2012考研数学一模拟题6答案解析

答案 一、选择题

（1）A （2）C （3）D （4）C （5）C （6）C （7）A （8）C 二、填空题

（9）2

sec 2 （10）2

(0)x

y cxe

x -=≠ （11）310x y z -++=

（12）π （13）

2112132

12

2

23213

23

3a a a a a A a a a a a a a a a a ⎛⎫

⎪= ⎪ ⎪⎝⎭

（14）

37p =

三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、

证明过程或演算步骤. （15）（本题满分10分）设101

x <<，

1n x +=

n

n x ∞

→l i m 存在，并求其值

证明：由

11

n x +=

=

<知{}

n x 有界， 又由()2

2

2

122(1)0

n n n n n n n x x x x x x x +-=--=->知

{}

n x 单调递增

故

{}

n x 收敛，即n

n x ∞

→lim 存在

设lim n n x l

→∞

=，

1

n x +

=

l =

，解之得0l =或1l =，又{}

n

x 单调递增，故0l =不合题意，舍去，因此lim 1

n n x →∞=

（16）（本题满分10分）设

()

v u f ,具有二阶连续偏导数，且满足1

2

2

2

2

=∂∂+

∂∂v

f u

f

，

()()

⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=2221,,y x xy f y x g ，求2

2

22

y g x g ∂∂+∂∂

解：xy

u =，()

2

2

2

1y

x

v -=

v f

x

u

f y

x

g

∂∂+∂∂=∂∂，v f y

u

f x

y

g

∂∂-∂∂=∂∂

x

v f x

v

f x

u f y

x

g

∂⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂+∂∂+

∂⎥⎦⎤

⎢⎣⎡∂∂∂=∂∂2

2

x v v

f x

u u v f x

v f x

v v u f x

u u

f x

u f ∂∂∂∂+

∂∂∂∂∂=

∂⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂+

∂∂∂∂=

∂⎥⎦

⎤⎢⎣⎡∂∂∂2

2

2

2

2

2

;

故：v f v

f x

v

u f xy

u

f y

x

g

∂∂+

∂∂+∂∂∂+∂∂=∂∂2

2

2

2

2

2

2

2

2

2，

v

f v

f y

v

u f xy

u

f x

y

g

∂∂+

∂∂+∂∂∂-∂∂=∂∂2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

所以：

(

)

()

2

22

2

2

2

2

2

2

22

2

2

2

y

x v

f y

x u

f y

x y

g x

g

+=∂∂++∂∂+=∂∂+

∂∂

（17）（本题满分10分）设

()

f x 在

[],a b 上连续，在(),a b 内可导()0a b <<，证明：存

在ξ,

()

,a b η∈，使得

()()

'

'

2

f

f

ab

ηξη

=

证明：由题设()

f x 在

[],a b 上满足拉格朗日中值定理的条件，故存在(),a b ξ∈，使

()()()

'

f b f a f

b a

ξ-=-.

又

()

f x ，1

x 在

[],a b 上满足柯西中值定理的条件，故存在(),a b η∈，使

()()()

'

2

111

f b f a f

b a

ηη

-=-

-

.

合并上两式可得

()()

'

'

2

f

f

ab

ηξη

=

.

（18）（本题满分10分）2

()x

f x pe x x

-=+- ，若对于一切的0x >，恒有()1f x ≥，问

常数p 最小应取什么值？ 解：由2

()1,(0)

x

f x pe

x x x -=+-≥>，得

2

1

x

pe

x x -≥-++

令

2

12(),()1

x

f x pe f x x x -==-++

由

2m ax 215()()24f x f ==

，知12

11

5()24f pe -=≥

，得

1

2

54

p e ≥

所以1()x

f x pe

-=在(0,)+∞上是是单调递减的

设

12(),()

f x f x 相切于点

2

0000(,)(,1)

x x pe

x x x -=-++

又

12(),()21

x

f x pe f x x -''=-=-+

所以1020()()f x f x ''=，即

021

x pe

x --=-+，

联立

2

001

x pe

x x -=-++，可得

01

x =，或

02

x =-（舍去）

01

x =时，可得p e =

所以p 的最小值为e

（19）（本题满分10分）将2

()2arctan ln(1)1f x x x x =-

++展成x 的幂极数

解：

2

2

22()2arctan 2arctan 1

1

x x f x x x

x x '=+

-

=++

22

2()2(1)1

n n

n f x x

x ∞

=''=

=-+∑，(1,1)x ∈-

221

(1)

()()(0)()2(1)

221

n

x x n

n

n n n f x f x f f t dt t dt x

n ∞

∞

+==-'''''=-=

=-=+∑∑

⎰

⎰

，(1,1)x ∈-

而

21

22

(1)

(1)

()1()(0)()2221

(21)(22)

n

n

x x n n n n f x f x f f t dt t

dt x

n n n ∞

∞

++==--'-=-=

==+++∑

∑

⎰

⎰

，

(1,1)x ∈-

故有

22

20

1

(1)

(1)

()1212(21)(22)

2(21)

n n

n n

n n f x x

x

n n n n ∞

∞

+==--=+=+++-∑

∑

，(1,1)x ∈-

当1x =±时，级数

21

(1)

22(21)

n

n

n x

n n ∞

=--∑

绝对收敛

知

21

(1)

()122(21)

n

n

n f x x

n n ∞

=-=+-∑

，[1,1]x ∈-

（20）（本题满分10分）设()ij m n

A a ⨯=，

12(,,,)

T

n y y y y = ，

12(,,,)

T

n b b b b = ，

12(,,,)T n x x x x = ，证明：方程组Ay b

=有解的充分必要条件是方程组01T

T

A x b ⎛⎫⎛⎫

= ⎪ ⎪ ⎪

⎝⎭⎝

⎭无

解（其中0是1n ⨯矩阵） 【证明】：必要性：设方程组

Ay b

=有解，则对满足0T A x =的向量0x

，00T

T

T

b x y A x =

00T

y ==，从而有00T T A x b ⎛⎫⎛⎫

= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

，可见方程组01T T

A x b ⎛⎫⎛⎫

= ⎪ ⎪ ⎪

⎝⎭⎝⎭

无解 充分性：设方程组01T T

A x b ⎛⎫⎛⎫

= ⎪ ⎪ ⎪

⎝⎭⎝⎭

无解，则线性方程组的增广矩阵的秩 011T

T T T A A r r b

b ⎛⎫

⎛⎫

=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝

⎭

另一方面，()()0011()1

1T

T T

T

A r r A r A

r A b

⎛⎫≤+=+=+ ⎪⎝

⎭

，

所以有1()1T T

A r r A b ⎛⎫+≤+ ⎪ ⎪⎝

⎭。又由于()T T A r r A b ⎛⎫

≥ ⎪ ⎪⎝

⎭。

可知()()r A r A =，从而方程组Ay b =有解

（21）（本题满分12分）设三阶实对称矩阵A 的特征值分别为0,1,1，

1211,1

0a a αα⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是A 的两个不同的特征向量，且122

()A ααα+=

（1）求参数a 的值； （2）求方程

2

Ax α=的通解；

（3）求矩阵A 解：（1）若12

,αα均为

10

λ=的特征向量，则有

12122

()0A A A ααααα+=+=≠，矛盾 若12

,αα均为

231

λλ==的特征向量，则有

1212122

()A A A ααααααα+=+=+≠，矛盾 可见

12

,αα是属于实对称矩阵A 的两个不同特征值的特征向量，且1

α是属于特征值

10

λ=的特征向量，2

α是属于特征值

231

λλ==的特征向量，根据实对称矩阵的性质，

12

,αα必

正交，故有

121T

a αα=-=

，得1a =

（2）因为A 可以对角化，且

1

1A ⎛⎫

⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

，可见()2r A =于是齐次线性方程组0Ax =的

基础解系所含解向量的个数为3()1r A -=，而10A α=，因此1α

可作为0Ax =的基础解系，

又2α是2Ax α=的特解，故2Ax α=的通解为

211110x k k a

a αα⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪

=+=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪

⎝⎭⎝⎭，k 为任意常数 （3）设

231

λλ==的另一特征向量为

1

32

3

x x x α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则3α与1α正交，不妨进一步要求3α与2

α也正交，则有

13120

T

x x αα=+=，

231230

T

x x x αα=-+=，解得311

2α-⎛⎫

⎪= ⎪ ⎪⎝⎭

由

12323(,,)(0,,)

A ααααα=，得

1

231231

1022

11(0,,)(,,)

02200

1A ααααα-⎛⎫- ⎪

⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝

⎭

（22）（本题满分11分）假设一设备开机后无故障工作时间X 服从指数分布，平均无故障工作的时间EX 为5小时。设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况下工作2小时便关机。试求该设备每次开机无故障工作的时间Y 的分布函数F(y)

解：由题意可知

15X E ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ，其分布函数5

0,0

()1,0x

X x F x e x -<⎧⎪

=⎨⎪-≥⎩。 Y 的分布函数{}{}{}()min ,2F y P Y y P X y =≤=≤。可知：

当2y ≥时，{}{}()min ,21

F y P X y =≤=；

当2y <时，

{}{}{}5

0,0

()m in ,2()1,02y

X y F y P X y P X y F y e y -<⎧⎪

=≤=≤==⎨⎪-≤<⎩。 因此，Y 的分布函数50,0

()1,02

1,2y

y F y e y y -<⎧⎪⎪

=-≤<⎨⎪≥⎪⎩。

（23）（本题满分11分）设总体X 的概率密度为

1,021(),

1

2(1)0,x f x x θ

θθθ⎧

<<⎪⎪

⎪

=≤<⎨-⎪⎪⎪⎩

其他

12,,

X X …

,n

X 为来自总体X 的简单随机样本，X 是样本均值.

（1）求参数θ的矩估计量θ

.

（2）判断2

4X 是否为2

θ的无偏估计量，并说明理由.

解：（1）

1

111()22(1)

2

4EX xf x dx x dx x dx θ

θ

θθ

θ+∞-∞

=

=

⋅

+

⋅

=

+

-⎰

⎰

⎰，得

12

4X θ=

+

，参

数θ的矩估计量

122X θ

=-.

（2）

()()(

)

2

2

2

2

2

1141444()

4(

(

))2

4

4E X

E X

D X

E X D X D X n

n

θ

θθ==+=++

=

+++

，

由于0D X ≥, 0θ>，可知

()2

2

4E X θ

>，所以2

4X 不是否为2

θ的无偏估计.

数一模考五答案 一、选择题

（1）D （2）A （3）A （4）C （5）C （6）D （7）C （8）C 二、填空题

（9）10ln 3 （10

（11

）

dx -

（12）2- （13） 2- （14）1

[1(12)]

2n

p --

三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

（15）（本题满分10分）设连续函数()f x 在[1,)+∞单调减少，且()0f x >，若

1

1

()()n

n

n k u f k f x dx

==

-

∑

⎰

，证明：lim n

n u →∞

存在

证明：

1

1

11

1

1

1

()()()()n n

n n

n n k k u u f k f k f x dx f x dx

+++==-=

--

+

∑

∑⎰

⎰

1(1)()(1)()

(,1)n n

f n f x dx

f n f n n ξξ+=+-

=+-∈+⎰

由()f x 在1x >时连续且单调减小知(1)()f n f ξ+<，即1n n u u +<，{}

n u 单调减小，

又

1

(1)(2)()()n

n u f f f n f x dx

=+++-

⎰

2

312

1

2

31

2

1

[(1)()][(2)()][(1)()]()[(1)(1)][(2)(2)][(1)(1)]()

()0

n n n n f f x dx f f x dx f n f x dx f n f f dx f f dx f n f n dx f n f n --=-+-++--+>-

+-

++--

-+=>⎰⎰⎰⎰

⎰

⎰

即

{}

n u 有下界，故lim n

n u →∞存在

（16）求(,)f x y xy =在圆周2

2

:(1)10L x y -+-=上的最大值和最小值 解：令2

2

(,)[(1)1]

F x y xy x y λ=--+-

由2(1)020

F y x x F

x y y

λλ∂=+-=∂∂=+=∂解得

22

2y x x y λ=-=-

-

所以有

22

y x x

=-，代入

22

(1)10

x y -+-=

，得

3,22x y =

=±

或0,0x y ==（舍去）

故

4xy =±

，所以(,)f x y

在圆周上的最大值是4

，最小值是

4

-

（17）过点1,02⎛⎫ ⎪

⎝⎭且满足关系式

(

)'

arcsin 1

x y +=的曲线方程。

解：整理微分方程

(

)'arcsin 1

x y +

=，得到

'

1a r c s i n a r c s i n

y

y x x =

=-

先解方程

'

y =-

即

d y

y

=-

l n l n (a r c s i n )y x

C =-+ 故有

()arcsin C x y x =

带入原微分方程得到'

()

1arcsin arcsin C x x x =

得到()C x x c =+

则微分方程的通解为：

arcsin x c y x +=

又因为该曲线过点1,02⎛⎫ ⎪

⎝⎭，即1

()02y =

带入微分方程的通解，可解出

12c =-

故曲线方程为

1

2

arcsin x y x -

=

（18）求幂级数2

1

1n

n n x

n

∞

=+∑

的收敛域及和函数

解：因为

2

1n n a n

+=

，而

1lim

n n n

a a +→∞

，且1x =±时，级数均发散，所以级数的以收敛域为(1,1)-，

2

1

1

11

1

1

111()()x x

n

n

n

n n

n n n n n n x nx

x x nx

dx x dx

n

n

n

∞

∞∞

∞

∞

-=====+''=

+

=+∑

∑∑

∑∑

⎰

⎰

11(

)11x x dx

x x

'=+

--⎰

2

ln(1)

(1)

x

x x =

---，(1,1)x ∈-

（19）设函数()f x 连续且恒大于零，

⎰⎰

⎰⎰⎰

+++=

Ω)

(2

2)

(2

22)()()(t D t d y x f dv

z y x f t F σ

，

⎰

⎰⎰

-+=

t

t D dx

x f d y x f t G 1

2

)

(2

2)()()(σ

，

其中

}

),,{()(2

2

22t z

y x z y x t ≤++=Ω，

}.

),{()(2

2

2t y

x y x t D ≤+=

（1） 讨论()F t 在区间),0(+∞内的单调性.

（2）证明当0t >时，).

(2)(t G t F π

>

解：（1）因为

⎰

⎰⎰

⎰

⎰

⎰⎰=

=

t

t

t

t

r d r

r f dr

r r f rdr

r f d dr

r r f d d t F 0

2

2

220

2

20

00

2

2)()(2)(sin )()(π

π

π

θ

ϕϕθ

，

2

202

2

]

)([)()()(2

)(r d r r f dr

r t r r f t tf t F t

t

⎰⎰-='，

所以在),0(+∞上0)(>'

t F ，故F(t) 在),0(+∞内单调增加.

（2） 因

⎰

⎰=

t

t

dr r f rdr r f t G 0

2

02

)()()(π

，

要证明t>0时

)

(2

)(t G t F π

>

，只需证明t>0时，

)(2

)(>-

t G t F π

，即

.

0])([)()(0

2

2

2

2

2>-⎰

⎰⎰t

t

t

r d r r f dr r f dr r r f

令 ⎰

⎰⎰-=

t

t

t

r d r r f dr r f dr r r f t g 0

2

22

2

2]

)([)()()(，

则

)()()()(2

2

2

>-='⎰dr r t r f t f t g t

，故g(t)在),0(+∞内单调增加.

因为g(t)在t=0处连续，所以当t>0时，有g(t)>g(0). 又g(0)=0, 故当t>0时，g(t)>0,

因此，当t>0时，

).

(2)(t G t F π

>

（20）假设

⎥⎥⎥⎥

⎦⎤

⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥

⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1111,010,11

1310

2112ηb c

a

A . 如果η是方程组b Ax =的一个解, 试求

b Ax =的通解.

【解】：将

⎥

⎥⎥

⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=1111η代入b Ax =, 得到c a c a ==-+-,011. ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣

⎡

-

-

→⎥⎥⎥

⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡00

2

12

10

113100

2112

01

1

1131002112

a a a

a

i ）、 21=

=c a ⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥

⎥⎥

⎦⎤

⎢⎢⎢⎢⎣

⎡

00

113101120200

011310

0211201

2

12

11113100

2112

于是 2)()(==A r A r , 基础解系所含解向量个数为: 2)(4=-A r . 齐次方程: ⎩⎨

⎧=++=+-0

3022432431x x x x x x ,

令 1

,3,0,11243=-===x x x x 解得, 解向量为:

T

)

0,1,3,1(-

令

1

,2,2,01243-=-===x x x x 解得, 解向量为:

T

)

2,0,2,1(-

所以通解为: ⎥⎥⎥

⎥⎦⎤

⎢⎢⎢⎢⎣⎡--+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-2021013111112

1k k

ii)、21≠

=c a ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣

⎡-

-

→⎥⎥⎥

⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡00

2

12

10

113100

2112

01

1

1131002112

a a a

a

202110131

10

2

11--⎡⎤

⎢⎥→⎢⎥⎢⎥---⎣⎦

于是 3)()(==A r A r , 基础解系所含解向量个数为：1)(4=-A r . 齐次方程: ⎪⎪⎩⎪

⎪⎨⎧

=-+-=++=+-0

)21

()1(0302243432431x a x a x x x x x x ,

令

2

,1,1,21234-==-==x x x x 解得, 解向量为: T

)2,1,1,2(--

所以通解为: ⎥⎥⎥⎥⎦⎤

⎢⎢⎢⎢⎣⎡--+⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-21121111k （21）设矩阵

⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡=32

2

232

223A ，

⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡=10

101

010

P ，P A P

B *

1

-=，求2B E +的特征值与特

征向量，其中*

A 为A 的伴随矩阵，E 为3阶单位矩阵. 解： 方法一： 经计算可得

⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡------=52

2

2

52

225*A ， ⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡-=-10

001110

1

P

，

P A P

B *

1

-==

⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡----32

2

4

5

2007.

从而

⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣⎡----=+52

2

4

72

009

2E B ， )

3()9(5

2

2

4

7200

9

)2(2

--=---=

+-λλλλλλE B E ，

故2B E +的特征值为.

3,9321===λλλ

当

9

21==λλ时，解0)9(=-x A E ，得线性无关的特征向量为

,

0111⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=η

,1022⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡-=η

所以属于特征值921==λλ的所有特征向量为

⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=+10

2011212

211k k k k ηη，其中21,k k 是不全为零的任意常数.

当3

3=λ时，解0)3(=-x A E ，得线性无关的特征向量为

⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡=11

03η，

所以属于特征值

3

3=λ的所有特征向量为⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡=11

0333k k η，其中

3≠k 为任意常数.

方法二：设A 的特征值为λ，对应特征向量为η，即 ληη=A . 由于0

7≠=A ，所以

.0≠λ

又因 E

A A A =*，故有

.

*ηλ

ηA

A =

于是有

)

()(*)(1

1

1

1

ηλ

ηη----=

=P A P P A P

P B ，

.

)2(

)2(1

1

ηλ

η--+=+P A

P E B

因此，2

+λ

A 为2

B E +的特征值，对应的特征向量为.

1

η-P

由于

)

7()1(3

2

2

2322

23

2

--=---------=-λλλλλλA E ，

故A 的特征值为

.

7,1321===λλλ

当121==λλ时，对应的线性无关特征向量可取为

⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡-=01

11η，

.1012

⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡-=η

当

7

3=λ时，对应的一个特征向量为

.

1113⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡=η

由

⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡-=-10

001110

1

P

，得

⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡-=-01

111

ηP ，

⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡--=-1112

1

ηP ，

⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡=-11

031

ηP .

因此，2B E +的三个特征值分别为9，9，3. 对应于特征值9的全部特征向量为

⎥⎥⎥⎦⎤

⎢⎢⎢⎣⎡--+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=+--11

1011212

1

211

1k k P k P k ηη，其中21,k k 是不全为零的任意常数；

对应于特征值3的全部特征向量

⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡=-11

0331

3k P k η，其中

3

k 是不为零的任意常数.

（22）设随机变量X 与Y 独立,其中X 的概率分布为⎪⎪⎭⎫

⎝⎛7.03

.021

~X ,而Y 的概率分布为

)(y f ,试求随机变量Y X U +=的概率密度)(u g

解：

{}{}{1}{1}{2}{2}{11}{1}{22}{2}

P U u P X Y u P X Y u X P X P X Y u X P X P Y u X P X P Y u X P X ≤=+≤=+≤==++≤===≤-==+≤-=={11}{1},{22}{2}{}{1}0.3{2}0.70.3(1)0.7(2)

()0.3(1)0.7(2),()0.3(1)0.7(2)

U X Y P Y u X P Y u P Y u X P Y u P X Y u P Y u P Y u F u F u F u F u F u g u f u f u ≤-==≤-≤--=≤-+≤=≤-⋅+≤-⋅=-+-=-+-=-+-由于与独立，可知则因此从而

（23）设总体X 的概率密度为2()2,()0,x e x f x x θθ

θ--⎧>=⎨

≤⎩若若，

其中0θ>是未知参数.从总体X 中抽取简单随机样本12,,,n

X X X ，记

^

12m in(,,...,)n X X X θ=，

（1） 求总体X 的分布函数()F x ；

（2） 求统计量^

θ的分布函数

^()

F x θ

；

（3） 如果用^

θ作为θ的估计量，讨论它是否具有无偏性.

解： （1）

()()x F x f t dt

-∞

=

⎰

，当x θ≤，()0F x =； 当x θ>时，

2()

2()

()21x

t x F x e

dt e

θθθ

----=

=-⎰.

（2）

^

12m in(,,...,)

n X X X θ=，所以

{}

{}{}{}{}{}{}[]121212122()

2()

()m in(,,...,)1m in(,,...,)1,,,111()0, 1, 1111, , n n n n n

n

x x F x P x P X X X x P X X X x P X x X x X x P X x P X x P X x F x x x e x e x θθθθθ

θ

θθ----=≤=≤=->=->>>=->>>=--⎡

⎤

≤≤⎧⎧=--

=-⎢⎥⎨->>⎢⎥⎩⎣

⎦

2()2()

1, 0, 1, 1, n

n x n x x x e x e

x θθθθ

θθ----⎡⎤

⎢⎥⎨⎢⎥⎩⎣⎦

≤≤⎧⎧=-=⎨⎨>->⎩⎩

（3） θ的概率密度为 '

2()

0, ()()2, n x x f x F x ne x θθθθ

θ--≤⎧==⎨>⎩，所以

2()

1

()22n x E xf x dx x ne

dx n θθθ

θ+∞+∞---∞

==

=+

⎰

⎰

，可见 E θθ≠，即 θ不是θ的无偏估计.

2012考研数学一真题及解析

2012考研数学一真题及解析 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. （1） 【答案】：C 【解析】：221lim 1 x x x x →+=∞-，所以1x =为垂直的 22lim 11 x x x x →∞+=-，所以1y =为水平的，没有斜渐近线 故两条选C （2） 【答案】：C 【解析】： '222()(2) ()(1)(22) ()(1)(2) () x x nx x x nx x x nx f x e e e n e e e n e e ne n =--+---+ --- 所以'(0)f =1(1)!n n -- （3） 【答案】： 【解析】：由于(,)f x y 在()0,0处连续，可知如果22 (,) lim x y f x y x y →→+存在，则必有0 (0,0)lim (,)0x y f f x y →→== 这样，220 (,) lim x y f x y x y →→+就可以写成2200 (,)(0,0)lim x y f x y f x y ∆→∆→∆∆-∆+∆，也即极限220 (,)(0,0)lim x y f x y f x y ∆→∆→∆∆-∆+∆ 存在，可知lim 0x y ∆→∆→=，也即

(,)(0,0)00f x y f x y o ∆∆-=∆+∆+。由可微的定义可知(,)f x y 在 (0,0)处可微。 （4） 【答案】：(D) 【解析】：2 sin k x k e I e xdx = ⎰ 看为以k 为自变量的函数，则可知 ()2 'sin 0,0,k k I e k k π=≥∈，即可知2sin k x k e I e xdx =⎰关于k 在() 0,π上为单调增函数，又由于()1,2,30,π∈，则123I I I <<，故选D （5） 【答案】：（C ） 【解析】：由于()13411 3 4 1111,,0 1101 1 c c c c ααα--=-==-，可知134 ,,ααα线性相关。故选（C ） （6） 【答案】：（B ） 【解析】：100110001Q P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则1 1100110001Q P --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭ ， 故 11100100100110011101101101110100100100120012Q AQ P AP --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ =-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 故选（B ）。 （7） 【答案】：（A ）

2012年考研(数学一)真题试卷(题后含答案及解析)

2012年考研（数学一）真题试卷(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题 选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。 1．曲线渐近线的条数为( )． A．0 B．1 C．2 D．3 正确答案：C 2．设函数f(x)＝(ex－1)(e2x－2)…(enx－n)，其中n为正整数，则fˊ(0)＝( )． A．(－1)n－1(n－1)! B．(－1)n(n－1)! C．(－1)n－1n! D．(－1)nn! 正确答案：A 3．如果函数f(x，y)在(0，0)处连续，那么下列命题正确的是( )． A．  B．  C．  D．  正确答案：B 4．设(k＝1，2，3)，则有( )． A．I1＜I2＜13 B．I3＜I2＜I1 C．I2＜I3＜I1 D．I2＜I1＜I3 正确答案：D 5．设，其中c1，c2，c3，c4为任意常数，则下列向量组线性相关的为( )．A．α1，α2，α3 B．α1，α2，α4 C．α1，α3，α4

D．α2，α3，α4 正确答案：C 6．设A为3阶矩阵，P为3阶可逆矩阵，且若P＝(α1，α2，α3)，Q＝(α1＋α2，α2，α3)，则Q－1AQ＝( )． A．  B．  C．  D．  正确答案：B 7．设随机变量X与Y相互独立，且分别服从参数为1与参数为4的指数分布，则P｜x＜y｜＝( )． A．1／5 B．1／3 C．2／5 D．4／5 正确答案：A 8．将长度为1 m的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为( )．A．1 B．1／2 C．﹣1／2 D．﹣1 正确答案：D 填空题 9．若函数f(x)满足方程f〞(x)＋fˊ(x)－2f(x)＝0及fˊ(x)＋f(x)＝2ex，则f(x)＝__________． 正确答案：齐次方程f〞(x)＋fˊ(x)－2f(x)＝0的特征方程为r2＋r－2＝0，得特征根为r1＝1，r2＝－2，则有通解f(x)＝c1ex＋c2e－2x，代人方程fˊ(x)＋f(x)＝2ex得2c1ex－c2e－2x＝2ex，则c1＝1，c2＝0．因此f(x)＝ex． 10． 正确答案：根据题意，令t＝x－1，则本题用到奇函数在对称区间上积为零的结论．

数学一2012年考研真题及答案解析

2012年全国硕士研究生统一考试数学一试题及答案 一、选择题：共8小题，每题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸指定的位置上。 1、曲线221 x x y x +=-渐近线的条数（ ）（A ）0； （B ）1； （C ）2； （D ）3。 解：（C ）：22211lim lim 1111x x x x x x x →∞→∞++==--，可得有一条水平渐近线1y =；222112lim 1lim 1x x x x x x →→+==∞--，可得有一条铅直渐近线1x =；22111(1)1lim lim lim 1(1)(1)12 x x x x x x x x x x x x →-→-→-++===--+-，可得1x =-不是铅直渐近线，故答案为（C ）。 2、设函数2()(1)(2)()x x nx y x e e e n =---，其中n 为正整数，则'(0)y =（ ） （A ）1(1)(1)!n n ---；（B ）(1)(1)!n n --；（C ）1(1)!n n --；（D ）(1)!n n -。 解：（A ）：(0)(11)(12)(1)0y n =---=；则 22000()(0)(1)(2)()(2)()'(0)lim lim lim 0x x nx x nx x x x y x y e e e n x e e n y x x x →→→------===-1(12)(1)(1)(1)!n n n -=--=--。故答案为（A ）。 3．如果函数(,)f x y 在(0,0)处连续，那么下列例题正确的是（ ） （A ）若极限(,)(0,0)(,)lim |||| x y f x y x y →+存在，则(,)f x y 在(0,0)处可微； （B ）若极限22 (,)(0,0)(,)lim x y f x y x y →+存在，则(,)f x y 在(0,0)处可微； （C ）若(,)f x y 在(0,0)处可微，则极限(,)(0,0)(,)lim |||| x y f x y x y →+存在； （D ）若(,)f x y 在(0,0)处可微，则极限22 (,)(0,0)(,)lim x y f x y x y →+存在。 解：（B ）：∵(,)f x y 在(0,0)处连续：①对（A ）：令1(,)(0,0)(,)lim |||| x y f x y M x y →=+，可得(0,0)0f =， (,)z f x y ?=??，则'1000(,0)(0,0)(,0)||(0,0)lim lim lim ||0x x x x f x f f x x f M x x x ?→?→?→?-??==?=±??+?不存在， 同理得'(0,0)y f 也不存在，故（A ）错； ②对（B ）：令222 (,)(0,0)(,)lim x y f x y M x y →=+，可得(0,0)0f =，(,)z f x y ?=?? 2'2000(,0)(0,0)(,0)()(0,0)lim lim lim 0()0x x x x f x f f x x f A x x x ?→?→?→?-??==?==??+?，同理'(0,0)0y f B ==， 则22222000(,)(,)lim lim lim 00()()z A x B y f x y f x y M x y ρρρρρρ →→→→?-?-?????==?=?=?+? 由微分定义可得(,)f x y 在(0,0)处可微，故答案为（B ）； ③对（C ）和（D ）：(,)f x y 在(0,0)处可微，可知(,)f x y 在(0,0)处偏导，即 (,)(0,0)z f x y f Ax By ?=-=+， 则(,)(0,0)(,)(0,0)(,)(0,0)(,)(,)(0,0)(0,0)lim lim lim ||||||||||||x y x y x y f x y f x y f f x y x y x y →→→-=?+++

2012年考研数学一真题及参考答案

2012 年全国硕士研究生入学统一考试 数学一试题解析 一、选择题：1～8 小题，每小题4 分，共32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答．题．纸．指定位置上. （1）曲线 y=x+x 2 x2 ?1 渐近线的条数为（） （A）0 （B）1 （C）2 （D）3 【答案】：C 【解析】： lim x→1 x x 2 +=∞ x?1 2 ，所以x=1为垂直的 x x 2 += lim 1，所以y=1为水平的，没有斜渐近线故两条选C x→∞x 2 ?1 （2）设函数f(x) =(e x?1)(e2x?2)L (e nx?n)，其中n为正整数，则f' (0) = （A）(?1)n?1(n?1)! （B）(?1)n(n?1)! （C）(?1)n?1n! （D）(?1)n n! 【答案】：C 【解析】：f' (x) =e x(e2x?2)L (e nx?n) +(e x?1)(2e2x?2)L (e nx?n) +L (e x?1)(e2x?2)L (ne nx?n) 所以f' (0) =(?1)n?1n! （3）如果f(x, y) 在(0, 0)处连续，那么下列命题正确的是（）

f(x, y) （A）若极限 lim →x+y x→0 y0 存在，则f(x, y) 在(0, 0) 处可微 f(x, y) （B）若极限 lim → 2 +2 x y x→0 存在，则f(x, y) 在(0, 0) 处可微

f(x, y) （C）若f(x, y) 在(0, 0) 处可微，则极限lim →+ x y x→0 y0 存在 f(x, y) （D）若f(x, y) 在(0, 0) 处可微，则极限lim x→0 x y→ + 2 2 y0 →+ 存在【答案】： f(x, y) 【解析】：由于f(x, y) 在(0, 0)处连续，可知如果 lim →x+y 2 2 x→0 y0 存在，则必有f(0, 0) =lim f(x, y) =0 x→0 y→0 这样， f(x, y) lim x→x y → 2 +2 y0 就可以写成 l im Δx→0 Δy→0 f(Δx,Δy) ?f(0, 0) Δ 2 +Δ2 x y ，也即极限l im Δx→0 Δy→0 f(Δx,Δy) ?f(0, 0) Δx+Δy 2 2 存在，可知 f(Δx,Δy) ?f(0, 0) = lim 0 Δx→0 2 2 Δx+Δy Δy→0 ，也即() f(Δx,Δy) ?f(0, 0) =0Δx+0Δy+oΔx2 +Δy2 。由可微的定义，也即() 可知f(x, y) 在(0, 0) 处可微。 （4）设 k x I=∫e 2 k e sinxdx(k=1,2,3),则有D （A）I1< I2

考研数学一(解答题)模拟试卷121(题后含答案及解析)

考研数学一（解答题）模拟试卷121(题后含答案及解析) 题型有：1. 1．设在上半平面D={(x，y)丨y>0}内，函数f(x，y)具有连续偏导数，且对任意的t>0都有f(tx，ty)=t-2f(x．y)．证明：对D内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L，都有 正确答案：涉及知识点：多元函数积分学 2．设A为n阶矩阵，αn≠0，满足Aα0＝0，向量组α1，α2满足Aα1＝α0，A2α2＝α0．证明α1，α2，α3线性无关． 正确答案：用定义证明．即要说明当c1，c2，c3满足c1α0＋c2α1＋c3α2＝0时它们一定都是0．记此式为(1)式，用A乘之，得c2α0＋c3Aα2＝0 (2) 再用A乘(2)得c3α0＝0．由α0≠0，得c3＝0．代入(2)得c2＝0．再代入(1)得c1＝0．涉及知识点：向量组的线性关系与秩 3． 正确答案：注意分解1+x6=1+(x2)3=(1+x2)(1－x2+x4)．涉及知识点：高等数学 4．求函数f(x)=x2ln(1+x)在x=0处的n阶导数f(n)(0)(n≥3)． 正确答案：f(x)=x2[x-xn+1/2+…+(-1)xn-2/(n-2)+o(xn-1)]=x3-x4/2+…+(-1)n+1xn/(n-2)+o(xn) (n≥3)可得f(n)(0)/n!=(-1)n+11/(n-2).f(n)(0 涉及知识点：一元函数微分学 5．设函数f(x)在[0，1]上二阶可导，且f(0)=f’(0)=f’(1)=0，f(1)=1．求证：存在ξ∈(0，1)，使｜f’’(ξ)｜≥4． 正确答案：把函数f(x)在x=0处展开成带拉格朗日余项的一阶泰勒公式，得f(x)=f(0)+f’(0)x+(ξ1)x2(0＜ξ1＜x)．在公式中取把函数f(x)在x=1处展开成泰勒公式，得f(x)=f(1)+f’(1)(x－1)+f’’(ξ2)(x－1)2(x＜ξ2＜1)．在公式中取①－②消去未知的函数值即得f’’(ξ1)－f’’(ξ1)=8=>｜f’’(ξ1)｜+｜f’’(ξ1)｜≥8．从而，在ξ1和ξ2中至少有一个点，使得f(x)在该点的二阶导数绝对值不小于4，把该点取为ξ，就有ξ∈(0，1)，使｜f’’(ξ)｜≥4．涉及知识点：一元函数微分学 6．用泰勒公式确定∫0x(et一1一t)2dt当x→0时关于x的无穷小阶数．

考研数学一全真模拟试题及答案解析

考研数学一全真模拟试题及答案解析考研数学一全真模拟试题及答案解析 一、选择题 1. 设函数f(x) = x^2 + 2ax + a，则函数f(x)的图像与x轴相切的充分必要条件是（）。 A. a = 0 B. a = 1 C. a = -1 D. a = 2 答案：A 解析：函数f(x)与x轴相切，即f(x) = 0有一个实根，由一元二次方程的判别式可知，判别式Δ = (2a)^2 - 4a = 4a^2 - 4a = 4a(a - 1)。要使得Δ = 0，即4a(a - 1) = 0，解得a = 0或a = 1。但由于题目要求函数f(x)的图像与x 轴相切，即只有一个实根，所以a = 1不满足要求，因此只有a = 0满足要求，故选A。 2. 已知集合A = {x | x^2 - 4x + 3 = 0}，集合B = {x | x^2 - 5x + 6 = 0}，则集合A与集合B的交集是（）。 A. {1, 3} B. {2, 3} C. {2, 4} D. {3, 6} 答案：C 解析：求解集合A和集合B的交集，即求解方程组{x^2 - 4x + 3 = 0, x^2 - 5x + 6 = 0}，解得x = 2或x = 3。将x = 2和x = 3分别代入方程x^2 - 4x + 3 = 0和x^2 - 5x + 6 = 0，可以验证它们都满足，所以交集为{2, 3}，故选C。

3. 函数y = (x - 1)(x - 2)(x - 3)的图像在x轴上的零点的个数为（）。 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 答案：C 解析：函数y = (x - 1)(x - 2)(x - 3)在x轴上的零点即为方程(x - 1)(x - 2)(x - 3) = 0的解，由于(x - 1)(x - 2)(x - 3)是三次多项式，所以它在x 轴上的零点的个数等于它的次数，即为3个，故选C。 4. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 3x - 1，则f(2) = （）。 A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 答案：A 解析：将x = 2代入函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 3x - 1，得到f(2) = 2^3 - 3(2)^2 + 3(2) - 1 = 8 - 12 + 6 - 1 = 1 - 1 = 0，故选A。 二、填空题 1. 设函数f(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)，则f(4) = （）。 答案：2 解析：将x = 4代入函数f(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)，得到f(4) = (4 - 1)(4 - 2)(4 - 3) = 3 * 2 * 1 = 6，故填2。 2. 设函数f(x) = x^2 + 2ax + a，若f(1) = 2，则实数a的值为（）。 答案：0

考研数学一(高等数学)模拟试卷106(题后含答案及解析)

考研数学一（高等数学）模拟试卷106(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。 1．设{an}，{bn}，{cn}均为非负数列，且则必有( ) A．an＜bn对任意n成立． B．bn＜cn对任意n成立． C．极限不存在． D．极限不存在． 正确答案：D 解析：(特例排除法)取an=(n=1，2，…)，则选项A、B、C均可排除．知识模块：高等数学 2．要使f(x)=在(-∞，+∞)内为连续函数，则( ) A．a=π，b=0． B．a=π，b=1． C．a=，b=1． D．a=，b=0． 正确答案：A 解析：由于初等函数在其有定义的区间上是连续函数，要使f(x)在(-∞，+∞)内连续，只需f(x)在x=0点连续，即成立，因为不存在，所以b=0，从而知识模块：高等数学 3．设f(0)=0，且(常数)，则f(x)在点x=0处( ) A．极限不存在． B．极限存在但不连续． C．连续但不可导． D．可导且f’(0)=A． 正确答案：D 解析：因为(常数)，所以故f(x)在点x=0处连续．进一步，所以f(x)在点x=0处可导且f’(0)=A．故应选 D．知识模块：高等数学 4．设函数y=2sinx+sin3x，则在点x=处( ) A．y取得最小值． B．y取得极小值． C．y取得极大值． D．y不取极值．

正确答案：C 解析：由y’=2cosx+cos3x，y’’=-2sinx-3sin3x，得所以是驻点，由极值的第二充分条件知，在点处y取得极大值．知识模块：高等数学 5．设∮f(x)dx=arccosx+C，则等于( ) A． B． C． D． 正确答案：A 解析：等式∫f(x)dx=arccosx+C两端对x求导，得f(x)=，所以知识模块：高等数学 6．设f(x)可导且f’(0)≠0，又存在有界函数θ(x)≠0(x≠0)满足，则等于( ) A．0． B． C．1． D．2． 正确答案：B 解析：根据已知条件f’(0)≠0，将已知等式改写成[f(t)-f(0)]dt=x[f(θx)-f(0)]，将上式两端乘以，得知识模块：高等数学 7．设a，b，c均为非零向量，则与a不垂直的向量是( ) A．(a.c)b-(a.b)c． B． C．a×b． D．a+(a×b)×a． 正确答案：D 解析：利用两个非零向量垂直(正交)这两个向量的内积等于零．由向量的运算法则有A项a.[(a.c)b-(a.b)c]=(a.c)(a.b)-(a.b)(a.c)=0，B项a.(a.a)=a.b-a.b=0，C项 a.(a×b)=0，D项a.[a+(a×b)×a]=a.a=｜a｜2≠0．故与a不垂直的向量是a+(a× b)×a，应选 D．知识模块：高等数学 8．设函数x=z(x，y)由方程z+x=yf(x2-z2)确定，其中f(u)可导，则=( ) A．y．

考研数学一(线性代数)模拟试卷96(题后含答案及解析)

考研数学一（线性代数）模拟试卷96(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题 选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。 1．设A是三阶矩阵，B是四阶矩阵，且｜A｜=2，｜B｜=6，则为( )．A．24 B．一24 C．48 D．－48 正确答案：D 解析：=－48，选(D)．知识模块：线性代数 2．设n维行向量α=，A=E－αTα，B=E＋2αTα，则AB为( )． A．O B．－E C．E D．E+αTα 正确答案：C 解析：由ααT=，得AB=(E－αTα)(E+2αTα)=E，选(C)．知识模块：线性代数 3．设A为n阶矩阵，且｜A｜=0，则A( )． A．必有一列元素全为零 B．必有两行元素对应成比例 C．必有一列是其余列向量的线性组合 D．任一列都是其余列向量的线性组合 正确答案：C 解析：因为｜A｜=0，所以r(A)＜n，从而A的n个列向量线性相关，于是其列向量中至少有一个向量可由其余向量线性表示，选(C)．知识模块：线性代数 4．设α1，α2，α3，α4为四维非零列向量组，令A=(α1，α2，α3，α4)，AX=0的通解为X=k(0，一1，3，0)T，则A*X=0的基础解系为( ) A．α1，α3 B．α2，α3，α4 C．α1，α2，α4 D．α3，α4

正确答案：C 解析：因为AX=0的基础解系只含一个线性无关的解向量，所以r(A)=3，于是r(A*)=1，因为A*A=｜A｜E=O，所以，α1，α2，α3，α4为A*X=0的一组解，又因为一α2+3α3=0，所以α2，α3线性相关，从而α1，α2，α4线性无关，即为A*X=0的一个基础解系，应选(C)．知识模块：线性代数 5．设三阶矩阵A的特征值为λ1=－1，λ2=0，λ3=1，则下列结论不正确的是( )． A．矩阵A不可逆 B．矩阵A的迹为零 C．特征值一1，1对应的特征向量正交 D．方程组AX=0的基础解系含有一个线性无关的解向量 正确答案：C 解析：由λ1=一1，λ2=0，λ3=1得｜A｜=0，则r(A)＜3，即A不可逆，(A)正确；又λ1+λ2+λ3=tr(A)=0，所以(B)正确；因为A的三个特征值都为单值，所以A的非零特征值的个数与矩阵A的秩相等，即r(A)=2，从而AX=0的基础解系仅含有一个线性无关的解向量，(D)是正确的；(C)不对，因为只有实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量正交，一般矩阵不一定有此性质，选(C)．知识模块：线性代数 6．设，则m，n可取( )． A．m=3，n=2 B．m=3，n=5 C．m=2，n=3 D．m=2，n=2 正确答案：B 解析：P1mAP2n=经过了A的第1，2两行对调与第1，3两列对调，P1==E13，且Eij2=E，P1mAP2=P1AP2，则m=3，n=5，即选(B)．知识模块：线性代数 7．若向量组α1，α2，α3，α4线性相关，且向量α4不可由向量组α1，α2，α3线性表示，则下列结论正确的是( )． A．α1，α2，α3线性无关 B．α1，α2，α3线性相关 C．α1，α2，α4线性无关 D．α1，α2，α4线性相关 正确答案：B 解析：若α1，α2，α3线性无关，因为α4不可由α1，α2，α3线性表示，所以α1，α2，α3，α4线性无关，矛盾，故α1，α2，α3线性相关，选(B)．知识模块：线性代数 8．设A为n阶矩阵，下列结论正确的是( )．

考研数学一(填空题)模拟试卷106(题后含答案及解析)

考研数学一（填空题）模拟试卷106(题后含答案及解析) 题型有：1. 1．设a≠=________． 正确答案： 解析：知识模块：高等数学 2．设α1=(1，2，-1，0)T，α2=(1，1，0，2)T，α3=(2，1，1，α)T，若由α1，α2，α3形成的向量空间的维数是2，则α=_______。 正确答案：6 解析：由题意可知向量组α1，α2，α3的秩R(α1，α2，α3)=2，对向量组组成的矩阵作初等行变换所以有a-6=0a=6。知识模块：向量 3．设曲线y=lnx与y=相切，则公共切线为___________． 正确答案： 解析：知识模块：高等数学 4．某流水生产线每个产品不合格的概率为p(0<p<1)，各产品合格与否相互独，当出现一个不合格产品时即停机检修．设开机后第一次停机时已生产的产品个数为X，求X的数学期望E(X)=____________和方差D(X)=____________． 正确答案：1/p,(1-p)/p2 涉及知识点：综合 5．设f’(1)=2，极限存在，则 正确答案：一2 涉及知识点：高等数学 6．设A为n阶方阵，任何n维列向量都是方程组的解向量，则R(A)=_________。 正确答案：0 解析：已知任何n维列向量都是此方程组的解，故n维基本单位向量组ε1=，ε2=…，εn=也是它的解，即A(ε1，ε2，…，εn)=AE=O，故有A=O，所以R(A)=0。知识模块：线性方程组 7．= _______。

正确答案： 解析：因为，所以知识模块：一元函数积分学 8．已知α1＝(－3，2，0)T，α2＝(－1，0，－2)T是方程组的两个解，则方程组的通解是_______． 正确答案：，k为任意实数． 解析：要搞清解的结构就应当知道秩r(A)．因为方程组有解且不唯一，故r(A)＜3．又因矩阵A中有2阶子式≠0，因此r(A)＝2．那么，导出组的基础解系由n－r(A)＝1个解向量所构成．从而α1－α2(－2，2，2)T是Aχ＝0的解，也即Aχ＝0的基础解系．所以，方程组的通解是，k为任意常数．知识模块：线性代数 9．r==_______。 正确答案： 解析：知识模块：高等数学 10． 正确答案：1一a+a2一a3+a4一a5．涉及知识点：线性代数 11．=_________． 正确答案： 解析：知识模块：高等数学 12．设L是正向圆周x2+y2=9，则曲线积分(2xy-2y)dx+(x2-4x)dy=_______。 正确答案：-18π 解析：由格林公式知知识模块：高等数学 13．设f(x)=ax3-6ax2+b在闭区间[-1，2]上的最大值是3，最小值是-29，且a＞0，则a______，b=________． 正确答案：2，3 解析：(1)求f(x)在[-1，2]上的驻点与使得f’(x)不存在的点(如果有的话)．f’(x)=3ax2-12ax=3ax(x-4)．令f’(x)=0，得驻点x1=0，x2=4(舍去)．(2)求f(x)在[-1，2]上的驻点与区间端点处的函数值．f(-1)=b-7a，f(0)=b，f(2)=-16a+b．(3)比较上述函数值得f(x)在[-1，2]上的最大值、最小值．比较上述函数值，得由已知条件，得b=3，b=16a=-29，解得a=2，b=3．知识模块：高等数学 14．设球体x2+y2+z2≤z上任一点处的密度等于该点到原点的距离的平方，

考研数学一(解答题)高频考点模拟试卷16(题后含答案及解析)

考研数学一（解答题）高频考点模拟试卷16(题后含答案及解析) 题型有：1. 1．求下列y(n)： 正确答案：(Ⅰ)当n为奇数时，xn+1可被x+1整除，xn+1=(x+1)(xn—1一xn—2+…一x+1)→当n为偶数时，xn除x+1得xn=(x+1)(xn—1一xn—2+…+x 一1)+1→涉及知识点：高等数学 2． 正确答案：涉及知识点：高等数学部分 3．设f(x)定义在(a，b)上，c∈(a，b)，又设H(x)，G(x)分别在(a，c]，[c，b)连续，且分别在(a，c)与(c，b)是f(x)的原函数．令其中选常数C0，使得F(x)在x=c处连续．就下列情形回答F(x)是否是f(x)在(a，b)的原函数．(Ⅰ)f(x)在点x=c处连续；(Ⅱ)点x=c是f(x)的第一类间断点；(Ⅲ)点x=c是f(x)的第二类间断点． 正确答案：(Ⅰ)F′(c)=f(x)=f(c)，因此，F(x)是f(x)在(a，b)的原函数．(Ⅱ)F(x)不是f(x)在(a，b)的原函数，因为在这种情形下f(x)在(a，b)不存在原函数．(Ⅲ)在这种情形下结论与f(x)的表达式有关，需要对问题作具体分析．解析：关键就看是否有F′(c)=f(c)．知识模块：一元函数积分概念、计算及应用 4．设函数f(x)和g(x)在区间[a，b]上连续，在区间(a，b)内可导，且f(a)=g(b)=0，g’(x)＜0，试证明存在ξ∈(a，b)，使=0． 正确答案：令φ(x)=f(x)∫xag(t)dt+g(x)∫axf(t)dt，φ(x)在区间[a，b]上连续，在区间(a，b)内可导，且φ’(x)=[f’(x)∫xbg(t)dt一f(x)g(x)]+[g(x)f(x)+g’(x)∫axf(t)dt] =f’(x)∫xbg(t)dt+g’(x)∫axf(t)dt，因为φ(a)=φ(b)=0，所以由罗尔定理，存在ξ∈(a，b)使φ(ξ)=0，即f’(ξ)∫ξbg(t)dt+g’(ξ)∫aξf(t)dt=0，由于g(b)=0及g’(x)＜0，所以区间(a，b)内必有g(x)＞0，从而就有∫xbg(t)dt＞0，于是有=0．涉及知识点：高等数学 5．设f(x)在[0，3]上连续，在(0，3)内二阶可导，且证明：(1)ξ1，ξ2∈(0，3)，使得f’(ξ1)一f’(ξ2)=0．(2)存在ξ∈(0，3)，使得f”(ξ)一2f’(ξ)=0． 正确答案：涉及知识点：高等数学部分 6．已知α1，α2，α3是齐次线性方程组Aχ＝0的一个基础解系，证明

考研数学一(填空题)模拟试卷99(题后含答案及解析)

考研数学一（填空题）模拟试卷99(题后含答案及解析) 题型有：1. 1．极限 正确答案：2 解析：知识模块：函数、极限、连续 2．若f(x)=在x=0处连续，则a=________． 正确答案：2 解析：，f(0)=a，因为f(x)在x=0处连续，所以1+=a，故a=2．知识模块：高等数学 3．若函数f(x)在x＝1处的导数存在，则极限＝______． 正确答案：9f’(1) 解析：按导数定义，将原式改写成＝f’(1)＋2f’(1)＋6f’(1)＝9f’(1)．知识模块：高等数学 4．设y=ln(1+x2)，则y(n)(0)=_______． 正确答案：0 解析：y为偶函数y(5)(x)为奇函数y(5)(0)=0．知识模块：高等数学 5．由曲线x=a(t－sint)，y=a(1－cost)(0≤t≤2π)(摆线)及x轴围成平面图形的面积S=__________． 正确答案：3πa2 解析：当t∈[0，2π]时，曲线与x轴的交点是x=0，2πa(相应于t=0，2π)，曲线在x轴上方，见图3．25．于是图形的面积知识模块：一元函数积分概念、计算及应用 6．函数y=x+2cosx在区间上的最大值为__________。 正确答案： 解析：令y’=1－2sinx=0，解得把x=0，分别代入函数解析式中得，因此函数在区间上的最大值为知识模块：一元函数微分学 7．设ξ和η是两个相互独立且均服从正态分布N(0，1／2)的随机变量，则E(|ξ-η|)=_______。

正确答案： 解析：若记X=ξ-η，则EX=Eξ-Eη=0，DX=Dξ+Dη=1可得X～N(0，1)．知识模块：概率论与数理统计 8．方程组有非零解，则k＝_______． 正确答案：－1 解析：一个齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是方程组的系数矩阵对应的行列式等于零，即＝12(k＋1)＝0，因此得k＝－1．知识模块：线性方程组 9．设∫a2ln2=π／6，则a=_______． 正确答案：ln2 解析：则arcsine－a／2=π／4，故a=ln2．知识模块：高等数学 10．设两两相互独立的事件A，B和C满足条件：ABC=φ，P(A)=P(B)=P （C）＜1/2，且已知p(A∪B∪C)=9/16，则P(A)=__________. 正确答案：1/4 解析：由于A、B、C两两独立，且P(A)=P(B)=P(C)，所以P(AB)=P(A)P(B)=[P(A)]2 ，P(AC)=[P(A)]2 ，P(BC)=[P(A)]2 ，P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC) =3P(A)-3[P(A)]2 ．依题意，有3P(A)-3[P(A)]2 =9/16，[P(A)]2 -P(A)+3/16=0．解方程，得P(A)=1/4或/3/4. 知识模块：综合 11．=___________。 正确答案： 解析：知识模块：一元函数积分学 12．=___________． 正确答案： 解析：知识模块：高等数学 13．设二维随机变量(X，Y)的概率密度函数为f(x，y)，则随机变量(2X，Y+1)的概率密度函数f1(x，y)=______． 正确答案： 解析：设随机变量(2X，Y+1)的分布函数为F1(x，y)，则知识模块：概率论与数理统计 14．设n(n≥3)阶方阵的秩为n一1，则a=_____．

考研数学一(选择题)高频考点模拟试卷101(题后含答案及解析)

考研数学一（选择题）高频考点模拟试卷101(题后含答案及解析) 题型有：1. 1．设A，B是两个随机事件，且0＜P(A)＜1，P(B)＞0，P(BlA)=P(B|A)，则必有( ) A．P(A|B)=P(A|B)． B．P(A|B)≠P(A|B)． C．P(AB)=P(A)P(B)． D．P(AB)≠P(A)P(B)． 正确答案：C 解析：根据题设条件可知，无论事件A发生与否，事件B发生的概率都相同，即事件A的发生与否不影响事件B发生的概率，因此可以确认A与B是相互独立的，应该选 C．知识模块：概率与数理统计 2．设f(x)是二阶常系数非齐次线性微分方程y”+py’+qy=sin2x+2ex的满足初始条件f(0)=f’(0)=0的特解，则当x→0时，( )． A．不存在 B．等于0 C．等于1 D．其他 正确答案：C 解析：因为f(0)=f’(0)=0，所以f”(0)=2，于是=1，选(C)．知识模块：高等数学 3．设f(x)=3x2+x2｜x｜，则使f(n)(0)存在的最高阶数n= A．0． B．1． C．2． D．3 正确答案：C 解析：实质上就是讨论g(x)=x2｜x｜=时，g(n)(0)的最高阶数n．由于｜x｜在x=0处不可导，因此n=2．选(C)．知识模块：一元函数的导数与微分概念及其计算 4．将长度为1m的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为( ) A．1 B．

C． D．—1 正确答案：D 解析：设两段长度分别为X，Y，显然X+Y=1，即y=—X+1，故两者是线性关系，且是负相关，所以相关系数为—1。知识模块：概率论与数理统计 5．设函数f(x)连续，F(x)=f(t)dt，则F’(x)=_______ A．f(x2)一f(e-x)． B．f(x2)+f(e-x)． C．2xf(x2)一e-xf(e-x)． D．2xf(x2)+e-xf(e-x)． 正确答案：D 涉及知识点：高等数学 6．设f(x)为二阶可导的奇函数，且x＜0时有f”(x)＞0，f’(x)＜0，则当x ＞0时有( )． A．f”(x)＜0，f’(x)＜0 B．f”(x)＞0，f’(x)＞0 C．f”(x)＞0，f’(x)＜0 D．f”(x)＜0，f’(x)＞0 正确答案：A 解析：因为f(x)为二阶可导的奇函数，所以f(一x)=一f(x)，f’(一x)=f’(x)，f｜(一x)=一f”(x)，即f’(x)为偶函数，f”(x)为奇函数，故由x＜0时有f”(x)＞0，f’(x)＜0，得当x＞0时有f”(x)＜0，f’(x)＜0，选(A)．知识模块：高等数学7．设f(x)=f(-x)，且在(0，+∞)内二阶可导，又f’(x)＞0，f’’(x)＜0，则f(x)在(-∞，0)内的单调性和图形的凹凸性是( ) A．单调增，凸 B．单调减，凸 C．单调增，凹 D．单调减，凹 正确答案：B 解析：当x＞0时，由f’(x)＞0可知f(x)在(0，+∞)内单调增；由f’’(x)＜0可知f(x)在(0，+∞)内为凸曲线．由f(x)=f(-x)可知f(x)关于y轴对称，则f(x)在(-∞，0)内单调减，为凸曲线，选(B)．知识模块：一元函数微分学 8．设向量组I：α1，α2，...,αr可由向量组Ⅱ：β1，β2，...,βs线性表示，则 A．当r<s时，向量组Ⅱ必线性相关． B．当r>s时，向量组Ⅱ必线性相关． C．当r<s时，向量组I必线性相关．

考研数学一(二次型)模拟试卷6(题后含答案及解析)

考研数学一（二次型）模拟试卷6(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题 选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。 1．二次型f(x1，x2，x3)=x12+5x22+x32—4x1x2+2x2x3的标准形可以是( ) A．y12+4y22 B．y12—6y22+2y32。 C．y12—y22 D．y12+4y22+y32 正确答案：A 解析：用配方法，有f=x12—4x1x2+4x22+x22+2x2x3+x32=(x1—2x2)2+(x2+x3)2，可见二次型的正惯性指数p=2，负惯性指数q=0，故选A。知识模块：二次型 2．下列矩阵中A与B合同的是( ) A．  B．  C．  D．  正确答案：C 解析：合同的定义CTAC=B，矩阵C可逆。合同的必要条件是r(A)=r(B)且行列式｜A｜与｜B｜同号。A，B合同的充要条件是A与B的正、负惯性指数相同；A与B的正、负特征值的个数相同。A选项的矩阵秩不相等。B选项中行列式正、负号不同，故排除。C选项中矩阵A的特征值为1，2，0，而矩阵B的特征值为1，3，0，所以二次型xTAx与xTBx有相同的正、负惯性指数，因此A和B合同。而D选项中，A的特征值为1，±2，B的特征值为—1，—2，—2，因此xTAx与xTBx正、负惯性指数不同，即不合同，故选C。知识模块：二次型 3．设A，B均为n阶实对称矩阵，若A与B合同，则( ) A．A与B有相同的秩。 B．A与B有相同的特征值。 C．A与B有相同的特征向量。 D．A与B有相同的行列式。 正确答案：A 解析：合同的矩阵也等价，必有相同的秩，故选A。知识模块：二次型

考研数学一(填空题)模拟试卷62(题后含答案及解析)

考研数学一（填空题）模拟试卷62(题后含答案及解析) 题型有：1. 1．已知f(x)=sinx,f[φ(x)]=1－x2，则φ(x)的定义域为_______________。 正确答案： 解析：因为f[φ(x)]=sinφ(x)=1－x2，所以φ(x)=arcsin(1－x2)，则有－1≤1－x2≤1，故知识模块：函数、极限、连续 2．=________． 正确答案： 解析：知识模块：高等数学 3．设4阶方阵则A的逆阵A—1=________． 正确答案： 解析：记矩阵为一分块对角矩阵，由分块对角矩阵求逆矩阵的方法，得知识模块：线性代数 4．设y=f且f′(x)=arctanx2，则=____________． 正确答案： 解析：y=f(u)，u=，u｜x=0=－1．知识模块：一元函数的导数与微分概念及其计算 5．从R2的基α1＝，α2＝到基β1＝，β2＝的过渡矩阵为_______． 正确答案： 解析：根据定义，从R2的基α1＝，α2＝到基β1＝，β2＝的过渡矩阵为知识模块：向量 6．设二维随机变量(X，Y)的分布列为(如表)，其中α，β未知，但已知E(Y)=5／3，则α=_______，β=_______，E(X)=_______，E(XY)=_______． 正确答案：2／9；1／9；5／3；25／9 解析：知识模块：概率论与数理统计 7．设随机变量X和Y的数学期望分别为-2和2，方差分别为1和4，而相关系数为-0．5，则根据切比雪夫不等式P{丨X+Y丨≥6}≤___________.

正确答案：1/12 解析：P{丨X+Y丨≥6}≤3/62=1/12 知识模块：综合 8．=_________． 正确答案： 解析：知识模块：一元函数积分学 9．将一枚骰子重复掷n次，则当n→∞时，n次掷出点数的算术平均值依概率收敛于______. 正确答案：7/2 解析：设X1，X2，…，Xn是各次掷出的点数，它们显然独立同分布，每次掷出点数的数学期望EX=21／6=7／2．因此，根据辛钦大数定律，依概率收敛于7／2．知识模块：概率论与数理统计 10．=_________． 正确答案：＋C 解析：知识模块：高等数学 11．设∑为平面y＋z＝5被柱面x2＋y2＝25所截得的部分，则曲面积分I ＝(x＋y＋z)dS＝______． 正确答案： 解析：用∑的方程简化被积表达式得其中xdS＝0，因为∑关于yz平面对称，被积函数x对z为奇函数．∑的一个单位法向量n＝(cosα，cosβ，cosγ)＝(0，1，1)，∑的面积＝．因此I＝5·∑的面积＝125π．知识模块：高等数学 12．设L是平面上从圆周x2＋y2＝a2上一点到圆周x2＋y2＝b2上一点的一条光滑曲线(a＞0，b＜0)，r＝，则I＝r3(xdx＋ydy)＝______． 正确答案： 解析：r3(xdx＋ydy)＝r3d(x2＋y2)＝r3dr2＝r4dr＝d，知识模块：高等数学 13． 正确答案：3e 解析：令S(x)=xn(－∞＜x＜+∞)，=xn+(x+1)ex=(x2+x+1)ex于是=S(1)=3e．知识模块：高等数学 14．计算∫01dxdy=________． 正确答案：1一sin1

考研数学一(解答题)模拟试卷22(题后含答案及解析)

考研数学一（解答题）模拟试卷22(题后含答案及解析) 题型有：1. 1．设随机变量X的绝对值不大于1，P(X=-1)=1／8，P(X=1)=1／4，在{=1＜X＜1}出现的条件下，X在区间(-1，1)内的任一子区间上取值的条件概率与该子区间的长度成正比，求X的分布函数F(x)． 正确答案：F(x)=P(X≤x)，由已知得：x＜-1时，F(x)=0；x≥1时，F(x)=1；F(-1)=P(X≤-1)=P(x=-1)=1／8，当-1＜x＜1时，有P{-1≤X≤x|-1＜X＜1}=k(x+1)，而P(-1＜X＜1)=5／8，可化得P(-1＜X≤x)=k’(x+1)，其中k’=5／8k(待定)，故P(x≤x)=P(-1X≤x)=P(X=-1)+P(-1＜X≤x)=+k’(x+1)，又由1／4=P(X=1)=F(1)-F(1-0)=1-(+2k’)，得k’=5／16，即-1＜x＜1时，F(x)= 涉及知识点：概率论与数理统计 2．设函数f(χ)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(1)＝0，求证：至少存在一点ξ∈(0，1)，使得(2ξ＋1)f(ξ)＋ξf′(ξ)＝0． 正确答案：令F(χ)＝χe2χf(χ)，则由题设知F(χ)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且F(0)＝0，F(1)＝e2f(1)＝0，即F(χ)在[0，1]上满足罗尔定理的全部条件，故至少存在一点ξ∈(0，1)，使F′(ξ)＝(e2ξ＋2ξe2ξ)f(ξ)＋ξe2ξf′(ξ)＝e2ξ[(2ξ＋1)f(ξ)＋ξf′(ξ)]＝0，从而(2ξ＋1)f(ξ)＋f′(ξ)＝0．涉及知识点：高等数学 3．设A=已知线性方程组Ax=b存在2个不同的解．(I)求λ，a；(Ⅱ)求方程组Ax=b的通解． 正确答案：(I)因为A为方阵且方程组Ax=b的解不唯一，所以必有｜A｜=0，而｜A｜=(λ一1)2(λ+1)，于是λ=1或λ=一1．当λ=1时，因为r(A)≠r[A|b]，所以Ax=b无解(亦可由此时方程组的第2个方程为矛盾方程知Ax=b无解)，故舍去λ=1．当λ=一1时，对Ax=b的增广矩阵施以初等行变换因为Ax=b有解，所以a=一2．(Ⅱ)当λ=一1、a=一2时， 解析：本题主要考查非齐次线性方程组解的判定及通解的求法．本题(I)也可利用“Ax=b有2个不同解η1，η2，故对应齐次线性方程组Ax=0有非零解η1，η2”，从而也可推出｜A｜=0．知识模块：线性代数 4．随机变量X可能取的值为-1，0，1．且知EX=0．1，EX2=0．9，求X 的分布列． 正确答案：由题意，X的分布列可设为：且知：a+b+c=1，0．1=EX=-a+c，0．9=E(X2)=(-1)2．a+12．c=a+c．可解得a=0．4，b=0．1，c=0．5，代回分布列表达式即可．涉及知识点：概率论与数理统计