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高中数学易错点梳理

数学中的隐含条件往往最容易被忽视，这些隐含条件通常被称为题中的“陷阱”，解题过程中一不小心就会掉进去。本文列举出了高中课本中一些常见的易错点，希望同学们在今后的学习中引以为戒。

一、集合与简易逻辑

易错点1 对集合表示方法理解存在偏差

【问题】1: 已知

{|0},{1}

A x x

B y y

=>=>

，求A B。

错解：A B=Φ

剖析：概念模糊，未能真正理解集合的本质。正确结果：A B B

【问题】2: 已知

{|2},{(,)|4}

A y y x

B x y x y

==+=+=，求A B。

错解：{(0,2),(2,

A B=-

正确答案：A B=Φ

剖析：审题不慎，忽视代表元素，误认为A为点集。

反思：对集合表示法部分学生只从形式上“掌握”，对其本质的理解存在误区，常见的错误是不理解集合的表示法，忽视集合的代表元素。

易错点2 在解含参数集合问题时忽视空集

【问题】: 已知

{|2},{|21}

A x a x a

B x x

=<<=-<<，且B

A?，求a的取值范围。

错解：[-1，0）

剖析：忽视A=?的情况。

正确答案：[-1，2]

反思：由于空集是一个特殊的集合，它是任何集合的子集，因此对于集合B

A?就有可能忽视了A=?，导致解题结果错误。尤其是在解含参数的集合问题时，更应注意到当参数在某个范围内取值时，所给的集合可能是空集的情况。考生由于思维定式的原因，往往会在解题中遗忘了这个集合，导致答案错误或答案不全面。

易错点3 在解含参数问题时忽视元素的互异性

【问题】: 已知1∈{2a +,2

(1)a +, 233a a ++ }，求实数a 的值。错解：2,1,0a =--

剖析：忽视元素的互异性，其实当2a =-时，2

(1)a +=233a a ++=1；当1a =-时， 2a +=233a a ++=1；均不符合题意。

正确答案：0a =

反思：集合中的元素具有确定性、互异性、无序性，集合元素的三性中的互异性对解题的影响最大，特别是含参数的集合，实际上就隐含着对字母参数的一些要求。解题时可先求出字母参数的值，再代入验证。

易错点4 命题的否定与否命题关系不明

【问题】: 写出“若a M a P ??或，则a M P ?”的否命题。

错解一：否命题为“若a M a P ??或，则a M

P ∈” 剖析：概念模糊，弄错两类命题的关系。

错解二：否命题为“若a M a P ∈∈或，则a M P ∈”

剖析：知识不完整，a M a P ??或的否定形式应为a M a P ∈∈且。

正确答案：若a M a P ∈∈且，则a M P ∈

反思：命题的否定是命题的非命题，也就是“保持原命题的条件不变，否定原命题的结论作为结论”所得的命题，但否命题是“否定原命题的条件作为条件，否定原命题的结论作为结论”所得的命题。对此。考生可能会犯两类错误①概念不清，不会对原命题的条件和结论作出否定；②审题不够细心。

易错点5 充分必要条件颠倒出错

【问题】:已知,a b 是实数，则“0a >且0b >”是“0a b +>且0ab >”的

A 充分而不必要条件

B 必要而不充分条件

C 充分必要条件

D 既不充分也不必要条件

错解：选B

剖析：识记不好，不能真正理解充要条件概念，未能掌握判断充要条件的方法。正确答案：C

反思：对于两个条件,A B ，如果A B ?，则A 是B 的充分条件，B 是A 的必要条件，如果A B ?，则A 是B 的充要条件。判断充要条件常用的方法有①定义法；②集合法；③等价法。解题时最容易出错的就是颠倒了充分性与必要性，所以在解决这类问题时，一定要分清条件和结论，根据充要条件的定义，选择恰当的方法作出准确的判断，不充分不必要常借助反例说明。

易错点6 对逻辑联结词及其真值表理解不准

【问题】: 命题p ：若a 、b ∈R ，则1a b +>是1a b +>的充分而不必要条件；命题q ：函数y=2|1|--x 的定义域是（－∞，－1]∪[3，+∞)，则

A“p q 或”为假 B“p q 且”为真 C p q 真假 D p q 假真

错解一：选A 或B

剖析：对真值表记忆不准，本题中p q 假真，因此“p q 或”为真，而“p q 且”为假。错法二：选C

剖析：基础不牢，在判断命题,p q 真假时出错。

正确答案：D

反思：含逻辑联结词“或”、“且”、“非”的命题称为复合命题。在判断复合命题真假时，常常因为对概念理解不准确或真值表记不清而出现错误。为此准确理解概念、巧记真值表是解题的关键。这里介绍一种快速记忆真值表的方法：

“p q 或”——有真则真；“p q 且”——有假则假；“p 非”——真假相反。

易错点7 否定全称、特称命题出错

【问题】写出下列命题的否定：

p ：对任意的正整数x, 2x x ≥ ；

q ：存在一个三角形，它的内角和大于0180；

r:三角形只有一个外接圆。

错解：①p ?：对任意的正整数x, 2x x <；

②q ?：所有的三角形的内角和小于0

180； ③:r ?存在一个三角形有且只有一个外接圆。

剖析：知识欠缺，基础不牢导致出错。

正确答案：①p ?：存在正整数x, 使2x x <；

②q ?：所有的三角形的内角和都不大于0

180； ③:r ?存在一个三角形至少有两个外接圆。

反思：全称命题:,()p x M p x ?∈，它的否定:,()p x M p x ??∈?，特称命题

:,()p x M p x ?∈，它的否定:,()p x M p x ??∈?。一般来说，全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题。切记对全称、特称命题的否定，不仅要否定结论()p x ，而且还要对量词“??和”进行否定。另外，对一些省略了量词的简化形式，应先将命题写成完整形式，再依据法则来写出其否定形式。

二、函数与导数

易错点8 求函数定义域时条件考虑不充分

【问题】: 求函数y=2231

x x --+0

(1)x +的定义域。错解：[-3，1]

剖析：基础不牢，忽视分母不为零；误以为0(1)x +=1对任意实数成立。

正确答案：)(()3,11,1---

反思：函数定义域是使函数有意义的自变量的取值范围，因此求定义域时就要根据函数解析式把各种情况下的自变量的限制条件找出来，列成不等式组，不等式组的解集就是该函数定义域。在求函数的定义域时应注意以下几点①分式的分母不为零；②偶次根式被开方式非负；③对数的真数大于零；④零的零次幂没有意义；⑤函数的定义域是非空的数集。

易错点9 求复合函数定义域时忽视“内层函数的值域是外层函数的定义域”

【问题】已知函数

()[],9,1,2log 3∈+=x x x f 求函数()[]()22x f x f y +=的值域。错解：设3log t x =，

[][]1,9,0,2x t ∈∴∈，266y t t ∴=++，[]0,2t ∈，[]

6,22∴函数的值域是。剖析：知识欠缺，求函数()[]

()22x f x f y +=定义域时，应考虑21919x x ≤≤??≤≤?. 正确答案：[]6,13函数的值域是

反思：在复合函数中，外层函数的定义域是内层函数的值域，求复合函数定义域类型为：

①若已知()f x 的定义域为],a b ??,其复合函数[()]f g x 的定义域可由不等式

()a g x b ≤≤解出即可；②若已知[()]f g x 的定义域为],a b ?? ,求()g x 的定义域，相当于x ∈[a,b]时，求()g x 的值域（即()f x 的定义域）。

易错点10 判断函数奇偶性时忽视定义域

【问题】1: 判断函数

2(1)(1)(1)x x y x x -+=-的奇偶性。错解：原函数即

21x y x +=，∴为奇函数剖析：只关注解析式化简，忽略定义域。

正确答案：非奇非偶函数。

【问题】2:

判断函数()f x =

错解：()()f x f x -=，∴为偶函数

剖析：不求函数定义域只看表面解析式，只能得到偶函数这一结论，导致错误。正确答案：既奇且偶函数。

反思：函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称。如果不具备这个条件，一定是非奇非偶函数。在定义域关于原点对称的前提下，如果对定义域内任意x 都有()()f x f x -=-，则()f x 为奇函数；如果对定义域内任意x 都有()()f x f x -=，则()f x 为偶函数，如果对定义域内存在0x 使00()()f x f x -≠-，则()f x 不是奇函数；如果对定义域内存在0x 使00()()f x f x -≠，则()f x 不是偶函数。

易错点11 求复合函数单调区间时忽视定义域

【问题】: 求函数20.5log (43)y x x =+-的增区间。

错解一：∵外层函数为减函数，内层函数243u x x =+-减区间为3[,)2+∞，∴原函数增区间为3[,)2+∞。

剖析：基础不牢，忽视定义域问题

错解二：∵2430x x +->，函数定义域为()1,4-，又内层函数243u x x =+-在

3(1,]2-为增函数，在3[,)2+∞为减函数，∴原函数增区间为

3(1,]2-。剖析：识记不好，对复合函数单调性法则不熟练。

正确答案：3[,4)2

反思：求复合函数单调区间一般步骤是①求函数的定义域；②作出内层函数的图象；③用“同增异减”法则写单调区间。解此类题通常会出现以下两类错误：一是忽视定义域；二是 “同增异减”法则不会或法则用错。

易错点12 解“二次型函数”问题时忽视对二次项系数的讨论

【问题】: 函数2()(1)2(1)1f x m x m x =-++-的图象与x 轴只有一个交点，求实数m

的取值范围。

错解：由0?=解得03m m ==-或

剖析：知识残缺，分类讨论意识没有，未考虑10m -=的情况。

正确答案：{}3,0,1-

反思：在二次型函数

2y ax bx c =++中，当0a ≠时为二次函数，其图象为抛物线；当0,0a b =≠时为一次函数，其图象为直线。在处理此类问题时，应密切注意2x 项的系数是否为0，若不能确定，应分类讨论，另外有关三个“二次”之间的关系的结论也是我们应关注的对象。例如：

20ax bx c ++>解集为R ?0,0a >?<或a=b=0,c>0

20ax bx c ++>解集为??0,0a

易错点13 用函数图象解题时作图不准

【问题】: 求函数2()f x x =的图象与直线()2x f x =的交点个数。

错解：两个

剖析：忽视指数函数与幂函数增减速度快慢对作图的影响。

正确答案：三个

反思：“数形结合”是重要思想方法之一，以其准确、快速、灵活及操作性强等诸多优点颇受数学学习者的青睐。但我们在解题时应充分利用函数性质，画准图形，不能主观臆造，导致图形“失真”，从而得出错误的答案。

易错点14 忽视转化的等价性

【问题】1: 已知方程2310mx x -+=有且只有一个根在区间（0，1）内，求实数m

的取值范围。

错解：∵方程2310mx x -+=有且只有一个根在区间（0，1）内，∴函数

231y mx x =-+的图象与x 轴在（0，1）内有且只有一个交点，∴(0)(1)0f f <，解得2m < 剖析：知识残缺，在将方程转化为函数时，应考虑到△=0情况。

正确答案：m<2且m=9/4

【问题】2:函数|1|||ln --=x e y x 的图象大致是（）

剖析：①在转化过程中，去绝对值时出错，从而得到错误的图象。

②在图象变换过程中出错，搞错平移方向。

正确答案：D

反思：等价转化是数学的重要思想方法之一，处理得当会起到意想不到的效果，但等价转化的前提是转化的等价性，反之会出现各种离奇的错误。

易错点15 分段函数问题

【问题】1:.已知()211()1x a x x f x a x ?-+

错解：(1,2)

剖析：知识残缺，只考虑到各段函数在相应定义域内为增函数，忽视()f x 在分界点附近函数值大小关系。正确答案：3,2)2???

【问题】2:设函数2,0,0,()(4)(0),(2)22,0.x bx c x x f x f f f x ?++≤≤=-=-=-?>?若，求关于x 的方

程x x f =)(解的个数。

错解：两个

剖析：基础不实，分类讨论意识没有，未能将方程x x f =)(分两种情况来解。正确答案：三个

反思：与分段函数相关的问题有作图、求值、求值域、解方程、解不等式、研究单调性及讨论奇偶性等等。在解决此类问题时，要注意分段函数是一个函数而不是几个函数，如果自变量取值不能确定，要对自变量取值进行分类讨论，同时还要关注分界点附近函数值变化情况。

易错点16 函数零点定理使用不当

【问题】若函数()f x 在区间[-2,2]上的图象是连续不断的曲线，且()f x 在（-2,2）内有一个零点，则f(-2)·f(2)的值（）

A 大于0

B 小于0

C 等于0

D 不能确定

错解：由函数零点存在定理知，f(-2)·f(2)<0，故选B

剖析：没有正确理解函数零点的含义及存在性，若函数()f x 在（-2,2）内有一个零点，且该零点为“变号零点”，则f(-2)·f(2)<0，否则f(-2)·f(2)≥0.

正确答案：D

反思：函数零点定理是指如果函数()f x 在区间[,]a b 上的图象是一条连续不断的曲线，并且有()()0f a f b <，那么函数()f x 在区间(,)a b 内有零点。解决函数零点问题常用方法有定理法、图象法和方程法。函数零点又分为“变号零点”和“不变号零点”，函数零点定理仅适用于“变号零点”，对“不变号零点”无能为力。

易错点17 混淆两类切线的概念

【问题】: 若直线y = kx 与曲线3232y x x x =-+相切试求k 的值。（提示y=kx 即过

原点的切线）

错解：2362y x x '=-+，∴斜率2k =，

剖析：知识残缺，过某点的切线并非在某点处的切线。正确答案：

24k k ==-或反思：曲线在点P 处的切线”P 为切点且P 在曲线上，而“过点P 的切线”仅能说明点P 在曲线的切线上。

易错点18 误解“导数为0”与“有极值”的逻辑关系

【问题】:函数322()f x x ax bx a =+++在x=1处有极值10，求,a b 的值。

错解：由(1)10,(1)0f f '==解得4,113,3a b a b ==-=-=或

剖析：对“导数为0”与“有极值”逻辑关系分辨不清，错把

0()f x 为极值的必要条件当作充要条件。

正确答案：a=4,b=-11

反思：在使用导数求函数极值时，很容易出现的错误是求出使导函数等于0的点，而没有对这些点左右两侧导函数的符号进行判断，误以为使导函数等于0的点就是函数的极值点。出现这种错误的原因就是对导数与极值关系不清。可导函数在一点处的导函数值为0只是这个函数在此点取到极值的必要条件，充要条件是00()0()f x f x x ''=且在两侧异号。。

易错点19 对“导数值符号”与“函数单调性”关系理解不透彻

【问题】:若函数

3()f x ax x =-在R 上为减函数，求实数a 的取值范围。错解：由2()=310f x ax '-<在R 上恒成立，∴0120a a

剖析：概念模糊，错把()f x 在某个区间上是单调增（减）函数的充分条件当成充要条件。事实上0a =时满足题意。

正确答案：0a ≤

反思：一个函数在某个区间上单调增（减）的充要条件是这个函数的导函数在此区间上恒大（小）于等于0，且导函数在此区间的任意子区间上都不恒为0。切记导函

数在某区间上恒大（小）于0仅为该函数在此区间上单调增（减）的充分条件。易错点20 对“导函数值正负”与“原函数图象升降”关系不清楚

【问题】: 已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则y = f(x)的图象最有可能的是______.

错解：选,,A B D

剖析：概念不清，凭空乱猜，正确解法是由于(0)(2)0f f ''==，且两边值符号相反，故0和2为极值点；又因为当02x x <>和时，(x)0f '>，当02x <<时，(x)0f '<，所以函数(x)f 在(,0)-∞∞和(2,+)上为增函数，在(0,2)上为减函数。

正确答案：C

反思：解答此类题的关键是抓住①导函数的零点与原函数的极值点关系——极值点的导数值为0；②导函数值的符号与原函数单调性的关系——原函数看增减，导函数看正负。

易错点21求解函数的反函数易漏掉确定原函数的值域即反函数的定义域。

例()2112x x a f x ?-=+是R 上的奇函数，（1）求a 的值（2）求的反函数

()1f x - 剖析：求解已知函数的反函数时，易忽略求解反函数的定义域即原函数的值域而出错。

解析：（1）利用()()0f x f x +-=（或()00f =）求得a=1.

（2）由1a =即

()2121x x f x -=+，设()y f x =,则()211x y y -=+由于1y ≠故121x y y +=-，

112log y y x +-=，而()2121x x f x -=+()211,121x =-∈-+所以()()1112log 11x x f x x +--=-<<

反思：（1）在求解函数的反函数时，一定要通过确定原函数的值域即反函数的定义域在反函数的解析式后表明（若反函数的定义域为R 可省略）。

（2）应用1()()f b a f a b -=?=可省略求反函数的步骤，直接利用原函数求解但应注

意其自变量和函数值要互换。

【练3】函数

(

)()11f x x =≥的反函数是（） A 、

()2221y x x x =-+< B 、()2221y x x x =-+≥ C 、()221y x x x =-< D 、

()221y x x x =-≥ 答案：B

三、数列

易错点22 由n S 求n a 时忽略对“1n =”检验

【问题】:已知数列｛

n a ｝的前n 项和21n S n n =-+，求n a 。错解：由n 1=n n a S S --解得=22n a n -

剖析：考虑不全面，错误原因是忽略了n 1=n n a S S --成立的条件n≥2，实际上当n=1

时就出现了S0，而S0是无意义的，所以使用

n 1=n n a S S --求n a ，只能表示第二项以后的各项，而第一项能否用这个n a 表示，尚需检验。

正确答案：

*1(1)22(2,)n n a n n n N =?=?-≥∈? 反思：在数列问题中，数列的通项n a 与其前n 项和n S 之间关系如下

*1(1)(2,)n n n S n a S S n n N -=?=?-≥∈?，在使用这个关系式时，要牢牢记住其分段的特点。当题

中给出数列｛

n a ｝的n a 与n S 关系时，先令1n =求出首项1a ，然后令2n ≥求出通项1n n n a S S -=-，最后代入验证。解答此类题常见错误为直接令2n ≥求出通项

1n n n a S S -=-，也不对1n =进行检验。

易错点23 忽视两个“中项”的区别

【问题】: 2b ac =是,,a b c 成等比数列的（）

A 充分不必要条件

B 必要不充分条件

C 充要条件

D 既不充分有不必要条件

错解： C

剖析：思维不缜密，没有注意到当2b ac = 时，,,a b c 可能为0。

正确答案：B

反思：若,,a b c 成等比数列，则b 为a 和c 的等比中项。由定义可知只有同号的两数

才有等比中项， “2b ac =”仅是“b 为a 和c 的等比中项”的必要不充分条件，在解题

时务必要注意此点。

易错点24 等比数列求和时忽视对q 讨论

【问题】:在等比数列｛n a ｝中，n S 为其前n 项和，且333S a =，求它的公比q 。错解： 3133(1)=31a q S a q -=-，解得

1q=-2 剖析：知识残缺，直接用等比数列的求和公式，没有对公比q 是否等于1进行讨论，导致失误。

正确答案：1q=-q=12或

反思：与等差数列相比，等比数列有一些特殊性质，如等比数列的每一项包括公比均不为0，等比数列的其前n 项和

n S 为分段函数，其中当q=1时，1n S na =。而这一点正是我们解题中被忽略的。

易错点25 用错了等差、等比数列的相关公式与性质

【问题】:已知等差数列｛

n a ｝的前m 项和为30，前2m 项和为100，求它的前3m 项和3m S 。

错解一：170

剖析：基础不实，记错性质，误以为

23,,m m m S S S 成等差数列。错解二：130

剖析：基础不实，误以为

23,,m m m S S S 满足32m m m S S S =+。正确答案：210

反思：等差、等比数列各自有一些重要公式和性质（略），这些公式和性质是解题的根本，用错了公式和性质，自然就失去了方向。解决这类问题的一个基本出发点就是考虑问题要全面，把各种可能性都考虑进去，认为正确的命题给予证明，认为不正确的命题举出反例予以说明。

易错点26 用错位相减法求和时项数处理不当

【问题】:求和21135(21)n n S a a n a -=++++-。

剖析：①考虑不全面，未对a 进行讨论，丢掉1a =时的情形。

②将两个和式错位相减后，成等比数列的项数弄错。

③将两个和式错位相减后，丢掉最后一项。正确答案：212(1)12(1)21(1)1(1)1n n n n a s a a n a a a a a -?=?=?--++≠?---?

反思：如果一个数列为一个等差数列和一个等比数列对应项积所得到的，那么该数列可用错位相减法求和。基本方法是设这个和式为Sn ，在这个和式的两端同时乘以等比数列的公比得到另一个和式，将这两个和式错位相减，得到一个新的和式，该式分三部分①原来数列的第一项；②一个等比数列的前n-1项和；③原来数列的第n 项乘以公比的相反数。在用错位相减法求和时务必要处理好这三个部分，特别是等比数列的项数，有时含原来数列的第一项共n 项，有时只有1n -项。另外，如果公比为字母需分类讨论。

易错点27 数列中的最值错误

【问题】:在等差数列｛n a ｝中，125a =，916S S =，求此数列的前几项和最大。剖析：①解题不细心，在用等差数列前n 和求解时，解得n=12.5，误认为n=12.5。

②考虑不全面，在用等差数列性质求解得出

13a =0时，误认为只有13S 最大。正确答案：1213a a 或

反思：数列的通项公式与前n 项和公式都是关于正整数n 的函数，要善于用函数的观点认识和理解数列问题。但是考生很容易忽视n 为正整数的特点，有时即使考虑了n 为正整数，但对于n 为何值时，能够取到最值求解出错。在关于正整数n 的二次函数中其取最值的点要根据正整数距离二次函数的对称轴远近而定。

四、三角函数

易错点32 求解时忽略角的范围

【问题】1:

在ABC ?中，sin A =53

,cos B =513，求cos A ，sin B 的值。错解：cosA=±45，sinB=±12

剖析：基础不实，忽视开方时符号的选取。

正确答案：cosA=45，sinB=12

【问题】2: 在ABC ?中，A B 、为锐角，且

sin 510A B ==，求A B +的值。

错解：先求出sin(A B +)=2，∵0A B π+∈（，），∴

3=44A B ππ+或剖析：知识残缺，由于A B 、为锐角，所以0A B π+∈（，）。又由于正弦函数在

0π（，）上不是单调函数，所以本题不宜求sin(A B +)，宜改求cos(A B +)或tan(A B +)。正确答案：

=4A B π

【问题】1: 在ABC ?中，已知3π

,求角A

错解：用正弦定理求得

sin A =，∴3=44A ππ或

剖析：基础不牢，忽视隐含条件b a ≥出错。正确答案：

=4A π

反思：三角函数中的平方关系是三角变换的核心，也是易错点之一。解题时，务必重视“根据已知角的范围和三角函数的取值，精确确定未知角的范围，并进行定号”。易错点33 求关于sin ,cos x x 最值时忽视正、余弦函数值域

【问题】:已知

sin sin 3x y +=，求2sin cos y x -的最大值。错解：令in t s x =，得222sin cos (11)3y x t t t -=---≤≤，通过配方、作图解得

2sin cos y x -的最大值为4

剖析：本题虽注意到in s x 的值域，但未考虑到in s x 与sin y 相互制约，即由于-1≤siny≤1，

∴in s x 必须同时满足1sin 111sin 13x x -≤≤???-≤-≤??。正确答案：4

反思：求关于sin ,cos x x 最值的常规方法是通过令in t s x =（或cosx ）将三角函数的最值问题转化为关于t 的二次函数问题求解。但由于正、余弦函数值域限制，t 只能在某一特定范围内取值，解题时务必要注意此点。

易错点34 三角函数单调性判断错误

【问题】:已知函数y=cos(4π

-2x)，求它的单调减区间。

错解： 2k π≤4π

-2x≤2k ππ+

剖析：概念混淆，错因在于把复合函数的单调性与基本函数的单调性概念相混淆。

应化成y=cos(2x-4π)求解正确答案：5(,)()88k k k Z ππππ++∈

反思：对于函数)sin(?ω+=x A y 来说，当0ω>时，由于内层函数u x ω?=+是单调递增的，所以函数)sin(?ω+=x A y 的单调性与函数x y sin =的单调性相同，故可完全按照函数x y sin =的单调性来解决；但当0ω<时，内层函数u x ω?=+是单调递减的，所以函数)sin(?ω+=x A y 的单调性与函数x y sin =的单调性正好相反，就不能按照函数x y sin =的单调性来解决。一般来说，应根据诱导公式将x 的系数化为正数加以解决，对于带有绝对值的三角函数宜根据图象从直观上加以解决。

易错点35 图象变换的方向把握不准

【问题】: 要得到函数sin y x =的图象，只需将函数

cos y x π??=- ?3??的图象（） A 向右平移π

6个单位

B 向右平移π3个单位

C 向左平移π3个单位

D 向左平移

6个单位错解一：C

剖析：知识残缺，未将函数化成同名函数。

错解二：D

剖析：基础不牢，弄错了平移方向。

正确答案：A

反思：图像的平移变换，伸缩变换因先后顺序不同平移的量不同，sin sin()(0)y x y x w ?=→=+>平移的量为?，

sin sin sin()(0)y x y wx y wx w ?=→=→=+>平移的量为w ?

。

易错点37 由图象求函数解析式忽略细节

【问题】：如图，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数sin()(0,0)y A x B A ω?ω=++>>.

(1)求这段时间的最大温差.

(2)写出这段曲线的函数解析式。

剖析：解此类题前两步一般不会错。但在求?时，多数学生由于点的位置取得不当，致使求得的?值不好取舍。

正确答案：（1）20C （2）310sin()2084y x ππ=++

反思：由三角函数图象求)sin(?ω+=x A y （0,0A ω>>）的解析式一般分三个步骤：①由函数的最大（小）值求振幅A ；②由函数的周期求ω；③由曲线上的最高（最低）点求初相?的一般解，但?有范围限制时一定要注意在指定的范围内求解。

五、平面向量

易错点40 概念模糊

【问题】：下列五个命题：

① 向量12PP

与OA 共线，则P1、P2、O 、A 必在同一条直线上； ② 如果向量a 与b 平行，则a 与b 方向相同或相反；

③ 四边形P1P2OA 是平行四边形的充要条件是12PP

=OA ； ④ 若∣→a ∣=∣b ∣，则→

a 、

b 的长度相等且方向相同或相反；

⑤ 由于零向量方向不确定，故零向量与任何向量不平行。

其中正确的命题有______个。

错解：选①错，向量12PP 与OA 共线，则直线P1P2与直线OA 可能平行；选②错，

若为零向量，则命题不正确；选③错，12

PP=OA则四点P1，P2，O，A可能共线；

选④错，∣→

a∣=∣b∣，只能说明

→

a、b的长度相等但确定不了方向；选⑤错；零

向量与任何向量平行。

正确答案：0

反思：平面向量部分概念多而抽象，如零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量、相反向量、向量的加法、减法、数乘、数量积、向量的模、夹角等等。在复习时不仅要理解这些概念，而且还要掌握向量与实数、向量运算与实数运算异同点。

易错点41 忽视平面向量基本定理的成立条件

【问题】：下列各组向量中，可以作为基底的是

①=（0，0），=（1，-2）; ②=（-1，2），=（5，7）;

③a=（3，5），b=（6，10）; ④a=（2，-3），b=（4，-6）;

错解：选①或③或④

正确答案：②

剖析：概念模糊，根据基底的定义，只有非零且不共线的向量才可以作为平面内的基底。

反思：如果→

a、b是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量c，

有且只有一对实数λ1，λ2，使

c=λ1→a+λ2b。在平面向量知识体系中，基本定理是基石，共线向量定理是重要工具。考生在学习这部分知识时，务必要注意这两个定理的作用和成立条件。

易错点44 忽视“向量数量积运算”与“实数运算”区别

【问题】：已知向量

(,)(2,3)

a x x

b x

=+=-

与

的夹角为钝角，求实数x的取值范围

为

错解：

2 2

-<<

剖析：概念模糊，错误地认为,a b

为钝角0

a b

正确答案：

20 2

x x

-<<≠

且

反思：,a b

为钝角0

a b a b

?<且与不共线

1212

1221

x x y y

x y x y

-≠

高中数学知识点易错点梳理

高考数学考前提醒：高中知识点易错点梳理一、集合、简易逻辑、函数 1．研究集合必须注意集合元素的特征即三性(确定,互异,无序); 已知集合A={x,xy,lgxy},集合B={0,｜ x ｜,y},且A=B,则x+y= 2．研究集合,首先必须弄清代表元素,才能理解集合的意义。已知集合M={y ｜y=x 2 ,x ∈R},N={y ｜ y=x 2+1,x ∈R},求M ∩N ；与集合M={（x,y ）｜y=x 2 ,x ∈R},N={(x,y)｜y=x 2 +1,x ∈R}求M ∩N 的区别。 3．集合 A 、B ，?=?B A 时，你是否注意到“极端”情况：?=A 或?=B ；求集合的子集B A ?时是否忘记?. 例如：()()012222 <--+-x a x a 对一切R x ∈恒成立，求a 的取植范围，你讨论了a ＝2的情况了吗？ 4．对于含有n 个元素的有限集合M, 其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为，n 2， 12-n ， 12-n .22-n 如满足条件}4,3,2,1{}1{??M 的集合M 共有多少个 5．解集合问题的基本工具是韦恩图; 某文艺小组共有10名成员,每人至少会唱歌和跳舞中的一项,其中 7人会唱歌跳舞5人会,现从中选出会唱歌和会跳舞的各一人，表演一个唱歌和一个跳舞节目,问有多少种不同的选法？ 6．两集合之间的关系。{21,}{41,}M x x k k x x k k ==+∈==±∈Z Z 7． (C U A)∩( C U B) = C U (A ∪B) (C U A)∪( C U B) = C U (A ∩B)；B B A = A B ??； 8、可以判断真假的语句叫做命题. 逻辑连接词有“或”、“且”和“非”. p 、q 形式的复合命题的真值表: 9、互互互为互否逆逆否否否否否否互逆原命题与逆否命题同真同假；逆命题与否命题同真同假. 10、你对映射的概念了解了吗？映射f ：A →B 中，A 中元素的任意性和B 中与它对应元素的唯一性，哪几种对应能够成映射？ 11、函数的几个重要性质： ①如果函数()x f y =对于一切R x ∈，都有()()x a f x a f -=+或f （2a-x ）=f （x ），那么函数()x f y =的图象关于直线a x =对称. ②函数()x f y =与函数()x f y -=的图象关于直线0=x 对称；函数()x f y =与函数()x f y -=的图象关于直线0=y 对称；函数()x f y =与函数()x f y --=的图象关于坐标原点对称. ③若奇函数()x f y =在区间()+∞,0上是递增函数，则()x f y =在区间()0,∞-上也是递增函数． ④若偶函数()x f y =在区间()+∞,0上是递增函数，则()x f y =在区间()0,∞-上是递减函数． ⑤函数()a x f y +=)0(>a 的图象是把函数()x f y =的图象沿x 轴向左平移a 个单位得到的；函数 ()a x f y +=()0(a 的图象是把函数()x f y =助图象沿y 轴向上平移a 个单位得到的;函数 ()x f y =+a )0(