人教版九年级上册数学 圆 几何综合专题练习(解析版)

人教版九年级上册数学 圆 几何综合专题练习（解析版）

一、初三数学 圆易错题压轴题（难）

1．如图，在直角体系中,直线AB 交x 轴于点A(5,0),交y 轴于点B,AO 是⊙M 的直径,其半圆交AB 于点C,且AC=3.取BO 的中点D,连接CD 、MD 和OC ． （1）求证：CD 是⊙M 的切线；

（2）二次函数的图象经过点D 、M 、A,其对称轴上有一动点P,连接PD 、PM,求△PDM 的周长最小时点P 的坐标；

（3）在（2）的条件下,当△PDM 的周长最小时,抛物线上是否存在点Q ，使S △PDM =6S △QAM ？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】解：（1）证明：连接CM ，

∵OA 为⊙M 直径，∴∠OCA=90°．∴∠OCB=90°． ∵D 为OB 中点，∴DC=DO ．∴∠DCO=∠DOC ． ∵MO=MC ，∴∠MCO=∠MOC ． ∴

．

又∵点C 在⊙M 上，∴DC 是⊙M 的切线． （2）∵A 点坐标（5，0），AC=3 ∴在Rt △ACO 中，．

∴545(x )x 5)12152-

=--（，∴，解得10

OD 3

=

． 又∵D 为OB 中点，∴

1552

4

+∴D 点坐标为（0，154)．

连接AD ，设直线AD 的解析式为y=kx+b ，则有

解得．

∴直线AD 为

．

∵二次函数的图象过M （5

6

，0)、A(5，0)， ∴抛物线对称轴x=

154

． ∵点M 、A 关于直线x=154对称，设直线AD 与直线x=15

4

交于点P ， ∴PD+PM 为最小．

又∵DM 为定长，∴满足条件的点P 为直线AD 与直线x=15

4

的交点． 当x=

15

4时，45y (x )x 5)152

=

--（． ∴P 点的坐标为（15

4，56

）． （3）存在． ∵

，5

y a(x )x 5)2

=--（

又由（2）知D （0，154)，P （15

4，56

）， ∴由

，得

，解得y Q =±

103

．

∵二次函数的图像过M(0，5

6

)、A(5，0）， ∴设二次函数解析式为，

又∵该图象过点D （0，15

4

)，∴，解得a=

512

． ∴二次函数解析式为

．

又∵Q 点在抛物线上，且y Q =±103

． ∴当y Q =103

时，，解得x=

1552-或x=1552

+；

当y Q =5

12

-

时，，解得x=

15

4

．

∴点Q 的坐标为（15524

-，103)，或（15524+，10

3)，或（154，512-）．

【解析】

试题分析：（1）连接CM ，可以得出CM=OM ，就有∠MOC=∠MCO ，由OA 为直径，就有∠ACO=90°，D 为OB 的中点，就有CD=OD ，∠DOC=∠DCO ，由∠DOC+∠MOC=90°就可以得出∠DCO+∠MCO=90°而得出结论．

（2）根据条件可以得出2222OC OA AC 534=-=-=和OC OB

tan OAC AC OA

∠=

=，从而求出OB 的值，根据D 是OB 的中点就可以求出D 的坐标，由待定系数法就可以求出抛物线的解析式，求出对称轴，根据轴对称的性质连接AD 交对称轴于P ，先求出AD 的解析式就可以求出P 的坐标． （3）根据PDM DAM PAM S S S ???=-，求出Q 的纵坐标，求出二次函数解析

式即可求得横坐标．

2．已知：如图，梯形ABCD 中，AD//BC ，AD 2=，AB BC CD 6===，动点P 在射线BA 上，以BP 为半径的

P 交边BC 于点E （点E 与点C 不重合），联结PE 、

PC ，设x BP =，PC y =.

（1）求证：PE //DC ；

（2）求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；

（3）联结PD ，当PDC B ∠=∠时，以D 为圆心半径为R 的D 与P 相交，求R 的取

值范围.

【答案】（1）证明见解析；（2）2

436(09)y x x x =-+<<；（3）3605

R <<

【解析】 【分析】

()1根据梯形的性质得到B DCB ∠=∠，根据等腰三角形的性质得到B PEB ∠∠=，根据

平行线的判定定理即可得到结论；

()2分别过P 、A 、D 作BC 的垂线，垂足分别为点H 、F 、.G 推出四边形ADGF 是矩形，

//PH AF ，求得2BF FG GC ===，根据勾股定理得到

22226242AF AB BF =-=-=，根据平行线分线段成比例定理得到

223PH x =

，13BH x =，求得1

63

CH x =-，根据勾股定理即可得到结论； ()3作//EM PD 交DC 于.M 推出四边形PDME 是平行四边形.得到PE DM x ==，即 6MC x =-，根据相似三角形的性质得到1218

655

PD EC ==-=，根据相切两圆的性质即可得到结论． 【详解】

()

1证明：梯形ABCD ，AB CD =，

B DCB ∠∠∴=，

PB PE =， B PEB ∠∠∴=， DCB PEB ∠∠∴=， //PE CD ∴；

()2解：分别过P 、A 、D 作BC 的垂线，垂足分别为点H 、F 、G ．

梯形ABCD 中，//AD BC ， ，BC DG ⊥，BC PH ⊥，

∴四边形ADGF 是矩形，//PH AF ，

2AD =，6BC DC ==， 2BF FG GC ∴===，

在Rt ABF 中，

22226242AF AB BF =-=-=，

//PH AF ，

PH BP BH

AF AB BF ∴==6242x BH ==，

223PH x ∴=

，1

3

BH x =，

1

63

CH x ∴=-，

在Rt PHC

中，PC =

y ∴=

9)y x =<<， ()3解：作//EM PD 交DC 于M ．

//PE DC ，

∴四边形PDME 是平行四边形．

PE DM x ∴==，即 6MC x =-，

PD ME ∴=，PDC EMC ∠∠=， 又PDC B ∠∠=，B DCB ∠=∠， DCB EMC PBE PEB ∠∠∠∠∴===． PBE ∴∽ECM ，

PB BE

EC MC ∴=，即

232663

x

x x x =--， 解得：18

5x =，

即12

5

BE =，

1218

655

PD EC ∴==-=，

当两圆外切时，PD r R =+，即0(R =舍去)； 当两圆内切时，-PD r R =，即10(R =舍去)，236

5

R =； 即两圆相交时，3605

R <<． 【点睛】

本题属于圆综合题，梯形的性质，平行四边形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键.

3．如图①，一个Rt △DEF 直角边DE 落在AB 上，点D 与点B 重合，过A 点作二射线AC 与斜边EF 平行，己知AB=12，DE=4，DF=3，点P 从A 点出发，沿射线AC 方向以每秒2个单位的速度运动，Q 为AP 中点，设运动时间为t 秒（t ＞0）? （1）当t=5时，连接QE ，PF ，判断四边形PQEF 的形状；

（2）如图②，若在点P 运动时，Rt △DEF 同时沿着BA 方向以每秒1个单位的速度运动，当D 点到A 点时，两个运动都停止，M 为EF 中点，解答下列问题：

①当D、M、Q三点在同一直线上时，求运动时间t；

②运动中，是否存在以点Q为圆心的圆与Rt△DEF两个直角边所在直线都相切？若存在，求出此时的运动时间t；若不存在，说明理由．

【答案】（1）平行四边形EFPQ是菱形；（2）t=；当t为5秒或10秒时，以点Q为圆心的圆与Rt△DEF两个直角边所在直线都相切．

【解析】

试题分析：（1）过点Q作QH⊥AB于H，如图①，易得PQ=EF=5，由AC∥EF可得四边形EFPQ是平行四边形，易证△AHQ∽△EDF，从而可得AH=ED=4，进而可得AH=HE=4，根据垂直平分线的性质可得AQ=EQ，即可得到PQ=EQ，即可得到平行四边形EFPQ是菱形；（2）①当D、M、Q三点在同一直线上时，如图②，则有AQ=t，EM=EF=，AD=12-t，DE=4．由EF∥AC可得△DEM∽△DAQ，然后运用相似三角形的性质就可求出t的值；

②若以点Q为圆心的圆与Rt△DEF两个直角边所在直线都相切，则点Q在∠ADF的角平分线上（如图③）或在∠FDB的角平分线（如图④）上，故需分两种情况讨论，然后运用相似三角形的性质求出AH、DH（用t表示），再结合AB=12，DB=t建立关于t的方程，然后解这个方程就可解决问题．

试题解析：（1）四边形EFPQ是菱形．

理由：过点Q作QH⊥AB于H，如图①，

∵t=5，∴AP=2×5=10．

∵点Q是AP的中点，

∴AQ=PQ=5．

∵∠EDF=90°，DE=4，DF=3，

∴EF==5，

∴PQ=EF=5．

∵AC∥EF，

∴四边形EFPQ是平行四边形，且∠A=∠FEB．

又∵∠QHA=∠FDE=90°，

∴△AHQ∽△EDF，

∴．

∵AQ=EF=5，

∴AH=ED=4．

∵AE=12-4=8，

∴HE=8-4=4，

∴AH=EH，

∴AQ=EQ，

∴PQ=EQ，

∴平行四边形EFPQ是菱形；

（2）①当D、M、Q三点在同一直线上时，如图②，

此时AQ=t，EM=EF=，AD=12-t，DE=4．

∵EF∥AC，

∴△DEM∽△DAQ，

∴，

∴，

解得t=；

②存在以点Q为圆心的圆与Rt△DEF两个直角边所在直线都相切，此时点Q在∠ADF的角平分线上或在∠FDB的角平分线上．Ⅰ．当点Q在∠ADF的角平分线上时，

过点Q作QH⊥AB于H，如图③，

则有∠HQD=∠HDQ=45°，

∴QH=DH．

∵△AHQ∽△EDF（已证），

∴，

∴，

∴QH=，AH=，

∴DH=QH=．

∵AB=AH+HD+BD=12，DB=t，

∴++t=12，

∴t=5；

Ⅱ．当点Q在∠FDB的角平分线上时，

过点Q作QH⊥AB于H，如图④，

同理可得DH=QH=，AH=．

∵AB=AD+DB=AH-DH+DB=12，DB=t，

∴-+t=12，

∴t=10．

综上所述：当t为5秒或10秒时，以点Q为圆心的圆与Rt△DEF两个直角边所在直线都相切．

考点：1．圆的综合题；2．线段垂直平分线的性质；3．勾股定理；4．菱形的判定；5．相似三角形的判定与性质．

4．如图，点A在直线l上，点Q沿着直线l以3厘米/秒的速度由点A向右运动，以AQ为

边作Rt△ABQ，使∠BAQ=90°，tan∠ABQ= 3

4

，点C在点Q右侧，CQ=1厘米，过点C作直

线m⊥l，过△ABQ的外接圆圆心O作OD⊥m于点D，交AB右侧的圆弧于点E．在射线CD上

取点F，使DF=1

3

CD，以DE、DF为邻边作矩形DEGF．设运动时间为t秒．

（1）直接用含t 的代数式表示BQ 、DF ； （2）当0＜t ＜1时，求矩形DEGF 的最大面积；

（3）点Q 在整个运动过程中，当矩形DEGF 为正方形时，求t 的值． 【答案】（1）BQ=5t ，DF=23t;（2）16;（3）t 的值为3

5

或3． 【解析】

试题分析：（1）AB 与OD 交于点H ，根据题中的比例关系和勾股定理可表示出BQ 的长；根据垂直于同一条直线的两直线平行和三角形的中位线定理可求得AH 的长，再根据矩形的判定定理和矩形的性质可求CD 的长，即可表示出FD ；

（2）根据题意表示出矩形的长和宽，然后构造二次函数，通过二次函数的最值可求解； （3）当矩形为正方形时，分别让其长与宽相等，列方程求解即可. 试题解析：（1）5t BQ =，2

DF=

t 3

； （2）DE=OD-OE=32t+1-52t=1-t ，()2

2211

·t 13326

S DF DE t t ??==-=--+ ???，∴当t=

12时，矩形DEGF 的最大面积为

1

6

； （3）当矩形DEGF 为正方形时，221133t t t t -=

-=或,解得3

35

t t ==或.

5．我们把“有两条边和其中一边的对角对应相等的两个三角形”叫做“同族三角形”，如图1，在△ABC 和△ABD 中，AB=AB ，AC=AD ，∠B=∠B ，则△ABC 和△ABD 是“同族三角形”．

（1）如图2，四边形ABCD 内接于圆，点C 是弧BD 的中点，求证：△ABC 和△ACD 是同族三角形；

（2）如图3，△ABC 内接于⊙O ，⊙O 的半径为32AB=6，∠BAC=30°，求AC 的长； （3）如图3，在（2）的条件下，若点D 在⊙O 上，△ADC 与△ABC 是非全等的同族三角

形，AD＞CD，求AD

CD

的值．

【答案】（1）详见解析；（2）33+3；（3）AD

CD

=

62

2

+

或

6

2

．

【解析】

【分析】

(1）由点C是弧BD的中点，根据弧与弦的关系，易得BC=CD，∠BAC=∠DAC，又由公共边AC，可证得：△ABC和△ACD是同族三角形；

(2）首先连接0A，OB，作点B作BE⊥AC于点E，易得△AOB是等腰直角三角形，继而求得答案；

(3)分别从当CD=CB时与当CD=AB时进行分析求解即可求得答案．

【详解】

（1）证明：∵点C是弧BD的中点，即BC CD

=，

∴BC=CD，∠BAC=∠DAC，

∵AC=AC，

∴△ABC和△ACD是同族三角形.

（2）解：如图1，连接OA，OB，作点B作BE⊥AC于点E，

∵2，AB=6，

∴OA2+OB2=AB2，

∴△AOB是等腰直角三角形，且∠AOB=90°，

∴∠C=∠AOB=45°，

∵∠BAC=30°，

∴BE=AB=3，

∴22

AB BE

-3，

∵CE=BE=3，

∴3

（3）解：∵∠B=180°﹣∠BAC﹣∠ACB=180°﹣30°﹣45°=105°，

∴∠ADC=180°﹣∠B=75°，

如图2，当CD=CB时，∠DAC=∠BAC=30°，

∴∠ACD=75°，

∴AD=AC=33+3，CD=BC=2BE=32， ∴

AD 333CD 32

+=

=62

2+； 如图3，当CD=AB 时，过点D 作DF ⊥AC ，交AC 于点F ，

则∠DAC=∠ACB=45°，

∴∠ACD=180°﹣∠DAC ﹣∠ADC=60°， ∴DF=CD?sin60°=6×

3

2

3 ∴2DF=36 ∴

AD 36CD =

=62

综上所述：AD CD =62

2或62

【点睛】

本题考查圆的综合应用问题，综合运用弧与弦的关系，等腰三角形的性质结合图形作辅助线进行分析证明以及求解，难度较大.

6．已知：AB 为⊙O 直径，弦CD ⊥AB ，垂足为H ，点E 为⊙O 上一点，AE BE =，BE 与CD 交于点F ．

（1）如图1，求证：BH ＝FH ；

（2）如图2，过点F 作FG ⊥BE ，分别交AC 、AB 于点G 、N ，连接EG ，求证：EB ＝EG ； （3）如图3，在（2）的条件下，延长EG 交⊙O 于M ，连接CM 、BG ，若ON ＝1，△CMG 的面积为6，求线段BG 的长．

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）210 ． 【解析】 【分析】

（1）连接AE ，根据直径所对圆周角等于90°及弧与弦的关系即可得解； （2）根据题意，过点C 作CQ FG CS FB ⊥⊥，，连接CE BC 、，通过证明

Rt CGQ Rt CBS ???，CBE CGE ???即可得解；

（3）根据题意，过点G 作GT CD ⊥于T ，连接CN ，设CAB α∠＝，证明

()CMG CNG AAS ???，再由面积法及勾股定理进行计算求解即可.

【详解】

解：（1）如下图，连接AE

∵AB 为直径 ∴90AEB =?∠

∵

AE BE = ∴AE BE = ∴45B ∠=? 又∵CD AB ⊥于H

∴45HFB ∠=? ∴HF HB =；

（2）如下图，过点C 作CQ FG CS FB ⊥⊥，，连接CE BC 、

AB 为直径，∴90ACB QCS ∠=∠=? ∴GCQ BCS ∠=∠

∴()Rt CGQ Rt CBS AAS ??? ∴CG CB =

同理()CBE CGE SAS ??? ∴EG EB =；

（3）如下图，过点G 作GT CD ⊥于T ，连接CN

设CAB α∠=由（2）知：CM CB = ∴CM CB = ∵HB HF =

∴45HBF HFB ∠=∠=? ∵GF BE ⊥

∴45NFH NH BH CN BC ∠=?∴=∴=，， ∴CM CB CN == 则：2MEB α∠=

902AEG α∠=?-

∴45EAG EGA α∠=∠=?+ ∴45M MGC α∠=∠=?+ ∴()CMG CNG AAS ??? ∵CMG ?面积为6 ∴6CAN

GAN

S

S

-=

设2122BH NH x OA OB x AN x ====+=+，， 则()CGT BCH AAS ??? ∴C BH x ==

∴6AN CH AN TH ?-?=

∴

1

(22)62

x CT +?= 解得：2x = ∵2BC BH BA =?

∴2210BC =?，则25BC ＝ ∴2210BG BC ＝＝． 【点睛】

本题主要考查了圆和三角形的综合问题，熟练掌握圆及三角形的各项重要性质及判定方法是解决本题的关键.

7．如图，PA ，PB 分别与O 相切于点A 和点B ，点C 为弧AB 上一点，连接PC 并延

长交

O 于点F ，D 为弧AF 上的一点，连接BD 交FC 于点E ，连接AD ，且

2180APB PEB ∠+∠=?．

（1）如图1，求证：//PF AD ；

（2）如图2，连接AE ，若90APB ∠=?，求证：PE 平分AEB ∠； （3）如图3，在（2）的条件下，连接AB 交PE 于点H ，连接OE ，8AD =，

4

sin 5

ABD ∠=

，求PH 的长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）257

【解析】 【分析】

（1）连接OA 、OB ，由切线的性质可得90OAP OBP ∠=∠=?，由四边形内角和是

360?，得180∠+∠=?P AOB ，由同弧所对的圆心角是圆周角的一半，得到

2AOB ADB ∠=∠，等量代换得到ADB PEB ∠=∠，由同位角相等两直线平行，得到//PF AD ；

（2）过点P 做PK PF ⊥交EB 延长线于点K ，由90APB ∠=?得290PEB ∠=?，从而45PEB ∠=?，由切线的性质，得PA PB =，由PK PE ⊥，45PEK ∠=?，得PE PK =，从而90APE EPB ?∠=-∠，进而APE BPK ∠=∠，即可证得

APE BPK ??≌由此45K AEP ∠=∠=?，得到AEP PEB ∠=∠，即可证得PE 平分AEB ∠；

（3）连接AO 并延长交圆O 于点M ，连接OB 、OH 、OP 、OD 、DM ，由

45ADE ∠=?，90AED ∠=?，可得DE AE =，由OA 、OD 为半径，可得OA OD =，

即可证出DEO AEO ??≌，由直径所对的圆周角是直角，可得90ADM ∠=?，在

Rt ADM ?中，由正弦定义可得10AM =，由此5OA OB ==，由OAPB 为正方形，对

角线AB 垂直平分OP ，从而，OH PH =.在Rt OAP ?中，252OP OA =

=.延长EO

交AD 于K ，在Rt OEP ?中，由勾股定理得7PE =，在Rt OEH ?中，由勾股定理得

257PH =

. 【详解】 （1）连接OA 、OB

∵PA 、PB 与圆O 相切于点A 、B ，且OA 、OB 为半径， ∴OA AP ⊥，OB BP ⊥， ∴90OAP OBP ∠=∠=?，

∴在四边形AOBP 中，360180180P AOB ∠+∠=?-?=?， ∵AB AB =， ∴2AOB ADB ∠=∠， ∴2180P ADB ∠+∠=?， ∵2180P PEB ∠+∠=?， ∴ADB PEB ∠=∠， ∴//PF AD

（2）过点P 做PK PF ⊥交EB 延长线于点K

∵90APB ∠=?，

∴21809090PEB ∠=?-?=?， ∴45PEB ∠=?，

∵PA 、PB 为圆O 的切线， ∴PA PB =，

∵PK PE ⊥，45PEK ∠=?， ∴PE PK = ，

∵9090APE EPB KPB EPB ??∠=-∠=∠=-∠，

∴APE BPK ∠=∠， ∴APE BPK ??≌， ∴45K AEP ∠=∠=?， ∴AEP PEB ∠=∠， ∴PE 平分AEB ∠；

（3）连接AO 并延长交圆O 于点M ，连接OB 、OH 、OP 、OD 、DM

∵45ADE ∠=?，90AED ∠=?， ∴DE AE =， ∵OA 、OD 为半径， ∴OA OD =， ∵OE OE =， ∴DEO AEO ??≌， ∴1

452

AEO OED AED ∠=∠=∠=?， ∴90OEP ∠=?， ∵AM 为圆O 的直径， ∴90ADM ∠=?， ∵弧AD =弧AD ， ∴ABD AMD ∠=∠，

在Rt ADM ?中，8AD =，4

sin 5

AMD ∠=，则10AM =， ∴5OA OB ==，

由题易证四边形OAPB 为正方形， ∴对角线AB 垂直平分OP ，AB OP =， ∵H 在AB 上， ∴OH PH =， 在Rt OAP ?中，252OP OA ==

延长EO 交AD 于K ，

∵DE AE =，可证OK AD ⊥，DOK ABD ∠=∠， ∴4DK KE ==，3OK =，1OE = ∴在Rt OEP ?中，227PE OP OE =-= 在Rt OEH ?中，222OH OE EH =+

∵OH PH =，7EH PE HP PH =-=- ∴()2

2217PH PH =+-

∴257

PH =

． 【点睛】

本题考查了圆的综合题，圆的性质，等腰三角形的性质，相交弦定理，正弦定理，勾股定理，灵活运用这些性质定理解决问题是本题的关键．

8．（1）如图1，A 是⊙O 上一动点，P 是⊙O 外一点，在图中作出PA 最小时的点A ． （2）如图2，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，以点C 为圆心的⊙C 的半径是3.6，Q 是⊙C 上一动点，在线段AB 上确定点P 的位置，使PQ 的长最小，并求出其最小值． （3）如图3，矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝9，以D 为圆心，3为半径作⊙D ，E 为⊙D 上一动点，连接AE ，以AE 为直角边作Rt △AEF ，∠EAF ＝90°，tan ∠AEF ＝

1

3

，试探究四边形ADCF 的面积是否有最大或最小值，如果有，请求出最大或最小值，否则，请说明理由．

【答案】（1）作图见解析；（2）PQ 长最短是1.2；（3）四边形ADCF 面积最大值是

81313

2

+，最小值是813132-

【解析】 【分析】

（1）连接线段OP 交⊙C 于A ，点A 即为所求；

（2）过C 作CP ⊥AB 于Q ，P ，交⊙C 于Q ，这时PQ 最短，根据勾股定理以及三角形的面积公式即可求出其最小值；

（3）△ACF 的面积有最大和最小值，取AB 的中点G ，连接FG ，DE ，证明△FAG ～△EAD ，进而证明点F 在以G 为圆心1为半径的圆上运动，过G 作GH ⊥AC 于H ，交⊙G 于F 1，GH 反向延长线交⊙G 于F 2，①当F 在F 1时，△ACF 面积最小，分别求出△ACD 的面积和△ACF 的面积的最小值即可得出四边形ADCF 的面积的最小值；②当F 在F 2时，四边形ADCF 的面积有最大值，在⊙G 上任取异于点F 2的点P ，作PM ⊥AC 于M ，作GN ⊥PM 于N ，利用矩形的判定与性质以及三角形的面积公式即可得出得出四边形ADCF 的面积的最大值． 【详解】

解：（1）连接线段OP 交⊙C 于A ，点A 即为所求，如图1所示；

（2）过C 作CP ⊥AB 于Q ，P ，交⊙C 于Q ，这时PQ 最短．

理由：分别在线段AB ，⊙C 上任取点P '，点Q '，连接P '，Q '，CQ '，如图2，

由于CP ⊥AB ，根据垂线段最短，CP ≤CQ '+P 'Q '， ∴CO +PQ ≤CQ '+P 'Q '， 又∵CQ ＝CQ '，

∴PQ ＜P 'Q '，即PQ 最短． 在Rt △ABC 中2

2

2

2

8610AB AC BC =+=+=，11

22

ABC S AC BC AB CP ?=

?=?， ∴68

4.810

AC BC CP AB ??=

==， ∴PQ ＝CP ﹣CQ ＝6.8﹣3.6＝1.2， ∴22226 4.8 3.6BP BC CP -=-=．

当P 在点B 左侧3.6米处时，PQ 长最短是1.2． （3）△ACF 的面积有最大和最小值． 如图3，取AB 的中点G ，连接FG ，DE ． ∵∠EAF ＝90°，1

tan 3

AEF ∠=， ∴

1

3

AF AE = ∵AB ＝6，AG ＝GB ， ∴AC ＝GB ＝3， 又∵AD ＝9， ∴31

93AG AD ==， ∴

D

AF AE AG

A = ∵∠BAD ＝∠

B ＝∠EAF ＝90°， ∴∠FAG ＝∠EAD ，

∴△FAG ～△EAD ，

∴

1

3FG AF DE AE ==， ∵DE ＝3， ∴FG ＝1，

∴点F 在以G 为圆心1为半径的圆上运动， 连接AC ，则△ACD 的面积＝6

92722

CD AD ?

=?=， 过G 作GH ⊥AC 于H ，交⊙G 于F 1，GH 反向延长线交⊙G 于F 2，

①当F 在F 1时，△ACF 面积最小．理由：由（2）知，当F 在F 1时，F 1H 最短，这时△ACF 的边AC 上的高最小，所以△ACF 面积有最小值， 在Rt △ABC 中，222269313AC AB BC =+=+=∴313sin 313BC BAC AC ∠=

==

在Rt △ACH 中，313913

sin 3GH AG BAC =?∠==

∴11913

113

F H GH GF =-=

-， ∴△ACF 面积有最小值是：

11191327313

313(1)22AC F H -?=?-=

； ∴四边形ADCF 面积最小值是：2731381313

27--+

=

； ②当F 在F 2时，F 2H 最大理由：在⊙G 上任取异于点F 2的点P ，作PM ⊥AC 于M ，作GN ⊥PM 于N ，连接PG ，则四边形GHMN 是矩形， ∴GH ＝MN ，

在Rt △GNP 中，∠NGF 2＝90°， ∴PG ＞PN ， 又∵F 2G ＝PG ，

∴F 2G +GH ＞PN +MN ，即F 2H ＞PM ， ∴F 2H 是△ACF 的边AC 上的最大高， ∴面积有最大值，

∵22913

113

F H GH GF =+=

+， ∴△ACF 面积有最大值是

21191327313

313(1)22AC F H +?=??+=

； ∴四边形ADCF 面积最大值是2731381313

27+++

=

； 综上所述，四边形ADCF 面积最大值是81313

2

+，最小值是813132-．

【点睛】

本题为圆的综合题，考查了矩形，圆，相似三角形的判定和性质，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．

9．AB 是

O 直径，,C D 分别是上下半圆上一点，且弧BC =弧BD ，连接,AC BC ，

连接CD 交AB 于E ，

（1）如图(1)求证：90AEC ∠=?；

（2）如图(2)F 是弧AD 一点，点,M N 分别是弧AC 和弧FD 的中点，连接FD ，连接

MN 分别交AC ，FD 于,P Q 两点，求证：MPC NQD ∠=∠

（3）如图(3)在(2)问条件下，MN 交AB 于G ，交BF 于L ，过点G 作GH MN ⊥交AF 于H ，连接BH ，若,6,BG HF AG ABH ==?的面积等于8，求线段MN 的长度

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）2410MN =． 【解析】 【分析】

（1）由垂径定理即可证明；

（2）利用等弧所对的圆周角相等和三角形外角性质即可得到结论；

（3）由∠MPC=∠NQD 可得：∠BGL=∠BLG ，BL=BG ，作BR ⊥MN ，GT ⊥AF ，HK ⊥AB ，证明：GH 平分∠AGT ，利用相似三角形性质和角平分线性质求得△AGT 三边关系，再求出HK 与GH ，OS ⊥MN ，再利用相似三角形性质求出OS ，利用勾股定理求MN 即可． 【详解】

几何练习题精选

几何练习题精选 题型一、相似三角形的判定与性质 1、 如图1、在ABC ?中， 90=∠BAC ，BC 边的垂直平分线EM 与AB 及CA 的延长线分别交于D 、E ，连接AM ， 求证：EM DM AM ?=2 2、 如图2，已知梯形ABCD 为圆内接四边形，AD//BC ，过C 作该圆的切线，交AD 的延长线于E ，求证：ABC ?相似于EDC ? 3、 如图3，D B ∠=∠，AE ⊥BC ， 90=∠ACD ，且AB=6，AC=4，AD=12，求BE 的长。

4、 如图4，O Θ和O 'Θ相交于A ，B 两点，过A 作两圆的切线分别交两圆于C 、D 两点， 连接DB 并延长交O Θ于点E ，证明：（1）AB AD BD AC ?=?；（2）AC=AE 题型二、截割定理与射影定理的应用 1、 如图5，已知E 是正方形ABCD 的边AB 延长线上一点，DE 交CB 于M ，MN//AE 于 N ，求证：MN=MB 2、 如图6，在ABC Rt ?中， 90=∠BAC ，AD 是斜边BC 上的高，若AB ：AC=2：1， 求AD ：BC 的值。

3、 如图7，AB 是半圆O 的直径，C 是半圆上异于A 、B 的点，CD ⊥AB ，垂足为D ，已 知AD=2，CB=34，求CD 的长。 4、 如图8，在ABC ?中，DE//BC ，EF//CD ，若BC=3，DE=2，DF=1，求AB 的长。 题型三、圆内接四边形的判定与性质 1、 如图9、AB ，CD 都是圆的弦，且AB//CD ，F 为圆上一点，延长FD ，AB 相交于点E ， 求证：BD=AC ；（2）DE AF AC AE ?=?

人教版初三数学圆的测试题及答案

九年级圆测试题 一、选择题（每题3分，共30分） 1．如图，直角三角形A BC 中，∠C ＝90°，A C ＝2，A B ＝4，分别以A C 、BC 为直径作半圆，则图中阴影的面积为 （ ） A 2π－ 3 B 4π－4 3 C 5π－4 D 2π－23 2．半径相等的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为 （ ） A 1∶2∶3 B 1∶ 2∶3 C 3∶2∶1 D 3∶2∶1 3．在直角坐标系中,以O(0，0)为圆心,以5为半径画圆,则点A(3-,4)的位置在 （ ） A ⊙O 内 B ⊙O 上 C ⊙O 外 D 不能确定 4．如图，两个等圆⊙O 和⊙O ′外切，过O 作⊙O ′的两条切线OA 、OB ，A 、B 是切点，则∠AOB 等于 （ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 5．在Rt △A BC 中，已知A B ＝6，A C ＝8，∠A ＝90°，如果把此直角三角形绕直线A C 旋转一周得到一个圆锥，其表面积为S 1；把此直角三角形绕直线A B 旋转一周得到另一个圆锥，其表面积为S 2，那么S 1∶S 2等于 （ ） A 2∶3 B 3∶4 C 4∶9 D 5∶12 6．若圆锥的底面半径为 3，母线长为5，则它的侧面展开图的圆心角等于 （ ） A ． 108° B ． 144° C ． 180° D ． 216° 7．已知两圆的圆心距d = 3 cm ，两圆的半径分别为方程0352 =+-x x 的两根，则两圆的位置关系是 （ ） A 相交 B 相离 C 相切 D 内含 8．四边形中，有内切圆的是 （ ） A 平行四边形 B 菱形 C 矩形 D 以上答案都不对 9．如图，以等腰三角形的腰为直径作圆，交底边于D ，连结AD ，那么

人教版九年级数学上册圆知识点归纳及练习含答案完整版

人教版九年级数学上册圆知识点归纳及练习含 答案 Document serial number【NL89WT-NY98YT-NC8CB-NNUUT-NUT108】

圆 24.1.1圆 知识点一圆的定义 圆的定义：第一种：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫作圆。固定的端点O叫作圆心，线段OA叫作半径。第二种：圆心为O，半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合。 比较圆的两种定义可知：第一种定义是圆的形成进行描述的，第二种是运用集合的观点下的定义，但是都说明确定了定点与定长，也就确定了圆。 知识点二圆的相关概念 （1）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫作直径。 （2）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。 （3）等圆：等够重合的两个圆叫做等圆。 （4）等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。 弦是线段，弧是曲线，判断等弧首要的条件是在同圆或等圆中，只有在同圆或等圆中完全重合的弧才是等弧，而不是长度相等的弧。 24.1.2垂直于弦的直径 知识点一圆的对称性 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴。 知识点二垂径定理 （1）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。如图所示，直径为CD，AB是弦，且CD⊥AB， A B AM=BM 垂足为M AC=BC AD=BD D 垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 如上图所示，直径CD与非直径弦AB相交于点M， CD⊥ABAM=BMAC=BC AD=BD 注意：因为圆的两条直径必须互相平分，所以垂径定理的推论中，被平分的弦必须不是直径，否则结论不成立。 24.1.3弧、弦、圆心角 知识点弦、弧、圆心角的关系（1）弦、弧、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。 （2）在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余的各组量也相等。 （3）注意不能忽略同圆或等圆这个前提条件，如果丢掉这个条件，即使圆心角相等，所对的弧、弦也不一定相等，比如两个同心圆中，两个圆心角相同，但此时弧、弦不一定相等。

九年级数学上册 圆 几何综合专题练习(解析版)

九年级数学上册 圆 几何综合专题练习（解析版） 一、初三数学 圆易错题压轴题（难） 1．如图，二次函数y=x 2-2mx+8m 的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边且OA≠OB ),交y 轴于点C ，且经过点（m ，9m ）,⊙E 过A 、B 、C 三点。 （1）求这条抛物线的解析式； （2）求点E 的坐标； （3）过抛物线上一点P （点P 不与B 、C 重合）作PQ ⊥x 轴于点Q ，是否存在这样的点P 使△PBQ 和△BOC 相似？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，说明理由 【答案】（1）y=x 2 +2x-8（2）（-1，- 72）（3）（-8，40），（-15 4，-1316），（-174 ，-25 16 ） 【解析】 分析：（1）把(),9m m 代入解析式，得：22289m m m m -+=，解这个方程可求出m 的值； （2）分别令y =0和x =0，求出OA ，OB ，O C 及AB 的长，过点E 作EG x ⊥轴于点 G ,EF y ⊥轴于点F ,连接CE ，AE ,设OF =GE =a ,根据AE CE = ，列方过程求出a 的值， 从而求出点E 的坐标； （3）设点P (a , a 2+2a -8)， 则2 28,2PQ a a BQ a =+-=-，然后分PBQ ∽CBO 时 和PBQ ∽BCO 时两种情况，列比例式求出a 的值，从而求出点P 的坐标. 详解：（1）把(),9m m 代入解析式，得：22289m m m m -+= 解得：121,0m m =-=（舍去） ∴228y x x =+-

（2）由（1）可得：2 28y x x =+-，当0y =时，124,2x x =-=; ∵点A 在点B 的左边 ∴42OA OB ，== ， ∴6AB OA OB =+=， 当0x =时，8y =-， ∴8OC = 过点E 作EG x ⊥轴于点G ,EF y ⊥轴于点F ,连接CE ，, 则11 6322 AG AB = =?= ， 设 ，则 ， 在Rt AGE ?中，， 在 中， ()2 22218CE EF CF a =+=+-， ∵AE CE = ， ∴()2 2918a a +=+- ， 解得：7 2a = ， ∴712E ? ?-- ?? ? ， ； （3）设点()2,28a a a P +-， 则2 28,2PQ a a BQ a =+-=-， a.当PBQ ?∽CBO ?时， PQ CO BQ OB =，即228822 a a a +-=-， 解得：10a =（舍去）；

立体几何专题训练(附答案)

立体几何 G5 空间中的垂直关系 18．、[2014·广东卷] 如图1-4，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，∠DPC＝30°，AF⊥PC于点F，FE∥CD，交PD于点E. (1)证明：CF⊥平面ADF； (2)求二面角D- AF- E的余弦值． 图1-4 19．、[2014·湖南卷] 如图1-6所示，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都相等，AC∩BD ＝O，A1C1∩B1D1＝O1，四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形． (1)证明：O1O⊥底面ABCD； (2)若∠CBA＝60°，求二面角C1-OB1-D的余弦值． 19．解：(1)如图(a)，因为四边形ACC1A1为矩形，所以CC1⊥AC.同理DD1⊥BD. 因为CC1∥DD1，所以CC1⊥BD.而AC∩BD＝O，因此CC1⊥底面ABCD. 由题设知，O1O∥C1C.故O1O⊥底面ABCD. (2)方法一：如图(a)，过O1作O1H⊥OB1于H，连接HC1. 由(1)知，O1O⊥底面ABCD O1O⊥A1C1. 又因为四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都相等，所以四边形A1B1C1D1是菱形， 因此A1C1⊥B1D1，从而A1C1⊥平面BDD1B1，所以A1C1⊥OB1，于是OB1⊥平面O1HC1. 进而OB1⊥C1H.故∠C1HO1是二面角C1-OB1-D的平面角．

不妨设AB ＝2.因为∠CBA ＝60°，所以OB ＝3，OC ＝1，OB 1＝7. 在Rt △OO 1B 1中，易知O 1H ＝OO 1·O 1B 1OB 1＝237.而O 1C 1＝1，于是C 1H ＝O 1C 21＋O 1H 2 ＝ 1＋12 7 ＝ 197 . 故cos ∠C 1HO 1＝O 1H C 1H ＝ 23 7197 ＝25719. 即二面角C 1-OB 1-D 的余弦值为257 19 . 方法二：因为四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的所有棱长都相等，所以四边形ABCD 是菱形，因此AC ⊥BD .又O 1O ⊥底面ABCD ，从而OB ，OC ，OO 1两两垂直． 如图(b)，以O 为坐标原点，OB ，OC ，OO 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系O -xyz ，不妨设AB ＝2.因为∠CBA ＝60°，所以OB ＝3，OC ＝1，于是相关各点的坐标为O (0，0，0)， B 1(3，0，2)， C 1(0，1，2)． 易知，n 1＝(0，1，0)是平面BDD 1B 1的一个法向量． 设n 2＝(x ，y ，z )是平面OB 1C 1的一个法向量，则?????n 2·OB →1＝0，n 2·OC →1＝0，即???3x ＋2z ＝0， y ＋2z ＝0. 取z ＝－3，则x ＝2，y ＝23，所以n 2＝(2，23，－3)． 设二面角C 1-OB 1-D 的大小为θ，易知θ是锐角，于是 cos θ＝|cos 〈，〉|＝??????n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝2319＝25719. 故二面角C 1-OB 1-D 的余弦值为25719 . 19． 、、[2014·江西卷] 如图1-6，四棱锥P - ABCD 中，ABCD 为矩形，平面PAD ⊥平面ABCD . 图1-6 (1)求证：AB ⊥PD .

九年级数学圆的知识点总结大全

r B 一、知识回顾 第四章：《圆》 圆的周长 ： C=2πr 或 C=πd 、圆的面积 ： S=πr 2 圆环面积计算方法： S=πR2- πr 2或 S=π（ R2-r 2） (R 是大圆半径， r 是小圆半径） 二、知识要点一、圆的概念 集合形式的概念： 1 、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 2 、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 3 、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念： 1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆； 固定的端点 O 为圆心。连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫直径。圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称弧。 2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线； 3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线； 4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线； 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是： 平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。二、点与圆的位置关系 1、点在圆内 d r 点C 在圆内； A d 2、点在圆上 d r 点B 在圆上； O d 3、点在圆外 d r 点 A 在圆外； C 三、直线与圆的位置关系 1、直线与圆相离 d r 无交点； 2、直线与圆相切 d r 有一个交点； 3、直线与圆相交 d r 有两个交点； r d d=r r d

C D 四、圆与圆的位置关系 外离（图 1） 无交点 d R r ； 外切（图 2） 有一个交点 d R r ； 相交（图 3） 有两个交点 R r d R r ； 内切（图 4） 有一个交点 d R r ； 内含（图 5） 无交点 d R r ； d d d R r R r R r 图 1 图2 图 3 d d r R r R 图4 图 5 五、垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。 推论 1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2） 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3） 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共 4 个定理，简称 2 推 3 定理：此定理中共 5 个结论中，只要知道其中 2 个即可推出其 它 3 个结论，即： ① AB 是直径 ② AB CD ③ CE DE ④ 弧 BC 弧 BD ⑤ 弧 AC 弧 AD 中任意 2 个条件推出其他 3 个结论。 A 推论 2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 C D 即：在⊙ O 中，∵ AB ∥ CD O O ∴弧 AC 弧BD A B E B 六、圆心角定理 顶点到圆心的角，叫圆心角。 圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。 此定

人教版九年级数学上册圆

初中数学试卷 金戈铁骑整理制作 圆 章节测试 时间:40分钟 满分:120分 姓名: 得分: 一、选择题（本大题共9小题，共54分） 1. 如图，圆锥的底面半径为2，母线长为6，则侧面积为（ ） A. 4π B. 6π C. 12π D. 16π 2. 一个扇形的弧长是10πcm ，面积是60πcm 2，则此扇形的圆心角的度数是（ ） A. 300° B. 150° C. 120° D. 75° 3. 下列圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角最大的图形是（ ） A. 正三角形 B. 正方形 C. 正五边形 D. 正六边形 4. 如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上位于AB 异侧的两点．下列四个角中，一定与∠ACD 互余的角是（ ） A. ∠ADC B. ∠ABD C. ∠BAC D. ∠BAD 5. 如图，在⊙O 中，AB 是直径，AC 是弦，连接OC ，若∠ACO =30°，则∠BOC 的度数是（ ） A. 30° B. 45° C. 55° D. 60°

6.如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为M，若AB=12， OM：MD=5：8，则⊙O的周长为（） A. 26π B. 13π C. D. 7.如图，将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB绕点A逆时针旋转60°，点O，B的 对应点分别为O′，B′，连接BB′，则图中阴影部分的面积是（） A. B. 2- C. 2- D. 4- 8.如图，在半径为4的⊙O中，CD是直径，AB是弦，且CD⊥AB，垂足为点E，∠AOB=90°， 则阴影部分的面积是（） A. 4π-4 B. 2π-4 C. 4π D. 2π

数学九年级上册 圆 几何综合专题练习(word版

数学九年级上册 圆 几何综合专题练习（word 版 一、初三数学 圆易错题压轴题（难） 1．已知：如图，梯形ABCD 中，AD//BC ，AD 2=，AB BC CD 6===，动点P 在 射线BA 上，以BP 为半径的 P 交边BC 于点E （点E 与点C 不重合），联结PE 、 PC ，设x BP =，PC y =. （1）求证：PE //DC ； （2）求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域； （3）联结PD ，当PDC B ∠=∠时，以D 为圆心半径为R 的D 与P 相交，求R 的取 值范围. 【答案】（1）证明见解析；（2）2436(09)y x x x =-+<<；（3）3605 R << 【解析】 【分析】 ()1根据梯形的性质得到B DCB ∠=∠，根据等腰三角形的性质得到B PEB ∠∠=，根据 平行线的判定定理即可得到结论； ()2分别过P 、A 、D 作BC 的垂线，垂足分别为点H 、F 、.G 推出四边形ADGF 是矩形， //PH AF ，求得2BF FG GC ===，根据勾股定理得到 22226242AF AB BF =-=-=，根据平行线分线段成比例定理得到 223PH x = ，13BH x =，求得1 63 CH x =-，根据勾股定理即可得到结论； ()3作//EM PD 交DC 于.M 推出四边形PDME 是平行四边形.得到PE DM x ==，即 6MC x =-，根据相似三角形的性质得到1218 655 PD EC ==-=，根据相切两圆的性质即可得到结论． 【详解】 () 1证明：梯形ABCD ，AB CD =， B DCB ∠∠∴=， PB PE =， B PEB ∠∠∴=， DCB PEB ∠∠∴=，

初二几何专题训练整理

初中几何综合测试题 一.填空题 1.一个三角形的两条边长分别为9和2，第三边长为奇数，则第三边长为_______. 2.△ABC三边长分别为3、4、5，与其相似的△A′B′C′的最大边长是 10，则△A′B′C′的面积是_________. 4.点O是平行四边形ABCD对角线的交点，若平行四边行ABCD的面 积为8cm，则△AOB的面积为________. 5.直角三角形两直角边的长分别为5cm和12cm，则斜边上的中线长为 . 6.梯形上底长为2，中位线长为5，则梯形的下底长为________. 7.如图，分别延长四边形ABCD两组对边交于E、F，若DF=2DA， 8.在Rt△ABC中，AD是斜边BC上的高，如果BC=a，∠B=30°， 那么AD等于_________. 二．选择题 1.一个角的余角和它的补角互为补角，则这个角是 [ ] A.30° B.45° C.60° D.75° 2.依次连结等腰梯形的各边中点所得的四边形是 [ ] A.矩形 B.正方形 C.菱形 D.梯形 3.如图，DF∥EG∥BC,AD=DE=EB,△ABC被分成三部分的 面积之比为 [ ]

A.1∶2∶3 B.1∶1∶1 C.1∶4∶9 D.1∶3∶5 4.已知：AB∥CD，EF∥CD,且∠ABC=20°，∠CFE=30°, 则∠BCF的度数是 [ ] A.160° B.150° C.70° D.50° 5.如图OA=OB，点C在OA上，点D在OB上，OC=OD，AD和 BC相交于E，图中全等三角形共有 [ ] A.2对 B.3对 C.4对 D.5对 6.既是轴对称，又是中心对称的图形是 [ ] A.等腰三角形 B.等腰梯形 C.平行四边形 D.线段 三.解答题

人教版数学九年级上册：24《圆》专题练习(附答案)

word版初中数学 第二十四章《圆》专题练习 目录 专题1 与圆周角有关的辅助线作法 (1) 专题2圆周角定理 (3) 专题3 证明切线的两种常用方法 (4) 专题4与切线长有关的教材变式 (5) 专题5与圆的切线有关的计算与证明 (6) 专题6 求阴影部分的面积 (8)

专题1 与圆周角有关的辅助线作法 类型1 构造同弧或等弧所对的圆周角或圆心角 1．如图，点A ，B ，C ，D 在⊙O 上，∠AOC ＝140°，点B 是AC ︵ 的中点，则∠D 的度数是( ) A ．70° B ．55° C ．35.5° D ．35° 2．如图，点A ，B ，C ，D 分别是⊙O 上的四点，∠BAC ＝50°，BD 是直径，则∠DBC 的度数是( ) A ．40° B ．50° C ．20° D ．35° 3．如图，A ，B ，C ，D 四个点均在⊙O 上，∠AOD ＝50°，AO ∥DC ，则∠B 的度数为( ) A ．50° B ．55° C ．60° D ．65°

4．如图，A ，B ，C 在⊙O 上，∠ACB ＝40°，点D 在ACB ︵ 上，M 为半径OD 上一点，则∠AMB 的度数不可能为( ) A ．45° B ．60° C ．75° D ．85° 类型2 利用直径构造直角三角形 5．如图，在⊙O 中，∠OAB ＝20°，则∠C 的度数为 ． 6．如图，在⊙O 中，AB 为直径，∠ACB 的平分线交⊙O 于点D ，AB ＝6，则BD ＝ ． 7．如图，⊙A 过点O ，C ，D ，点C 的坐标为(3，0)，点B 是x 轴下方⊙A 上的一点，连接BO ，BD ，已知∠OBD ＝30°，则⊙A 的半径等于 ． 8．如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AD ⊥BC 于点D ，AC ＝5，DC ＝3，AB ＝42，则⊙O 的半径为 ．

小学奥数几何专题训练附答案

学习奥数的重要性 1. 学习奥数是一种很好的思维训练。奥数包含了发散思维、收敛思维、换元思维、反向思维、逆向思维、逻辑思维、空间思维、立体思维等二十几种思维方式。通过学习奥数，可以帮助孩子开拓思路，提高思维能力，进而有效提高分析问题和解决问题的能力，与此同时，智商水平也会得以相应的提高。 2. 学习奥数能提高逻辑思维能力。奥数是不同于且高于普通数学的数学内容，求解奥数题，大多没有现成的公式可套，但有规律可循，讲究的是个“巧”字；不经过分析判断、逻辑推理乃至“抽丝剥茧”，是完成不了奥数题的。所以，学习奥数对提高孩子的逻辑推理和抽象思维能力大有帮助 3. 为中学学好数理化打下基础。等到孩子上了中学，课程难度加大，特别是数理化是三门很重要的课程。如果孩子在小学阶段通过学习奥数让他的思维能力得以提高，那么对他学好数理化帮助很大。小学奥数学得好的孩子对中学阶段那点数理化大都能轻松对付。 4. 学习奥数对孩子的意志品质是一种锻炼。大部分孩子刚学奥数时都是兴趣盎然、信心百倍，但随着课程的深入，难度也相应加大，这个时候是最能考验人的：少部分孩子凭着天分，凭着在困难面前的百折不挠和愈挫愈坚的毅力，坚持了下来、学了进去、收到了成效；一部分孩子在家长的“威逼利诱”之下，硬着头皮熬了下来；不少孩子更是或因天资不足、或惧怕困难、或受不了这份苦、再或是其它原因而在中途打了退堂鼓。我以为，只要能坚持学下来，不论最后取得什么样的结果，都会有所收获的，特别是对孩子的意志力是一次很好的锻炼，这对他今后的学习和生活都大有益处。 六年级几何专题复习 如图，已知AB ＝40cm，图中的曲线是由半径不同的三种半圆弧平滑连接 而成，那么阴影部分的面积是_____cm2。(π取3.14)(几何) 有7根直径都是5分米的圆柱形木头，现用绳子分别在两处把它们捆在一起，则至少需要绳子_____分米。(结头处绳长不计，π取3.14) 图中的阴影部分的面积是________平方厘米。(π取3)

初三数学圆知识点总结

初三数学圆知识点总结 一、本章知识框架 二、本章重点 1．圆的定义： (1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆． (2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合． 2．判定一个点P是否在⊙O上． 设⊙O的半径为R，OP＝d，则有 d>r点P在⊙O 外； d＝r点P在⊙O 上； d

(2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角． 圆周角的性质： ①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半． ②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等． ③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角． ④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形． ⑤圆接四边形的对角互补；外角等于它的对角． (3)弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫弦切角． 弦切角的性质：弦切角等于它夹的弧所对的圆周角． 弦切角的度数等于它夹的弧的度数的一半． 4．圆的性质： (1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心． 在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等． (2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴．

垂径定理及推论： (1)垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． (2)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． (3)弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧． (4)平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦． (5)平行弦夹的弧相等． 5．三角形的心、外心、重心、垂心 (1)三角形的心：是三角形三个角平分线的交点，它是三角形切圆的圆心，在三角形部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示． (2)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O表示． (3)三角形重心：是三角形三边中线的交点，在三角形部；它到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，通常用G表示． (4)垂心：是三角形三边高线的交点． 6．切线的判定、性质： (1)切线的判定：

人教版九年级数学上册圆单元测试题及答案

九年级数学第二十四章圆测试题（A） 时间：45分钟分数：100分 一、选择题（每小题3分，共33分） 1 .若O O所在平面内一点P到O O上的点的最大距离为10, A . 14 B . 6 C . 14 或6 D. 7 或3 2. 如图24—A —1 , O O的直径为10,圆心O到弦AB的距离 A . 4 B . 6 C . 7 I 3. 已知点O ABC的外心，若/ A=80 A . 40 4. 如图 A . 20° B . 80 24—A — 2, B . C. 160° △ ABC内接于O 最小距离为 OM的长为 4则此圆的半径为（ 3,则弦AB 的长是 D . 8 ，则/ BOC的度数为（ D. 120° 若/ A=40 °，则/ OBC的度数为（ O 图24—A — 4 图24—A — 3 小明同学设计了一个测量圆直径的工具， 垂直，在测直径时，把O点靠在圆周上， A . 12个单位 B . 10个单位 6. 如图 A . 80° 7. 如图 PB于点 A . 5 24—A —4, AB为O O的直径，点 B. 50° C. 40 ° 24—A —5, P 为O O 外一点， 5 .如图24—A —3, 标有刻度的尺子OA、OB在O点钉在一起， 读得刻度OE=8个单位，OF=6个单位，则圆的直径为（ D . 15个单位 ，则/ A等于（） 并使它们保持 ） PA 、 C、D，若PA=5，则△ PCD的周长为( B . 7 C . 8 D . 10 C . 1个单位 C 在O O 上，若/ B=60 ° D . 30° PB分别切O O于A、B, ) CD切O O于点E,分别交PA、 &若粮仓顶部是圆锥形，且这个圆锥的底面直径为 毡，则这块油毡的面积是（） 4m，母线长为3m，为防雨需在粮仓顶部铺上油 A . 6m2 C . 12m22 D . 12二 m 9.如图24—A —6,两个同心圆，大圆的弦AB 点P,且 CD=13 , PC=4，则两圆组成的圆环的面积是（ A. 16 n B . 36 n 10 .已知在△ ABC中， 10 A . 3 11.如图 C、D E、 C. 52 n AB=AC=13 , 与小圆相切于点P,大圆的弦CD经过） D. 81 n BC=10，那么△ ABC的内切圆的半径为（ 12 B . 5 24—A —7,两个半径都是4cm的圆外切于点C, 一只蚂蚁由点A开始依A、B、 F、C、G A的顺序沿着圆周上的8段长度相等的路径绕行，蚂蚁在这 C. 2 径上不断爬行，直到行走2006 n cm后才停下来， A . D 点 B . E 点 C . F 点D 二、填空题（每小题3分，共30分） 12 .如图24—A —8,在O O中，弦AB等于O 则蚂蚁停的那一个点为（ .G点 O的半径，0C丄AB交O O于点C,则 8段路 ）

初三数学圆专题经典 (含答案)

九年级数学第二十四章圆测试题（A ） 一、选择题（每小题3分，共33分） 1．（2005·资阳）若⊙O 所在平面内一点P 到⊙O 上的点的最大距离为a ，最小距离为b （a>b ），则此圆的半径为（ ） A ． 2b a + B ．2b a - C ．2 2b a b a -+或 D ．b a b a -+或 2．（2005·浙江）如图24—A —1，⊙O 的直径为10，圆心O 到弦AB 的距离OM 的长为3，则弦 AB 的长是（ ） A ．4 B ．6 C ．7 D ．8 3．已知点O 为△ABC 的外心，若∠A=80°，则∠BOC 的度数为（ ） A ．40° B ．80° C ．160° D ．120° 4．如图24—A —2，△ABC 内接于⊙O ，若∠A=40°，则∠OBC 的度数为（ ） A ．20° B ．40° C ．50° D ．70° 5．如图24—A —3，小明同学设计了一个测量圆直径的工具，标有刻度的尺子OA 、OB 在O 点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O 点靠在圆周上，读得刻度OE=8个单位，OF=6个单位，则圆的直径为（ ） A ．12个单位 B ．10个单位 C ．1个单位 D ．15个单位 6．如图24—A —4，AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，若∠B=60°，则∠A 等于（ ） A ．80° B ．50° C ．40° D ．30° 7．如图24—A —5，P 为⊙O 外一点，PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B ，CD 切⊙O 于点E ，分别交PA 、PB 于点C 、D ，若PA=5，则△PCD 的周长为（ ） A ．5 B ．7 C ．8 D ．10 8．若粮仓顶部是圆锥形，且这个圆锥的底面直径为4m ，母线长为3m ，为防雨需在粮仓顶部铺上油毡，则这块油毡的面积是（ ） A ．2 6m B ．2 6m π C ．2 12m D ．2 12m π 9．如图24—A —6，两个同心圆，大圆的弦AB 与小圆相切于点P ，大圆的弦CD 经过点P ，且CD=13，PC=4，则两圆组成的圆环的面积是（ ） A ．16π B ．36π C ．52π D ．81π 10．已知在△ABC 中，AB=AC=13，BC=10，那么△ABC 的内切圆的半径为（ ） A ．310 B ．5 12 C ．2 D ． 3 图24—A — 5 图24—A — 6 图24—A — 1 图24—A — 2 图24—A — 3 图24—A —4

中考数学几何专题训练

专题八圆

8．正多边形的有关计算: （1）中心角n ，半径R N ，边心距r n ，边长a n ，内角n ，边数n；公式举例： (1) n = n 360 ；

（2）有关计算在Rt ΔAOC 中进行. (2) n 1802n ? = α 二 定理： 1．不在一直线上的三个点确定一个圆. 2．任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆. 3．正n 边形的半径和边心距把正n 边形分为2n 个全等的直角三角 三 公式： 1.有关的计算： （1）圆的周长C=2πR ；（2）弧长L= 180 R n π；（3）圆的面积S=πR 2 . （4）扇形面积S 扇形 =LR 2 1 360R n 2=π； （5）弓形面积S 弓形 =扇形面积S AOB ±ΔAOB 的面积.（如图） 圆柱侧（2）圆锥的侧面积：S 圆锥侧 =LR 21 =πrR. （L=2πr ，R 是圆锥母线长；r 是底面半径） 四 常识： 1． 圆是轴对称和中心对称图形.2． 圆心角的度数等于它所对弧的度数. 3． 三角形的外心 两边中垂线的交点 三角形的外接圆的圆心； 三角形的内心 两内角平分线的交点 三角形的内切圆的圆心.

A B C 第5 A B C 第6 O E 4． 直线与圆的位置关系：（其中d 表示圆心到直线的距离；其中r 表示圆的半径） 直线与圆相交 d ＜r ； 直线与圆相切 d=r ； 直线与圆相离 d ＞r. 5． 圆与圆的位置关系：（其中d 表示圆心到圆心的距离，其中R 、r 表示两个圆的半径且R ≥r ） 两圆外离 d ＞R+r ； 两圆外切 d=R+r ； 两圆相交 R-r ＜d ＜R+r ； 两圆内切 d=R-r ； 两圆内含 d ＜R-r. 6．证直线与圆相切，常利用：“已知交点连半径证垂直”和“不知交点作垂直证半径” 的方法加辅助线. 圆中考专题练习 一：选择题。 1. （2010红河自治州）如图2，已知BD 是⊙O 的直径，⊙O 的弦AC ⊥BD 于点E ，若∠AOD=60°，则∠DBC 的 度数为（ ） ° ° ° ° 2、（11哈尔滨）．如上图，AB 是⊙O 的弦，半径OA ＝2，∠AOB ＝120°，则弦AB 的长是（ ）． （A ）22 （B ）32 （C ）5 （D ）53 3、（2011陕西省）9.如图，点A 、B 、P 在⊙O 上，点P 为动点，要是△ABP 为等腰三角形，则所有符合条件的点P 有（ ） A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 4、（2011），安徽芜湖）如图所示，在圆O 内有折线OABC,其中OA=8,AB=12,∠A=∠B=60°,则BC 的长为（ ） A ．19 B ．16 C ．18 D ．20 5、（11·浙江湖州）如图，已知在Rt △ABC 中，∠ BAC ＝90°，AB ＝3， BC ＝5，若把Rt △ABC 绕直线AC 旋转一周，则所 得圆锥的侧面积等于 （ ）

人教版九年级上册数学 圆 几何综合专题练习(解析版)

人教版九年级上册数学 圆 几何综合专题练习（解析版） 一、初三数学 圆易错题压轴题（难） 1．如图，二次函数y=x 2-2mx+8m 的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边且OA≠OB ),交y 轴于点C ，且经过点（m ，9m ）,⊙E 过A 、B 、C 三点。 （1）求这条抛物线的解析式； （2）求点E 的坐标； （3）过抛物线上一点P （点P 不与B 、C 重合）作PQ ⊥x 轴于点Q ，是否存在这样的点P 使△PBQ 和△BOC 相似？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，说明理由 【答案】（1）y=x 2 +2x-8（2）（-1，- 72）（3）（-8，40），（-15 4，-1316），（-174 ，-25 16 ） 【解析】 分析：（1）把(),9m m 代入解析式，得：22289m m m m -+=，解这个方程可求出m 的值； （2）分别令y =0和x =0，求出OA ，OB ，O C 及AB 的长，过点E 作EG x ⊥轴于点 G ,EF y ⊥轴于点F ,连接CE ，AE ,设OF =GE =a ,根据AE CE = ，列方过程求出a 的值， 从而求出点E 的坐标； （3）设点P (a , a 2+2a -8)， 则2 28,2PQ a a BQ a =+-=-，然后分PBQ ∽CBO 时 和PBQ ∽BCO 时两种情况，列比例式求出a 的值，从而求出点P 的坐标. 详解：（1）把(),9m m 代入解析式，得：22289m m m m -+= 解得：121,0m m =-=（舍去） ∴228y x x =+-

（2）由（1）可得：2 28y x x =+-，当0y =时，124,2x x =-=; ∵点A 在点B 的左边 ∴42OA OB ，== ， ∴6AB OA OB =+=， 当0x =时，8y =-， ∴8OC = 过点E 作EG x ⊥轴于点G ,EF y ⊥轴于点F ,连接CE ，, 则11 6322 AG AB = =?= ， 设 ，则 ， 在Rt AGE ?中，， 在 中， ()2 22218CE EF CF a =+=+-， ∵AE CE = ， ∴()2 2918a a +=+- ， 解得：7 2a = ， ∴712E ? ?-- ?? ? ， ； （3）设点()2,28a a a P +-， 则2 28,2PQ a a BQ a =+-=-， a.当PBQ ?∽CBO ?时， PQ CO BQ OB =，即228822 a a a +-=-， 解得：10a =（舍去）；

初二上几何证明题100题专题训练

C A B C D E P 图 ⑴八年级上册几何题专题训练100题 1、 已知：在⊿ABC 中，∠A=900 ，AB=AC ，在BC 上任取一点P ，作PQ ∥AB 交AC 于Q ，作PR ∥CA 交BA 于R ，D 是BC 的中点，求证：⊿RDQ 是等腰直角三角形。 C B 2、 已知：在⊿ABC 中，∠A=900 ，AB=AC ，D 是AC 的中点，AE ⊥BD ，AE 延长线交BC 于F ，求证：∠ADB=∠FDC 。 3、 已知：在⊿ABC 中BD 、CE 是高，在BD 、CE 或其延长线上分别截取BM=AC 、CN=AB ，求证：MA ⊥NA 。 4、已知：如图(1)，在△ABC 中，BP 、CP 分别平分∠ABC 和∠ACB ，DE 过点P 交AB 于D ，交AC 于E ，且DE ∥BC ．求证：DE －DB=EC ．

5、在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC=90°，O为BC的中点。 (1)写出点O到△ABC的三个顶点A、B、C的距离的大小关系(不要求证明)； (2)如果点M、N分别在线段AB、AC上移动，在移动中保持AN＝BM，请判断△OMN的形状，并证明你的结论。 6、如图，△ABC为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，AE=BD， 连结EC、ED，求证：CE=DE 7、如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥BC且BC＝10，求△DCE的周长。 8. 如图，已知△EAB≌△DCE，AB，EC分别是两个三角形的最长边，∠A＝∠C＝35°，∠CDE＝100°，∠DEB＝10°，求∠AEC的度数． A B C O M N

九年级数学圆知识点总结

初三圆的知识点总结 如图：有五个元素，“知二可推三”；需记忆其中四个定理，即“垂径定理”“中径定理” “弧径定理”“中垂定理”. 几何表达式举例：∵ CD 过圆心∵CD ⊥AB 2.平行线夹弧定理： 圆的两条平行弦所夹的弧相等 . 几何表达式举例： 3.“角、弦、弧、距”定理：（同圆或等圆中） “等角对等弦”；“等弦对等角”；“等角对等弧”；“等弧对等角”；“等弧对等弦”；“等弦对等(优，劣)弧”；“等弦对等弦心距”；“等弦心距对等弦” . 几何表达式举例：(1) ∵∠AOB=∠COD ∴ AB = CD (2) ∵ AB = CD ∴∠AOB=∠COD 4．圆周角定理及推论: （1）圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半；（2）一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；(如图) （3）“等弧对等角”“等角对等弧”；（4）“直径对直角”“直角对直径”；(如图) （5）如三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形 .(如 图) （1）（2）（3） （4） 几何表达式举例： （1）∵∠ACB=2 1∠AOB ∴ …………… （2）∵ AB 是直径 ∴∠ACB=90° （3）∵∠ACB=90° ∴ AB 是直径 （4）∵ CD=AD=BD ∴ΔABC 是Rt Δ 5．圆内接四边形性质定理: 圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外 角都等于它的内对角 . 几何表达式举例：∵ ABCD 是圆内接四边形∴ ∠CDE =∠ABC ∠C+∠A =180° 6．切线的判定与性质定理: 如图：有三个元素，“知二可推一”；需记忆其中四个定理. （1）经过半径的外端并且垂直于这条 半径的直线是圆的切线； （2）圆的切线垂直于经过切点的半径； ※（3）经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；※（4）经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心. 几何表达式举例： （1）∵OC 是半径∵OC ⊥AB ∴AB 是切线 （2）∵OC 是半径 ∵AB 是切线∴OC ⊥AB （3） …………… 7．切线长定理: 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等；圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角. 几何表达式举例： ∵ PA 、PB 是切线∴ PA=PB ∵PO 过圆心∴∠APO =∠BPO 8．弦切角定理及其推论 : 几何表达式举例： A B C D O A B C D E O 平分优弧 过圆心 垂直于弦平分弦平分劣弧 ∴ AC BC AD BD == AE=BE A B C D E F O A B C O P A B O A B C D E A B C O A B C D ∵∴ ∥=AB CD AC BD A B C O 是半径垂直是切线

初二上几何证明题 题专题训练 好题汇编

八年级上册几何题专题训练50题 1. 如图，已知△EAB ≌△DCE ，AB ，EC 分别是两个三角形的最长边，∠A ＝∠C ＝35°，∠CDE ＝100°，∠DEB ＝10°，求∠AEC 的度数． 2. 如图,点E 、A 、B 、F 在同一条直线上,AD 与BC 交于点O, 已知∠CAE=∠DBF,AC=BD.求证： ∠C=∠D 3.如图，OP 平分∠AOB ，且OA=OB ． （1）写出图中三对你认为全等的三角形（注：不添加任何辅助线）； （2）从（1）中任选一个结论进行证明． 4. 已知：如图，AB ＝AC ，DB ＝DC ，AD 的延长线交BC 于点E ，求证：BE ＝EC 。 5. 如图，在△ABC 中，AB=AD=DC ，∠BAD=28°，求∠B 和∠C 的度数。 7. 写出下列命题的逆命题， 并判断逆命题的真假．如果是真命题，请给予证明；?如果是假命题，请举反例说明． 命题：有两边上的高相等的三角形是等腰三角形． 8. 如图，在△ABC 中，∠ACB=90o ， D 是AC 上的一点，且AD=BC ，DE AC 于D ， ∠EAB=90o ．求证：AB=AE ． 9. 如图，等边△ABC 中，点P 在△ABC 内，点Q 在△ABC 外，B ，P ，Q 三点在一条直线上，且∠ABP =∠ACQ ，BP =CQ ，问△APQ 是什么形状的三角形试证明你的结论． 10. 如图，△ABC 中，∠C=90°，AB 的中垂线DE 交AB 于E ，交BC 于D ，若AB=13，AC=5，则△ACD 的周长为多少 11. 如图所示，AC ⊥BC ，AD ⊥BD ，AD ＝BC ，CE ⊥AB ，DF ⊥AB ，垂足分别是E ，F ，求证：CE ＝DF. 12. 如图，已知△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，BE ⊥CE ，垂足为E ，AD ⊥CE ，垂足为D. (1)判断直线BE 与AD 的位置关系是____；BE 与AD 之间的距离是线段____的长； (2)若AD ＝6 cm ，BE ＝2 cm ，求BE 与AD 之间的距离及AB 的长． 13. 如图，已知 △ABC 、△ADE 均为等边三角形，点D 是BC 延长线上一点，连结CE ， 求证：BD=CE 14. 如图，△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =120°，AD ⊥AC 交BC ?于点D ，求证：?BC =3AD . 15. 如图，四边形ABCD 中，∠DAB=∠BCD=90°，M 为BD 中点，N 为AC 中点，求证：MN ⊥AC ． 16、已知：如图所示，在△ABC 中，∠ABC=45°，CD ⊥AB 于点D ，BE 平分∠ABC ，且BE ⊥AC 于点E ，与CD 相交于点F ，H 是BC 边的中点，连接DH 与BE 相交于点G ． （1）求证：BF=A C ；？ （2）求证：DG=DF ． 6. 如图，B 、D 、C 、E 在同一直线上，AB=AC ，AD=AE ，求证：BD=CE 。 B A E D C