(完整word版)高中数学球体综合练习题

1．一个四面体各棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（）A．3πB．4πC．D．6π

2．已知点A、B、C、D均在球O上，AB=BC=，AC=3，若三棱锥D﹣ABC体积的最大值为，则球O的表面积为（）

A．36πB．16πC．12πD．π

3．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的各顶点都在球O的球面上，且AB=AC=1，BC=，若球O的体积为，则这个直三棱柱的体积等于（）

A．B．C．2D．

4．四面体的一条棱长为c，其余棱长均为3，当该四面体体积最大时，经过这个四面体所有顶点的球的表面积为（）

A．πB．πC．πD．15π

5．正三棱柱的底面边长为，高为2，则这个三棱柱的外接球的表面为（）A．4πB．8πC．πD．8π

6．球O半径为R=13，球面上有三点A、B、C，AB=12，AC=BC=12，则四面体OABC的体积是（）

A．60B．50C．60D．50

7．棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的所有顶点均在球O的球面上，E，F，G 分别为AB，AD，AA1的中点，则平面EFG截球O所得圆的半径为（）A．B．C．D．

8．一个正三棱柱的主（正）视图是长为2，宽为4的矩形，则它的外接球的表面积等于（）

A．64πB．48πC．32πD．16π

9．四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，AB=2，若该四棱锥的所有顶点都在同一球面上，且该球的表面积为，则该棱锥的高为（）A．B．C．2D．

10．在空间直角坐标系0﹣xyz中，A（0，0，2），B（0，2，0），C（2，2，2），则三棱锥O﹣ABC外接球的表面积为（）

A．3πB．4πC．12πD．48π

11．已知四面体ABCD的一条棱长为a，其余各棱长均为2，且所有顶点都在表面积为20π的球面上，则a的值等于（）

A．3B．2C．3D．3

12．已知正三棱柱底面边长是2，外接球的表面积是16π，则该三棱柱的体积为（）

A．2B．2C．4D．4

13．如图是某几何体的三视图，则该几何体外接球的体积为（）

A．B．C．D．

14．已知从点P出发的三条射线PA，PB，PC两两成60°角，且分别与球O相切于A，B，C三点．若球O的体积为36π，则O，P两点间的距离为（）A．3B．3C．3D．6

15．已知过球面上三点A、B、C的截面到球心距离等于球半径的一半，且AC=BC=6，AB=4，则球面面积为（）

A．42πB．48πC．54πD．60π

16．在三棱锥P﹣ABC中，已知∠ABC=90°，AB=BC=2，PA⊥平面ABC，且PA=4，则该三棱锥外接球的表面积为（）

A．8πB．24πC．16πD．32π

17．如图是某个四面体的三视图，则该四面体的外接球的表面积为（）

A．52πB．4πC．13πD．π

18．三棱锥S﹣ABC中，SB⊥平面ABC，SB=，△ABC是边长为的正三角形，则该三棱锥S﹣ABC的外接球的表面积为（）

A．3πB．5πC．9πD．12π

19．已知棱长等于的正方体ABCD﹣A1B1C1D1，它的外接球的球心为O，点E 是AB的中点，则过点E的平面截球O的截面面积的最小值为（）

A．πB．2πC．3πD．4π

20．已知正四面体S﹣ABC的外接球O的半径为，过AB中点E作球O的截面，则截面面积的最小值为（）

A．4πB．6πC．D．

21．一个正四棱柱的顶点均在半径为1的球面上，当正四棱柱的侧面积取得最大值时，正四棱柱的底面边长为（）

A．B．C．D．1

22．正四棱柱的体积为8，则该正四棱柱外接球体积的最小值为（）

A．4πB．C．12πD．12π

[高中数学]立体几何.球专题附练习题不看后悔

E B C D A 立体几何-球-专题学案 练习 1.下列四个命题中错误．． 的个数是 （ ） ①经过球面上任意两点，可以作且只可以作一个球的大圆 ②球面积是它大圆面积的四倍 ③球面上两点的球面距离，是这两点所在截面圆上以这两点为端点的劣弧的长 A.0 B.1 C.2 D.3 2.一平面截一球得到直径为6 cm 的圆面，球心到这个平面的距离是4 cm ，则该球的体积是 A.3π100 cm 3 B.3π208 cm 3 C.3π500 cm 3 D.3 π34161 cm 3 3.某地球仪上北纬30°纬线的长度为12π cm ，该地球仪的半径是_____________cm ，表面积是_____________cm 2. 预备 1. 球心到截面的距离d 与球半径R 及截面的半径r 有以下关系： ． 2. 球面被经过球心的平面截得的圆叫 ．被不经过球心的平面截得的圆叫 ． 3. 在球面上两点之间的最短连线的长度，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧长，这个弧长 叫 ． 4. 球的表面积表面积S ＝ ；球的体积V ＝ ． 5. 球面距离计算公式：__________ 典例剖析 （1）球面距离，截面圆问题 例1．球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的 61，经过这3个点的小圆的周长为4π，那么这个球的半径为 A.43 B.23 C.2 D. 3 练习： 球面上有三点A 、B 、C ，A 和B 及A 和C 之间的球面距离是大圆周长的41，B 和C 之间的球面距离是大圆周长的61，且球心到截面ABC 的距离是7 21，求球的体积． 例2. 如图，四棱锥A －BCDE 中，BCD E AD 底面⊥，且AC ⊥BC ，AE ⊥BE ． (1) 求证：A 、B 、C 、D 、E 五点都在以AB 为直径的同一球面上； (2) 若,1,3,90===∠AD CE CBE 求B 、D 两点间的球面距离．

高中数学球体综合练习题

1．一个四面体各棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（）A．3πB．4πC．D．6π 2．已知点A、B、C、D均在球O上，AB=BC=，AC=3，若三棱锥D﹣ABC体积的最大值为，则球O的表面积为（） A．36πB．16πC．12πD．π 3．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的各顶点都在球O的球面上，且AB=AC=1，BC=，若球O的体积为，则这个直三棱柱的体积等于（） A．B．C．2D． 4．四面体的一条棱长为c，其余棱长均为3，当该四面体体积最大时，经过这个四面体所有顶点的球的表面积为（） A．πB．πC．πD．15π 5．正三棱柱的底面边长为，高为2，则这个三棱柱的外接球的表面为（）A．4πB．8πC．πD．8π 6．球O半径为R=13，球面上有三点A、B、C，AB=12，AC=BC=12，则四面体OABC的体积是（） A．60B．50C．60D．50 7．棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的所有顶点均在球O的球面上，E，F，G 分别为AB，AD，AA1的中点，则平面EFG截球O所得圆的半径为（） A．B．C．D． 8．一个正三棱柱的主（正）视图是长为2，宽为4的矩形，则它的外接球的表面积等于（）

A．64πB．48πC．32πD．16π 9．四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，AB=2，若该四棱锥的所有顶点都在同一球面上，且该球的表面积为，则该棱锥的高为（） A．B．C．2D． 10．在空间直角坐标系0﹣xyz中，A（0，0，2），B（0，2，0），C（2，2，2），则三棱锥O﹣ABC外接球的表面积为（） A．3πB．4πC．12πD．48π 11．已知四面体ABCD的一条棱长为a，其余各棱长均为2，且所有顶点都在表面积为20π的球面上，则a的值等于（） A．3B．2C．3D．3 12．已知正三棱柱底面边长是2，外接球的表面积是16π，则该三棱柱的体积为（） A．2B．2C．4D．4 13．如图是某几何体的三视图，则该几何体外接球的体积为（）

历年球体高考试题汇总球

球体练习 1平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为 ( ) （A ）6π （B ）43π （C ）46π （D ）63π 2．已知A ，B ，C ，D 是同一球面上的四个点，其中△ABC 是正三角形，AD ⊥平面ABC ，AD=2AB=6 则该球的表面积为 A ．16π B ．24π C ．π D ．48π 3.已知H 是求O 的直径AB 上一点，AH:HB=1:2,AB ⊥平面a ，H 为垂足，a 截球o 所得截面的面积为π，则求o 的表面积为_______. 4.已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上．若圆锥底面面积是这个球面面积的316 ，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为______________． 5.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 为线段1B C 上的一点，则三棱锥 1A DED -的体积为＿＿＿＿＿. 6. 已知三棱锥ABC S -的所有顶点都在球O 的球面上，ABC △是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且2=SC ，则此棱锥的体积为 A.62 B. 63 C. 32 D. 2 2 7.已知正四棱锥O-ABCD 的体积为错误！未找到引用源。，底面边长为错误！未找到引用源。，则以O 为球心，OA 为半径的球的表面积为________. 8.已知三棱柱111 6.34ABC A B C O AB AC -==的个顶点都在球的球面上若，， ,AB AC ⊥112AA O =，则球的半径为 A B ． C ．132 D ． 9.正四棱锥S ABCD -S ，A ，B ，C ，D 都在同一个球面上，则该球的体积为_________． 10.已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是 （A ）16π （B ）20π （C ）24π （D ）32π 11.过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积 的比为 （A ）163 （B ）169 （C ）83 （D ）32 9

高考数学中的内切球和外接球问题---专题复习

高考数学内切球和外接球问题 如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.考查学生的空间想象能力以及化归能力.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用. 一、直接法(公式法) 1、求正方体的外接球的有关问题 例1、若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为______________ . 解析：要求球的表面积，只要知道球的半径即可.因为正方体内接于球，所以它的体对角线正好为球的直径，因此，求球的半径可转化为先求正方体的体对角线长，再计算半径.故表面积为π 27. 例2、一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为24，则该球的体积为______________. 解析：要求球的体积，还是先得求出球的半径，而球的直径正好是正方体的体对角线，因此，由正方体表面积可求出棱长，从而求出正方体的体对角线是3 2所以球的半径为3.故该球的体积为π3 4. 2、求长方体的外接球的有关问题 例1、一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则此球的表面积为 . 解析：关键是求出球的半径，因为长方体内接于球，所以它的体对角线正好为球的直径。长方体体对角线长为14，故球的表面积为14π. 例2、已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积为（）. A. 16π B. 20π C. 24π D. 32π 解析：正四棱柱也是长方体。由长方体的体积16及高4可以求出长方体的底面边长为2，因此，长方体的长、宽、高分别为2，2，4，于是等同于例3，故选C. 3.求多面体的外接球的有关问题 例1、一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于 底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱 柱的体积为9 8，底面周长为３，则这个球的体积为 . 解设正六棱柱的底面边长为x，高为h，则有

高中数学的八个有趣模型——搞定空间几何体的外接球与内切球

八个有趣模型——搞定空间几何体的外接球与内切球 类型一、墙角模型（三条线两个垂直，不找球心的位置即可求出球半径） 图2 图3 图4 方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式2 2 2 2 )2(c b a R ++=，即2222c b a R ++=，求出R 例1 （1）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是（ C ） A ．π16 B ．π20 C ．π24 D ．π32 （2）若三棱锥的三个侧面两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是 π9 解：（1）162 ==h a V ，2=a ，24164442 2 2 2 =++=++=h a a R ，π24=S ，选C ； （2 ）933342 =++=R ，ππ942 ==R S （3）在正三棱锥S ABC -中，M N 、分别是棱SC BC 、的中点，且MN AM ⊥,若侧棱SA =,则正三棱锥ABC S -外接球的表面积是 。π36 解：引理：正三棱锥的对棱互垂直。证明如下： 如图（3）-1，取BC AB ,的中点E D ,，连接CD AE ,，CD AE ,交于H ，连接SH ，则H 是底面正三角形ABC 的中心，∴⊥SH 平面ABC ，∴AB SH ⊥， BC AC =，BD AD =，∴AB CD ⊥，∴⊥AB 平面SCD ， ∴SC AB ⊥，同理：SA BC ⊥，SB AC ⊥，即正三棱锥的对棱互垂直， 本题图如图（3）-2， MN AM ⊥，MN SB //， ∴SB AM ⊥， SB AC ⊥，∴⊥SB 平面SAC ， ∴SA SB ⊥，SC SB ⊥， SA SB ⊥，SA BC ⊥， ∴⊥SA 平面SBC ，∴SC SA ⊥， 故三棱锥ABC S -的三棱条侧棱两两互相垂直， ∴36)32()32()32()2(2222 =++=R ，即3642=R ， ∴正三棱锥ABC S -外接球的表面积是π36 (3)题-1 A (3)题-2 A

高考数学微专题---外接球(含答案)

微专题 几何体的外接球 一 选择题 1．棱长分别为2、3、5的长方体的外接球的表面积为（ ） A ．4π B ．12π C ．24π D ．48π 2．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为23，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ） A ．12π B ．28π C ．44π D ．60π 3．把边长为3的正方形ABCD 沿对角线AC 对折，使得平面ABC ⊥平面ADC ，则三棱锥 D ABC -的外接球的表面积为（ ） A ．32π B ．27π C ．18π D ．9π 4．某几何体是由两个同底面的三棱锥组成，其三视图如下图所示，则该几何体外接球的面 积为（ ） A ．2πa B ．22πa C ．23πa D ．24πa 5．三棱锥A BCD -的所有顶点都在球O 的表面上，AB ⊥平面BCD ，2BC BD ==， 243AB CD ==O 的表面积为（ ） A ．16π B ．32π C ．60π D ．64π 6．如图1111ABCD A B C D -是边长为1的正方体，S ABCD -是高为1的正四棱锥，若点S ， 1A ，1B ，1C ，1D 在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）

A ． 9π16 B ． 25π16 C ． 49π16 D ． 81π16 7．已知球O 的半径为R ，A ，B ， C 三点在球O 的球面上，球心O 到平面ABC 的距离为1 2 R ，2AB AC ==，120BAC ∠=?，则球O 的表面积为（ ） A ． 16π9 B ． 16π 3 C ．64 π9 D ． 64 π3 8．已知正四棱锥P ABCD -(底面四边形ABCD 是正方形，顶点在底面的射影是底面的中心)的各顶点都在同一球面上，底面正方形的边长为10，若该正四棱锥的体积为50 3 ，则此球的体积为（ ） A ．18π B ．86 C ．36π D ．323π 9．如图，在ABC △中，6AB BC ==，90ABC ∠=?，点D 为AC 的中点，将ABD △沿BD 折起到PBD △的位置，使PC PD =，连接PC ，得到三棱锥P BCD -．若该三棱锥的所有顶点都在同一球面上， 则该球的表面积是（ ） A ．7π B ．5π C ．3π D ．π 10．四面体A BCD -中，60ABC ABD CBD ∠=∠=∠=?，3AB =，2CB DB ==，则此四面体外接球的表面积为（ ） A ． 19π2 B 1938π C ．17π D 1717π 11．将边长为2的正ABC △沿着高AD 折起，使120BDC ∠=?，若折起后A B C D 、、、四点 都在球O 的表面上，则球O 的表面积为（ ）

(完整)2019高考数学专题十四外接球

培优点十四 外接球 1．正棱柱，长方体的外接球球心是其中心 例1：已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是（ ） A ．16π B ．20π C ．24π D ．32π 【答案】C 【解析】162==h a V ，2=a ，24164442222=++=++=h a a R ，24πS =，故选C ． 2．补形法（补成长方体） 图2 图3 例2：若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是 ． 【答案】9π 【解析】933342=++=R ，24π9πS R ==． 3．依据垂直关系找球心 例3：已知三棱锥P ABC -的四个顶点均在同一个球面上，底面ABC △满足 BA BC ==π 2 ABC ∠ = ，若该三棱锥体积的最大值为3， 则其外接球的体积为（ ） A ．8π B ．16π C ．16π3 D ．32 π3 【答案】D 【解析】因为 ABC △是等腰直角三角形，所以外接球的半径是1 2r ==的半径是R ，球心O 到该底面的距离d ，如图，则1 632ABC S =?=△，BD =11 6336 ABC V S h h ==?=△，

最大体积对应的高为3SD h ==，故223R d =+，即()2 233R R =-+，解之得2R =， 所以外接球的体积是 3432π π33 R =，故答案为D ． 一、单选题 1．棱长分别为235的长方体的外接球的表面积为（ ） A ．4π B ．12π C ．24π D ．48π 【答案】B 【解析】设长方体的外接球半径为R ，由题意可知：()(22 2 2223 5 R =+ + ，则：23R =， 该长方体的外接球的表面积为24π4π312πS R ==?=．本题选择B 选项． 2．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为23面积为（ ） A ．12π B ．28π C ．44π D ．60π 【答案】B 【解析】设底面三角形的外接圆半径为r ，由正弦定理可得：23 2r =2r =， 设外接球半径为R ，结合三棱柱的特征可知外接球半径2 2 2327R = +=， 对点增分集训

历年高考数学球体高考试题汇总

球体练习 1平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为 ( ) （A ）6π （B ）43π （C ）46π （D ）63π 2．已知A ，B ，C ，D 是同一球面上的四个点，其中△ABC 是正三角形，AD ⊥平面ABC ，AD=2AB=6 则该球的表面积为 A ．16π B ．24π C ．π D ．48π 3.已知H 是求O 的直径AB 上一点，AH:HB=1:2,AB ⊥平面a ，H 为垂足，a 截球o 所得截面的面积为π，则求o 的表面积为_______. 4.已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上．若圆锥底面面积是这个球面面积的316 ，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为______________． 5. 已知三棱锥ABC S -的所有顶点都在球O 的球面上，ABC △是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且2=SC ，则此棱锥的体积为 A.62 B. 63 C. 32 D. 2 2 6.已知正四棱锥O-ABCD 的体积为错误！未找到引用源。，底面边长为错误！未找到引用源。，则以O 为球心，OA 为半径的球的表面积为________. 7.已知三棱柱111 6.34ABC A B C O AB AC -==的个顶点都在球的球面上若，， ,AB AC ⊥112AA O =，则球的半径为 A B ． C ．132 D ． 8.正四棱锥S ABCD -S ，A ，B ，C ，D 都在同一个球面上，则该球的体积为_________． 9.已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是 （A ）16π （B ）20π （C ）24π （D ）32π 10.过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积 的比为 （A ）163 （B ）169 （C ）83 （D ）32 9 11．已知球的表面积为20π，球面上有A 、B 、C 三点.如果AB=AC=2，BC=32，则球心

高一数学知识点整理：球体的结构特征

高一数学知识点整理2019：球体的结构特征 时钟滴答，光阴如梭。青春列车，即将再次出发。承着恩师同窗的教诲与帮助，携着亲朋好友的祝福与期待，现在的你即将返校开始新学年的生活，为了更好地帮助你尽快步入学习生活，为您准备了高一数学知识点整理2019。 高一数学知识点整理2019：球体的结构特征 定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体 几何特征：①球的截面是圆;②球面上任意一点到球心的距离等于半径。 学习高中数学的一些方法提供参考： 方法/步骤： 第一，先看笔记后做作业有的高中学生感到。老师讲过的，自己已经听得明明白白了。但是，为什么自己一做题就困难重重了呢?其原因在于，学生对教师所讲的内容的理解，还没能达到教师所要求的层次。因此，每天在做作业之前，一定要把课本的有关内容和当天的课堂笔记先看一看。能否坚持如此，常常是好学生与差学生的最大区别。尤其练习题不太配套时，作业中往往没有老师刚刚讲过的题目类型，因此不能对比消化。如果自己又不注意对此落实，天长日久，就会造成极大损失。 第二，做题之后加强反思学生一定要明确，现在正做着的题，一定不是考试的题目。而是要运用现在正做着的题目的解题思路与方法。因此，要把自己做过的每道题加以反思。总结一下自己的收获。要总结出，这是一道什么内容的题，用的是什么方法。做到知识成片，问题成串，日久天长，构建起一个内容与方法的科学的网络系统。 第三，主动复习总结提高进行章节总结是非常重要的。初中时是教师替学生做总结，做得细致，深刻，完整。高中是自己给自己做总结，老师不但不给做，而且是讲到哪，考到哪，不留复习时间，也没有明确指出做总结的时间。 第四，积累资料随时整理要注意积累复习资料。把课堂笔记，练习，单元测试，各种试卷，都分门别类按时间顺序整理好。每读一次，就在上面标记出自己下次阅读时的重点内容。这样，复习资料才能越读越精，一目了然。 第五，精挑慎选课外读物初中学生学数学，如果不注意看课外读物，一般地说，不会有什么影响。高中则不大相同。高中数学考的是学生解决新题的能力。作为一名高中生，如果只是围着自己的老师转，不论老师的水平有多高，必然都会存在着很大的局限性。因此，要想学好数学，必须打开一扇门，看看外面的世界。当然，也不要自立门户，另起炉灶。一旦脱离校内教学和自己的老师的教学体系，也必将事半功倍。 第六，配合老师主动学习高中学生学习主动性要强。小学生，常常是完成作业就尽情的欢乐。初中生基本也是如此，听话的孩子就能学习好。高中则不然，作业虽多，但是只知道做作业就绝对不够;老师的话也不少，但是谁该干些什么了，老师并不一一具体指明，因此，高中学生必须提高自己的学习主动性。准备向将来的大学生的学习方法过渡。 第七，合理规划步步为营高中的学习是非常紧张的。每个学生都要投入自己的几乎全部的精力。要想能迅速进步，就要给自己制定一个较长远的切实可行的学习目标和计划，详细的安排好自己的零星时间，并及时作出合理的微量调整。注意事项： 我们在学习高中数学的时候，除了上课认真听老师讲解外，学习方法，学习习惯

高中数学1.3.2球体的体积和表面积学案新人教A版必修

1. 3.2 球的体积和表面积 【教学目标】 （1）能运用球的面积和体积公式灵活解决实际问题。 （2）培养学生的空间思维能力和空间想象能力。 【教学重难点】 重点：球的体积和面积公式的实际应用 难点：应用体积和面积公式中空间想象能力的形成。 【教学过程】 一、教师提出问题：球既没有底面，也无法像在柱体、锥体和台体那样展开成平面图形，它是由半圆围绕直径旋转而成的旋转体，那么球的表面积与体积与半圆的哪个量有关呢？引导学生进行思考。 教师设疑：球的大小是与球的半径有关，如何用球半径来表示球的体积和面积？ 球的体积和面积公式：半径是Ｒ的球的体积33 4 R π= 球Ｖ，表面积Ｓ＝４πR 2 二、典例 例1．一种空心钢球的质量是732πg ，外径是5cm ，求它的内径. （钢密度9g/cm 3 ） 求空心钢球的体积 。 解析：利用“体积=质量/密度”及球的体积公式 33 4 R π= 球Ｖ 解：设球的内径为r,由已知得球的体积V=732π/9(cm 3 ) 由V=(4/3) π(53 -r 3 )得r=4(cm) 点评：初步应用球的体积公式 变式：正方体的棱长为2，顶点都在同一球面上，则球的体积为____________(π34) 例2 在球心同侧有相距9的两个平行截面，它们的面积分别为49π和400π，求球的表面积。 （答案：2500π） 解析：利用轴截面解决 解：设球的半径为R,球心到较大截面的距离为x 则R 2 =x 2 +202 ,R 2 =(x+9)2 +72 解得x=15,R=25所以球的表面积Ｓ＝2500π 点评：数形结合解决实际问题 变式：长方体的一个顶点上三条棱长分别为3、4、5，是它的八个顶点都在同一球面上， 则这个球的表面积是 。 （答案50π） 【板书设计】 一、球的面积和体积公式 二、例题 例1

(完整)高考数学中的内切球和外接球问题.

高考数学中的内切球和外接球问题 一、有关外接球的问题 如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.考查学生的空间想象能力以及化归能力.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用. 一、直接法(公式法) 1、求正方体的外接球的有关问题 例1若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为______________ . 例2一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为24，则该球的体积为______________. 2、求长方体的外接球的有关问题 例3一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则此球的表面积为. 例4已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4， 体积为16，则这个球的表面积为（）. A. 16π B. 20π C. 24π D. 32π

3.求多面体的外接球的有关问题 例5一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为8 9，底面周长为3，则这个球的体积为 . 解 设正六棱柱的底面边长为x ，高为h ，则有 ?? ???? ==h x x 24368936 ?? ???= =213 x h ∴正六棱柱的底面圆的半径2 1 =r ，球心到底面的距离2 3 =d .∴外接球的半径22d r R +=. 体积：3 3 4R V π= . 小结 本题是运用公式222d r R +=求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式. 二、构造法(补形法) 1、构造正方体 例5 若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是_______________. 例3 若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是 . 故其外接球的表面积ππ942==r S . 小结：一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为c b a ,,，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R ，则有2222c b a R ++=. 出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。

高中数学球体综合练习题资料讲解

高中数学球体综合练 习题

1．一个四面体各棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（） A．3π B．4π C．D．6π 2．已知点A、B、C、D均在球O上，AB=BC=，AC=3，若三棱锥D﹣ABC 体积的最大值为，则球O的表面积为（） A．36πB．16πC．12πD．π 3．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的各顶点都在球O的球面上，且AB=AC=1，BC=，若球O的体积为，则这个直三棱柱的体积等于（）A．B．C．2 D． 4．四面体的一条棱长为c，其余棱长均为3，当该四面体体积最大时，经过这个四面体所有顶点的球的表面积为（） A．πB．πC．πD．15π 5．正三棱柱的底面边长为，高为2，则这个三棱柱的外接球的表面为 （） A．4π B．8πC．πD．8π 6．球O半径为R=13，球面上有三点A、B、C，AB=12，AC=BC=12，则四面体OABC的体积是（） A．60B．50C．60D．50 7．棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的所有顶点均在球O的球面上，E，F，G分别为AB，AD，AA1的中点，则平面EFG截球O所得圆的半径为 （） A．B．C．D． 8．一个正三棱柱的主（正）视图是长为2，宽为4的矩形，则它的外接球的表面积等于（）

A．64πB．48πC．32πD．16π 9．四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，AB=2，若该四棱锥的所有顶点都在同一球面上，且该球的表面积为，则该棱锥的高为（） A．B．C．2D． 10．在空间直角坐标系0﹣xyz中，A（0，0，2），B（0，2，0），C（2，2，2），则三棱锥O﹣ABC外接球的表面积为（） A．3π B．4πC．12πD．48π 11．已知四面体ABCD的一条棱长为a，其余各棱长均为2，且所有顶点都在表面积为20π的球面上，则a的值等于（） A．3B．2C．3D．3 12．已知正三棱柱底面边长是2，外接球的表面积是16π，则该三棱柱的体积为（） A．2B．2C．4D．4 13．如图是某几何体的三视图，则该几何体外接球的体积为（） A．B．C．D．

2021年高中数学1.3.球体的体积和表面积教案新人教A版必修

2021年高中数学1.3.2球体的体积和表面积教案新人教A版必修2 【教学目标】 （1）能运用球的面积和体积公式灵活解决实际问题。 （2）培养学生的空间思维能力和空间想象能力。 【教学重难点】 重点：球的体积和面积公式的实际应用 难点：应用体积和面积公式中空间想象能力的形成。 【教学过程】 一、教师提出问题：球既没有底面，也无法像在柱体、锥体和台体那样展开成平面图 形，它是由半圆围绕直径旋转而成的旋转体，那么球的表面积与体积与半圆的哪个量有关呢？引导学生进行思考。 教师设疑：球的大小是与球的半径有关，如何用球半径来表示球的体积和面积？ 球的体积和面积公式：半径是Ｒ的球的体积，表面积Ｓ＝４πR2 二、典例 例1．一种空心钢球的质量是732πg，外径是5cm，求它的内径. （钢密度9g/cm3） 求空心钢球的体积。 解析：利用“体积=质量/密度”及球的体积公式 解：设球的内径为r,由已知得球的体积V=732π/9(cm3) 由V=(4/3) π(53-r3)得r=4(cm) 点评：初步应用球的体积公式 变式：正方体的棱长为2，顶点都在同一球面上，则球的体积为____________() 例2 在球心同侧有相距9的两个平行截面，它们的面积分别为49π和400π，求球的表面积。（答案：2500π） 解析：利用轴截面解决 解：设球的半径为R,球心到较大截面的距离为x则R2=x2+202,R2=(x+9)2+72 解得x=15,R=25所以球的表面积Ｓ＝2500π 点评：数形结合解决实际问题 变式：长方体的一个顶点上三条棱长分别为3、4、5，是它的八个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是。（答案50π） 【板书设计】 一、球的面积和体积公式

高中数学搞定空间几何体的外接球与内切球(学生版)

八个有趣模型——搞定空间几何体的外接球与内切球当讲到付雨楼老师于2018年1月14日总第539期微文章，我如获至宝.为有了教学的实施，我以付老师的文章主基石、框架，增加了我个人的理解及例题，形成此文，仍用文原名，与各位同行分享.不当之处，敬请大家批评指正. 一、有关定义 1．球的定义：空间中到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫球面，简称球. 2．外接球的定义：若一个多面体的各个顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球. 3．内切球的定义：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球. 二、外接球的有关知识与方法 1．性质： 性质1：过球心的平面截球面所得圆是大圆，大圆的半径与球的半径相等； 性质2：经过小圆的直径与小圆面垂直的平面必过球心，该平面截球所得圆是大圆； 性质3：过球心与小圆圆心的直线垂直于小圆所在的平面（类比：圆的垂径定理）； 性质4：球心在大圆面和小圆面上的射影是相应圆的圆心； 性质5：在同一球中，过两相交圆的圆心垂直于相应的圆面的直线相交，交点是球心（类比：在同圆中，两相交弦的中垂线交点是圆心）.

初图1 初图2 2．结论： 结论1：长方体的外接球的球心在体对角线的交点处，即长方体的体对角线的中点是球心； 结论2：若由长方体切得的多面体的所有顶点是原长方体的顶点，则所得多面体与原长方体的外接球相同；结论3：长方体的外接球直径就是面对角线及与此面垂直的棱构成的直角三角形的外接圆圆心，换言之，就是：底面的一条对角线与一条高（棱）构成的直角三角形的外接圆是大圆； 结论4：圆柱体的外接球球心在上下两底面圆的圆心连一段中点处； 结论5：圆柱体轴截面矩形的外接圆是大圆，该矩形的对角线（外接圆直径）是球的直径； 结论6：直棱柱的外接球与该棱柱外接圆柱体有相同的外接球； 结论7：圆锥体的外接球球心在圆锥的高所在的直线上； 结论8：圆锥体轴截面等腰三角形的外接圆是大圆，该三角形的外接圆直径是球的直径； 结论9：侧棱相等的棱锥的外接球与该棱锥外接圆锥有相同的外接球. 3．终极利器：勾股定理、正定理及余弦定理（解三角形求线段长度）； 三、内切球的有关知识与方法 1．若球与平面相切，则切点与球心连线与切面垂直.（与直线切圆的结论有一致性）. 2．内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等.（类比：与多边形

高中数学外接球的几种常见求法

高三微专题：外接球 一、由球的定义确定球心 在空间，如果一个定点与一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体的外接球的球心． 简单多面体外接球问题是立体几何中的重点，难点，此类问题实质是①确定球心的位置 ②在Rt △用勾股定理求解外接球半径（其中底面外接圆半径r 可根据正弦定理求得）． 二、球体公式 1.球表面积S=4π2R 2.球体积公式V= 3 34R π 三、球体几个结论： （1）长方体，正方体外接球直径=体对角线长 （2）侧棱相等，顶点在底面投影为底面外接圆圆心 （3）直径所对的球周角为90°（大圆的圆周角） （4）正三棱锥对棱互相垂直 四、外接球几个常见模型 1.长方体（正方体）模型 O

例1（2017年新课标Ⅱ)长方体的长，宽，高分别为3,2,1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（） 答案：14

练习1（2016新课标Ⅱ）体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 （ ） 答案：12π 2.正棱锥（圆锥）模型(侧棱相等，底面为正多边形） 球心位置：位于顶点与底面外心连线线段(或延长线）上 半径公式：222)(r R h R +-=（R 为外接球半径， r 为底面外接圆半径，h 为棱锥的高，r 可根据正弦定理 r A a 2sin = （一边一对角) 例2.已知各顶点都在同一个球面上的正四棱锥高为 ，体积为，则这个球的表面积是____ . 【解析】 正四棱锥的高为，体积为，易知底面面积为，底面边长为． 正四棱锥 的外接球的球心在它的高 上，记为， ， ， ，在中， ，由勾股定理 得 ．所以，球的表面积 .

高中数学立体几何中与球有关的问题

立体几何中与球有关的问题 一、球与几何体的“接、切”问题 1 球与特殊几何体的接切 (1）正方体:设正方体的棱长为a ，则内切球半径2a R =（图1）, 外接球半a O A R 231= =（图2）与棱相切的球半径a R 2 2=（图3） 图1 图2 图3 （2）长方体：长方体各顶点可在一个球面上，故长方体存在外切球.但是不一 定存在内切球.设长方体的棱长为,,,a b c 球的半径222 .22 l a b c R ++== （3）正四面体:作为一个规则的几何体，它既存在外接球，也存在内切球，并且两心合一，设正四面体棱长为a,外接球半径R 和内切球半径r 分别为 66,.R a r a == 2球与一般几何体接切问题解决策略(确定半径) “接’的问题(1)找球心（在过小圆圆心与小圆面垂直的直线上）（2）镶嵌到特殊几何体上 与几何体表面“切”的问题：等体积 习题演练 1、一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面．已知该六棱柱的顶点都在同一个球面 上，且该六棱柱的体积为98 ，底面周长为3，则这个球的体积为 ． 2、已知矩形ABCD 的顶点都在半径为4的球O 的球面上，且6,23AB BC ==,则棱锥O ABCD -的体积为 。 3、已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，ABC ?是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且2SC =，则此棱锥的体积为 4、已知A,B 是球O 的球面上两点，∠AOB=90,C 为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为( )

5、已知三棱锥A BCD -内接与球O ，且23BC BD CD ===，若三棱锥A BCD -体积的最大值为43，则球O 的表面积为（ ） 6、已知三棱锥错误!未找到引用源。平面错误!未找到引用源。，其中错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。四点均在球错误!未找到引用源。的表面上，则球错误!未找到引用源。的表面积为__________． 7、在封闭的直三棱柱错误!未找到引用源。内有一个体积为错误!未找到 引用源。的球，错误!未找到引用源。 ， 错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，则错 误!未找到引用源。的最大值是（ ） 8、如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm ，将一 个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深 为6cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为 ( ) 9、四面体BCD A -中，,5,4======BD AD AC BC CD AB 则四面体外接球的表面积为 ，内切球表面积 10、在正三棱锥S ABC -中，M N 、分别是棱SC BC 、的中点，且AM MN ⊥,若侧棱23SA =,则正三棱锥ABC S -外接球的表面积是 。 11、点A 、B 、C 、D 均在同一球面上，其中 是正三角形，AD 平面ABC,AD=2AB=6, 则该球的体积为 （ ） 12、已知,,,S A B C 是球O 表面上的点，SA ABC ⊥平面，AB BC ⊥，1SA AB ==，2BC =O 的表面积等于 13、设OA 是球O 的半径，M 是OA 的中点，过M 且与OA 成45o 角的平面截球O 的表面得到圆C 。若圆C 的面积等于74 π，则球O 的表面积等于___________ 14、已知平面α截一球面得圆M ，过圆心M 且与α成60o 二面角的平面β截该球面得圆N ．若 该球面的半径为4，圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为___________ 15、已知棱长为2的正方体错误!未找到引用源。，球错误!未找到引用源。与该正方体的各个面相切，则平面错误!未找到引用源。截此球所得的截面的面积为（ ）