高三一轮复习数列求和教案及练习

数列求和

特殊数列求和

1.可化为等差数列等比数列自然数列的求和

1）{}12+n 的前100项和为_____________, 2) =++++n

a a a 21__________ 3) 求9，99，999，9999，….的前100项和 4）求{

}

12-+n n

的前2m 的和

5）已知}{n a ，601-=a ，31+=+n n a a ，求数列}{n a 的前30项的绝对值的和 6）在数列{

}

)12()1(+-n n

中，求301713S S S -+ 7）求{

}

)34()1(--n n

的前n 项和

8）已知[]

n

n n a )1(2---=，求n S

9）一个数列}{n a ，当n 为奇数时15+=n a n ，当n 为偶数时n

n a 2=，求这个数列的前

2n 项的和。

（二）裂项求和

1) 求)

1(1431,321,211+???n n 的前n 项和 2) 求)

12)(12(1751531311+-++?+?+?n n 3) )

23)(13(11071741411+-++?+?+?n n

4) 1

1

23(31)(31)i

n

i i i +=--∑ 5) {}n a 是正项的等差数列，

1

3

22

1111+++

+++

+n n a a a a a a

6)

11!22!33!!n n ++++

(三)错位相减法

1．求数列?

??

???-n

n 212的前n 项和

2．已知n n x a x a x a x a x f ++++= 33221)(（*

N n ∈），且n a a a a 321,,构成一个

数列，又2

)(n x f =

求数列}{n a 的通项公式；证明：1)3

1(

3．1

n

i n

i i C

=∑

4．1

2

n

i

i n i C =∑

练习：1。将数列})

2

1{(1

-n 按如下分组： （1）；（41,21）；（32

1

,161,81）；…….....

问：（1）第一组到第k 组共有几个数？ （2）第k 组中的首数和尾数各为多少？ （3）求第k 组各数之和及前k 组各数之和？

2．设}{n a 首项为11=a ，且)2,0(3)32(31≥>=+--n t t S t tS n n （1）求证：}{n a 为等比数列

（2）设数列}{n a 公比为)(t f ，作数列}{n b ；11=b ，)1(

1

-=n n b f b 求：n b

（3）求和11

433221)1(+--+-+-n n n b b b b b b b b

3已知等比数列{}n a 的各项均为正数，q ≠1,数列{}n b 满足7120,5,b b ==且

351

1221()log ()log ()log 0a a a n n m n n m n n m b b b b b b ++++-+-+-=

（1）求数列的通项

（2）12......N n S b b b =+++求n S

（4）等比数列{}n a 中，211,0,0+++=>>n n n a a b q a ，{}n a }{n b 前n 项和分别为n n B A ,，比较n n B A ,的大小。

（5）数列}{n a 为等差数列0≠d ，{}n a 中的部分项组成数列

n k k k k a a a a ,,,,321 ，恰为等比数列，其中17,5,1321===k k k ，求n k k k ++21

（6）设*,N b a ∈，{}n a 是首项为a ,}{n b 为首项为b ，公比为a 的等比数列，

且满足11b a <32a b << ①求a 的值， ②对于某项m a 存在n b ，使n m b a =+1成立，求b 及 m 与n 的关系。 ③在}{n a 中，对满足②的项,求前k 项的和.

（7）四个正数，前三个数等差，其和为48，后三个数等比，最后一个数为25，求此四个数

（8）已知二次函数()y f x =的图象经过坐标原点，其导函数为/()62f x x =-，数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,)n n S *()n N ∈均在函数()y f x =的图象上。 （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设13n n n b a a +=

，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求使得20

n m

T <对所有*()n N ∈都成立的最小正整数m

（9）{a n }为等差数列， 则有n

a a a

b n

n +++=

21也为等差，类比上述性质，

相应地若}{n c 是等比且0>n c ，则有=n d ______________也为等比数列。

1．在数列}{n a 中，9,1

1=++=n n S n n n a 项和若其前，则项数n 为

（ ） A ．9

B ．10

C ．99

D ．100

2．数列1，（1+2），（1+2+22），…，（1+2+22+…+2

n －1

），…的前n 项和等于（ ）

A ．n n -+1

2

B ．22

1

--+n n C ．12--n n D ．22--n n

3．设5033171

,)1(4321S S S n S n n ++?-++-+-=-则 =

（ ）

A ．－1

B ．0

C ．1

D ．2

4．数列1，

项和为的前n n

+++++++ 3211

,,3211,211

（ ） A ．

1+n n B ．

1

2+n n

C ．

)

1(2

+n n

D ．

)

1(4

+n n

5．数列{n a }的前n 项和=+++-=2

2221,12n n n a a a S 则( ）

A ．2

)12(-n B ．)12(3

1-n C ．14-n

D ．)14(3

1-n

6．数列{n a }的通项公式为,,1421n

a a a

b n a n

n n +++=-= 令则数列{n b }的前n 项

和为（ ）

A ．2

n B ．)2(+n n C ．)1(+n n D ．)12(+n n

7．数列 ,32

1

6,1615

,814,413,212,1的前10项之和为

8．若==+++-+++n n n 则,2219)

2(42)12(312

22222 9．已知{n a }的前n 项和||||||,1410212

a a a n n S n ++++-= 则的值为

2020届高考数学一轮复习通用版讲义数列求和

第四节数列求和 一、基础知识批注——理解深一点 1．公式法 (1)等差数列{a n }的前n 项和S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)d 2 . 推导方法：倒序相加法． (2)等比数列{a n }的前n 项和S n ＝????? na 1 ，q ＝1，a 1(1－q n )1－q ，q ≠1. 推导方法：乘公比，错位相减法． (3)一些常见的数列的前n 项和： ①1＋2＋3＋…＋n ＝ n (n ＋1) 2 ； ②2＋4＋6＋…＋2n ＝n (n ＋1)； ③1＋3＋5＋…＋2n －1＝n 2. 2．几种数列求和的常用方法 (1)分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减． (2)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n 项和． (3)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n (4)倒序相加法：如果一个数列{a n }与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法求解． 二、基础小题强化——功底牢一点 (一)判一判(对的打“√”，错的打“×”) (1)如果数列{a n }为等比数列，且公比不等于1，则其前n 项和S n ＝a 1－a n ＋1 1－q .( ) (2)当n ≥2时， 1n 2 －1＝12? ???1 n －1－1n ＋1.( ) (3)求S n ＝a ＋2a 2＋3a 2＋…＋na n 之和时，只要把上式等号两边同时乘以a 即可根据错位相减法求得．( )

等比数列求和教案

课题：等比数列的前n项和（一课时） 教材：浙江省职业学校文化课教材《数学》下册 （人民教育出版社） 一、教材分析 ●教学内容 《等比数列的前n项和》是中职数学人教版（基础模块）（下）第六章《数列》第四节的内容。是数列这一章中的一个重要内容, 就知识的应用价值上看，它是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型，在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等,另外公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法,都是学生今后学习和工作中必备的数学素养．就内容的人文价值来看，等比数列的前n项和公式的探究与推导需要学生观察、归纳、猜想、证明，这有助于培养学生的创新思维和探索精神,同时也是培养学生应用意识和数学能力的良好载体． 二、学情分析 ●知识基础：前几节课学生已学习了等差数列求和，等比数列的定义及通项公式等内容,这为过渡到本节的学习起着铺垫作用. ●认知水平与能力：高二学生具有自主探究的能力，能在教师的引导下独立、合作地解决一些问题，但从学生的思维特点看，很容易把本节内容与等差数列前n项和公式的形成、特点等方面进行类比，这是积极因素，应因势利导．不利因素是：本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导有所不同，这对学生 q 这一特殊情况，学生也往往容易忽略，尤的思维是一个突破，另外，对于1 其是在后面使用的过程中容易出错． 三、目标分析 依据教学大纲的教学要求，渗透新课标理念，并结合以上学情分析，我制定了如下教学目标： 1.教学目标

●知识与技能目标 理解用错位相减法推导等比数列前n项和公式的过程，掌握公式的特点，并在此基础上能初步应用公式解决与之有关的问题． ●过程与方法目标 通过对公式的研究过程，提高学生的建模意识及探究问题、培养学生观察、 分析的能力和协作、竞争意识。 ●情感、态度与价值目标 通过学生自主对公式的探索，激发学生的求知欲，鼓励学生大胆尝试、勇于 探索、敢于创新，磨练思维品质，培养学生主动探索的求知精神和团结协作精神, 感受数学的美。 2.教学重点、难点 ●重点：等比数列前n项和公式的推导及公式的简单应用． ●难点：错位相减法的生成和等比数列前n项和公式的运用． 突破难点的手段：“抓两点，破难点”,即一抓学生情感和思维的兴奋点， 激发他们的兴趣，鼓励学生大胆猜想、积极探索，并及时给予肯定；二抓知识的 切入点，从学生原有的认知水平和所需的知识特点入手，教师在学生主体下给予 适当的提示和指导. 四、教学模式与教法、学法 根据学生的认知特点，本着学生为主体教师为主导的原则采用多元教学法，让学生至于情景中。学生动手操作实践分组讨论探究，而教师重在启发，引导。基于教学平台和数学软件让学生可观，可感，可交流的环境中轻松的学习。 五、教学过程

高考数学第2讲数列求和及综合问题

第2讲数列求和及综合问题 高考定位 1.高考对数列求和的考查主要以解答题的形式出现，通过分组转化、错位相减、裂项相消等方法求数列的和，难度中档偏下；2.在考查数列运算的同时，将数列与不等式、函数交汇渗透. 真题感悟 1.(2020·全国Ⅰ卷)数列{a n}满足a n＋2＋(－1)n a n＝3n－1，前16项和为540，则a1＝________. 解析法一因为a n＋2＋(－1)n a n＝3n－1， 所以当n为偶数时，a n＋2＋a n＝3n－1， 所以a4＋a2＝5，a8＋a6＝17，a12＋a10＝29，a16＋a14＝41， 所以a2＋a4＋a6＋a8＋a10＋a12＋a14＋a16＝92. 因为数列{a n}的前16项和为540， 所以a1＋a3＋a5＋a7＋a9＋a11＋a13＋a15＝540－92＝448.① 因为当n为奇数时，a n＋2－a n＝3n－1， 所以a3－a1＝2，a7－a5＝14，a11－a9＝26，a15－a13＝38， 所以(a3＋a7＋a11＋a15)－(a1＋a5＋a9＋a13)＝80.② 由①②得a1＋a5＋a9＋a13＝184. 又a3＝a1＋2，a5＝a3＋8＝a1＋10，a7＝a5＋14＝a1＋24，a9＝a7＋20＝a1＋44，a11＝a9＋26＝a1＋70，a13＝a11＋32＝a1＋102，

所以a 1＋a 1＋10＋a 1＋44＋a 1＋102＝184，所以a 1＝7. 法二 同法一得a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9＋a 11＋a 13＋a 15＝448. 当n 为奇数时，有a n ＋2－a n ＝3n －1， 由累加法得a n ＋2－a 1＝3(1＋3＋5＋…＋n )－n ＋1 2 ＝32(1＋n )·n ＋12－n ＋12＝34n 2＋n ＋1 4， 所以a n ＋2＝34n 2＋n ＋1 4＋a 1. 所以a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9＋a 11＋a 13＋a 15 ＝a 1＋? ????34×12＋1＋14＋a 1＋? ????34×32＋3＋14＋a 1＋? ?? ?? 34×52＋5＋14＋a 1＋ ? ????34×72＋7＋14＋a 1＋? ????34×92＋9＋14＋a 1＋? ?? ??34×112 ＋11＋14＋a 1＋ ? ???? 34×132＋13＋14＋a 1＝8a 1＋392＝448，解得a 1＝7. 答案 7 2.(2018·全国Ⅰ卷)记S n 为数列{a n }的前n 项和.若S n ＝2a n ＋1，则S 6＝________. 解析 法一 因为S n ＝2a n ＋1，所以当n ＝1时，a 1＝2a 1＋1，解得a 1＝－1. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a n ＋1－(2a n －1＋1)， 所以a n ＝2a n －1，所以数列{a n }是以－1为首项，2为公比的等比数列， 所以a n ＝－2n －1. 所以S 6＝－1×（1－26）1－2 ＝－63. 法二 由S n ＝2a n ＋1，得S 1＝2S 1＋1，所以S 1＝－1，当n ≥2时，由S n ＝2a n ＋1得S n ＝2(S n －S n －1)＋1，即S n ＝2S n －1－1，∴S n －1＝2(S n －1－1)，又S 1－1＝－2，∴{S n －1}是首项为－2，公比为2的等比数列，所以S n －1＝－2×2n －1＝－2n ，所以S n ＝1－2n ，∴S 6＝1－26＝－63.

高三数学一轮复习 数列求和巩固与练习

高三数学一轮复习 数列求和巩固与练习 A ．64 B ．100 C ．110 D ．120 解析：选B.设等差数列公差为d ，则由已知得 ? ???? a 1＋a 1＋d ＝4a 1＋6d ＋a 1＋7d ＝28， 即????? 2a 1＋d ＝42a 1＋13d ＝28 ， 解得a 1＝1，d ＝2， ∴S 10＝10a 1＋10×92d ＝10×1＋10×9 2 ×2＝100. 2．等差数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1，其前n 项的和为S n ，则数列{S n n }的前10项的和为( ) A ．120 B ．70 C ．75 D ．100 解析：选C.S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (n ＋2)，∴S n n ＝n ＋2. 故S 11＋S 22＋…＋S 10 10 ＝75. 3．(原创题)设函数f (x )＝x m ＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋1，则数列{ 1f (n ) }(n ∈N * )的前n 项和是( ) A.n n ＋1 B.n ＋2n ＋1 C.n n －1 D.n ＋1n 解析：选A.f ′(x )＝mx m －1 ＋a ＝2x ＋1，∴a ＝1，m ＝2，∴f (x )＝x (x ＋1)， 1f (n )＝ 1 n (n ＋1) ＝1n －1n ＋1，用裂项相消法求和得S n ＝n n ＋1 .故选A. 4．若S n ＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n －1 ·n ，S 17＋S 33＋S 50等于________． 解析：由题意知S n ＝????? n ＋12(n 为奇数)， －n 2(n 为偶数). ∴S 17＝9，S 33＝17，S 50＝－25， ∴S 17＋S 33＋S 50＝1. 答案：1 5．若数列{a n }是正项数列，且a 1＋a 2＋…＋a n ＝n 2 ＋3n (n ∈N * )，则a 12＋a 23＋…＋ a n n ＋1 ＝________. 解析：令n ＝1得a 1＝4，即a 1＝16，当n ≥2时，a n ＝(n 2＋3n )－[(n －1)2 ＋3(n －1)]＝2n ＋2，所以a n ＝4(n ＋1)2 ，当n ＝1时，也适合，所以a n ＝4(n ＋1)2 (n ∈N * )．于是 a n n ＋1 ＝

数列求和高考专题

数列求和高考专题 1.【2017天津，理18】已知{}n a 为等差数列，前n 项和为()n S n *∈N ，{}n b 是首项为2的等比数列，且公比大于0，2312b b +=,3412b a a =-，11411S b =. （Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求数列221{}n n a b -的前n 项和()n *∈N . 【答案】 （1）32n a n =-.2n n b =.（2）1328 433 n n n T +-=?+. 【解析】 （II ）解：设数列221{}n n a b -的前n 项和为n T ， 由262n a n =-， 12124n n b --=?，有()221314n n n a b n -=-?， 故()23 245484314n n T n =?+?+?+ +-?， ()()23414245484344314n n n T n n +=?+?+?+ +-?+-?， 上述两式相减，得()2 3 1324343434314n n n T n +-=?+?+?+ +?--?

( )()()1 112144314 14 3248.n n n n n ++?-= ---?-=--?- 得1328 433 n n n T +-= ?+. 所以，数列221{}n n a b -的前n 项和为 1328 433 n n +-?+. 2.【2017江苏，19】 对于给定的正整数k ,若数列{}n a 满足1111n k n k n n n k n k a a a a a a --+-++-++++++ ++ 2n ka =对任意正整数()n n k >总成立，则称数列{}n a 是“()P k 数列”. （1）证明：等差数列{}n a 是“(3)P 数列”; （2）若数列{}n a 既是“(2)P 数列”，又是“(3)P 数列”，证明：{}n a 是等差数列. 【答案】（1）见解析（2）见解析 （2）数列{}n a 既是“()2P 数列”，又是“()3P 数列”，因此， 当3n ≥时， 21124n n n n n a a a a a --+++++=，① 当4n ≥时， 3211236n n n n n n n a a a a a a a ---++++++++=.② 由①知， 3214n n n a a a ---+=- ()1n n a a ++，③ 2314n n n a a a ++++=- ()1n n a a -+，④ 将③④代入②，得112n n n a a a -++=，其中4n ≥， 所以345,,, a a a 是等差数列，设其公差为'd .

等差数列求和教案

等差数列求和 教学目标 1.掌握等差数列前项和的公式，并能运用公式解决简单的问题. （1）了解等差数列前项和的定义，了解逆项相加的原理，理解等差数列前项和公式推导的过程，记忆公式的两种形式； （2）用方程思想认识等差数列前项和的公式，利用公式求；等差数列通项公式与前项和的公式两套公式涉及五个字母，已知其中三个量求另两个值； （3）会利用等差数列通项公式与前项和的公式研究的最值. 2.通过公式的推导和公式的运用，使学生体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律，初步形成认识问题，解决问题的一般思路和方法. 3.通过公式推导的过程教学，对学生进行思维灵活性与广阔性的训练，发展学生的思维水平. 4.通过公式的推导过程，展现数学中的对称美；通过有关内容在实际生活中的应用，使学生再一次感受数学源于生活，又服务于生活的实用性，引导学生要善于观察生活，从生活中发现问题，并数学地解决问题. 教学建议 （1）知识结构 本节内容是等差数列前项和公式的推导和应用，首先通过具体的例子给出了求等差数列前项和的思路，而后导出了一般的公式，并加以应用；再与等差数列通项公式组成方程组，共同运用，解决有关问题． （2）重点、难点分析 教学重点是等差数列前项和公式的推导和应用，难点是公式推导的思路． 推导过程的展示体现了人类解决问题的一般思路，即从特殊问题的解决中提炼一般方法，再试图运用这一方法解决一般情况，所以推导公式的过程中所蕴含的思想方法比公式本身更为重

要．等差数列前项和公式有两种形式，应根据条件选择适当的形式进行计算；另外反用公式、变用公式、前项和公式与通项公式的综合运用体现了方程（组）思想． 高斯算法表现了大数学家的智慧和巧思，对一般学生来说有很大难度，但大多数学生都听说过这个故事，所以难点在于一般等差数列求和的思路上． （3）教法建议 ①本节内容分为两课时，一节为公式推导及简单应用，一节侧重于通项公式与前项和公式综合运用. ②前项和公式的推导，建议由具体问题引入，使学生体会问题源于生活. ③强调从特殊到一般，再从一般到特殊的思考方法与研究方法. ④补充等差数列前项和的最大值、最小值问题. ⑤用梯形面积公式记忆等差数列前项和公式. 等差数列的前项和公式教学设计示例 教学目标 1.通过教学使学生理解等差数列的前项和公式的推导过程，并能用公式解决简单的问题. 2.通过公式推导的教学使学生进一步体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思想方法，通过公式的运用体会方程的思想. 教学重点，难点 教学重点是等差数列的前项和公式的推导和应用，难点是获得推导公式的思路. 教学用具 实物投影仪，多媒体软件，电脑. 教学方法 讲授法.

数列求和的常用方法

数列求和的常用方法 永德二中 王冬梅 数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础。在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位。数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧。 下面，简单介绍下数列求和的基本方法和技巧。 第一类：公式法 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法。 1、等差数列的前n 项和公式 2 )1(2)(11d n n na a a n S n n -+=+= 2、等比数列的前n 项和公式 ?? ???≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a q q a q na S n n n 3、常用几个数列的求和公式 （1）、)1(213211 += +?+++==∑=n n n k S n k n （2）、)12)(1(6132122221 2++= +?+++==∑=n n n n k S n k n （3）、233331 3)]1(21[321+=+?+++==∑=n n n k S n k n 第二类：乘公比错项相减（等差?等比） 这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列}{n n b a ?的前n 项和，其中}{n a ，}{n b 分别是等差数列和等比数列。 例1：求数列}{1-n nq (q 为常数)的前n 项和。 解：Ⅰ、若q =0， 则n S =0 Ⅱ、若q =1，则)1(2 1321+= +?+++=n n n S n Ⅲ、若q ≠0且q ≠1， 则12321-+?+++=n n nq q q S ① n n nq q q q qS +?+++=3232 ② ①式—②式：n n n nq q q q q S q -+?++++=--1321)1(

高三一轮复习数列求和教案及练习

数列求和 特殊数列求和 1.可化为等差数列等比数列自然数列的求和 1）{}12+n 的前100项和为_____________, 2) =++++n a a a 21__________ 3) 求9，99，999，9999，….的前100项和 4）求{ } 12-+n n 的前2m 的和 5）已知}{n a ，601-=a ，31+=+n n a a ，求数列}{n a 的前30项的绝对值的和 6）在数列{ } )12()1(+-n n 中，求301713S S S -+ 7）求{ } )34()1(--n n 的前n 项和 8）已知[] n n n a )1(2---=，求n S 9）一个数列}{n a ，当n 为奇数时15+=n a n ，当n 为偶数时n n a 2=，求这个数列的前 2n 项的和。 （二）裂项求和 1) 求) 1(1431,321,211+???n n 的前n 项和 2) 求) 12)(12(1751531311+-++?+?+?n n 3) ) 23)(13(11071741411+-++?+?+?n n

4) 1 1 23(31)(31)i n i i i +=--∑ 5) {}n a 是正项的等差数列， 1 3 22 1111+++ +++ +n n a a a a a a 6) 11!22!33!!n n ++++ (三)错位相减法 1．求数列? ?? ???-n n 212的前n 项和 2．已知n n x a x a x a x a x f ++++= 33221)(（* N n ∈），且n a a a a 321,,构成一个 数列，又2 )(n x f = 求数列}{n a 的通项公式；证明：1)3 1(

数列求和公开课教案(1)

《数列求和复习》教学设计 开课时间：2016/12/22 开课人：洪来春一、学情分析： 学生在前一阶段的学习中已经基本掌握了等差、等比数列这两类最基本的数列的定义、通项公式、求和公式，同时也掌握了与等差、等比数列相关的综合问题的一般解决方法。本节课作为一节复习课，将会根据已知数列的特点选择适当的方法求出数列的前n项和，从而培养学生观察、分析、归纳、猜想的能力、逻辑思维能力以及演绎推理的能力。 二、教法设计： 本节课设计的指导思想是：讲究效率，加强变式训练、合作学习。采用以具体题目为切入点，引导学生进行探索、讨论，注重分析、启发、反馈。先引出相应的知识点，然后剖析需要解决的问题，在例题中巩固相应方法，再从讨论、反馈中深化对问题和方法的理解，从而较好地完成知识的建构，更好地锻炼学生探索和解决问题的能力。 在教学过程中采取如下方法： （1）诱导思维法：使学生对知识进行主动建构，有利于调动学生的主动性和积极性，发挥其创造性； （2）讲练结合法：可以及时巩固所学内容，抓住重点，突破难点。 三、教学设计： 1、教材的地位与作用： 对数列求和的考查是近几年高考的热点内容之一，属于高考命题中常考的内容；另一个面，数学思想方法的考查在高考中逐年加大了它的份量。化归与转化思想是本课时的重点数学思想方法，化归思想就是把不熟悉的问题转化成熟悉问题的数学思想，即把数学中待解决或未解决的问题，通过观察、分析、联想、类比等思维过程，选择恰当的方法进行变换、转化，归结到某个或某些已经解决或比较容易解决的问题上，最终解决原问题的一种数学思想方法；化归思想是解决数学问题的基本思想，解题的过程实际上就是转化的过程。 2、教学重点、难点： 教学重点：根据数列通项求数列的前n项，本节课重点复习分组求和与裂项法求和。 教学难点：解题过程中方法的正确选择。 3、教学目标： (1)知识与技能： 会根据通项公式选择求和的方法，并能运用分组求和与裂项法求数列的前n项。 (2)过程与方法： ①培养学生观察、分析、归纳、猜想的能力、逻辑思维能力以及演绎推理的能力； ②通过阶梯性练习和分层能力培养练习，提高学生分析问题和解决问题的能力，使不同层次的学生的能力都能得到提高。

(新课标)高考数学总复习：考点15-数列求和(含解析)

考点15 数列求和 1.（2010·天津高考理科·Ｔ6）已知 {}n a 是首项为1的等比数列，n s 是{}n a 的前n 项和，且369s s =， 则数列1n a ??????的前5项和为( ) （A ）158或5 （B ）3116或5 （C ）3116 （D ）158 【命题立意】考查等比数列的通项公式、前n 项和公式． 【思路点拨】求出数列 {} n a 的通项公式是关键． 【规范解答】选C ．设1 n n a q -=，则36361199(1)111q q q q q q --?=?-=---， 即33 918,2q q q =+?=∴=，11112()2n n n n a a --∴=?=，5 51 1()31211612T -∴==-． 2.（2010·天津高考文科·Ｔ１5）设{an}是等比数列，公比2q = ，Sn 为{an}的前n 项和． 记 *21 17,. n n n n S S T n N a +-= ∈设0n T 为数列{n T }的最大项，则0n = ． 【命题立意】考查等比数列的通项公式、前n 项和、基本不等式等基础知识． 【思路点拨】化简 n T 利用基本不等式求最值． 【规范解答】 , )2(,2 1])2(1[,2 1])2(1[112121n n n n n n a a a S a S =--= --= + ∴ ], 17)2()2(16[ 2 11)2(2 1])2(1[2 1])2(1[171211-+?-= --- --?= n n n n n n a a a T ∵ , 8)2()2(16 ≥+n n 当且仅当16)2(2=n 即216n =，所以当n=4，即04n =时，4T 最大． 【答案】4 3.（2010·安徽高考理科·Ｔ20）设数列12,,,, n a a a 中的每一项都不为0． 证明： {}n a 为等差数列的充分必要条件是：对任何n ∈N ，都有

高中数列求和公式

数列求和的基本方法和技巧 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2 )1(2)(11-+=+= 2、等比数列求和公式：?????≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a q q a q na S n n n 3、 )1(21 1 +==∑=n n k S n k n 自然数列 4、 )12)(1(611 2++==∑=n n n k S n k n 自然数平方组成的数列 [例1] 已知3log 1log 23-= x ，求???++???+++n x x x x 32的前n 项和. 解：由2 12log log 3log 1log 3323=?-=?-=x x x 由等比数列求和公式得 n n x x x x S +???+++=32 （利用常用公式） ＝x x x n --1)1(＝2 11)211(21--n ＝1－n 21 [例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1 )32()(++=n n S n S n f 的最大值. 解：由等差数列求和公式得 )1(21+= n n S n ， )2)(1(21++=n n S n （利用常用公式） ∴ 1)32()(++=n n S n S n f ＝64 342++n n n ＝n n 64 341 ++＝50)8 (12+-n n 50 1≤ ∴ 当 8 8-n ，即n ＝8时，501)(max =n f 二、错位相减法求和 这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列.错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前n 和公式的推导方法）.

高考数列求和解题方法大全

高考数列求和解题方法大全 数列求和问题是数列的基本内容之一，也是高考的热点和重点。由于数列求和问题题型多样，技巧性也较强，以致成为数列的一个难点。鉴于此，下面就数列求和问题的常见题型及解法技巧作一归纳，以提高同学们数列求和的能力。 一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+= 2、等比数列求和公式：?????≠--=--==) 1(11)1()1(111 q q q a a q q a q na S n n n 3、 )1(21 1 +==∑=n n k S n k n 4、 )12)(1(61 1 2++==∑=n n n k S n k n 5、 21 3)]1(21 [+==∑=n n k S n k n 例1． 已知3 log 1 log 23-=x ，求???++???+++n x x x x 32的前n 项和. 解：由2 1 2log log 3log 1log 3323=?-=?-= x x x ， 由等比数列求和公式得 n n x x x x S +???+++=32= x x x n --1)1(＝2 11)21 1(21--n ＝1－n 21 二、错位相减法求和

这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列. 例2． 求和：132)12(7531--+???++++=n n x n x x x S ………………………① 解：由题可知，{1)12(--n x n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1-n x }的通项之积 当时1=x ，()()[]22 121127531n n n n S n =-+=-+++++= 当时1≠x 设 n n x n x x x x xS )12(7531432-+???++++=……………② （设制错位） ①－②得 n n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+???+++++=-- （错位相减） 再利用等比数列的求和公式得： n n n x n x x x S x )12(1121)1(1----?+=-- ∴ 2 1)1() 1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+ 例3.已知1,0≠>a a ，数列{}n a 是首项为a ，公比也为a 的等比数列，令 )(lg N n a a b n n n ∈?=，求数列{}n b 的前n 项和n S 。 解析： a na a a a aS a na a a a S a a n b a a n n n n n n n n lg )32(lg )32(lg ,143232+++++=++++=∴?==

(完整)数列求和教案高三

?????≠--=时当时当1,1)1(1,a a a a a n n n n n ? ?? ??-++2112)1(《数列求和》教案 一、高考要求 等差数列与等比数列的有限项求和总是有公式可求的，其它的数列的求和不总是可求的，但某些特殊数列的求和可采用分组求和法转化为等差数列或等比数列的和或用裂项求和法、错位相减法、逆序相加法、并项求和法、变换通项法等 . 二、知识点归纳 1、公式法 2、分组求和法 3、错位相减法 4、裂项求和法 5、倒序求和法 6、变换通项法 7、关于正整数的求和公式： 三、热身练习 1、求和：1+4+7+……+97= 1617 2、求和：n n a a a a s ++++=Λ32= 3、求和：=-++-+-100994321Λ -50 4、求和：??? ??+++++=n n n s 21813412211 Λ= 四、题型讲解 例1：（2005年湖北第19题）设数列}{n a 的前n 项和为S n =2n 2，}{n b 为等比数列，且.)(,112211b a a b b a =-= （Ⅰ）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式； （Ⅱ）设n n n b a c =，求数列}{n c 的前n 项和T n 本小题主要考查等差数列、等比数列基本知识和数列求和的基本方法以及运算能力. 解：（1）：当;2,111===S a n 时 ,24)1(22,2221-=--=-=≥-n n n S S a n n n n 时当 故{a n }的通项公式为4,2}{,241==-=d a a n a n n 公差是即的等差数列. (1) 122n n n ++++=L 222(1)(21) 126n n n n +++++=L 3332(1)12[]2 n n n ++++=L

高考数学数列求和练习

数列求和练习1 1. 已知是等差数列,其前项和为,是等比数列,且 a 1=b 1=2,a 4+b 4=27,s 4-b 4=10. (1)求数列与的通项公式; (2)记S n 、T n 分别为数列{a n }{b n }的前n 项和，求S n 、T n 2. 设数列的前项和为,数列的前项和为,满足,.(1)求的值;(2)求数列的通项公式. 3. 设为数列的前项和，，，其中是常数． （1） 求及； （2） 若对于任意的，，，成等比数列，求的值 {}n a n n S {}n b {}n a {}n b {}n a n n S {}n S n n T 22n n T S n =-n ∈ *N 1a {}n a n S {}n a n 2 n S kn n =+*n N ∈k 1a n a *m N ∈m a 2m a 4m a k

4.等比数列中，已知 （1）求数列的通项公式； （2）若分别为等差数列的第3项和第5项，试求数列的通项公式 及前项和。 5.已知数列{}n a ，1a =2，1n a +=n a +3n +2，求n a {}n a 142,16a a =={}n a 35,a a {}n b {}n b n n S

6.已知数列满足， . （1） 令，证明：是等比数列； (2)求的通项公式。 7.若数列的递推公式为1111 3,2()n n a n a a +==-∈，则求这个数列的通项公式。 8.已知数列{n a }满足2,11≥=n a 时，n n n n a a a a 112--=-，求通项公式n a 。 9.数列{a n }中，a 1=1, a n+1=2a n +2n . {}n a *1 1212,,2 n n n a a a a a n N ++=∈’＋2＝ ＝1n n n b a a +=-{}n b {}n a

数列求和与最值(高考一轮复习)

数列的求和与最值（高考一轮复习） 数列的最值 ①10a >，0d <时，n S 有最大值；10a <，0d >时，n S 有最小值； ②n S 最值的求法：①若已知n S ，n S 的最值可求二次函数2n S an bn =+的最值；可用二次函数最值的求法（n N +∈）；②或者求出{}n a 中的正、负分界项，即： 若已知n a ，则n S 最值时n 的值（n N +∈）可如下确定100n n a a +≥??≤?或1 00n n a a +≤??≥?。 1、等差数列{}n a 中，12910S S a =>，，则前 项的和最大。 2、已知数列{}n a ，22103n a n n =-+，它的最小项是 3、设｛a n ｝（n ∈N *）是等差数列，S n 是其前n 项的和，且S 5＜S 6，S 6＝S 7＞S 8，则下列结论错误．． 的是（ ） A .d ＜0 B .a 7＝0 C .S 9＞S 5 D .S 6与S 7均为S n 的最大值 4、在等差数列{a n }中，满足3a 4＝7a 7，且a 1＞0，S n 是数列{a n }前n 项的和， 若S n 取得最大值，则n ＝____ 5、已知数列{a n }中，6 .15-= n n a n )(*∈N n ，求数列{a n }的最大项 6、已知}{n a 是各项不为零的等差数列，其中10a >，公差0d <，若100S =,求数列}{n a 前n 项和的最大值 7、在等差数列}{n a 中，125a =，179S S =，求n S 的最大值 8、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知001213123<>=S S a ，， ⑴求出公差d 的范围， ⑵指出1221S S S ，， ， 中哪一个值最大，并说明理由。

高中数学必修5《等差数列求和公式》教学设计

《等差数列求和公式》教学设计 知识与技能目标：掌握等差数列前n 项和公式，能较熟练应用等差数列前n 项和公式求和。 过程与方法目标：培养学生观察、归纳能力，应用数学公式的能力及渗透函数、方程的思想。 情感、态度与价值观目标：体验从特殊到一般，又到特殊的认识事物的规律，培养学生勇于创新的科学精神。教学重点与难点：等差数列前n 项和公式是重点。获得等差数列前n 项和公式推导的思路是难点。 教学策略：用游戏的方法调动学生的积极性教学用具：flash ，ppt课堂系统部分：整节课分为三个阶段： 问题呈现阶段探究发现阶段公式应用阶段 问题呈现1：有10袋金币，在这10袋中有一袋金币是假的，已知，真金币的重量是2两/个, 而假币的重量是1两/个。 问：只给一个电子秤，而且只能秤一次，找出哪一袋金币是假的？ S = 10 + 9 + + 2 + 1 2S =11+11+ +11+11问题1：1+2+ +8+9+10=? S =1+2+ +9+102S =11?10=110110S ==552动画演示： 由刚刚的计算我们已经知道，从10袋里面拿出 的金币数共55个，如果这10袋都是真币，那么 电子秤显示的数据应该是： (两) 55?2= 110 而实际显示的的数字是：102（两） 可见比全是真币时少了8两 又因为，每个假币比真币轻1两 所以，可知在电子秤上有8个假币 那么，第8袋全是假币。 设计说明：

这道题的设计新颖之处在于摆脱了以往以高斯算法引出的模式，用一道智力题，激发学生的学习兴趣。 动画的演示更能较直观地表现出本题的思维方式 承上启下，探讨高斯算法. 问题呈现2： 泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿帝国 皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建，她宏伟壮观，纯白大 理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷，成为世界七 大奇迹之一。陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝。 传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝 石镶饰而成，共有100层（见左图），奢靡之程度， 可见一斑。 你知道这个图案一共花了多少宝石吗？ 2：图案中，第1层到第21层一共有多少颗宝石？ 也就是联想到“首尾配对”摆出几何图形, , 如何将图与高斯的逆序相加结合起来, 让 , 将两个三角形拼成平行四边形. (1+21) ?21s = 212 设计说明： ?源于历史，富有人文气息. ?图中算数，激发学习兴趣. 这一个问题旨在让学生初步形成数形结合的思想, 这是在高中数学学习中非常重要的思想方法. 借助图形理解逆序相加, 也为后面公式的推导打下基础. 探究发现： 问题3：如何求等差数列{a n }的前n 项和S n ?

高三一轮复习专题：数列通项公式与求和方法总结(新)

关键是找出各项与项数n 的关系.） 例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式： （1）9，99，999，9999，…（2） ,1716 4,1093 ,542,211（3） ,52,21,32 ,1（4） ,5 4 ,43,32,21-- 答案：（1）110-=n n a （2）;1 22++=n n n a n （3）;12+=n a n （4）1)1(1+? -=+n n a n n . 公式法1：特殊数列 例2： 已知数列{a n }是公差为d 的等差数列，数列{b n }是公比为q 的(q ∈R 且q ≠1)的等比数列，若函数f (x ) = (x －1)2，且a 1 = f (d －1)，a 3 = f (d +1)，b 1 = f (q +1)，b 3 = f (q －1)，(1)求数列{ a n }和{ b n }的通项公式； 答案：a n =a 1+(n －1)d = 2(n －1)； b n =b ·q n －1=4·(－2)n － 1 例3. 等差数列{}n a 是递减数列，且432a a a ??=48，432a a a ++=12，则数列的通项公式是（ ） (A) 122-=n a n (B) 42+=n a n (C) 122+-=n a n (D) 102+-=n a n (D) 例4. 已知等比数列{}n a 的首项11=a ，公比10<

数列求和练习题(含答案)

2．(教材改编)数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＝1 n (n ＋1) ，则S 5等于( ) A ．1 B.5 6 C.16 D.130 B [∵a n ＝1n (n ＋1)＝1n －1 n ＋1 ， ∴S 5＝a 1＋a 2＋…＋a 5＝1－12＋12－13＋…－16＝5 6.] 3．(2016·广东中山华侨中学3月模拟)已知等比数列{a n }中，a 2·a 8＝4a 5，等差数列{b n }中，b 4＋b 6＝a 5，则数列{b n }的前9项和S 9等于( ) A ．9 B ．18 C ．36 D ．72 B [∵a 2·a 8＝4a 5，即a 25＝4a 5，∴a 5＝4， ∴a 5＝b 4＋b 6＝2b 5＝4，∴b 5＝2， ∴S 9＝9b 5＝18，故选B.] 已知等差数列{a n }中，2a 2＋a 3＋a 5＝20，且前10项和S 10＝100. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)若b n ＝ 1 a n a n ＋1 ，求数列{b n }的前n 项和． [解] (1)由已知得???? ? 2a 2＋a 3＋a 5＝4a 1＋8d ＝20，10a 1＋10×9 2d ＝10a 1＋45d ＝100， 解得??? a 1＝1， d ＝2， 3分 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1.5分 (2)b n ＝ 1(2n －1)(2n ＋1)＝12? ?? ??1 2n －1－12n ＋1，8分 所以T n ＝12? ? ???1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1 ＝12? ????1－12n ＋1＝n 2n ＋1 .12分

步步高—数列求和(高三一轮复习)

求数列的前n 项和的方法 (1)公式法 ①等差数列的前n 项和公式 S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2d . ②等比数列的前n 项和公式 (ⅰ)当q ＝1时，S n ＝na 1； (ⅱ)当q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q . (2)分组转化法 把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解． (3)裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项． 常见的裂项公式 ①1n (n ＋1)＝1n －1 n ＋1 ； ②1(2n －1)(2n ＋1)＝12????1 2n －1－12n ＋1； ③ 1 n ＋n ＋1 ＝n ＋1－n . (4)倒序相加法 把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广． (5)错位相减法 主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式

的推导过程的推广． (6)并项求和法 一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解． 例如，S n ＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5050. 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)如果数列{a n }为等比数列，且公比不等于1，则其前n 项和S n ＝a 1－a n ＋1 1－q .( √ ) (2)当n ≥2时，1n 2－1＝12(1n －1－1 n ＋1 )．( √ ) (3)求S n ＝a ＋2a 2＋3a 3＋…＋na n 之和时，只要把上式等号两边同时乘以a 即可根据错位相减法求得．( × ) (4)数列{12n ＋2n －1}的前n 项和为n 2＋1 2 n .( × ) (5)推导等差数列求和公式的方法叫做倒序求和法，利用此法可求得sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 288°＋sin 289°＝44.5.( √ ) 1．(教材改编)数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＝1 n (n ＋1)，则S 5等于( ) A ．1 B.5 6 C.16 D.130 答案 B 解析 ∵a n ＝1n (n ＋1)＝1n －1 n ＋1 ， ∴S 5＝a 1＋a 2＋…＋a 5＝1－12＋12－13＋…－16＝5 6 . 2．数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n － 1·(4n －3)，则它的前100项之和S 100等于( ) A ．200 B ．－200 C ．400 D ．－400 答案 B 解析 S 100＝(4×1－3)－(4×2－3)＋(4×3－3)－…－(4×100－3)＝4×[(1－2)＋(3－4)＋…＋(99－100)]＝4×(－50)＝－200. 3．设f (x )＝4x 4x ＋2 ，利用倒序相加法，则f ????111＋f ????211＋…＋f ????1011等于( )