典型例题_概率论
第一部分 随机事件及其概率
例 1 设A B C 、、为三个随机事件，试用A B C 、、表示下列事件。
1）“A B 与发生，而C 不发生”（表示为A B C ）； 2）“三个事件都发生”（表示为A B C ）； 3）“三个事件至少有一个发生”（表示为A B C
?
?）；
4）“三个事件恰好有一个发生”（表示为A B C A B C A B C
++）；
5）“三个事件至少有两个发生”（表示为A B B C A C ?
?或A B C
A B C A B C A B C
+++）
6）“三个事件至多有两个发生”（表示为A B C 或A B C
?
?）。
例2 将n 只球随机地放入N （N ≥n ）个盒子中去，假定盒子装球容量不限, 试求1）每个盒子至多装一只球的概率，2）指定其中一个盒子装一只球的概率。 解： 设事件A =“N 个盒子中，每个盒子至多装一只球”，事件B
=
“指定其中一
个盒子装一只球”。
1）一个球放入N 个盒子中的放法有N 种，n 个球放入N 个盒子中的放法有n
N 种。假设固定前n 个盒子各装一球，其分配方法有!n 种，从N 个盒子中任取n 个盒子各装一球，取法有n
N C 种，所以，事件A 的样本点数为n
N
C !n ，即事件A 的概率为
n
n N
N
n C
A P !
)(=
2）若指定一个盒子里装一只球，首先考虑球的取法有1
n
C 种，其次，剩余的1N
-个
盒子中，1n -只球的放法有1
(1)n N --种，所以事件B 的样本点数为1
n C 1
(1)
n N --，即
事件B 的概率为
1
1
(1)
()n n n
C N P B N
--=
注：还可以将模型推广，如生日问题，求事件“n 个人中至少有两人的生日相同”的概率。设想一年有365天，将“天”看成‘盒子’，n 个人好比‘n 只球’，考虑事件A 的对立事件A =“n 个人在一年中生日全不相同”，它等价于“n 个球装入365
个盒子中各装一球”，由前面的计算知：
n
n
n C A P 365
!)(365=
，所以
n
n
n C A P 365
!1)(365-
=。
类似的问题还有：将3封信随机投入4个邮筒，计算第2号邮筒恰好投入1封信的概率，请读者思考。
例3（匹配问题）某班n 个战士各有1支枪归个人保管使用的枪，这些枪外形完全
一样，在一次紧急集合中，每人随机地取了1支枪，求至少有1人拿到自己的枪的概率。 解：设i
A =
“第i 个战士拿到自己的枪”，1,2,...,i
n
=
(1)!1()!
i n P A n n -=
=
2
(2)!11(),()
!
(1)
i j n
n P A A i j n n n P -=
=
=
≠- 3
(3)!1(),()
!
i j k n
n P A A A i j k n P -=
=
≠≠
……
121(...)!
n P A A A n =
1
121()
1
1
2
1
2
1
()()() (1)
(...)
111 (1)
11
11 (1)
2!
3!
!
n
n
n
n
n i i i j n i i
j i j i n n
n n
n
n
n
n
n P A P A P A A P A A A C C C n P P n -=≠=--=
-++-=-++-=-+
-+-∑
∑∑
注：类似的问题还有：n 个同学聚会各带一件礼物，用抽签的方法分配礼物，求至少有一人抽到自己的礼品的概率。
第二部分 条件概率、独立性、全概率公式
例1 某城市的一项调查表明：该市有30%的中学生视力有缺陷，7%的中学生听力
有缺陷，2%的中学生视力和听力都有缺陷，问
1)如果已知一个中学生的视力有缺陷，那么他听力也有缺陷的概率是多少？ 2)如果已知一个中学生的听力有缺陷，那么他视力也有缺陷的概率是多少？
解：记A =“中学生视力有缺陷”，
B
=“中学生听力有缺陷”
则 ()0.02(|)0.0667
()
0.3
P A B P B A P A =
=≈， ()0.02(|)0.2857
()
0.07
P A B P A B P B =
=≈
例 2 设某人忘了某电话号码的最后一位数字，因而随意拨码，求他拨码不超过3
次接通他所需要的电话的概率。
解： 设A =“拨码不超过3次而接通”，i A =“第i 次拨码接通”，1,2,3
i
=。
则112123
A
A A A A A A =++
112123()()()()
P A P A P A A P A A A =++
1
121121312
()()(|)()(|)(|)P A P A P A A P A P A A P A A A =++
1919
8
1
310
10
9
10
9
810
=
+
?
+
?
?=
该问题与摸奖问题是关联的，设想10个人依次摸10张券，其中只有一张奖券，
无放回摸取，第一、第二、…第十人摸到奖券的概率都是1
10。这充分说明抓阄的合理性。
例3 假设某产品成箱包装，每箱产品有10件，其次品数从0到2是等可能的。开箱检验时，从中任取一件，如果检验为次品，则认为该箱产品不合格而拒收。由于检验误差，假设一件正品被误判为次品的概率为2%，一件次品被漏查误判为正品的概率为10%。求：
1）检验一箱产品能通过验收的概率；
2）已知取到的一箱产品通过了验收，抽检到一件次品的概率； 3）检验10箱产品通过率不低于90%的概率。 解：1）设i A =“一箱内有i 件次品”，0,1,2
i
=，显然事件012,,A A A 互斥，构成一个
完备事件组。 设事件B
=
“一箱产品通过验收”，C
=
=“抽到一件正品”。欲求()P B
依题意，
110(),(|) 0,1,2
3
10
i i i P A P C A i -=
=
=
(|)0.98,(|)0.10
P B C P B C ==
运用全概率公式，得
2
2
110()()(|)0.9
3
10
()1()10.90.1.
i i i i i P C P A P C A P C P C ==-=
=
==-=-=∑
∑
再次运用全概率公式
()()(|)()(|) 0.90.980.10.10.892
P B P C P B C P C P B C =+=?+?=
2）()()(|)
0.01(|)0.0112
()
()
0.892
P C B P C P B C P C B P B P B =
=
=
≈
这说明通过了验收而抽查到次品的可能性只有约1.12%。
3）由于各箱产品是否通过验收互不影响，则设10箱产品中通过验收的箱数为
,(0,2,,10)
k k = ，并且通过验收的概率为()
0.892
P B =，10箱产品的通过率为
10
k ，根据二项概率公式，得到
因为检验10箱产品通过率不低于
90%，等价于90%
9
10k
k ≥?
≥，即
9,10k =。所求概率为
10
19
101010(9)(10)0.892
(0.892)0.1080.705
P P C +=+?=
该题目体现了全概率公式、贝叶斯公式和二项公式的综合应用。
第三部分 一维随机变量及其分布
例1. （电力供应问题）有9台设备，间歇地使用电力。设在任一时刻每台设备都以同样的概率0.3需要一个单位的电力，且各设备是否需要电力相互独立，求有3台设备同时需要供应一个单位电力的概率。
解： 设X 表示任一时刻同时需要（一个单位的电力供应）的设备数，则)
,(~p n B X
，
其中9=n
，3
.0=p ，于是有3台设备同时需要供应电力的概率为
2668
.0)
3.01()3.0(}3{6
3
3
9≈-==C X P
例2 某商店根据过去的销售记录知道某种商品每月的销售量可用参数为9=λ的泊
松分布来描述。为了以95%以上的概率保证不脱销，问商店在月底应存多少件该种商品（设只在月底进货）？
解: 设该商品每月销售该商品X 件，月底存货为a 件，那么当a
X ≤时就不会脱销。
现要求a ，使95
.0}{≥≤a X
P ，又因)9(~P X ，即使得
∑
∑
==-≥=
=a
k a
k k
e
k k X P 0
9
95
.0!
9
}{
经计算可知：∑
=-<≈13
9
95
.09231.0!
9
k k
e
k ，
∑
=->≈14
9
95
.09554.0!
9
k k
e
k
故只要保证存货不低于14件就能以95%以上的概率保证不脱销。
例3 设一大型设备上某元件在任何长为x 的时间内损坏（立即替换新的）数N (x )服从参数为x λ的泊松分布，（1）求该种元件使用寿命X 的密度函数。（2）求使用寿命超过a （小时）的概率。
解 （1）先求X 的分布函数F (x )。对任意实数x ，因为0≥X
，所以，当0 {}X x ≤=? ，从而0 }{) (=≤=x X P x F 。 当0≥x 时，由于}1)({}{≥=≤x N x X ，故 x x e x e x N P x N P x X P x F λλλ---=-==-=≥=≤=1! 0)(1}0)({1}1)({}{)(0 综上所述，得 ??? ≥-<=-0 ,10,0)(x e x x F x λ 从而X 的密度函数为 ?? ?≤>=-. 0,)(x x e x f x λλ 可见，元件使用寿命X 服从参数为λ的指数分布。 （2）使用寿命超过a （小时）的概率为 a a x x a e a e dx e dx x f a X P λλλλ-∞ +--∞ +=∞+-=== >? ? )(}{ 例4 设2 ~(,) X N μσ，求{ } P X k μσ-<，k =1,2,……。 解 以k = 3为例，其它可类似计算。 {3}{33}(3)(3)33( )( )(3)(3)2(3)1 20.998610.997299.72% P X P X F F μσμσμσμσμσμσμ μσμ σ σ -<=-<<+=+--+---=Φ-Φ=Φ-Φ-=Φ-=?-== 同理 {}68.3%{2}95.4% P X P X μσμσ-<=-<= 此例说明若2 ~(,) X N μσ，则X 的取值落入μ附近σ3范围内的概率相当大， 几乎为1，这称为正态分布的“σ3原则”。（现在有σ6原则） 例5 设甲、乙两人独立地各进行两次射击，他们每次的命中率分别为0.4和0.5,以X 和Y 分别表示甲、乙命中次数，求(,)X Y 的分布律。 解. 由题意可知，~(2,0.4),~(2,0.5) X B Y B 又因为X 和Y 相互独立，于是X 和Y 的分布律为 {0,0}{0}{0}0.160.250.04P X Y P X P Y ====?==?= {0,1}{0}{1}0.160.50.08 P X Y P X P Y ====?==?= {0,2}{0}{2}0.160.250.04P X Y P X P Y ====?==?= {1,0}{1}{0}0.480.250.12 P X Y P X P Y ====?==?= {1,1}{1}{1}0.480.50.24 P X Y P X P Y ====?==?= {1,2}{1}{2}0.480.250.12 P X Y P X P Y ====?==?= {2,0}{2}{0}0.360.250.09P X Y P X P Y ====?==?= {2,1}{2}{1}0.360.50.18 P X Y P X P Y ====?==?= {2,2}{2}{2}0.360.250.09 P X Y P X P Y ====?==?= 第四部分 随机变量的数字特征 例1一口袋中有i （n i ,...,2,1=）号球i 只，从中任意摸出一只球，求所得号码的数 学期望。 解：设所得号码为X ，由题意易知X 的分布律为 n i n n i i X P ,..., 2,1,) 1(2}{=+= = 所以 3 12) 1(2) 1(2}{1 2 1 2 1 += += += == ∑ ∑ ∑ ===n i n n n n i i X iP EX n i n i n i 例2 设 X ～)4,1(N ， ??? ??>≤<--≤-==3 ,13 1,0,1,1)(X X X X g Y ，求EY 。 解：方法一：设X 的密度函数为 ) (x f ，则 ))((X g E EY =dx x f dx x f dx x f dx x f x g ? ? ? ? +∞ --∞ -+∞ ∞ -+ ?+ -= =3 3 1 1 )()(0)()()( 2131211=?? ? ??-Φ-+??? ??--Φ-= 方法二：先求出Y 的分布律 ) 1(211}1{}1{-=?? ? ??--=-≤=-=ΦΦX P Y P 1 )1(2211213}31{}0{-=??? ??---??? ??-=≤<-==ΦΦΦX P Y P ) 1(12131}3{}1{ΦΦ-=?? ? ??--=>==X P Y P )]1(1[1]1)1(2[0)1()1(=Φ-?+-Φ?+-Φ?-=EY 第五部分 数理统计的基本概念 例1 对100个靶进行射击，各打10发子弹，只计录击中与否，射击结果如下： 解 11 11100 1 (001021102)6i i n i x x f == =?+?+?++?=∑ 11 11 2 2 22 2222 11111 1 99 1 1 ()()(00101021006) 2.59 i i i n n i i S x x f x f n x --=== -= -= ?+?++?-?=∑ ∑ 1.61S =≈ 即每靶击中数的样本均值为6，样本标准差为S=1.61 例2 从正态总体N （40,82 ）中抽取容量为25的样本，求样本均值在38至44之间的概率。 解：此题要求[38,44]X ∈的概率，根据抽样分布知：X 服从正态分布，可利用 正态分布的标准化交换并利用正态分布表查表计算概率。 2 (40,8)X N ，从而 40(0,1) 8/5 X N - ， 3840 404440401.6 1.6 1.6 1.6 {3844}{}{ 1.25 2.5} (2.5)(1.25)0.99380.10560.8882 X X P X P P ----≤≤=≤ ≤=-≤≤=Φ-Φ=-=查表 样本均值在38至44之间的概率为：0.8882。 例3 求总体N （20,3）的容量分别为10，15的两个独立样本均值差的绝对值大于0.3的概率。 解： 设两样本的样本均值分别为：1 212,,10,15 X X n n ==。由抽样分布知： 12 (20,0.3),(20,0.2) X N X N ,且1 2 ,X X 相互独立，故由正态分布的性质： 12 12 12 {0.3}1{0.3}1{0.30.3} 1[22(0.42) 220.66280.6744 P X X P X X P X X ->=--≤=--≤-≤=-Φ-Φ=-Φ==-?=查表 容量分别为10，15的两个独立样本均值差的绝对值大于0.3的概率为：0.6744。 第六部分 回归分析 例 今测得x 与y 的数据如下表。试找出二者之间的回归直线公式，并求当x =50.1时，y 的95%的预报区间。 解?y a b x =+ 表1 数据及计算表 所以 a,b的估计值为：?? ? 0.3389,0.0472 xy S S xx b a y b x ===-=； 回归直线公式为：?0.04720.3389 y x =+。 （2）预报 给定置信概率10.95 α -=,查t分布表得临界值1 2 2.306 t α - =,y0的置信概率为0.95的预报区间为： 00 ?? 2.306, 2.306 y S y S ?? -+ ?? ?? 其中0.04416 S=== 1.105 ==, 2.3060.1125 d S ==,0?0.04870.338950.117.028 y=+?=， 所以预报区间为：[] 17.0280.1125,17.0280.1125[16.9155,17.1406] -+=。 一元二次方程根与系数的关系培优训练 例1．已知1x 、2x 是关于x 的一元二次方程0)1(4422=+-+m x m x 的两个非零实数根，问：1x 与2x 能否同号？若能同号请求出相应的m 的取值范围；若不能同号，请说明理由。 例2．已知1x 、2x 是一元二次方程01442=++-k kx kx 的两个实数根。 （1）是否存在实数k ，使23)2)(2(2121- =--x x x x 成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由。 （2）求使 21221-+x x x x 的值为整数的实数k 的整数值。 例3.已知关于x 的一元二次方程 有两个相等的实数根。求证：（1）方程 有两个不相等的实数根； （2）设方程 的两个实数根为 ，若 ，则 . 例4.在等腰三角形ABC 中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，已知a=3，b和c是关于x的方程的两个实数根，求△ABC的周长． 例5．在解方程x2+px+q=0时，小张看错了p，解得方程的根为1与－3；小王看错了q，解得方程的根为4与－2。这个方程的根应该是什么? 例6．已知x1,x2是关于x的方程x2+px+q=0的两根，x1+1、x2+1是关于x的方程x2+qx+p=0的两根，求常数p、q的值。 练习：1.先阅读下列第(1)题的解法，再解答第(2)题． (1)若α、β是方程x2-3x-5=0的两个实数根，求α2+2β2-3β的值； 解：∵α、β是方程x2-3x-5=0的两个实根， ∴α2-3α-5=0，β2-3β-5=0，且α+β=3． ∴α2=3α+5，β2=3β+5 ∴α2+2β2-3β=3α+5+2(3β+5)-3β=3α+3β+15=3(α+β)+15=24． (2)已知x 1、x 2 是方程x2+x-7=0的两个实数根，不解方程求的值． 2.已知关于X的一元二次方程ｍ2ｘ2＋2（3－ｍ）ｘ＋1＝0的两实数根为α,β， 若ｓ＝1 α ＋ 1 β ，求ｓ的取值范围。 3．如果关于x的实系数一元二次方程x2+2(m+3)x+m2+3=0有两个实数根α、β，那么(α－1)2+(β－1)2的最小值是多少? 4．已知关于x的方程x2－(2a－1)x+4(a－1)=0的两个根是斜边长为5的直角三角形的两条直角边的长，求这个直角三角形的面积。 概率论与数理统计复习题 一．事件及其概率 1. 设,,A B C 为三个事件，试写出下列事件的表达式： (1) ,,A B C 都不发生；(2),,A B C 不都发生；(3),,A B C 至少有一个发生；(4),,A B C 至多有一个发生。 解：(1) ABC A B C =?? (2) ABC B =?? (3) A B C ?? (4) BC AC AB ?? 2. 设B A ,为两相互独立的随机事件,4.0)(=A P ,6.0)(=B P ,求(),(),(|)P A B P A B P A B ?-。 解：()()()()()()()()0.76P A B P A P B P AB P A P B P A P B ?=+-=+-=； ()()()()0.16,(|)()0.4P A B P AB P A P B P A B P A -=====。 3. 设,A B 互斥，()0.5P A =，()0.9P A B ?=，求(),()P B P A B -。 解：()()()0.4,()()0.5P B P A B P A P A B P A =?-=-==。 4. 设()0.5,()0.6,(|)0.5P A P B P A B ===，求(),()P A B P AB ?。 解：()()(|)0.3,()()()()0.8,P AB P B P A B P A B P A P B P AB ==?=+-= ()()()()0. 2P A B P A B P A P A B = -=-=。 5. 设,,A B C 独立且()0.9,()0.8,()0.7,P A P B P C ===求()P A B C ??。 解：()1()1()1()()()0.994P A B C P A B C P ABC P A P B P C ??=-??=-=-=。 6. 袋中有4个黄球，6个白球，在袋中任取两球，求 (1) 取到两个黄球的概率； (2) 取到一个黄球、一个白球的概率。 解：(1) 24210215C P C ==；(2) 11462 108 15 C C P C ==。 7. 从0~9十个数字中任意选出三个不同的数字，求三个数字中最大数为5的概率。 解：12153 101 12 C C P C ==。 ?韦达定理公式介绍及典型例题 ?韦达定理说明了一元n次方程中根和系数之间的关系。法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理。 ?这里讲一元二次方程两根之间的关系。 ?一元二次方程ａＸ+bX+C=0﹙a０﹚中，两根Ｘ1，X2有如下关系：X1+X２=-b/a，X1Ｘ2=ｃ／a ?【定理内容】 一元二次方程ａｘ＾2+bx＋c=0(ａ0 且△=ｂ^2－４ａc0)中,设两个根为x1，x2 则 ?X1+X２＝ -b/ａ ?X1Ｘ2＝c/a 1/Ｘ1+1/X２=X1+X2／X1X２ ?用韦达定理判断方程的根一元二次方程ａx+bｘ＋c＝０ (a0)中, 若b-4aｃ0则方程没有实数根 若ｂ－4aｃ=0 则方程有两个相等的实数根 ?若b-4ac0 则方程有两个不相等的实数根 【定理拓展】 ?(1)若两根互为相反数，则b=0 （2)若两根互为倒数，则a=c ?(３)若一根为0,则c=0 (4）若一根为１,则ａ+b+c=0 ?(5)若一根为-1,则a-b+c＝0 ?(6)若a、c异号,方程一定有两个实数根 【例题】 已知p＋q=１98，求方程x^２+pｘ+q=0的整数根.(94祖冲之杯数学邀请赛试题） 解:设方程的两整数根为x1、x2，不妨设x1ｘ2.由韦达定理，得?x1+ｘ2=－p,ｘ１x２=q. 于是ｘ1ｘ2-(x1+x2）=ｐ＋q=1９8, ?即ｘ1x2-x1－x２＋1=199. ?运用提取公因式法(x１-１)（ｘ2-1)=199. 注意到（x１-１)、（x２－1)均为整数， ?解得ｘ１＝2,x2=20０;x１=-198，x２=0． 概率论经典实例 概率论的研究问题大多与现实世界联系十分密切，有的甚至引人入胜，非常值得我们探讨以便激发我们对概率论学习的兴趣，同时引导我们对生活的思考，这对我们每一个大学生思维能力的培养有着重要的意义。下面我列举几个典型的概率实例加以说明其重要意义。 1990 年9 月9 日，美国一家报纸检阅提出一个有趣的概率问题：电视主持人指着三扇关着的门说，其中一扇后是汽车，另两扇后各有一只山羊。你可随意打开一扇，后面的东西就归你了。你当然想得到汽车。当你选定一扇门，如1 号门(但未打开) ，这时主持人打开有山羊的另一个扇门，不妨说是3号门( 主持人清楚哪扇门后是汽车) ，并对你说：现在再给你一次机会，允许你改变原来的选择。你为了得到汽车是坚持1号门还是改选2号门？问题及答案公诸于众后引发了出乎意料的轰动，编辑部收到了上万封从小学二年级的学生到大学教授的来信，给出了不尽相同的答案（当然正确的答案是唯一的），热烈讨论持续两年之久。此时，无论是一号门还是二号门都有可能门后是汽车，看上去好像每一个都是一半的几率。但从主持人的角度看，他不会让你轻易就得到汽车，于是打开三号门来迷惑你的思想，让你放弃一号门。由此看出，可能一号门的几率会大一点。若从主持人的话语中判断出他没有那种想法，则可以这样思考这个问题。将一号门看成一部分，里面有汽车的概率为0.33，将二号门和三号门看成另一部分，里面有汽车的概率为0.67。当发现三号门里没有汽车时，则一号门和二号门有汽车的概率分别为0.33和0.67。因此，选择二号门比较理智。 稍加留意就会发现若利用概率统计提供的科学思维方法就会大大提高获胜的几率。比如抛两颗均匀骰子，规定如下规则：总数之和小于6为出现小点，大于6为大点，则每局可押大点或小点，若押对了，以出现的点数为对应的奖品数目，若押不中则同样以出现的点数为惩罚品的数目。可以这样思考，当假设骰子理论意义上是均匀的，则六面中点数少的面较重，在抛出后点数多的面朝上的可能性较大，从而抛出点数大的情况的概率应大一些，这样，即可作如下观察：(1)随机抛2颗骰子若干次，观察出现的点数，若点数大于6的次数占多数，则初步判断骰子是均匀的。(2) 当比赛开始时，可做以下决策：刚开始可先押大点，无论押中或不中，第二轮可接着押大点，然后观察一轮，当出现小点后，可继续押大点，当然也可在连续出现几个大点后押一次小点，也有取胜的把握。这是因为，出现大点的机会要多于出现小点的机会，开始出现大点的概率要大一些，故应押大点，当出现几次大点后，小概率的事件也是会发生的，故可押一次小点，若一次不中可继续押，此时出现小点的概率将变大。另外，当连续出现几次小点或大点，则情况即将发生转变，应考虑押相反的情况。运用概率的思想来解决此类问题让我们更有把握赢得我们所要的东西，对此类问题，一味的乱猜，只能让我们处于劣势。 在第二次世界大战中，美国曾经宣布：一个优秀的数学家的作用超过10 个师的兵力，这句话有一个非同寻常的来历。1943年以前，在大西洋的英美运输船队常常受到德国潜艇的袭击。当时，英美两国限于实力，无力增派更多的护航舰，一时间德国的潜艇战搞得盟军焦头烂额。为此，有位美国海军将领专门去请教了几位数学家，数学家们运用概率论分析后，舰队与潜艇相遇是一个随机事件。从数学角度来看这一问题，它具有一定的规律性，一定数量的船（为100艘），编队规模越小，编次就越多（为每次20艘，就要有5个编次），编次越多，与敌 复习提纲 （一）随机事件和概率 （1）理解随机事件、基本事件和样本空间的概念，掌握事件之间的关系与运算。 （2）了解概率的定义，掌握概率的基本性质和应用这些性质进行概率计算。 （3）理解条件概率的概念，掌握概率的加法公式、乘法公式、全概率公式、Bayes 公式， 以及应用这些公式进行概率计算。 （4）理解事件的独立性概念，掌握应用事件独立性进行概率计算。 （5）掌握Bernoulli 概型及其计算。 （二）随机变量及其概率分布 （1）理解随机变量的概念。 （2）理解随机变量分布函数)}{)((x X P x F ≤=的概念及性质，理解离散型随机变量的分布律及其性质，理解连续型随机变量的概率密度及其性质，会应用概率分布计算有关事件的概率。 （3）掌握二项分布、Poisson 分布、正态分布、均匀分布和指数分布。 （4）会求简单随机变量函数的概率分布。 （三）二维随机变量及其概率分布 （1）了解二维随机变量的概念。 （2）了解二维随机变量的联合分布函数及其性质，了解二维离散型随机变量的联合分布律 及其性质，并会用它们计算有关事件的概率。 （3）了解二维随机变量分边缘分布和条件分布，并会计算边缘分布。 （4）理解随机变量独立性的概念，掌握应用随机变量的独立性进行概率计算。 （5）会求两个随机变量之和的分布，计算多个独立随机变量最大值、最小值的分布。 （6）理解二维均匀分布和二维正态分布。 （四）随机变量的数字特征 （1）理解数学期望和方差的概念，掌握它们的性质与计算。 （2）掌握6种常用分布的数学期望和方差。 （3）会计算随机变量函数的数学期望。 （4）了解矩、协方差和相关系数的概念和性质，并会计算。 （五）大数定律和中心极限定理 （1）了解Chebyshev 不等式。 （2）了解Chebyshev 大数定律和Benoulli 大数定律。 （3）了解独立同分布场合的中心极限定理和De Moivre-Laplace 中心极限定理的应用条件 和结论，并会用相关定理近似计算有关随机事件的概率。 充分条件与必要条件·典型例题 能力素养 例1 已知p：x1，x2是方程x2＋5x－6＝0的两根，q：x 1＋x2＝－5，则p是q的 [ ] A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 分析利用韦达定理转换． 解∵x1，x2是方程x2＋5x－6＝0的两根， ∴x1，x2的值分不为1，－6， ∴x1＋x2＝1－6＝－5． 因此选A． 讲明：判定命题为假命题能够通过举反例． 例2 p是q的充要条件的是 [ ] A．p：3x＋2＞5，q：－2x－3＞－5 B．p：a＞2，b＜2，q：a＞b C．p：四边形的两条对角线互相垂直平分，q：四边形是正方形 D．p：a≠0，q：关于x的方程ax＝1有惟一解 分析逐个验证命题是否等价． 解对A．p：x＞1，q：x＜1，因此，p是q的既不充分也不必要条件； 对B．p q但q p，p是q的充分非必要条件； 对C．p q且q p，p是q的必要非充分条件； D p q q p p q p q D ??? 对．且，即，是的充要条件．选． 讲明：当a＝0时，ax＝0有许多个解． 例3 若A是B成立的充分条件，D是C成立的必要条件，C是B成立的充要条件，则D是A成立的 [ ] A．充分条件B．必要条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 分析通过B、C作为桥梁联系A、D． 解∵A是B的充分条件，∴A B① ∵D是C成立的必要条件，∴C D② ? ∵是成立的充要条件，∴③ C B C B 由①③得A C④ 由②④得A D． ∴D是A成立的必要条件．选B． 讲明：要注意利用推出符号的传递性． 例4 设命题甲为：0＜x＜5，命题乙为|x－2|＜3，那么甲是乙的 [ ] A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 一元二次方程根与系数的关系 培优训练 欧阳光明（2021.03.07） 例1．已知1x 、2x 是关于x 的一元二次方程0)1(4422=+-+m x m x 的两个非零实数根，问：1x 与2x 能否同号？若能同号请求出相应的 m 的取值范围；若不能同号，请说明理由。 例2．已知1x 、2x 是一元二次方程01442=++-k kx kx 的两个实数根。 （1）是否存在实数k ，使23)2)(2(2121-=--x x x x 成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由。 （2）求使21221-+x x x x 的值为整数的实数k 的整数值。 例3.已知关于x 的一元二次方程 有两个相等的实数根。求证：（1）方程 有两个不相等的实数根； （2）设方程 的两个实数根为 ，若 ，则 . 例4.在等腰三角形ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，已知a=3，b 和c 是关于x 的方程 的两个实数根，求△ABC 的周长． 例5．在解方程x2+px+q=0时，小张看错了p，解得方程的根为1与－3；小王看错了q，解得方程的根为4与－2。这个方程的根应该是什么? 例6．已知x1,x2是关于x的方程x2+px+q=0的两根，x1+1、x2+1是关于x的方程x2+qx+p=0的两根，求常数p、q的值。 练习：1.先阅读下列第(1)题的解法，再解答第(2)题． (1)若α、β是方程x2-3x-5=0的两个实数根，求α2+2β2-3β的值； 解：∵α、β是方程x2-3x-5=0的两个实根， ∴α2-3α-5=0，β2-3β-5=0，且α+β=3． ∴α2=3α+5，β2=3β+5 ∴α2+2β2-3β=3α+5+2(3β+5)- 3β=3α+3β+15=3(α+β)+15=24． (2)已知x1、x2是方程x2+x-7=0的两个实数根，不解方程求 的值． 2.已知关于X的一元二次方程ｍ2ｘ2＋2（3－ｍ）ｘ＋1＝0的两 实数根为α,β，若ｓ＝1 α ＋ 1 β ，求ｓ的取值范围。 3．如果关于x的实系数一元二次方程x2+2(m+3)x+m2+3=0有两个实数根α、β，那么(α－1)2+(β－1)2的最小值是多少? 4．已知关于x的方程x2－(2a－1)x+4(a－1)=0的两个根是斜边长为5的直角三角形的两条直角边的长，求这个直角三角形的面 积。 概率论和数理统计真题讲解 （一）单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.设随机事件A与B互不相容，且P（A）＞0,P（B）＞0，则（） A.P（B|A）＝0 B.P（A|B）＞0 C.P（A|B）＝P（A） D.P（AB）＝P（A）P（B） 『正确答案』分析：本题考察事件互不相容、相互独立及条件概率。 解析：A：，因为A与B互不相容，，P（AB）＝0，正确； 显然，B，C不正确；D：A与B相互独立。 故选择A。 提示：① 注意区别两个概念：事件互不相容与事件相互独立； ② 条件概率的计算公式：P（A）＞0时，。 2.设随机变量X～N（1，4），F（x）为X的分布函数，Φ（x）为标准正态分布函数，则F（3）＝（） A.Φ（0.5） B.Φ（0.75） C.Φ（1） D.Φ（3） 『正确答案』分析：本题考察正态分布的标准化。 解析：， 故选择C。 提示：正态分布的标准化是非常重要的方法，必须熟练掌握。 3.设随机变量X的概率密度为f（x）＝则P{0≤X≤}＝（） 『正确答案』分析：本题考察由一维随机变量概率密度求事件概率的方法。第33页 解析：， 故选择A。 提示：概率题目经常用到“积分的区间可加性”计算积分的方法。 4.设随机变量X的概率密度为f（x）＝则常数c＝（） A.－3 B.－1 C.－ D.1 『正确答案』分析：本题考察概率密度的性质。 解析：1＝，所以c＝－1， 故选择B。 提示：概率密度的性质： 1.f（x）≥0； 4.在f（x）的连续点x，有F′（X）＝f（x）；F（x）是分布函数。课本第38页 5.设下列函数的定义域均为（－∞，＋∞），则其中可作为概率密度的是（） A.f（x）＝－e－x B. f（x）＝e－x C. f（x）＝ D.f（x）＝ 『正确答案』分析：本题考察概率密度的判定方法。 解析：① 非负性：A不正确；② 验证：B：发散； C：，正确；D：显然不正确。 故选择C。 提示：判定方法：若f（x）≥0，且满足，则f（x）是某个随机变量的概率密度。 6.设二维随机变量（X，Y）～N（μ1,μ2，），则Y ～（） 『正确答案』分析：本题考察二维正态分布的表示方法。 解析：显然，选择D。 1、韦达定理（根与系数的关系） 韦达定理：对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠，如果方程有两个实数根12,x x ，那么 说明：定理成立的条件0?≥ 练习题 一、填空： 1、如果一元二次方程c bx ax ++2=0)(0≠a 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ， 1x 2x = . 2、如果方程02=++q px x 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ，1x 2x = . 3、方程01322=--x x 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ，1x 2x = . 4、如果一元二次方程02=++n mx x 的两根互为相反数，那么m = ；如果两根互为倒数，那么n = . 5方程0)1(2=-++n mx x 的两个根是2和－4，那么m = ，n = . 6、以1x ，2x 为根的一元二次方程（二次项系数为1）是 . 7、以13+，13-为根的一元二次方程是 . 8、若两数和为3，两数积为－4，则这两数分别为 . 9、以23+和23-为根的一元二次方程是 . 10、若两数和为4，两数积为3，则这两数分别为 . 11、已知方程04322=-+x x 的两根为1x ，2x ，那么2212x x += . 12、若方程062=+-m x x 的一个根是23-，则另一根是 ，m 的值是 . 13、若方程01)1(2=----k x k x 的两根互为相反数，则k = ，若两根互为倒数，则k = . 14、如果是关于x 的方程02=++n mx x 的根是2-和3，那么n mx x ++2在实数范围内可分解为 . 二、已知方程0232=--x x 的两根为1x 、2x ，且1x >2x ,求下列各式的值: 韦达定理经典习题 一．选择题（共16小题） 1．若方程x2﹣（m2﹣4）x+m=0的两个根互为相反数，则m等于（） A．﹣2B．2C．±2D．4 2．若关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为1，则另一个根为（） A．﹣4B．2C．4D．﹣3 3．设a，b是方程x2+x﹣2017=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（） A．2014B．2015C．2016D．2017 4．一元二次方程ax2+bx+c=0中，若a＞0，b＜0，c＜0，则这个方程根的情况是（） A．有两个正根 B．有两个负根 C．有一正根一负根且正根绝对值大 D．有一正根一负根且负根绝对值大 5．已知m、n是方程x2+3x﹣2=0的两个实数根，则m2+4m+n+2mn的值为（） A．1B．3C．﹣5D．﹣9 6．已知关于x的一元二次方程x2+mx﹣8=0的一个实数根为2，则另一实数根及m的值分别为（）A．4，﹣2B．﹣4，﹣2C．4，2D．﹣4，2 7．一元二次方程x2+x﹣1=0的两根分别为x1，x2，则+=（） A．B．1C．D． 8．关于x的方程x2+2（k+2）x+k2=0的两实根之和大于﹣4，则k的取值范围是（） A．k＞﹣1B．k＜0C．﹣1＜k＜0D．﹣1≤k＜ 9.已知a、b是一元二次方程x2﹣3x﹣2=0的两根，那么+的值为（） A．B．C．﹣D．﹣ 10.已知实数x1，x2满足x1+x2=7，x1x2=12，则以x1，x2为根的一元二次方程是（） A．x2﹣7x+12=0B．x2+7x+12=0C．x2+7x﹣12=0D．x2﹣7x﹣12=0 11.设a、b是方程x2+x﹣2014=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（） A．2014B．2015C．2012D．2013 二．填空题（共30小题） 12．已知：一元二次方程x2﹣6x+c=0有一个根为2，则另一根为． 13．一元二次方程x2+x﹣2=0的两根之积是． 14．若α、β是一元二次方程x2+2x﹣6=0的两根，则α2+β2=． 15．一元二次方程x2+mx+2m=0的两个实根分别为x1，x2，若x1+x2=1，则x1x2=． 16.已知m、n是关于x的一元二次方程x2﹣3x+a=0的两个解，若（m﹣1）（n﹣1）=﹣6，则a的值为． 17.已知a，b是方程x2﹣x﹣3=0的两个根，则代数式a2+b+3的值为． 18.已知关于x的方程x2﹣2ax+a2﹣2a+2=0的两个实数根x1，x2，满足x12+x22=2，则a的值是．19．方程x2﹣3x+1=0中的两根分别为a、b，则代数式a2﹣4a﹣b的值为． 韦达定理(常见经典题型) 一元二次方程知识网络结构图 1．方程中只含有 个未知数，并且整理后未知数的最高次数是 ，这样的方程叫做一元二次方程。 通常可写成如下的一般形式 ( a 、b 、c 、为常数，a )。 2. 一元二次方程的解法： （1）直接开平方法：当一元二次方程的一边是一个含有未知数的 的平 方，而另一边是一个 时，可以根据 的意义，通过开平方法求出这个方程的解。 （2）配方法：用配方法解一元二次方程()02 ≠=++a o c bx ax 的一般步骤是： ①化二次项系数为 ，即方程两边同时除以二次项系数； ②移项，使方程左边为 项和 项，右边为 项； ③配方，即方程两边都加上 的平方； ④化原方程为2 ()x m n +=的形式， 如果n 是非负数，即0n ≥，就可以用 法求出方程的解。 如果n ＜0，则原方程 。 （3）公式法: 方程20(0)ax bx c a ++=≠，当24b ac -_______ 0时，x = ________ （4）因式分解法：用因式分解法解一元二次方程的一般步骤是： 一元二次 定义：等号两边都是整式，只 含有一个未知数（一 解法直接开平方法 因式分解法 配方法 公式 法 22 240404b ac b ac b ac ?-??-???-?? ＞方程有两个不相等的实数根＝方程有两个相等的实数根＜方程无实数根应用一元二次方程解决实际 问题?? ? 步骤 实际问题的答案 ①将方程的右边化为 ； ②将方程的左边化成两个 的乘积； ③令每个因式都等于 ，得到两个 方程； ④解这两个方程，它们的解就是原方程的解。 3、韦达定理 一、 一元二次方程的基本概念及解法 1、已知关于x 的方程x 2＋bx ＋a ＝0有一个根是－a(a≠0)，则a －b 的 值为 A ．－１ B ．0 C ．1 D ．2 2、 程时。 、当方程为一元二次方程时；、当方程为一元一次方的取值范围。 满足下列条件时，当方程21m 05)3()3(1 =+-++-x m x m m 3、一元二次方程x （x －2）=2－x 的根是（ ） A ．－1 B ．2 C ．1和2 D ．－1和2 二 一元二次方程根的判别式 4、关于x 的方程2210x kx k ++-=的根的情况描述正确的是( )． A ．k 为任何实数．方程都没有实数根 B ，k 为任何实数．方程都有两个不相等的实数根 C ．k 为任何实数．方程都有两个相等的实数根 D ．根据k 的取值不同．方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根三种 5、已知关于x 的一元二次方程（a ﹣l ）x 2﹣2x+l ＝0有两个不相等的实 习题五 1.一颗骰子连续掷4次，点数总和记为X .估计P {10 整理得0.95,10n ??Φ≥ ? ??? 查表 1.64,10n ≥ n ≥, 故取n =269. 3. 某车间有同型号机床200部，每部机床开动的概率为，假定各机床开动与否互不影响， 开动时每部机床消耗电能15个单位.问至少供应多少单位电能才可以95%的概率保证不致因供电不足而影响生产. 【解】要确定最低的供应的电能量，应先确定此车间同时开动的机床数目最大值m ，而m 要满足200部机床中同时开动的机床数目不超过m 的概率为95%,于是我们只要供应15m 单位电能就可满足要求.令X 表同时开动机床数目，则X ~B （200，）, ()140,()42,E X D X == 1400.95{0}().42m P X m P X m -?? =≤≤=≤=Φ ??? 查表知 140 1.64,42 m -= ,m =151. 所以供电能151×15=2265（单位）. 4. 一加法器同时收到20个噪声电压V k （k =1，2，…，20），设它们是相互独立的随机变量， 且都在区间（0，10）上服从均匀分布.记V = ∑=20 1 k k V ，求P {V ＞105}的近似值. 【解】易知:E (V k )=5,D (V k )= 100 12 ,k =1,2,…,20 由中心极限定理知，随机变量 20 1 205 ~(0,1).100100 20201212 k k V Z N =-?= =??∑近似的 于是105205{105}1010020201212P V P ????-?? >=>???? ????? 1000.3871(0.387)0.348,102012V P ????-?? =>≈-Φ=? ???????? 即有 P {V >105}≈ 5. 有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的长度不小于3m.现从这批木柱中随机地取出100 根，问其中至少有30根短于3m 的概率是多少 概率论经典考试题型 一，选择题 1 设A 、B 为互不相容的事件,且()0,()0,P A P B >>下面四个结论中, 正确的是( ) (A)(|)0P B A > (B)(|)0P A B = (C)(|)()P A B P A =(D)()()()P AB P A P B = 如果A 、B 为互不相容的事件,且 ()0,()0,P A P B >>则上述不正确的是（ ） 2 总体),(~2 σμN X ，n X X X ,,,21 是来自总体的样本, ∑==n k k X n X 1 1，则n X /σμ- ~ ( ） (A) ),(2σμN (B) )1,0(N (C) )(n t (D) )1(-n t 3. 已知相互独立的随机变量 ~(1,16), Y ~(2,9), (2)X N N D X Y -=则 。 4. 设3.0)(=A P , 6.0)(=B P , 且事件A 与B 互不相容, ()P A B ?=则 。 5. 已知随机变量X 的概率密度为 2,0,()0,0.x ae x f x x -?>=?≤? 则a = . 6. 设随机变量X 满足2(),()E X D X μσ==, 则由切比雪夫不等式,有{||3}P X μσ-≥≤ 。 7．设总体),(~2σμN X ，2,σμ未知， n X X X ,,,21 是来自总体 X 的样本, 则 μ的矩估计量是 ，2σ最大似然估 计量 。 8 电路由电池A 、B 及两个并联的电池C 、D 串联而成, 设电池A, B, C, D 损坏与否是 相互独立的, 且它们损坏的概率依次为0.3, 0.2, 0.2, 0.5, 求这个电路发生间断的概率. 9 已知(,)X Y 的联合分布率如下: 求（1）边缘分布率; (2))(),(X D X E ; (3) Z X Y =+的分布率。 韦达定理经典例题 集团文件版本号：（M928-T898-M248-WU2669-I2896-DQ586-M1988） 一元二次方程根与系数的关系培优训练 例1．已知1x 、2x 是关于x 的一元二次方程0)1(4422=+-+m x m x 的两个非零实数根，问：1x 与2x 能否同号？若能同号请求出相应的m 的取值范围；若不能同号，请说明理由。 例2．已知1x 、2x 是一元二次方程01442=++-k kx kx 的两个实数根。 （1）是否存在实数k ，使2 3)2)(2(2121-=--x x x x 成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由。 （2）求使21221-+x x x x 的值为整数的实数k 的整数值。 例3.已知关于x 的一元二次方程 有两个相等的实数根。求 证：（1）方程有两个不相等的实数根； （2）设方程的两个实数根为，若，则. 例4.在等腰三角形ABC 中，∠A、∠B、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，已知a=3，b 和c 是关于x 的方程的两个实数根，求△ABC 的周长． 例5．在解方程x 2+px+q=0时，小张看错了p ，解得方程的根为1与－3；小王看错了 q ，解得方程的根为4与－2。这个方程的根应该是什么 例6．已知x 1,x 2是关于x 的方程x 2+px+q=0的两根，x 1+1、x 2+1是关于x 的方程 x 2+qx+p=0的两根，求常数p 、q 的值。 练习：1.先阅读下列第(1)题的解法，再解答第(2)题． (1)若α、β是方程x 2-3x-5=0的两个实数根，求α2+2β2-3β的值； 解：∵α、β是方程x 2-3x-5=0的两个实根， ∴α2-3α-5=0，β2 -3β-5=0，且α+β=3． ∴α2=3α+5，β2=3β+5 ∴α2+2β2-3β=3α+5+2(3β+5)-3β=3α+3β+15=3(α+β)+15=24． (2)已知x 1、x 2是方程x 2+x-7=0的两个实数根，不解方程求的值． 2.已知关于X 的一元二次方程ｍ2ｘ2＋2（3－ｍ）ｘ＋1＝0的两实数根为α,β，若ｓ＝＋，求ｓ的取值范围。 3．如果关于x 的实系数一元二次方程x 2+2(m+3)x+m 2+3=0有两个实数根α、β，那 么(α－1)2+(β－1)2的最小值是多少 4．已知关于x 的方程x 2－(2a －1)x+4(a －1)=0的两个根是斜边长为5的直角三角形 的两条直角边的长，求这个直角三角形的面积。 5．已知x 1、x 2是关于x 的方程x 2+m 2x+n=0的两个实数根；y 1、y 2是关于y 的方程 y 2+5my+7=0的两个实数根，且x 1－y 1=2,x 2－y 2=2，求m 、n 的值。 6．已知关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0的两根为α、β，且两个关于x 的方程 x 2+(α+1)x+β2=0与x 2+(β+1)x+α2=0有唯一的公共根，求a 、b 、c 的关系式。 概率论感觉测试（答案） 1. 假设考试周为1个礼拜（周一到周日），且考试时间为均匀分布，假使你有3门考试，则最后一门考试大约在 A 周五 B 周六 C 周日 Answer: B. 一般的讲在[0,1]之间n个均匀分布的随机变量最大值期望为n/(n+1),也就是可以认为这n 个随机变量分别大约在1/(n+1),2/(n+1),...,n(n+1)。这道题那么算一下大概就是在周六的上午。 2. 如果你去参与一项赌博，每次的回报为正态分布，假设你赌了100把发现赢了10000块（明显是很小概率事件，但假设确实发生了），那么你觉得你最有可能是因为 A 有一把赢了巨多 B 一直在慢慢的赢 C 两种情况都有可能 Answer: B. 也许答案对很多人有些出乎意料。在这种情况下，可能有人觉得能够连续赢很多把很难，但是实际上赢一把大的更难。这个问题是随机问题中的长尾和短尾的问题。长尾的意思就是取大的值的概率不是很小，而短尾正好相反。但是题目中的正态分布属于短尾，因为密度函数是指数下降的，如果稍微改一下题目中的分布，则有可能是因为一次赢了很大而最后赢的。另外说一句，有一本书叫《长尾理论》，里面说明了现在的经济中有很多东西是长尾的，比如说一年销量排在100000名之后的歌曲仍然能占据市场的一部分。这是电子商务流行的很重要原因，因为不必支付储存这个长尾的cost。 3. 有一根密度不均匀的绳子，你想通过测量多点的密度来估计他的重量（你知道截面积）。则如果给你n 次测量密度的机会的话，如果n很大，（估算质量就通过这些点取平均然后乘以截面积） A 按规律等间隔选取测量点会测得准些 B 随机选取测量点会测得准些 C 两种方法差不多 Answer: A. 也许这个也略有些意外。对于一维的情况，方法A略好于方法B。但是在高维的情况下方法A就一般情况下不如方法B了，原因是要想获得相同的效果，这个“有规律的点”需要选取太多。这是所谓的Quasi-Monte Carlo Sampling 和Monte Carlo Sampling之间的关系 4. 台湾大选，假定马英九最终得到600000票，谢长廷得到400000票，如果一张一张的唱票，则过程中马英九一直领先谢长廷的概率为 A 0.1 B 0.2 C 0.3 D 0.4 第一章 概率论的基本概念课外习题 一．单项选择题 1． 设1)|()|(,1)(0,1)(0=+<<< 韦达定理及其应用 【内容综述】 设一元二次方程有二实数根，则， 。 这两个式子反映了一元二次方程的两根之积与两根之和同系数a，b，c的关系，称之为韦达定理。其逆命题也成立。韦达定理及其逆定理作为一元二次方程的重要理论在初中数学竞赛中有着广泛的应用。本讲重点介绍它在五个方面的应用。 【要点讲解】 1．求代数式的值 应用韦达定理及代数式变换，可以求出一元二次方程两根的对称式的值。 ★★例1若a，b为实数，且，，求的值。 思路注意a，b为方程的二实根；（隐含）。 解（1）当a=b时， ； （2）当时，由已知及根的定义可知，a，b分别是方程的两根，由韦达定理得 ，ab=1. 说明此题易漏解a=b的情况。根的对称多项式，，等都可以用 方程的系数表达出来。一般地，设，为方程的二根，，则有递推关系。 其中n为自然数。由此关系可解一批竞赛题。 附加：本题还有一种最基本方法即分别解出a，b值进而求出所求多项式值，但计算量较大。 ★★★例2若，且，试求代数式的值。 思路此例可用上例中说明部分的递推式来求解，也可以借助于代数变形来完成。 解：因为，由根的定义知m，n为方程的二不等实根，再由韦达定 理，得 ， ∴ 2．构造一元二次方程 如果我们知道问题中某两个字母的和与积，则可以利用韦达定理构造以这两个字母为根的一元二次方程。 ★★★★例3设一元二次方程的二实根为和。 （1）试求以和为根的一元二次方程； （2）若以和为根的一元二次方程仍为。求所有这样的一元二次方程。 解（1）由韦达定理知 ，。 ， 。 所以，所求方程为。 （2）由已知条件可得 解之可得由②得，分别讨论 （p,q）=(0,0)，(1,0)，(1 -)。 -,1)或(0, 1 -,0)，(0,1)，(2,1)，(2 于是，得以下七个方程，，，，， 1 x2= -，其中0 1 x2= +无实数根，舍去。其余六个方程均为所求。x2= +，0 x 1 + 2 3．证明等式或不等式 根据韦达定理（或逆定理）及判别式，可以证明某些恒等式或不等式。 ★★★例4已知a，b，c为实数，且满足条件：，，求证a=b。 立足概率基础 关注横向联系 诸暨中学 邵跃才 随着高考改革的深入，概率统计问题已经成为高考命题的一个重点内容。其考查的内容主要有：等可能性事件发生的的概率，互斥事件有一个发生的概率，相互独立事件同时发生的概率，随机事件的分布列和数学期望等基本概念和求解方法。概率问题虽然常常以实际应用题的形式出现，但近几年也逐渐开始和传统知识及相关学科的交汇融合，形成一些背景新颖、结构精巧的综合题。 一、典型例题 1．等可能性事件发生的概率 例1 先后抛掷两枚均匀的正方形骰子（六个面上分别标有点数1、2、3、4、5、6），骰子朝上的面的点数分别为X ，Y 则满足1log 2=Y X 的概率为（ ） Ａ．16 Ｂ．536 Ｃ．112 Ｄ． 12 解： 满足1log 2=Y X 即Y=2X 的有序数对为（１，２），（２，４），（３，６） ∴231612 P == 故选C 例2 将1，2，…，9这9个数平均分成三组，每组的三个数成等差数列的概率为（ ） A ．561 B ．701 C ．3361 D ．420 1 解：本题的关键是求“每组的三个数成等差数列”这一事件中的基本事件数，基本事件 总数为n=28033 333639=A C C C ，每组三数成等差数列的分法可按前两组的公差大小分类计数，则有（1，2，3）（4，5，6）（7，8，9）； （2，3，4）（6，7，8）（1，5，9）； （1，3，5）（2，4，6）（7，8，9）； （4，6，8）（5，7，9）（1，2，3）； （1，4，7）（2，5，8）（3，6，9）。 ∴m=5, 56 12805==P ，故选A 例3某轻轨列车有4节车厢，现有6位乘客准备乘坐，设每一位乘客进入每节车厢是等 可能的，则这6位乘客进入各节车厢的人数恰好为0，1，2，3的概率为 . 解：“6位乘客按0，1，2，3的人数分配到4节车厢”这一事件中基本事件的个数， 概率论与数理统计（复旦第三版） 习题五 答案 1.一颗骰子连续掷4次，点数总和记为X .估计P {10 10.760.840.9.n i i X P n =??????≤ ≤≥???????? ∑ 根据独立同分布的中心极限定理得 0.8n i X n P ??-??≤≤???? ∑ 0.9,=Φ-Φ≥ 整理得 0.95,10?Φ≥ ?? 查表 1.64,≥ n ≥268.96, 故取n =269. 3. 某车间有同型号机床200部，每部机床开动的概率为0.7，假定各 机床开动与否互不影响，开动时每部机床消耗电能15个单位. 问至少供应多少单位电能才可以95%的概率保证不致因供电不 足而影响生产. 【解】设需要供应车间至少15m ?个单位的电能，这么多电能最多能 同时供给m 部车床工作，我们的问题是求m 。 把观察一部机床是否在工作看成一次试验，在200次试验中， 用X 表示正在工作的机床数目，则~(200,0.7)X B , ()2000.7140, ()(1)2000.70.342,E X np D X np p ==?==-=??= 根据题意，结合棣莫弗—拉普拉斯定理可得 0.95{}P X m P =≤=≤=Φ韦达定理经典例题复习课程
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