数列综合教师版
★★★高考在考什么 【考题回放】
1、 （2008福建文）已知（a n ｝是整数组成的数列， a 〔 =1，且点（JO?,a n 书）（n ^ N *）在函数
2
a
y=x +1的图像上：（1）求数列｛&｝的通项公式；（2）若数列（bn ｝满足b =1,加书= bn+2 n ,
2
求证：b n b n 2 ：：： b n 1
.解：（1）由已知得：an+=an+1,
所以数列是以1为首项，公差为1的等差数列；即a n =1+（n-1） 1 = n
（2）由（1）知 b n 1 — b n =2a
n =2n
b n =（b n -b n.）（加」一加/）…*2 - 加）b
n
= 2n 「舟舟. ... 2 仁 =2n
_1
1-2
b n b n 2 -b n 12
=(2n
-1)(2
n
2
-1)-(2
n
1
-1)2 = -5 2n
4 2n
=-2n
：： 0
所以：如灯.2如.12
1 3
2
-
2、(2008福建理)已知函数f(x)=3X +x -2 .
(I)
设(a n ｝是正数组成的数列，前 n 项和为S n,其中a 1=3.若点(a n 应书- 2a n Q (n ￡
N*)在函数y=f' (x)的图象上，求证：点(n,S n)也在y=f' (x)的图象上； (口)求函数f(x)亲区间(a-1,a)内的极
值.
(I )证明：因为 f (x) = 1 x 3+x 2 - 2,所以 f ，(x )=x 2+2x ,
3
由点(an,a ；士 —2a”)(nw N 4)在函数y =f' (x )的图象上, 又 a n 0(n N ),所以(a n 』- a n )(a n 1 - a n - 2) = 0, 所以 S n =3n +
~ K2= n 2
+2n ,又因为 f' (n )=n 2+2n ，所以 S n = f'(n), 2
故点（n, S ）也在函数y=f' （x ）的图象上.
(n )解：f (x) =x 2 十2x =x(x + 2), 由 f (x) =0,得 x = 0或x = -2 .
(a-1)—a =1 <2,从而
2 _
① 当a —1<—2 3 值； ② 当a —1<0 3、（2010湖南文数）（本小题满分13分） 给出下面的数表序列: 数列综合 当x 变化 时，f '（x ）、 f （x ）的变化 情 况如下表： 寰1 *2 表3 … 1 13 】3 5 4 4 8 )2 其中表n (n=1,2,3…)有n行，第1行的n个数是1,3,5，…-2n-1 ,从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和。 (I)写出表4,验证表4各行中数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表n (n>3)(不要求证明)； (II)每个数列中最后一行都只有一个数，它们构成数列1,4,12???，记此数列为 b3 b4 如 2 "二、「 ib n i 求和： ----- +----- +HI --------- b〔b2 b2b3 b n b n 1 ( I )表4为 I 3 5 7 4 ft 12 12 20 32 它的第1, 2, 3, 4行中的数的平均数分别是4, 8, !6, 32,它们构成苜项为4,公比为2的等比数列. 将这一结论推广到血(住3),即表网各行中的数的平均敷按从上到下的顺序构成首项为f 公比为2的等比数列. 简证如下(对考生不作要求) 首先,表的第I行I. 3. 5,5-1是等差数列.其平均数为 —(-^ = n；其次，若表”的第舞少1)行小提ft 等差数列，则它的第* 行. ％斗a,也是等差数列.由等 差数列的性质知，衰村的第A行中的数的平均数与行中的数的平均数分别是 由此可知，表村(月，3)各行中的数都成等差数列，且冬行中的数的平均数按从上到 下的顺序构成首项为m公比为2的等比数列. 其平均数是 1+3*5+ (由-1). ~「一 一 — — — = /t ■ 由（I ）知，它的各行中的数的平均数按从上到下的就序构成首项为i 公比为2的 等比数列（从而它的集￡行中的数用平均数是,于是.表村中最后一行的唯 个款为b.=Z\ 因此 虹 (卜冲 _ 5 + _______ _____________ [ ") ° 赤T (* + 1)点卜‘ * r 」 ____________ § ___ 1 ■ ―I ------------------ ! -------- = 4 ------------- -------- "W (n + l)x2"'z J 1 空(n + l)x2*-J (n + ljx^1 4、(2008湖南理)数列 坛｝满足 a 〔 =1*2 =2鬲毛=(1 +cos 2 四)a ” +sin 2 旭，n = 1,2,3j||. 2 2 (i)求a 3,a 4，并求数列 的通项公式； (n )设 b n =4,S n =b, +b 2 +川+尾.证明：当 n 芝6 时，S n —2 <】. a 2n n JI 冗 13 .解：(I )因为 a 1=1,a 2=2,所以 a 3 =(1 十cos 2 5)a 1+sin 2 ^ = a 1+1 = 2, 2 2 a 4 =(1 cos )a 2 sin = 2a^4. 般地，当 n=2k —1(kWN *)时，a 2k* =[1 +cos 2 (2k "并屁^ +sin 2 2^1 兀 2 2 =a2k_i +1，即 a 2k+ —a 2k^=1. 所以数列｛a 2k 」｝是首项为1、公差为1的等差数列，因此 a 2k 」= k. 当 n=2k(k^N )时，a 2k 42 =(1 + cos 2"2^)a 2k +sin 2'2^ =2a 2k . 2 2 所以数列｛a 2k ｝是首项为2、公比为2的等比数列，因此 a 2k =2k . I n 1 * .. M,n =2k-1(k N ), 故数列｛a n ｝的通项公式为a n = ｛ 2 n 22,n =2k(3 N ). (口 )由(I )知，尾=^^ =当，S n =』+W+g+|lj +4 n a 2n 22 2 22 23 2n 故会盘…& I 1x2 IxL >*( 2x2' 3x2° J 所以当n 26时，c n + n( ；： 2) <1. 综上所述，当n 芝6时，S n —2| <【. n 5、(2008江西理)等差数列(a n ｝各项均为正整数, 0=1,且烷&=64 ,抵｝是公比为64的等比数列. (1) 求 an 与 bn ; … 1 1 1 3 (2) 证明：一+ 一+……+——V —. S 1 S 2 S n 4 5.解：设｛ a n ｝公差为d,由题意易知d>0,且d€ N* , n(n — 1) 一 则｛ a n ｝通项 a n =3 + (n — 1) d,前 n 项和 S n =3n + ― d 。 再设｛b n ｝公比为q,则｛b n ｝通项b n =q n 」 由 b 2S 2 =64可得 q(6+d)=64 ① 又｛ b a n ｝为公比为64的等比数列， n 2n i 1c 1 1 1 …1 n ①-②竹，2&=丁歹与+川垃一户. 1 M (1自 2[1 一成]n 11 n - \ 一 -n ?〔 = I 一商一 _n 1 - 1 _1 2 2 2 一2 ~ , 1 n 所以 S =2 一'2'nj -矛=2 - n 2 2n ' _____ … 1 - 要证明当n 芝6时，S n —2〈一成立，只需证明当n 芝6时, n(n 2) ——n 一 <1成立. 2n 证法 ⑴当n = 6时，空芯=竺共<1成立. 26 64 4 ⑵ 假设当n =k(k >6)时不等式成立，即 “. 2k 则当 n =k +1 时，(k 妇火 +3) =k^ - (k +1)(k +3) < (k +1)(k +3) 2 " 2 2k(k 2) (k 2场 由⑴、(2)所述，当n 为时， n(n ^1^1.即当n> 6时，S n —2<〕. 22 n n(n 2) 22 (n 之6)，则神一C n (n 1)(n 3) 2口 1 n(n 2) 3 -n 2 22 2 n 1 :0. 6 8 3 , 功 _ c 6 = = — :: 1. 64 4 a 1=3，前n 项和为S ，等比数列板｝中, 证法二 b a G "】 ??- = 4,4 =q d , .?? q d =64 ② b a q a 『 n 联立①、②及d>0,且d€ N*可解得q = 8, d = 2 { a n }通项 a n = 2n + 1 , n C N* n 1 b b =8 , C (2)由(1)知 & =3n + n(n - 1) .2 = n(n+2), n € N* 2 .1 1 1/11、 --—= ---------------- =—(—— --------- ),n C N S n n(n 2) 2 n n 2 1 1 1 ——+——+…+—— S 1 S 2 S n 1 1 111 1 1 1 -(〔-)( _)' (- ) 2 3 2 2 4 2 n n 2 1 〃 1 1 1 1 1 、 =一(1 一一 一一一 -— ------ ) 2 3 2 4 n n 2 1 1 1 1 111 1 =[(1 ? ? ???)-(￡￡-￡ )] 2 2 3 n 3 4 5 n 2 1111 = [(1 o ) -( " J] 2 2 n 1 n 2 3 11 1 --( ) 4 2 n 1 n 2 3 < - 4 6 . (2012 年高考(湖南理))已知数列｛a ｝的各项均为正数，记 A n )= a 1+a 2++a n ,顷 n )= a 2+a 3++a n+1, C ( n )= a 3+a 4++a n+2, n =1,2。 (1) 若a 1=1, a 2=5,且对任意n€ N* ,三个数A (n ), B (n ), q n )组成等差数列，求数列｛ a ｝ 的通项公式. (2) 证明：数列｛ a n ｝是公比为q 的等比数列的充分必要条件是 ：对任意n 肴N *,三个数 A (n ), Rn), C (n )组成公比为q 的等比数列. 6、 【解析】 解(1)对任意n ￡N *,三个数A(n), B(n),C(n)是等差数列，所以 B(n) - A(n) =C(n) -B(n), 即 a^^ -a^a^2,亦即 a n$ —a n^ =a ? —a 〔 =4. 故数列是首项为1,公差为4的等差数列.于是a n =1+(n —1"4 = 4n —3. (n )(1)必要性：若数列｛a，是公比为q的等比数列，则对任意N,有 a n^ = a nq.由3 a0知，A(n), B(n),C(n)均大于0,于是 B(n) a2a3... - a n1 q(a〔a? - ... a”) ----- = ------------------------= -------------------------- =q, A(n) a1 a2... a n a1 a2... a n C(n) a3 a4 ... a” 2q(a? q ..?a” 1) …、= = =q， B(n) a2 a3 ... a n 1 a2 a3 ... a n 1 即旦21 = 丝1=勺，所以三个数A(n), B(n),C(n)组成公比为q的等比数列. A(n) B(n) (2)充分性：若对于任意n w N*,三个数A(n), B(n),C(n)组成公比为q的等比数列， 则 B(n) =qA(n),C(n) =qB(n), 于是C(n) — B(n) =q [B(n) — A(n)],得a^^-a^ q(a^^-a1),即 a n 2 - qa n 1 = a2 - a1. 由n=1 有B(1) = qA。),即a2 = qa,从而a n毛—qa n^ = 0 . 因为a n》0,所以也=色=勺，故数列｛a」是首项为a1,公比为q的等比数列，a n 1 a1 综上所述,数列｛a n ｝是公比为q的等比数列的充分必要条件是：对任意n € N *,三个数A(n), B(n),C(n)组成公比为q的等比数列. [点评]本题考查等差数列、等比数列的定义、性质及充要条件的证明.第一问由等差数列定义可得；第二问要从充分性、必要性两方面来证明，利用等比数列的定义及性质易得证. ★★★高考要考什么 本章主要涉及等差(比)数列的定义、通项公式、前n项和及其性质，数列的极限、无 穷等比数列的各项和.同时加强数学思想方法的应用，是历年的重点内容之一，近几年考查 的力度有所增加，体现高考是以能力立意命题的原则. 高考对本专题考查比较全面、深刻，每年都不遗漏.其中小题主要考查a1、d(q)、 n、a” S n间相互关系，呈现“小、巧、活”的特点；大题中往往把等差(比)数列与函数、方程与不等式，解析几何等知识结合，考查基础知识、思想方法的运用，对思维能力 要求较高，注重试题的综合性，注意分类讨论. 高考中常常把数列、极限与函数、方程、不等式、解析几何等等相关内容综合在一起，再加以 导数和向量等新增内容，使数列综合题新意层出不穷.常见题型： (1) 由递推公式给出数列，与其他知识交汇，考查运用递推公式进行恒等变形、推理与综 合能力. (2) 给出S 与an 的关系，求通项等，考查等价转化的数学思想与解决问题能力. (3) 以函数、解析几何的知识为载体，或定义新数列，考查在新情境下知识的迁移能力. 理科生需要注意数学归纳法在数列综合题中的应用，注意不等式型的递推数列. ★ ★★突破重难点 3 1 . / a^-a nj -b nj 1 【范例1】已知数列｛a n ｝ , ｛b n ｝满足a 1=2 , b 1=1，且〈 (n > 2) . 1 3. 」 b n a nJ -b nJ 1 4 4 (I )令C n =a n +禺，求数列｛§｝的通项公式； (II )求数列｛a n ｝的通项公式及前n 项和公式& . 解：(I)由题设得 a n +b n =(a n 」+b n = +2(n > 2),即 G =c n ^ +2 ( n > 2) 易知｛cJ 是首项为a 〔 +灯=3，公差为2的等差数列，通项公式为 cn = 2n +1 . 1一_^1 (H )解：由题设侍 a n -屏=^(a n 直—b n 」)(n > 2)，令d n =a n b n ，则d n=;d n 直(n >2 - 1 1 易知｛dn ｝是首项为4-0=1,公比为一的等比数列，通项公式为dn=fj . 由 2 2 " a n b n =2n 1, < 1 解得 "jf a n -加 - ?n 】 1 1 , — 一 1 n 2 」 a n =2?+n+2 ,求和碍 S n =顶+~2+"1 . 【变式】(文)在等差数列 妇」中，a 〔=1,前n 项和S n 满足条件 & = 4n * 2 ,n =1,2，川， S n n 1 (i)求数列｛a n ｝的通项公式； (n)记b n = a n p a n (p 》0)，求数列 解：(I)设等差数列 有」的公差为d ,由§纣=4空得：主? =3，所以a2=2, S n n 1 a 1 ★★★高考在考什么 【考题回放】 1、 （2008福建文）已知（a n ｝是整数组成的数列， a 〔 =1，且点（JO?,a n 书）（n ^ N *）在函数 2 a y=x +1的图像上：（1）求数列｛&｝的通项公式；（2）若数列（bn ｝满足b =1,加书= bn+2 n , 2 求证：b n b n 2 ：：： b n 1 .解：（1）由已知得：an+=an+1, 所以数列是以1为首项，公差为1的等差数列；即a n =1+（n-1） 1 = n （2）由（1）知 b n 1 — b n =2a n =2n b n =（b n -b n.）（加」一加/）…*2 - 加）b n = 2n 「舟舟. ... 2 仁 =2n _1 1-2 b n b n 2 -b n 12 =(2n -1)(2 n 2 -1)-(2 n 1 -1)2 = -5 2n 4 2n =-2n ：： 0 所以：如灯.2如.12 1 3 2 - 2、(2008福建理)已知函数f(x)=3X +x -2 . (I) 设(a n ｝是正数组成的数列，前 n 项和为S n,其中a 1=3.若点(a n 应书- 2a n Q (n ￡ N*)在函数y=f' (x)的图象上，求证：点(n,S n)也在y=f' (x)的图象上； (口)求函数f(x)亲区间(a-1,a)内的极 值. (I )证明：因为 f (x) = 1 x 3+x 2 - 2,所以 f ，(x )=x 2+2x , 3 由点(an,a ；士 —2a”)(nw N 4)在函数y =f' (x )的图象上, 又 a n 0(n N ),所以(a n 』- a n )(a n 1 - a n - 2) = 0, 所以 S n =3n + ~ K2= n 2 +2n ,又因为 f' (n )=n 2+2n ，所以 S n = f'(n), 2 故点（n, S ）也在函数y=f' （x ）的图象上. (n )解：f (x) =x 2 十2x =x(x + 2), 由 f (x) =0,得 x = 0或x = -2 . (a-1)—a =1 <2,从而 2 _ ① 当a —1<—2 20１5-2017年全国卷数列真题 1、（２0１5全国1卷17题）n S 为数列{n a ｝的前n 项和.已知n a ＞0,2 n n a a +＝43n S +. (Ⅰ)求{n a }的通项公式； (Ⅱ）设1 1 n n n b a a += 错误!未定义书签。 ，求数列{n b }的前n 项和. 【答案】（Ⅰ)21n +(Ⅱ)11 646 n - + 【解析】 试题分析:（Ⅰ)先用数列第n 项与前n 项和的关系求出数列{n a ｝的递推公式,可以判断数列{n a }是等差数列,利用等差数列的通项公式即可写出数列{n a }的通项公式;(Ⅱ)根据(Ⅰ）数列{n b ｝的通项公式,再用拆项消去法求其前n 项和． 试题解析:（Ⅰ)当1n =时，2 11112434+3a a S a +=+=,因为0n a >,所以1a ＝3, 当 2 n ≥时, 2211 n n n n a a a a --+--＝ 14343 n n S S -+--= 4n a ，即 111()()2()n n n n n n a a a a a a ---+-=+，因为0n a >，所以1n n a a --＝2， 所以数列{n a }是首项为3,公差为２的等差数列， 所以n a ＝21n +； （Ⅱ）由（Ⅰ）知,n b = 1111 ()(21)(23)22123 n n n n =-++++， 所以数列｛n b }前n 项和为12n b b b +++＝1111111 [()()( )]23557 2123 n n -+-+ +-++ = 11 646 n - +. 2、(2０15全国2卷4题)已知等比数列{}n a 满足ａ1=3,135a a a ++ =21,则357a a a ++= ( ） A ．21 Ｂ.4２ C ．63 D ．84 【解析】设等比数列公比为q ,则24 11121a a q a q ++=,又因为13a =,所以42 60q q +-=，解得2 2q =,所以2 357135()42a a a a a a q ++=++=，故选B. 考点：等比数列通项公式和性质． 数列基础知识 一、等差数列与等比数列 等差数列等比数列 文字定义一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与 它的前一项的差是同一个常数，那么这个数列 就叫等差数列，这个常数叫等差数列的公差。 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与 它的前一项的比是同一个常数，那么这个数列 就叫等比数列，这个常数叫等比数列的公比。 符 号定义 1 n n a a d + -= 11 2 n n n a a a+- + = 1(0) n n a q q a +=≠ 2 11 (0) n n n n a a a a +- =?≠ 分类递增数列：0 d> 递减数列：0 d< 常数数列：0 d= 递增数列： 11 01001 a q a q >><<< ，或， 递减数列： 11 01001 a q a q <<><< ，或， 摆动数列：0 q< 常数数列：1 q= 通项 1 (1)() n m a a n d pn q a n m d =+-=+=+- 其中 1 , p d q a d ==- 1 1 n n m n m a a q a q -- ==（0 q≠） 前n 项和 2 1 1 ()(1) 22 n n n a a n n d S na pn qn +- ==+=+ 其中 1 , 22 d d p q a ==- 1 1 (1) (1) 1 (1) n n a q q S q na q ?- ≠ ? =- ? ?= ? 中项 ,,2 a b c b a c =+ 成等差的充要条件:2 ,, a b c b ac = 成等比的必要不充分条件： 主要性质等和性：等差数列{}n a 若m n p q +=+则 m n p q a a a a +=+ 推论：若2 m n p +=则2 m n p a a a += 2 n k n k n a a a +- += 12132 n n n a a a a a a -- +=+=+=??? 即：首尾颠倒相加，则和相等 等积性：等比数列{}n a 若m n p q +=+则 m n p q a a a a ?=? 推论：若2 m n p +=则2 () m n p a a a ?= 2 () n k n k n a a a +- ?= 12132 n n n a a a a a a -- ?=?=?=??? 即：首尾颠倒相乘，则积相等 1、等差数列中连续m项的和，组成的新数列1、等比数列中连续项的和，组成的新数列是 必修5 数列复习小结 第1课时 第 19 课时 一、学习目标 （1）进一步熟练掌握等差等比数列的通项公式和前n 项和公式； （2）提高分析、解决问题能力． 二、知识点总结 （一） 数列的概念 1．数列的概念与简单表示法 （1）从定义角度看： （2）从函数角度看：数列可以看成以正整数集N * 它的有限子集为定义域的函数a n =f(n)当自变量从小到大依次取值时所对应的一列函数值. 2．数列的表示 （1）列表法； （2）图象法：注意图象是 ，而不是_______； （3）通项公式： （4）递推公式：如果已知数列｛a n ｝的第一项（或前几项）及相邻两项（或几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式. 3．数列的分类 1）按数列项数的多少可以分为 和 。 2）按数列中相邻两项的大小可分为 、 、 和 . 4．数列的通项a n 与前n 项和S n 之间的关系 对任一数列有a n =?? ?≥-=-2 ,1 ,11n S S n S n n （二）等差数列 1.等差数列的定义： 若数列｛a n ｝为等差数列，则有a n -a n-1=d (其中n ≥2，n ∈N * ). 2.等差中项： 3.等差数列的通项公式：a n =a 1+(n-1)d ，其中a 1为首项，d 为公差. 当d >0时，数列｛a n ｝为递增数列；当d <0时，数列｛a n ｝为递减数列；当d =0时，数列｛a n ｝为常数列. 4.等差数列的前n 项和公式： 2)(1n n a a n S += ；d n n na S n 2 ) 1(1-+=. 5.等差数列的性质： （1）等差数列｛a n ｝中，a n -a m =(n -m )d ； （2）等差数列｛a n ｝中，若m+n=p+q (其中m,n,p,q ∈N * )，则a m +a n =a p +a q ；若 m+n=2p ，则a m +a n =2a p ，也称a p 为a m ，a n 的等差中项. （3）等差数列中依次k 项和成等差数列，即 K K K K K S S S S S 232--、、成等差数列，其公差为k q 。 6.已知三个数成等差数列，可设这三个数为___________________ 若四个数成等差数列，可设为_____________________________. 7.等差数列的判定方法： 1）定义法：d a a n n =-+1?{}n a 是等差数列。 2）中项公式法：212+++=n n n a a a （n * N ∈）?{}n a 是等差数列 3) 通项公式法：q pn a n +=?{}n a 是等差数列 4）前n 项和公式法：Bn An S n +=2 （A,B,为常数）?{}n a 是等差数列 （三）等比数列 1.等比数列的定义： 若数列｛a n ｝为等比数列，则有q a a n n =-1 (n ≥2, n ∈N *, q ≠0). 2.等比中项： 3.等比数列的通项公式：若等比数列的首项为a 1,公比为q ，则其通项公式为a n =a 1q n-1 . 4.等比数列的前n 项和公式：若等比数列的首项为a 1,公比为q ，则其前n 项和 ?? ???≠--==)1(,1) 1() 1(,11q q q a q na S n n . 5.等比数列的性质：若等比数列的首项为a 1,公比为q ，则有： （1）a n =a m q n-m ； 1.求证：)12(1 1 C 11C 31C 21C 1210-+=++++++n n n n n n n n Λ． 【答案】 )!()!1(!)!(!!11C 11k n k n k n k n k k k n --=-?+=+11C 1 1)!()!1()!1(11+++=-++?+=k n n k n k n n ． ∴左边1 12111C 11C 11C 11++++++++++= n n n n n n n Λ =-+=++++=+++++)12(1 1)C C (C 111112111n n n n n n n Λ右边． 2.证明下列各式 (1)1+21 n C +42 n C + … +1 12 n n n C --+2n n n C =3n ； (2)(0 n C )2+(1n C )2+ … +(n n C )2=2n n C ； (3)1 n C +22 n C +33 n C + … +n n n C =1 2 n n -. 【答案】(1)在二项展开式(a +b )n =0 n C a n +1 n C a n -1b +2 n C a n-2b 2+ … +1 n n C -ab n -1+n n C b n 中， 令a =1，b =2，得(1+2)n =1+21 n C +42 n C + … +2n -11 n n C -+2n n n C ，即 1+21 n C +42 n C + … +2n -11 n n C -+2n n n C =3n . (2)(1+x )n (1+x )n =(1+x )2n ， ∴(1+1 n C x +2 n C x 2+ … +r n C x r + … +x n )(1+1 n C x +2 n C x 2+ … +r n C x r + … +x n )=(1+x )2n . 而2n n C 是(1+x )2n 的展开式中x n 的系数，由多项式的恒等定理，得 0n C n n C +1n C 1n n C -+ … +1n C 1n n C -+C n n 0n C =2n n C . ∵m n C =n m n C -，0≤m ≤n ， ∴(0 n C )2+(1 n C )2+ … +(n n C )2=2n n C . (3)证法一：令S =1 n C +22 n C +3C 3n + … +n n n C . ① 令S =1 n C +22 n C + … +(n －1)1 n n C -+n n n C =n n n C +(n －1)1 n n C -+ … +22 n C +1 n C =n n n C +(n －1)1 n C + … +22 n n C -+1 n n C -. ② 由①+②得2S =n 1 n C +n 2 n C +n 3 n C + … +n n n C =n (n n C +1 n C +2 n C +3 n C + … +n n C ) (32n + -)n =5，求常数 变式练习：若3lim 2103n n an b n n →∞ ??---= ? +?? =5，求常数a 、b 、的值。 11 ,39a b ==- 例3、设无穷等比数列{}n a 满足135218 lim()3 n n a a a a -→∞ +++ +=，求首项1a 的取值围。 解：2 112 88,01,0,133a q a q ??=<<∴∈ ?-?? 。 变式练习：在等比数列中，a 1>1,前项和S n 满足1 1 lim n n S a →∞ = ，那么a 1的取值围是……………………（ ） （A ）（1，＋∞） （B ）（1，4） （C ）（1，2） （D ）（1，2） 例4、以正方形ABCD 的四个顶点为圆心，以正方形的边长a 为半径，在正方形画弧，得四个交点1111,,,A B C D ，再在正方形1111A B C D 用同样的方法得到又一个正方形2222A B C D ，这样无限的继续下去，求所有这些正方形的面积之和（包括正方形ABCD ）. 解：（提示）2 2 1(31),23,2 n a a a q S +==-= 变式练习：设T 1，T 2，T 3……为一组多边形，其作法如下： T １是边长为1的三角形以T n 的每一边中间 3 1 的线段为一边向外作正三角形，然后将该1/3线段抹去所得的多边形为T n+1，如图所示。令a n 表示T n 的周长，A(T n )表示T n 的面积。 (Ⅰ)计算T 1，T 2，T 3的面积A(T 1)，A(T 2)，A(T 3) (Ⅱ)求∞ →n lim ( 11a +21a …+n a 1)的值。 解：(Ⅰ)A(T 1)= 1 2 ·1·1·sin60°=34 A(T 2)=3· 12·13·13·sin60°++A(T 1)=4312=33 A(T 3)=12·12·19·19·sin60°+A(T 2)=10 327 (Ⅱ)由分析知 a n = 43a n-1(T n 的边数是T n-1边数的4倍且每边是原来的1/4)故 a n =3·(43)n-1∵1n a =13·(4 3 )n-1 等比数列专题复习 （一）知识归纳： 1．概念与公式： 1°定义 2°.通项公式： 3°.前n 项和公式 2．中项定理与下标和定理 （1）中项定理： （2）下标和定理： （3）前n 项积定理：记n n a a a a T ?????=321 则=-12n T 则=n T 2 3.等比数列的“灵活设元： 4、前n 项和n S 的性质： （1） （2） （3） 例题与练习 一、基本量计算 例1．在等比数列{a n }中，已知S 30＝13S 10，S 10＋S 30＝140，求S 20的值． 解 ∵S 30≠3S 10，∴q ≠1. 由??? S 30＝13S 10S 10＋S 30＝140，∴??? S 10＝10S 30 ＝130， ∴? ???? a 11－q 10 1－q ＝10 a 1 1－q 30 1－q ＝130 ， ∴q 20＋q 10－12＝0. ∴q 10＝3， ∴S 20＝a 11－q 20 1－q ＝S 10(1＋q 10)＝10×(1＋3)＝40. 练习： 1．在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝3，前3项和为21，则a 3＋a 4＋a 5等于( C ) A ．33 B ．72 C ．84 D ．189 2．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1,2S 2,3S 3成等差数列，则{a n }的公比为____.1 3 ____． 3．已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝1 4 ，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1等于 ( C ) A ．16(1－4－n ) B ．16(1－2－n ) C.323(1－4－n ) D.32 3 (1－2－n ) 4、若等比数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝－512，前n 项和为S n ＝－341，则n 的值是__10______． 5．已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列{1 a n }的前5项和为 （C) A.15 8 和5 B.31 16 和5 C.31 16 D.158 6、一个热气球在第一分钟上升了25 m 的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%.这个热气球上升的高度能超过125 m 吗？ 解 用a n 表示热气球在第n 分钟上升的高度，由题意， 得a n ＋1＝4 5 a n ， 因此，数列{a n }是首项a 1＝25，公比q ＝4 5的等比数列． 热气球在前n 分钟内上升的总高度为 S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 11－q n 1－q ＝ 25×???? ? ?1－? ????45n 1－45 ＝125×???? ?? 1－? ????45n <125. 故这个热气球上升的高度不可能超过125 m. 4．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 2＝6,6a 1＋a 3＝30，求a n 和S n . 解 当a 1＝3，q ＝2时，a n ＝3×2n －1， S n ＝a 11－q n 1－q ＝31－2n 1－2 ＝3(2n －1)； 当a 1＝2，q ＝3时，a n ＝2×3n －1， S n ＝a 11－q n 1－q ＝21－3n 1－3 ＝3n －1. 二、中项定理和下标和定理 例．已知等比数列{a n }，若a 1＋a 2＋a 3＝7，a 1a 2a 3＝8，求a n . 解 由等比数列的定义知a 2＝a 1q ，a 3＝a 1q 2代入已知得， ??? a 1＋a 1q ＋a 1q 2 ＝7 a 1·a 1q ·a 1q 2 ＝8 ， 即??? a 11＋q ＋q 2 ＝7， a 31q 3 ＝8， 1 求数列的通项公式专题训练 1.归纳法（数学归纳法） 例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式： （1）9，99，999，9999，…（2） 1716 4,1093,542,211（3） ,5 2 ,2 1,3 2 , 1 （4） ,54,43, 3 2 ,21--（5）21，43，87，16 15 … 解：（1）变形为：101－1，1021，103―1，104―1，…… ∴通项公式为：110-=n n a （2）;1 22 ++=n n n a n （3）;12+=n a n （4）1) 1(1 +?-=+n n a n n . （5）n n n a 2 1 2-= 点评：关键是找出各项与项数n 的关系。 例2. 已知数列{}n a 满足11 2n n a a +=-,10a =. (1).计算 2a ,3a ,4a ,5a 的值; (2).根据以上计算结果猜想{}n a 的通项公式,并用数学归纳法证明你的猜想. 答案：(1)由 11 2n n a a += -和10a =,得234511121314,,,123202345222234 a a a a = =======---- . (2)由以上结果猜测: 1 n n a n -= 用数学归纳法证明如下:①当1n =时,左边10a ==,右边11 01 -==,等式成立. ②假设当()1n k k =≥时,命题成立,即1 k k a k -=成立. 那么,当1n k =+时, 111(1)1 1211 2k k k k a k a k k k ++-= ===--++- 2 这就是说,当1n k =+时等式成立. 由①和②,可知猜测1 n n a n -= 对于任意正整数n 都成立. 针对性训练：① 3 33 333 333 3333 … （)110(3 1 -=n n a ） ②321-7 10917-1126… （121)1(2 1++-=+n n a n n ） 2. 公式法 直接利用等差或等比数列的通项公式写出，这种方法适用于已知数列类型的题目，也是最基本的方法之一。 例1. 已知数列{}n a 中，1235a a ＝，＝，且{1}n a －是等比数列．求数列{}n a 的通项公式； 解：∵{1}n a －是等比数列且112a －＝， 214a －＝，， 211 =21 a a -- ∴11222n n n a ?－－＝ ＝，∴2 1.n n a ＝＋ 例2 ：等差数列是递增数列，前n 项和为，且成等比数列， ．求数列的通项公式. 解：设数列公差为d(d>0) ∵成等比数列， {}n a n s 1,3,9a a a 255s a ={}n a {}n a 1,3,9a a a 2319a a a ∴= 数列和数列的练习 一、数列及其相关概念 1． 数列：按照一定次序排列起来的一列数叫做数列，它可以有限，也可以无限． 2．数列的项及通项： 数列中的每个数叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第1项（首项），第2项，…，第n 项． 数列的一般形式可以写成：123n a a a a ，，，，，或简记为{}n a ，其中n a 是数列的第n 项，又称为数列的通项． 3．数列的通项公式 如果数列{}n a 的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个函数式()n a f n =来表示，则称这个公式为这个数列的通项公式． 4．数列的分类 数列的分类方式一般有三种： （1）项数有限的数列称为有穷数列，项数无限的数列称为无穷数列； （2）从第2项起每一项都比它的前一项大的数列称为递增数列；从第2项起，每一项都比它的前一项小的数列 称为递减数列；这两种数列统称为单调数列．各项都相等的数列称为常数列；既不是单调数列，又不是常数列的，称为摆动数列，即有些项小于它的前一项，有些项大于它的前一项； （3）如果数列的任一项的绝对值都小于某个正数，则称此数列为有界数列，否则称为无界数列． 5．数列的表示方法 数列是定义域为正整数集（或它的一个有限子集{123}n ，，，，）的一类特殊的函数()f n ，数列的通项公式也就是函数的解析式． 数列的表示方法通常有三种： （1）通项公式法（对应函数的解析式法）； （2）图象法（无限多个或有限多个孤立的点，取决于是无穷数列，还是有穷数列）； （3）列表法． 6．数列和函数、集合的区别 （1）数列和函数：数列是以正整数集*N (或它的有限子集){}1234n ，，，，，为定义域的函数()n a f n =． （2）数列和集合的区别和联系：集合是没有顺序的，数列是有顺序的 7．数列的递推公式 如果已知数列的第一项，且从第二项开始的任一项n a 与它的前一项1n a -间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫这个数列的递推公式．例如，1112(2)n n a a a n -==-，≥． 给出递推公式和初始值的数列是一个确定的数列，所以递推公式也是给出数列的一种方法，即递推法． 8 数列的前n 项和 数列{}n a 的前n 项和定义为：123n n S a a a a =++++． 数列的前n 项和构成了一个新的数列{}n S ，且11(1) (2) n n n S n a S S n -=?=?-?≥． 专题01 数 列（知识梳理）答案 一、数列的概念及表示 （一）数列的概念 1、数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列.数列中的每个数都叫这个数列的项.数列的一般形式：1a ，2a ， 3a ，…n a ，…，或简记为}{n a . 其中1a 是数列的第1项(又称首项)，n a 是数列的第n 项(又称通项). 例1-1．判断下列各组元素能否构成数列： (1)a ，3-，1-，1，b ，5，7，9； (2)2020年各省参加高考的考生人数. 【解析】(1)不是，∵不是一列数； (2)是，可以看成一个有限项的数列. 2、通项公式的定义：如果数列}{n a 的第n 项与n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式. 3、数列的特性：(对比集合的特性)→数列是特殊的数集、点集. (1)有序性：数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列. (2)可异性：定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现，如常数列. (3)从函数角度看数列：数列可以看作是一个定义域为正整数集+N (或它的有限子集}321{n ，，，，???)的函数. 4、数列的分类： (1)根据数列项数的多少分： ①有穷数列：项数有限的数列；例如数列1，2，3，4，5，6.是有穷数列. ②无穷数列：项数无限的数列；例如数列1，2，3，4，5，6…是无穷数列. (2)根据数列项的大小分： ①递增数列：从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列. ②递减数列：从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列. ③常数数列：各项相等的数列. ④摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列. (3)根据任何一项的绝对值是否小于某一正数可分为：①有界数列；②无界数列. （二）数列的表示方法 1、列表法(又称列举法). 2、图像法：图像过一四象限或x 轴正半轴，横坐标为正整数.是一系列孤立的点，不像我们前面所研究过的初等函数一般都是连续的曲线，因此在解决问题时，要充分利用这一特殊性. 3、解析法：用数列的通项公式也就是相应函数的解析式来表示数列. 例2-1．下列公式可作为数列}{n a ：1，2，1，2，1，2，…的通项公式的是( ). A 、2 1 )1(--=n n a 第五讲：数列 1．已知等差数列中， ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【 解 析 】 由题设及等差数列的通项公式可得 ，则 ，应选答案D 。 2．等差数列 {}n a 中， 67S S <， 78S S >，真命题有 ()（写出所有满足条件的序号） ①前七项递增，后面的项递减；② 96S S <；③ 1a 是最大项；④ 7S 是 n S 的最大项 A. ②④ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】C 【解析】由题意可得a 7=S 7?S 6>0,a 8=S 8?S 7<0， ∴d =a 8?a 7<0{a n }单调递减,a 1最大,S 7最大， 故①错误，③④正确， ∵S 9?S 6=a 7+a 8+a 0=3a 8<0， ∴S 9 第2讲 数列计算 第一部分：知识介绍 1、等差数列三个重要的公式： ① 通项公式：递增数列：末项=首项+(项数1-)?公差，11n a a n d =+-?（） 递减数列：末项=首项-(项数1-)?公差，11n a a n d =--?（） ② 项数公式：项数=(末项-首项)÷公差+1 ③ 求和公式：和=(首项+末项)?项数÷2 2、中项定理：对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首项与 末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数． 3、公式综合： 1） 连续自然数求和(1) 1232 n n n ?+++++=L 2） ()()()213572112311321n n n n n +++++-=++++-++-++++=L L L 3） N 个连续自然数的平方和 2222(1)(21) 1236 n n n n ?+?+++++= L 4） N 个连续自然数的立方和 () 22 2 3 3 3 3 (1)1231234 n n n n ?+++++=++++= L L 5） 平方差公式：()()22a b a b a b -=+- 完全平方公式()2 222a b a ab b ±=±+ 6） 122334...(1)n n ?+?+?++-?1 (1)(1)3 n n n =-??+ 7） 1 123234345...(2)(1)(2)(1)(1)4 n n n n n n n ??+??+??++-?-?=--+ 4、等比数列：如果一个数列，从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用q 表示()0q ≠。（或者从第二数开始每一个数都和前面数的倍数都是相同的，这个数列就叫做等比数列。）一般地，等比数列求和采用“错位相减法”。（公比不为1） 其它复合型数列 整数与数列本讲 数表 应用题找规律计算 等差数列 应用题 求和方法初步认识等比数列 数列 等差数列知识清单 1、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。用递推公式表示为1(2)n n a a d n --=≥或1(1)n n a a d n +-=≥。 2、等差数列的通项公式：1(1)n a a n d =+-；说明：等差数列（通常可称为A P 数列）的单调性：d 0>为递增数列，0d =为常数列，0d < 为递减数列。 3、等差中项的概念：定义：如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项。其 中2a b A += a ，A ，b 成等差数列?2 a b A +=。 4、等差数列的前n 和的求和公式：11()(1) 22 n n n a a n n S na d +-==+。 5、等差数列的性质： （1）在等差数列{}n a 中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项； （2）在等差数列{}n a 中，相隔等距离的项组成的数列是AP ， 如：1a ，3a ，5a ，7a ，……；3a ，8a ，13a ，18a ，……； （3）在等差数列{}n a 中，对任意m ，n N +∈，()n m a a n m d =+-，n m a a d n m -= -()m n ≠； （4）在等差数列{}n a 中，若m ，n ，p ，q N +∈且m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+； 说明：设数列{}n a 是等差数列，且公差为d ， （Ⅰ）若项数为偶数，设共有2n 项，则①S 奇-S 偶nd =； ② 1 n n S a S a +=奇偶； （Ⅱ）若项数为奇数，设共有21n -项，则①S 偶-S 奇n a a ==中；② 1 S n S n =-奇偶。 6、数列最值 （1）10a >，0d <时，n S 有最大值；10a <，0d >时，n S 有最小值； （2）n S 最值的求法：①若已知n S ，可用二次函数最值的求法（n N +∈）；②若已知n a ，则n S 最值时n 的值（n N +∈）可如下确定100n n a a +≥??≤?或1 00n n a a +≤??≥?。 课前预习 1．（01天津理，2）设S n 是数列{a n }的前n 项和，且S n =n 2，则{a n }是 等差 数列 2．设{}n a 是公差为正数的等差数列，若12315a a a ++=，12380a a a =，则111213a a a ++= 105 3．（02京）若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有 13 项 4．设数列{a n }是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是 2 5．（06全国II ）设S n 是等差数列｛a n ｝的前n 项和，若 36S S ＝13，则612S S ＝3 10 6．（00全国）设｛a n ｝为等差数列，S n 为数列｛a n ｝的前n 项和，已知S 7＝7，S 15＝75，T n 2015-2017年全国卷数列真题 1、（2015全国1卷17题）n S 为数列{n a }的前n 项和.已知n a ＞0，2 n n a a +=43n S +. （Ⅰ）求{n a }的通项公式； （Ⅱ）设1 1 n n n b a a += ,求数列{n b }的前n 项和. 【答案】（Ⅰ）21n +（Ⅱ）11 646 n - + 【解析】 试题分析：（Ⅰ）先用数列第n 项与前n 项和的关系求出数列{n a }的递推公式，可以判断数列{n a }是等差数列，利用等差数列的通项公式即可写出数列{n a }的通项公式；（Ⅱ）根据（Ⅰ）数列{n b }的通项公式，再用拆项消去法求其前n 项和. 试题解析：（Ⅰ）当1n =时，211112434+3a a S a +=+=，因为0n a >，所以1a =3， 当 2 n ≥时， 22 11 n n n n a a a a --+--= 14343 n n S S -+--= 4n a ，即 111()()2()n n n n n n a a a a a a ---+-=+，因为0n a >，所以1n n a a --=2， 所以数列{n a }是首项为3，公差为2的等差数列， 所以n a =21n +； （Ⅱ）由（Ⅰ）知，n b = 1111 ()(21)(23)22123 n n n n =-++++， 所以数列{n b }前n 项和为12n b b b +++L =1111111[()()()]235572123 n n -+-++-++L = 11 646 n - +. 2、（2015全国2卷4题）已知等比数列{}n a 满足a 1=3，135a a a ++ =21，则357a a a ++= （ ） A ．21 B ．42 C ．63 D ．84 【解析】设等比数列公比为q ，则24 11121a a q a q ++=，又因为13a =，所以42 60q q +-=，解得2 2q =，所以2 357135()42a a a a a a q ++=++=，故选B ． 考点：等比数列通项公式和性质． 等差数列专题 一、等差数列知识点回顾与技巧点拨 1．等差数列的定义 2．等差数列的通项公式和前n 项和公式 3．等差中项 A 是x 和y 的等差中项?A ＝x ＋y 2 . 4. 两个技巧 已知三个或四个数组成等差数列的一类问题，要善于设元． (1)若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d ，…. (2)若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，…，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元． 4．等差数列的常用性质 （1）当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有2m n p a a a +=. 注：12132n n n a a a a a a --+=+=+=???。 （2）若{}n a 、{}n b 为等差数列，则{}{}12n n n a b a b λλλ++，都为等差数列。 （3） 在等差数列中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即a n ,a n+m ,a n+2m ,…,为等差数 列，公差为md 。 （4）{}n a 是公差为d 的等差数列，n S 是前n 项和，那么数列k k k k k S S S S S 232,,--,…成公差为k 2 d 的等 差数列。 （5）设数列{}n a 是等差数列，d 为公差，奇S 是奇数项的和，偶S 是偶数项项的和，n S 是前n 项的和 1）当项数为偶数n 2时，)(n 12++=n n n a a S ，1 偶奇奇偶, +==-n n a a S S nd S S () 121135212 n n n n a a S a a a a na --+=+++???+= =奇 () 22246212 n n n n a a S a a a a na ++=+++???+= =偶 2）当项数为奇数2n-1，则 n 偶奇偶奇1-2a )12(=--=+=S S a n S S S n n 偶奇1)a -n （na S ==S n 1 偶奇-= n n S S （6）等差数列{}n a {}n b 前n 项和为S n ,T n ，则 1 21 2)12()12(--= --=n n n n n n T S b a n n b a 5、n a 与n S 之间的关系 ?????=≥-=-) 1() 2(1 1n S n S S a n n n 6．等差数列的前n 项和公式和最值问题 （1）等差数列前n 项和公式与二次函数的关系 （2）n S 的最值求法 L 大 例题与练习 考点1:等差数列的基本计算 题型1：已知等差数列的某些项，求某项 一、解答题 ： 1．在数列{}a n 中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋2n . (Ⅰ)设b n ＝ a n 2 n －1 ，证明：数列{}b n 是等差数列； (Ⅱ)求数列{}a n 的前n 项的和S n . 【答案】 (Ⅰ)因为b n ＋1－b n ＝ a n ＋1 2 n － a n 2 n －1 ＝ a n ＋1－2a n 2 n ＝2n 2 n ＝1 所以数列{b n }为等差数列 (Ⅱ)因为b n ＝b 1＋(n －1)×1＝n ] 所以a n ＝n ·2 n －1 所以S n ＝1×20＋2×21＋…＋n ×2n －1 2S n ＝1×21 ＋2×22 ＋…＋n ×2n 两式相减得S n ＝(n －1)·2n ＋1 2．在数列{a n }中，a 1＝12，a n ＋1＝12 a n ＋ 12 n ＋1 . (Ⅰ)设b n ＝2n a n ，证明：数列{ b n }是等差数列； (Ⅱ)求数列{a n }的前n 项和S n . ； 【答案】 (Ⅰ)由a n ＋1＝12a n ＋1 2 n ＋1， 得2 n ＋1 a n ＋1＝2n a n ＋1 b n ＋1＝b n ＋1， 则{b n }是首项b 1＝1，公差为1的等差数列． 故b n ＝n ，a n ＝n 2 n . (Ⅱ)S n ＝1×12＋2×122＋3×123＋…＋(n －1)×12n －1＋n ×1 2n 12S n ＝1×122＋2×123＋3×124＋…＋(n －1)×12n ＋n ×1 2n ＋1 两式相减，得： * 12S n ＝12＋122＋123＋…＋12n －n 2n ＋1 ＝12（1－1 2n ）1－12 －n 2n ＋1＝1－12n －n 2n ＋1 S n ＝2－ 1 2 n －1 －n 2 n 3．数列{a n }的各项均为正数，前n 项和为S n ，且满足4S n ＝(a n ＋1)2(n ∈N * )． (Ⅰ)证明：数列{a n }是等差数列，并求出其通项公式a n ； (Ⅱ)设b n ＝a n ＋2a n (n ∈N * )，求数列{b n }的前n 项和T n . 【答案】 ! (Ⅰ)n ＝1时，4a 1＝(a 1＋1)2 ?a 2 1－2a 1＋1＝0，即a 1＝1 n ≥2时，4a n ＝4S n －4S n －1＝(a n ＋1)2－(a n －1＋1)2＝a 2n －a 2 n －1＋2a n －2a n －1 ?a 2 n －a 2 n －1－2a n －2a n －1＝0数列综合教师版
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， 160S <，则n S 最大值是 ( ) A. 1S B. 7S C. 8S D. 15S 【答案】C 【解析】由等差数列的前n 项和的公式可得： 1581689150,8()0S a S a a =>=+<故890,0a a ><则980d a a =-<，故在数列{}n a 中，当9n <时， 0n a >，当9,0n n a ≥<，所以8n =时， n S 达到最大值 点睛：本题考察等差数列的求和公式的性质，要求出前n 项和的最大值即要找出数列有多少项正数项即可 6．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3613S S =，则612 S S 的值为 ( ) A. 103 B. 310 C. 43 D. 3 4 【答案】B 【解析】因为等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，所以36396129S S S S S S S ---、、、仍然成等差数列，又 361 3 S S =，2.数列计算-教师版
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