简介高等几何
毕业论文（设计）论文题目：浅谈高等几何
学生姓名：刘刚
学号：0905010220
所在院系：数学与计算科学系
专业名称：数学与应用数学专业
届次：2013届
指导教师：向伟
淮南师范学院本科毕业论文（设计）
诚信承诺书
1.本人郑重承诺：所呈交的毕业论文（设计），题目《》是本人在指导教师指导下独立完成的，没有弄虚作假，没有抄袭、剽窃别人的内容；
2.毕业论文（设计）所使用的相关资料、数据、观点等均真实可靠，文中所有引用的他人观点、材料、数据、图表均已注释说明来源；
3.毕业论文（设计）中无抄袭、剽窃或不正当引用他人学术观点、思想和学术成果，伪造、篡改数据的情况；
4.本人已被告知并清楚：学院对毕业论文（设计）中的抄袭、剽窃、弄虚作假等违反学术规范的行为将严肃处理，并可能导致毕业论文（设计）成绩不合格，无法正常毕业、取消学士学位资格或注销并追回已发放的毕业证书、学士学位证书等严重后果；
5.若在省教育厅、学院组织的毕业论文（设计）检查、评比中，被发现有抄袭、剽窃、弄虚作假等违反学术规范的行为，本人愿意接受学院按有关规定给予的处理，并承担相应责任。
学生（签名）：
日期：年月日
目录
1 仿射坐标与仿射变换 (2)
1.1 透视仿射对应 (2)
1.2仿射对应与仿射变换 (3)
1.3仿射坐标 (5)
2 射影平面 (7)
2.1射影直线和射影平面 (7)
2.2无穷远元素 (8)
2.3 射影直线与射影平面 (9)
2.4 对偶原理 (11)
3 射影变换与射影坐标 (13)
3.1 点列与线束的交比和调和比 (13)
3.2一维基本形的射影对应 (15)
3.3 二维射影变换 (16)
3.4 有关二维射影变换的求法 (16)
参考文献： (1)
淮南师范学院2013届毕业论文
浅谈高等几何
学生：刘刚（指导老师：向伟）
（淮南师范学院数学与计算科学系）
摘要：，在高等师范院校数学专业的三门基础课程之中，高等代数、高等几何、数学分析统称“三高”。但是，与其他两门课相比，高等几何在数学专业
中的地位就远远落后了。其原因有很多方面，不过其中一个很重要的原
因是：高等几何的内容，大多是19 世纪遗留下来的产物，太陈旧了，
跟不上时代发展的步伐。因此，多年来我们在高等几何课的教学过程中，不断地在探索这门课程内容的改革途径。高等几何主讲的仿射几何和欧
式几何的推广，内容丰富，具有基本概念多、习题类型广、技巧性强等
特点。学习高等几何不仅可以培养和提高学生的空间想象力，还可以提
高学生的抽象思维能力。
关键字：高等几何；仿射几何；欧式几何。
On Higher Geometry
Students: Liu Gang (Instructor: Xiang Wei)
(Huainan Normal University, Department of Mathematics and Computer Science) Abstract In Normal Colleges of three basic mathematics curricula, advanced algebra, advanced geometry, mathematical analysis referred to as "three high." However,
compared with the other two classes, higher geometry in mathematics profession's
position is far behind. The reasons are many ways, but one very important reason:
the content of higher geometry, mostly legacies of the 19th century, is too old to
keep up with the pace of development. Thus, over the years we Teaching Higher
Geometry course, continue to explore the contents of this course Approaches to
Reform. Speaker of Higher Geometry affine geometry and European promotion,
rich in content, with the basic concepts of many types of exercises broad skills and
other characteristics. Learning Higher Geometry can not only cultivate and improve
浅谈高等几何
students 'spatial imagination, but also can improve students' ability to abstract
thinking.
Keyword ：Higher Geometry ；Affine geometry ；Continental geometry.
1 仿射坐标与仿射变换
1.1 透视仿射对应
定义1 对于a 和a ′是平面不平行的两条直线，设l 为平面上一条直线，
通过直线a 上的诸点A ，B ，C ，D ，……作l 的平行线，交a ′于A`，B`，C`，D`，……，这样便定义了直线a 到a ′的一个映射。称为透射仿射(平行射影)，a 上的点为原象点，a ′上的点为象点，l 为平行射影的方向，记这个透射仿射为T ，则写A ′=T(A )。
图1 透射仿射。
有了以上的定义后，我们来观察一种较常见的几何变形——平面到平面的透
射仿射。如下图所示，设π与π`为空间中的两个平面，l 是跟这两个平面都不
平行的方向(向量)。平面π上的直线a ，对过直线上的点A 作平行于l 的直线交平面π`于点A`，用同样的方法可做出点B 和点C 的对应点B`，C`。于是便建立了平面π到π`的对应关系。称为π到π`依方向l 的透射仿射。
图2 射影。
根据初等几何的知识，我们很容易可以验证这种平行投影具有以下的性质。
πa a`
A B C A`B`C`l
g ππ`l A B C A`B`C`a a`
淮南师范学院2013届毕业论文
（1）π与π`之间的点建立一一对应关系，即π上的点通过变换成为π`上点；
π上的直线变成了π`上的直线；
（2）若一个点A 在l 上，则A 的对应点A`也应在l 的对应直线l`上；
（3）π上平行的两直线变到π`上的两条直线也是平行的；
（4）直线上的三点的“单比(简比)”保持不变，也就是如果A,B,C 是π上共线的三点，A`，B`，C`分别是它们的象点，则
BC
AB C B B A ````。 我们把（1）称为透射仿射具有同素性，把满足（2）称为透射仿射具有结
合性。 而满足（3）则称为透射仿射具有平行性。
这是二平面间的透射仿射变换的概念和一些性质，利用此可以建立仿射变
换的概念。
1.2仿射对应与仿射变换
定义2 如果有π1，π2，……πn+1个平面且πi 和πi+1(i=1，2，……，n)
两个平面间建立透射仿射变换，就形成了一个透射仿射变换链，最初一个平面π
1和最后一个平面πn+1之间的一一对应就叫仿射变换。所以仿射变换是由组成它
的透射仿射变换来决定的，也就是说，透射仿射变换是特殊的仿射变换。仿射变换应该是有限次透射仿射变换的乘积。如果平面π与平面π
n+1重合，则π到π`的仿射对应叫做平面π到自身的仿射变换。
由上述可知，透射仿射变换和仿射变换是有区别的：
1、 透射仿射变换的对应点连线相互平行的，而在一般情况下，仿射变换
的对应点的连线是不平行的。当π1//π2//……//π
n+1或是π1，π2，……πn+1共线时，π1到πn+1的对应点的连线是平行的。
2、 二平面的透射仿射变换，当两平面相交时，其交线为自对应轴，也就
是说，交线上的每个点都是自对应的。而两平面的仿射变换一般没有自对应轴。
仿射几何是研究仿射不变性和仿射不变量的学科。所谓仿射不变性和不变
量是指：
（1）图形经过仿射变换后不改变的性质。也有称之为仿射性。
（2）图形经过仿射变换后不改变的量，称为仿射不变量，或叫做仿射量。
根据仿射的定义可知到，同素性，结合性是最基本的仿射不变性，而共线
浅谈高等几何
三点的单比不变则是最基本的仿射不变量。
定理1 二直线间的平行性是仿射不变性。
证明：设a ，b 是平面π内的两条平行线，a`，b`是它们在平面π`内的仿射
映象，因此只需证明a`//b`。
ππ`
a b a`
b`P`P
图3 仿射映像。 若a`与b`不平行，则在平面π`中必相交于一点P`，且使P 是P`的原象点，
那么由于仿射保留结合性，点P 应该既在a 上又在b 上，既是说a 和b 是相交而不是平行，矛盾！所以a`//b`，所以命题成立。
于是进一步可知：
推论1.1 平行四边形是仿射不变图形。
因为两组对边分别平行，通过仿射变换后也应该是分别互相平行。
推论1.2 两直线的相交性是仿射不变性。
推论1.2.1 共线的直线经过仿射变换后任变成共点的直线。
推论1.2.2 梯形是仿射不变图形。
例1 线段的中点具有仿射不变性。
证明：设C 是线段AB 的中点，且在仿射变换下，A →A`，B →B`，C →C`。
由仿射变换保结合性，故C`在直线A`B`上，又因为共线三点的单比是仿射不变
量，于是有
1````==CB
AC B C B A ， 即C`任是A`B`的中点。所以，线段的中点具有仿射不变性。
定理2 两平行线段之比是仿射不变量。
在此用综合法来证明。
证明：如下图，已知AB//CD ，经过仿射变换φ后，AB 的象为A`B`，CD 的
象为A`B`，下证```
`B A D C AB CD
=。
淮南师范学院2013届毕业论文 C E D B
A A`B`C`
E`
D`
φ
图4 仿射不变量。 由于仿射变换保持结合性，可知AD 的象为A`C`。
作 BE//CD 于E 则ABCD 为平行四边形，
∴ AB//CD AC//BE 。
若E 的对应为E`，由结合性可知，E`在C`D`上。BE 的象为B`E`。
由仿射变换保平行性，可知A`C`//B`E`。
由AB//CD ，可知A`B`//C`D`，即A`B`//C`E`。
∴ A`B`E`C`为平行四边形。
A`B`=C`E`。
又
（DEC ）=D`E`C`）。 ∴
````C E C D EC DC =。 而
EC=BA 。 ∴
````A B D C BA DC =。 即 ```
`A B D C AB CD
=。
推论2.1 证明一条直线上两线段的比是仿射不变量。
证明：如下图，直线l 有两线段AB 和MN ，
)()(BMN ABM MN
BM BM AB MN MB MB AB MN AB ?=?=?= 而 (ABM)和(BNM)是仿射不变量
图5 线段不变量。 ∴MN
AB 也是不变量。 1.3仿射坐标
浅谈高等几何
定义3 笛氏坐标系在仿射对应之下的象叫做仿射坐标系。
在此引入仿射变换的代数形式：
对于笛氏坐标系的点P （x ，y ）,通过仿射变换T 后，在仿射坐标系的象为
P`（x`，y`），其中
?
??+='++=';,232221131211ya a x a y a y a x a x 其中22211211,,,a a a a 满足条件
022211211
≠=?a a a a 。
定理3 两个三角形面积之比是仿射不变量。
推论3.1 两个平行四边形面积之比是仿射不变量。
推论3.2 两个封闭图形面积之比是仿射不变量。
仿射变换的反射不变性和不变量及其一些性质使一些一般性问题的解决可
以通过仿射变换，变成特殊情形处理，使之以解决。下面举例说明仿射变换在初等几何中的应用。
例2 三角形两边的中点的连线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
分析：△ABC 是等边三角形，E 、F 分别是AB ，AC 的中点，很容易知道EF//CD ，且BC EF 2
1=。 A
B C E
F A`E`F`B`C`
图6 面积不变量。
对于任何的三角形，存在一个仿射变换T 使A →A`，B →B`，C →C`，而仿射
变换中，E 的象为E`，F 的象为F`，分别是A`B`，A`C`的中点，又由仿射变换
的平行性和保平行线段之比不变，因此E`F`//B`C`，且``2
1``C B F E =
。 类似的，我们可以得到另一个结论：
淮南师范学院2013届毕业论文
若四边形两组对边的交点的连线与四边形的一条对角线平行，那么，另一条
对角线的延长线平分上述的连线。
从上述可以看到，在初等几何的几何图形了仿射变换后，一般来说，图象都
有了变化，但有部分性质和某些量是保持不变的，同素性决定了变换的本质，结合性规定了变换后的位置关系，而仿射单比不变确定了平行线段以及面积通过变
换后的 度量关系，这些仿射不变性和不变量在仿射几何的研究中是非常重要的，同时为初等几何的一些问题的解决（比如求解和证明）提供了一种新的方法，有时使问题的解决变得更直观和快捷。比如可以通过圆到椭圆的仿射对应推导出椭
圆的外切四边形对边切点连线与两对角线四线共点（证明略）。在仿射变换的讨
论中，我们要注意的是角是没有仿射不变性的，同样角平分线也不具有仿射性的。 2 射影平面
2.1射影直线和射影平面
2.1.1直线与直线间的中心射影
设l ，'l 是共面二直线，点o 是此平面内l 与'l 外任一点。若o 与l 上任一点A
之连线OA 交'l 于'A 。
则我们定义：，
定义 1 'A 叫做A 点从o 投影到'l 上的中心射影下的对应点。OA 叫做投射
线，o 叫做投射中心，简称射心。
图7 中心射影。 显然A 也是'A 在l 上以o 为射心的中心射影下的对应点。取不同的射心，就得到
不同的中心射影。
如果l 与'l 相交与C 点，则C 位自对应点，如图7 。
在欧氏平面上，中心射影不能建立两直线上点之间的一一对应。如果l 上的
一点P 使OP 平行于'l ，则P 的对应点'P 将不存在。同样在'l 上也有一点'Q ，使
O A 'A B
'B C 'Q l '
l P
浅谈高等几何
'OQ 平行于l ，
所以'Q 在l 上的对应点也不存在。我们将P 与'Q 分别称为l 与'l 上的影消点。
2.1.2平面与平面之间的中心射影
设π与'π是二平面，点o 是平面外一点，若o 与π上任一点A 之连线OA 交
'π与'A 。
则我们定义：图8
定义2 'A 叫做 A 点从o 投影到平面'π的中心射影下的对应点。OA 叫做投
射线，o 叫做投射中心，简称射心。显然A 也是'A 在π上以O 为射心的中心射
影下的对应点。
图8 中心射影对应点。
可以看出在中心射影下平面π内的一直线AB 对应平面'π上的直线''A B 。
当π与'π相交时，其交线c 为自对应直线，其上的每一点C 都是自对应点。
同样，平面到平面的中心射影也不能建立两平面点之间的一一对应。如图8，
如果平面π上的一点P 与o 的连线OP 平行于平面'π，那么P 在'π上的对应点便不存在，我们也称点P 为影消点。若通过o 作与'π平行的平面a 交平面π于直线m 。则直线m 在'π上的对应直线也不存在，我们称直线m 为影消线。类似的可
以定义平面'π上的影消点与影消线。显然，影消点的轨迹是影消线。
2.2无穷远元素
为了使中心射影是一一对应，我们必须将欧氏平面加以扩拓广。所以我们引
进了无穷远元素。为此约定，这约定是我们欧氏平面里的概念决不矛盾。
约定— 在平面内对于任何一组平行线引入唯一一点叫做无穷远点，此点在O πA B C '
A '
B 'πc Q αm p
淮南师范学院2013届毕业论文
组中每一直线上而不在此组之外的任何直线上。无穷远点记以P ∞
，为区别起见，平面上原有的点称非无穷远点或普通点。
由此可以证明空间里的一组平行线只有一公共点，即这组直线上的无穷远点。
一平面内直线的方向有无穷多，所以平面内的无穷远点也有无穷多，由于每
一点直线上只有一个无穷远点，所以平面上无穷远点的轨迹应该与此平面上每一
条直线只有一个交点，因此约定：
约定二 一平面内一切无穷远点的集合组成一条直线叫做无穷远直线。无
穷远直线记作l ∞，为区别起见，平面内原有的直线叫做非无穷远直线或普通直线。
无穷远直线实际上是三维空间中平行平面的交线。
空间里有无数多个方向，因此有无数多个无穷远点，这些无穷远点的轨迹与
每个平面既然相交于一条无穷远直线，因此约定：
约定三 空间里一切无穷远点的集合组成一个平面叫做无穷远平面。无穷
远平面可记以π∞
，为了区别起见，空间里的原有平面叫做非无穷远平面或普通平面。
定义 3 无穷远点，无穷远直线，无穷远平面统称为无穷远元素。平面上
的无穷远元素为无穷远点与无穷远直线。
2.3 射影直线与射影平面
定义4 在欧氏直线上添加了一个无穷远点以后，便得到一条新直线，我们
将它叫做仿射直线。
图9 仿射直线。
图9 是仿射直线的模型。
同样地，将此概念加以推广即可得到仿射平面的概念。
定义 5 欧氏平面上添加一条无穷远直线即得到仿射平面。图 10 是欧氏空
间中的仿射平面的模型。
P ∞.
浅谈高等几何
图
图 10 仿射平面。
设有以o为球心的球面，过球心o作平面α交球面于大圆C，我们规定：半球面S为仿射平面，大圆C上的点为无穷远点，且通过o的大圆C的每一直径的两个端点当作一个无穷远点，半球面上的其它点为非无穷远点。大圆C为无穷远
直线。半球面上的大圆孤为普通直线，相交于C上同一点的半大圆孤就是平行直
线。
如果平面π与半球面S相切，且平面π与平面α平行，就可以建立S上的点
与平面π上的点之间的一一对应。
设A为S上的任一点，直线OA交π与'A，令对应φ为'
→,则φ是S的点
A A
与平面π的点之间的一一对应，这个一一对应使得大圆C（即S上的无穷远直线）
对应π上的无穷远直线。
定义 6如果把仿射直线上的非无穷远点与无穷远点同等看待而不加区
分，那么这条直线就叫做射影直线。
图 11 射影直线。
射影直线是可以看作是封闭的，因此欧氏平面上的圆常看作射影直线的模型。如
图11.
将射影直线的概念加以推广，就可以得到射影平面的概念。
淮南师范学院2013届毕业论文
定义 7 在仿射平面上，如果对于普通元素和无穷远元素不加区分，即可得
到射影平面（二维射影空间）。
射影平面也是封闭的。我们可以作一个默比乌斯带，它是射影平面的一部分。如图 12.
图 12 二维射影空间。
把长方形带纽转，使A 与'A 粘合，B
与'B 粘合，这样所得的带的边界是一条封
闭的曲线。
从带上任一点M 出发，平行于边界移动，不越边界能移到该点所在带子的
背面，所以它是单侧曲面，分不出正反面，如果把默比乌斯带的两个同样的边界都粘合起来，就可以得到射影平面，它是封闭的单侧曲面。但在欧氏空间里，我只能看到射影平面的一部分，如图 6
在欧氏直线上添加了一个无穷远点以后便得到了一条新的直线，我们把它叫
做仿射直线。
如果将仿射直线上的有穷远点与无穷远点同等看待而不加区分，则这条仿射
直线就叫做射影直线。
反过来，如果在一条射影直线上任取一个特定点叫做无穷远点，而将其余的
点叫做有穷远点，这样的射影直线就是仿射直线，如果在仿射直线上再去掉这个无穷远点，就成为通常的欧氏直线了。
2.4 对偶原理
定义1 （对偶命题）假设一个命题由点和直线构成，如果把命题中的各个元
素换成它的对偶元素，各个运算换成它的对偶运算，这样形成了一个新的命题，这两个命题就叫做对偶命题.例如“两条直线相交于唯一点”与“两点能连接唯
A '
'B
浅谈高等几何
一直线”是一个对偶命题。
定义2 （对偶元素）在平面射影几何中，我们将“点”和“线”称为平面上
的对偶元素。
定义3 （对偶运算）“过一个点作一条直线”与“在一条直线上取一个点”
称作对偶运算。
定义4 （对偶图形）假设有点和直线组成的一个图形，将此图的各个元素改
为它的对偶元素，各个运算改为它的对偶运算，结果得到了另一个新的图形，我们把得到的这个图形就叫做对偶图形。例如点列和线束就是对偶图形。
定义5 （对偶概念）点列和线束，三线共点和三点共线，均为对偶关系，类
似这样成对出现的概念叫做对偶概念。
对偶原理 设有点，直线及其相互结合与顺序关系所构成的一个命题，将此
命题中的各元素改为它的对偶元素，各运算改为它的对偶运算，其结果形成一个命题，则这两个命题叫做平面对偶命题。对偶原理则是说：在射影平面里，如果一个命题成立，则对偶命题也成立。
例1 假设在三角形ABC 和A B C '''中，各个顶点的齐次坐标分别是
()()()()()()123123123,,,,,,,,A a a a A a B b b b B b C c c c C c ===。
()()()()()()123123123,,,,,,,,A a a a A a B b b b B b C c c c C c ''''''''''''''''''===。
直线,,AA BB CC '''共点于()()123,,,S s s s S s =,A B A B ''
的交点是()()123,,,R r r r R r =,B C B C ''的交点是()()123
,,,P p p p P p =,A C A C ''的交点是()()123
,,.Q q q q Q q =。 求证：P,R,Q 共线。
证明：因为S 在直线AA '上，所以()s 可以用()(),a a '线性表出，则有
()()().s a a λλ''==。
又因为S 在直线,BB CC ''上，则有
()()()()()();s b b s c c μμγγ''''===+。
又有
淮南师范学院2013届毕业论文
()()()()()()()s a a b b c c λλμμγγ''''''=+=+=+。
由以上可得：
()()()()()
()()()()()()()()()()
b c c b p c a a c q a b b a r μγγμγλλγλμμλ''''-=-=''''-=-=''''-=-=
上述三式相加得，
()()()0p q r ++=。
即P,R,Q 共线命题得证。
3 射影变换与射影坐标
3.1 点列与线束的交比和调和比
（1）关于交比的定义
定义（4.2）把交比定义为两个单比的比，即共线四点A ，B ，C ，D 的交比
定义为两个单比（ABC ）和（ABD ）的比，表为
(AB ,CD )=)
()(ABD ABC .。 交比也称复比，即两个单比之比的意思.这种定义可称为几何定义.交比还有另一种定义，即代数法定义：设四个不同的共线点A ，B ，C ，D 的坐标顺次为
A ，
B ，A+λ1B ，A+λ2B 。
则 (AB ，CD )=
2
1λλ。 关于交比的定义，要注意以下问题：
① A ，B ，C ，D 四点必须共线，而且要考虑顺序，顺序不同则交比不同；
② AC ，BD ，BC ，AD 都是有向线段的代数长，因而交比（AB ，CD ）是个
数值.；
（2）交比的性质
由于A ，B ，C ，D 四个点的编排顺序不同，所得的交比也不同，共线四点可
以组成24种编排顺序，因而可以有24个交比值.由交比的性质原理可知，对于
每个排列，还有另三种排列，它们的交比等于已知排列的交比，因此，这24种排列所产生的交比值，实际上只有6类，并且在24个排列中，只要求出1个交比值，就可求出其它23个交比值。
例如，已知（AB ，CD ）=3，则可知（DC ，BA ）=（BA ，DC ）=（AB ，CD ）=3.
浅谈高等几何
而（AC ，BD ）=1－（AB ，CD ）= －2。
（3）几个特殊的交比
共线四点A ，B ，C ，D 中，设A ，B ，C 是固定点，第四点D 沿直线移动.
可以证明，点D 在直线上的每个位置都对应一个确定的交比（AB ，CD ）的值.点D 的不同位置对应不同的交比值，不然的话，假设点D 和D '在两个不同的位置，且有（AB ，CD ）=（AB ，CD '）。
则
)
()()()(D AB ABC ABD ABC '=。 因而（ABD ）=（ABD '）。
这只有在D = D '时，等式才成立，因此，（AB ，CD ）的每个值，对应点D 的一个确定的位置。
当这四个点中有无穷远点时，还可以用其他方法证明这个结论.证明如下：
设已知三点的坐标是： A ＋1λB ，A ＋2λB ，A ＋3λB 则由k =----))(())((41324231λλλλλλλλ （其中k 为定值，且k ≠0，1）。 可以求出4λ，确定第四点.因此第四点A ＋4λB 唯一确定。
下面讨论交比的几个特殊情况：
①D 与C 重合时，则有（AB ，CD ）= 1。
②当D 与B 重合时，则有
（AB ，CD ）=（AB ，CB ）=
AB BC BB AC ?? = 0。 ③当D 与A 重合时，
（AB ，CD ）=（AB ，CA ）=
∞=??AA BC BA AC 。
④D 为无穷远点时，则有
（AB ，CD ）=（AB ，CD ∞）==∞)()(ABD ABC （ABC ）。 可以看出，若第四点为无穷远点，则其交比等于前三个点的单比（ABC ），利用这个性质若无穷远点不在第四个点的位置，可以交换到第四个点的位置，以求其交比。
（4）点列中四点的调和比
调和比是交比的重要特例.当（AB ，CD ）=－1时，称为C ，D 调和分割A ，
淮南师范学院2013届毕业论文
B .或称点偶A ，B 与点偶
C ，
D 调和共轭.D 叫做A ，B ，C 的第四调和点。
应当注意，在调和分割中，两对点的关系是完全对等的。
点列中四点A ，B ，C ，D 所组成的交比可以有六个交比值，在一般情况下，
这六个交比值是不等的，但当且仅当这四个点适当地编排顺序，可以组成调和共轭的两对点偶时，（注意排除两点重合和虚点不考虑），那么这六个交比值才有相同的。
（5）线束的交比和调和比
①由定义知，四直线A ，B ，C ，D 的交比为
)()(ABD ABC =AD
BC BD AC ??，注意这个定义中数目的排列。
②要注意定理4.7：如果线束S 的四线A ，B ，C ，D 被任何一条直线S 截于四点
A ，
B ，
C ，
D ，则（AB ，CD ）=（AB ，CD ）的证明。
3.2一维基本形的射影对应
3.2.1透视对应
如果一个点列和一个线束的元素之间建立了一一对应且对应元素是结合的，
则这个对应叫做透视对应，点列和线束叫做透视的。
显然，点列与线束的透视关系具有对称性.点列与点列或线束与线束的透视关
系都具有对称性.交比在透视对应下不变。
3.2.2射影对应
两个一维基本图形之间的射影对应的性质：
①是一一对应的；
②A ∧B 则B ∧A ；
③具有传递性，即若A ∧B ，B ∧C ，则A ∧C 。
两个点列间的一一对应是射影对应?任何四点的交比与其对应四点的交比相等. 已知两个一维图形的三对对应元素，那么可以确定唯一一个射影对应。
例如，求由两个二重点1，2所确定的对合方程。
解法1 设对合方程为0)(=+'++'d b a λλλλ。
将1，2代入，得A +2B +D = 0，
4A +4B +D = 0，
代入对合方程，得2λλ'-3（λ+λ'）+ 4 = 0。
浅谈高等几何
3.3 二维射影变换
定义1.1 设,'ππ为两个点场.若:'?ππ→满足：
（1）?为双射；
（2）?使得共线点变为共线点；
（3）?保持四点的交比不变；
则称?为点场π到点场'π的一个二维射影对应。
定义 1.2 若两个平面间的一一对应满足下列条件：（1）保持点和线的结合
性；（2）任何共线四点的交比等于对应四点的交比,则此一一对应叫做射影对应.
定义1.3 设在点场π和'π上咯取定了齐次射影坐标系，则下式所决定的对
应
()111112213322112222333311322333'',
0,0.'ij x a x a x a x x a x a x a x A a x a x a x a x ρρρρ=++??=++=≠≠*??=++?
为点场π到'π的一个非奇异线性对应.其中()()123123,,,',','x x x x x x 为对应点的齐次坐标，A 称为这个非奇异线性对应的矩阵.如果'ππ=，且对应点的齐次坐标是关于平面上同一个取定的射影坐标系而论的，则()*为点场π上的一个非奇异线性变换。
定义1.4 两个同底的点场或线场之间的射影对应称为二维射影变换。
显然二维射影变换是特殊的二维射影对应，变换式相对于射影平面上的一个
取定的射影坐标系进行的，()*表示了一个点与其像点的坐标之间的关系，二维
射影变换具有二维射影对应的全部性质.同时，如果我们将()(12312,,,',',x x x x x
)3'x 看成同一个点在平面上不同的射影坐标系下的坐标，则()*式即为射影坐标
变换式，于是，射影坐标变换也可以视为射影变换。
3.4 有关二维射影变换的求法
定理 2.1在一平面内无三点共线的四点(1,2,3,4)i P i =与另一平面内无三点
共线的四点'(1,2,3,4)i P i =唯一确定一个射影对应,使()'1
,2,3,4i i P P i →=。
《高等几何》教学大纲最新
《高等几何》教学大纲 一、课程名称 《高等几何》（Projective Geometry） 二、课程性质 数学与应用数学专业限选课。它跟初等几何、解析几何、高等代数等课程有紧密的联系；它对未来中学数学教师在几何方面基础的培养、观点的提高、思维的灵活、方法的多样起着重要作用，从而大有助于中学数学教学质量的提高和科研能力的培养。本课程的主旨在于拓展读者的几何空间知识，学习了解变换群观点，进而达到训练理性思维的能力，提高数学修养的目的。本课程包括了许多著名的定理，奇妙的图形。通过本课程的学习，可以有效地提高数学审美意识。 本大纲要求本课程的内容处理上实行解析法与综合法并用，以解析法为主。前修课程包括：初等几何、解析几何、数学分析、高等代数、近世代数。 三、课程教学目的 通过本课程的学习，使学生掌握射影几何的基本内容和处理几何问题的方法，同时也认识射影几何、仿射几何、欧氏几何的内在联系，以及在初等几何和解析几何中的应用，并为学习数学的其他分支打好基础。尤其是对无穷远元素的认识和理解，以开拓同学们的思维方式和视野，使同学们能以居高临下的观点来处理初等数学问题。 四、课程教学原则和方法 1、理论与实践相结合的原则； 2、《高等几何》知识与高等数学中的其它知识相结合原则； 3、《高等几何》知识与初等几何知识相结合的原则； 4、在课堂教学中使用传统的讲解法，并适当采用教具演示的方法相结合的原则； 5、讲解法与自学相结合的原则。 五、课程总学时 72学时，习题课占1/5。
六、教学内容要点及建议学时分配 课程教学内容要点及建议学时分配 第一章仿射坐标与仿射变换（计划学时6） 一、本章教学目标：通过本章的学习，掌握透视仿射对应(变换)，仿射对应(变换)以及其代数表达式等。 二、本章主要内容： 第一节透视仿射对应 1、弄清共线三点的单比和透视仿射对应的基本概念。 2、熟练掌握透视仿射对应的四个性质---保持同素性、结合性、共线三点的单比和平行性。 第二节仿射对应与仿射变换 1、掌握平面上的透视链、二直线间和二平面间的仿射对应与仿射变换的概念。 2、掌握仿射对应与仿射变换的性质。 第三节仿射坐标
二建市政实务必背知识点
1. 柔性路面：荷载作用下产生的弯沉变形较大、抗弯强度小，它的破坏取决 于极限垂直变形和弯拉应变。包括沥青混凝土（英国标准称压实后的混合料为混凝土）面层、沥青碎石面层、沥青贯入式碎（砾）石面层等。 刚性路面：弯拉强度大，弯沉变形很小，它的破坏取决于极限弯拉强度。刚性路面主要代表是水泥混凝土路面，包括接缝处设传力杆、中业教育不设传力杆及设补强钢筋网的水泥混凝土路面。 2.土工合成材料种类与用途：种类与用途 （1）路堤加筋（2）台背路基填土加筋（3）过滤与排水（4）路基防护 3.基雨期施工要求 （1）对于土路基施工，要有计划地集中力量，组织快速施工，分段开挖，切忌全面开挖或挖段过长。 （2）挖方地段要留好横坡，做好截水沟。坚持中业网校当天挖完、填完、压完，不留后患。因雨翻浆地段，换料重做。 （3）填方地段施工，应留2%3%的横坡整平压实，以防积水。 4.双代号时标网络图自由时差/总是差/工期计算/索赔 5.化横道图，注意逻辑关系。 6.钢丝检验每批重量不得大于60t；
7.隧道之间或中业牛叉网校隧道与其他建（构）筑物之间所夹土（岩）体加固处理的最小厚度为水平方向1.0m，竖直方向1.5m。 8.氧化沟是传统活性污泥法的一种改型。 9.水池满水试验。 10.埋设在车行道下时，不得小于0.9m；埋设在非车行道（含人行道）下时，不得小于0.6m；埋设在庭院时不得小于0.3m；埋设在中业教育水田下时，不得小于0.8m。 11.HDPE 膜生产焊接 （1）通过试验性焊接后方可进行生产焊接。 （2）每一片HDPE 膜要在铺设的当天进行焊接。 12.需要专家论证的工程范围： 1）深基坑工程：①开挖深度超过5m（含5m）的基坑（槽）的土方开挖、支护、降水工程。 2）模板工程及支撑体系：①工具式模板工程；包括滑模、爬模、飞模工程。②混凝土模板支撑工程：搭设高度8m及以上；搭设跨度18m 及以中业伴您铸就辉煌上；施工总荷载15kN/m2 及以上；集中线荷载20kN/m 及以上。
高等几何试卷及答案
《高等几何》考试试题A 卷(120分钟) 一、填空题(2分?12=24分) 1 平行四边形 ;2、直线0521=+x x 上无穷远点坐标为: (5,-1,0) 3、已知3),(4321=l l l l ,则=),(1234l l l l 3 =),(4231l l l l -2 4、过点A(1,i - ,2)的实直线的齐次方程为: 0231=-x x 5、方程0652 2 2121=+-u u u u 表示的图形坐标 (1,2,0) (1,3,0) 6、已知OX 轴上的射影变换式为312'+-= x x x ,则原点的对应点 -3 1 7、求点)0,1,1(-关于二阶曲线0547533231212 322 21=+++++x x x x x x x x x 的极线方程063321=++x x x 8、ABCD 为平行四边形,过A 引AE 与对角线BD 平行,则),(DE BC A = -1 9、一点列到自身的两射影变换a):21→,32→,43→; b):10→,32→,01→ 其中为对合的就是: b 10、求射影变换012'=+-λλλ的自对应元素的参数 1 11、两个线束点列成透视的充要条件就是 底的交点自对应 12、直线02321=+-x x x 上的三点)1,3,1(A ,)1,5,2(B ,)0,2,1(C 的单比)(ABC = 1 二、求二阶曲线的方程,它就是由下列两个射影线束所决定的: 130x x λ-=与23'0x x λ-= 且 '2'10λλλλ-++=。 解:射影对应式为'2'10λλλλ-++=。 由两线束的方程有:1233 ,'x x x x λλ= =。 将它们代入射影对应式并化简得, 2 122313320x x x x x x x +-+= 此即为所求二阶曲线的方程。
高等几何
第五章高等几何 第一节课程概论 1、本课程的起源与发展 早自欧洲文艺复兴时期，由于绘图和建筑等的需要，透视画的理论逐步形成，以后便建立了画法几何。法国数学家蒙日(GaspardMonge，1746-1818)在1768到1799年之间和1809年分别出版了画法几何和微分几何两部经典著作，由于画法几何理论的发展，他的学生彭色列（JeanPoncelet，1788-1867)继承了这两部著作中的综合思想，于1822年写了一本书，它是射影几何方面最早的专者。继彭色列之后，法国人沙尔(Michel Chasles，1793-1880) 等对射影几何的研究都做出了重要贡献。出生于德国数学家史坦纳(Jacob Steiner，1796-1863)改进了射影几何的研究工具，并且把它们应用到各种几何领域，因而得到了丰硕结果。 到了19世纪上半叶，几何学的发展经历了它的黄金时代。在这期间，古典的欧几里得几何学不再是几何学的唯一对象，射影几何学正式成为一门新学科。英国人凯莱（Cayley，1821-1895）和德国人克莱因（Christian Felix Klein，1849-1925）等人用变换群的方法研究了这个分支，射影几何便成为完整独立的学科。 射影几何的诞生诱发于透视理论，一个射影平面就是由欧几里得平面添加所谓无穷远直线而得到的。克莱因对于几何学理论的统一性有着执著的追求，他在成功地把几种度量几何统一于射影几何之后，就立即在更深层次上寻求统一各种几何学理论的基础。 在19世纪，人们开始把几何中图形的一些性质看作是一种“变换”运动的结果。如正方形的“中心对称性”，就是将正方形绕其两条对角线的交点O“旋转”180°后仍重合的结果。正方形的“轴对称性”，就是将正方形绕过O点的水平轴“反射”（即翻转）180°后仍重合的结果。这里的“旋转”、“反射”就可以分别被看作是一种“变换”。更为重要的是，数学家们进一步发现，这个正方形上的所有旋转、反射、平移等变换所构成的集合，满足群的条件，因而构成一个“变换群”。另外，人们还看到，在欧几里得几何中，图形在作旋转、反射、平移等变换的过程中，该图形中线段的长短、角的大小是保持不变的。于是人们就称“长度”、“角度”是这种变换中的不变量。这就导致了对几何中“不变量”理论的研究，并将它与群论结合起来。
数学学习之我见为题目的总结
数学学习之我见为题目的总结 [摘要] 本文以《高等几何》课程学习为例浅谈作者数学学习过程中概念的学习及课堂上、课后的学习复习经验和学数学过程中自信与兴趣的培养。 绪言： 数学是具有严谨逻辑的高度抽象概括的理论。它的学习与文科的学习不同，是数学思维活动的学习。①这个思维活动的学习过程很艰苦，但在《高等几何》这门课程的学习中，我悟出了一些学习数学的小窍门，可以把这个艰苦的过程转化为一种的乐趣，现在写出来同大家一起分享。 一、数学概念巧记忆 “概念形成主要依赖的是对感性材料的抽象，概念同化主要依靠的是对知识经验的概括。”②这就是说，要掌握概念就是要充分抽象感性材料和概括知识经验。在学到交比那一节时，发现（P1P2,P3P4）=(λ1-λ3) (λ2-λ4)/（λ2-λ3）（λ1-λ4）等式右边不太好记，这时抽象的看一下，原来只记住式子里λ的下标就可以把式子写出来了，所以一个小口诀“1324，2314”就完全搞定了原来让人觉得头疼的公式。于是，我在学到“简单矩形六点形的对边”时如法炮制：因为简单六点形的对边分别为 A1A2与A4A5、A2A3与A5A6、A3A4与A6A1。这么一长串的对边变
成了“1245，2356，3461”后同样也多念两遍，这个概念的记忆就显得很轻松了。 可是，大多数的数学定理并不像公式那么整齐，不能编小口诀，那怎么办呢？其实也很简单，把同一类型的题型理出来一个个攻下来后，那些概念自然就烂熟于心了。例如在刚学到Desargues定理时，我觉得定理很绕口，于是我就先看后面的“应用举例”。发现例1.14，例1.15与习题1，6，7都是同一类型的，特别是习题6，几乎就是例1.15的一个翻版。套用定理做完这几题后我就归纳出了用Desargues定理证明共点线和共线点的方法，就是找对应顶点连线或对应边交点的问题，而图上一般只有10个点，去掉一个点后就只剩了9个，也就是透视轴加两个三角形了。这样一看，Desargues定理就在运用中活学活记在了脑海里，也不觉得绕口了。实践出真知，数学学习看来的确需要多做题才能有所领悟。 二、课堂主动效率高 “早起的鸟儿才能抓到虫子吃。”有预习习惯的人会比没有的人学得轻松的多。但不是每个人每堂课前都能预习的，很多时候我们没有那么多时间。那么，课前没有预习该怎样去尽量听好课、提高课堂效率呢？坦白说，我的预习习惯不是太好，因为时常会没有时间，或者对自己比较有自信。我一直都觉得上课效率决定一切。上课时保持比老师快一步的节奏听课是我最喜欢的，因为那样相当轻松。比如在学定理2.12 “Poncelet定义
二建市政知识点总结
城市道路主要分为刚性路面和柔性路面两大类 一、城市沥青路面道路的结构组成 （一)路基 路基的断面形式分为：路堤、路堑和半填半挖三种。从材料上分为：土路基、石路基、土石路基三种。(二）路面 行车荷载和自然因素对路面的影响随深度的增加而减弱。对路面材料的强度、刚度和稳定性也随深度增加而降低。路面分为垫层、基层和面层三结构层。 1.面层 面层应具有较高的结构强度、刚度、耐磨、不透水和高温稳定性,并且其表面层还应具有良好的平整度和粗糙度。面层分为磨耗层、上面层、下面层或称为表面层、中面层、下面层。 ２.基层 基层是路面结构的主要承重层,应具有足够的、均匀一致的强度和刚度。沥青类面层下的基层应有足够的水稳定性。 用作基层的主要材料有: (1）整体型材料。特点：强度高、整体性好、适宜交通量大、轴载重的道路。 (2)嵌锁型和级配型材料。包括级配碎(砾)石、泥灰结碎（砾）石和水结碎石三种。 3.垫层。介于基层与土基之间。作用：改善土基的湿度和温度状况，扩散荷载应力。要求:其水稳定性必须要好。 （1)路基经常处于潮湿或过湿路段，以及在季节性冰冻地区应设垫层。 (2）垫层材料有粒料和无机结合料稳定土两类。 (3）垫层厚度一般≥1５０mｍ (二）沥青路面结构组合的基本原则 1．面层、基层的结构类型及厚度应与交通量相适应。 2．层间必须紧密稳定,保证结构整体性和应力传递的连续性。 ３.各结构层的回弹模量自上而下递减。 4．层数不宜过多。 ５.在半刚性基层上铺筑面层时,城市主干路、快速路应适当加厚或采取其他措施减轻反射裂缝。 二、路基与路面的性能要求 （一)路基的性能要求 １.整体稳定性 2.变形量 (二)路面的使用指标 1.平整度。为减缓路面平整度的衰变速率,应重视路面结构及面层材料的强度和抗变形能力。 2.承载能力。路面必须具有足够抗疲劳破坏和塑性变形的能力,即具备相当高的强度和刚度。 3.温度稳定性。路面必须保持较高的稳定性，即具有较低的温度、湿度敏感度。 4.抗滑能力。路面应平整、密市。粗糙,耐磨,具有较大的摩擦系数和较强的抗滑能力。 5.透水性。路面应具有不透水性。 6．噪声量。尽量使用低噪声路面。 路基施工多以人工配合机械施工,采用流水或分段平行作业。 路基工程 一、路基施工程序 1）准备工作。（组织准备、物质准备、技术准备)?2）修建小型构造物与埋设地下管线。 必须遵循“先地下，后地上”、“先深后浅”的原则来完成。 3)路基（土、石方）工程
高等几何教学大纲.
《高等几何》课程教学大纲 课程编码： 课程性质：选修 学时数：54 学分数：3 适用专业：数学与应用数学 【课程性质、目的和要求】 高等几何的主要内容是具有悠久历史，至今仍富生命力的射影几何。它不仅在提高学生空间几何直观想象能力方面有独特的作用，而且在论证方法、思维方式方面还具有不同于初等几何、解析几何、高等代数的巧妙灵活的特点。 通过高等几何（或射影几何）的学习，可以使学生从较高的观点处理初等几何、解析几何的一些问题，以便更深入地理解中学几何教材，并掌握近代几何知识与方法，这对学生在几何方面观点的提高、思维的灵活、方法的多样性的培养都起着特别重要的作用，从而有助于学生数学素质的提高和科研能力的培养。 本课程在研究方法上利用代数法和综合法，目的之一是便于学生进一步学习高维空间上的射影几何，目的之二是加强直观性，以便开发智力，启迪思维。在内容编排上应做到由浅入深，由易到难，循序渐进，要特别注意理论基础的系统性与严密性，尽可能做到与中学数学实际相结合，本课程应特别注意对概念及解题方法的分析。 通过本课程的学习，要求学生理解并熟练掌握平面射影几何的基本概念和理论。了解几何学的群论观点和各种几何学之间的联系和差别。学会统一处理几何问题的方法特别要学会利用二次曲线的射影理论处理仿射几何和度量几何方面的有关问题，以便提高学生分析问题和解决问题的能力。 【教学内容、要点和课时安排】 第一章仿射坐标与放射变换（8学时） 【目的要求】掌握透视仿射对应、仿射对应与仿射变换；掌握仿射坐标系；熟练求出仿射变换的代数表示式；理解仿射性质。 【教学重点】仿射坐标系 【难点】仿射性质的理解 【教学内容】 第一节透视仿射对应 第二节仿射对应与仿射变换 第三节仿射坐标
高等几何复习10-11-1
高等几何复习10?11?1 *号题仅供参考。 一、选择题 1. 下列图形（）具有仿射性质 (A) 两条直线平行；(B) 两个三角形全等； (C) 一个角的大小；(D) 正三角形的高。 2. 下列性质（）是仿射性质 (A) 三角形的高线共点；(B) 三角形的中线共点； (C) 角平分线上的点到两边等距；(D) 三角形内接与一个圆。 3. 点(3,5) 的齐次坐标为（） (A) (6,10,2)；(B) (9,15,3)；(C) (3,5,2)；(D) (3,5,0). 4. Y轴的单位点的齐次线坐标为（） (A) (0,1,0)；(B) (1,0,0)；(C) (0,0,0)；(D) (0,0,1). 5. X轴的单位点的齐次坐标为（） (A) (0,1,0)；(B) (1,0,0)；(C) (0,0,0)；(D) (0,0,1). 6. 原命题与对偶名题的真假关系（） (A) 原真则对偶真；(B) 原真则对偶假；(C) 原假则对偶假；(D) 原假则对偶真。 7. 一复直线上有几个实点（） (A) 1；(B) 2；(C) 3；(D) 4. 8. 设A(a),B(b)是两个不同的普通点, C(a+λb)为直线AB上的一点，且(ABC)=U, 则U= ( ). (A) U= ?λb3/a3；(B) U=λa3/b3；(C) U=λa2/a3；(D) U=λ. 9. 若a,b,a+kb,a+sb, ( k·s·(k?s)≠0)是共点线L1,L2,L3,L4的齐次坐标，则(L1L2,L3L4) =( ). (A) k/s；(B) s/k；(C) k2/s2；(D) k2s2. 10. 射影变换基本不变量是( ) . (A) 两直线的夹角；(B) 点线的结合性；(C) 单比；(D) 交比。 11. 仿射几何基本不变图形是( )。 (A) 点；(B) 线；(C) 圆；(D) 无穷远直线。 12.直线2x?y+1=0上无穷远点的齐次坐标是( ). (A) (2,1,0)；(B) (1,?2,0)；(C) (2,1,1)；(D) (1,?2,1). 13.原点的方程是( ). (A) u1=0；(B) u3=0；(C) u2=0；(D) u1=u3=0. 14.自极三角形的特征是( )。 (A) 每一个顶点都是其对边的极点；(B) 每一个边是其端点的极线； (C) 三顶点互为极点；(D) 三边互为极线。 15. 二次曲线上一点p的极线是( )。 (A) 直径；(B) 切线；(C) 无穷远切线；(D) 渐近线。 16.共线四点A、B、C、D交比的定义是(AB,CD)= ( )。 (A) AB/CD；(B) AC/BD；(C) (ABC)/(ABD)；(D) (ACD)/(BCD)。 17.两个射影点列成透视的充要条件是( )。 (A) 存在自对应点；(B) 交比不变；(C) 点列交点自对应；(D) 有两个自对应点。 18. 下列性质哪一个是图形的射影性质( )。 (A) 三角形的面积比；(B) 两条直线垂直；(C) 两条直线平行；(D) 两点共线。 19. 如果(P1P2, P3P4)=2, 则(P2P1, P3P4) = ( ). (A) 1/2；(B) 1?1/2；(C) 2；(D) ?1.
《高等几何》复习大纲、样题及答案全
《高等几何》复习大纲 仿射坐标与仿射变换 一、要求 1.掌握透视仿射对应概念和性质，以及仿射坐标的定义和性质。熟练掌握单比的定义和坐标表示。 2.掌握仿射变换的两种等价定义；熟练掌握仿射变换的代数表示，以及几种特殊的仿射变换的代数表示。 3.掌握图形的仿射性质和仿射不变量。 二、考试容 1.单比的定义和求法。 2.仿射变换的代数表示式，以及图形的仿射性质和仿射不变量。 3.仿射变换的不变点和不变直线的求法。 射影平面 一、要求 1.掌握中心射影与无穷远元素的基本概念，理解无穷远元素的引入。 2.熟练掌握笛萨格（Desargues）定理及其逆定理的应用。 3.熟练掌握齐次点坐标的概念及其有关性质。 4.理解线坐标、点方程的概念和有关性质。 5.掌握对偶命题、对偶原则的理论。 二、考核容 1.中心投影与无穷远元素
中心投影，无穷远元素，图形的射影性质。 2.笛萨格（Desargues）定理 应用笛萨格（Desargues）定理及其逆定理证明有关结论。 3.齐次点坐标 齐次点坐标的计算及其应用。 4.线坐标 线坐标的计算及其应用。 5.对偶原则 作对偶图形，写对偶命题，对偶原则和代数对偶的应用。 射影变换与射影坐标 一、要求 1.熟练掌握共线四点与共点四线的交比与调和比的基本概念、性质和应用。 2.掌握完全四点形与完全四线形的调和性及其应用。 3.掌握一维射影变换的概念、性质，代数表示式和参数表示式。 4.掌握二维射影变换的概念、性质以及代数表示式。 5.理解一维、二维射影坐标的概念以及它们与仿射坐标、笛氏坐标的关系。 二、考试容 1.交比与调和比 交比的定义、基本性质及其计算方法，调和比的概念及其性质。 2.完全四点形与完全四线形 完全四点形与完全四线形的概念及其调和性。
南京师范大学《高等几何》课程教学大纲
南京师范大学《高等几何》课程教学大纲 课程名称：高等几何（Higher Geometry） 课程编号：06100020 学分：3 学时：90 先修课程：解析几何, 高等代数(I), 数学分析(I) 替代课程：无 一、课程教学目的 本课程是大学数学类专业的主干基础课程之一。本课程在学生具备初等几何、解析几何、高等代数、数学分析知识的基础上，系统地学习射影几何的基本知识，使学生能用变换群的观点来看待几何学，加深对几何学的理解，拓展几何空间概念。通过本课程利用商空间思想研究亏格为零不可定向的闭曲面上的几何学的训练，一方面使得学生拓宽眼界，扩大知识领域，提高抽象思维、理性思维能力，为进一步的数学学习打下基础；另一方面使得学生加深对中学几何特别是解析几何的理论与方法的理解，从而获得用高观点来处理中学几何问题的能力，为未来的中学几何教学打下基础；第三，本课程包括了许多著名的定理，奇妙的图形，匪夷所思的处理技巧，通过本课程的学习，可以有效地提高数学审美意识。 概括来说，学习本课程后，要使得学生有如下收获：（1）空间不只是平直的，除欧氏空间外，还有很多其他的空间。即让学生在空间观念上有一个提升；（2）进一步让学生了解处理几何问题不只是可以用综合法，还可以用解析法；（3）深刻理解对偶原理，认识到射影几何是与欧氏几何完全不同的几何学；（4）深刻理解射影变换及其性质，认识到射影几何是研究射影图形在射影变换下的不变性和不变量的一门科学；（5）深刻理解Klein的变换群观点，即研究某空间中的图形在它的某变换群作用下不变的性质和数量的科学就称为一门几何学；（6）深刻了解一些平面射影图形的射影性质。如：点列，线束，完全n点（线）形，二次曲线的射影性质。（7）学会构造射影图形。因为我们的纸张是欧氏平面，所以在其上构造射影图形还是有很多技巧，学生要深刻领会这些技巧。 二、教学任务 通过课堂教学、课外辅导等多个教学环节，教师主要完成下列教学任务： 1、完成上述教学目的。 2、培养学生树立科学世界观、人生观和价值观，具有良好的思想道德素养和团结协作的精神，具有一定的社会责任感、宽广的胸怀和创新意识。 3、使学生了解近代几何学的发展概貌及其在社会发展中的作用，了解数学科学的若干最新发展状况。 4、培养学生的各种数学能力，不仅要教会学生用研究的眼光（即经常想一想当初数学家是如
高等几何复习题
高几复习题 1． 求仿射变换，它使点)1,1(, )1,1(,)0,0(-依次变成 点)7,3(, )5,2(, )3,2(-． 解：设所求仿射变换式为 '11121 '21222 x a x a y a y a x a y a ?=++?=++? 将三对对应点坐标分别代入上式，解得 仿射变换式为 ????? ++-='+-='3 6422121y x y y x x （注：不共线的三对对应点唯一确定仿射变换） 2． 求仿射变换，它使直线012=-+y x 上每一点都不动，且将点)1,1(-变成点)2, 1(-． 解：设所求仿射变换式为 '11121 '21222 x a x a y a y a x a y a ?=++?=++? 在直线012=-+y x 上任取两点，将三对对应点坐标分别代入上式， 解得仿射变换式为 ''22133222 x x y y x y ?=+-? ?=--+??
43210 2, 03, 0, 02=+=-=-=-y x y x y x y x 1）求证四直线共点； 2）求 ),(3421l l l l ． 解：1）易见，四直线都通过原点，所以它们共线． 2)可以用斜率计算得 3 2) )(())((),(132423143421=----= k k k k k k k k l l l l 思考斜率不存在怎么解决？（见下题） 4．已知四点)1,8,1(),5,0,3(),2,1,1(),1,2,1(D C B A ---． 1）证明：D C B A , , , 四点共线； 2）求交比(,)AC BD ． 解：⑴ 因为 01 8 1 211121,05 3 211121 =--=--- 所以 D C B A , ,, 四点共线． ⑵ 设B A D B A C 21λλ+=+= 经计算：3 22 21= -=λλ． 所以 3),(2 1 -==λλCD AB ， 从而 (,)1 ( 3)A C B D =--=
7月浙江自考高等几何试题及答案解析
1 浙江省2018年7月自学考试高等几何试题 课程代码：10027 一、单项选择题(本大题共5小题，每小题2分，共10分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.在三角形的以下性质中是仿射性质的是( ) A.垂心 B.重心 C.内心 D.外心 2.以下四条直线中所含的无穷远点与其他三条不同的是( ) A.x y x y 121)1(2+=++ B.11)(2=++x x y C.x +2y =0 D.过点(1,3),(3,2)的直线 3.已知A ,B ,C ,D 四点是调和点列，任意调整它们次序后所得交比不会出现的是( ) A.1 B.2 C.-1 D. 2 1 4.椭圆型射影对应的自对应元素是( ) A.两个互异的实元素 B.两个互异的虚元素 C.两个重合的实元素 D.两个重合的虚元素 5.唯一决定一条二阶曲线需无三点共线的( ) A.3点 B.4点 C.5点 D.6点 二、填空题(本大题共5小题，每小题2分，共10分) 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 6.两点-3u 1+u 2+2u 3=0,2u 1-u 2+3u 3=0连线的坐标是_________. 7.若对合a μμ′+b (μ+μ′)+c =0是椭圆型的,则系数满足_________. 8.完全四线形的每一条对角线上有一组调和点列,即这直线上的两个顶点和_________. 9.椭圆上四定点与其上任意第五点所联四直线的交比为_________.
2 10.平面上任一圆通过的两个固定点称为_________. 三、计算题(本大题共6小题，每小题6分，共36分) 11.求使三点A (0,0),B (1,1),C (1,-1)变到三点A ′(1,1),B ′(3,1),C (1,-1)的仿射变换. 12.已知平面上有点A (2,1),B (4,2),C (6,-3),D (-3,2),E (-5,1),求A (BC ,DE ). 13.求射影变换式,使它的不变元素的参数是λ1=-1,λ2=3,并且使λ3=1变为3 λ'=0. 14.求射影变换??? ??--='-='-='3213 212 211 36 4 x x x x x x x x x x ρρρ的二重直线. 15.求两个成射影对应的线束x 1-λx 2=0，x 2-λ′x 3=0,(λ′= λ λ +1)所构成的二阶曲线的方程. 16.求二次曲线x 1x 2+x 1x 3+x 2x 3=0的中心. 四、作图题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）（第18题写出作法） 17.作出下列图形的对偶图形: 题17图 18.已知二阶曲线上五点A ,B ,C ,D ,E ,求作该曲线上点A 处的切线. 题18图 五、证明题(本大题共3小题，第19小题和第20小题各10分，第21小题8分，共28分)
高等几何第一章体会
第一章心得体会 0817010001 聪 让我们回顾这一章，先从几个问题出发： 1、在这一章中，蕴含了的最主要的数学思想是什么？ 2、怎样运用仿射几何的知识解题，它的常用方法有哪些？怎样才能构造一 道能在运用仿射知识的题目? 3、对于课本12页里面的一句话：相似变换总能分解为一个正交变换与一个 位似变换的乘积。这句话应该怎样理解？ 4、从变换的角度看，欧氏几何为什么是特殊的仿射几何？ 在我们中学时，我们就接触过这样的两种思想：特殊，一般。老师经常嘴上念着：从一般到特殊，再从特殊到一般。但是那时这种思想还没深入人心。而通过高等几何，我们可以随处发现特殊与一般的思想，它无处不在。 我们通过序言的学习，已经大概明白了射影几何比仿射几何大，仿射几何比欧氏几何大。例如，在射影几何中就有无穷远点与无穷直线、齐次坐标一说，而欧氏几何没有；又如在欧氏几何中的某些变换不存在二重点时，与此相对应的射影几何的射影变换有可能存在二重点。从中我们就可以得出它们蕴含了一般与特殊的思想：欧氏几何是特殊的仿射几何，仿射几何是欧氏几何的一般情况；仿射几何是特殊的射影几何，射影几何是仿射几何的一般情况。但是，对于研究的性质方面来说，欧氏几何的内容比仿射几何的内容多，仿射几何比射影几何的内容多。因此，凡是在仿射几何、射影几何中成立的性质在欧氏几何中也成立。 让我们考虑怎样运用射影几何的知识解题。射影几何的变换比欧氏几何的变换多，因此我们构造映射： '''' Φ→ V V x y :, 这里的Φ我们规定为仿射变换，'V为仿射几何。而'x，'y为仿射几何里面 'y为'x在仿射变换Φ下对应的元素。通过这个映射我们可以怎样解决的元素，且 问题呢？我们可以这样思考：我们一般要证明的问题是让它在欧氏几何中成立，如果它在仿射几何中成立，那么自然在欧氏几何中成立；而如果它在欧氏几何中成立，它不一定在仿射几何中成立。因此变换这一观点非常重要。就如对于一个欧氏空间上的椭圆，我们用欧氏几何的正交变换，只能由椭圆变到椭圆。而如果我们考虑的是仿射几何，我们用仿射变换，能由椭圆变到圆，也能由圆变到椭圆。 因此，我们突出的一点是仿射变换，而对于仿射几何的常用方法，常用的工具是仿射坐标系与仿射变换。下面我们以求证任意三角形的三条中线交于一点为例。虽然此证法在高中以及平面解析几何中至少有3种证法，此外还可以用德萨格逆定理来解决此问题，但是这里，我们规范地用仿射知识两种方法给出解答。 首先，采用仿射坐标系的方法。 我们画出图形，如图一：
高等几何学习指导
《高等几何》学习指导
第一章仿射坐标与仿射变换 一、教学目的要求 1、理解透视仿射对应、仿射对应和仿射变换的概念，注意其区别和联系； 2、熟练掌握共线三点单比的概念及其坐标表示法； 3、理解仿射不变性与仿射不变量的概念，并能利用它们证明平面图形的其它仿射性质； 4、熟练掌握仿射变换的代数表示. 二、教学重点、难点 重点： 透视仿射对应、仿射变换的概念；仿射不变性与仿射不变量；仿射变换的代数表示和共线三点单比的坐标表示法. 难点：透视仿射对应的概念、特征及判断. 三、内容小结 本章主要介绍下述内容： 1、共线三点单比（简比）的概念 2、透视仿射对应 1）、概念： ①、同一平面内，直线l到直线/l的透视仿射对应； ②、平面π到平面/π的透视仿射对应. 2）、判断：对应点连线互相平行.
3）、性质： ①、保持同素性； ②、保持结合性； ③、保持平行性； ④、保持共线三点单比不变. 3、仿射对应与仿射变换 概念：透视仿射链. 4、仿射坐标 1）、仿射坐标系； 2）、共线三点单比的坐标表示： 设3131 1233232 (,),(1,2,3),()i i i x x y y P x y i PP P x x y y --== = --则； 3）、仿射变换的代数表示：/111213 /212223 x a x a y a y a x a y a ?=++??=++??， 1112 2122 0a a a a ?= ≠； 5、仿射性质 1）、仿射不变性：同素性、结合性、平行性. 2）、仿射不变量： 共线三点的单比； 两条平行线段之比； 两个三角形面积之比； 两个封闭图形面积之比. 3）、常见的仿射不变图形：三角形、平行四边形、梯形. 四、例题
高等几何对初等几何教学指导作用浅析1
高等几何对初等几何教学指导作用浅析 摘要: 高等几何是高等师范院校数学与应用数学专业的一门重要基础课 ,其中贯穿着现代数学 的思想、理念和方法 ,是初等几何的延伸 ,拓展了初等几何的解题途径 ,丰富了初等几何的研究方 法 ,开阔了初等几何的学习视野。本文以实例与分析相结合说明高等几何的点线结合命题对初等几 何的高观点指导作用和在实践中广泛的应用 ,表明高等几何不仅在提高观点方面有独特作用 ,而且 在论证方法 ,思考问题等方面具有独特的巧妙、灵活等特点。 关键词：高等几何；初等几何； 初等几何是以静止的观点研究一些简单而又有规则的图形,高等几何则是以变动的观点研究变 动的图形.相比较而言,它们虽然同属几何学科,但其观点层次的高低不同.高等几何是在初等几何乃 至高等代数等课程的基础上研究几何问题的,它使学生在较高层面上认识几何空间的基本特征、研究 方法、内在联系,确认几何学的本质,从而发展了几何空间概念,并为进一步学习近代数学创造条件. 通过学习高等几何,可以居高临下地认识初等几何的内涵,高等几何不仅为初等几何提供了理 论依据,更为它拓展了解题途径,丰富了研究方法.因此,高等几何对初等几何具有现实的指导作用, 很有研究、探讨之必要,而且内容非常丰富,甚至是无止境的. 高等几何与初等几何的关系 《高等几何》是高等师范院校数学专业的一门重要的课程.是为学生加深对中学几何的理论和方法的理解，获得较高观点上处理中学几何问题的能力的专业选修课程. 而《初等几何研究》也是高师数学系数学教育专业的一门重要课程，是为培养中学数学师资所特有的课程，是培养未来中学数学教师从事初等几何教学和研究的能力，是提高他们数学素质和几何教学水平的重要课程。初等几何是高等几何的基础.而高等几何是初等几何的深化。初等几何研究的问题一般比较直观、单纯，但形成的概念和积累的技巧对高等几何往往影响深远；高等几何虽然抽象、复杂，但内容和方法却常常可以在初等几何中找到其根源，所以高等几何由于引入了无穷元素，因而处理问题的手段比初等几何高明，作为数学工具也就更具有一般性.从内容上讲，高等几何点变换的观点把初等几何中的正交变换扩大到仿射变换，再扩大到射影变换，从而把几何空间的概念也由欧氏空间扩大到仿射空间，再扩大到射影空间；坐标系也由笛卡尔坐标系扩大到仿射坐标系和射影坐标系.几何学的基本元素方面，也由以点为基本元素的点几何学化为以直线为基本元素的线几何学，并且由有限元素扩大到无穷远元素，由实元素扩大到复元素. 高等几何在初等几何中的应用 欧氏几何作为仿射几何、射影几何的子几何，使我们有可能把初等几何、解析几何放到更为广阔的背景中去考虑，有助于弄清欧氏几何与其它几何的联系与区别，以便从高观点下把握和处理中学教材，将高等几何的思想应用在初等几何中，这无疑对初等几何的教学有很大的指导作用。下面我们就通过几个实例可以看出高等几何对初等几何的指导作用。
高等几何复习
[课外训练方案]部分 第一章、仿射坐标与仿射变换 第二章、射影平面 一、主要内容： 基本概念： 射影直线与射影平面 ；无穷远元素；齐次坐标；对偶原理；复元素 基本定理： 德萨格定理： 如果两个三点形对应顶点连线共点，则其对应边的交点在一条直线上。 德萨格定理的逆定理： 如果两个三点形对应边的交点在一条直线上，则对应顶点连线共点 对偶原理： 在射影平面里，如果一命题成立，则它的对偶命题也成立。 二、疑难解析 无穷远点：在平面上，对任何一组平行直线，引入一个新点，叫做无穷远点.此点在这组中每一条直线上，于是平行的直线交于无穷远点.无穷远点记为P ∞，平面内原有的点叫做有限远点. 无穷远直线：所有相互平行的直线上引入的无穷远点是同一个无穷远点，不同的平行直线组上，引入不同的无穷远点，平面上直线的方向很多，因此引入的无穷远点也很多，这些无穷远点的轨迹是什么呢？由于每一条直线上只有一个无穷远点，于是这个轨迹与平面内每一直线有且只有一个交点.因此，我们规定这个轨迹是一条直线，称为无穷远直线.一般记为∞l ，为区别起见，平面内原有的直线叫做有穷远直线. 平面上添加一条无穷远直线，得到的新的平面叫做仿射平面.若对仿射平面上无穷远元素（无穷远点、无穷远直线）与有穷远元素（有穷远点、有穷远直线）不加区别，同等对待，则称这个平面为射影平面. 三、典型例题： 1、 求直线10x -= 与直线340x y -+=上无穷远点的齐次坐标 解：（1）直线10x -= 即 1x =它与y 轴平行 所以位y 轴上的无穷远点 (0,1,0) (2) 由直线340x y -+= 得1433y x = +故无穷远点为1 (1,,0)3 或（3，1，0） 2、求证：两直线1230x x x +-= 和123220x x x -+= 的交点C 与两点 (3,1,2),(2,A B 三点共线 证明：解方程组：1231230 220 x x x x x x +-=?? -+=?的交点 (1,4,3)C --
某高校《高等几何》期末考试试卷含答案
某高校《高等几何》期末考试试卷 (120分钟) 一、填空题(2分?12=24分) 1、平行四边形的仿射对应图形为: 平行四边形 ; 2、直线0521=+x x 上无穷远点坐标为: (5,-1,0) 3、已知3),(4321=l l l l ,则=),(1234l l l l 3 =),(4231l l l l -2 4、过点A(1,i - ,2)的实直线的齐次方程为: 0231=-x x 5、方程0652 2 2121=+-u u u u 表示的图形坐标 (1,2,0) (1,3,0) 6、已知OX 轴上的射影变换式为312'+-= x x x ,则原点的对应点 -3 1 7、求点)0,1,1(-关于二阶曲线0547533231212 322 21=+++++x x x x x x x x x 的极线方程063321=++x x x 8、ABCD 为平行四边形,过A 引AE 与对角线BD 平行,则),(DE BC A = -1 9、一点列到自身的两射影变换a):21→,32→,43→; b):10→,32→,01→ 其中为对合的就是: b 10、求射影变换012'=+-λλλ的自对应元素的参数 1 11、两个线束点列成透视的充要条件就是 底的交点自对应 12、直线02321=+-x x x 上的三点)1,3,1(A ,)1,5,2(B ,)0,2,1(C 的单比)(ABC = 1 二、求二阶曲线的方程,它就是由下列两个射影线束所决定的: 130x x λ-=与23'0x x λ-= 且 '2'10λλλλ-++=。
解:射影对应式为'2'10λλλλ-++=。 由两线束的方程有:1233 ,'x x x x λλ= =。 将它们代入射影对应式并化简得, 2 122313320x x x x x x x +-+= 此即为所求二阶曲线的方程。 三、证明:如果两个三点形内接于同一条二次曲线,则它们也同时外切于一条二次曲线。(10分) 证明:三点形ABC 与三点形C B A '''内接于二次曲线(C),设 AB C B ''=D AB C A ''=E B A '' BC=D ' B A ' ' AC=E ',则),,,(B A B A C '''∧),,,(B A B A C ''所 以,),E ,D ,(B A ∧),,,(B A B A C '''∧),,,(B A B A C ''∧)D ,,,E (''''A B 即),E ,D ,(B A ∧)D ,,,E (''''A B 这两个点列对应点的连线AC,B C '',A C '',BC 连同这两个点列的底AB,B A ''属于同一条二级曲线(C '),亦即三点形ABC 与三点形C B A '''的边外切一条二次曲线。 四、已知四直线1l ,2l ,3l ,4l 的方程顺次为12x -2x +3x =0,13x +2x -32x =0, 17x -2x =0,15x -3x =0, 求证四直线共点,并求(1l 2l ,3l 4l )的值。(10分) 解:因为 1 7213 112---=0且1 5 01 7213---=0 所以1l ,2l ,3l ,4l 共点。四直线与x 轴(2x =0)的交点顺次为A(1,0,-2),B(2,0,3),C(0,0,1),D(1,0,5),非齐次坐标为A(- 21,0),B(32,0),C(0,0),D(5 1,0), 所以 (1l 2l ,3l 4l )=(AB,CD)= ) 2 151)(320() 32 51)(210(+--+=21 五、求两对对应元素,其参数为12 1 →,0→2,所确定的对合方程。(10分) 解 设所求为 a λλ'+b(λ+λ')+d=0 ①
《高等几何》课程学习指南
《高等几何》课程学习指南 一、课程目的 本课程是大学数学类专业的主干基础课程之一。本课程在大家具备初等几何、解析几何、高等代数、数学分析知识的基础上，系统地学习射影几何的基本知识，使我们能用变换群的观点来看待几何学，加深对几何学的理解，拓展几何空间概念。通过本课程利用商空间思想研究亏格为零不可定向的闭曲面上的几何学的训练，一方面使得我们拓宽眼界，扩大知识领域，提高抽象思维、理性思维能力，为进一步的数学学习打下基础；另一方面使得我们加深对中学几何特别是解析几何的理论与方法的理解，从而获得用高观点来处理中学几何问题的能力，为未来的中学几何教学打下基础；第三，本课程包括了许多著名的定理，奇妙的图形，匪夷所思的处理技巧，通过本课程的学习，可以有效地提高我们的数学审美意识。 概括来说，学习本课程后，希望大家有如下收获：（1）空间不只是平直的，除欧氏空间外，还有很多其他的空间。即让学生在空间观念上有一个提升；（2）进一步让了解处理几何问题不只是可以用综合法，还可以用解析法；（3）深刻理解对偶原理，认识到射影几何是与欧氏几何完全不同的几何学；（4）深刻理解射影变换及其性质，认识到射影几何是研究射影图形在射影变换下的不变性和不变量的一门科学；（5）深刻理解Klein的变换群观点，即研究某空间中的图形在它的某变换群作用下不变的性质和数量的科学就称为一门几何学；（6）深刻了解一些平面射影图形的射影性质。如：点列，线束，完全n点（线）形，二次曲线的射影性质。（7）学会构造射影图形。因为我们的纸张是欧氏平面，所以在其上构造射影图形还是有很多技巧，我们要深刻领会这些技巧。 二、课程主要内容结构 以平面射影几何为主体，涵盖射影几何，变换群理论，仿射几何等内容，主要包括5个部分： 1、射影平面。包括引论，拓广平面，齐次点坐标，线坐标，射影平面，对偶原则，复元素，Desargues定理等。 2、射影变换。包括交比与调和比，完全四点形与完全四线形的调和性，一维基本形的射影对应，一维射影变换，一维基本形的对合，二维射影变换等。 3、变换群与几何学。包括二维射影变换的特例，平面上的几个变换群，变换群与几何学等。 4、二次曲线理论。包括二次曲线的射影定义，Pascal定理和Brianchon定理，极点与极线，配极变换，二次点列上的射影变换，二次曲线的射影分类，二次曲线的仿射理论，二次曲线的仿射分类等。 5、几何学寻踪。包括Euclid几何学，从Pappus到射影几何学，Descartes与解析几何学，第五公设之争与非欧几何学，Gauss，Riemann与微分几何学，从Cantor和Poincaré到拓扑学，Hilbert 与几何基础等，作为学生课外读物。