高考文科数学练习题抛物线

第五节 抛物线

[考纲要求]

1．掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程．

2．掌握抛物线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)． 3．了解抛物线的简单应用． 4．理解数形结合思想．

突破点一 抛物线的定义及其应用

[基本知识]

抛物线的定义

平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线．

[基本能力]

一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)

(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( ) (2)AB 为抛物线y 2＝4x 的过焦点F 的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝1，y 1y 2＝－4，弦长|AB |＝x 1＋x 2＋2.( )

答案：(1)× (2)√ 二、填空题

1．已知动点P 到定点(2,0)的距离和它到直线l ：x ＝－2的距离相等，则点P 的轨迹方程为________．

答案：y 2＝8x

2．已知抛物线C ：y 2＝x 的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，|AF |＝5

4x 0，则x 0＝________.

答案：1

3．已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为________．

答案：5

4

[全析考法]

考法一 抛物线的定义及应用

[例1] (1)(2019·赣州模拟)若点A 的坐标为(3,2)，F 是抛物线y 2＝2x 的焦点，点M 在抛物线上移动时，使|MF |＋|MA |取得最小值的M 的坐标为( )

A ．(0,0) B.????1

2，1 C ．(1，2)

D ．(2,2)

(2)(2019·襄阳测试)已知抛物线y ＝1

2x 2的焦点为F ，准线为l ，M 在l 上，线段MF 与抛

物线交于点N ，若|MN |＝2|NF |，则|MF |＝( )

A ．2

B ．3 C. 2

D. 3

[解析] (1)过M 点作准线的垂线，垂足是N ，则|MF |＋|MA |＝|MN |＋|MA |，当A ，M ，N 三点共线时，|MF |＋|MA |取得最小值，此时M (2,2)．

(2)如图，过N 作准线的垂线NH ，垂足为H .根据抛物线的定义可知|NH |＝|NF |，在Rt △NHM 中，|NM |＝2|NH |，则∠NMH ＝45°.在△MFK 中，∠FMK ＝45°，所以|MF |＝2|FK |.而|FK |＝1.所以|MF |＝ 2.故选C.

[答案] (1)D (2)C [方法技巧]

利用抛物线的定义解决问题时，应灵活地进行抛物线上的点到焦点距离与其到准线距离间的等价转化．“看到准线应该想到焦点，看到焦点应该想到准线”，这是解决抛物线距离有关问题的有效途径．

考法二 焦点弦问题

焦点弦的常用结论

以抛物线y 2＝2px (p ＞0)为例，设AB 是抛物线的过焦点的一条弦(焦点弦)，F 是抛物线的焦点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，A ，B 在准线上的射影为A 1，B 1，则有以下结论：

(1)x 1x 2＝p 2

4

，y 1y 2＝－p 2；

(2)|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2p

sin 2θ(其中θ为直线AB 的倾斜角)，抛物线的通径长为2p ，通径

是最短的焦点弦；

(3)1|AF |＋1|BF |

＝2p 为定值； (4)以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切； (5)以AF (或BF )为直径的圆与y 轴相切；

(6)以A 1B 1为直径的圆与直线AB 相切，切点为F ，∠A 1FB 1＝90°； (7)A ，O ，B 1三点共线，B ，O ，A 1三点也共线．

[例2] (2019·长沙四校联考)过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F 的直线l 与抛物线C 交于P ，Q 两点，与抛物线的准线交于点M ，且FM ―→＝3FP ―→，则|FP ―→

|＝( )

23C.43

D.34

[解析] 如图，不妨设Q 点在第一象限，过P 作PN 垂直于抛物线的准线，垂足为N ，

由抛物线定义可知|PF |＝|PN |， 又因为FM ―→＝3FP ―→， 所以PM ―→＝2FP ―→， 所以|PM |＝2|PF |＝2|PN |， 在Rt △PNM 中，cos ∠MPN ＝

|PN ||PM |＝1

2

， 由抛物线焦点弦的性质可知|PF ―→

|＝p

1＋cos ∠MPN

＝

2

1＋12＝4

3.故选C. [答案] C [方法技巧]

焦点弦问题的求解策略

解决焦点弦问题的关键是“设而不求”方法的应用，解题时，设出直线与抛物线两交点的坐标，根据抛物线的方程正确表示出焦点弦长，再利用已知条件求解．

[集训冲关]

1.[考法一]若抛物线y 2＝4x 上一点P 到其焦点F 的距离为2，O 为坐标原点，则△OFP 的面积为( )

A.12 B ．1 C.32

D ．2

解析：选B 设P (x P ，y P )，由题意可得抛物线的焦点为F (1，0)，准线方程为x ＝－1，又点P 到焦点F 的距离为2，∴由抛物线的定义知点P 到准线的距离为2，∴x P ＋1＝2，得x P ＝1，代入抛物线方程得|y P |＝2，∴△OFP 的面积为S ＝12·|OF |·|y P |＝1

2

×1×2＝1.故选B.

2.[考法二]已知AB 是抛物线y 2＝2x 的一条焦点弦，|AB |＝4，则AB 中点C 的横坐标是( )

A.2

B.1

2

22

解析：选C 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝4，又p ＝1，∴x 1＋x 2＝3，∴点C 的横坐标是x 1＋x 22＝3

2

.故选C.

3.[考法一]已知M 是抛物线x 2＝4y 上一点，F 为其焦点，点A 在圆C ：(x ＋1)2＋(y －5)2

＝1上，则|MA |＋|MF |的最小值是________．

解析：依题意，由点M 向抛物线x 2＝4y 的准线l ：y ＝－1引垂线，垂足为M 1(图略)，则有|MA |＋|MF |＝|MA |＋|MM 1|，结合图形可知|MA |＋|MM 1|的最小值等于圆心C (－1，5)到y ＝－1的距离再减去圆C 的半径，即等于6－1＝5，因此|MA |＋|MF |的最小值是5.

答案：5

突破点二 抛物线的标准方程及性质

[基本知识]

图形

标准方程 y 2＝2px (p ＞0)

y 2＝－2px (p ＞0)

x 2＝2py (p ＞0)

x 2＝－2py (p ＞0)

p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离

范围 x ≥0，y ∈R

x ≤0，y ∈R

y ≥0，x ∈R

y ≤0，x ∈R

焦点坐标 ???

?p 2，0 ???

?－p 2，0 ???

?0，p 2 ?

???0，－p 2

准线方程 x ＝－p 2

x ＝p 2

y ＝－p 2

y ＝p 2

离心率 e ＝1

焦半径 |PF |＝x 0＋p

2

|PF |＝－x 0＋p

2

|PF |＝y 0＋p

2

|PF |＝－y 0＋p

2

[基本能力]

一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)

(1)方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是????

a 4，0，准线方程是x ＝－a

4

.( )

(2)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．( )

(3)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切．( ) 答案：(1)× (2)× (3)×

二、填空题

1．已知抛物线的对称轴为x 轴，顶点在原点，焦点在直线2x －4y ＋11＝0上，则此抛物线的方程是________．

答案：y 2＝－22x

2．抛物线y ＝ax 2的准线方程是y ＝1，则a 的值为________． 答案：－1

4

3．已知F 是抛物线x 2＝8y 的焦点，若抛物线上的点A 到x 轴的距离为5，则|AF |＝________.

答案：7

[全析考法]

考法一 求抛物线的标准方程

[例1] (1)(2019·河南中原名校联考)抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，O 为坐标原点，M 为抛物线上一点，且|MF |＝4|OF |，△MFO 的面积为43，则抛物线的方程为( )

A ．y 2＝6x

B ．y 2＝8x

C ．y 2＝16x

D ．y 2＝

15x

2

(2)(2019·江西协作体联考)设抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |＝5.若以MF 为直径的圆过点(0,2)，则C 的方程为( )

A ．y 2＝4x 或y 2＝8x

B ．y 2＝2x 或y 2＝8x

C ．y 2＝4x 或y 2＝16x

D ．y 2＝2x 或y 2＝16x

[解析] (1)设M (x ，y )，因为|OF |＝p

2，|MF |＝4|OF |，所以|MF |＝2p ，由抛物线定义知

x ＋p 2＝2p ，所以x ＝32p ，所以y ＝±3p ，又△MFO 的面积为43，所以12×p

2×3p ＝43，

解得p ＝4(p ＝－4舍去)．所以抛物线的方程为y 2＝8x .

(2)由已知得抛物线的焦点F ????p 2，0，设点A (0,2)，抛物线上点M (x 0，y 0)，则AF ―→

＝????p 2，－2，AM ―→＝????y 2

02p ，y 0－2.由已知得AF ―→·AM ―→＝0，即y 20－8y 0＋16＝0，因而y 0＝4，M ????8p ，4.由|MF |＝5得，

???

?8p －p 22＋16＝5，又p ＞0，解得p ＝2或p ＝8，故选C.

[答案] (1)B (2)C [方法技巧]

求抛物线方程的3个注意点

(1)当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线方程属于四种类型中的哪一种．

(2)要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系． (3)要注意参数p 的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题． 考法二 抛物线的几何性质

[例2] (1)(2019·兰州双基过关考试)抛物线y 2＝2px (p ＞0)上横坐标为6的点到此抛物线焦点的距离为10，则该抛物线的焦点到准线的距离为( )

A ．4

B ．8

C ．16

D ．32

(2)(2018·赣州二模)抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，A 是抛物线上一点，若A 到F 的距离是A 到y 轴距离的两倍，且三角形OAF 的面积为1，O 为坐标原点，则p 的值为( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

[解析] (1)设抛物线的准线方程为x ＝－p

2(p ＞0)，如图，则根据抛

物线的性质有|PF |＝p

2＋6＝10，解得p ＝8，所以抛物线的焦点到准线的

距离为8.

(2)不妨设A (x 0，y 0)在第一象限，

由题意可知??

?

x 0＋p

2＝2x 0，

S

△OAF ＝12·p

2·y 0

＝1，即???

x 0＝p 2

，

y 0

＝4

p ，

∴A ????p 2，4p ，

又∵点A 在抛物线y 2＝2px 上，∴16

p 2＝2p ×p 2，即p 4＝16，

又∵p ＞0，∴p ＝2，故选B. [答案] (1)B (2)B [方法技巧]

用抛物线几何性质的技巧

涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题．

[集训冲关]

1.[考法一]顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P (－4，－2)的抛物线的标准方程是( )

A ．y 2＝－x

B ．x 2＝－8y

C ．y 2＝－8x 或x 2＝－y

D ．y 2＝－x 或x 2＝－8y

解析：选D 设抛物线为y 2＝mx ，代入点P (－4，－2)，解得m ＝－1，则抛物线方程为y 2＝－x ；设抛物线为x 2＝ny ，代入点P (－4，－2)，解得n ＝－8，则抛物线方程为x 2＝－8y .

2.[考法二]已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，点A (0，－3)．若线段FA 与抛物线C 相交于点M ，则|MF |＝( )

A.43

B.53

C.23

D.33

解析：选A 由题意，F (1,0)，|AF |＝2，设|MF |＝d ，则M 到准线的距离为d ，M 的横坐标为d －1，由三角形相似，可得d －11＝2－d 2，所以d ＝4

3

，故选A.

3.[考法一、二]已知A 是抛物线y 2＝2px (p ＞0)上一点，F 是抛物线的焦点，O 为坐标原点，当|AF |＝4时，∠OFA ＝120°，则抛物线的准线方程是( )

A ．x ＝－1

B ．y ＝－1

C ．x ＝－2

D ．y ＝－2

解析：选A 过A 向准线作垂线，设垂足为B ，准线与x 轴的交点为D .因为∠OFA ＝120°，所以△ABF 为等边三角形，∠DBF ＝30°，从而p ＝|DF |＝2，因此抛物线的准线方程为x ＝－1.选A.

[课时跟踪检测]

[A 级 基础题——基稳才能楼高]

1．(2019·石家庄模拟)抛物线y ＝2x 2的准线方程是( ) A ．x ＝1

2

B ．x ＝－1

2

C ．y ＝1

8

D ．y ＝－1

8

解析：选D 抛物线y ＝2x 2的标准方程为x 2＝12y ，其准线方程为y ＝－1

8

.

2．已知抛物线C 与双曲线x 2－y 2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C 的方程是( )

A ．y 2＝±22x

B ．y 2＝±2x

C ．y 2＝±4x

D ．y 2＝±42x

解析：选D 由题意知双曲线的焦点为(－2，0)，(2，0)．设抛物线C 的方程为y 2

＝±2px (p ＞0)，则p

2

＝2，所以p ＝22，所以抛物线C 的方程为y 2＝±42x .故选D.

3．(2019·齐齐哈尔一模)若抛物线x 2＝4y 上的点P (m ，n )到其焦点的距离为5，则n ＝( )

A ．194

B ．92

C ．3

D ．4

解析： 选D 抛物线x 2＝4y 的准线方程为y ＝－1，根据抛物线的定义可知，5＝n ＋1，得n ＝4，故选D.

4．(2019·衡水金卷高三联考)抛物线有如下光学性质：由焦点发出的光线，经抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线上的一点反射后，必经过抛物线的焦点．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，一平行于x 轴的光线从点M (3,1)射入，经过抛物线上的点A 反射后，再经抛物线上的另一点B 射出，则直线AB 的斜率为( )

A.43 B ．－4

3

C ．±43

D ．－

169

解析：选B 将y ＝1代入y 2＝4x 可得x ＝1

4，即A ????14，1.由题可知，直线AB 经过焦点F (1,0)，所以直线AB 的斜率k ＝1－014

－1＝－43，故选B.

5．(2019·珠海模拟)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，点P 为抛物线上一点，且在第一象限，PA ⊥l ，垂足为A ，|PF |＝4，则直线AF 的倾斜角等于( )

A.7π12

B.2π3

C.3π4

D.5π6

解析：选B 由抛物线y 2＝4x 知焦点F 的坐标为(1,0)，准线l 的方程为x ＝－1，由抛物线定义可知|PA |＝|PF |＝4，所以点P 的坐标为(3,23)，因此点A 的坐标为(－1，23)，所以k AF ＝

23－0－1－1

＝－3，所以直线AF 的倾斜角等于2π

3，故选B.

6．(2019·江苏高邮模拟)抛物线y 2＝1

4

x 的焦点坐标是________．

解析：由于抛物线y 2＝2px 的焦点坐标为????p 2，0，因此抛物线y 2＝1

4

x 的焦点坐标为???

?116，0.

答案：????116，0

[B 级 保分题——准做快做达标]

1．(2019·武汉调研)过抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点F ，且斜率为3的直线交C 于点M (M 在x 轴上方)，l 为C 的准线，点N 在l 上且MN ⊥l ，若|NF |＝4，则M 到直线NF 的距离为( )

A. 5 B ．2 3 C ．3 3

D ．2 2

解析：选B ∵直线MF 的斜率为3，MN ⊥l ，∴∠NMF ＝60°，又|MF |＝|MN |，且|NF |＝4，∴△NMF 是边长为4的等边三角形，∴M 到直线NF 的距离为2 3.故选B.

2．(2019·长沙质检)设经过抛物线C 的焦点的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，那么抛物线C 的准线与以AB 为直径的圆的位置关系为( )

A ．相离

B ．相切

C ．相交但不经过圆心

D ．相交且经过圆心

解析：选B 设圆心为M ，过点A ，B ，M 分别作准线 l 的垂线，垂足分别为A 1，B 1，M 1，则|MM 1|＝1

2(|AA 1|＋|BB 1|)．由抛物线定义可知|BF |＝|BB 1|，|AF |＝|AA 1|，∴|AB |＝|BB 1|

＋|AA 1|，|MM 1|＝1

2|AB |，即圆心M 到准线l 的距离等于圆的半径，故以AB 为直径的圆与

抛物线C 的准线相切．

3．(2019·河南中原名校质检)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线与x 轴的交点为M ，N 为抛物线上的一点，且满足|NF |＝

3

2

|MN |，则点F 到MN 的距离为( ) A.12 B ．1 C. 3

D ．2

解析：选B 由题可知|MF |＝2，设点N 到准线的距离为d ，由抛物线的定义可得d ＝|NF |，因为|NF |＝

32|MN |，所以cos ∠NMF ＝d |MN |＝|NF ||MN |＝3

2

，所以sin ∠NMF ＝1－

????322＝12

，

所以点F 到MN 的距离为|MF |sin ∠NMF ＝2×1

2

＝1，故选B.

4．(2019·辽宁五校协作体模考)抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，过点F 作斜率为

3

3

的直线l 与抛物线在y 轴右侧的部分相交于点A ，过点A 作抛物线准线的垂线，垂足为H ，则△AHF 的面积是( )

A ．4

B ．3 3

C ．4 3

D ．8

解析：选C 由抛物线的定义可得|AF |＝|AH |，∵直线AF 的斜率为

3

3

，∴直线AF 的

倾斜角为30°，∵AH 垂直于准线，∴∠FAH ＝ 60°，故△AHF 为等边三角形．设A ????m ，m 2

4，m ＞0，由|AF |＝|AH |，得m 24－1＝12·????

m 24＋1，解得m ＝23，故等边△AHF 的边长|AH |＝4，∴△AHF 的面积是1

2

×4×4sin 60°＝4 3.故选C.

5．(2019·邯郸质检)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)过点A ????12，2，其准线与x 轴交于点B ，直线AB 与抛物线的另一个交点为M ，若MB ―→＝λAB ―→

，则实数λ为( )

A ．13

B ．12

C ．2

D ．3

解析：选C 把点A ????12，2代入抛物线的方程得2＝2p ×1

2，解得p ＝2，所以抛物线的方程为

y 2＝

4x ，则B (－1,0)，设M ????y 2

M 4，y M ，则AB ―→＝???

?－32，－2，MB ―→

＝???

?－1－y 2M

4，－y M ，由MB ―→＝λAB ―→，得?????

－1－y 2M 4＝－32λ，－y M ＝－2λ，解得λ＝2或λ＝1(舍去)，故选C.

6．(2019·辽宁葫芦岛期中)已知直线l ：3x －y －a ＝0与抛物线x 2＝4y 交于P ，Q 两点，过P ，Q 分别作l 的垂线与y 轴交于M ，N 两点，若|MN |＝163

3

，则a ＝( )

A ．－1

B ．1

C ．－2

D ．2

解析：选D ∵直线l 的方程为3x －y －a ＝0，∴直线l 的倾斜角为60°，∵直线l 与抛物线x 2＝4y 交于P ，Q 两点，过P ，Q 分别作l 的垂线与y 轴交于M ，N 两点，且|MN |＝163

3

，

∴|P Q |＝163

3sin 60°＝8.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，联立方程，得???

3x －y －a ＝0，x 2＝4y ，

得x 2－43

x ＋4a ＝0，由Δ＞0得a ＜3，∴x 1＋x 2＝43，x 1x 2＝4a ，∴|P Q |＝1＋3·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝8，即48－16a ＝16，∴a ＝2，故选D.

7．(2019·华大新高考质检)已知抛物线C ：y 2＝4x ，点D (2,0)，E (4,0)，M 是抛物线C 上异于原点O 的动点，连接ME 并延长交抛物线C 于点N ，连接MD ，ND 并分别延长交抛物线C 于点P ，Q ，连接P Q ，若直线MN ，P Q 的斜率存在且分别为k 1，k 2，则k 2

k 1

＝( )

A ．4

B ．3

C ．2

D ．1

解析：选C 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，P (x 3，y 3)，Q (x 4，y 4)，则直线MD 的方程为x ＝x 1－2y 1y ＋2，代入抛物线C ：y 2＝4x ，整理得y 2－4(x 1－2)y 1y －8＝0，所以y 1y 3＝－8，即y 3

＝－8y 1，从而x 3＝16y 21，故P ????16y 21，－8y 1，同理可得Q ????16y 22，－8y 2，因为M ，E ，N 三点共线，所以y 1x 1－4＝y 2x 2－4，得y 1y 2＝－16，所以k 2＝－8y 2＋8

y 116y 22－16y 2

1＝8y 1＋y 2，k 1＝y 2－y 1x 2－x 1＝y 2－y 1y 224－y 214＝4

y 1＋y 2

，

所以k 2

k 1

＝2.故选C.

8．(2019·辽宁五校联考)抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，N 为准线l 上一点，M 为y 轴上一点，∠MNF 为直角，若线段MF 的中点E 在抛物线C 上，则△MNF 的面积为( )

A ．

2

2

B ． 2

C ．322

D ．3 2

解析：选C 如图所示，不妨设点N 在第二象限，连接EN ，易知F (1,0)，因为∠MNF 为直角，点E 为线段MF 的中点，所以|EM |＝|EF |＝|EN |，又E 在抛物线C 上，所以EN ⊥l ，E ????12，2，所以N (－1，2)，M (0，22)，所以|NF |＝6，|NM |＝3，所以△MNF 的面积为32

2

，故选C.

9．(2019·河南百校联考)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，点M 在抛物线C 上，且|MO |＝|MF |＝32

(O 为坐标原点)，则OM ―→·MF ―→＝( )

A ．－74

B ．74

C ．94

D ．－94

解析：选A 不妨设M (m ，2pm )(m ＞0)，易知抛物线C 的焦点F 的坐标为????

p 2，0，

因为|MO |＝|MF |＝3

2，所以???

m 2

＋2pm ＝9

4，

m ＋p 2＝3

2，

解得m ＝12

，p ＝2，所以OM ―→＝????12，2，MF ―→

＝????12，－2，所以OM ―→·MF ―→＝1

4－2＝－74

.故选A. 10．(2019·石家庄毕业班摸底)若抛物线y 2＝4x 上有一条长度为10的动弦AB ，则AB 的中点到y 轴的最短距离为________．

解析：设抛物线的焦点为F ，准线为l ：x ＝－1，弦AB 的中点为M ，则点M 到准线l 的距离d ＝

|AF |＋|BF |2≥|AB |

2

，所以点M 到准线l 的距离的最小值为5，所以点M 到y 轴的最短距离为5－1＝4.

答案：4

11．(2018·北京高考)已知直线l 过点(1,0)且垂直于x 轴，若l 被抛物线y 2＝4ax 截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为________．

解析：由题知直线l 的方程为x ＝1，则直线与抛物线的交点为(1，±2a )(a ＞0)．又直线被抛物线截得的线段长为4，所以4a ＝4，即a ＝1.所以抛物线的焦点坐标为(1,0)．

答案：(1,0)

12．(2019·广州海珠区一模)已知抛物线

y 2＝2px (p ＞0)的焦点

F 与双曲线x 23

－y 2

＝1的右

焦点重合，若A 为抛物线在第一象限上的一点，且|AF |＝3，则直线AF 的斜率为________．

解析：∵双曲线x 23－y 2

＝1的右焦点为(2,0)，∴抛物线方程为y 2＝8x ，∵|AF |＝3，∴x A

＋2＝3，得x A ＝1，代入抛物线方程可得y A ＝±2 2.∵点A 在第一象限，∴A (1，22)，∴直线AF 的斜率为

22

1－2

＝－2 2. 答案：－2 2

13．(2019·唐山五校摸底)过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，若|AF |＝2|BF |＝6，则p ＝________.

解析：法一：设直线AB 的倾斜角为α，分别过A ，B 作准线l 的垂线AA ′，BB ′，垂足分别为A ′，B ′，则|AA ′|＝6，|BB ′|＝3，过点B 作AA ′的垂线BC ，垂足为C ，则|AC |＝3，|BC |＝62，∠BAC ＝α，所以sin α＝629＝223，所以|AB |＝2p sin 2α＝9，解得p

＝4.

法二：设直线AB 的倾斜角为α，不妨设A 在x 轴上方，B 在x 轴下方，则|AF |＝p

1－cos α

，

|BF |＝p 1＋cos α，则有p 1－cos α＝2×p 1＋cos α，解得cos α＝1

3，又|AF |＝p 1－cos α

＝6，所以p

＝4.

法三：由结论1|AF |＋1|BF |＝2p ，得16＋13＝2

p ，解得p ＝4.

答案：4

14．(2019·武汉调研)已知抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)和定点M (0,1)，设过点M 的动直线交抛物线C 于A ，B 两点，抛物线C 在A ，B 处的切线的交点为N .

(1)若N 在以AB 为直径的圆上，求p 的值；

(2)若△ABN 的面积的最小值为4，求抛物线C 的方程．

解：由题意知，直线AB 的斜率一定存在，∴设直线AB ：y ＝kx ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，

将直线AB 的方程代入抛物线C 的方程得x 2－2pkx －2p ＝0，则x 1＋x 2＝2pk ，x 1x 2＝－2p .①

(1)由x 2＝2py 得y ′＝x p ，则A ，B 处的切线斜率的乘积为x 1x 2p 2＝－2

p ，

∵点N 在以AB 为直径的圆上， ∴AN ⊥BN ，∴－2

p ＝－1，∴p ＝2.

(2)易得直线AN ：y －y 1＝x 1p (x －x 1)，直线BN ：y －y 2＝x 2

p

(x －x 2)，

联立，得???

y －y 1＝x 1

p

(x －x 1)，

y －y 2

＝x

2

p (x －x 2

)，

结合①式，解得????

?

x ＝pk ，y ＝－1，

即N (pk ，－1)．

|AB |＝1＋k 2|x 2－x 1|＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋k 24p 2k 2＋8p ， 点N 到直线AB 的距离d ＝|kx N ＋1－y N |1＋k 2＝|pk 2＋2|

1＋k 2

，

则S △ABN ＝1

2·|AB |·d ＝p (pk 2＋2)3≥22p ，当k ＝0时，取等号，

∵△ABN 的面积的最小值为4，

∴22p ＝4，∴p ＝2，故抛物线C 的方程为x 2＝4y .

15．(2019·贵阳摸底)过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F 且斜率为k 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，且|AB |＝8.

(1)求直线l 的方程；

(2)若A 关于x 轴的对称点为D ，抛物线的准线与x 轴的交点为E ，求证：B ，D ，E 三点共线．

解：(1)F 的坐标为(1,0)，则l 的方程为y ＝k (x －1)，代入抛物线方程y 2＝4x 得k 2x 2－(2k 2

＋4)x ＋k 2＝0，

由题意知k ≠0，且[－(2k 2＋4)]2－4k 2·k 2＝16(k 2＋1)＞0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴x 1＋x 2＝2k 2＋4

k 2，x 1x 2＝1，

由抛物线的定义知|AB |＝x 1＋x 2＋2＝8， ∴2k 2＋4

k 2＝6，∴k 2＝1，即k ＝±1，

∴直线l 的方程为y ＝±(x －1)．

(2)证明：由抛物线的对称性知，D 点的坐标为(x 1，－y 1)， 又E (－1,0)， ∴k EB －k ED ＝

y 2

x 2＋1－－y 1x 1＋1＝y 2(x 1＋1)＋y 1(x 2＋1)(x 1＋1)(x 2＋1)

， y 2(x 1＋1)＋y 1(x 2＋1)＝y 2????y 2

14＋1＋y 1????y 2

2

4＋1 ＝

y 1y 2

4

(y 1＋y 2)＋(y 1＋y 2)＝(y 1＋y 2)????y 1y 24＋1. 由(1)知x 1x 2＝1，∴(y 1y 2)2＝16x 1x 2＝16， 又y 1与y 2异号， ∴y 1y 2＝－4，即

y 1y 2

4

＋1＝0，∴k EB ＝k ED ， 又ED 与EB 有公共点E ，∴B ，D ，E 三点共线．

高中数学集合历届高考题及答案解析

(A) {1,2} (B) {0,1,2} (C){x|0 ≤x<3} (D) {x|0 ≤x ≤3} (C) { x －1≤ x ≤1} (D) { x －1≤ x < 1} 3. （ 2010辽宁文）（1）已知集合 U 1,3,5,7,9 ， A 1,5,7 ，则C U A 7. ( 2010山东文)(1)已知全集 U R ，集合 M x x 2 4 0 ，则 C U M = A. x 2 x 2 B. x 2 x 2 C ． x x 2或 x 2 D. x x 2或 x 2 2 8. ( 2010北京理)(1) 集合 P {x Z 0 x 3},M {x Z x 2 9}，则 PI M = 第一章 集合与常用逻辑用 语 一、选择题 1. （ 2010浙江理）（1）设 P={x ︱x <4},Q={x ︱ x 2 <4}，则 A ) p Q B )Q P ( C ) p CR Q (D ) Q CR P 2. （2010 陕西文） 1. 集合 A ={x －1≤ x ≤2}， B ＝{ x x<1},则 A ∩B =（ (A){ x x< 1} B ){x －1≤ x≤2} A ) 1,3 B ) 3,7,9 C ) 3,5,9 D ) 3,9 4. ( 2010辽宁理) 1.已知 A ，B 均为集合 U={1,3,5,7,9} 的子集，且 A ∩B={3}, eu (A ){1,3} (B){3,7,9} (C){3,5,9} (D){3,9} 5. ( 2010 江 西 理 ) 2. 若 集 合 A= x| x 1， x R ， A. x| 1 x 1 B. x|x 0 C. x|0 x 1 D. 6. ( 2010浙江文)(1)设 P {x|x 1}, Q {x|x 2 4},则 P Q (A) {x| 1 x 2} (B) {x| 3 x 1} (C) { x|1 x 4} (D) {x| 2 x 1}

2013年高考文科数学真题及答案全国卷1

2013年高考文科数学真题及答案全国卷1 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。 第Ⅰ卷（选择题 共60分） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．(2013课标全国Ⅰ，文1)已知集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{x |x ＝n 2 ，n ∈A }，则A ∩B ＝( )． A ．{1,4} B ．{2,3} C ．{9,16} D ．{1,2} 【答案】A 【考点】本题主要考查集合的基本知识。 【解析】∵B ＝{x |x ＝n 2 ，n ∈A }＝{1,4,9,16}， ∴A ∩B ＝{1,4}． 2．(2013课标全国Ⅰ，文2) 2 12i 1i +(-)＝( )． A. B ．11+ i 2 - C ． D ． 【答案】B 【考点】本题主要考查复数的基本运算。 【解析】 2 12i 12i 12i i 2i 1i 2i 22++(+)-+===(-)-＝1 1+i 2 -. 3．(2013课标全国Ⅰ，文3)从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( )． A ．12 B ．13 C ．14 D ．16 【答案】B 【考点】本题主要考查列举法解古典概型问题的基本能力。 【解析】由题意知总事件数为6，且分别为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，满足条件的事件数是2，所以所求的概率为 13 . 4．(2013课标全国Ⅰ，文4)已知双曲线C ：2222=1x y a b -(a ＞0，b ＞0) C 的渐近线方程 为( )． A ． B ． C ．1 2 y x =± D ． 【答案】C 【考点】本题主要考查双曲线的离心率、渐近线方程。 【解析】∵2e = 2c a =，即2254 c a =.

2016年高考文科数学全国卷2(含详细答案)

数学试卷 第1页（共18页） 数学试卷 第2页（共18页） 数学试卷 第3页（共18页） 绝密★启用前 2016年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标卷2) 文科数学 使用地区：海南、宁夏、黑龙江、吉林、辽宁、新疆、内蒙古、青海、甘肃、重庆、陕西、西藏 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共24题，共150分，共6 页.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项： 1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内. 2. 选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚. 3. 请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效. 4. 作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑. 5. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的. 1. 已知集合{}123A =，，，{} 2|9B x x =<，则A B = （ ） A. {2,1,0,1,2,3}-- B. {2,1,0,1,2}-- C. {1,2,3} D. {1,2} 2. 设复数z 满足3z i i +=-，则=z （ ） A. 12i -+ B. 12i - C. 32i + D. 32i - 3. 函数()sin y A x ω?=+的部分图像如图所示，则 A. 2sin(2)6 y x π =- B. 2sin(2)3 y x π =- C. 2sin()6 y x π =+ D. 2sin()3 y x π =+ 4. 体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为 （ ） A. 12π B. 32 3π C. 8π D. 4π 5. 设F 为抛物线C ：24y x =的焦点，曲线0k y k x =>（）与C 交于点P ，PF x ⊥轴，则= k （ ） A. 1 2 B. 1 C. 32 D. 2 6. 圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则=a （ ） A. 43 - B. 3 4 - C. D. 2 7. 如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积（ ） A. 20π B. 24π C. 28π D. 32π 8. 某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为 （ ） A. 710 B. 58 C. 3 8 D. 310 9. 中国古代有计算多项式值得秦九韶算法，下图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的2x =，2n =，依次输入的a 为2，2，5，则输出的s = （ ） A. 7 B. 12 C. 17 D. 34 10. 下列函数中，其定义域和值域分别与函数lg 10x y =的定义域和值域相同的是 （ ） A. y x = B. lg y x = C. 2x y = D. 1y x = 11. 函数() = cos26cos()2 f x x x π +-的最大值为 （ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 12. 已知函数()()f x x ∈R 满足()(2)f x f x =-，若函数223y x x =--与()y f x =图象的 交点为11x y （,），22x y （,），…，m m x y （,），则1 m i i x =∑= A. 0 B. m C. 2m D. 4 m 姓名________________ 准考证号_____________ --------在 --------------------此-------------------- 卷--------------------上-------------------- 答-------------------- 题-------------------- 无-------------------- 效----------------

高考数学文科集合习题大全完美

第一章集合与函数的概念 一、选择题 1 ．设全集U={1,2,3,4,5,6} ,设集合P={1,2,3,4} ,Q{3,4,5},则P∩(C U Q)= （ ） A ．{1,2,3,4,6} B ．{1,2,3,4,5} C ．{1,2,5} D ．{1,2} 2 ．设集合A ={x |1

2016年全国高考文科数学试题及答案-全国卷2

2016年普通高等学校招生全国统一考试文科数学 一、 选择题：本大题共12小题。每小题5分. （1）已知集合{1 23}A =，，，2{|9}B x x =<，则A B = （A ）{210123}--，，，，， （B ）{21012}--，，，， （C ）{123}，， （D ）{12}， （2）设复数z 满足i 3i z +=-，则z = （A ）12i -+ （B ）12i - （C ）32i + （D ）32i - (3) 函数=sin()y A x ω?+的部分图像如图所示，则 （A ）2sin(2)6y x π=- （B ）2sin(2)3y x π =- （C ）2sin(2+)6y x π= （D ）2sin(2+)3 y x π = (4) 体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为 （A ）12π （B ） 32 3π （C ）8π （D ）4π (5) 设F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，曲线y =k x （k >0）与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，则k = （A ） 12 （B ）1 （C ）3 2 （D ）2 (6) 圆x 2+y 2?2x ?8y +13=0的圆心到直线ax +y ?1=0的距离为1，则a = （A ）? 43 （B ）?3 4 （C （D ）2 (7) 如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图， 则该几何体的表面积为 （A ）20π （B ）24π （C ）28π （D ）32π (8) 某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒， 若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为 （A ） 710 （B ）58 （C ）38 （D ）3 10 (9)中国古代有计算多项式值得秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图． 执行该程序框图，若x =2,n =2,输入的a 为2，2，5，则输出的s = （A ）7 （B ）12 （C ）17 （D ）34

高考文科数学练习题高考常考的6大题型

第3课时 题型上——全析高考常考的6大题型 题型一 圆锥曲线中的定点问题 圆锥曲线中的定点问题一般是指与解析几何有关的直线或圆过定点的问题(其他曲线过定点太复杂，高中阶段一般不涉及)，其实质是：当动直线或动圆变化时，这些直线或圆相交于一点，即这些直线或圆绕着定点在转动．这类问题的求解一般可分为以下三步： 一选：选择变量，定点问题中的定点，随某一个量的变化而固定，可选择这个量为变量(有时可选择两个变量，如点的坐标、斜率、截距等，然后利用其他辅助条件消去其中之一)． 二求：求出定点所满足的方程，即把需要证明为定点的问题表示成关于上述变量的方程． 三定点：对上述方程进行必要的化简，即可得到定点坐标． [典例] (2019·成都一诊)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点F (3，0)，长半轴 的长与短半轴的长的比值为2. (1)求椭圆C 的标准方程； (2)设不经过点B (0,1)的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点M ，N ，若点B 在以线段MN 为直径的圆上，证明直线l 过定点，并求出该定点的坐标． [解] (1)由题意得，c ＝3，a b ＝2，a 2＝b 2＋ c 2， ∴a ＝2，b ＝1， ∴椭圆C 的标准方程为x 24 ＋y 2 ＝1. (2)当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m (m ≠1)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)． 联立，得? ???? y ＝kx ＋m ，x 2＋4y 2＝4，消去y 可得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0. ∴Δ＝16(4k 2＋1－m 2)＞0，x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－4 4k 2＋1 . ∵点B 在以线段MN 为直径的圆上， ∴BM ―→·BN ―→ ＝0. ∵BM ―→·BN ―→＝(x 1，kx 1＋m －1)·(x 2，kx 2＋m －1)＝(k 2＋1)x 1x 2＋k (m －1)(x 1＋x 2)＋(m －1)2 ＝0， ∴(k 2＋1) 4m 2－44k 2 ＋1＋k (m －1)－8km 4k 2＋1 ＋(m －1)2＝0， 整理，得5m 2－2m －3＝0， 解得m ＝－3 5 或m ＝1(舍去)．

高考文科数学双向细目表

模块 知识点考查内容了解理解集合的含义、元素与集合的属于关系√列举法、描述法√包含于相等的含义√识别给定集合子集√全集于空集√并集于交集的含义与运算√补集的含义与运算√韦恩图表达集合的关系与运算√简单函数定义域和值域，了解映射√图像法、列表法、解析法表示函数√分段函数√函数单调性、最值及几何意义√函数奇偶性√函数图像研究函数性质指数函数模型背景√有理、实数指数幂、幂的运算指数函数概念、单调性√指数函数图像√对数的概念与运算√换底公式、自然对数、常用对数√对数函数的概念、单调性√对数函数的图像指数函数与对数函数互为反函数√幂函数的概念√幂函数的图像√二次函数、零点与方程的根√一元二次方程根的存在性及跟的个数√集合图像，用二分法求近似解指、对、幂函数的增长特征√函数模型的应用√柱、锥、台的结构特征√三视图√斜二测画法和直观图√平行、中心投影√三视图和直观图√球、柱、锥、台的表面积和体积公式√线面的位置关系定义√线面平行的判定 √面面平行的判定 √线面垂直的判定 √面面垂直的判定 √线面平行的性质 √面面平行的性质 √线面垂直的性质 √面面垂直的性质 √ 用已获结论证明空间几何体中的位置关系点、线、面位置关系集合的含义与表示集合间的基本关系集合的基本运算函数指数函数对数函数知识要求集合 函数概念 与基本初 等函数1 立体几何初步幂函数函数与方程函数模型及应用空间几何体

结合图形，确定直线位置关系的几何要素√直线倾斜角和斜率的概念√过两点的直线斜率计算公式√判定直线平行或垂直√点斜式、两点式、一般式√斜截式与一次函数的关系√两条相交直线的交点坐标√两点间的距离公式√ 点到直线的距离公式两条平行线间的距离公式√圆的几何要素，标准方程和一般方程判断直线与圆的位置关系应用直线与圆的方程√代数方法处理几何问题的思想√空间直角坐标表示点的位置√空间两点间的距离公式√算法的含义与思想√顺序、条件分支、循环逻辑结构√基本算法语句输入、输出、赋值、条件、循环语句√简单随机抽样√分层抽样和系统抽样√样本频率分布表、频率分布直方图、折线图√茎叶图√标准差的意义和作用√平均数和标准差√用样本估计总体的思想√会画散点图，认识变量间的相关关系√最小二乘法，线性回归方程√频率和概率的意义√互斥事件的概率加法公式√古典概型古典概型及其计算公式√随机事件所含的基本事件数及发生的概率√随机数的意义，运用模拟方法估计概率√几何概型的意义√任意角的概念√弧度制的概念、弧度与角度的互化√正弦、余弦、正切的定义√单位圆的三角函数线√诱导公式√三角函数的图像√ 三角函数的周期性√ 正余弦函数的单调性、最值、对称 中心 √正切函数性质 √同角三角函数的基本关系式 √正弦型函数的参数对图像变化的影响√向量的实际背景√ 平面向量的概念√ 向量的实际背景用样本估计总体变量的相关性事件与概率几何概型任意角的概念、弧度制三角函数直线与方程 圆的方程空间直角坐标系算法的含义、程序框图随机抽样统计 基本初等函数2平面解析几何初步算法初步

(完整版)2017年全国1卷高考文科数学试题及答案-

绝密★启用前 2017年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学 本试卷共5页，满分150分。 考生注意： 1．答卷前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，监考员将试题卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合A ={}|2x x <，B ={}|320x x ->，则 A ．A I B =3|2x x ? ?< ??? ? B ．A I B =? C ．A U B 3|2x x ? ?=

高考文科数学数列经典大题训练(附答案)

1.（本题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ,且34-=n n a S (1,2,)n =， （1）证明:数列{}n a 是等比数列； （2）若数列{}n b 满足1(1,2,)n n n b a b n +=+=，12b =，求数列{}n b 的通项公式． 2.（本小题满分12分） 等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9.a a a a a +== 1.求数列{}n a 的通项公式. 2.设 31323log log ......log ,n n b a a a =+++求数列1n b ?? ???? 的前项和. 3.设数列{}n a 满足21112,32n n n a a a -+=-= （1） 求数列{}n a 的通项公式； （2） 令n n b na =，求数列的前n 项和n S

4.已知等差数列{a n}的前3项和为6，前8项和为﹣4． （Ⅰ）求数列{a n}的通项公式； （Ⅱ）设b n=（4﹣a n）q n﹣1（q≠0，n∈N*），求数列{b n}的前n项和S n． 5.已知数列{a n}满足，，n∈N×． （1）令b n=a n+1﹣a n，证明：{b n}是等比数列； （2）求{a n}的通项公式．

1.解：（1）证：因为34-=n n a S (1,2,)n =，则3411-=--n n a S (2,3,)n =， 所以当2n ≥时，1144n n n n n a S S a a --=-=-， 整理得14 3 n n a a -= ． 5分 由34-=n n a S ，令1n =，得3411-=a a ，解得11=a ． 所以{}n a 是首项为1，公比为4 3 的等比数列． 7分 （2）解：因为14 ()3 n n a -=， 由1(1,2,)n n n b a b n +=+=，得114 ()3 n n n b b -+-=． 9分 由累加得)()()(1231`21--++-+-+=n n n b b b b b b b b ＝1)34(33 41)34(1211 -=--+--n n ， （2≥n ）， 当n=1时也满足，所以1)3 4 (31-=-n n b ． 2.解：（Ⅰ）设数列{a n }的公比为q ，由23269a a a =得32 34 9a a =所以21 9 q =。有条件可知a>0,故13 q =。 由12231a a +=得12231a a q +=，所以113 a =。故数列{a n }的通项式为a n =1 3n 。 （Ⅱ ）111111log log ...log n b a a a =+++ (12...) (1) 2 n n n =-++++=- 故 12112()(1)1 n b n n n n =-=--++ 12111111112...2((1)()...())22311 n n b b b n n n +++=--+-++-=-++

2016年高考全国二卷文科数学试卷

2016年普通高等学校招生全国统一考试（II 卷） 文科数学 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1. 已知集合A = {1,2,3}，B = {x | x 2 < 9}则A ∩B = A. {-2,-1,0,1,2,3} B. {-2,-1,0,1,2} C. {1,2,3} D. {1,2} 2. 设复数z 满足z + i = 3 - i ，则=z A. -1 + 2i B. 1 - 2i C. 3 + 2i D. 3 - 2i 3. 函数)sin(?ω+=x A y 的部分图象如图所示，则 A. )6 2sin(2π -=x y B. )3 2sin(2π -=x y C. )6 sin(2π +=x y D. )3 sin(2π + =x y 4. 体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 A. π12 B. π3 32 C. π8 D. π4 5. 设F 为抛物线C ：y 2 = 4x 的焦点，曲线)0(>= k x k y 与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，则k = A. 2 1 B. 1 C. 2 3 D. 2 6. 圆x 2 + y 2 - 2x - 8y + 13 = 0的圆心到直线ax + y - 1 = 0的距离为1，则a = A. 3 4- B. 4 3- C. 3 D. 2 7. 右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为 A. π20 B. π24 C. π28 D. π32 8. 某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒，若 一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为 A. 107 B. 85 C. 8 3 D. 10 3 9. 中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图。执行该程序框图， 若输入的x = 2，n = 2，依次输入的a 为2、2、5，则输出的s = A. 7 B. 12 C. 17 D. 34 2016.6

山东高考文科数学立体几何大题及答案汇编

2008年-2014年山东高考文科数学立体几何大题及答案 （08年）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB DC ∥，PAD △是等边三角形，已知28BD AD ==，245AB DC == （Ⅰ）设M 是PC 上的一点，证明：平面MBD ⊥平面PAD ； （Ⅱ）求四棱锥P ABCD -的体积． （09年）如图，在直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为等腰梯形，AB 11111 （10年）（本小题满分12分） 在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形，MA ⊥平面ABCD ，//PD MA ，E 、G 、F 分别为MB 、PB 、PC 的中点，且2AD PD MA ==. （I ）求证：平面EFG ⊥平面PDC ； （II ）求三棱锥P MAB -与四棱锥P ABCD -的体积之比. （11年）（本小题满分12分） 如图，在四棱台 1111 ABCD A B C D -中， 1D D ABCD ⊥平面，底面 ABCD 是平行四边形， 112,,60AB AD AD A B BAD ==∠= （Ⅰ）证明：1AA BD ⊥； （Ⅱ）证明：11//CC A BD 平面. A B C M P D E A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D D B1 D1 C1 C B A A1

（12年） (本小题满分12分) 如图，几何体E ABCD -是四棱锥，△ABD 为正三角形， ,CB CD EC BD =⊥. (Ⅰ)求证：BE DE =； (Ⅱ)若∠120BCD =?，M 为线段AE 的中点， 求证：DM ∥平面BEC . （13年）（本小题满分12分） 如图，四棱锥P —ABCD 中，AB ⊥AC ， AB ⊥PA ，AB ∥CD ，AB=2CD ，E ，F ，G ， M ，N 分别为PB ，AB ，BC ，PD ，PC 的中点。 （Ⅰ）求证，CE ∥平面PAD; （Ⅱ）求证，平面EFG ⊥平面EMN 。 （14年）（本小题满分12分） 如图，四棱锥P ABCD -中，,//,BC AD PCD AP 平面⊥AD BC AB 2 1 = =,F E ,分别为线段PC AD ,的中点。 （Ⅰ）求证：BEF AP 平面// （Ⅱ）求证：PAC BE 平面⊥ P A C D E

2016年高考文科数学全国卷2

徐老师 第 1 页 2016年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标卷2) 文科数学 使用地区：海南、宁夏、黑龙江、吉林、辽宁、新疆、内蒙古、青海、甘肃、重庆、陕西、西藏 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共24题，共150分，共6页.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项： 1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内. 2. 选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚. 3. 请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效. 4. 作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑. 5. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1. 已知集合{}123A =， ，，{}2|9B x x =<，则A B =I （ ） A. {2,1,0,1,2,3}-- B. {2,1,0,1,2}-- C. {1,2,3} D. {1,2} 2. 设复数z 满足3z i i +=-，则=z （ ） A. 12i -+ B. 12i - C. 32i + D. 32i - 3. 函数()sin y A x ω?=+的部分图像如图所示，则

第 2 页 A. 2sin(2)6 y x π =- B. 2sin(2)3 y x π =- C. 2sin()6 y x π =+ D. 2sin()3 y x π =+ 4. 体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为 （ ） A. 12π B. 323 π C. 8π D. 4π 5. 设F 为抛物线C ：24y x =的焦点，曲线0k y k x =>（）与C 交于点P ，PF x ⊥轴，则 =k （ ） A. 1 2 B. 1 C. 32 D. 2 6. 圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则=a （ ） A. 43 - B. 34 - C. D. 2 7. 如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积（ ）

高考文科数学重要考点大全

高考文科数学重要考点大全 一 考点一：集合与简易逻辑 集合部分一般以选择题出现，属容易题。重点考查集合间关系的理解和认识。近年的 试题加强了对集合计算化简能力的考查，并向无限集发展，考查抽象思维能力。在解决这 些问题时，要注意利用几何的直观性，并注重集合表示方法的转换与化简。简易逻辑考查 有两种形式：一是在选择题和填空题中直接考查命题及其关系、逻辑联结词、“充要关系”、命题真伪的判断、全称命题和特称命题的否定等,二是在解答题中深层次考查常用 逻辑用语表达数学解题过程和逻辑推理。 考点二：函数与导数 函数是高考的重点内容，以选择题和填空题的为载体针对性考查函数的定义域与值域、函数的性质、函数与方程、基本初等函数一次和二次函数、指数、对数、幂函数的应用等，分值约为10分，解答题与导数交汇在一起考查函数的性质。导数部分一方面考查导数的 运算与导数的几何意义，另一方面考查导数的简单应用，如求函数的单调区间、极值与最 值等，通常以客观题的形式出现，属于容易题和中档题，三是导数的综合应用，主要是和 函数、不等式、方程等联系在一起以解答题的形式出现，如一些不等式恒成立问题、参数 的取值范围问题、方程根的个数问题、不等式的证明等问题。 考点三：三角函数与平面向量 一般是2道小题，1道综合解答题。小题一道考查平面向量有关概念及运算等，另一 道对三角知识点的补充。大题中如果没有涉及正弦定理、余弦定理的应用，可能就是一道 和解答题相互补充的三角函数的图像、性质或三角恒等变换的题目，也可能是考查平面向 量为主的试题，要注意数形结合思想在解题中的应用。向量重点考查平面向量数量积的概 念及应用，向量与直线、圆锥曲线、数列、不等式、三角函数等结合，解决角度、垂直、 共线等问题是“新热点”题型. 考点四：数列与不等式 不等式主要考查一元二次不等式的解法、一元二次不等式组和简单线性规划问题、基 本不等式的应用等，通常会在小题中设置1到2道题。对不等式的工具性穿插在数列、解 析几何、函数导数等解答题中进行考查.在选择、填空题中考查等差或等比数列的概念、 性质、通项公式、求和公式等的灵活应用，一道解答题大多凸显以数列知识为工具，综合 运用函数、方程、不等式等解决问题的能力，它们都属于中、高档题目. 考点五：立体几何与空间向量

高考文科数学试题及答案解析

北京市高考文科数学试卷逐题解析 数 学（文）（北京卷） 本试卷共5页， 150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上， 在试卷上作答无效。考试结束后， 将本试卷的答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题 1. 已知全集， 集合或， 则 A. ()2,2- B. ()(),22,-∞-+∞U C. []2,2- D. (][),22,-∞-+∞U 【答案】C 【解析】 {|2 A x x =<-Q 或 }()() 2=,22,x >-∞+∞U ， [] 2,2U C A ∴=-， 故选C . 2. 若复数()()1i a i -+在复平面内对应的点在第二象限， 则实数a 的取值范围是 A. (),1-∞ B. (),1-∞- C. ()1,+∞ D. ()1,+-∞ 【答案】B 【解析】(1)()1(1)i a i a a i -+=++-Q 在第二象限. 1010a a +?得1a <-.故选B .

3. 执行如图所示的程序框图， 输出的s 值为 A. 2 B. 32 C. 53 D .85 【答案】C 【解析】0,1k S ==. 3k <成立， 1k =， 2S =21= . 3k <成立， 2k =， 2+13 S = 22=. 3k <成立， 3k =， 3 +152S = 332=. 3k <不成立， 输出5S 3= .故选C . 4.若,x y 满足3 2x x y y x ≤?? +≥??≤? ， 则2x y +的最大值为 A. 1 B. 3 C. 5 D. 9 【答案】D 【解析】设2z x y =+， 则 122z y x =-+ ， 当该直线过()3,3时， z 最大. ∴当3,3x y ==时， z 取得最大值9， 故选D .

2019高考文科数学考试大纲(最新整理)

文科数学 Ⅰ．考核目标与要求 根据普通高等学校对新生思想道德素质和科学文化素质的要求,依据中华人民共和国教 育部2003 年颁布的《普通高中课程方案(实验)》和《普通高中数学课程标准(实验)》的必修 课程、选修课程系列1 和系列4 的内容,确定文史类高考数学科考试内容. 一、知识要求 知识是指《普通高中数学课程标准(实验)》(以下简称《课程标准》)中所规定的必修课 程、选修课程系列1 和系列4 中的数学概念、性质、法则、公式、公理、定理以及由其内容反 映的数学思想方法,还包括按照一定程序与步骤进行运算、处理数据、绘制图表等基本技能. 各部分知识的整体要求及其定位参照《课程标准》相应模块的有关说明. 对知识的要求依次是了解、理解、掌握三个层次. 1.了解：要求对所列知识的含义有初步的、感性的认识,知道这一知识内容是什么,按照 一定的程序和步骤照样模仿,并能(或会)在有关的问题中识别和认识它. 这一层次所涉及的主要行为动词有：了解,知道、识别,模仿,会求、会解等. 2.理解：要求对所列知识内容有较深刻的理性认识,知道知识间的逻辑关系,能够对所列 知识做正确的描述说明并用数学语言表达,能够利用所学的知识内容对有关问题进行比较、 判别、讨论,具备利用所学知识解决简单问题的能力. 这一层次所涉及的主要行为动词有：描述,说明,表达,推测、想象,比较、判别,初步应用等. 3.掌握：要求能够对所列的知识内容进行推导证明,能够利用所学知识对问题进行分析、 研究、讨论,并且加以解决. 这一层次所涉及的主要行为动词有：掌握、导出、分析,推导、证明,研究、讨论、运用、 解决问题等. 二、能力要求 能力是指空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力以及应用意识和创新意识. 1.空间想象能力：能根据条件作出正确的图形,根据图形想象出直观形象；能正确地分析出 图形中的基本元素及其相互关系；能对图形进行分解、组合；会运用图形与图表等手段形象地 揭示问题的本质. 空间想象能力是对空间形式的观察、分析、抽象的能力,主要表现为识图、画图和对图 形的想象能力.识图是指观察研究所给图形中几何元素之间的相互关系；画图是指将文字语 言和符号语言转化为图形语言以及对图形添加辅助图形或对图形进行各种变换；对图形的想 象主要包括有图想图和无图想图两种,是空间想象能力高层次的标志. 2.抽象概括能力：抽象是指舍弃事物非本质的属性,揭示其本质的属性；概括是指把仅仅属 于某一类对象的共同属性区分出来的思维过程.抽象和概括是相互联系的,没有抽象就不可能 有概括,而概括必须在抽象的基础上得出某种观点或某个结论. 抽象概括能力是对具体的、生动的实例，经过分析提炼，发现研究对象的本质；从给定的 大量信息材料中概括出一些结论,并能将其应用于解决问题或做出新的判断.

全国高考1卷文科数学试题及答案

第Ⅰ卷 考生注意： 1．答卷前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，监考员将试题卷和答题卡一并交回。 一、选择题，本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合A={1,3,5,7}，B={x |2≤x ≤5}，则A ∩B=( ) A ．{1,3} B ．{3,5} C ．{5,7} D ．{1,7} 2．设(1+2i )(a+i )的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a=( ) A ．-3 B ．-2 C ．2 D ． 3 3．为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中， 余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是 ( ) A ．13 B ．12 C ．23 D ．56 4．ΔABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .已知22,cos 3 a c A ===， 则b=( ) A ． B C ．2 D ．3 5．直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的 14 ，则该椭圆的离心率为( ) A ．13 B ．12 C ．23 D ．34 6．若将函数y =2sin (2x +6 π)的图像向右平移14个周期后，所得图像对应的函数为 ( ) A ．y =2sin(2x +4π) B ．y =2sin(2x +3π) C ．y =2sin(2x –4π) D ．y =2sin(2x –3 π) 7．如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个

2020高考文科数学各类大题专题汇总

2020高考文科数学各类大题专题汇总 一、三角函数 二、数列 三、立体几何 四、概率与统计 五、函数与导数 六、解析几何 七、选做题 大题专项练(一)三角函数 A组基础通关 1.已知在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且c cos B+(b-2a)cos C=0. (1)求角C的大小; (2)若c=2,求△ABC的面积S的最大值. 因为c cos B+(b-2a)cos C=0, 所以sin C cos B+(sin B-2sin A)cos C=0, 所以sin C cos B+sin B cos C=2sin A cos C, 所以sin(B+C)=2sin A cos C. 又因为A+B+C=π, 所以sin A=2sin A cos C. 又因为A∈(0,π),所以sin A≠0, 所以cos C=. 又C∈(0,π),所以C=. (2)由(1)知,C=,

所以c2=a2+b2-2ab cos C=a2+b2-ab. 又c=2,所以4=a2+b2-ab. 又a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时等号成立, 所以ab≤4.所以△ABC面积的最大值(S△ABC)max=×4×sin. 2.如图,在梯形ABCD中,∠A=∠D=90°,M为AD上一点,AM=2MD=2,∠BMC=60°. (1)若∠AMB=60°,求BC; (2)设∠DCM=θ,若MB=4MC,求tan θ. 由∠BMC=60°,∠AMB=60°,得∠CMD=60°. 在Rt△ABM中,MB=2AM=4;在Rt△CDM中,MC=2MD=2. 在△MBC中,由余弦定理,得BC2=BM2+MC2-2BM·MC·cos∠BMC=12,BC=2. (2)因为∠DCM=θ, 所以∠ABM=60°-θ,0°<θ<60°. 在Rt△MCD中,MC=; , 在Rt△MAB中,MB= °- 由MB=4MC,得2sin(60°-θ)=sin θ, 所以cos θ-sin θ=sin θ, 即2sin θ=cos θ, 整理可得tan θ=.

2016年全国高考文科数学试题及解析全国卷I

绝密★ 启封并使用完毕前 试题类型：A 2016年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷 一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. AB?5}?|{x2?xA?{1,3,5,7}B?（，则，1. 设集合） {1,3}{3,5}{5,7}{1,7} D. C. B. A. aa?)?i)(ai(1?2（为实数，则）2. 设的实部与虚部相等，其中 33?2?2 D. C. B. A. 3. 为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（） 1512 B. A. C. D. 36232 5a?cosAc,,b,AB,Ca bc?2?ABC?（的内角，，已知，）的对边分别为4. ，则33232 D. A. B. C. 1ll，的距离为其短轴长的经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到则该椭圆的离心率为5. 直线4）（ 1123 B. A. C. D. 32341

?1)??2sin(2xy的图像向右平移个周期后，所得图像对应的函数为（将函数6. ）46??)??2sin(2xy?2sin(2x?)y B. A. 34??)??2sin(2x2sin(2y?x?)y D. C. 347. 如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径，若该几何体的体积是?28，则它的表面积是（）3????28172018 C. B. D. A. 1?ba??00?c 8. 若），则（， bacc b?loglogalogc?logcc?a?bc A. C. B. D. cabc|x|2ex?y?22,2][?9. 函数在）的图像大致为（ y y