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(完整版)乘法公式的灵活运用

乘法公式的灵活运用

一、复习:

(a+b)(a-b)=a 2

-b 2

(a+b)2

=a 2

+2ab+b 2

(a-b)2

=a 2

-2ab+b 2

(a+b)(a 2

-ab+b 2

)=a 3

+b 3

(a-b)(a 2

+ab+b 2

)=a 3

－b 3

归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式： ① 位置变化，(x +y )(-y +x )=x 2

-y 2

② 符号变化，(-x +y )(-x -y )=(-x )2

-y 2

= x 2

-y 2

③ 指数变化，(x 2

+y 2

)(x 2

-y 2

)=x 4

-y 4 ④ 系数变化，(2a +b )(2a -b )=4a 2

-b 2

⑤ 换式变化，[xy +(z +m )][xy -(z +m )]

=(xy )2

-(z +m )2

=x 2y 2-(z +m )(z +m ) =x 2y 2

-(z 2

+zm +zm +m 2

) =x 2y 2

-z 2

-2zm -m 2

⑥ 增项变化，(x -y +z )(x -y -z )

=(x -y )2

-z 2

=(x -y )(x -y )-z 2

=x 2

-xy -xy +y 2

-z 2 =x 2

-2xy +y 2

-z 2

⑦ 连用公式变化，(x +y )(x -y )(x 2

+y 2

)

=(x 2

-y 2

)(x 2

+y 2) =x 4

-y 4

⑧ 逆用公式变化，(x -y +z )2

-(x +y -z )2

=[(x -y +z )+(x +y -z )][(x -y +z )-(x +y -z )] =2x (-2y +2z ) =-4xy +4xz

例1．已知2=+b a ，1=ab ，求22b a +的值。解：∵=+2)(b a 222b ab a ++ ∴2

2b a +=ab b a 2)(2-+

∵2=+b a ，1=ab ∴22b a +=21222

=?-

例2．已知8=+b a ，2=ab ，求2)(b a -的值。解：∵=+2)(b a 222b ab a ++ =-2)(b a 2

22b ab a +-

∴-+2)(b a =-2)(b a ab 4 ∴-+2)(b a ab 4=2

)(b a -

∵8=+b a ，2=ab ∴=-2)(b a 562482

=?-

例3：计算19992

-2000×1998

〖解析〗此题中2000=1999+1，1998=1999-1，正好符合平方差公式。解：19992

-2000×1998 =19992

-（1999+1）×（1999-1） =19992

-（19992

-12

）=19992

-19992

+1 =1

例4：已知a+b=2，ab=1，求a 2

+b 2

和(a-b)2

的值。〖解析〗此题可用完全平方公式的变形得解。解：a 2

+b 2

=(a+b)2

-2ab=4-2=2 （a-b)2

=(a+b)2

-4ab=4-4=0

例5：已知x-y=2，y-z=2，x+z=14。求x 2

-z 2

的值。

〖解析〗此题若想根据现有条件求出x 、y 、z 的值，比较麻烦，考虑到x 2

-z 2

是由x+z 和x-z 的积得来的，所以只要求出x-z 的值即可。

解：因为x-y=2，y-z=2，将两式相加得x-z=4，所以x 2

-z 2

=（x+z ）(x-z)=14×4=56。

例6：判断（2+1）（22

+1）（24

+1）……（22048

+1）+1的个位数字是几？

〖解析〗此题直接计算是不可能计算出一个数字的答案，故有一定的规律可循。观察到1=（2-1）和上式可构

成循环平方差。

解：（2+1）（22

+1）（24

+1）……（2

2048

+1）+1 =（2-1）（22

+1）（24

+1）……（22048

+1）+1

=24096

=161024 因为当一个数的个位数字是6的时候，这个数的任意正整数幂的个位数字都是6，所以上式的个位数字必为6。

例7．运用公式简便计算

（1）1032

（2）1982

解：（1）1032=(100+3)2 =1002+2?100?3+32

=10000+600+9 =10609 （2）1982

=(200-2)2

=2002

-2?200?2+22

=40000-800+4 =39204

例8．计算

（1）(a +4b -3c )(a -4b -3c ) （2）(3x +y -2)(3x -y +2)

解：（1）原式=[(a -3c )+4b ][(a -3c )-4b ]=(a -3c )2

-(4b )2

=a 2

-6ac +9c 2

-16b 2

（2）原式=[3x +(y -2)][3x -(y -2)]=9x 2

-( y 2

-4y +4)=9x 2

-y 2

+4y -4

例9．解下列各式

（1）已知a 2

+b 2

=13，ab =6，求(a +b )2

，(a -b )2

的值。（2）已知(a +b )2

=7，(a -b )2

=4，求a 2

+b 2

，ab 的值。

（3）已知a (a -1)-(a 2

-b )=2，求222

a b ab +-的值。

（4）已知13x x -=，求4

41x x

+的值。

分析：在公式(a +b )2=a 2+b 2+2ab 中，如果把a +b ，a 2+b 2

和ab 分别看作是一个整体，则公式中有三个未知数，知道了两个就可以求出第三个。解：（1）∵a 2

+b 2

=13，ab =6

∴(a +b )2

=a 2

+b 2

+2ab =13+2?6=25 (a -b )2

=a 2

+b 2

-2ab =13-2?6=1 （2）∵(a +b )2

=7，(a -b )2

∴ a 2

+2ab +b 2

=7 ① a 2

-2ab +b 2

=4 ② ①+②得 2(a 2

+b 2

)=11，即22

a b +=

①-②得 4ab =3，即34

ab =

（3）由a (a -1)-(a 2

-b )=2 得a -b =-2

()22221222a b ab a b ab +∴-=+-()()22

112222

a b =-=?-=

（4）由13x x -=，得19x x 2

?-= ??

? 即22129x x +-= 22111x x ∴+=

221121x x 2

∴+= ??

? 即4412121x x ++= 441119x x +=

例10．四个连续自然数的乘积加上1，一定是平方数吗？为什么？分析：由于1?2?3?4+1=25=52

2?3?4?5+1=121=112

3?4?5?6+1=361=192

…… 得猜想：任意四个连续自然数的乘积加上1，都是平方数。解：设n ，n +1，n +2，n +3是四个连续自然数

则n (n +1)(n +2)(n +3)+1 =[n (n +3)][(n +1)(n +2)]+1 =(n 2

+3n )2

+2(n 2

+3n )+1

=(n 2

+3n )(n 2

+3n +2)+1 =(n 2

+3n +1)2

∵n 是整数，∴ n 2

，3n 都是整数 ∴ n 2

+3n +1一定是整数

∴(n 2

+3n +1)是一个平方数 ∴四个连续整数的积与1的和必是一个完全平方数。

例11．计算（1）(x 2

-x +1)2

（2）(3m +n -p )2

解：（1）(x 2

-x +1)2

=(x 2)2

+(-x )2

+12

+2? x 2

?(-x )+2?x 2

?1+2?(-x )?1=x 4

+x 2

+1-2x 3

+2x 2

-2x

=x 4

-2x 3

+3x 2

-2x +1

（2）(3m +n -p )2

=(3m )2

+n 2

+(-p )2

+2?3m ?n +2?3m ?(-p )+2?n ?(-p )=9m 2

+n 2

+p 2

+6mn -6mp -2np 分析：两数和的平方的推广

(a +b +c )2

=[(a +b )+c ]2

=(a +b )2

+2(a +b )?c +c 2

=a 2

+2ab +b 2

+2ac +2bc +c 2

=a 2

+b 2

+c 2

+2ab +2bc +2ac 即(a +b +c )2

=a 2

+b 2

+c 2

+2ab +2bc +2ac

几个数的和的平方，等于它们的平方和加上每两个数的积的2倍。

二、乘法公式的用法

(一)、套用:这是最初的公式运用阶段，在这个环节中，应弄清乘法公式的来龙去脉，准确地掌握其特征，为辨认和运用公式打下基础，同时能提高学生的观察能力。

例1. 计算：

()()53532

+- 解：原式()()

=-=-5325922

44x y x y

(二)、连用:连续使用同一公式或连用两个以上公式解题。例2. 计算：()()()()111124-+++a a a a

解：原式()()()=

-++1112

a a a

()()=-+=-1114

a a a

例3. 计算：()()32513251x y z x y z +-+-+--

解：原式()()[]()()[]=

-++--+25312531y z x y z x

4 ()()

=--+=-+---253149252061

y z x y x z yz x

三、逆用:学习公式不能只会正向运用，有时还需要将公式左、右两边交换位置，得出公式的逆向形式，并运用其解决问题。

例4. 计算：()()57857822a b c a b c +---+

解：原式()()[]()()[]=

+-+-++---+578578578578a b c a b c a b c a b c

()=-=-101416140160a b c ab ac

四、变用: 题目变形后运用公式解题。例5. 计算：()()x y z x y z +-++26

解：原式()[]()[]=

++-+++x y z z x y z z 2424

()()

=++-=+-+++x y z z x y z xy xz yz

24122442

五、活用: 把公式本身适当变形后再用于解题。这里以完全平方公式为例，经过变形或重新组合，可得如下几个比较有用的派生公式：

()()()()(

)

()()122232442

222

....a b ab a b a b ab a b a b a b a b

a b a b ab

+-=+-+=+++-=++--=

灵活运用这些公式，往往可以处理一些特殊的计算问题，培养综合运用知识的能力。例6. 已知a b ab -==45，，求a b 22+的值。

解：()a b a b ab 2

2242526+=-+=+?=

例7. 计算：()()a b c d b c d a ++-+++-22

解：原式()()[]()()[]

++-++--b c a d b c a d 2

()()

[]

=++-=++++-22222442

2222b c a d a b c d bc ad

例8. 已知实数x 、y 、z 满足x

y z xy y +==+-592，，那么x y z ++=23（）

解：由两个完全平方公式得：()()[]

ab a b a b =

+--1

从而 ()[]

x y y 2

59=

--+- ()()

()

--+-=-+-=--+=--25414

529696932

222

y y y y y y y ()∴∴，∴∴z y z y x x y z 22

30032

2322308

+-====++=+?+=

三、学习乘法公式应注意的问题

（一）、注意掌握公式的特征，认清公式中的“两数”．例1 计算(-2x 2

-5)(2x 2

-5)

分析：本题两个因式中“-5”相同，“2x 2

”符号相反，因而“-5”是公式(a +b )(a -b )=a 2

-b 2

中的a ，而“2x 2

”则是公式中的b ．

解：原式=(-5-2x 2

)(-5+2x 2

)=(-5)2

-(2x 2)2

=25-4x 4

．

例2 计算(-a 2

+4b )2

分析：运用公式(a +b )2

=a 2

+2ab +b 2

时，“-a 2

”就是公式中的a ，“4b ”就是公式中的b ；若将题目变形为(4b -a 2)2

时，则“4b ”是公式中的a ，而“a 2

”就是公式中的b ．（解略）

（二）、注意为使用公式创造条件例3 计算(2x +y -z +5)(2x -y +z +5)．

分析：粗看不能运用公式计算，但注意观察，两个因式中的“2x ”、“5”两项同号，“y ”、“z ”两项异号，因而，可运用添括号的技巧使原式变形为符合平方差公式的形式．解：原式=〔(2x +5)+(y -z )〕〔(2x +5)-(y -z )〕 =(2x +5)2

-(y -z )2

=4x 2

+20x +25-y +2yz -z 2

．

例4 计算(a -1)2

(a 2

+a +1)2

(a 6

+a 3

+1)2

分析：若先用完全平方公式展开，运算十分繁冗，但注意逆用幂的运算法则，则可利用乘法公式，使运算简便．解：原式=[(a -1)(a 2

+a +1)(a 6

+a 3

+1)]2

=[(a 3

-1)(a 6

+a 3

+1)]2

=(a 9

-1)2

=a 18

-2a 9

例5 计算(2+1)(22

+1)(24

+1)(28

+1)．

分析：此题乍看无公式可用，“硬乘”太繁，但若添上一项（2-1），则可运用公式，使问题化繁为简．解：原式=(2-1)(2+1)(22

+1)(24

+1)(28

+1)

=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)

=(24-1)(24+1)(28+1)

=（28-1）（28+1）

=216-1

（三）、注意公式的推广

计算多项式的平方，由(a+b)2=a2+2ab+b2，可推广得到：(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．可叙述为：多项式的平方，等于各项的平方和，加上每两项乘积的2倍．

例6 计算(2x+y-3)2

解：原式=(2x)2+y2+(-3)2+2·2x·y+2·2x(-3)+2·y(-3)

=4x2+y2+9+4xy-12x-6y．

（四）、注意公式的变换，灵活运用变形公式

例7 (1)已知x+y=10，x3+y3=100，求x2+y2的值；

(2)已知：x+2y=7，xy=6，求(x-2y)2的值．

分析：粗看似乎无从下手，但注意到乘法公式的下列变形：x2+y2=(x+y)2-2xy，x3+y3=(x+y)3-3xy(x+y)，

(x+y)2-(x-y)2=4xy，问题则十分简单．

解：(1)∵x3+y3=(x+y)3-3xy(x+y)，将已知条件代入得100=103-3xy·10，

∴xy=30 故x2+y2=(x+y)2-2xy=102-2×30=40．

(2)(x-2y)2=(x+2y)2-8xy=72-8×6=1．

例8 计算(a+b+c)2+(a+b-c)2+(a-b+c)+(b-a+c)2．

分析：直接展开，运算较繁，但注意到由和及差的完全平方公式可变换出(a+b)2+(a-b)2=2(a2+b2)，因而问题容易解决．

解：原式=[(a+b)+c]2+[(a+b)-c]2+[c+(a-b)]2+[c-(a-b)]2

=2[(a+b)2+c2]+2[c2+(a-b)2]

=2[(a+b)2+(a-b)2]+4c2

=4a2+4b2+4c2

（五）、注意乘法公式的逆运用

例9 计算(a-2b+3c)2-(a+2b-3c)2．

分析：若按完全平方公式展开，再相减，运算繁杂，但逆用平方差公式，则能使运算简便得多．

解：原式=[(a-2b+3c)+(a+2b-3c)][(a-2b+3c)-(a+2b-3c)]

=2a(-4b+6c)=-8ab+12ac．

例10 计算(2a+3b)2-2(2a+3b)(5b-4a)+(4a-5b)2

分析：此题可以利用乘法公式和多项式的乘法展开后计算，但逆用完全平方公式，则运算更为简便．

解：原式=(2a+3b)2+2(2a+3b)(4a-5b)+(4a-5b)2

=[(2a+3b)+(4a-5b)]2

=(6a-2b)2=36a2-24ab+4b2．

四、怎样熟练运用公式：

（一）、明确公式的结构特征

这是正确运用公式的前提，如平方差公式的结构特征是：符号左边是两个二项式相乘，且在这四项中有两项完全相同，另两项是互为相反数；等号右边是乘式中两项的平方差，且是相同项的平方减去相反项的平方．明确了公式的结构特征就能在各种情况下正确运用公式．

（二）、理解字母的广泛含义

乘法公式中的字母a 、b 可以是具体的数，也可以是单项式或多项式．理解了字母含义的广泛性，就能在更广泛的范围内正确运用公式．如计算（x +2y －3z ）2

，若视x +2y 为公式中的a ，3z 为b ，则就可用（a －b ）2

=a 2

－2ab +b 2

来解了。

（三）、熟悉常见的几种变化

有些题目往往与公式的标准形式不相一致或不能直接用公式计算，此时要根据公式特征，合理调整变化，使其满足公式特点．

常见的几种变化是：

1、位置变化如（3x +5y ）（5y －3x ）交换3x 和5y 的位置后即可用平方差公式计算了．

2、符号变化如（－2m －7n ）（2m －7n ）变为－（2m +7n ）（2m －7n ）后就可用平方差公式求解了（思考：不变或不这样变，可以吗？）

3、数字变化如98×102，992

，912

等分别变为（100－2）（100+2），（100－1）2

，（90+1）2

后就能够用乘法公式加以解答了．

4、系数变化如（4m +

2n ）（2m －4n ）变为2（2m +4n ）（2m －4

）后即可用平方差公式进行计算了． 5、项数变化如（x +3y +2z ）（x －3y +6z ）变为（x +3y +4z －2z ）（x －3y +4z +2z ）后再适当分组就可以用乘法公式来解了．

（四）、注意公式的灵活运用

有些题目往往可用不同的公式来解，此时要选择最恰当的公式以使计算更简便．如计算（a 2

+1）2

·（a 2

－1）2

，若分别展开后再相乘，则比较繁琐，若逆用积的乘方法则后再进一步计算，则非常简便．即原式=[（a 2

+1）（a 2

－1）]2

=（a 4

－1）2

=a 8

－2a 4

+1．

对数学公式只会顺向（从左到右）运用是远远不够的，还要注意逆向（从右到左）运用．如计算（1－2

）（1－

31）（1－241）…（1－29

）（1－2101），若分别算出各因式的值后再行相乘，不仅计算繁难，而且容易出错．若注意到各因式均为平方差的形式而逆用平方差公式，则可巧解本题．

即原式=（1－21）（1+21）（1－31）（1+31）×…×（1－101）（1+101

）=21×23×32×34×…×109×10

=21×1011=20

11．有时有些问题不能直接用乘法公式解决，而要用到乘法公式的变式，乘法公式的变式主要有：a 2

+b 2

=（a +b ）2

－2ab ，a 2

+b 2

=（a －b ）2

+2ab 等．

用这些变式解有关问题常能收到事半功倍之效．如已知m +n =7，mn =－18，求m 2

+n 2

，m 2

－mn + n 2

的值．面对这样的问题就可用上述变式来解，

即m 2

+n 2

=（m +n ）2

－2mn =72

－2×（－18）=49+36=85，

m 2－mn + n 2= （m +n ）2－3mn =72－3×（－18）=103．

下列各题，难不倒你吧？！

1、若a +a 1=5，求（1）a 2

+21a

，（2）（a －a 1）2的值．

2、求（2+1）（22

+1）（24

+1）（28

+1）（216

+1）（232

+1）（264

+1）+1的末位数字．（答案：1.（1）23；（2）21．2. 6 ）

五、乘法公式应用的五个层次

乘法公式：(a＋b)(a－b)=a2－b2，(a±b)=a2±2ab＋b2，

(a±b)(a2±ab＋b2)=a3±b3．

第一层次──正用

即根据所求式的特征，模仿公式进行直接、简单的套用．

例1计算

(2)(－2x－y)(2x－y)．

(2)原式=[(－y)－2x][(－y)＋2x]=y2－4x2．

第二层次──逆用，即将这些公式反过来进行逆向使用．

例2计算

(1)19982－1998·3994＋19972；

解(1)原式=19982－2·1998·1997＋19972 =(1998－1997)2

第三层次──活用：根据待求式的结构特征，探寻规律，连续反复使用乘法公式；有时根据需要创造条件，灵活应用公式．

例3化简：(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1．

分析直接计算繁琐易错，注意到这四个因式很有规律，如果再增添一个因式“2－1”便可连续应用平方差公式，从而问题迎刃而解．

解原式=(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1

=(22－1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1=216．

例4计算：(2x－3y－1)(－2x－3y＋5)

分析仔细观察，易见两个因式的字母部分与平方差公式相近，但常数不符．于是可创造条件─“拆”数：－1=2

－3，5=2＋3，使用公式巧解．

解原式=(2x－3y－3＋2)(－2x－3y＋3＋2)

=[(2－3y)＋(2x－3)][(2－3y)－(2x－3)]

=(2－3y)2－(2x－3)2=9y2－4x2＋12x－12y－5．

第四层次──变用：解某些问题时，若能熟练地掌握乘法公式的一些恒等变形式，如a2＋b2=(a＋b)2－2ab，a3＋b3=(a＋b)3－3ab(a＋b)等，则求解十分简单、明快．

例5已知a＋b=9，ab=14，求2a2＋2b2和a3＋b3的值．

解：∵a＋b=9，ab=14，∴2a2＋2b2=2[(a＋b)2－2ab]=2(92－2·14)=106，

a3＋b3=(a＋b)3－3ab(a＋b)=93－3·14·9=351

第五层次──综合后用：将(a＋b)2=a2＋2ab＋b2和(a－b)2=a2－2ab＋b2综合，

可得 (a＋b)2＋(a－b)2=2(a2＋b2)；(a＋b)2－(a－b)2=4ab；

等，合理地利用这些公式处理某些问题显得新颖、简捷．

例6计算：(2x＋y－z＋5)(2x－y＋z＋5)．

解：原式=1

[(2x+y-z+5)+(2x-y+z+5)]2-

[(2x+y-z+5)-(2x-y+z+5)]2

=(2x＋5)2－(y－z)2=4x2＋20x＋25－y2＋2yz－z2

六、正确认识和使用乘法公式

1、数形结合的数学思想认识乘法公式：

对于学习的两种（三个）乘法公式：平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2、完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2；(a-b)2=a2-2ab+b2，可以运用数形结合的数学思想方法来区分它们。假设a、b都是正数，那么可以用以下图形所示意的面积来认识乘法公式。

如图1，两个矩形的面积之和（即阴影部分的面积）为(a+b)(a-b)，通过左右两图的对照，即可得到平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2；图2中的两个图阴影部分面积分别为(a+b)2与(a-b)2，通过面积的计算方法，即可得到两个完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2与(a-b)2=a2-2ab+b2。

2、乘法公式的使用技巧：

①提出负号：对于含负号较多的因式，通常先提出负号，以避免负号多带来的麻烦。例1、运用乘法公式计算：

（1）(-1+3x)(-1-3x)；（2）(-2m-1)2

解：（1）(-1+3x)(-1-3x)=[-(1-3x)][-(1+3x)]=(1-3x)(1+3x)=12

-(3x)2

=1-9x 2

. （2） (-2m-1)2

=[-(2m+1)]2

=(2m+1)2

= 4m 2

+4m+1.

②改变顺序：运用交换律、结合律，调整因式或因式中各项的排列顺序，可以使公式的特征更加明显. 例2、运用乘法公式计算：

（1）(13a-14b )(-14b -a 3 ); （2）(x-1/2)(x 2

+1/4)(x+1/2)

解：（1）(13a-14b )(-14b -a 3 )=(-14b+ 13a )(-14b -1

a )

=(14b- 13a )(14b +13a )=(14b)2- (13a)2 = 116b 2- 19

a 2 (2) (x-1/2)(x 2

+1/4)(x+1/2)= (x-1/2) )(x+1/2)(x 2

+1/4)

=(x 2

-1/4) (x 2

+1/4)= x 2

-1/16.

③逆用公式

将幂的公式或者乘法公式加以逆用，比如逆用平方差公式，得a 2

-b 2

= (a+b)(a-b)，逆用积的乘方公式，得a n b n

=(ab)n

,等等，在解题时常会收到事半功倍的效果。

例3、计算：

（1）(x/2+5)2

-(x/2-5)2

; （2）(a-1/2)2

(a 2

+1/4) 2

(a+1/2)

解：（1）(x/2+5)2

-(x/2-5)2

=[(x/2+5)+(x/2-5)] [(x/2+5)-(x/2-5)]

=(x/2+5+x/2-5)( x/2+5-x/2+5)=x ·10=10x.

（2）(a-1/2)2

(a 2

+1/4) 2

(a+1/2)2

=[(a-1/2)(a 2+1/4) (a+1/2)] 2 =[(a-1/2 ) (a+1/2) (a 2+1/4)] 2

=[(a 2

-1/4

) (a 2

+1/4)] 2

=(a 4

-1/16 )

=a 8-a 4

/8+1/256.

④合理分组：对于只有符号不同的两个三项式相乘，一般先将完全相同的项调到各因式的前面，视为一组；符号相反的项放在后面，视为另一组；再依次用平方差公式与完全平方公式进行计算。

计算：（1）(x+y+1)(1-x-y); （2）(2x+y-z+5)(2x-y+z+5).

解：（1） (x+y+1)(1-x-y)=(1+x+y)(1-x-y)= [1+(x+y)][1-(x+y)]=12

-(x+y)

=1-(x 2

+2xy+y 2

)= 1-x 2

-2xy-y 2

（2）(2x+y-z+5)(2x-y+z+5)=(2x+5+y-z)(2x+5-y+z)

=[ (2x+5)+(y-z)][(2x+5)-(y-z)]

= (2x+5)2

-(y-z)2

=(4x 2

+20x+25)-(y 2

-2yz+z 2

) = 4x 2

+20x+25-y 2

+2yz-z 2

= 4x 2

-y 2

-z 2

+2yz +20x+25 .

七、巧用公式做整式乘法

整式乘法是初中数学的重要内容，是今后学习的基础，应用极为广泛。尤其多项式乘多项式，运算过程复杂，在解答中，要仔细观察，认真分析题目中各多项式的结构特征，将其适当变化，找出规律，用乘法公式将其展开，运算就显得简便易行。

一. 先分组，再用公式例1. 计算：()()a

b c d a b c d -+-----

简析：本题若以多项式乘多项式的方法展开，则显得非常繁杂。通过观察，将整式()a

b c d -+-运用加法交换律和结合律变形为()()--++b d a c ；将另一个整式()----a b c d 变形为()()---+b d a c ，则

从其中找出了特点，从而利用平方差公式即可将其展开。解：原式[]()()[]=--++---+()()b d a c b d a c

=---+=++---()()b d a c b bd d a ac c

二. 先提公因式，再用公式例2. 计算：8244x

y x y +??

???-?? ??

? 简析：通过观察、比较，不难发现，两个多项式中的x 的系数成倍数，y 的系数也成倍数，而且存在相同的倍数关系，若将第一个多项式中各项提公因数2出来，变为244x y +??

?，则可利用乘法公式。解：原式=

? ???-?? ??

?24444x y x y

()=-?? ??????????

?=-

244328

222

2x y x y

三. 先分项，再用公式例3. 计算：

()()232236x y x y ++-+

12 简析：两个多项中似乎没多大联系，但先从相同未知数的系数着手观察，不难发现，x 的系数相同，y 的系数互为相反数，符合乘法公式。进而分析如何将常数进行变化。若将2分解成4与-2的和，将6分解成4与2的和，再分组，则可应用公式展开。解：原式=

[]()()[]()()24232423x y x y +--++-

()=+--=+++-()24234161212922

x y x x y y

四. 先整体展开，再用公式例4. 计算：()()a b a b +-+221

简析：乍看两个多项式无联系，但把第二个整式分成两部分，即[]()a b -+21，再将第一个整式与之相乘，

利用平方差公式即可展开。解：原式[]=+-+()()a b a b 221

=+-++=-++()()()

a b a b a b a b a b

222422

五. 先补项，再用公式

例5. 计算：3313131318

42+++++()()()()

简析：由观察整式()31+，不难发现，若先补上一项()31-，则可满足平方差公式。多次利用平方差公式逐

步展开，使运算变得简便易行。

解：原式=+++++-331313131312

842()()()()()

+++-=+

++-=++-=+

-=+3313131312

33131312

33131233125232

8422844881616()()()()()()()()()

()

六. 先用公式，再展开

例6. 计算：1121131141110

2222-

???-?? ???-?? ???-?? ?

??… 简析：第一个整式1122-?

? ???可表示为11222-?? ?????????

??，由简单的变化，可看出整式符合平方差公式，其它因

式类似变化，进一步变换成分数的积，化简即可。

解：原式=+?? ???-?? ???+?? ???-?? ???+?? ???-?? ???+?? ???-?? ???11211211311311411411101110… =???????=32124323543411109101120

…

七. 乘法公式交替用例7. 计算：()()()()x

z x xz z x z x xz z +-+-++222222

简析：利用乘法交换律，把第一个整式和第四个整式结合在一起，把第二个整式与第三个整式结合，则可利用乘法公式展开。

解：原式[][]=

+++-+-()()()()

x z x xz z x xz z

x z 2

[][]=++--()()()()x z x z x z x z 2

[]=+-=+-=-=-+-()()()()()

x z x z x z x z x z x x z x z z 33

642246

八、中考与乘法公式 1. 结论开放

例1. （02年济南中考）请你观察图1中的图形，依据图形面积的关系，不需要添加辅助线，便可得到一个你非常熟悉的公式，这个公式是______________。

分析：利用面积公式即可列出()()x y x y x y +-=-22

或()()x

y x y x y 2

2-=+-或()x y x xy y -=-+2

222

在上述公式中任意选一个即可。

例2. （03年陕西中考）

如图2，在长为a 的正方形中挖掉一个边长为b 的小正方形（a

b >）

，把余下的部分剪成一个矩形，如图3，通过计算两个图形的面积，验证了一个等式，则这个等式是______________。

分析：利用面积公式即可列出

()()a b a b a b +-=-22或()()a b a b a b 22-=+-

14 2. 条件开放

例3. （03年四川中考）多项式912

+加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方，则加上

的单项式可以是____________（填上你认为正确的一个即可，不必考虑所有的可能情况）。

分析：解答时，可能习惯于按课本上的完全平方公式，得出

()

9163122

x x x ++=+ 或()

916312

x x +-=-只要再动点脑筋，还会得出

()

9181492191132422

x x x x x ++=+?? ?

+-=

9191222x x +-= 故所加的单项式可以是±6x ，或

814

x ，或-1，或-92x 等。 3. 找规律

例4. （01年武汉中考）观察下列各式：

()()()()()()x x x x x x x x x x x x -+=--++=--+++=-111

111111

223324……

由猜想到的规律可得

()()x x x x x n n n -+++++=--1112…____________。

分析：由已知等式观察可知 ()()x x x x x x n n n n -+++++=---+111121…

4. 推导新公式例

5. 在公式

()a a a +=++1212

2中，当a 分别取1，2，3，……，n 时，可得下列n 个等式

()()()()111211212221

313231

121

2222222

2+=+?++=+?++=+?++=++…

…

n n n

将这n 个等式的左右两边分别相加，可推导出求和公式：

123++++=…n __________（用含n 的代数式表示）

分析：观察已知等式可知，后一个等式的右边第一项等于前一个等式的左边，将已知等式左右两边分别相加，得：

()n n n +=+?+?++?+11212222

2… 移项，整理得：

()1231

1++++=

+…n n n

乘法公式—— 平方差公式

乘法分式 ——平方差公式一、内容及内容解析《平方差公式》是人教版新教材八年级上册第十五章第二节的内容，本节内容只需一课时完成，主要内容是平方差公式的推导及使用。平方差公式是学生在已经学习了多项式乘法的基础上，再次应用乘法公式对多项式乘法实行简便运算的知识。平方差公式不但是对乘法公式的进一步补充，它还为后面因式分解学习奠定了基础。所以本节课的教学重点是：平方差公式的推导及应用二、目标和目标解析：目标： 1、经历探索平方差公式的全过程 2、能使用公式实行简单的运算 3、在探索平方公式的过程中，培养学生观察、归纳、概括的水平。目标解析：（1）学生通过对几道特殊的多项式乘法的观察、计算、猜想、验证，归纳出平方差公式。（2）通过图形让学生找出平方差公式与面积之间的内在联系，进而感受到数与形的统一。（3）通过剖析平方差公式的结构和分类练习，让学生熟练掌握平方差公式。

三、教学问题诊断分析学生刚学过多项式乘法已有一定基础，但本节课是特殊形式的多项式相乘，主要体现在结构特殊性上，而这种特殊形式又灵活多样，学生常常在字母表示的广泛含义上不易掌握，在乘法公式的灵活使用时常发生多种错误，常见的错误有：①学生难于跳出原有的定式思维；②符号错误；③混淆公式；④变式应用难以掌握。所以，本节课的难点定为：理解平方差公式的结构特征，并能灵活使用平方差公式。鉴于此，本节的教学难点是：揭示平方差公式的结构特征和公式的灵活使用。四教学支持条件：利用多媒体展示教学的部分环节五、教学过程分析教学流程图：创设情境、导入新课自主探索、获取新知应用新知、形成技能变式训练、巩固提升总结归纳、上升理性即时反馈、查漏补缺教学情景：（一）创设情景，导入新课王力同学去商店买了单价是9.8元/千克的糖10.2千克，售货员刚拿

8.5.2乘法公式(完全平方公式)

乘法公式（完全平方公式）问题1：计算下列多项式的积，你能发现什么规律？ 2222(1)(p 1)(1)(p 1)________________; (2)(m 2)___________________; (3)(1)(1)(1)_______________; (4)(2)____________________.p p p p m +=++=+=-=--=-= 上面几个运算都是形如2()a b ±的多项式相乘，则可得： 2()()()____________________________;a b a b a b +=++== 2()()()____________________________;a b a b a b -=--== 问题2 你能用式子表示发现的规律吗？完全平方公式：________________________ ________________________ 问题3 你能用文字语言表述完全平方公式吗？两个数的和（或差）的________，等于它们的________，加上（或减去）它们的__________。这两个公式叫做完全平方公式。【归纳总结】完全平方公式特点：左边：两个数的_____（或_____）的______; 右边：①是____次______项式； ②有两项为两数的________; ③中间项是两数积的_____倍，且与左边乘式中间的符号____； ④公式中的字母a ，b 可以表示数，单项式和多项式. 【巩固练习】练习下面各式的计算是否正确？如果不正确，应当怎样改正？（1）222();x y x y +=+ （2）222();x y x y -=- （3）222()2;x y x xy y -=++ （4）222();x y x xy y +=++

整式的乘法、平方差公式、完全平方公式、整式的除法

整式的乘法、平方差公式、完全平方公式、整式的除法一、请准确填空 1、若a 2+b 2－2a+2b+2=0,则a 2004+b 2005=________. 2、一个长方形的长为(2a+3b),宽为(2a －3b),则长方形的面积为________. 3、5－(a －b)2的最大值是____，当5－(a －b)2取最大值时，a 与b 的关系是___. 4.要使式子0.36x 2+41 y 2成为一个完全平方式，则应加上________. 5.(4a m+1－6a m )÷2a m －1=________. 6.29×31×(302+1)=________. 7.已知x 2－5x+1=0,则x 2+21 x =________. 8.已知(2005－a)(2003－a)=1000,请你猜想(2005－a)2+(2003－a)2=________. 二、相信你的选择 9.若x 2－x －m=(x －m)(x+1)且x ≠0,则m 等于A.－1 B.0 C.1 D.2 10.(x+q)与(x+51)的积不含x 的一次项，猜测q 应是A.5 B.51 C.－51 D.－5 11.下列四个算式:①4x 2y 4÷41 xy=xy 3;②16a 6b 4c ÷8a 3b 2=2a 2b 2c;③9x 8y 2÷3x 3y=3x 5y; ④(12m 3+8m 2－4m)÷(－2m)=－6m 2+4m+2，其中正确的有 A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 12.设(x m －1y n+2)·(x 5m y －2)=x 5y 3,则m n 的值为A.1 B.－1 C.3 D.－3 13.计算［(a 2－b 2)(a 2+b 2)］2等于 A.a 4－2a 2b 2+b 4 B.a 6+2a 4b 4+b 6 C.a 6－2a 4b 4+b 6 D.a 8－2a 4b 4+b 8 14.已知(a+b)2=11,ab=2,则(a －b)2的值是A.11 B.3 C.5 D.19 15.若x 2－7xy+M 是一完全平方式，那么M 是 A.27y 2 B.249y 2 C.449 y 2 D.49y 2

完全平方公式变形的应用

乘法公式的拓展及常见题型整理一．公式拓展：拓展一：ab b a b a 2)(222-+=+ ab b a b a 2)(222+-=+ 2)1(1222-+=+a a a a 2)1(1222+-=+a a a a 拓展二：a b b a b a 4)()(22=--+ ()()222222a b a b a b ++-=+ ab b a b a 4)()(22+-=+ ab b a b a 4)()(22-+=- 拓展三：bc ac ab c b a c b a 222)(2222---++=++ 拓展四：辉三角形 3223333)(b ab b a a b a +++=+ 4322344464)(b ab b a b a a b a ++++=+ 拓展五：立方和与立方差 ))((2233b ab a b a b a +-+=+ ))((2233b ab a b a b a ++-=- 二．常见题型：（一）公式倍比例题：已知b a +=4，求ab b a ++2 2 2。 ⑴如果1,3=-=-c a b a ，那么()()()2 22a c c b b a -+-+-的值是 ⑵1=+y x ，则222 121y xy x ++= ⑶已知xy ２y x ，y x x x -+-=---2222)()1(则 = (二）公式组合例题：已知(a+b)2=7,(a-b)2=3, 求值: (1)a 2+b 2 (2)ab

⑴若()()a b a b -=+=22 713，，则a b 22+=____________，a b =_________ ⑵设（5a ＋3b ）2=（5a －3b ）2＋A ，则A= ⑶若()()x y x y a -=++22，则a 为 ⑷如果2 2)()(y x M y x +=+-，那么M 等于 ⑸已知(a+b)2=m ，(a —b)2=n ，则ab 等于 ⑹若N b a b a ++=-22)32()32(，则N 的代数式是 ⑺已知,3)(,7)(22=-=+b a b a 求ab b a ++22的值为。 ⑻已知实数a,b,c,d 满足53=-=+bc ，ad bd ac ，求) )((2222d c b a ++ （三）整体代入例1：2422=-y x ，6=+y x ，求代数式y x 35+的值。例2：已知a= 201x ＋20，b=201x ＋19，c=20 1x ＋21，求a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ac 的值 ⑴若499,7322=-=-y x y x ，则y x 3+= ⑵若2=+b a ，则b b a 422+-= 若65=+b a ，则b ab a 3052++= ⑶已知a 2＋b 2=6ab 且a ＞b ＞0，求 b a b a -+的值为 ⑷已知20042005+=x a ，20062005+=x b ，20082005+=x c ，则代数式ca bc ab c b a ---++222的值是．

乘法公式活用专题训练

乘法公式的活用一、公式 : (a+b)(a-b)=a 2-b 2 (a+b) 2=a 2+2ab+b 2 (a-b) 2=a 2-2ab+b 2 (a+b)(a 2 -ab+b 2)=a 3+b 3 （a-b ）（a 2+ab+b 2）=a 3－归纳小结公式的变式， ① 位置变化， x y ② 符号变化， x y ③ 指数变化， x 2 y 2 ④ 系数变化， 2a b ⑤ 换式变化， xy z yx 2 x 2 y 2 2 2 2 xy xy xy 22 4 4 xy x y 2a b 22 4a 2 b 2 m xy zm 2 2 xy z m 22 x 2y 2 z m z m 22 2 2 xy z zm zm m 22 2 2 x 2y 2 z 2zm m b 3 准确灵活运用公式： ⑥ 增项变化， x y z ⑦ 连用公式变化， x ⑧ 逆用公式变化， x x y z x y z 例 1．已知 a b 2 ， xyz 22 x y z 2 x y x y z 2 2 2 x xy xy y z 2 2 2 x 2xy y z 22 y x y x y 2 2 2 2 x y x y 44 xy 22 y z x y z x y z x y z 2x 2y 2z 4xy 4xz ab 1，求 a 2 b 2 的值例 2．已知 a b 8， ab 2 ，求（a b ）2 的值例 3：计算 19992-2000 ×1998 2 2 2 例 4：已知 a+b=2， ab=1，求 a+b 和（a-b ）的值。 22 例 5：已知 x-y=2 ，y-z=2 ，x+z=14 。求 x -z 的值。例 6：判断（ 2+1）（ 22+1）（24+1）??（ 22048+1） +1 的个位数字是几？例 7．运用公式简便计算（1）1032 （2） 1982 例 8．计算 (1) a 4b 3c a 4b 3c ( 2) 3x y 2 3x y 2

整式的乘法完全平方公式

完全平方公式一、填空题： () 22)(9 1291=+ -a a （2）1-6a+9a 2 =( )2 22)(4 1 ) 5(=++x x （6）x 2 y 2 -4xy+4=( ) 2 (7)x 2+( )+9y 2=(x+ )2 (8)(a+b)2-( )=(a-b)2 (9)(5x+3)2(3-5x)2=_______________________ (10)若(x-3y)2+K=x 2-5xy+8y 2,则K=_________ 二、选择题：（1）已知4x 2+kx+9是一个完全平方式，那么k 值为（）（A ）12 （B ）±18 （C ）±12 （D ）±6 (2)下列多项式中，是完全平方式的为（）（A ）1-4m+2m 2 （B ）a 2+2a+4 () ab b a C 34 192 2-+ （D ）x 2+2xy+1 二、 1、计算（1）(3a+2b)2 （2）(5x-y)2 （3）(-4x+3a)2 （4）(-y-6)2 2、计算（1）99.82 (2）20052 （3）1042 （4）982

3、计算 (1)(2x-3)(3-2x) (2) (5a-4b) (-5a+4b) (3) (2m2+3n) (2m2-3n) (4) (2m2+3n) (-2m2-3n) 四、填空 (1)(x-y)(x+y)=________ (2)(x-y)(x-y)=________ (3)(-x-y)(x+y)=________ (4)(-x-y)(x-y)=________ (5)(a-1)·( )=a2-1 (6) (a-1)·( )=a2-2a+1 (7)(a+b)2-( a-b)2=________ (8)(a+b)2+( a-b)2=________ 五、计算（1）（a-2b-3c）2(2)(x+y-2)(x-y+2) (3)(a+2b-3c) (a-2b+3c) (4) (a+2b-3c) (a-2b-3c) (5)(2a+b-5c)(2a-b-5c）(6)(2a+b+5c)(-2a-b+5c）

完全平方公式之恒等变形

§1．6 完全平方公式（2）班级：姓名：【学习重点、难点】重点： 1、弄清完全平方公式的结构特点； 2、会进行完全平方公式恒等变形的推导．难点：会用完全平方公式的恒等变形进行运算．【学习过程】 ● 环节一：复习填空 ()2_____________a b += ()2_____________a b -= ● 环节二：师生共同推导完全平方公式的恒等变形 ①()222_______a b a b +=+- ②()222_______a b a b +=-+ ③()()22_______a b a b ++-= ④()()22_______a b a b +--= ● 典型例题及练习例1、已知8a b +=，12ab =，求22a b +的值变式训练1：已知5a b -=，22=13a b +，求ab 的值变式训练2：已知6ab =-，22=37a b +，求a b +与a b -的值方法小结：

提高练习1：已知+3a b =，22+30a b ab =-，求22a b +的值提高练习2：已知210a b -=，5ab =-，求224a b +的值例2、若()2=40a b +，()2=60a b -，求22a b +与ab 的值小结：课堂练习 1、（1）已知4x y +=，2xy =，则2)(y x -= （2）已知2()7a b +=，()23a b -=，求=+22b a ________，=ab ________ （3）()()2222________a b a b +=-+ 2、（1）已知3a b +=，4a b -=，求ab 与22a b +的值（2）已知5,3a b ab -==求2()a b +与223()a b +的值。（3）已知224,4a b a b +=+=，求22a b 与2()a b -的值。

最经典的乘法公式综合应用与拓展(学生、教师两用版)

八年级数学上册乘法公式的综合应用与拓展 (学生版) ?、基本公式 1. 平方差公式：(a+b)(a-b)=a 2 -b 2 2 例：计算 1999 -2000 X 1998 2 2 2 2. 完全平方公式(a+b) =a +2ab+b (a-b) 例：运用公式简便计算 3. 完全平方公式 a+b(或a-b)、ab 、a 2 +b 2 这三者任意知道两项就可以求出第三项 (a+b)2 、(a-b) 2 、ab 这三者任意知道两项就可以求出第三项 ① a 2 b 2 = (a b)2 - 2ab a 2 b 2 = (a-b) 2+2ab 2 2 2 2 ② (a-b) =(a+b) -4ab (a+b) =(a-b) +4ab (2) 完全平方公式变用 2:两个完全平方公式之和的整合 2 2 2 2 (a+b) + (a-b) =2 (a+b) 例1 ?已知a b 2 , ab =1，求a 2 b 2的值。 2 例 2.已知 a ? b = 8 , ab = 2，求(a - b)的值。例3.已知a - b = 4, ab = 5，求a 2 b 2的值。 2 2 例 4 .已知 m +n =7, mn= —18,求 m — mr+ n 的值. 例 5 (3)已知：x+2y=7 , xy=6，求(x-2y)2 的值. 例6.已知a +丄=5,求(1) a 2 +W , (2) (a —丄)2 的值. a a a (1) 完全平方公式变用 1:利用已知的两项求第三项 2 2 2 =a -2ab+b (1) 1032 (2) 1982

1 1 例7.已知x -― =3，求x4■ ~4的值。 x x 2

数学计划总结之《乘法公式——平方差公式》教学反思

数学计划总结之《乘法公式——平方差公式》教学反思我参与了学校组织的“同课异构”活动，授课内容是《乘法公式——平方差公式（一课时）》。上学期末我恰好在任县二中参加了一次关于教材研究的会议，当时河南一位从教三十多年且参与教材编写的专家指出：关于概念、公式、法则的教学一般有六个环节：①引入；②形成；③明确表述；④辨析；⑤巩固应用；⑥归纳提升。新课标也要求我们在教学中不只是传授学生基本的知识技能，还要以培养学生的数学能力及合作探究的意识为目标。为此，我在设计本节课的教学环节时充分考虑学生的认知规律，并以培养学生的数学素质，了解运用数学思想方法，增强学生的合作探究意识为宗旨。我的教学流程是按照“引入——猜想——证明——辨析——应用——归纳——检测”的顺序进行的，非常符合学生的认知规律。我觉得本节课比较好的方面有以下几点：1.在利用图形面积证明平方差公式时，我没有采用教材上直接给出剪接方法再证明的过程，只给出了原图让学生们自己去探究不同的方法。事实证明，学生们不只拼出了书上的方法，还从对角线剪开拼出了梯形，平行四边形和长方形三种方法，思维一下就开阔了。这里我并没有为了证明而证明，也没有怕浪费时间匆匆而过，而是给学生留下了充足的思考和讨论时间，真正激发了学生的

思维。2.通过设置一个“找朋友”的小游戏来辨析公式，调动了学生的积极性，活跃了课堂气氛，因此，游戏过后学生对公式的结构特征也有了更深刻的了解。3.共享收获环节，我采用的是制作微课的方式，形式比较新颖，从认识公式到知道公式的特征，再到感悟数形结合的数学思想，最后是感受到数学运算的一种简捷美，将本节课升华到了一个新的高度。当然，本节课也有一些遗憾和不足之处。比如，由于紧张，在授课过程中遗漏了两点，通过播放幻灯片才慌忙补充上；在处理学生练习时，为了抓紧时间完成进度没有把学生的出错点讲透讲细；游戏环节参与学生有些少，应让更多的同学动起来；当堂检测的题目应该设置上分值和检测时间，让学生限时完成，然后可以根据学生得分了解本节课的学习效果，以便下节课再有针对性的进行讲解和练习查漏补缺。通过这次“同课异构”活动，我感觉自己在教学环节设计、课件制作和使用、导学案的规范书写等各方面都有了提高，通过各位领导和老师的点评，我也有了更多的收获，相信可以为我今后的教学所用。

乘法公式(基础)知识讲解

乘法公式（基础）【学习目标】 1. 掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征，并能从广义上理解公式中字母的含义； 2. 学会运用平方差公式、完全平方公式进行计算.了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算； 3. 能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算. 【要点梳理】要点一、平方差公式平方差公式：22 ()()a b a b a b +-=- 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 要点诠释：在这里，b a ,既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. 抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型：（1）位置变化：如()()a b b a +-+利用加法交换律可以转化为公式的标准型（2）系数变化：如(35)(35)x y x y +- （3）指数变化：如3232()()m n m n +- （4）符号变化：如()()a b a b --- （5）增项变化：如()()m n p m n p ++-+ （6）增因式变化：如2244()()()()a b a b a b a b -+++ 要点二、完全平方公式完全平方公式：()2222a b a ab b +=++ 2222)(b ab a b a +-=- 两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍. 要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形： ()2222a b a b ab +=+-()2 2a b ab =-+ ()()22 4a b a b ab +=-+ 要点三、添括号法则添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号. 要点诠释：添括号与去括号是互逆的，符号的变化也是一致的，可以用去括号法则检查

2.2.3 运用乘法公式进行计算

2．2.3　运用乘法公式进行计算 1．熟练运用乘法公式进行计算；(重点、难点) 2．通过对不同的式子采取合适的方法运算，培养学生的思维能力和解题能力．一、情境导入 1．我们学过了哪些乘法公式？ (1)平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2. (2)完全平方公式：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a－b)2＝a2－2ab＋b2. 2．怎样计算：(a＋2b－c)(a－2b＋c)．二、合作探究探究点：运用乘法公式进行计算【类型一】乘法公式的综合运用计算： (1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)…(216＋1)； (2)(a＋b)2－2(a＋b)(a－b)＋(a－b)2； (3)(x－2y＋3z)(x＋2y－3z)； (4)(2a＋b)2(b－2a)2. 解析：(1)可添加(2－1)，与首项结合起来用平方差公式，再把结果依次与下一项运用平方差公式； (2)逆用完全平方公式，能简化运算； (3)两个因式都是三项式，且各项的绝对值对应相等，所以可先运用平方差公式； (4)先利用积的乘方把原式变形为[(b＋2a)(b－2a)]2，再利用平方差公式把中括号内的多项式的乘法展开，然后再利用完全平方公式展开即可．解：(1)原式＝(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)…(216＋1)＝(22－1)(22＋1)(24＋1)…(216＋1) ＝(24－1)(24＋1)…(216＋1)＝232－1； (2)原式＝[(a＋b)－(a－b)]2＝(a＋b－a＋b)2＝4b2； (3)原式＝[x－(2y－3z)][x＋(2y－3z)]＝x2－(2y－3z)2＝x2－(4y2－12yz＋9z2)＝x2－4y2 ＋12yz－9z2； (4)(2a＋b)2(b－2a)2＝[(b＋2a)(b－2a)]2＝(b2－4a2)2＝b4－8a2b2＋16a4. 方法总结：运用乘法公式计算时，先要分析式子的特点，找准合适的方法，能起到事半功倍的作用．同时由于减少了运算量，能提高解题的准确率．【类型二】运用乘法公式求值如图，立方体每个面上都写有一个自然数，并且相对两个面所写两数之和相等．若18的对面写的是质数a，14的对面写的是质数b，35的对面写的是质数c，试求a2＋b2＋c2－ab－bc－ca的值．

完全平方公式变形公式专题

半期复习（3）——完全平方公式变形公式及常见题型一．公式拓展： 2a2b2(a b)22ab 22 拓展一：a b(a b)2ab 11211 2 2 2 a(a)2a(a)2 22 a a a a 2a b2a b22a22b2 2 拓展二：(a b)(a b)4ab 22(a b)2(a b)24ab (a b)(a b)4ab 2222 拓展三：a b c(a b c)2ab2ac2bc 拓展四：杨辉三角形 33232 33 (a b)a a b ab b

444362243 4 (a b) a a b a b ab b 拓展五：立方和与立方差 3b a b a ab b 3223b3a b a ab b 22 a()()a()() 第1页（共5页）

二．常见题型：（一）公式倍比。 2 2 a b 例题：已知 a b =4，求ab 2 1 1 (1) x y 1，则 2 2 x xy y = 2 2 2 2 x y 2 ) 2 (2) 已知x x x y ，xy ( 1) ( 则= ２ ( 二）公式变形 (1) 设（5a＋3b）2=（5a－3b）2＋A，则A= 2 2 (2) 若( x y) ( x y) a ，则a 为 (3) 如果 2 ( ) 2 (x y) M x y ，那么M等于(4) 已知(a+b) 2=m，(a —b) 2=n，则ab 等于 2 (2 3 ) 2 ( ，则N的代数式是(5) 若2a b a b N 3 ) （三）“知二求一” 1．已知x﹣y=1，x 2+y2=25，求xy 的值． 2．若x+y=3 ，且（x+2）（y+2）=12．（1）求xy 的值； 2+3xy+y 2 的值．（2）求x

乘法公式的综合运用

第三课时（乘法公式的综合运用）一、学导目标：1.进一步理解乘法公式。 2.能熟练地运用乘法公式解题。二、学导重点：熟练的利用平方差、完全平方公式进行混合运算。三、学导难点：灵活运用乘法公式四、目标导航 1.复习回顾两个公式。 2.自学例题：教材P65例2第（2）小题、P66例 3.（注意书上的解题方法。） 3.注意：难，小本节内容偏组内、小组间要认真交流，有困难的要问老师。 4.教材P66练习第1、2 题： 5.计算：（1）（x+3）2(3-x)2（2）(2a+b+1)（2a+b-1）（3）(a-2b-3)(a+2b+3) （4）(2a+b)2-(b+2a)（2a-b）五、学导流程：（一）、出示目标：1.进一步理解乘法公式。 2.能熟练地运用乘法公式解题。

（二）、自学质疑：1、学生把课前没学完的可以再围绕“目标”和“目标导航”自学、对学、小组内展开。 2、教师深入其中查进度、问题汇总、导学。 3、检测“目标导航”有关内容。（三）、汇报展示：1、各小组再小组长带领下共同展示目标内容 2、教师针对展示的结果进行分析、归纳组织学生再学、学会、会学。五、测评提升： 1.先化简，再求值： (5y+1)(5y-1)-(5y+25y 2),其中y= 52 2.解方程：（1）(x+ 41)2–(x-41)(x+41)=41 （2）(x+1)(x-1)-(x+2)2=7 3.解不等式： 2(x+4)(x-4) （x-2）（2x+5） 4.计算（1）(2x+3)3 (3)(2a-b-3c)2 5.计算：（1）已知x 2+xy =6 y 2+xy=10 求：1.(.x+y)2 2. x 2-y 2 3..x-y

乘法公式-----完全平方公式

《乘法公式--完全平方公式》教学设计教学目标：探索完全平方公式的过程，进一步发展推理能力；在变式中，拓展提高；通过积极参与数学学习活动，培养学生自主探究能力，勇于创新的精神和合作学习的习惯；教学重点与难点：重点是正确理解完全平方公式2)(b a ±=222b ab a +±，并初步运用。难点是完全平方公式的运用。教学过程：一、创设情境，探求新知前面学习了平方差公式，同学们对平方差公式的结构特点、运用以及学习公式的意义有了初步的认识。今天，我们继续学习、研究另一种“乘法公式”——完全平方公式。问题1（投影显示图形）一块边长为a 米的正方形实验田，因需要将其边长增加10米。形成四块实验田。问：你能用不同的形式表示实验田的总面积,并进行比较吗？（活动：教师巡视，检查学生的解题情况）探索：直接求：2)10(+a 间接求：22101010+++a a a (选取一中等学生和一后进生学生把答案写在黑板上) 得出结论： (a +10)2=a 2+2 10a+102 猜一猜： (a +b )2 =？从而引出课题：完全平方公式。 ?

二. 探索新知 1.推导验证两数和的完全平方公式（1）乘法公式 (a +b )2 =(a +b ) (a +b ) = a 2+ab +ab +b 2 =a 2+2ab +b 2 （2）图形法结论：(a +b )2=a 2+2ab +b 2 2.两数差的完全平方公式（1）乘法公式 ( a －b )2 =(a －b ) (a －b ) = a 2－ab －ab +b 2 =a 2－2ab +b 2 （2）两数和的完全平方公式 (a －b )2 =a 2－2ab +b 2 （3）图形法(学生自己探索) 结论：(a －b )2=a 2－2ab +b 2 （3）归纳总结完全平方公式： (a +b )2=a 2+2a b +b 2 []2 )(b a -+=2 2)(2b b a a +-??+=

初中数学完全平方公式的变形与应用

完全平方公式的变形与应用提高培优完全平方公式 222222()2,()2a b a a b b a b a a b b 在使用时常作如下变形： (1) 222222()2,()2a b a b a b a b a b a b (2) 2222()()4,()()4a b a b a b a b a b a b (3) 2222 ()()2()a b a b a b (4) 2222 1 [()()]2a b a b a b (5) 22 1 [()()]2a b a b a b (6) 222222 1 [()()()]2a b c a b b c ca a b b c c a 例1 已知长方形的周长为 40，面积为75，求分别以长方形的长和宽为边长的正方形面积之和是多少？解设长方形的长为α，宽为b ，则α+b=20，αb=75. 由公式(1)，有： α2+b 2=(α+b)2-2αb=202-2×75=250. (答略，下同) 例2 已知长方形两边之差为4，面积为12，求以长方形的长与宽之和为边长的正方形面积. 解设长方形长为 α，宽为b ，则α-b=4，αb=12.由公式(2)，有：(α+b)2=(α-b)2+4αb=42+4×12=64. 例3 若一个整数可以表示为两个整数的平方和，证明：这个整数的2倍也可以表示为两个整数的平方和 . 证明设整数为x ，则x=α2+b 2(α、b 都是整数).

由公式(3)，有2x=2(α2+b 2)=(α+b)2+(α-b)2.得证例4 将长为64cm 的绳分为两段，各自围成一个小正方形，怎样分法使得两个正方形面积之和最小？解设绳被分成的两部分为x 、y ，则x+y=64. 设两正方形的面积之和为 S ，则由公式(4)，有：S=(x 4)2+(y 4)2=116 (x 2+y 2) =132 [(x+y)2+(x-y)2] =132 [642+(x-y)2]. ∵(x-y)2 ≥０，∴当x=y 即(x-y)2=0时，S 最小，其最小值为 64232=128(cm 2). 例5 已知两数的和为 10，平方和为52，求这两数的积. 解设这两数分别为α、b ，则α+b =10，α2+b 2 =52. 由公式(5)，有： αb=12 [(α+b)2-(α2+b 2)] =12 (102-52)=24. 例6 已知α=x+1,b=x+2,c=x+3. 求：α2+b 2+c 2-αｂ-bc-c α的值. 解由公式(6)有： α2+b 2+c 2-αｂ-bc-αｃ =12 [(α-b)2+(b-c )2+(c-α）2] =12 [(-1)2+(-1)2+22] =12×(1+1+4)=3.

辅导讲义：乘法公式的灵活应用

(3)()； (4) -(a z 0, m > n) ； ⑸(b) ■令(旳? 常用的乘法公式: 22 (1)()() 22 2 ⑵()+2 22 2 ⑶()-2 (4) ()(a 22)33 ⑸()(a 22)3- b 3 (6) (严+222. (7) a 2221/2〔 ()2+() 2+() 2〕 222 , 2 (8) a 1/2〔 () + () 2 2「 +()〕 (9) ()33+3a 2323; (10) ()33-3a 2323; 课题乘法公式的灵活应用教学内容正整数指数幂的运算法则: ⑴? ； (2)()；

一、归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式: ① 位置变化， x y _y ? x i=x 2 _y 2 ② 符号变化，(-x+y y X$_y 2= x 2_y 2 ③ 指数变化，x 2 y 2 x 2-y 2 =x 4-y 4 ④ 系数变化，(2a+b)(2a —bHa 2_b 2 ⑤ 换式变化，，z mU- z m] 2 2 ’ 2；Z m =x y - z m z m 2 2 V 2 山 2 * =X y - z 亠亠亠m 2 2 2 c 2 =x y -z -2-m 二x -一 y -z 2^22 二x -2 y -z 连用公式变化，x y x-y x 2 y 2 2 2 2 2 -x -y x y 4 4 二x -y 逆用公式变化，（X —y+z$_（x*y-z ） i x-y z x y-z x-y z - x y-z ] =2x -2y 2z --4 4 例1已知a ? b =2， ab =1，求a 2 b 2的值例 2?已知 a ? b = 8， ab = 2，求(a - b)2 的值。 2 例 3 :计算 1999 -2000 X 1998 例4:已知2，1，求a 22和()2的值。例5:已知2, 2,14。求x 22的值。例6:判断(2+1) (22+1) (24+1)……(22048+1 ) +1的个位数字是几? x_y z x-y-z 2 2 -x-y -z 2 -x-y x-y -z 2 2 2 增项变化, 【精讲精练】

乘法公式——完全平方公式专题训练试题精选(一)附答案

- -. 完全平方公式专题训练试题精选（一）一．选择题（共30小题） 1．（2014?六盘水）下列运算正确的是（） A．（﹣2mn）2=4m2n2B． y2+y2=2y4 C．（a﹣b）2=a2﹣b2 D． m2+m=m3 2．（2014?）下列计算正确的是（） A． 2a3+a2=3a5B．（3a）2=6a2 C．（a+b）2=a2+b2 D． 2a2?a3=2a5 3．（2014?）算式999032+888052+777072之值的十位数字为何？（） A．1B．2C．6D．8 4．（2014?）若a+b=2，ab=2，则a2+b2的值为（） A．6B．4C．3D．2 5．（2014?南平模拟）下列计算正确的是（） A． 5a2﹣3a2=2 B．（﹣2a2）3=﹣6a6 C． a3÷a=a2 D．（a+b）2=a2+b2 6．（2014?拱墅区二模）如果ax2+2x+=（2x+）2+m，则a，m的值分别是（） A．2，0 B．4，0 C．2，D．4， 7．（2012?鄂州三月调考）已知，则的值为（） A．B．C．D．无法确定8．（2012?西岗区模拟）下列运算正确的是（） A．（x﹣y）2=x2﹣y2B． x2+y2=x2y2 C． x2y+xy2=x3y3 D． x2÷x4=x﹣2 9．（2011?天津）若实数x、y、z满足（x﹣z）2﹣4（x﹣y）（y﹣z）=0，则下列式子一定成立的是（）A．x+y+z=0 B．x+y﹣2z=0 C．y+z﹣2x=0 D．z+x﹣2y=0 10．（2011?）下列运算正确的是（） A． x2+x3=x5B．（x+y）2=x2+y2 C． x2?x3=x6 D．（x2）3=x6 11．（2011?浦东新区二模）下列各式中，正确的是（） A． a6+a6=a12B． a4?a4=a16 C．（﹣a2）3=（﹣a3）2 D．（a﹣b）2=（b﹣a）2

完全平方公式变形

完全平方公式变形 1.已知，求下列各式的值：（1）；（2）．（3）4 41x x 2.已知x+y=7，xy=2，求（1）2x 2+2y 2；（2）（x ﹣y ）2．。（3）x 2+y 2-3xy 3.已知有理数m ，n 满足（m+n ）2=9，（m ﹣n ）2=1．求下列各式的值．（1）mn ；（2）m 2+n 2

平方差公式的应用 1.（a+b﹣c）（a﹣b+c）=a2﹣（）2． 2.（）﹣64m2n2=（a+）（﹣8mn） 3.已知x2﹣y2=12，x﹣y=4，则x+y=． 4．（x﹣y）（x+y）（x2+y2）（x4+y4）…（x2n+y2n）=． 5.．（﹣3x+2y）（）=﹣9x2+4y2． 6.记x=（1+2）（1+22）（1+24）（1+28）…（1+2n），且x+1=2128，则n=． 7.计算：=． 8.已知a﹣b=1，a2﹣b2=﹣1，则a4﹣b4=． 9.一个三角形的底边长为（2a+4）厘米，高为（2a﹣4）厘米，则这个三角形的面积为． 10观察下列等式19×21=202﹣1，28×32=302﹣22，37×43=402﹣32，…，已知m，n 为实数，仿照上述的表示方法可得：mn=． 11．正方形Ⅰ的周长比正方形Ⅱ的周长长96cm，它们的面积相差960cm2，求这两个正方形的边长 12如图，第一个图中两个正方形如图所示放置，将第一个图改变位置后得到第二个图，两图阴影部分的面积相等，则该图可验证的一个初中数学公式为．以下为提高题（请班级前20名学生会做） 13．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个这个正整数为“神秘数”，如：4=22﹣02，12=42﹣22，20=62﹣42，因此4，12，20这三个数都是“神秘数”．若60是一个“神秘数”，则60可以写成两个连续偶数的平方差为：60=． 14．20082﹣20072+20062﹣20052+…+22﹣12=． 15．（32+1）（34+1）（38+1）…（364+1）×8+1=． 16.（3a+3b+1）（3a+3b﹣1）=899，则a+b=． 17.化简式子，其结果是．

完全平方公式变形公式专题

半期复习(3）—— 完全平方公式变形公式及常见题型一．公式拓展：拓展一：ab b a b a 2)(222-+=+ ab b a b a 2)(222+-=+ 2)1(1222-+=+ a a a a 2)1(1222+-=+a a a a 拓展二:a b b a b a 4)()(22=--+ ()()222222a b a b a b ++-=+ ab b a b a 4)()(22+-=+ ab b a b a 4)()(22-+=- 拓展三：bc ac ab c b a c b a 222)(2 222---++=++ 拓展四:杨辉三角形 3223333)(b ab b a a b a +++=+ 4322344464)(b ab b a b a a b a ++++=+ 拓展五：立方和与立方差 ))((2233b ab a b a b a +-+=+ ))((2233b ab a b a b a ++-=- 二.常见题型：（一）公式倍比例题:已知b a +=4,求ab b a ++2 2 2。 (１)1=+y x ,则222 121y xy x ++= (2)已知xy ２y x ，y x x x -+-=---2 222)()1(则= （二)公式变形 (１)设(５a ＋3b ）2=(5ａ－３b ）2＋A ，则A= (2)若()()x y x y a -=++22，则a 为 (３)如果2 2)()(y x M y x +=+-,那么M 等于（4）已知(ａ+b)2=m ，(a —b)２=n ，则ａb 等于 (５)若N b a b a ++=-22)32()32(,则N 的代数式是（三）“知二求一” 1．已知ｘ﹣ｙ=1,x ２+y ２＝25，求xy 的值. 2.若x ＋y=3,且（x+2)（y ＋2）=12. （1)求ｘｙ的值；（2）求x 2＋3x ｙ+ｙ2的值．

(完整版)乘法公式的灵活运用

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