不等式常见考试题型总结
不等式常见考试题型总结 Prepared on 22 November 2020
《不等式》常见考试题型总结一、高考与不等式
高考试题，有关不等式的试题约占总分的12% 左右，主要考查不等式的基本知识，基本技能，以及学生的运算能力，逻辑思维能力，分析问题和解决问题的能力．选择题和填空题主要考查不等式的性质、比较大小和解简单不等式，还可能与函数、方程等内容相结合的小综合．解答题主要是解不等式或证明不等式或以其他知识为载体的综合题。不等式常与下列知识相结合考查：
①不等式的性质的考查常与指数函数、对数函数、三角函数的性质的考查相结合，一般多以选择题的形式出现，有时也与充要条件、函数单调性等知识结合，且试题难度不大；
②解不等式的试题主要在解答中出现，常常是解含参不等式较多，且多与二次函数、指数、对数、可能还会出现导数相结合命题；
③证明不等式是理科考查的重点，经常同一次函数、二次函数、数列、解析几何，甚至还可能与平面向量等结合起来考查．
二、常见考试题型
（1）求解不等式解集的题型
（分式不等式的解法，根式不等式的解法，绝对值不等式的解法，含参不等式的解法，简单的一元高次不等式的解法）
（2）不等式的恒成立问题
（不等式恒成立问题的常规处理方式常应用函数方程思想，分离变量法，数形结合
法）
（3）不等式大小比较
常用方法：
1．作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；
2．作商（常用于分数指数幂的代数式）；
3．分析法；
4．平方法；
5．分子（或分母）有理化； 6．利用函数的单调性； 7．寻找中间量或放缩法 ； 8．图象法。 （4）不等式求函数最值 技巧一：凑项 例：已知5
4x <
，求函数14245
y x x =-+-的最大值。 技巧二：凑系数
例. 当
时，求(82)y x x =-的最大值。
技巧三： 分离
例. 求2710
(1)1
x x y x x ++=
>-+的值域。 技巧四：换元
例. 求2710
(1)1x x y x x ++=
>-+的值域。 技巧五：函数的单调性
（注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数()a
f x x x
=+的单调性。） 例：求函数22
4
y x =
+的值域。
技巧六：整体代换
（多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。）
例：（1）已知0,0x y >>，且19
1x y
+=，求x y +的最小值。
（2）若+
∈R y x ,且12=+y x ，求y
x
11+的最小值
(3)已知+
∈R y x b a ,,,且1=+y
b x a ，求y x +的最小值
技巧七、利用1cos sin 22=+αα转换式子
技巧八、已知x ，y 为正实数，且x 2＋
y 2
2
＝1，求x 1＋y 2 的最大值.
分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab ≤a 2＋b 2
2 。
同时还应化简1＋y 2 中y 2
前面的系数为 12 ， x 1＋y 2 ＝x
2·1＋y 2
2 ＝ 2 x ·
12 ＋y 22
下面将x ，12 ＋y 2
2 分别看成两个因式：
x ·12 ＋y 2
2 ≤x 2＋(12 ＋y 22 )22 ＝x 2＋y 2
2 ＋12 2 ＝34
即x 1＋y 2 ＝ 2 ·x
12 ＋y 22 ≤ 34
2 技巧九：已知a ，b 为正实数，2b ＋ab ＋a ＝30，求函数y ＝1
ab 的最小值. 这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，
一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解 二是直接用基本不等式。
例：1.已知a >0，b >0，ab －(a ＋b )＝1，求a ＋b 的最小值。
2.若直角三角形周长为1，求它的面积最大值。 技巧十：取平方
例、已知x ，y 为正实数，3x ＋2y ＝10，求函数W ＝3x ＋2y 的最值. （5）证明不等式
常用方法：比较法、分析法、综合法和放缩法。
基本不等式—最值求法的题型
基础题型一：指数类最值的求法 1. 已知3a b +=，求33a b +的最小值。 变式1.已知23a b +=，求39a b +的最小值。
变式2.已知2x y -=，求1
33x y
+
的最小值。 变式3.已知23x y -=-，求1
24x y +的最小值。
变式4.已知点(,)x y 在直线112y x =
-上，求1
39
x y +的最小值。 基础题型二：对数类最值的求法
2. 已知0,0x y >>，且24x y +=，求22log log x y +的最大值。 变式1.已知0,0x y >>，且24x y +=，求112
2
log log 3x y +的最小值。
变式2.已知点(,)x y 是圆226x y +=在第一象限内的任一点，求
x y +的最大值。
能力题型一：常数变形（加或减去某个常数使两个因式的积为常数）
1. 已知2x >,求1
()12
f x x x =++
-的最小值。 变式1.已知3x >,求4
()232f x x x =-+-的最小值。
变式2.已知1x <,求4
()21f x x x =+-的最大值。
能力题型二：代换变形（把整式乘到分式中去以便于用基本不等式）
1. 已知0,0x y >>,且21x y +=，求21
x y +的最小值。
2. 变式1.已知0,0x y >>,且23x y +=，求23
x y +的最小值。
变式2.已知0,0x y <<,且32x y +=-，求12
x y
+的最大值。
能力题型三：指数与系数的变形（调整字母的系数和指数）
1. 已知0,0x y >>,且2221x y +=，求
变式1.已知0,0x y >>,且2223x y +=，求2
变式2.已知0,0a b >>,且223a b +=，求-的最小值。 能力题型四：对勾函数及其应用 【对勾函数】1y x x =+
，由1
x x
=得顶点的横坐标为1x =±。
b y ax x =+,由b
ax x
=得顶点的横坐标为x =
(1)11b b y ax a x a x x =+
=-++--,由(1)1
b
a x x -=-得顶点的横坐标为1x =。
例1.求
2
([1,4])
y x x
x
=+∈的值域。
变式1.求
2
([2,1])
y x x
x
=+∈--的值域。
变式2.求
2
3([2,4])
y x x
x
=+∈的值域。
例2.求
4
(2)
1
y x x
x
=+≥
+
的值域。
变式1.求
1
2(3)
2
y x x
x
=+≥
-
的值域。
变式2.求
2
(2)
1
y x x
x
=+≤-
-
的值域。
例3.求
4
sin(0)
sin2
y x x
x
π
=+≤≤的值域。
变式1.求
4
sin(0)
sin1
y x x
x
π
=+≤≤
-
的值域。
变式2.求
2
cos(0)
cos1
y x x
x
π
=+≤≤
+
的值域。
基本不等式例题
例1.已知, 且，求的最小值及相应的值.
例2. 的最小值为________。
例3．已知，，成等差数列，成等比数列，则的最小值是（）
例4．函数的图象恒过定点，若点在直线
上，则的最小值为_________．
例5. 若，则的最小值是（）
例6．下列各函数中，最小值为2的是()
A B. C. D.
例7（1）已知54x <
，求函数14245
y x x =-+-的最大值. （2）求函数14
22++=x x y 的最小值求22242
y x x =--+的最大值.
练习. 设，则的最大值为
例8.已知,
，且
. 求
的最大值及相应的
的值
例9若x ，y 是正数，则22)21
()21(x
y y x +++
的最小值是 练习：已知实数x ，y 满足x +y －1=0，则x 2+y 2的最小值 例10.若实数a 、b 满足a+b=2，是3a +3b 的最小值是 基本不等式证明
例 已知a ，b 为正数，求证：
a
b b a +≥b a +．
例
实际应用：某单位用木材制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为x y(单位：m)的矩形，上部是等腰直角三角形，要使框架围成的总面积为82m ，问x y 分别为多少时用料最省
基 本 不 等 式 应 用
一．基本不等式
1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 22
2
≥+ (2)若R b a ∈,，则2
2
2b a ab +≤（当且仅当b a =时取
“=”）
2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2
(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取
“=”）
(3)若*
,R b a ∈，则2
2??
? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则1
2x x
+≤- (当且仅当1x =-时取“=”）
3.若0>ab ，则2≥+a
b b
a (当且仅当
b a =时取“=”）
若0ab ≠，则
22-2a b a b a b
b a b a b a
+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若R b a ∈,，则2
)2(2
22b a b a +≤
+（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植
时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等”
(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域
（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1
x 解：（1）y ＝3x 2＋1
2x 2 ≥23x 2·
12x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） （2）当x ＞0时，y ＝x ＋1
x ≥2
x ·1
x ＝2；
当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1
x ）≤－2x ·1
x =－2
∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）
解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知5
4x <
，求函数14245
y x x =-+-的最大值。 解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1
(42)45
x x --不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项，
5,5404x x <∴->，11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--?
?231≤-+=
当且仅当1
5454x x
-=
-，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。
评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。
技巧二：凑系数
例1. 当
时，求(82)y x x =-的最大值。
解析：由知，，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到2(82)8x x +-=为定值，故只需将(82)y x x =-凑上一个系数即可。 当，即x ＝2时取等号 当x ＝2时，(82)y x x =-的最大值为8。
评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值。
变式：设2
3
0<
=??
? ??-+≤-?=-=x x x x x x y 当且仅当,232x x -=即??
?
??∈=
23,043x 时等号成立。 技巧三： 分离
例3. 求2710
(1)1
x x y x x ++=
>-+的值域。 解析一：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（x ＋1）的项，再将其分离。 当
,即
时,4
21)591
y x x ≥+?
+=+（（当且仅当x ＝1时取“＝”号）。 技巧四：换元
解析二：本题看似无法运用基本不等式，可先换元，令t =x ＋1，化简原式在分离求最值。 当
,即t =
时,4
259y t t
≥?
=（当t =2即x ＝1时取“＝”号）。 评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。即化为()(0,0)()
A
y mg x B A B g x =++>>，g (x )恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值。
技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数
()a f x x x =+的单调性。例：求函数224
y x =+的值域。 解：令24(2)x t t +=≥，则2
24
y x =+221
4(2)4
x t t t x =+=+≥+
因10,1t t t >?=，但1
t t =解得1t =±不在区间[)2,+∞，故等号不成立，考虑单调性。
因为1y t t =+在区间[)1,+∞单调递增，所以在其子区间[)2,+∞为单调递增函数，故5
2y ≥。
所以，所求函数的值域为5,2??
+∞????
。
练习．求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值.
（1）231
,(0)x x y x x ++=
> （2）12,33
y x x x =+>- (3)12sin ,(0,)sin y x x x π=+∈
2．已知01x <<，求函数y =.；3．2
03
x <<，求函数y =大值. 条件求最值
1.若实数满足2=+b a ，则b a 33+的最小值是 .
分析：“和”到“积”是一个缩小的过程，而且b a 33?定值，因此考虑利用均值定理求最小值，
解： b a 33和都是正数，b a 33+≥632332==?+b a b a
当b a 33=时等号成立，由2=+b a 及b a 33=得1==b a 即当1==b a 时，b a 33+的最小值是6．
变式：若44log log 2x y +=，求11
x y
+的最小值.并求x ,y 的值
技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。。
2：已知0,0x y >>，且19
1x y
+=，求x y +的最小值。
错解．．：
0,0x y >>，且19
1x
y +
=，∴()1912x y x y x y ??
+=++≥= ???
故 ()min 12x y += 。
错因：解法中两次连用基本不等式，在x y +≥等号成立条件是x y =，在19x
y
+≥等号成立条件是
19
x y
=即9y x =,取等号的条件的不一致，产生错误。因此，在利用基本不等
式处理问题时，列出等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法。
正解：190,0,1x y x
y
>>+=，()1991061016y x
x y x y x y x y
??∴+=++=++≥+= ???
当且仅当
9y x
x y
=时，上式等号成立，又191x y +=，可得4,12x y ==时，()min 16x y += 。
变式： （1）若+
∈R y x ,且12=+y x ，求y
x
11+的最小值
(2)已知+
∈R y x b a ,,,且1=+y
b x a ，求y x +的最小值
技巧七、已知x ，y 为正实数，且x 2＋
y 2
2
＝1，求x 1＋y 2 的最大值.
分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab ≤a 2＋b 2
2 。
同时还应化简1＋y 2 中y 2前面的系数为 1
2 ， x 1＋y 2 ＝x
2·1＋y 2
2 ＝ 2 x ·
12 ＋y 22
下面将x ，12 ＋y 2
2 分别看成两个因式：
x ·12 ＋y 22 ≤x 2＋(12 ＋y 22 )22 ＝x 2＋y 2
2 ＋12
2 ＝34
即x 1＋y 2
＝ 2 ·x
12 ＋y 22 ≤ 34 2
技巧八：已知a ，b 为正实数，2b ＋ab ＋a ＝30，求函数y ＝1
ab 的最小值.
分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行。
法一：a ＝30－2b b ＋1 ， ab ＝30－2b b ＋1 ·b ＝－2 b 2＋30b
b ＋1
由a ＞0得，0＜b ＜15
令t ＝b +1，1＜t ＜16，ab ＝－2t 2＋34t －31t ＝－2（t ＋16t ）＋34∵t ＋
16
t ≥2
t ·16
t ＝8
∴ ab ≤18 ∴ y ≥ 1
18 当且仅当t ＝4，即b ＝3，a ＝6时，等号成立。
法二：由已知得：30－ab ＝a ＋2b ∵ a ＋2b ≥22 ab ∴ 30－ab ≥22 ab
∴ab ≤3 2 ，ab ≤18，∴y ≥18
点评：①本题考查不等式
ab b
a ≥+2
）
（+∈R b a ,的应用、不等式的解法及运算能力；②如何由已知不等式230ab a b =++）（+∈R b a ,出发求得ab 的范围，关键是寻找到ab b a 与+之间的
关系，由此想到不等式ab b
a ≥+2
）
（+∈R b a ,，这样将已知条件转换为含ab 的不等式，进而解得ab 的范围.
变式：1.已知a >0，b >0，ab －(a ＋b )＝1，求a ＋b 的最小值。 2.若直角三角形周长为1，求它的面积最大值。 技巧九、取平方
5、已知x ，y 为正实数，3x ＋2y ＝10，求函数W ＝3x ＋2y 的最值.
解法一：若利用算术平均与平方平均之间的不等关系，a ＋b 2 ≤a 2＋b 2
2 ，本题很简单
3x ＋2y ≤ 2 （3x ）2＋（2y ）2 ＝ 2 3x ＋2y ＝2 5
解法二：条件与结论均为和的形式，设法直接用基本不等式，应通过平方化函数式为积的形式，再向“和为定值”条件靠拢。
W ＞0，W 2＝3x ＋2y ＋23x ·2y ＝10＋23x ·2y ≤10＋(3x )2·(2y )2 ＝10＋(3x ＋2y )＝20
∴ W ≤20 ＝2 5
变式: 求函数15
()2
2
y x <<的最大值。
解析：注意到21x -与52x -的和为定值。
又0y >，所以0y <≤
当且仅当21x -=52x -，即3
2
x =
时取等号。 故max y =。 评注：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用基本不等式创造了条件。
总之，我们利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用基本不等式。
应用二：利用基本不等式证明不等式
1．已知c b a ,,为两两不相等的实数，求证：ca bc ab c b a ++>++2
2
2
1）正数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝1，求证：(1－a )(1－b )(1－c )≥8abc
例6：已知a 、b 、c R +∈，且1a b c ++=。求证：1111118a b c ??????
---≥ ???????????
分析：不等式右边数字8，使我们联想到左边因式分别使用基本不等式可得三个“2”连乘，又
111a b c a a a -+-==≥
解：a 、b 、c R +∈，1a b c ++=。∴
111a b c a a a a
-+-==≥
。同理11b -≥，
11c -≥
111221118ac ab a b c a b c ??????---≥= ???????????
。当且仅当13a b c ===时取等号。 应用三：基本不等式与恒成立问题
例：已知0,0x y >>且19
1x y
+=，求使不等式x y m +≥恒成立的实数m 的取值范围。
解：令,0,0,
x y k x y +=>>191x y +=，99 1.x y x y kx ky ++∴+=1091y x k kx ky
∴++= 103
12k k
∴-
≥? 。16k ∴≥ ，(],16m ∈-∞ 应用四：均值定理在比较大小中的应用： 例：若)2
lg(),lg (lg 21,lg lg ,1b
a R
b a Q b a P b a +=+=?=>>，则R Q P ,,的大小关系是 .
分析：∵1>>b a ∴0lg ,0lg >>b a
2
1
=
Q （p b a b a =?>+lg lg )lg lg Q ab ab b a R ==>+=lg 2
1lg )2lg( ∴R >Q >P 。
不等式求解集积题型
【知识要点】
1．绝对值符号里含有未知数的不等式叫做绝对值不等式。 （1）x a <的解集是a x a -<<
（2）x a >的解集是x a >或x a <-
2．含字母系数的一元一次不等式的解法与普通不等式的解法是一致的，所不同的是：前者在最后一步要根据题中附加条件或隐含条件，去判断未知数系数的符号，从而决定不等号是否反向。或对其系数进行分类讨论，写出各种情况下不等式的解集。一般的讨论方法：对于
ax b >；
当0a >时，b x a
>
当0a =时，若0,b <解集为任意实数；
若0b ≥，无解
当0a <时，b x a
<
【典型例题】
题型一：与整数解个数有关的不等式
例1．如果不等式03<-a x 的正整数解是1，2，3，那么a 的取值范围是多少
例2．已知关于x 的不等式组?
??-<-≤-1230
x a x 的整数解共有5个，求a 的取值范围。
题型二: 已知不等式解集求未知数
例3．（1）已知不等式
42213x a x +>
-的解集为2>x ，求()a x a ->-23
1
的解集。 （2）方程组???=+=+20
5273y x k
y x 的解x ，y 都是正数，则整数k 应等于。
题型三：系数含有字母的不等式
例4．解关于x 的不等式：
62
23+>
-x ax x 例5．k 为何值时，不等式()x kx 382
1
>+永远成立
若不等式0)32()(<-++b a x b a 的解集为3
1
->x ，求不等式0)2()3(>-+-a b x b a 的解集。
题型四：绝对值不等式
例6．解下列不等式
（1）213x +> （2）452+<-x x
题型五：比较大小
例7．比较下列各式的大小
（1）1232++x x 和2232-+x x （2）b a b a 22+-与 例8．如果4235a a a a a <<<<成立，则实数a 的取值范围是（ ） A 、10<a C 、01<<-a D 、1- 1．如果关于x 的方程()x x m 211-=-的解是一个负数，那么m 的取值范围是 。 2．关于x 的方程()()x k x x k 4212+-=-+的解若为正数，那么k 的取值范围为（ ）。 A 2 m 的解集是1x ，那么m 满足（ ） A ．1- B ．1->m C ．1 D ．1>m 4．已知关于x 的一次方程()0783=++x b a 无解，则ab 是（ ） A 、正数 B 、非正数 C 、负数 D 、非负数 5．解下列不等式 （1）214x -< （2）求不等式31≤+x 的非负整数解。 6．若不等式03≤-a x 只有两个正整数解，则a 的取值范围是多少 7．解关于x 的不等式 （1）11kx x ->+ （2）216k x x ->- 8．若满足不等式()51323≤---≤a x a 的x 必满足53≤≤x ，求a 的取值范围． 9．一次函数1y 的图像是射线1l ，2y 的图像是射线2l ，如图所示， 若21y y =，则x 的值为_______________； 若21y y >，则x 的取值范围是____________； 若21y y <，则x 的取值范围是____________． 10．己知不等式32mx x m ，（1）若它的解是3 2m x m +< -，求m 集是4 3 x > ，求m 的值。 11．如果不等式组90 80x a x b -≥??- 的整数解仅为1，2，3，那么，适合这个不等式组的整数a 、 b 的有序对（a ，b ）共有（ ） A 、17个 B 、64个 C 、72个 D 、81个 12．已知方程组???-=-=+1 2 my x y mx 的解y x ,的乘积小于零，求221212++---m m m m 的值。 高中数学不等式知识点经典习题 典型例题一 例1 解不等式2321-->+x x 分析：解含有绝对值的不等式，通常是利用绝对值概念???<-≥=)0() 0(a a a a a ，将不等式中的 绝对符号去掉，转化成与之同解的不含绝对值的不等式（组），再去求解．去绝对值符号的关键是找零点（使绝对值等于零的那个数所对应的点），将数轴分成若干段，然后从左向右逐段讨论． 解：令01=+x ，∴ 1-=x ，令032=-x ，∴2 3 = x ，如图所示． （1）当1-≤x 时原不等式化为2)32()1(--->+-x x ∴2>x 与条件矛盾，无解． （2）当231≤<-x 时，原不等式化为2)32(1--->+x x ．∴ 0>x ，故230≤ < 式的解为{}60< 说明：要注意找零点去绝对值符号最好画数轴，零点分段，然后从左向右逐段讨论，这样做条理分明、不重不漏． 典型例题二 例2 求使不等式a x x <-+-34有解的a 的取值范围． 分析：此题若用讨论法，可以求解，但过程较繁；用绝对值的几何意义去求解十分简便． 解法一：将数轴分为(]),4(],4,3[,3,+∞∞-三个区间 当3 <-+-有解的条件为 32 7<-a ，即1>a ； 当43≤≤x 时，得a x x <-+-)3()4(，即1>a ； 当4>x 时，得a x x <-+-)3()4(，即27+< a x ，有解的条件为42 7 >+a ∴1>a ． 以上三种情况中任一个均可满足题目要求，故求它们的并集，即仍为1>a ． 解法二：设数x ，3，4在数轴上对应的点分别为P ，A ，B ，如图，由绝对值的几何定义，原不等式a PB PA <+的意义是P 到A 、B 的距离之和小于a ． 因为1=AB ，故数轴上任一点到A 、B 距离之和大于（等于1），即134≥-+-x x ，故当 1>a 时，a x x <-+-34有解． 典型例题三 例3 已知),0(,20,2M y a b y M a x ∈ε <-<ε< -，求证ε<-ab xy ． 分析：根据条件凑b y a x --,． 证明： ab ya ya xy ab xy -+-=-ε=ε ?+ε?<-?+-≤-+-=a a M M b y a a x y b y a a x y 22)()(． 说明：这是为学习极限证明作的准备，要习惯用凑的方法． 典型例题四 例4 求证 b a a b a -≥-2 2 分析：使用分析法 证明 ∵0>a ，∴只需证明b a a b a -≥-222，两边同除2 b ，即只需证明 b a b a b b a -≥-22 2 2 2，即 b a b a b a -≥-22)(1)(当1≥b a 时，b a b a b a b a -≥-=-222)(1)(1)(； 当 1 a 时，0<-b a ，原不等式显然成立．∴原不等式成立． 说明：在绝对值不等式的证明，常用分析法．本例也可以一开始就用定理： （1）如果 1≥b a ，则0≤-b a ，原不等式显然成立． （2）如果 b a -， b a b ->，∴原不等 式也成立． 典型例题五 例5 求证 b b a a b a b a ++ +≤ +++111． 分析：本题的证法很多，下面给出一种证法：比较要证明的不等式左右两边的形式完全相同，使我们联想利用构造函数的方法，再用单调性去证明． 证明：设x x x x x x f +- =+-+=+= 11 11111)(． 定义域为｛R x x ∈，且1-≠x ｝，)(x f 分别在区间)1,(--∞，区间),1(∞+-上是增函数． 又b a b a +≤+≤0，∴)()(b a f b a f +≤+即 b a b a b a b a +++≤ +++11b b a a b a b b a a ++ +≤ +++ ++= 1111 ∴原不等式成立． 说明：在利用放缩法时常常会产生如下错误： ∵b a b a +≤+，01>++b a ，∴ b a b b a a b a b a b a b a +++++=+++≤+++1111b b a a +++≤11． 错误在不能保证a b a +≥++11，b b a +≥++11．绝对值不等式b a b a +≤±在运用放缩法证明不等式时有非常重要的作用，其形式转化比较灵活．放缩要适度，要根据题目的要求，及时调整放缩的形式结构． 型例题六 例6 关于实数x 的不等式2 )1(2)1(2 2-≤ +-a a x 与0)13(2)1(32≤+++-a x a x )(R a ∈的解集依次为A 与B ，求使B A ?的a 的取值范围． 分析：分别求出集合A 、B ，然后再分类讨论． 解：解不等式2 )1(2)1(2 2-≤ +-a a x ，2)1(2)1(2)1(222-≤+-≤--a a x a ， ∴{} R a a x a x A ∈+≤≤=,122． 解不等式0)13(2)1(32≤+++-a x a x ，0)2)](13([≤-+-x a x ． 当3 1 >a 时（即213>+a 时），得? ??? ?? >+≤≤=31,132a a x x B ． 当3 1≤a 时（即213≤+a 时），得? ??? ?? ≤≤≤+=31,213a x a x B ． 当31 >a 时，要满足B A ?，必须? ??+≤+≥,131,222a a a 故31≤≤a ； 当3 1≤a 时，要满足B A ?，必须?? ?+≥+≥; 12, 1322 a a a ? ? ?≤≤--≤,11, 1a a ∴1-=a ． 所以a 的取值范围是{}311≤≤-=∈a a R a 或． 说明：在求满足条件B A ?的a 时，要注意关于a 的不等式组中有没有等号，否则会导致误解． 典型例题七 例6 已知数列通项公式n n na a a a a 2 sin 23sin 22sin 2sin 32++++= 对于正整数m 、n ，当n m >时，求证：n n m a a 2 1 < -． 分析：已知数列的通项公式是数列的前n 项和，它的任意两项差还是某个数列的和，再利用不等式n n a a a a a a +++≤+++ 2121，问题便可解决． 证明：∵n m > ∴ m n n n m ma a n a n a a 2sin 2)2sin(2)1sin(21+++++= -++ m n n ma a n a n 2sin 2)2sin(2)1sin(21+++++≤++ 2 11) 21 1(2 1 2 1 21211 2 1 - -=+++≤-+++n m n m n n ) 12110(21)211(21<-<<-=--n m n n m n ． 说明： m n n 2121212 1 + ++++ 是以1 2 1+n 为首项，以21为公比，共有n m -项的等比数列的和，误认为共有1--n m 项是常见错误． 正余弦函数的值域，即1sin ≤α，1cos ≤α，是解本题的关键．本题把不等式、三角函数、数列、n 个变量的绝对值不等式问题连在一起，是一个较为典型的综合题目．如果将本题中的正弦改为余弦，不等式同样成立． 典型例题八 例8 已知13)(2+-=x x x f ，1<-a x ，求证：)1(2)()(+<-a a f x f 分析：本题中给定函数)(x f 和条件1<-a x ，注意到要证的式子右边不含x ，因此对条件1<-a x 的使用可有几种选择：(1)直接用；(2)打开绝对值用11+<<-a x a ，替出x ；(3)用绝对值的性质11+ 证明：∵13)(2+-=x x x f ，∴13)(2+-=a a a f ，∵1<-a x ，∴1<-≤-a x a x ． ∴1+ 1-+?-=a x a x )1(21111+=+++<++<-+ 说明：这是绝对值和函数的综合题，这类题通常要涉及绝对值及绝对值不等式的性质等综合知识的运用．分析中对条件1<-a x 使用时出现的三种可能是经常碰到的，要结合求证，灵活选用． 典型例题九 例9 不等式组?? ? ??+->+->x x x x x 22330 的解集是（ ）． A ．{}20< B ．{}5.20< C ．{} 60<