔬菜。它的图案是斐波纳契（Fibonacci）黄金螺旋的自然呈现形式，在这个对数螺旋中，每一个直角转弯与起始点的距离都被Φ值所约束，Φ值即黄金分割率。

旧金山湾（San Francisco Bay）的盐滩曾经出产了将近一个世纪之久的商品盐。 世界上最大的盐滩，即位于玻利维亚南部的乌尤尼岩沼（Salar de Uyuni）。结痂的盐层展现出一种非常一致的随机图案模式，这就是分形的特征。

3. 菊石缝合线 已经灭绝了6500万年之久的菊石是一种带有多室螺旋状外壳的海洋头足类动物，其小室之间的阻隔即缝合线就是一种复杂的分形曲线。斯蒂芬·杰·古尔德（Stephen Jay Gould）曾以菊石缝合线随时间的复杂性来论证不存在向着更高复杂性方向发展的进化驱动力，人类的出现是一个“壮丽的偶然”，在宇宙中 独一无二。

和罗马花椰菜一样，菊石外壳也会按照对数螺旋的方式生长，这种生长模式在自 然界中颇为常见。

西班牙巴塞罗那一处教堂楼梯的设计灵感就来自于菊石。

各种有趣的分形

各种有趣的分形 我们看到正方形，圆，球等物体时，不仅头脑里会迅速反映出它是什么，同时，只要我们有足够的数学知识，我们头脑中也反映出它的数学概念，如正方形是每边长度相等的四边形，圆是平面上与某一点距离相等的点的集合，等等。 但是，当我们看到一个山的形状时，我们会想到什么?"这是山"，没错，山是如此的不同于其他景象，以至于你如果绘画水平不高，根本画不出象山的东西。可是，山到底是什么?它既不是三角形，也不是球，我们甚至不能说明山具有怎样的几何轮廓，但为什么我们却有如此直观而又强烈的山的印象?分形的创始人是曼德布洛特思考了这个问题。让

分维及分形的定义 分维概念的提出 对于欧几里得几何所描述的整形来说，可以由长度、面积、体积来测度。但用这种办法对分形的层层细节做出测定是不可能的。曼德尔布罗特放弃了这些测定而转向了维数概念。分形的主要几何特征是关于它的结构的不规则性和复杂性，主要特征量应该是关于它的不规则性和复杂性程度的度量，这可用“维数”来表征。维数是几何形体的一种重要性质，有其丰富的内涵。整形几何学描述的都是有整数维的对象：点是零维的，线是一维的，面是二维的，体是三维的。这种几何对象即使做拉伸、压缩、折叠、扭曲等变换，它们的维数也是不变的；这种维数称为“拓扑维”，记为d。例如当把一张地图卷成筒，它仍然是一个二维信息载体；一根绳子团成团，仍然是一维结构。但曼德尔布罗特认为，在分形世界里，维数却不一定是整数的。特别是由于分形几何对象更为不规则，更为粗糙，更为破碎，所以它的分数维（简称“分维”，记为D）不小于它的拓扑维，即D≥d。 维数和测量有密切关系。如为了测一平面图形的面积，就要用一个边长为l、面积为l2的标准面元去覆盖它，所得的数目就是所测的面积。

分形图形

分形理论是非线性科学的主要分支之一，它在计算机科学、化学、生物学、天文学、地理学等众多自然科学和经济学等社会科学中都有广泛的应用。分形的基本特征是具有标度不变性。其研究的图形是非常不规则和不光滑的已失去了通常的几何对称性；但是，在不同的尺度下进行观测时，分形几何学却具有尺度上的对称性，或称标度不变性。研究图形在标度变换群作用下不变性质和不变量对计算机图形技术的发展有重大的意义。 说到分形（fractal），先来看看分形的定义。分形这个词最早是分形的创始人曼德尔布诺特提来的，他给分形下的定义就是：一个集合形状，可以细分为若干部分，而每一部分都是整体的精确或不精确的相似形。分形这个词也是他创造的，含有“不规则”和“支离破碎”的意思。分形的概念出现很早，从十九世纪末维尔斯特拉斯构造的处处连续但处处不可微的函数，到上个世纪初的康托三分集，科赫曲线和谢尔宾斯基海绵。但是分形作为一个独立的学科被人开始研究，是一直到七十年代曼德尔布诺特提出分形的概念开始。而一直到八十年代，对于分形的研究才真正被大家所关注。 分形通常跟分数维，自相似，自组织，非线性系统，混沌等联系起来出现。它是数学的一个分支。我之前说过很多次，数学就是美。而分形的美，更能够被大众所接受，因为它可以通过图形化的方式表达出来。而更由于它美的直观性，被很多艺术家索青睐。分形在自然界里面也经常可以看到，最多被举出来当作分形的例子，就是海岸线，源自于曼德尔布诺特的著名论文《英国的海岸线有多长》。而在生物界，分形的例子也比比皆是。 近20年来，分形的研究受到非常广泛的重视，其原因在于分形既有深刻的理论意义，又有巨大的实用价值。分形向人们展示了一类具有标度不变对称性的新世界，吸引着人们寻求其中可能存在着的新规律和新特征；分形提供了描述自然形态的几何学方法，使得在计算机上可以从少量数据出发，对复杂的自然景物进行逼真的模拟，并启发人们利用分形技术对信息作大幅度的数据压缩。它以其独特的手段来解决整体与部分的关系问题，利用空间结构的对称性和自相似性，采用各种模拟真实图形的模型，使整个生成的景物呈现出细节的无穷回归的性质，丰富多彩，具有奇妙的艺术魅力。分形对像没有放大极限，无论如何放大，总会看到更详细的结构。借助于分形的计算机生成，从少量的数据生成复杂的自然景物图形，使我们在仿真模拟方面前进了一大步。在分形的诸多研究课题中，分形的计算机生成问题具有明显的挑战性，它使传统数学中无法表达的形态(如山脉、花草等)得以表达，还能生成一个根本“不存在”的图形世界。分形在制造以假乱真的景物方面的进展和潜在的前途，使得无论怎样估计它的影响也不过分。可以肯定，分形图案在自然界真实物体模拟、仿真形体生成、计算机动画、艺术装饰纹理、图案设计和创意制作等具有广泛的应用价值。

各种有趣的分形

各种有趣的分形

各种有趣的分形 我们看到正方形，圆，球等物体时，不仅头脑里会迅速反映出它是什么，同时，只要我们有足够的数学知识，我们头脑中也反映出它的数学概念，如正方形是每边长度相等的四边形，圆是平面上与某一点距离相等的点的集合，等等。 但是，当我们看到一个山的形状时，我们会想到什么?"这是山"，没错，山是如此的不同于其他景象，以至于你如果绘画水平不高，根本画不出象山的东西。可是，山到底是什么?它既不是三角形，也不是球，我们甚至不能说明山具有怎样的几何轮廓，但为什么我们却有如此直观而又强烈的山的印象?分形的创始人是曼德布洛特思考了这个问题。让 图中的风景图片又 是说明分形的另一 很好的例子。这张美 丽的图片是利用分 形技术生成的。在生 成自然真实的景物 中，分形具有独特的 优势，因为分形可以 很好地构建自然景 物的模型。 这是一棵厥类植物， 仔细观察，你会发 现，它的每个枝杈都 在外形上和整体相 同，仅仅在尺寸上小

了一些。而枝杈的枝 杈也和整体相同，只 是变得更加小了。 Sierpinski三角形具 有严格的自相似特 性 Kohn雪花具有严格 的自相似特性 分维及分形的定义

分维概念的提出 对于欧几里得几何所描述的整形来说，可以由长度、面积、体积来测度。但用这种办法对分形的层层细节做出测定是不可能的。曼德尔布罗特放弃了这些测定而转向了维数概念。分形的主要几何特征是关于它的结构的不规则性和复杂性，主要特征量应该是关于它的不规则性和复杂性程度的度量，这可用“维数”来表征。维数是几何形体的一种重要性质，有其丰富的内涵。整形几何学描述的都是有整数维的对象：点是零维的，线是一维的，面是二维的，体是三维的。这种几何对象即使做拉伸、压缩、折叠、扭曲等变换，它们的维数也是不变的；这种维数称为“拓扑维”，记为d。例如当把一张地图卷成筒，它仍然是一个二维信息载体；一根绳子团成团，仍然是一维结构。但曼德尔布罗特认为，在分形世界里，维数却不一定是整数的。特别是由于分形几何对象更为不规则，更为粗糙，更为破碎，所以它的分数维（简称“分维”，记为D）不小于它的拓扑维，即D≥d。 维数和测量有密切关系。如为了测一平面图形的面积，就要用一个边长为l、面积为l2的标准面元去覆盖它，所得的数目就是所测的面积。如果用长度l去测面积，就会得到无穷大；而如果用l3去测这块面积，结果就是零。这就表明，用n维的标准体l n去测量一个几何对象，只当n与拓扑维数d一致时，才能得出有限的数值。如果n＜d，就会得到无穷大；如果n＞d，则结果为零。分数维也是按照这个要求来定义的。由于分形的复杂性有多种不同类型，所以可以提出不同定义的分维概念，从不同的角度表示分形的不规则性。通常用的是“容量维”。简单地说，分维所表示的不规整程度，相当于一个物体占领空间的本领。一条光滑的一维直线，完全不能占领空间；但是“科赫曲线”却有无穷的长度，比光滑的直线有更多的折皱，拥挤在一个有限的面积里，的确占领了空间，它已不同于一条直线，但又小于一个平面。所以它大于一维，又小于二维，它的容量维为 1.2618，这看来是理所当然的。海岸线的分维数通常在1.15到1.25之间。曼德尔布罗特指出，对于各种分形来说，即使在不同的尺度上，用分维表示的不规整程度却是一个常量。这真是一个令人惊奇的性质，也表明“分维”概念的客观现实特性。分维所表征的正是大自然的规则的不规则性。一个分形的曲线意味着一种有组织的结构，这个结构隐藏在奇特怪异的形状之中。 分数维概念 我们知道0维是 点，一维是线，二维

经典的分形算法

经典的分形算法 分形（Fractal）是一种数学概念，也是一种美丽而神秘的几何图形。分形的核心思想是通过不断重复某个基本形状或规则，形成一个无限细节 的自相似图案。分形广泛应用于数学、物理、生物学、计算机图形等领域。以下是几个经典的分形算法。 1. Mandelbrot集合算法：曼德勃罗集合是分形中的一个重要例子， 其图像通常被称为“自由自似的”或“奇异的”。该算法通过对复平面上 的每个点进行迭代计算，并判断其是否属于Mandelbrot集合。最终根据 计算结果着色绘制出Mandelbrot集合的图像。 2. Julia集合算法：类似于Mandelbrot集合，Julia集合也是通过 对复平面上的点进行迭代计算得到的，但不同的是，在计算过程中使用了 一个常数参数c。不同的c值可以得到不同形状的Julia集合，因此可以 通过改变c值来生成不同的图像。 3. Barnsley蕨叶算法：Barnsley蕨叶算法是一种基于概率的分形生 成算法，其原理是通过对基本形状进行变换和重复应用来生成蕨叶形状。 该算法通过设置一组变换矩阵和对应的概率权重来控制生成过程，不断的 迭代应用这些变换，最终得到类似于蕨叶的图像。 4. L系统算法：L系统（L-system）是一种用于描述植物生长、细胞 自动机和分形树等自然系统的形式语言。L系统在分形生成中起到了重要 的作用，通过迭代地应用规则替代字符，可以生成各种自然形态的图像， 如树枝、蕨叶等。

5. Lorenz吸引子算法：Lorenz吸引子是混沌力学中的经典模型，描述了一个三维空间中的非线性动力学系统。通过模拟Lorenz方程的演化过程，可以绘制出Lorenz吸引子的图像，该图像呈现出分形的特点。 这些分形算法不仅仅是数学上的抽象概念，也可以通过计算机图形来实现。通过使用适当的迭代计算方法和图像渲染技术，可以生成出令人印象深刻的分形图像。这些分形图像不仅具有美学价值，还具有哲学、科学和工程等领域的应用价值，例如在数据压缩、图像压缩、信号处理和模拟等方面。分形算法的研究和应用在数学和计算机科学领域具有广泛的发展前景。

分形公式大全

分形公式大全 在数学中，分形是一种具有自相似性的几何图形或数学对象。它们通常通过递归或迭代的方式构建，并且无论观察其任何一部分，都能看到整体的特征。分形在自然界中广泛存在，例如树枝、云朵、山脉等都展现出分形的特征。 为了描述和生成分形，数学家们创造了许多分形公式和算法。以下是一些常见的分形公式和它们的特点： 1. 曼德勃罗集(Mandelbrot Set)：由法国数学家Mandelbrot于1975年引入的分形集合。曼德勃罗集是复平面上一组复数的集合，满足迭代公式：Z_(n+1) = Z_n^2 + C，其中C是一个常数，Z是复数。通过迭代计算，可以将复平面上的点分为属于集合内或集合外，形成具有分形特征的图像。 2. 朱利亚集(Julia Set)：与曼德勃罗集相对应，朱利亚集也是由C 值所确定的复平面上的一组复数。朱利亚集的迭代公式为：Z_(n+1) = Z_n^2 + C，其中Z是复数。朱利亚集的形状和曼德勃罗集不同，但同样展现出分形的特征。 3. 希尔伯特曲线(Hilbert Curve)：希尔伯特曲线是一种填充空间的曲线，它具有自相似性和紧凑性。希尔伯特曲线是通过递归地将二维

空间划分为四个子空间，并将曲线从每个子空间的一个角落延伸到另一个角落而生成的。 4. 科赫曲线(Koch Curve)：科赫曲线是一种无限细分的曲线，它由自相似的三角形构成。科赫曲线的构造方法是在每条线段的中间插入一个等边三角形，然后重复该过程。 除了以上几种常见的分形公式外，还有许多其他有趣的分形公式和算法，如分形树、分形花朵等。这些分形公式不仅在数学研究中有着重要的应用，还被广泛应用于计算机图形学、自然科学、艺术创作等领域。 总之，分形公式是描述和生成分形图形的重要工具。通过这些公式，我们可以深入研究分形的特性和美妙之处，并将其应用于各个领域，探索自然界和数学世界中的无限奇妙。

分形几何学：自然界的复杂之美

分形几何学是一门独特而又神秘的数学学科，它研究的是自然界中那些看似无 法描述的复杂结构。从山脉的峰与谷到树叶的纹理，从雷电的闪电路径到心电 图的波动曲线，我们可以在各个领域中发现分形的存在。它的研究成果让我们 深刻地感受到了自然界的复杂之美。 分形几何学的概念最早由波兰数学家曼德尔博士在20世纪70年代提出。他研 究了一个叫做“曼德勃罗集(Mandelbrot Set)”的特殊分形，这个集合包含了 无穷多个复数点。曼德勃罗集的图像以其形状复杂而美丽而著称于世。看似小 小的一个图案却包含了无穷多的细节，无论怎么进行放大，每一次放大都会揭 示出更多的分形结构，仿佛进入了一个无限迷宫。这个发现引起了人们对分形 几何学的极大兴趣。 自然界中的分形结构十分常见，从大到小，无处不在。比如我们常见的树枝结构，无论是从整体还是局部上看，都呈现出分形特征。一棵大树的枝干不仅有 树枝，树枝上还有更小的分支，这些分支上又有更细小的枝条，它们以类似的 方式重复出现，形成了树的层级结构。类似的分形结构还存在于河流的模式中，从主河道到支流再到小溪，每一级都是满足分形特征的。即使在人类体内，血管、神经系统等也具备分形特征，这使得我们的身体更加灵活和高效。 分形结构不仅存在于自然界，还在科学和艺术领域产生了极大的影响。科学家 们发现，用分形几何学理论可以更好地描述许多自然现象，例如云的形状、风 暴的路径等。而在艺术创作中，分形图案被广泛应用，它们展示了令人惊叹的 美感。许多艺术家通过计算机生成算法来创造分形艺术作品，这些作品呈现出 无限的细节和复杂性，使观众深陷其中。 然而，分形几何学的研究远远没有结束。虽然我们已经在自然界和艺术中发现 了许多分形结构，但这只是冰山一角。未来还有许多未知的领域值得我们去探索。随着计算机技术的进步，我们能够更深入地研究分形几何学。通过模拟和 计算，我们可以以更高的精度和更快的速度生成分形图像。这将有助于我们更 好地理解分形的本质和应用。 分形几何学是一门富有挑战性和创造性的学科，它让我们更深入地了解到自然 界的复杂之美。它的研究成果不仅在科学上具有重要意义，也为我们带来了视 觉上的享受和艺术的灵感。在不断发展的过程中，分形几何学将继续为我们揭 示自然界的奥秘，同时也给我们带来更多的美感和创造力。

科勒雪花 分形维度

科勒雪花分形维度 科勒雪花是一种常见的分形图形，它由一系列重复的图案组成。科 勒雪花具有独特的美学价值和数学背景，其分形维度更是引发了广泛 的研究和讨论。 一、科勒雪花的构造和性质 科勒雪花由自相似的结构组成。它的构造过程基于递归算法的思想，每一步都是通过将一个正三角形的三条边以1/3的比例分成三等份，并在中间一部分上构造一个正三角形。重复这一过程，我们可以得到越 来越复杂的雪花形状。 科勒雪花具有几项有趣的性质。首先，无论在何种尺度下观察，科 勒雪花的边界长度均为无限大。其次，雪花的面积却是有限的，具有 维度为1.2619的分形特征。这意味着雪花的表面积和周长成比例，其 中每个长度为L的科勒雪花的表面积为L^1.2619。这是一项非常有趣 且引人入胜的数学性质。 二、科勒雪花与分形维度的关系 分形维度是描述一个图形或者物体自相似性质的一个参数。分形维 度是通过将物体分割成若干个自相似的部分，并测量每个部分的尺寸 与整体尺寸的关系得到的。 对于科勒雪花而言，其构造过程本质上就是一个不断自我复制的过程。每次复制都会出现一种新的自相似形态。这种自相似性质是科勒 雪花具有分形维度的重要原因。

分形维度的计算方法有很多种，其中一种是通过盒计数法。盒计数法通过覆盖一个图形所需的最小盒子数量来计算分形维度。对于科勒雪花而言，我们可以将其放置在一个包含自己的正方形盒子中，并记录所需盒子的数量。然后我们缩小盒子的尺寸，并记录所需盒子的数量。通过这种方式，我们可以得到不同尺度下的盒子数量，从而计算出科勒雪花的分形维度。 三、科勒雪花的数学意义和应用 科勒雪花作为一种典型的分形图形，具有重要的数学意义和应用价值。 首先，科勒雪花的构造过程和分形维度的研究有助于我们更好地理解自然界中的一些现象和规律。许多自然界中的分形图形，如云朵、山脉等，都可以用科勒雪花的构造原理来解释。通过对科勒雪花的研究，我们可以更深入地认识到分形这一概念在自然界中的普遍性。 其次，科勒雪花的研究对于图像处理和计算机图形学等领域也有着重要的应用价值。科勒雪花具有高度自相似性和分形特征，因此在图像压缩、纹理生成等方面有广泛应用。科勒雪花的分形维度的测量和分析方法也可以应用于其他图像和图形的分形性质的研究。 此外，科勒雪花还可以作为一种美学表达形式。它的对称性、几何美和自然之美都使得它成为许多艺术作品和设计中的灵感来源。 总结：

科赫雪花分形维数

科赫雪花分形维数 科赫雪花分形维数 引言 科赫雪花是一种经典的分形图形，它由一个等边三角形开始，不断地将其每条边等分为三段，并在中间一段上构造一个等边三角形，如此反复迭代。这个过程可以无限进行下去，得到越来越复杂的图形。科赫雪花具有许多有趣的性质，其中之一是它的维数。 什么是分形维数？ 在介绍科赫雪花分形维数之前，我们需要先了解什么是分形维数。传统的几何图形都具有整数维度，例如线段的维度为1，正方形和圆的维度为2。而分形图形则不同，它们具有非整数维度。这是因为它们在任意尺度下都具有相似性质，即自相似性。 自相似性指的是一个物体在各个尺度上都具有相似的结构和性质。例如，在科赫雪花中，每个小三角形都与整个图像类似，并且可以通过缩放和旋转来重叠到原始图像上。

由于分形图像具有自相似性，在计算其维数时需要考虑每个尺度的贡献。因此，分形维数通常是通过一种称为盒计数法的方法来计算的。 盒计数法 盒计数法是一种用于测量分形图像维度的方法。其基本思想是将图像 覆盖在一个网格上，并计算不同大小的正方形网格中图像所占的面积 或长度。然后，根据不同尺度下图像所占比例与网格大小之比来计算 分形维数。 例如，在科赫雪花中，我们可以将整个图像覆盖在一个正方形网格上，并计算每个尺度下图像所占比例与网格大小之比。假设我们用N表示 网格中正方形的数量，L表示正方形边长，则可以得到以下公式： D = log(N) / log(1/L) 其中D表示分形维数。在科赫雪花中，由于每个小三角形都可以被分 成四个相似的小三角形，因此我们可以得到以下公式： N = 4^n L = 3^(-n)

其中n表示迭代次数。 科赫雪花分形维数 通过盒计数法，我们可以得到科赫雪花的分形维数。首先，在第一次迭代后，我们得到了四个等边三角形。因此，N = 4，L = 1/3。代入公式中可以得到： D = log(4) / log(3) ≈ 1.26 这意味着科赫雪花具有介于1和2之间的分数维度。在每次迭代后，我们将图像分成四个相似的小三角形，并且每个小三角形都比原来的三角形小1/3倍。因此，在第n次迭代后，我们可以得到以下公式： N = 4^n L = 3^(-n) 代入公式中可以得到： D = log(4^n) / log(3^(n+1)) = log(4) / log(3) ≈ 1.26 这意味着无论进行多少次迭代，科赫雪花的分形维数都是1.26左右。

科学领域：有趣的图形

科学领域：有趣的图形 引言 科学领域经常涉及到各种复杂的图形，这些图形在研究、分析和可视化数据方面扮演了重要的角色。然而，除了这些实用的应用外，科学领域中还存在很多有趣的图形，它们展示了科学界的创造力和想象力。本文将介绍一些有趣的科学图形，让我们一起来探索科学领域中的艺术和美学。 1. 弗拉克斯曲线 弗拉克斯曲线是一种以分形形式呈现的几何图形。它由瑞士数学家沃尔夫冈·弗拉克斯于19世纪末提出。这个图形是通过反复迭代地将线段分成三个相等部分，再在中间部分上斜向绘制一个等边三角形得到的。继续对每条线段进行相同操作，不断迭代下去，就会生成一个趋近于无限长度的复杂图形。弗拉克斯曲线具有自相似性和无穷细节的特点，是美学和数学的结合体。 2. 曼德勃罗集合 曼德勃罗集合是一种以分形特征著称的图形。它是通过在复平面上进行迭代计算得到的。对于每个复数 c，从起始值 z=0 开始，反复计算 z = z^2 + c，直到 z 的绝对值超过某个阈值或达到最大迭代次数为止。如果对于某个 c，迭代过程中 z 的绝对值始终保持在阈值以下，则称 c 属于曼德勃罗集合。曼德勃罗集合呈现了一种复杂的分形结构，形成了一片瑰丽而美丽的图像。 3. 皮亚诺曲线 皮亚诺曲线是一种以规则曲线绘制而成的图形。它由19世纪意大利数学家吉尼奥·皮亚诺提出。这个图形通过简单的规则来构造：以一个单点作为起始，每次将线段旋转90度并在下一个点处延伸。迭代这个过程，并根据需要旋转线段的方向，就可以绘制出复杂的曲线图案。皮亚诺曲线在科学领域被广泛应用于数据编码和图像压缩等方面。 4. 科赫雪花曲线 科赫雪花曲线是一种经典的分形图形。它是通过对等边三角形的每条边进行迭代替换得到的。首先，将每条边分成三等份，去掉中间的一段，然后在每个段上绘

摩擦学的分形

摩擦学的分形 摩擦学作为一门研究物体接触表面间相互作用的学科，揭示了许多有趣的现象和规律。其中，分形是摩擦学中一个令人着迷的概念。分形是一种几何形态，其具有自相似性和无限细节的特点，与摩擦学的研究息息相关。 分形的美妙之处在于其无限的细节。就像大自然中的树叶和花朵一样，我们发现分形结构在物体的接触表面上也同样存在。当我们观察一块岩石或一片树皮时，我们会发现无数微小的凹凸、起伏和纹路，它们组成了一个个微小的分形单位。这些分形单位在不同尺度上重复出现，形成了一个整体上具有分形结构的表面。 在摩擦学中，分形结构对于物体的摩擦性能起到了重要的影响。分形结构使得物体的接触表面更加复杂，增加了接触面积，从而增强了摩擦力的作用。同时，分形结构也使得物体的表面不规则，形成了更多的微观接触点，提高了摩擦系数。这种分形结构的优势在工程设计中得到了广泛的应用，例如在轮胎的花纹设计中、机械零件的表面处理中等。 分形结构的存在也为我们提供了更深入地理解摩擦学的机理的机会。通过研究分形结构，我们可以揭示物体在接触过程中微观接触点的行为，进而优化摩擦性能。分形结构的研究不仅仅局限于地面摩擦，还可以应用于润滑剂的开发、摩擦材料的改良等领域。通过深入理

解分形结构的特性，我们可以更好地控制和调节物体之间的摩擦行为。 尽管分形在摩擦学中起到了重要的作用，但我们仍然只是揭开了这一领域的冰山一角。分形结构的形成机理、分形参数的优化等问题仍然值得深入研究。只有不断探索和理解分形的奥秘，我们才能更好地利用分形结构来改善摩擦学的性能。 摩擦学的分形之美是一门令人着迷的学科。分形结构的存在使得摩擦学更加有趣和复杂，同时也为我们提供了更多的机会来改善摩擦性能。通过深入研究和理解分形结构，我们可以不断推动摩擦学的发展，为人类创造更好的摩擦学应用。让我们一起走进摩擦学的分形世界，探索其中的奥秘吧！

幼儿园数学世界之分形教案深度探索与实践

一、引言 幼儿园是儿童数学启蒙的重要阶段，而数学教育的方式也需要与幼儿的认知发展相适应。分形作为数学中的一个重要概念，其丰富的几何图形特征和数学原理为幼儿园数学教学提供了全新的思路和方法。本文将对幼儿园数学教学中的分形教案进行深度探索与实践，以期为幼儿数学教育提供更加丰富多彩的内容和方法。 二、分形的概念和特征 1. 什么是分形 分形是指一类具有自相似性的特殊几何形状，无论是放大或缩小该几何形状，都能看到与原始形状相似的图案。分形不同于传统的几何图形，它的形状是由自身不断重复生成的，因此在数学上具有独特的美学和深刻的意义。 2. 分形的特征 分形具有以下几个重要的特征：自相似性、不规则性、无限复杂性和维数非整数性。这些特征使得分形成为了数学中一个特殊而有趣的研究对象，也为幼儿的数学教学提供了更多的可能性。

三、分形在幼儿数学教学中的应用 1. 分形图形的引入 通过向幼儿展示各种分形图形，可以引发幼儿对特殊几何形状的好奇 和兴趣，培养他们对数学的兴趣和热爱。教师可以引导幼儿观察不同 的分形图形，并鼓励他们发现这些图形中的自相似性和特殊规律。 2. 分形图形的制作 在幼儿园数学教学中，可以利用各种简单的材料和工具，帮助幼儿制 作分形图形。通过亲身参与，幼儿能够更直观地理解分形的特殊性质，并培养他们的创造力和动手能力。 3. 分形图形的游戏 可以设计各种有趣的分形图形游戏，让幼儿在游戏中感受分形的美丽 和奥秘。让幼儿在图形中找出自相似的部分、完成分形图形的填色等，这些游戏既能够培养幼儿的观察力和逻辑思维能力，也能够激发他们 对数学的兴趣。 四、分形教案的设计与实践

科学网—中国书法的“分形”

科学网—中国书法的“分形” “八分”是东汉中期出现的一种书体，是汉字从篆书的长形和早期隶书的扁形走向楷书的方形的一个转折。它的特点就在所谓的“蚕头”和“燕尾”。可以想象，如果不能纵向生长，也不能横向生长，那么为了表现线条的舒展，就只好在线条的末端生一点儿装饰性的东西，这大概跟屋顶的飞檐是一样的意思。 “八分”之名怪怪的，初现于魏，但历来就没说清。蔡邕《劝学篇》说:“次仲始以古书方广，少波势，建初中以隶草作楷法，字方八分，言有楷模。”所谓“隶草”，与“匆匆不暇草书”一样，不知到底说什么。那时的“楷法”当然也不等于颜真卿的那种“楷”。有趣的是，蔡小姐文姬就说“臣父造八分，割程隶八分取二分，割李篆二分取八分。”（见宋代周越《古今法书苑》）这个说法来历不明，大概意思是八分书应该是八分像小篆而二分像隶书——那就该是比隶书更接近篆书的书体。杜甫《李潮八分小篆歌》说“大小二篆生八分”，大概接受了这种说法。据说是蔡邕（沙孟海先生认为不可靠）留下的《夏承碑》（170年）倒是真的八分像小篆，后来的《天发神谶碑》（276年）以楷书笔法写篆书，也该算八分小篆吧。不过，更多的人干脆认为“八分”就是隶书，如欧阳修先生。所以隶书也叫“分书”，将数字取消，更模糊也更正确了——正如杜老师所说“字体变化如浮云”也。 古人说到数字和比例，往往令人疑惑，连推崇数学的柏拉图老夫子都难免留下莫名其妙的文字： 神圣的产生物有一个完善的数的周期；而 有灭亡的产生物周期只是一个最小的数—— 一定的乘法（控制的和被控制的，包括三级四 项的，）用它通过使有相同单位的有理数相似 或不相似，或通过加法或减法，得出一个最后 的得数。

蝴蝶效应之谜—走进分形与混沌读后总结

蝴蝶效应之谜——走进分形与混沌读后随笔 第一篇 美哉分形 1.1有趣的分形龙 （1）简单的迭代，进行多次之后，产生了越来越复杂的图形； （2）越来越复杂的图形表现出一种“自相似性”； （3）迭代次数较少时，图形看起来是一条折来折去的“线”，随着迭代次数的增加（迭代次数→无穷）最后的图形看起来像是一个“面”。 1.2简单的分形 皮亚诺和space filling curve 科赫曲线（雪花）；分形（fractals ） 1.3分数维及其计算方法 在经典几何中，是用拓扑的方法来定义维数的，即空间的维数等于决定空间中任何一点位置所需变量的数目。 德国数学家豪斯多夫（F. Hausdorff ）1919年给出了维数的新定义。 用自相似定义的维数可以如此简单而直观的理解：首先将图形按照1:N 的比例缩小，然后，如果原来的图形可以由M 个缩小之后的图形拼成的话，这个图形的维数d ，也叫豪斯多夫维数，即 ()() n M d ln ln = 1.4再回到分形龙 1.5大自然中的分形 分形具有以下特征： （1）分形具有自相似性。 （2）分形具有无穷多的层次。 （3）分形的维数可以是一个分数。 （4）分形通常可以由一个简单的递归、迭代的方法产生出来。 生成分形的三种方法 简单的线性迭代法；线性迭代与随机过程相结合；非线性迭代法。特例，一种很重要的与随机过程有关的分形：扩散置限凝聚。（闪电、石头裂纹等）

1.6分形之父的启示 本华 曼德勃罗（B. Mandelbrot ）。曼德勃罗集（非线性迭代） 1.7魔鬼的聚合物——曼德勃罗集 朱利亚集 都是复数，其中，C Z C Z Z n n +=+21 1.8朱利亚的故事 西方谚语“在木匠看来，月亮也是木头做的”。即每个人都用自己的方式来理解世界。 分形龙网址[OL]https://www.docsj.com/doc/5219338824.html,/cd/java/fractals.html 曼德勃罗集和朱利亚集网址[OL] https://www.docsj.com/doc/5219338824.html,/cd/java/iterfrac.html 第二篇 奇哉混沌 2.1拉普拉斯妖 混沌理论是研究一个动力系统的长期行为。 混沌理论揭示了有序与无序的统一、确定性与随机性的统一，使得决定论与概率论，这两大长期对立、互不相容、对于统一的自然界的描述体系之间的鸿沟正在逐步消除。 有人将混沌理论、相对论与量子力学同列为20世纪的最伟大的三次科学革命 2.2洛龙茨的迷惑 瑞利数；对初值的敏感依赖性；混沌

数学、分形与龙-最新教育文档

数学、分形与龙 作者：佚名 分形已被归为自然的几何。虽然自然界里有殴几里得物体的丰富例子（诸如六角形、圆、立方体、四面体、正方形、三角形、……）。但许多随意性的自然现象似乎难于由欧几里得的方法产生。对这类情况，分形给出了最好描述。我们知道，欧几里得几何被大量用于描述像晶体、蜂巢之类的物体，但人们很难在欧氏几何中找到表述诸如炒玉米花、烘烤物品、树皮、云朵、姜根和海岸线等对象的方法。欧几里得几何发祥于古代的希腊（约于公元前300年，欧几里得写下了《几何原本》），而分形出现的时间则要迟至19世纪。事实上，分形这个术语在1975年B·曼德勃罗之前还没有被造出来。分形有两种类型，一是几何分形，二是随机分形。分形的性质是多样的。例如，在平面上分形的维数是在1与2之间的分数，而在空间里分形维数在2与3之间。在分形的世界里，我们不能把它说成是2维或3维的，而应说它是1.75维或2.3维等等。在分形几何里海岸线的长度被认为是无限的，因为每个小小的海湾和沙滩都被测量，而这样的海湾和沙滩的数量在不断地变化，就像在龙的曲线构造里那样。分形有许多形式和用途。一组分形具有以下性质：即它的精细部分不会损失，放大后具有与原先相同的结构。下图所示的例子是塞沙洛曲线。

分形的新应用不断被发现。由于分形能够用递推函数加以描述（斐波那契序列就是一个递推的例子，它的每个项都等于前两项的和），所以用计算机生成分形是理想的。像电影《星际旅行Ⅱ：可汗的愤怒》中新行星的诞生以及《吉地的返回》中行星在空间飘浮等壮观的场面，就是由彼克沙公司在一台计算机上完成的（1986年）。分形还能用于描述和预示不同生态系统的演化（如乔治亚洲奥克芬诺沼泽地和生态变化。注：H·哈斯汀是纽约豪弗斯塔大学的一名数学家。他用分形作为奥克芬诺基沼泽地的生态系统的动态模型。将植物及丝柏斑块的地图与随机分形的地图相比较。结果，无需广泛的历史资料便能得出，在物种竞争中怎样的种类能够残留下来）。 事实上，生态系统用分形来处理已成为当前的一种主要手段，它对于确定酸雨的扩散和研究其他环境污染问题也有重要的作用。分形打开了一个完全崭新和令人兴奋的几何学大门。这一新的数学领域，触及到我们生活的方方面面，诸如自然现象的描述，电影摄影术、天文学、经济学、气象学、生态学等等。分形能够产生具有出人意料的古怪物体。它的应用是如此广泛，它的特性是如此迷人。这个我们拥有的新几何，甚至可以描述变化的宇宙！龙的曲线是由物理学家J·E·亥威最先发现的，它可以通过若干步骤形成。

人体中的分形和混沌

人体中的分形和混沌 《走近混沌》补充篇-人体中的分形和混沌 分形在生物形态中普遍存在，这是人所共知的事实，本系列在第三章‘大自然中的分形’中也列举了不少动植物中存在分形图案的例子。 生命科学中，人们在对人体器官的研究中发现，自相似性、分形、混沌的影子几乎无所不在：人体的肺部细胞形成盘枝错节、复杂的受力网络；人脑的表面、小肠结构、血管伸展、神经元分布等等，都有明显的分形特征，见图（1）。有人认为，生物体中每个单元的形态结构、遗传特性等等，都在不同程度上，可看作是生物整体的缩影。比如，人耳的形状，非常类似母体胚胎中卷曲的婴儿。从分形的角度来看，这些都是在生物体中自相似性的表现。

图（1）：人体大脑和肺泡结构呈现分形 图（1a）可看作人脑的分形模型。在十九世纪，医学科学家就已经认识到，脑进化的螺旋形式和在自然界中发现的螺旋十分相似。被誉为“美国神经病学泰斗”的CharlesKrasner Mills（1845-1931）对大脑和神经的功能进行了大量研究。如果查尔斯还活着，他或许会感到欣慰，因为如今的医学界，正用自然界广泛存在的、他所模糊意识到的分形模型，来研究和描述大脑及神经系统【1】。 俗话说，大脑的皱纹越多人越聪明，这句话也许还缺乏医学实验研究的明确证据，但可以从分形几何的角度给出一点诠释。科学家们对人脑表面进行研究，发现从人脑表面皱纹的分形结构模型出发，估算出的分形维数大约是2.73—2.78 之间。从欧几里德几何的观点来看，任何平面或曲面的维数都是2。但是我们从分形几何的角度来说，大脑表面皱褶越多，分形维数就越高，就越是逼近于我们所处的3维空间的维数。医学界认为，这是进化过程中某种优化机制起作用的结果。因为分形维数越高，表明在同样有限的空间内，大脑能占有更大的表面积，就有可能具备更为复杂的思考能力。