数列
一.等差数列、等比数列的基本概念与性质
全国Ⅱ卷
1.(2014.全国2卷5)等差数列{}n a 的公差为2,若2a ,4a ,8a 成等比数列,则{}n a 的 前n 项和n S =( )
(A ) ()1n n + (B )()1n n - (C )()12
n n + (D)
()12
n n -
2.(2014.全国2卷16)数列{}n a 满足111n n a a +=
-,2a =2,则1a =_________.12
3.(2015.全国2卷5)设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若1353a a a ++=,则5S =( )
A .5
B .7
C .9
D .11 4.(2015.全国2卷9)已知等比数列{}n a 满足11
4a =
,()35441a a a =-,则2a =( ) .2A .1B 1.2
C 1.8
D
二.数列综合
(一)新课标卷
1.(2011.全国新课标17)(本小题满分12分)已知等比数列{}n a 中,113a =,公比1
3
q =. (I )n S 为{}n a 的前n 项和,证明:12
n
n a S -=
(II )设31323log log log n n b a a a =++
+,求数列{}n b 的通项公式.
解:(Ⅰ)因为.3
1
)31(311n n n a =?=
- ,23113
11)311(3
1n
n n S -=--= 所以,2
1n
n a S --
(Ⅱ)n n a a a b 32313log log log +++= )21(n +++-=
2
)
1(+-
=n n 所以}{n b 的通项公式为.2
)
1(+-
=n n b n
2.(2014.全国3卷17)(本小题满分12分)已知{}n a 是递增的等差数列,2a 、4a 是方程
2560x x -+=的根。
(I )求{}n a 的通项公式; (II )求数列2n n a ??
?
???
的前n 项和. 错位相减 【解析】:(I )方程2
560x x -+=的两根为2,3,由题意得22a =,43a =,设数列{}n a 的
公差为 d ,,则422a a d -=,故d=12
,从而13
2a =, 所以{}n a 的通项公式为:1
12
n a n =+ …………6 分 (Ⅱ)设求数列2n n a ??
????
的前n 项和为S n ,由(Ⅰ)知1222n n
n a n ++=, 则:23413451222222n n n n n S +++=
+++++ 34512134512222222
n n n n n S ++++=+++++ 两式相减得 341212
1311123112
12422
224422n n n n n n n S ++++++????=++++
-=+-- ? ????? 所以1
4
22n n n S ++=- ………12分
(三)全国Ⅱ卷
1.(2013.全国2卷17)(本小题满分12分)已知等差数列{a n }的公差不为零,a 1=25,且a 1,
a 11,a 13成等比数列.
(1)求{a n }的通项公式; (2)求a 1+a 4+a 7+…+a 3n -2. 解:(1)设{a n }的公差为d. 由题意,2
11a =a 1a 13, 即(a 1+10d)2=a 1(a 1+12d). 于是d(2a 1+25d)=0.
又a 1=25,所以d =0(舍去),d =-2. 故a n =-2n +27.
(2)令S n =a 1+a 4+a 7+…+a 3n -2.
由(1)知a 3n -2=-6n +31,故{a 3n -2}是首项为25,公差为-6的等差数列. 从而S n =
2n (a 1+a 3n -2)=2
n
(-6n +56)=-3n 2+28n. 2.(2016全国卷2.17)(本小题满分12分) 等差数列{n a }中,34574,6a a a a +=+=. (Ⅰ)求{n a }的通项公式;
(Ⅱ) 设[]n n b a =,求数列{}n b 的前10项和,其中[]x 表示不超过x 的最大整数,如[0.9]=0,[2.6]=2.
试题解析:(Ⅰ)设数列{}n a 的公差为d ,由题意有11254,53a d a d -=-=,解得
12
1,5
a d ==,
所以{}n a 的通项公式为23
5
n n a +=. (Ⅱ)由(Ⅰ)知235n n b +??
=????
, 当n =1,2,3时,23
12,15n n b +≤
<=; 当n =4,5时,23
23,25
n n b +≤<=;
当n =6,7,8时,23
34,35n n b +≤
<=; 当n =9,10时,23
45,45
n n b +≤<=,
所以数列{}n b 的前10项和为1322334224?+?+?+?=.
(三)全国III 卷
1、(2016全国卷3.17)(本小题满分12分)
已知各项都为正数的数列{}n a 满足11a =,2
11(21)20n n n n a a a a ++---=.
(I )求23,a a ;
(II )求{}n a 的通项公式. 试题解析:(Ⅰ)由题意得4
1
,2132==
a a . .........5分
考点:1、数列的递推公式;2、等比数列的通项公式. 2、(2017新课标Ⅲ文数)
设数列{}n a 满足123(21)2n a a n a n +++-=.
(1)求{}n a 的通项公式; (2)求数列21n a n ??
?
?+??
的前n 项和.
综合题
1.(本题满分14分)设数列{}n a 的前n 项和为n S ,且34-=n n a S (1,2,)n =, (1)证明:数列{}n a 是等比数列;
(2)若数列{}n b 满足1(1,2,)n n n b a b n +=+=,12b =,求数列{}n b 的通项公式.
1.解:(1)证:因为34-=n n a S (1,2,)n =,则3411-=--n n a S (2,3,)n =, 所以当2n ≥时,1144n n n n n a S S a a --=-=-, 整理得14
3
n n a a -=
. 5分 由34-=n n a S ,令1n =,得3411-=a a ,解得11=a .
所以{}n a 是首项为1,公比为4
3
的等比数列. 7分
(2)解:因为14
()3
n n a -=,
由1(1,2,)n n n b a b n +=+=,得114
()3
n n n b b -+-=. 9分
由累加得)()()(1231`21--++-+-+=n n n b b b b b b b b
=1)34(33
41)34(1211
-=--+--n n ,
(2≥n ),
当n=1时也满足,所以1)3
4
(31-=-n n b .
2.(本小题满分12分)
等比数列{}n a 的各项均为正数,且212326231,9.a a a a a +== 1.求数列{}n a 的通项公式.
2.设 31323log log ......log ,n n b a a a =+++求数列1n b ??
????
的前项和.
2.解:(Ⅰ)设数列{a n }的公比为q ,由2
3269a a a =得323
49a a =所以21
9
q =。有条件可知a>0,故1
3
q =。
由12231a a +=得12231a a q +=,所以113a =。故数列{a n }的通项式为a n =1
3
n 。
(Ⅱ )111111log log ...log n b a a a =+++
(12...)
(1)
2
n n n =-++++=-
故
12112()(1)1
n b n n n n =-=--++ 12111111112...2((1)()...())22311n n b b b n n n +++=--+-++-=-++ 所以数列1{}n b 的前n 项和为21
n n -+
3.设数列{}n a 满足21112,32n n n a a a -+=-= (1) 求数列{}n a 的通项公式; (2) 令n n b na =,求数列的前n 项和n S 3.解:
(Ⅰ)由已知,当n ≥1时,
111211[()()()]n n n n n a a a a a a a a ++-=-+-+
+-+
21233(222)2n n --=++
++
2(1)12n +-=。 而 12,a =
所以数列{n a }的通项公式为212n n a -=。
(Ⅱ)由212n n n b na n -==?知
35211222322n n S n -=?+?+?+
+? ①
从而
23572121222322n n S n +?=?+?+?++? ②
①-②得
2352121(12)22222n n n S n -+-?=+++
+-? 。 即 211
[(31)22]9
n n S n +=-+
如有侵权请联系告知删除,感谢你们的配合!