数学人教版八年级上册几何最值问题

E

D C A B M

几何最值问题（教案）

南通市通州区姜灶中学 张静华

【教学目标】

1、 会利用“两点之间线段最短”和“垂线段最短”解决线段最短问题；

2、 掌握解决几何最值问题的常用方法.

【教学重、难点】

能运用恰当的方法解决几何最值问题

【教学过程】

一、课前热身：

1. 已知点A （-1, 2），B （3,1）

（1）P 点在y 轴上移动，当PA+PB 最小时，求P 点坐标；

（2）Q 点在x 轴上移动，当QA+QB 最小时，求Q 点坐标．

2.

如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3, M 为斜AB 上的一个动点，过点M 作MD ⊥AC 于点D,过点M 作ME ⊥BC 于点 E.则线段DE 的最小值为 ．

3．如图，⊙O 的半径为2，点O 到直线l 的距离为3，点P 是直线l 上的一个动点，PQ 切⊙O 于点Q ，则PQ 的最小值为（ ） A.13 B.5 C.3 D.2

二、探究

活动一：

例1 (2016·淮安改编)如图,Rt △ABC 中,∠C=90°, AC=6,BC=8,点F 在边AC 上,并且CF=2,点E 为边BC 上的动点,将△CEF 沿直线EF 翻折,点C 落在点P 处,则点P 到点B 的距离最小值是 .

活动二：

例2 如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，点P 是AC 上动点，且 AB=10，∠DAB= 60 °

（1）若点E 为AB 的中点，连接PB 、PE ，则线段PE+PB 的最小值是 ；

（2）若点E 是AB 边上动点，连接PB 、PE ，则线 段 PE+PB 的最小值是 ．

活动三：

例3.如图,直线l 与半径为4的☉O 相切于点A , P 是☉O 上的一个动点(不与点A 重合),过点P 作PB ⊥l ,垂足为B ,连接P A.设P A=x ,PB=y ,则(x-y )的最大值是 .

三、课堂小结：

常用知识点

常用方法

四、巩固练习

1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8,AD是Rt△ABC的角平分线，若点M,N分别是线段AD和边AC上的动点，则MC+MN的最小值

是.

2．等腰直角△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，D为线段AC上一动点，连接BD，

过点C作CH⊥BD于H，连接AH，则AH的最小值为．

3．如图，矩形ABCD中，BC=2，点P是线段BC上一点，连接PA ，将线段PA绕点P逆时针旋转90°得到线段PE，平移线段PE得到CF，连接EF，问：四边形PCFE的面积是否有最大值？若有，请求出面积的最大值及此时BP长，若没有，请说明理由．

初中数学的几何最值问题

1. 如图，∠MON=90°，矩形ABCD 的顶点A 、B 分别在边OM ，ON 上，当B 在边ON 上运动时，A 随之在边OM 上运动，矩形ABCD 的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D 到点O 的最大距离为【 】 A ．21+ B ．5 C ．1455 5 D ．52 2.在锐角三角形ABC 中，BC=24，∠ABC=45°，BD 平分∠ABC， M 、N 分别是BD 、BC 上的动点，则CM+MN 的最小值是 。 3.如图，圆柱底面半径为2cm ，高为9cm π，点A 、B 分别是圆柱两底 面圆周上的点，且A 、B 在同一母线上，用一棉线从A 顺着圆柱侧面绕 3圈到B ，求棉线最短为 cm 。 4. 在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，AD 是BC 边上的中线，则AD 的取值范 围是 ． 5.如图，长方体的底面边长分别为2cm 和4cm ，高为5cm .若一只蚂蚁从 P 点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q 点，则蚂蚁爬行的最短路径长为 【 】 A.13cm B.12cm C.10cm D.8cm 6.如图所示，在边长为2的正三角形ABC 中，E 、F 、G 分别为AB 、AC 、BC 的中点，点P 为线段EF 上一个动点，连接BP 、GP ，则△BPG 的周长的最 小值是 ． 7.如图，菱形ABCD 中，AB=2，∠A=120°，点P ，Q ，K 分别为线段BC ， CD ，BD 上的任意一点，则PK+QK 的最小值为 A ． 1 B ．3 C ． 2 D ．3＋1 8. 如图，点A 的坐标为（-1，0），点B 在直线y x =上运动，当线段 AB 最短时，点B 的坐标为【 】A.（0，0） B.（ 21-，2 1-） C.（2 2，22-） D.（22-，22-）

初中数学八年级上册求最值的相关习题

求最值的题目 1、利用轴对称变换求最小值 1）( 两定点一动点)在平面直角坐标系中，已知A （1，4）、B （3，1），P 是坐标轴上一点，（1）当P 的坐标为多少时，AP+BP 取最小值，最小值为多少? 当P 的坐标为多少时，AP-BP 取最大值，最大值为多少？ 2）、（一定点，两动点）、如图，矩形ABCD 中，AB=20，BC=10，若在AB 、AC 上各取一点N 、M ，使得BM+MN 的值最小，这个最小值为多少？ 2、利用数形结合的思想求最小值 1）求函数 34610622++++-=x x x x y 的最小值 3、利用配方法求最小值 1）、（2003?温州）为了美化校园环境，某中学准备在一块空地（如图，矩形ABCD ，AB=10m ，BC=20m ）上进行绿化．中间的一块（图中四边形EFGH ）上种花，其他的四块（图中的四个Rt △）上铺设草坪，并要求AE=AH=CF=CG ．那么在满足上述条件的所有设计中，是否存在一种设计，使得四边形EFGH （中间种花的一块）面积最大？若存在，请求出该设计中AE 的长和四边形EFGH 的面积；若不存在，请说明理由！

2）、为了美化社区环境，某小区准备对门口的一块矩形空地ABCD 重新进行绿化，已知矩形的边长AB=10m ，BC=20m ，绿化方案如下：在矩形ABCD 中间的一块四边形EFGH 地面上种花，剩下的其它四块地面上铺设草坪，并要AH=CF=2AE=2CG ．在满足上述条件的所有设计中，求出使四边形EFGH 面积最大的AE 的长和此时四边形EFGH 的面积． 3）. 如图，正方形ABCD 的边长为3a ，两动点E 、F 分别从顶点B 、C 同时开始以相同速度沿BC 、CD 运动，与△BCF 相应的△EGH 在运动过程中始终保持△EGH ≌△BCF ，对应边EG ＝BC ，B 、E 、C 、G 在一直线上。 (1) 若BE ＝a ，求DH 的长； (2 ) 当E 点在BC 边上的什么位置时，△DHE 的面积有最小值？求该三角形面积的最小值。 D B C A E F G H 3a 3a

人教版八年级数学上册 第13章 对称轴及最值问题专项练习

对称轴及最值问题专项练习 【例题1】轴对称和轴对称图形的性质 下面四个京剧脸谱的剪纸中，是轴对称图形的是（） A B C D 【练1-1】 下列说法正确的是（） A．任何一个图形都有对称轴 B．两个全等三角形一定关于某直线对称 C．若△ABC与△A′B′C′成轴对称，则△ABC≌△A′B′C′ D．点A，点B在直线1两旁，且AB与直线1交于点O，若AO=BO，则点A与点B•关于直线l对称 【练1-2】 如图，点P在∠AOB的内部，点M、N分别是点P关于直线OA、OB•的对称点，线段MN交OA、OB于点E、F，若△PEF的周长是20cm，则线段MN的长为 . E A B P M N F 【练1-3】 把一张长方形的纸片按如图所示的方式折叠，EM,FM为折痕，折叠后的C点落在M B'或M B'的延长线上，那么∠EMF的度数是 .

【练1-4】 如图，ΔABC中，点A的坐标为（0，1），点C的坐标为（4，3），点B的坐标为（3，1），如果要使ΔABD与ΔABC全等，求点D的坐标． 【例题2】对称点 点P（-3，5）关于y 轴对称的点的坐标为，点P（3，-2）关于直线x=2对称点的坐标是 . 【练2-1】 已知P1点关于x轴的对称点P2（3-2a，2a-5）是第三象限内的整点（横、纵坐标都为整数的点，称为整点），则P1点的坐标是 . 【练2-2】 已知A（-1，-2）和B（1，3），将点A向平移个单位长度后得到的点与点B关于y轴对称． 【练2-3】 已知M（2a+b，3）和N（5，b﹣6a）关于y轴对称，则3a﹣b的值为 . 【2-4】 已知点A坐标为(3-2a，3a-9)在第三象限，且a为整数.根据要求完成下列各题： （1）a= ；A点坐标为； （2）A点关于x轴对称的点坐标为；A 点关于y轴对称的点坐标为；A点关于原点对称的点坐标为； （3）A点关于直线 x=2 对称的点坐标为；A点关于直线 x=-2 对称的点坐标为； （4）连接OA,将OA绕点O旋转90°，则旋转后A点对应坐标为 . 【练2-5】 在平面直角坐标系中，①点P(−2,1)与点Q(2,−1)关于x轴对称；②点M（-2,1）与点N（2,1）关于y轴对称；③与点（-3,3）关于y轴对称的点在第二象限；④点P（2，a）与点Q（b,-3）关于x轴对称，则a-b的值为1.其中正确的是（）

人教版初二数学上册线段和的最小值问题

这节课是中考复习的一节专题课，线段和的最小值问题是一类比较有难度的题型，它在中考的倒数第二题曾经出现过，学生对这类问题的理解并不十分到位，并且学生对于知识之间的转化应用不熟练。基于这个前提，我设置了这节课。这节课开始先是让学生了解这节课的学习目标，明确这节课的任务，然后让学生独立完成自主学习作图一“两定一动”问题，主要是让学生尽快回忆起这部分内容，然后在例一中把内容放在坐标系中进行简单应用，使学生对坐标系与线段和最小值问题产生一定的联系。例一主要让学生了解这类题的解题思路以及书写过程，然后配套变式练习一作为简单的应用。经过两道题的练习，再回过头让学生感知线段和的最小值问题处理的方式“先画再算”。在经过对基础问题的研究之后，马上引入作图二，由两定一动问题转化到“两定两动”问题，学生通过小组讨论对题目有了一定的了解，然后老师用几何画板演示变化过程，使学生更直观的看出图形的变化。当学生对“两定两动”问题有了初步的了解之后，引入变式练习二，将图形放在坐标系中进行解题，使学生进一步加深对知识的理解。紧接着总结作图二和变式二，提出问题的关键是“转化”，并引入一种图形变换---平移。然后进行课堂小结，让学生回顾本节课学习的内容，教师进行补充，并回扣最初的学习目标。总结之后，学生当堂完成设置的达标检测，达标检测的目的是检测学生对于最基本的知识是否理解并掌握。在最后设置了一道能力提升的题目，能够使一部分优生进一步的提高能力。 本节课的设置是按照我校推广的教学法安排设置，即揭示目标--

自主学习--合作讨论--互查互助---课堂反馈这几步，本节课秉承着随时总结，随时点拨的原则，尽量加深学生对知识的理解，并且通过本节课的学习能够使不同层次的学生都有所收获。

第十二章全等三角形最值问题专题训练(1)2021-2022学年人教版数学八年级上册

第十二章全等三角形最值问题专题训练1 一、选择题 1.如图，OP平分∠AOB，PD⊥OA于点D，点E是射线OB上的一个动点，若PD＝3，则PE的最小值（） A. 等于3 B. 大于3 C. 小于3 D. 无法确定 2.如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE =90°，AB=AC=4，O为AC中点，若点D 在直线BC上运动，连接OE，则在点D运动过程中，线段OE的最小值 ．．．是( ) A. 1 2B. √2 2 C. 1 D. √2 3.如图，∠MON=60°，OA平分∠MON，P是射线OA上的一点，且OP=4，若点 Q是射线OM上的一个动点，则PQ的最小值为（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4.如图，AD为等腰△ABC的高，其中∠ACB=50°，AC=BC，E，F分别为线段AD， AC上的动点，且AE=CF，当BF+CE取最小值时，∠AFB的度数为（） A. 75° B. 90° C. 95° D. 105°

5.如图，OB平分∠MON，A为OB的中点，AE⊥ON，垂足为点E，EA＝3，D为 OM上的一个动点，C是DA的延长线与BC的交点，BC∥OM，则CD的最小值 为（） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 6.如图，已知点P是∠AOB角平分线上的一点，PC⊥OA于C，PC=4cm，点D是OB上一个动点，则PD 的最小值为（） A. 2 B. 4 C. 2√3 D. 4√3 7.如图，OB平分∠MON，A为OB的中点，AE⊥ON，垂足为点E，EA=3，D为 OM上的一个动点，C是DA的延长线与BC的交点，BC∥OM，则CD的最小 值为（） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 8.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，AD平分∠CAB交BC于D点，E、 F分别是AD，AC上的动点，则CE+EF的最小值为（） A. 1.8 B. 2 C. 2.4 D. 2.5 9.如图, 点P是∠AOB的角平分线OC上一点, PE⊥OA, OE=10, 点G是线段OP的中点, 连接EG, 点F是 射线OB上一个动点. 若PF的最小值为4, 则△PGE的面积为（）

数学人教版八年级上册最值学案

动态几何中的最值问题 最值问题：在平面几何问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量（如线段的长度、图形的面积、角的度数）的最大值或最小值问题，称为最值问题。 知识回顾1.如图，要在燃气管道L上修建一个泵站，分别向A，B两镇供气。泵站修在管道的什么地方可使所用的输气管线最短? 应用知识： 解决问题： 解题技巧： 例1.如图，四边形ABCD是正方形，边长是4，E是BC 上一点，且CE＝1，P是对角线BD上任一点，则PE＋PC的最小值是______ 练习1：如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN=30度，B为弧AN的中点，P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值是▁▁▁ 知识回顾2.如图，在正方形ABCD中，BC=4cm, 对角线交于O点。若连结矩形OFPE的对角线EF,则EF的最小值 应用知识： 解决问题： 解题技巧：例2：如图，在垂直ABC 中，AB=10，AC=8，BC=6，经过点C且与边AB相切的动圆与CB、CA分别相交于点E、F，则线段EF长度的最小值是 练习2.如图，在锐角△ABC中，AB=4 , ∠BAC =45度, BAC 的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是▁▁▁▁▁. 知识回顾3如图P是圆O内一点，PO=2，圆的半径是4，则点P到圆上点最大距离是， 最短距离为 应用知识： 解决问题： 例3如图，弧BE是半径为6的圆D的(1/4)圆周，C点是弧BE上的任意一点垂直ABD是等边三角形，则四边形ABCD的周长的最大值为 变式训练3：在垂直ABC中角ACB=90度，角ABC=30度，将垂直ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为（0度< <180度),得到垂直A’B’C‘。设AC的中点为E，A’B’的中点为P，AC=a,连接EP，当= 时，EP长度最大，最大值为 A B P 4 6

八年级数学几何图形第18讲 几何最值问题专项突破(学生版)

第18讲 八年级数学上几何最值问题专项突破（原卷版） 第一部分典例剖析+针对训练 类型一 单动点求两线段和的最小值 名师点金：将军饮马问题。两点在一直线同侧时，作一个点的对称点与另一个点连接，所得线段的长即为所求。 典例1（2022春•鄂城区期末）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝8，点P 是边BC 上一动点，点D 在边AB 上，且BD =14 AB ，则P A +PD 的最小值为（ ） A ．8 B ．4√3 C ．2√13 D ．8√33 针对训练1 1．（2022春•中原区期末）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ，BE 是△ABC 的两条中线，AD ＝5，BE ＝6，P 是AD 上的一个动点，连接PE ，PC ，则PC +PE 的最小值是（ ） A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 类型二 求一条线段的最小值 名师点金：垂线段最短！ 典例2（2021秋•徐州期中）如图，OP 平分∠AOB ，PD ⊥OA 于点D ，点E 是射线OB 上的一个动点，若PD ＝3，则PE 的最小值是 ．

针对训练2 2．（2021秋•交城县期末）如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，BD 为△ABC 的角平分线，过点D 作直线l ∥AB ，点P 为直线l 上的一个动点，若△BCD 的面积为16，BC ＝8，则AP 最小值为 ． 类型三 双动点求两线段和的最小值 名师点金：将军饮马问题与垂线段最短的综合。 典例2（2021秋•双台子区期末）如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝6，∠BAC ＝30°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，E ，F 分别是线段AD 和AB 上的动点，则BE +EF 的最小值是 ． 针对训练3 3．（2022春•河源期末）已知，等腰△ABC 中，AB ＝AC ，E 是高AD 上任一点，F 是腰AB 上任一点，腰AC ＝5，BD ＝3，AD ＝4，那么线段BE +EF 的最小值是（ ） A ．5 B ．3 C ．245 D ．72 4．（2022•合肥模拟）在四边形ABCD 中，∠ABC ＝60°，∠BCD ＝45°，BC ＝2√3+2，BD 平分∠ABC ，若P ，Q 分别是BD ，BC 上的动点，则CP +PQ 的最小值是（ ） A ．2√3+2 B ．√3+3 C ．2√2+2 D ．√2+4

【中考数学专题】45：第8章几何中的最值问题之四边形的面积-无答案)

45第8章几何中的最值问题之四边形的面积一、单选题 1．如图，等边△ABC的边长为3，点D在边AC上，AD＝1 2 ，线段PQ在边BA上运动，PQ＝ 1 2 ，有下 列结论：①CP与QD可能相等；②△AQD与△BCP可能相似；③四边形PCDQ面积的最大值为313 16 ；④ 四边形PCDQ周长的最小值为 37 3 2 ．其中，正确结论的序号（） A．①④B．②④C．①③D．②③ 二、填空题 2．已知，四边形ABCD的两条对角线AC、BD互相垂直，且AC+BD＝10，当AC＝_______时，四边形ABCD 的面积最大，最大值为__________． 3．如图，⊙O是等边△ABC的外接圆，已知D是⊙O上一动点，连接AD、CD，若圆的半径r＝2，则以A、B、C、D为顶点的四边形的最大面积为_____． 4．已知AB为半圆的直径，AB＝2，DA⊥AB，CB⊥AB，AD＝1，BC＝3，点P为半圆上的动点，则AD，AB，BC，CP，PD围成的图形的面积的最大值是_____．

5．如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点．抛物线22y x x =-与x 轴正半轴交于点A ，点B 的坐标为()0,3，C 是该抛物线第一象限图像上的一点，、、A B C 三点均在某一个正方形的边上，且该正方形的任何一条边均与某条坐标轴平行，设点C 的横坐标为m ．若这个正方形的面积最小，则m 的取值范围是__________． 6．如图，O 的半径为1，点(),4P a a -为O 外一点，过点P 作O 的两条切线，切点分别为点A 和点B ，则四边形PBOA 面积的最小值是___________． 7．如图，矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，点E 是A 边上一点，且AE ＝3，点F 是边BC 上的任意一点，把△BEF 沿EF 翻折，点B 的对应点为G ，连接AG ，CG ，则四边形AGCD 的面积的最小值为_____．

数学人教版八年级上册中考几何复习专题——线段最值问题

《中考几何复习专题——线段最值问题》教学设计 【教学目标】 教学知识点： 借助轴对称、平移、旋转等图形的变化，利用“两点之间线段，线段最短”，“三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”的原理解决线段和差最值的问题;感受临界状态和转化的数学思想. 能力训练： 在将实际问题抽象成基本数学模型的过程中,提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想. 情感与价值观： 通过有趣的问题提高学习数学的兴趣.在解决实际问题的过程中,体验数学学习的实用性,体现人人都学有所用的数学. 【教学重难点】 重点: 线段和的最小值，线段差的最大值的基本模型. 难点:利用平移和旋转解决三条线段和的最小值问题. 【教学过程】 一、复习线段和最小值，线段差最大值两个基本模型。 (1)“将军饮马问题”如图：A、B为直线同侧两定点，在直线上找一点P，使PA+PB最小。

学生回答解决方法： 利用轴对称将同侧点转化为异侧， 根据两点之间，线段最短找到点P 。 师生共同完成证明（任意另取一点P ’, 借助三角形两边之和大于第三边P’ 完成证明）。 （2）如图：A 、B 为直线同侧两定点，在直线上找一点P ，使│PA —P B │最大。 点学生回答解决方法： 师生共同完成证明（任意另取一点P ’,借助三角形两边之差小于第三边│P’A —P’B’ │ >│PA-PB’ │，完成证明）。 二．练习强化 如图，在正方形ABCD 中，AB=4,点E 为AB 上一点，BE=1 A

（1）在BD上找一点M，使EM+AM最小，求出最小值. （2）在BD上找一点M，使︱AM-EM ︱最大，求出最大值. （3）MN为BD上的一条动线段，MN= ，求EM+MN+NA 的最小值.（引出“造桥选址问题”） （4）在BD上找一点M，使AM+BM+CM最小，求出最小值. （引出“费马点”问题） 三.造桥选址基本模型 •A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN。 桥造在何处可使从A到B的路程最短？（假定河的两岸 是平行的直线，桥要与河垂直） 学生先独立思考，再合作交流，教师给予”平移”动线段的提示共同解决问题。再回到第（3）题引导学生将动线段MN 的位置确定，再求其长度。 四．“费马点”问题 老师提示将三条线段通过某种图形变换实现首尾顺次相连，在特殊情况——“共线”的时候取得最值。什么样的图形变换能够实现这个目的？ 学生通过独立思考，合作交流解决问题。

初中中考数学复习专题：面积最值问题归类解析

初中中考数学复习专题：面积最值问题归类解析 面积最值（动点） 模型一 例1：正方形ABCD 边长为4，M 、N 分别是BC 、CD 上的两个动点，当M 点在BC 上运动时， 保持AM 和MN 垂直， （1）证明：Rt △ABM ∽Rt △MCN ； （2）设BM=x ，梯形ABCN 的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式；当M 点运动到什么位置时，四边形ABCN 的面积最大，并求出最大面积； 分析：（1）定方向：梯形（规则图形）面积问题； （2）定目标：下底AB=4，高BC=4，缺上底CN （待求条件） （3）定解法：本题没有明显的角度或三角函数值，加之前一个问题证明了相似。所以本题是利用相似三角形对应边的比建立方程来表示CN 的长。 （4）定最值：根据范围确定最值在顶点取得。 解：（1）三直角结构；（略） （2） Rt Rt ABM MCN △∽△， 44AB BM x MC CN x CN ∴=∴= -，， 244 x x CN -+∴= 2221411 4428(2)102422ABCN x x y S x x x ⎛⎫-+∴==+=-++=--+ ⎪⎝⎭ 梯形（0

八年级数学几何最值问题(人教版)(专题)(含答案)

几何最值问题（人教版）（专题） 一、单选题(共10道，每道10分) 1.如图，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点，则PB+PE的最小值是( ) A. B. C. D. 答案：C 解题思路： 1．思路分析 2．解题过程 根据正方形的性质，点B和点D关于AC对称，此时连接DE， 与AC的交点即为点P，线段DE的长即为所求．

∵正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点， ∴AE=1，AD=2， ∴， 故选C 试题难度：三颗星知识点：略 2.如图，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE最小，则这个最小值为( ) A.3 B. C. D. 答案：C 解题思路： 定点：D，E 动点：P（在定线段AC上运动） 要使PD+PE最小，需要通过对称把PD，PE转移到直线AC异侧. 如图，由正方形的性质知，D，B关于AC所在直线对称，所以 PD=PB，故所求可转化为“PB+PE的最小值”． 根据“两点之间线段最短”，当B，P，E共线时，PB+PE最小， 最小值为BE的长度. ∵正方形ABCD的面积为12， ∴， ∴，

故选C. 试题难度：三颗星知识点：略 3.如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为边BC，CD，BD上的动点，则PK+QK的最小值为( ) A.1 B. C.2 D. 答案：B 解题思路： 如图，作点Q关于BD的对称点，根据菱形的对称性， 点落在AD边上， 则题目转化为求的最小值， 根据两点之间线段最短，的最小值为线段的长度， 当⊥AD时，最小． 如图，过点C作CE⊥AD，则．

人教版八年级数学上册13.4《课程学习 最短路径问题》教学设计(优质获奖)

《课题学习：最短路径问题》教学设计 一、课程标准解读及地位作用 （1）课程标准解读：《课题学习：最短路径问题》属于综合与实践这一部分，这节课就是综合运用所学的数学思想、方 法、知识、技能解决一些生活和社会中的问题，以实际生 活中的问题为载体，以学生自主参与为主的学习活动，是 培养学生应用意识、创新意识、过程经验很重要的载体， 通过课题学习能够把知识系统化，解决一些实际问题。针 对问题情境，学生借助所学知识和生活经验独立思考或与 他人合作，经历发现问题和提出问题、分析问题和解决问 题的全过程，感悟数学各部分内容之间、数学与实际生活 之间及其他学科的联系，激发学生学习数学的兴趣，加深 学生对所学数学内容的理解。这种类型的课程应该“少而 精”的原则，保证每学期至少一次，可以在课堂上完成， 也可以将课内外结合. （2）地位及作用：《课题学习：最短路径问题》位于人教版八年级上第十三章《轴对称》，为让学生能灵活的运用两点之 间线段最短、合理使用轴对称、平移等解决最短路径问题 而设置的一节课。本节课是在学习轴对称、等腰三角形的 基础上，引导学生探究如何利用线段公理解决最短路径问 题。它既是轴对称、平移、等腰三角形知识运用的延续，

又能培养学生自主探究，学会思考，在知识与能力转化上 起到桥梁作用． 二、教学内容和内容解析 1、内容：利用轴对称研究某些最短路径问题． 2、内容解析：最短路径问题在现实生活中经常遇到，初 中阶段，主要以“两点之间，线段最短”“连接直线外 一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”为知 识基础，有时还要借助轴对称、平移、旋转等进行变 换进行研究. 这节课我以数学史中的一个经典问题---将军饮马问题为载体开展对“最短路径问题”的课题研究，让 学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小值问 题，再利用轴对称将线段和最小值问题转化为“两点 之间，线段最短”问题。基于以上分析，确定本节课 的教学重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“两 点之间，线段最短”问题. 三、目标和目标解析 1、目标：能利用轴对称能利用轴对称和平移变换解决简单 的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的 作用，感悟转化思想． 2、目标解析：达成目标的标志是：学生能将实际问题中的 “地点”“河”抽象为数学中的“点”“线”，经历将实际

八年级数学第6讲.平移和几何最值问题.尖子班.学生版

6 平移和 几何最值问题 总分值晋级阶梯 四边形7级四边形6级特殊图形的旋转与正方形弦图 四边形5级平移和几何最值问题 典型中点构造 春季班春季班春季班 第五讲第六讲第七讲 漫画释义 “最值〞动物 65

知识互联网 题型切片 题型切片〔三个〕对应题目平移例1，例2，练习1； 题 型 面积例3，例4，例5，练习2，练习3目 标 最值问题例6，例7，练习4，练习5．

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题型一：平移 思路导航 假设 AB CD，并相交，平移CD与AB共顶点，会出现平行四边形CDD'C'和等腰△ADB； A C A(C') C 平移CD D D' B B D 假设 AB CD，无交点，平移CD与AB共顶点，同样会产生平行四边形CDD'C'和等腰△ABD． A C A(C')C 平移CD D D'D B B 例题精讲 【引例】如下列图，△ABC为等边三角形，P是△ABC内任一点，PD∥AB， PE∥BC，PF∥AC，假设△ABC的周长为12，那么PDPE PF等 于多少？ A F E P B C 【解析】过F作FN∥PE，过D作DM∥PF D ∵PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC A ∴∴四边形FPEN和四边形MDPF是平行四边形 ∵△ABC是等边三角形 ∴A B AFN MDB 60∴△AFN和△MBD是等边三角形PF=MD=MB,PE=FN=AF,PD=FM ∵等边△ABC周长为12 PF+PD+PE=BM+MF+AF=AB=4 F N E P M B D C

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典题精练 【例1】如图，边长为1的正方形EFGH在边长为3的正方形ABCD所在平面上移动，始终保持EF∥AB，线段CF的中点为M，DH的中点为N，那么线段MN的长为() A．10 B． 17 C． 17 D．210 2233 B C M F G E H N A D 【例2】一个四边形的两条对角线相等，那么称这个四边形为等对角线四边形．请解答以下问题： ⑴写出你所学过的特殊四边形中是等对角线四边形的两种图形的名称； ⑵探究：当等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为60°时，这对60°角所对的两边之和与其 中一条对角线的大小关系，并证明你的结论． 68

2021年重庆中考数学复习几何最值问题专题训练一

F D 2021 年重庆中考复习最值问题专题训练一 一、利用垂线段最短求最值 例 1、如图，在等腰直角三角形 ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝8，D 是 BC 边上一动点，将 AD 绕点 A 逆时针旋转 45°得 AE ，连接 CE ，则线段 CE 长的最小值为 例 2、如图，△ABC 是等腰直用三角形，且 AC=BC=8，D 为射线 AB 上的一个动点，连接 CD ， 3 二、利用二次函数求最值 例 4、如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝15，BC ＝9，点 P 是线段 AC 上的一个动点，连接 BP ，将线段 BP 绕点 P 逆时针旋转 90°得到线段 PD ，连接 AD ，则线段 AD 的最小值是 ． 例 5、如图，边长为 8 的正方形 ABCD 中，动点 P 在 CD 边上，以 AP 为直角边向上作等腰 Rt △ APE ，边 PE 与 BC 交于点 F ，连接 BE.则线段 BE 在运动过程的最小值为 . 将线段 CD 绕点 C 顺时针旋转 90°至 CF ，E 为线段 AC 上的一点，sin ∠CBE= 5 过程中，EF 的最小值为 ，则点 D 在运动 例 6、如图,在△ABC 中， AB = AC = 5, BC = 4 ，D 为边 AB 上一动点(B 点除外),以 CD 为一 例3、如图，Rt △ABC 中，AB ⊥BC ，AB=6，BC=4，点D 是△ABC 内一个动点，且满足∠DA B=∠DBC ，当线段 CD 取最小值时，记∠BCD =α ，线段 AB 上一动点 E 绕点 D 顺时针旋转得到点 F ，且满足 ∠EDF =α ，则 AF 的最小值为_ . A E 边作正方形 CDEF ，连接 BE ，则 ∆BDE 面积的最大值为 . 三、利用三角形三边的关系求最值 例 7、如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝4，D 为线段 AC 上一动点，连接 BD ，过点 C 作 CH ⊥BD 于 H ，连接 AH ，则 AH 的 最小值为 ． B C 5

2021年最新人教版八年级数学上期末复习最值问题专题训练含答案解析精心选题

2021年八年级数学上最值问题专题训练 一．选择题（共4小题） 1．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则CDM ∆周长的最小值为() A．6B．8C．10D．12 2．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是12，腰AB的垂直平分线EF分别交AB， ∆的周长最AC于点E，F，若D为底边BC的中点，点M为线段EF上一动点，则BDM 小值为() A．12B．8C．7D．6 3．如图，将等边ABC ∆折叠，使得点B恰好落在AC边上的点D处，折痕为EF，O为折痕EF上一动点，若1 AD=，3 ∆周长的最小值是() AC=，OCD A．4B．5C．6D．7 4．如图，四边形ABCD中，3 ACD ∠=︒，则对角线BD长 BC=，AC AD =，60 AB=，2 的最大值为() A．5B．C．D．1

二．填空题（共10小题） 5．如图，已知ABC ∆为等腰直角三角形，4AC BC ==，15BCD ∠=︒，P 为CD 上的动点，则||PA PB -的最大值为 ． 6．如图，在四边形ABCD 中，AD CD =，90D ∠=︒，60B ∠=︒，AC BC ⊥，点E 在AC 上， EC BC =，点P 是CD 边上一动点，若4BC =，则PA PE +的最小值等于 ． 7．当式子23()x y -+有最大值时，最大值是 ，此时x 与y 的关系为 8．已知，在小房子里的地面C 处立着一架梯子，向左边墙靠到点M 时，75MCA ∠=︒，向右靠到点N 时，45NCB ∠=︒，若MA am =，NB bm =，则小房子的宽AB 为 m ． 9．如图，ABC ∆中，10BC =，4AC AB -=，AD 是BAC ∠的角平分线，CD AD ⊥，则BDC S ∆的最大值为 ． 10．如图，已知点P 在锐角AOB ∠内部，AOB α∠=，在OB 边上存在一点D ，在OA 边上存在一点C ，能使PD DC +最小，此时PDC ∠= ．

人教版初中八年级数学上册第十二章《全等三角形》(含答案解析)

一、选择题 1．如图，在ABC 中，ABC 的面积为10，4AB =，BD 平分ABC ∠，E 、F 分别为BC 、BD 上的动点，则CF EF +的最小值是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5D 解析：D 【分析】 过点C 作CM AB ⊥于点M ，交BD 于点'F ，过点'F 作''F E BC ⊥于'E ，则CM 即为CF EF +的最小值，再根据三角形的面积公式求出CM 的长，即为CF EF +的最小值． 【详解】 解：过点C 作CM AB ⊥于点M ，交BD 于点'F ，过点'F 作''F E BC ⊥于'E ， BD 平分ABC ∠，'MF AB ⊥于点M ，''F E BC ⊥于'E ， '''MF F E ∴=， '''''CM CF MF CF E F ∴=+=+的最小值． 三角形ABC 的面积为10，4AB =， ∴14102 CM ⨯⋅=， 21054CM ⨯∴==． 即CF EF +的最小值为5， 故选：D ． 【点睛】 本题考查的是轴对称-最短路线问题，根据题意作出辅助线是解题的关键． 2．下列命题的逆命题是真命题的是（ ）． A 3 3 B 5

C ．1的立方根是1 D ．全等三角形的周长相等C 解析：C 【分析】 根据把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，先得出逆命题，再进行判断即可． 【详解】 A 、3的平方根是3的逆命题是：3是3的平方根，是假命题； B 、5是无理数的逆命题是：无理数是5，是假命题； C 、1的立方根是1的逆命题是：1是1的立方根，是真命题； D 、全等三角形的周长相等的逆命题是：周长相等的三角形全等，是假命题； 故选：C ． 【点睛】 此题考查了命题的真假判断及互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题，判断命题的真假关键是要熟悉各知识点的性质定理． 3．如图，在ABC 中，B C ∠=∠，BD CE =，BF CD =，则EDF ∠等于（ ） A ．90A ︒-∠ B ．1802A ︒-∠ C ．1902A ︒-∠ D ．11802 A ︒-∠ C 解析：C 【分析】 根据∠B=∠C ，BD=CE ，BF=CD ，可证出△BFD ≌△CDE ，继而得出∠BFD=∠EDC ，再根据三角形内角和定理及平角等于180︒，即可得出∠B=∠EDF ，进而得到答案． 【详解】 解：∵∠B=∠C ，BD=CE ，BF=CD ， ∴△BFD ≌△CDE ， ∴∠BFD=∠EDC ， ∴∠B+∠BFD+∠BDF=∠BDF+∠EDF+∠EDC ， ∴∠B=∠EDF ， 又∵∠B=∠C=18019022 A A ︒-∠=︒-∠， ∴∠EDF=1902A ︒- ∠， 故选：C ．

2017-2018学年人教版初中数学动点几何最值专题训练(共50页,无答案)

动点最值专题 近几年有关“线段最值”的中考试题层出不穷，形式多样，往往综合了几何变换、函数等方面的知识，具有一定的难度，具有很强的探索性，通过研究发现，这些问题尽管形式多样、背景复杂、变化不断，但都可以通过几何变换转化为常见的基本问题． 最值题目类型多：作图、计算；有求差最大，求和最小；求周长最小、求时间最短；求最值、已知最值求待定系数等；对称载体多：几乎涉及到初中全部的轴对称图形（角、线段、等腰三角形、等腰梯形、菱形、正方形、抛物线、圆、坐标轴）. 我们知道“对称、平移、旋转”是三种保形变换。通过这三种几何变换可以实现图形在保持形状、大小不变的前提下而使其位置发生变化，具有更紧凑的位置关系或组合成新的有利论证的基本图形．通过几何变换移动线段的位置是解决最值问题的有效手段，题目是千变万化的，但是运用几何变换把最值问题转化为基本问题却是不变的。 数学问题是千变万化的，几何变换的应用也不是单一的，有些问题需要多种变换的组合才能解决，看看以下策略对解决问题能否奏效。 （1）去伪存真。刨去不变的线段，看清楚究竟是几段和的最小值问题，必须仔细研究题目的背景，搞清楚哪些是动点、哪些是定点、哪些是定长。 （2）科学选择。捕捉题目的信号，探索变换的基础，选择变换的手段．平移把不“连”的线段“接”起来，旋转把“碰头”的线段“展”开来重“接”，对称把在同侧的线段翻折过去重组，因此“不连——平移、碰头——旋转、同侧——对称”是一般的思路；对称变换的基础是轴对称图形，平移变换的基础是平行线，旋转变换的基础是等线段，所以选择哪种几何变换还要看题目中具备何种变换的基础信息。 （3）怎么变换？对称变换一般以动点所在直线为对称轴，构建定点（直线）的对称点（直线），如有多个动点就必须作多次变换；平移一般是移动没有公共端点的两条线段中的某一条，与另一条对“接”；旋转变换一般以定点为旋转中心旋转 60°或 90°。 （4）怎么求值？几何变换成了“两折线”或“三折线”后，根据“两点之间线段最短”或“垂线段最短”把“折线”转“直”，找出最短位置，求出最小值。