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基本不等式基础题型总结

一、直接法：

()01>+=x x

x y 求函数最小值.

【变式】()03221>+=

x x x y 求函数最小值.

总结：两道题的解法完全一样，对于此类结构的题目，我们不用担心其系数是多少，左右会出定值.我们可以把这种类似的倒数结构称为“基本不等式结构”.

二、配凑法：

若1>x ，则函数()14-+

=x x x f 最小值为 .

【变式1】已知45>

x ，求函数54124-+-=x x y 的最小值.

【变式2】已知45>

x ，求函数5

4122-+-=x x y 的最小值.

【变式3】已知1->x ，求函数1

532+++=x x x y 的最小值.

以上各题方法类似，最初在做题时觉得变式3会稍微难一些，多加练习计算时细心一些即可.

三、换元法：此方法可以解决题型二中所有题目，尤其是变式3，可以把配凑的思路简单化.此方法适用于分式结构中分母稍复杂的情况.

已知1>x ，求函数1

532-++=x x x y 的最小值.

求函数2

y =的值域.（注意换元之后新元的取值范围，以及基本不等式应用过

程中“一正二定三等”的三条原则.）

四、代换法：

已知0>x ，0>y ，且1=+y x ，求

y x 11+的最小值.

【变式1】已知0>x ，0>y ，且12=+y x ，求

y x 11+的最小值.

【变式2】已知0>x ，0>y ，且32=+y x ，求

y x 11+的最小值.

【变式3】已知0>x ，0>y ，且32=+y x ，求

x 21+的最小值.

【变式4】已知0>x ，0>y ，且

191=+y

x ，求y x +的最小值.

【变式5】（天津09年高考6）设0,0.a b >>1133a b a b +与的等比中项，则的最小值为（）

A 8

B 4

C 1

D 14

一类需要注意的问题：取等条件是否满足

有同学在用基本不等式做题时，做到出定值这一步时会非常欣喜，但往往由于忽略了取等条件而出问题.

下列不等式：①()1log 20log x x x +≥≥；②2sin 1sin ≥+A

A （A 是三角形内角）；③()222x x x R -+≥∈；④()R x x x ∈≥+++2211

2122，其中恒成立的是（）

A. ①②③

B. ②③④

C. ②③

D. ③④

不等式知识点与题型总结

不等式一、知识点： 1. 实数的性质： 0>-?>b a b a ；0<-??<，a b b a ．传递性 a b >且b c a c >?>．加法性质 a b a c b c >?+>+；a b >且c d a c b d >?+>+．乘法性质 ,0a b c ac bc >>?>；0a b >>，且00c d ac bd >>?>>．乘方、开方性质 0,n n a b n N a b *>>∈?>；0,n n a b n N a b *>>∈?>．倒数性质 11,0a b ab a b >>? <． 3. 常用基本不等式：条件结论等号成立的条件 a R ∈ 20a ≥ 0a = ,a R b R ∈∈ 2 2 2a b ab +≥，2()2 a b ab +≤， 22 2()22a b a b ++≥ a b = 0,0>>b a 基本不等式： 2a b ab +≥ 常见变式： 2≥+b a a b ； 21 ≥+a a a b = 0,0>>b a 22112 2 2b a b a ab b a +≤ +≤≤+ a b = 4.利用重要不等式求最值的两个命题：命题1：已知a ，b 都是正数，若ab 是实值P ，则当a=b= 时，和a ＋b 有最小值2 . 命题2：已知a ，b 都是正数，若a ＋b 是实值S ，则当a=b=2 s 时，积ab 有最大值42s . 注意：运用重要不等式求值时，要注意三个条件：一“正”二“定”三“等”，即各项均为正数，和或积为定值，取最值时等号能成立，以上三个条件缺一不可. 5.一元二次不等式的解法：设a>0,x 1x 2是方程ax 2+bx+c=0的两个实根，且x 1≤x 2，则有

(完整版)基本不等式题型总结(经典,非常好,学生评价高)

基本不等式一. 基本不等式 ①公式：(0,0)2 a b a b +≥≥≥，常用a b +≥ ②升级版：22222a b a b ab ++??≥≥ ??? ,a b R ∈ 选择顺序：考试中，优先选择原公式，其次是升级版二．考试题型【题型1】基本不等式求最值求最值使用原则：一正二定三相等一正：指的是注意,a b 范围为正数。二定：指的是ab 是定值为常数三相等：指的是取到最值时a b = 典型例题：例1 .求1(0)2y x x x =+<的值域分析：x 范围为负，提负号（或使用对钩函数图像处理）解：1()2y x x =--+- 00x x <∴->Q 1 2x x ∴-+≥=-1 2x x ∴+≤ 得到(,y ∈-∞

例2 .求12(3)3 y x x x =+>-的值域解：123 y x x =+- （“添项”，可通过减3再加3，利用基本不等式后可出现定值） 12(3)63 x x =+-+- 330x x >∴->Q 12(3)3x x ∴ +-≥- 6y ∴≥，即)6,y ?∈+∞? 例3.求2sin (0)sin y x x x π=+<<的值域分析：sin x 的范围是(0,1)，不能用基本不等式，当y 取到最小值时，sin x 不在范围内解：令sin (0,1)t x t =∈， 2y t t =+ 是对钩函数，利用图像可知：在(0,1)上是单减函数，所以23t t + >，（注：3是将1t =代入得到） (3,)y ∴∈+∞ 注意：使用基本不等式时，注意y 取到最值，x 有没有在范围内，如果不在，就不能用基本不等式，要借助对钩函数图像来求值域。

基本不等式知识点归纳.

基本不等式知识点归纳 1．基本不等式2 b a a b +≤ (1)基本不等式成立的条件：.0,0>>b a (2)等号成立的条件：当且仅当b a =时取等号． [探究] 1.如何理解基本不等式中“当且仅当”的含义？提示：①当b a =时，ab b a ≥+2取等号，即.2 ab b a b a =+?= ②仅当b a =时， ab b a ≥+2取等号，即.2 b a ab b a =?=+ 2．几个重要的不等式 ).0(2);,(222>≥+∈≥+ab b a a b R b a ab b a ),(2 )2();,()2(2 222R b a b a b a R b a b a ab ∈+≤+∈+≤ 3．算术平均数与几何平均数设,0,0>>b a 则b a ,的算术平均数为2 b a +，几何平均数为a b ，基本不等式可叙述为：两个正实数的算术平均数不小于它的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题已知,0,0>>y x 则 (1)如果积xy 是定值,p 那么当且仅当y x =时，y x +有最小值是.2p (简记：积定和最小)． (2)如果和y x +是定值,p ，那么当且仅当y x =时，xy 有最大值是.4 2 p (简记：和定积最大)． [探究] 2.当利用基本不等式求最大(小)值时，等号取不到时，如何处理？提示：当等号取不到时，可利用函数的单调性等知识来求解．例如，x x y 1 +=在2≥x 时的最小值，利用单调性，易知2=x 时.2 5min = y [自测·牛刀小试] 1．已知,0,0>>n m 且,81=mn 则n m +的最小值为( ) A ．18 B ．36 C ．81 D ．243 解析：选A 因为m >0，n >0，所以m ＋n ≥2mn ＝281＝18.

高中不等式知识点总结

1．不等式的解法（1）同解不等式（(1)f x g x ()()>与f x F x g x F x ()()()()+>+同解；（2）m f x g x >>0，()()与mf x mg x ()()>同解， m f x g x <>0，()()与mf x mg x ()()<同解；（3） f x g x () () >0与f x g x g x ()()(()?>≠00同解）； 2．一元一次不等式 ax b a a a >?>=≠()或ax bx c a 200++<≠?()分a >0 及a <0情况分别解之，还要注意?=-b ac 2 4的三种情况，即?>0或 ?=0或?<0，最好联系二次函数的图象。 4．分式不等式分式不等式的等价变形： )()(x g x f >0?f(x)·g(x)>0，) () (x g x f ≥0??? ?≠≥?0 )(0 )()(x g x g x f 。 5．简单的绝对值不等式解绝对值不等式常用以下等价变形： |x|0)， |x|>a ?x 2>a 2?x>a 或x<－a(a>0)。一般地有： |f(x)|g(x)?f(x)>g (x)或f(x)?()()()11当时，a f x g x >>； ()()()201当时，<<?（1）当a >1时， g x f x g x ()()()>>?? ???0；（2）当01<在平面直角坐标系中表示0Ax By C ++=某一侧所有点组成的平面区域。我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线。当我们在坐标系中画不等式