九年级数学上册圆专题 辅助线--资料
∴
PO
PC
圆 专题一 辅助线
1． 遇到弦时（解决有关弦的问题时）
常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。或者连结圆心和弦
的两个端点，构成等腰三角形，还可连结圆周上一点和弦的两个端点。
作用：1、利用垂径定理；
2、利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系；
3、利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。
4、可得等腰三角形；
5、据圆周角的性质可得相等的圆周角。
例：如图，ＡＢ是⊙O 的直径,PO ⊥AB 交⊙O 于 P 点，弦 PN 与 AB 相交于点 M ， 求证：PM ?PN=2PO 2.
分析：要证明 PM ?PN=2PO 2，即证明 PM ?PC =PO 2，
过 O 点作 OC ⊥PN 于 C ，根据垂经定理 NC=PC ，只需证明
PM ?PC=PO 2，要证明 PM ?PC=PO 2 只需证明 △Rt POC ∽Rt △PMO.
证明: 过圆心 O 作 OC ⊥PN 于 C ，∴PC=
1
2
PN
∵PO ⊥AB, OC ⊥PN ，∴∠MOP=∠OCP=90°. 又∵∠OPC=∠MPO ，∴△Rt POC ∽△Rt PMO. 1
即∴PO 2= PM ?PC. ∴PO 2= PM ? PN ，∴PM ?PN=2PO 2.
PM
PO
2
【例 △1】如图，已知 ABC 内接于⊙O ，∠A=45°，BC=2，求⊙O 的面积。
A
O
B
C
【例 2】如图，⊙O 的直径为 10，弦 AB ＝8，P 是弦 AB 上一个动点，
那么 OP 的长的取值范围是_________．
【例 3】如图，弦 AB 的长等于⊙O 的半径，点 C 在弧 AMB 上，
则∠C 的度数是________.
∴ BM
2
2． 遇到有直径时
常常添加（画）直径所对的圆周角。
作用：利用圆周角的性质，得到直角或直角三角形。
例 如图，在 ABC 中，∠C=90°，以 BC 上一点 O 为圆心，以 OB 为半径的圆交 AB 于点 M ，交 BC 于 点 N ．
（1） 求证：BA ·BM=BC ·BN ；
（2） 如果 CM 是⊙O 的切线，N 为 OC 的中点，当 AC=3 时，求 AB 的值．
分析：要证 BA ·BM=BC ·BN ，需证△ACB ∽△NMB ，而∠C=90°，所以需要△NMB 中有个直角，而 BN 是圆 O 的直径，所以连结 MN 可得∠BMN=90°。
（1） 证明：连结 MN ，则∠BMN=90°=∠ACB A
∴△ACB ∽△NMB
BC AB BN
M
∴AB ·BM=BC ·BN
（2） 解：连结 OM ，则∠OMC=90° ∵N 为 OC 中点
∴MN=ON=OM ，∴∠MON=60° ∵OM=OB ，∴∠B= 1 ∠MON=30° ∵∠ACB=90°，∴AB=2AC=2×3=6
【例 4】如图，AB 是⊙O 的直径，AB=4，弦 BC=2,
∠B=
3． 遇到 90°的圆周角时
C
N O
C
A
O B
B
常常连结两条弦没有公共点的另一端点。
作用：利用圆周角的性质，可得到直径。
【例 5】如图，AB 、AC 是⊙O 的的两条弦，∠BAC=90°，
A
AB=6，AC=8，⊙O 的半径是
B C
O
5． 遇到有切线时
（1）常常添加过切点的半径（连结圆心和切点） 2）常常添加连结圆上一点和切点
作用：1、可构成弦切角，从而利用弦切角定理。
2、利用切线的性质定理可得 OA ⊥AB ，得到直角或直角三角形。
【例6】如图，AB是⊙O的直径，弦AC与AB成30°角，CD与⊙O切于C，交AB?的延长线于D，求证：AC=CD．
6．遇到证明某一直线是圆的切线时
切线判定分两种：公共点未知作垂线、公共点已知作半径
切线的判定定理是：“经过半径的外端,并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.”，就是说，要判定一条直
线是否是切线，应同时满足这样的两条：（1）直线经过半径的外端，（2）直线垂直于这条半径，所以,在
证明直线是切线时,往往需要通过作恰当的辅助线,才能顺利地解决问题.下面是添辅助线的小规律.
1．无点作垂线
需证明的切线，条件中未告之与圆有交点，则联想切线的定义，过圆心作该直线的垂线，证明垂足到圆心的距离等于半径.
例7．已知：如图，AB是⊙O的直径，AD⊥AB于A，BC⊥AB于B，若∠DOC=90°.
求证：DC是⊙O的切线.
分析：DC与⊙O没有交点，“无点作垂线”，过圆心O作OE⊥DC，只需证OE等于圆的半径.因为AO为
半径，若能证OE=OA即可.而OE、OA在△DEO、△DAO中，需证明△DEO ≌△DAO
证明：作OE⊥DC于E点，取DC的中点F，连结OF.
又∵∠DOC=90°.∴FO=FD∴∠1=∠3.
∵AD⊥AB，BC⊥AB,∴BC∥AD,∴OF为梯形的中位线.
∴OF∥AD.∴∠2=∠3.∴∠1=∠2.
∴DO是∠ADE的角平分线.∵OA⊥DA，OE⊥DC，
∴OA=OE=圆的半径.∴DC是⊙O的切线.
2．有点连圆心.
当直线和圆的公共点已知时，联想切线的判定定理，只要将该点与圆心连结，再证明该半径与直线垂直.
例8．已知：如图，AB为⊙O的直径，BC为⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD，求证：CD是⊙O的切线.
分析：D在⊙O上，有点连圆心，连结DO，证明DO⊥DC即可.
证明：连结DO，∵OC∥AD∴∠DAO=∠COB，∠ADO=∠DOC
而∠DAO=∠ADO∴∠DOC=∠COB，又OC=OC，DO=BO∴△DOC≌△BOC
∴∠ODC=∠OBC，∵BC为⊙O的切线，切点为B
∴∠OBC=90°，∴∠ODC=90°，又D在⊙O上，
∴CD是⊙O的切线.
【例7】如图所示，已知AB是⊙O的直径，A C⊥L于C，BD⊥L于D，且AC+BD=AB。
求证：直线L与⊙O相切。
【例8△
】如图，ABO中，OA=OB，以O为圆心的圆经过AB中点C，且分别交OA、OB于点E、F．求证：AB是⊙O切线；
7．遇到两相交切线时（切线长）
常常连结切点和圆心、连结圆心和圆外的一点、连结两切点。
作用：据切线长及其它性质，可得到：①角、线段的等量关系；②垂直关系；③全等、相似三角形。
【例9】如图，P是⊙O外一点，PA、PB分别和⊙O切于A、B，C是弧AB上A
D
任意一点，过C作⊙O的切线分别交PA、PB于D、△E，若PDE的周长为12，则PA长为______________O
C P
B E
8．遇到三角形的内切圆时
连结内心到各三角形顶点，或过内心作三角形各边的垂线段。
作用：利用内心的性质，可得：
①内心到三角形三个顶点的连线是三角形的角平分线；
②内心到三角形三条边的距离相等。
【例10△】如图，ABC中，∠A=45°，I是内心，则∠BIC=
【例11】如图，△Rt ABC中，AC=8，BC=6，∠C=90°，⊙I分别切AC，BC，AB于D，E，F，求Rt △ABC的内心I与外心O之间的距离．
9．遇到三角形的外接圆时，连结外心和各顶点
作用：外心到三角形各顶点的距离相等。
[课后冲浪]
1．已知：P是⊙O外一点，PB，PD分别交⊙O于A、B和C、D，且AB=CD.求证：
PO平分∠BPD．
..
2．如图，ΔABC中，∠C=90°，圆O分别与AC、BC相切于M、N，点O在AB上，如果AO=15㎝，BO=10㎝，求圆O的半径.
A
M
o
□.
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3．已知： ABCD 的对角线 AC 、BD 交于 O 点，BC 切⊙O 于 E 点.求证：AD 也和⊙O 相切.
A
D
O
B
E C
4．如图，学校 A 附近有一公路 MN ，一拖拉机从 P 点出发向 PN 方向行驶，已知∠NPA=30°，AP=160 米，假 使拖拉机行使时，A 周围 100 米以内受到噪音影响，问：当拖拉机向 PN 方向行驶时，学校是否会受到噪音影响？ 请说明理由.如果拖拉机速度为 18 千米∕小时，则受噪音影响的时间是多少秒？
5．如图，A 是半径为 1 的圆 O 外的一点，OA=2，AB 是圆 O 的切线，B 是切点，弦 BC ∥OA ，连结 AC ，求阴 影部分的面积.
C
B
O
A
我们可以把圆中常用辅助线的规律总结为如下歌诀：
弦与弦心距，密切紧相连；直径对直角，圆心作半径；已知有两圆，常画连心线；. 遇到相交圆，连接公共弦；遇到相切圆，作条公切线；“有点连圆心，无点作垂线.” 切线证明法，规律记心间.