高中数学常用公式及结论
1 元素与集合的关系:U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??.A A ??≠??
2 集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n
个;真子集有21n
-个;非空子集有21n
-个;非空的真子集有22n
-个.
3 二次函数的解析式的三种形式:
(1) 一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠;
(2) 顶点式2()()(0)h f x a a k x =-+≠;(当已知抛物线的顶点坐标(,)h k 时,设为此式) (3) 零点式12()()()(0)f x a x x x a x =--≠;(当已知抛物线与x 轴的交点坐标为12(,0),(,0)x x 时,
设为此式)
(4)切线式:02()()(()),0x kx d f x a x a =-+≠+。(当已知抛物线与直线y kx d =+相切且切点的
横坐标为0x 时,设为此式)
4 真值表: 同真且真,同假或假 5
6 )
充要条件: (1)、p q ?,则P 是q 的充分条件,反之,q 是p 的必要条件;
(2)、p q ?,且q ≠> p ,则P 是q 的充分不必要条件; (3)、p ≠> p ,且q p ?,则P 是q 的必要不充分条件;
4、p ≠> p ,且q ≠> p ,则P 是q 的既不充分又不必要条件。
7 函数单调性:
增函数:(1)、文字描述是:y 随x 的增大而增大。
(2)、数学符号表述是:设f (x )在x ∈D 上有定义,若对任意的
1212,,x x D x x ∈<且,都有
12()()f x f x <成立,则就叫f (x )在x ∈D 上是增函数。D 则就是f (x )的递增区间。
减函数:(1)、文字描述是:y 随x 的增大而减小。
(2)、数学符号表述是:设f (x )在x ∈D 上有定义,若对任意的
1212,,x x D x x ∈<且,都有
12()()f x f x >成立,则就叫f (x )在x ∈D 上是减函数。D 则就是f (x )的递减区间。
单调性性质:(1)、增函数+增函数=增函数;(2)、减函数+减函数=减函数; (3)、增函数-减函数=增函数;(4)、减函数-增函数=减函数;
注:上述结果中的函数的定义域一般情况下是要变的,是等号左边两个函数定义域的交集。
(1)设[]1212,,,x x a b x x ∈≠那么
[]1212()()()0x x f x f x -->?
[]b a x f x x x f x f ,)(0)
()(2
121在?>--上是增函数;
[]1212()()()0x x f x f x --
[]b a x f x x x f x f ,)(0)
()(2
121在?<--上是减函数. (2)设函数)(x f y =在某个区间内可导,如果0)(>'x f ,则)(x f 为增函数;如果0)(<'x f ,则)(x f 为减函数. 8函数的奇偶性:(注:是奇偶函数的前提条件是:定义域必须关于原点对称) 奇函数:
定义:在前提条件下,若有()()()()0f x f x f x f x -=--+=或, 则f (x )就是奇函数。
性质:(1)、奇函数的图象关于原点对称;
(2)、奇函数在x >0和x <0上具有相同的单调区间;
(3)、定义在R 上的奇函数,有f (0)=0 . 偶函数:
定义:在前提条件下,若有()()f x f x -=,则f (x )就是偶函数。 性质:(1)、偶函数的图象关于y 轴对称;
(2)、偶函数在x >0和x <0上具有相反的单调区间; 奇偶函数间的关系:
(1)、奇函数·偶函数=奇函数; (2)、奇函数·奇函数=偶函数;
(3)、偶奇函数·偶函数=偶函数; (4)、奇函数±奇函数=奇函数(也有例外得偶函数的) (5)、偶函数±偶函数=偶函数; (6)、奇函数±偶函数=非奇非偶函数
奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y 轴对称;反过来,如果一个函数的图象关于原点对称,那么这个函数是奇函数;如果一个函数的图象关于y 轴对称,那么这个函数是偶函数. 9函数的周期性: 定义:对函数f (x ),若存在T ≠0,使得f (x+T )=f (x ),则就叫f (x )是周期函数,其中,T 是f (x )
的一个周期。
周期函数几种常见的表述形式:
(1)、f (x+T )= - f (x ),此时周期为2T ;
(2)、 f (x+m )=f (x+n ),此时周期为2m n - ; (3)、1
()()
f x m f x +=-
,此时周期为2m 。 10常见函数的图像:
11 对于函数)(x f y =(R x ∈),)()(x b f a x f -=+恒成立,则函数)(x f 的对称轴是2
b
a x +=;两个函数)(a x f y +=与
)(x b f y -= 的图象关于直线2
b a
x -=对称. 12 分数指数幂与根式的性质: (1)m n
a
=
0,,a m n N *>∈,且1n >).
(2)1
m n
m n
a
a
-
=
=
0,,a m n N *
>∈,且1n
>).
(3)
n a =.
(4)当n a =;当n ,0
||,0a a a a a ≥?==?
-
.
13 指数式与对数式的互化式: log b a N b a N =?=(0,1,0)a a N >≠>.
指数性质: (1)1、1p
p
a
a
-=
; (2)、01a =(0a ≠) ; (3)、()mn m n
a a = (4)、(0,,)
r s r s a a a a r s Q +?=>∈ ; (5)、m n
a = ;
指数函数:
(1)、 (1)x y a a =>在定义域内是单调递增函数;
(2)、 (01)x y a a =<<在定义域内是单调递减函数。注: 指数函数图象都恒过点(0,1) 对数性质:
(1)、 log log log ()a a a M N MN += ;(2)、 log log log a a a M
M N N
-= ; (3)、 log log m a a b m b =? ;(4)、 log log m n
a a n
b b m
=? ; (5)、 log 10a = (6)、 log 1a a = ; (7)、 l o g a b
a b =
对数函数:
(1)、 log (1)a y x a => 在定义域内是单调递增函数;
(2)、log (01)a y x a =<<在定义域内是单调递减函数;注: 对数函数图象都恒过点(1,0) (3)、 l o g 0
,(0,1),(1,a x a x a x >?∈∈+∞
或 (4)、log 0(0,1)(1,)a x a x ∈∈+∞则 或 (1,)(0,1)a x ∈+∞∈则 14 对数的换底公式 :log log log m a m N
N a
=
(0a >,且1a ≠,0m >,且1m ≠, 0N >).
对数恒等式:log a N
a
N =(0a >,且1a ≠, 0N >).
推论 log log m n
a a n
b b m
=
(0a >,且1a ≠, 0N >). 15对数的四则运算法则:若a >0,a ≠1,M >0,N >0,则
(1)log ()log log a a a MN M N =+; (2) log log log a a a M
M N N
=-; (3)log log ()n a a M n M n R =∈; (4) log log (,)m
n a a n
N N n m R m
=∈。
16 平均增长率的问题(负增长时0p <):
如果原来产值的基础数为N ,平均增长率为p ,则对于时间x 的总产值y ,有(1)x
y N p =+.
17 等差数列:
通项公式: (1) 1(1)n a a n d =+- ,其中1a 为首项,d 为公差,n 为项数,n a 为末项。
(2)推广: ()n k a a n k d =+-
(3)1(2)n n n a S S n -=-≥ (注:该公式对任意数列都适用)
前n 项和: (1)1()
2
n n n a a S +=
;其中1a 为首项,n 为项数,n a 为末项。 (2)1(1)
2
n n n S na d -=+ (3)1(2)n n n S S a n -=+≥ (注:该公式对任意数列都适用) (4)12n n S a a a =+++ (注:该公式对任意数列都适用)
常用性质:(1)、若m+n=p+q ,则有 m n p q a a a a +=+ ;
注:若,m n p a a a 是的等差中项,则有2m n p a a a =+?n 、m 、p 成等差。 (2)、若{}n a 、{}n b 为等差数列,则{}n n a b ±为等差数列。
(3)、{}n a 为等差数列,n S 为其前n 项和,则232,,m m m m m S S S S S --也成等差数列。 (4)、,,0p q p q a q a p a +===则 ; (5) 1+2+3+…+n=
2
)
1(+n n 等比数列:
通项公式:(1) 1
*11()n n
n a a a q
q n N q
-==
?∈ ,其中1a 为首项,n 为项数,q 为公比。 (2)推广:n k n k a a q -=?
(3)1(2)n n n a S S n -=-≥ (注:该公式对任意数列都适用)
前n 项和:(1)1(2)n n n S S a n -=+≥ (注:该公式对任意数列都适用)
(2)12n n S a a a =+++ (注:该公式对任意数列都适用)
(3)1
1(1)(1)
(1)
1n n na q S a q q q =??
=-?≠?-?
常用性质:(1)、若m+n=p+q ,则有 m n p q a a a a ?=? ;
注:若,m n p a a a 是的等比中项,则有 2
m n p a a a =??n 、m 、p 成等比。
(2)、若{}n a 、{}n b 为等比数列,则{}n n a b ?为等比数列。
18分期付款(按揭贷款) :每次还款(1)(1)1
n n
ab b x b +=+-元(贷款a 元,n 次还清,每期利率为b ). 19三角不等式:
(1)若(0,)2
x π
∈,则sin tan x x x <<.
(2) 若(0,
)2
x π
∈
,则1sin cos x x <+≤(3) |sin ||cos |1x x +≥.
20 同角三角函数的基本关系式 :2
2
sin cos 1θθ+=,tan θ=
θ
θ
cos sin , 21 正弦、余弦的诱导公式(奇变偶不变,符号看象限) 22 和角与差角公式
sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±;cos()cos cos sin sin αβαβαβ±= ;
tan tan tan()1tan tan αβ
αβαβ
±±=
.
sin cos a b αα+
)α?+
(辅助角?所在象限由点(,)a b 的象限决定,tan b
a
?= ). 23 二倍角公式及降幂公式
sin 2sin cos ααα=22tan 1tan α
α
=
+.
2
2
2
2
cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-22
1tan 1tan α
α
-=+. 22tan tan 21tan ααα=-. sin 21cos 2tan 1cos 2sin 2αα
ααα
-==+
221cos 21cos 2sin ,cos 22
αα
αα-+=
= 24 三角函数的周期公式
函数sin()y x ω?=+,x ?R 及函数cos()y x ω?=+,x ?R(A,ω,?为常数,且A ≠0)的周期
2||T πω=
;函数tan()y x ω?=+,,2x k k Z ππ≠+∈(A,ω,?为常数,且A ≠0)的周期||
T π
ω=.
三角函数的图像:
25 正弦定理 :
2sin sin sin a b c
R A B C
===(R 为ABC ?外接圆的半径). 2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ?===::sin :sin :sin a b c A B C ?=
26余弦定理:
2222cos a b c bc A =+-;2222cos b c a ca B =+-;2222cos c a b ab C =+-.
27面积定理:
(1
)111
222a b c S ah bh ch =
==(a b c h h h 、、分别表示a 、b 、c 边上的高). (2)111
sin sin sin 222
S ab C bc A ca B ===.
(3)OAB S ?=2,2
a b c S r r a b c ?
??+==++斜边内切圆直角内切圆-
28三角形内角和定理 :
在△ABC 中,有()A B C C A B ππ++=?=-+
222
C A B π+?
=-222()C A B π?=-+. 29实数与向量的积的运算律:设λ、μ为实数,那么:
(1) 结合律:λ(μa )=(λμ) a
;
(2)第一分配律:(λ+μ) a =λa +μa
;
(3)第二分配律:λ(a +b )=λa
+λb . 30a 与b 的数量积(或内积):a ·b =|a ||b |cos θ。
31平面向量的坐标运算:
(1)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ,则a +b
=1212(,)x x y y ++.
(2)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ,则a -b
=1212(,)x x y y --.
(3)设A 11(,)x y ,B 22(,)x y ,则2121(,)AB OB OA x x y y =-=--
.
(4)设a =(,),x y R λ∈
,则λa
=(,)x y λλ.
(5)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ,则a ·b
=1212()x x y y +.
32 两向量的夹角公式:
cos ||||
a b
a b
θ?==
?
(a
=11(,)x y ,b =22(,)x y ).
33
平面两点间的距离公式:
,A B d =||AB = =11(,)x y ,B 22(,)x y ).
34 向量的平行与垂直 :设a
=11(,)x y ,b =22(,)x y ,且b ≠0 ,则:
a ||
b ?b =λa
12210x y x y ?-=.(交叉相乘差为零)
a ⊥
b (a ≠0 )? a ·b
=012120x x y y ?+=.(对应相乘和为零)
35 线段的定比分公式 :设111(,)P x y ,222(,)P x y ,(,)P x y 是线段12PP 的分点,λ是实数,且12PP PP λ=
,
则12
12
11x x x y y y λλ
λλ+?=??+?+?=?+?
?1
21OP OP OP λλ+=+ ?12
(1)OP tOP t OP =+- (1
1t λ
=+). 36三角形的重心坐标公式: △ABC 三个顶点的坐标分别为11A(x ,y )、22B(x ,y )、33C(x ,y ),则△ABC
的重心的坐标是1
23123
(,)33
x x x y y y G ++++. 37三角形五“心”向量形式的充要条件:
设O 为ABC ?所在平面上一点,角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ,则
(1)O 为ABC ?的外心222
OA OB OC ?== .
(2)O 为ABC ?的重心0OA OB OC ?++=
.
(3)O 为ABC ?的垂心OA OB OB OC OC OA ??=?=?
.
(4)O 为ABC ?的内心0aOA bOB cOC ?++=
.
(5)O 为ABC ?的A ∠的旁心aOA bOB cOC ?=+
.
38常用不等式:
(1),a b R ∈?2
2
2a b ab +≥(当且仅当a =b 时取“=”号).
(2),a b R +
∈
?
2
a b
+≥当且仅当a =b 时取“=”号). (3)333
3(0,0,0).a b c abc a b c ++≥>>>
(4)b a b a b a +≤+≤-.
(5
)22ab a b a b +≤≤≤
+当且仅当a =b 时取“=”号)。 39极值定理:已知y x ,都是正数,则有
(1)若积xy 是定值p ,则当y x =时和y x +有最小值p 2; (2)若和y x +是定值s ,则当y x =时积xy 有最大值24
1s . (3)已知,,,a b x y R +
∈,若1ax by +=则有
21111()()by ax ax by a b a b x y x y x y
+=++=+++≥++。 (4)已知,,,a b x y R +
∈,若1a b x y
+=则有
2()()a b ay bx
x y x y a b a b x y x y
+=++=+++≥++
40 一元二次不等式20(0)ax bx c ++><或2
(0,40)a b ac ≠?=->,如果a 与2ax bx c ++同号,则
其解集在两根之外;如果a 与2
ax bx c ++异号,则其解集在两根之间.简言之:同号两根之外,异
号两根之间.即:
121212()()0()x x x x x x x x x <--<<; 121212,()()0()x x x x x x x x x x <>?--><或.
41 含有绝对值的不等式 :当a> 0时,有
22x a x a a x a -<<.
22x a x a x a >?>?>或x a <-.
42 斜率公式 :
21
21
y y k x x -=
-(111(,)P x y 、222(,)P x y ).
43 直线的五种方程:
(1)点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ,且斜率为k ).
(2)斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距).
(3)两点式 11
2121
y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y (1212,x x y y ≠≠)).
两点式的推广:211211()()()()0x x y y y y x x -----=(无任何限制条件!)
(4)截距式 1x y
a b
+=(a b 、分别为直线的横、纵截距,00a b ≠≠、)
(5)一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0).
直线0Ax By C ++=的法向量:(,)l A B '= ,方向向量:(,)l B A =-
44 夹角公式:
(1)21
21
tan ||1k k k k α-=+. (111:l y k x b =+,222:l y k x b =+,121k k ≠-)
(2)1221
1212
tan ||A B A B A A B B α-=+.(1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120A A B B +≠).
直线12l l ⊥时,直线l 1与l 2的夹角是2
π
.
45 1l 到2l 的角公式:
(1)21
21
tan 1k k k k α-=+.(111:l y k x b =+,222:l y k x b =+,121k k ≠-)
(2)1221
1212
tan A B A B A A B B α-=+.(1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120A A B B +≠). 直线12l l ⊥时,直线l 1到l 2的角是2
π
.
46 点到直线的距离
:d =(点00(,)P x y ,直线l :0Ax By C ++=).
47 圆的四种方程:
(1)圆的标准方程 222
()()x a y b r -+-=.
(2)圆的一般方程 22
0x y Dx Ey F ++++=(2
2
4D E F +->0).
(3)圆的参数方程 cos sin x a r y b r θ
θ=+??=+?
.
(4)圆的直径式方程 1212()()()()0x x x x y y y y --+--=(圆的直径的端点是11(,)A x y 、22(,)B x y ).
48点与圆的位置关系:点00(,)P x y 与圆2
2
2
)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种:
若d =
d r >?点P 在圆外;
1+r 2
r 2-r o
d r =?点P 在圆上; d r
49直线与圆的位置关系:直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种
(2
2
B
A C
Bb Aa d +++=
):
0??>相离r d ;0=???=相切r d ;0>???<相交r d .
50 两圆位置关系的判定方法:设两圆圆心分别为O 1,O 2,半径分别为r 1,r 2,d O O =21,则:
条公切线外离421??+>r r d ; 条公切线外切321??+=r r d ;
条公切线相交22121??+<<-r r d r r ; 条公切线内切121??-=r r d ;
无公切线内含??-<<210r r d .
51 椭圆22221(0)x y a b a b +=
>>的参数方程是cos sin x a y b θθ=??=?
. 离心率c e a ==
准线到中心的距离为2a c
,焦点到对应准线的距离(焦准距)2b p c =。
过焦点且垂直于长轴的弦叫通经,其长度为:2
2b a
.
52 椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>焦半径公式及两焦半径与焦距构成三角形的面积:
21()a PF e x a ex c =+=+,2
2()a PF e x a ex c
=-=-;1221||tan 2F PF P F PF S c y b ?∠==。
53椭圆的的内外部:
(1)点00(,)P x y 在椭圆22
221(0)x y a b a b +=>>的内部22
00221x y a b
?+<.
(2)点00(,)P x y 在椭圆22
221(0)x y a b a b +=>>的外部2200221x y a b
?+>.
54 椭圆的切线方程:
(1) 椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y y a b +=.
(2)过椭圆22
221x y a b
+=外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00221x x y y a b +=.
(3)椭圆22221(0)x y a b a b
+=>>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22222
A a
B b c +=.
55 双曲线2
2221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率c e a ==2a c ,焦点到对应
准线的距离(焦准距)2b p c =。过焦点且垂直于实轴的弦叫通经,其长度为:2
2b a .
焦半径公式21|()|||a PF e x a ex c =+=+,2
2|()|||a PF e x a ex c
=-=-,
两焦半径与焦距构成三角形的面积122
1cot 2
F PF F PF S b ?∠=。
56 双曲线的方程与渐近线方程的关系:
(1)若双曲线方程为12222=-b
y a x ?渐近线方程:22220x y a b -=?x a b
y ±=.
(2)若渐近线方程为x a b
y ±=?0=±b y a x ?双曲线可设为λ=-2222b
y a x .
(3)若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线,可设为λ=-22
22b
y a x
(0>λ,焦点在x 轴上,0<λ,焦点在y 轴上). (4) 焦点到渐近线的距离总是b 。
57双曲线的切线方程:
(1)双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y y a b -=.
(2)过双曲线22
221x y a b
-=外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00221x x y y a b -=.
(3)双曲线22221x y a b
-=与直线0Ax By C ++=相切的条件是22222
A a
B b c -=.
58抛物线px y 22=的焦半径公式:
抛物线22(0)y px p =>焦半径02
p
CF x =+.
过焦点弦长p x x p
x p x CD ++=+++=21212
2.
59二次函数22
24()24b ac b y ax bx c a x a a
-=++=++
(0)a ≠的图象是抛物线: (1)顶点坐标为24(,)24b ac b a a --;(2)焦点的坐标为241(,)24b ac b a a -+-; (3)准线方程是241
4ac b y a
--=.
60 直线与圆锥曲线相交的弦长公式 AB =
或1212|||AB x x y y =
=-=-(弦端点A ),(),,(2211y x B y x ,由方程??
?=+=0
)y ,x (F b kx y 消去y 得到02
=++c bx ax
0?>,α为直线AB 的倾斜角,k 为直线的斜率,12||x x -=61证明直线与平面的平行的思考途径:
(1)转化为直线与平面无公共点; (2)转化为线线平行; (3)转化为面面平行.
62证明直线与平面垂直的思考途径:
(1)转化为该直线与平面内任一直线垂直; (2)转化为该直线与平面内相交二直线垂直; (3)转化为该直线与平面的一条垂线平行; (4)转化为该直线垂直于另一个平行平面。 63证明平面与平面的垂直的思考途径:
(1)转化为判断二面角是直二面角; (2)转化为线面垂直;
(3) 转化为两平面的法向量平行。
64 向量的直角坐标运算:
设a
=123(,,)a a a ,b =123(,,)b b b 则:
(1) a +b
=112233(,,)a b a b a b +++;
(2) a -b
=112233(,,)a b a b a b ---;
(3)λa
=123(,,)a a a λλλ (λ?R);
(4) a ·b
=112233a b a b a b ++;
65 夹角公式:
设a =123(,,)a a a ,b =123(,,)b b b
,则cos ,a b <>=
.
66 异面直线间的距离 :
||
||
CD n d n ?=
(12,l l 是两异面直线,其公垂向量为n ,C D 、是12,l l 上任一点,d 为12,l l 间的距离). 67点B 到平面α的距离:
||||
AB n d n ?=
(n 为平面α的法向量,A α∈,AB 是α的一条斜线段). 68球的半径是R ,则其体积343
V R π=,其表面积2
4S R π=.
69球的组合体:
(1)球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.
(2)球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体
的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.
(3)球与正四面体的组合体: 棱长为a
(
的14),
(
的34).
70 分类计数原理(加法原理):12n N m m m =+++ .
分步计数原理(乘法原理):12n N m m m =??? .
71排列数公式 :m n A =)1()1(+--m n n n =
!
!)(m n n -.(n ,m ?N *
,且m n ≤).规定1!0=.
72 组合数公式:m n C
=
m n m
m
A A =m m n n n ???+-- 21)1()1(=!!!)(m n m n -?(n ?N *
,m N ∈,且m n ≤). 组合数的两个性质:(1)m n C =m n n C - ;(2) m n C +1-m n C =m n C 1+.规定10
=n C .
73 二项式定理 n n n r r n r n n n n n n n n b C b a C b a C b a C a C b a ++++++=+--- 222110)( ; 二项展开式的通项公式r
r n r n r b a C T -+=1)210(n r ,,,
=. 2012()()n n n f x ax b a a x a x a x =+=++++ 的展开式的系数关系:
012(1)n a a a a f ++++= ; 012(1)(1)n n a a a a f -+++-=- ;0(0)a f =。
74 互斥事件A ,B 分别发生的概率的和:P(A +B)=P(A)+P(B).
n 个互斥事件分别发生的概率的和:P(A 1+A 2+…+A n )=P(A 1)+P(A 2)+…+P(A n ). 75 独立事件A ,B 同时发生的概率:P(A ·B)= P(A)·P(B).
n 个独立事件同时发生的概率:P(A 1· A 2·…· A n )=P(A 1)· P(A 2)·…· P(A n ). 76 n 次独立重复试验中某事件恰好发生k 次的概率:()(1).k
k
n k
n n P k C P P -=-
77 数学期望:1122n n E x P x P x P ξ=++++
数学期望的性质
(1)()()E a b aE b ξξ+=+. (2)若ξ~(,)B n p ,则E np ξ=. (3) 若ξ服从几何分布,且1()(,)k P k g k p q p ξ-===,则1E p
ξ=
. 78方差:()()()2
2
2
1122n n D x E p x E p x E p ξξξξ=-?+-?++-?+
标准差:σξ=ξD . 方差的性质:
(1)()2D a b a D ξξ+=;
(2)若ξ~(,)B n p ,则(1)D np p ξ=-.
(3) 若ξ服从几何分布,且1()(,)k P k g k p q p ξ
-===,则2
q D p ξ=
. 方差与期望的关系:()2
2
D E E ξξξ=-.
79正态分布密度函数:(
)()()2
26,,x f x x μ--
=
∈-∞+∞,
式中的实数μ,σ(σ>0)是参数,分别表示个体的平均数与标准差. 对于2(,)N μσ,取值小于x 的概率:()x F x μσ-??
=Φ
???
.
()()()12201x x P x x P x x x P <-<=<< 80 )(x f 在0x 处的导数(或变化率):
000000()()()lim lim x x x x f x x f x y
f x y x x
=?→?→+?-?''===??.
瞬时速度:00()()()lim lim t t s s t t s t s t t t
υ?→?→?+?-'===??.
瞬时加速度:00()()()lim lim t t v v t t v t a v t t t
?→?→?+?-'===??.
81 函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义:
函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f ',相应的切线方程是))((000x x x f y y -'=-.
82 几种常见函数的导数:
(1) 0='C (C 为常数).(2) 1
()()n n x nx
n Q -'=∈.(3) x x cos )(sin ='.
(4) x x sin )(cos -='. (5) x x 1
)(ln =';1(log )log a a x e x
'=.
(6) x x e e =')(; a a a x
x ln )(='.
83 导数的运算法则:
(1)'
'
'
()u v u v ±=±.(2)'
'
'
()uv u v uv =+.(3)''
'2
()(0)u u v uv v v v -=
≠. 84 判别)(0x f 是极大(小)值的方法:
当函数)(x f 在点0x 处连续时,
(1)如果在0x 附近的左侧0)(>'x f ,右侧0)(<'x f ,则)(0x f 是极大值;
(2)如果在0x 附近的左侧0)(<'x f ,右侧0)(>'x f ,则)(0x f 是极小值. 85 复数的相等:,a bi c di a c b d +=+?==.(,,,a b c d R ∈) 86 复数z a bi =+的模(或绝对值)||z =||a bi +
87 复平面上的两点间的距离公式:
12||d z z =-=111z x y i =+,222z x y i =+).
88实系数一元二次方程的解
实系数一元二次方程2
0ax bx c ++=,
①若2
40b ac ?=->,则1,2x =②若2
40b ac ?=-=,则122b x x a
==-;
③若2
40b ac ?=-<,它在实数集R 内没有实数根;在复数集C 内有且仅有两个共轭复数根
240)x b ac =-<.
高中数学公式提升
一、集合、简易逻辑、函数
1. 研究集合必须注意集合元素的特征即三性(确定,互异,无序); 已知集合A={x,xy,lgxy},集合
B={0,|x |,y},且A=B,则x+y=
2. 研究集合,首先必须弄清代表元素,才能理解集合的意义。已知集合M={y |y=x 2 ,x ?R},N={y |
y=x 2+1,x ?R},求M ∩N ;与集合M={(x,y )|y=x 2 ,x ?R},N={(x,y)|y=x 2
+1,x ?R}求M ∩N 的区别。 3. 集合 A 、B ,?=?B A 时,你是否注意到“极端”情况:?=A 或?=B ;求集合的子集B
A ?时是否忘记?. 例如:()()012222
<--+-x a x a 对一切R x ∈恒成立,求a 的取植范围,你讨论了a =2的情况了吗?
4. 对于含有n 个元素的有限集合M, 其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为,n 2,12-n
,12-n .22-n
如满足条件}4,3,2,1{}1{??M 的集合M 共有多少个
5. 解集合问题的基本工具是韦恩图; 某文艺小组共有10名成员,每人至少会唱歌和跳舞中的一项,其中7人会唱歌跳舞5人会,现从中选出会唱歌和会跳舞的各一人,表演一个唱歌和一个跳舞节目,问有多少种不同的选法? 6. 两集合之间的关系。},14{},,12{Z k k x x N Z k k x x M ∈±==∈+==
7. (C U A)∩( C U B) = C U (A ∪B) (C U A)∪( C U B) = C U (A ∩B);B B A = A B ??; 8、可以判断真假的语句叫做命题. 逻辑连接词有“或”、“且”和“非”.
p 、q 形式的复合命题的真值表: (真且真,同假或假)
9、
原命题与逆否命题同真同假;逆命题与否命题同真同假.
10、你对映射的概念了解了吗?映射f :A →B 中,A 中元素的任意性和B 中与它对应元素的唯一性,哪
几种对应能够成映射? 11、函数的几个重要性质:
①如果函数()x f y =对于一切R x ∈,都有()()x a f x a f -=+或f (2a-x )=f (x ),那么函数
()x f y =的图象关于直线a x =对称.
②函数()x f y =与函数()x f y -=的图象关于直线0=x 对称; 函数()x f y =与函数()x f y -=的图象关于直线0=y 对称; 函数()x f y =与函数()x f y --=的图象关于坐标原点对称.
③若奇函数()x f y =在区间()+∞,0上是递增函数,则()x f y =在区间()0,∞-上也是递增函数. ④若偶函数()x f y =在区间()+∞,0上是递增函数,则()x f y =在区间()0,∞-上是递减函数. ⑤函数()a x f y +=)0(>a 的图象是把函数()x f y =的图象沿x 轴向左平移a 个单位得到的;函数
()a x f y +=()0( a 个单位得到的; 函数()x f y =+a )0(>a 的图象是把函数()x f y =助图象沿y 轴向上平移a 个单位得到的;函数 ()x f y =+a )0( 12、求一个函数的解析式和一个函数的反函数时,你标注了该函数的定义域了吗? 13、求函数的定义域的常见类型记住了吗?函数y= 2 )3lg()4(--x x x 的定义域是 ; 复合函数的定义域弄清了吗?函数)(x f 的定义域是[0,1],求)(log 5.0x f 的定义域. 函数)(x f 的定义域 是[b a ,],,0>->a b 求函数)()()(x f x f x F -+=的定义域 14、一个函数的奇偶性时,你注意到函数的定义域是否关于原点对称这个必要非充分条件了吗? 在公共 定义域内:两个奇函数的乘积是偶函数;两个偶函数的乘积是偶函数;一个奇函数与一个偶函数的乘积是奇函数; 15、据定义证明函数的单调性时,规范格式是什么?(取值, 作差, 判正负.)可别忘了导数也是判定函数 单调性的一种重要方法。 16、函数()0>+ =a x a x y 的单调区间吗?(该函数在(]a - ∞-,和 [)+∞,a 上单调递增;在[) 0,a - 和(] a ,0上单调递减)这可是一个应用广泛的函数! 17、函数问题时,你注意到真数与底数的限制条件了吗?(真数大于零,底数大于零且不等于1)字母底数还需讨论呀. 18、换底公式及它的变形,你掌握了吗?(b b a b b a n a c c a n log log ,log log log ==) 19、你还记得对数恒等式吗?(b a b a =log ) 20、“实系数一元二次方程02=++c bx ax 有实数解”转化为“042 ≥-=?ac b ”,你是否注意到必 须0≠a ;当a=0时,“方程有解”不能转化为042 ≥-=?ac b .若原题中没有指出是“二次”方 程、函数或不等式,你是否考虑到二次项系数可能为零的情形? 二、三角、不等式 21、三角公式记住了吗?两角和与差的公式________________; 二倍角公式:________________;解题 时本着“三看”的基本原则来进行:“看角,看函数,看特征”,基本的技巧有:巧变角,公式变形使用, 化切割为弦,用倍角公式将高次降次, 22、在解三角问题时,你注意到正切函数、余切函数的定义域了吗?正切函数在整个定义域内是否为单 调函数?你注意到正弦函数、余弦函数的有界性了吗? 23、在三角中,你知道1等于什么吗?(x x x x 2 2 2 2 tan sec cos sin 1-=+= ====?=0cos 2 sin 4 tan cot tan π π x x 这些统称为1的代换) 常数 “1”的种种代换有着广 泛的应用.(还有同角关系公式:商的关系,倒数关系,平方关系; 诱导公试:奇变偶不变,符号看象限) 24、在三角的恒等变形中,要特别注意角的各种变换.(如,)(αβαβ-+=,)(αβαβ+-= ?? ? ??--??? ??-=+βαβαβ α222 等) 25、你还记得三角化简题的要求是什么吗?项数最少、函数种类最少、分母不含三角函数、且能求出值 的式子,一定要算出值来) 26、你还记得三角化简的通性通法吗?(切割化弦、降幂公式、用三角公式转化出现特殊角. 异角化同 角,异名化同名,高次化低次);你还记得降幂公式吗?cos 2x=(1+cos2x)/2;sin 2 x=(1-cos2x)/2 27、你还记得某些特殊角的三角函数值吗? (4 1 518sin ,42615cos 75sin ,42675cos 15sin -= ?+=?=?-= ?=?) 28、你还记得在弧度制下弧长公式和扇形面积公式吗?(lr S r l 2 1 ,==扇形α) 29、 辅助角公式:()θ++= +x b a x b x a sin cos sin 22(其中θ角所在的象限由a, b 的符号确定,θ角的值由a b = θtan 确定)在求最值、化简时起着重要作用. 30、三角函数(正弦、余弦、正切)图象的草图能迅速画出吗?能写出他们的单调区、对称轴,取最值 时的x 值的集合吗?(别忘了k ∈Z ) 三角函数性质要记牢。函数y=++?)sin(?ωx A k 的图象及性质: 振幅|A|,周期T= ω π 2, 若x=x 0为此函数的对称轴,则x 0是使y 取到最值的点,反之亦然,使y 取到 最值的x 的集合为 , 当0,0>>A ω时函数的增区间为 ,减区间为 ;当0<ω时要利用诱导公式将ω变为大于零后再用上面的结论。 五点作图法:令?ω+x 依次为ππ ππ 2,2 3, ,2 0 求出x 与y ,依点()y x ,作图 31、三角函数图像变换还记得吗? 平移公(1)如果点 P (x ,y )按向量()k h a ,=→ 平移至P ′(x ′,y ′),则 ?????+=+=. , ' ' k y y h x x (2) 曲线f (x ,y )=0沿向量()k h a ,=→ 平移后的方程为f (x-h ,y-k )=0 32、有关斜三角形的几个结论:(1) 正弦定理: (2) 余弦定理: (3)面积公式 33、在用三角函数表示直线的倾斜角、两条异面直线所成的角等时,你是否注意到它们各自的取值范围 及意义? ①异面直线所成的角、直线与平面所成的角、向量的夹角的取值范围依次是],0[],2,0[,2, 0πππ?? ? ??. ②直线的倾斜角、1l 到2l 的角、1l 与2l 的夹角的取值范围依次是]2 ,0(),,0[),,0[π ππ. 34、不等式的解集的规范书写格式是什么?(一般要写成集合的表达式) 35、分式不等式 ()() ()0≠>a a x g x f 的一般解题思路是什么?(移项通分,分子分母分解因式,x 的系数变为正值,奇穿偶回) 36、含有两个绝对值的不等式如何去绝对值?(一般是根据定义分类讨论) 37、利用重要不等式ab b a 2≥+ 以及变式2 2?? ? ??+≤b a ab 等求函数的最值时, 你是否注意到a ,b + ∈R (或a ,b 非负),且“等号成立”时的条件,积ab 或和a +b 其中之一应是定值?(一正二定三相等) 38、) R b , (a , b a 2a b 2222+∈+≥≥+≥+ab b a b a (当且仅当 c b a ==时,取等号) ; a 、b 、c ∈R ,ca bc ab c b a ++≥++222(当且仅当c b a ==时,取等号); 39、在解含有参数的不等式时,怎样进行讨论?(特别是指数和对数的底10<a )讨论完之后,要写出:综上所述,原不等式的解集是……. 40、解含参数的不等式的通法是“定义域为前提,函数增减性为基础,分类讨论是关键.” 41、对于不等式恒成立问题,常用的处理方式?(转化为最值问题) 三、数列 42、等差数列中的重要性质:(1)若q p n m +=+,则q p n m a a a a +=+;(2) 仍成等差数列数列}{ka },{a },{n 2n 12b a n +-;仍成等差数列n 23n n 2n n S S , S S , S -- (3)若三数成等差数列,则可设为a-d 、a 、a+d ;若为四数则可设为a-d 2 3、a-d 2 1、a+d 2 1、a+d 2 3; (4)在等差数列中,求S n 的最大(小)值,其思路是找出某一项,使这项及它前面的项皆取正(负)值或0,而它后面各项皆取负(正)值,则从第一项起到该项的各项的和为最大(小).即:当a 1 >0,d<0,解不等式组 a n ≥0 a n+1 ≤0 可得S n 达最大值时的n 的值;当a 1 <0,d>0,解不等式组 a n ≤0 a n+1 ≥0 可得S n 达最小值时的n 的值;(5).若a n ,b n 是等差数列,S n ,T n 分别为a n ,b n 的前n 项和,则 1 m 21 m 2m m T S b a --= 。.(6).若{n a }是等差数列,则{n a a }是等比数列,若{n a }是等比数列且0>n a ,则{n a a log }是等差数列. 43、等比数列中的重要性质:(1)若q p n m +=+,则q p n m a a a a ?=?;(2)k S ,k k S S -2,k k S S 23-成等比数列 44、你是否注意到在应用等比数列求前n 项和时,需要分类讨论.(1=q 时,1na S n =;1≠q 时, q q a S n n --= 1) 1(1) 45、等比数列的一个求和公式:设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,公比为q , 则 n m m n m S q S S +=+. 46、等差数列的一个性质:设n S 是数列{}n a 的前n 项和,{}n a 为等差数列的充要条件是 bn an S n +=2 (a, b 为常数)其公差是2a. 47、你知道怎样的数列求和时要用“错位相减”法吗?(若n n n b a c =,其中{}n a 是等差数列,{}n b 是等 比数列,求{}n c 的前n 项的和) 48、用1--=n n n S S a 求数列的通项公式时,你注意到11S a =了吗? 49、你还记得裂项求和吗?(如1 1 1)1(1+-=+n n n n .) 四、排列组合、二项式定理 50、解排列组合问题的依据是:分类相加,分步相乘,有序排列,无序组合. 51、解排列组合问题的规律是:相邻问题捆绑法;不邻问题插空法;多排问题单排法;定位问题优先法; 多元问题分类法;有序分配问题法;选取问题先排后排法;至多至少问题间接法,还记得什么时候用隔板法? 52、排列数公式是: 组合数公式是: 排列数与组合数的关系是:m n m n C m P ?=! 组合数性质:m n C = m n n C - m n C + 1 -m n C =m n C 1+ ∑=n r r n C =n 2 1 121++++=++++r n r n r r r r r r C C C C C 二项式定理: n n n r r n r n n n n n n n n b C b a C b a C b a C a C b a ++++++=+--- 222110)( 二项展开式的通项公式:r r n r n r b a C T -+=1)210(n r ,,, = 五、立体几何 53、有关平行垂直的证明主要利用线面关系的转化:线//线?线//面?面//面,线⊥线?线⊥面? 面⊥面,垂直常用向量来证。 54、作出二面角的平面角主要方法是什么?(定义法、三垂线法)三垂线法:一定平面,二作垂线,三 作斜线,射影可见. 55、二面角的求法主要有:解直角三角形、余弦定理、射影面积法、法向量 56、求点到面的距离的常规方法是什么?(直接法、等体积变换法、法向量法) 57、你记住三垂线定理及其逆定理了吗? 58、有关球面上两点的球面距离的求法主要是找球心角,常常与经度及纬度联系在一起,你还记得经度 及纬度的含义吗?(经度是面面角;纬度是线面角) 59、你还记得简单多面体的欧拉公式吗?(V+F-E=2,其中V 为顶点数,E 是棱数,F 为面数),棱的两种 算法,你还记得吗?(①多面体每面为n 边形,则E= 2nF ;②多面体每个顶点出发有m 条棱,则E=2 mV ) 六、解析几何 60、设直线方程时,一般可设直线的斜率为k ,你是否注意到直线垂直于x 轴时,斜率k 不存在的情况? (例如:一条直线经过点?? ? ??--23,3,且被圆252 2=+y x 截得的弦长为8,求此弦所在直线的方程。该题就要注意,不要漏掉x+3=0这一解.) 61、定比分点的坐标公式是什么?(起点,中点,分点以及λ值可要搞清) 线段的定比分点坐标公式 设P (x ,y ) ,P 1(x 1,y 1) ,P 2(x 2,y 2) ,且→ → =21PP P P λ ,则 ??? ????++=++=λλλλ112 121y y y x x x 中点坐标公式??? ???? +=+=22 2121y y y x x x 62、若),(),(),(332211y x C y x B y x A ,,,则△ABC 的重心G 的坐标是?? ? ??++++33321321y y y x x x ,在利 用定比分点解题时,你注意到1-≠λ了吗? 63、在解析几何中,研究两条直线的位置关系时,有可能这两条直线重合,而在立体几何中一般提到的 两条直线可以理解为它们不重合. 64、直线方程的几种形式:点斜式、斜截式、两点式、截矩式、一般式.以及各种形式的局限性.(如点 斜式不适用于斜率不存在的直线) 65、对不重合的两条直线0:1111=++C y B x A l ,0:2222=++C y B x A l ,有: ?? ?≠=?1 2211 22121//C A C A B A B A l l ; 0212121=+?⊥B B A A l l . 66、直线在坐标轴上的截矩可正,可负,也可为0. 67、直线在两坐标轴上的截距相等,直线方程可以理解为 1=+b y a x ,但不要忘记当 a=0时,直线y=kx 在两条坐标轴上的截距都是0,也是截距相等. 68、两直线01=++C By Ax 和02=++C By Ax 的距离公式d=—————————— 69、直线的方向向量还记得吗?直线的方向向量与直线的斜率有何关系?当直线L 的方向向量为=(x 0,y 0)时,直线斜率k=———————;当直线斜率为k 时,直线的方向向量=————— 70、到角公式及夹角公式———————,何时用? 71、处理直线与圆的位置关系有两种方法:(1)点到直线的距离;(2)直线方程与圆的方程联立,判别 式. 一般来说,前者更简捷. 72、处理圆与圆的位置关系,可用两圆的圆心距与半径之间的关系. 73、在圆中,注意利用半径、半弦长、及弦心距组成的直角三角形并且要更多联想到圆的几何性质. 74、在利用圆锥曲线统一定义解题时,你是否注意到定义中的定比的分子分母的顺序?两个定义常常结 伴而用,有时对我们解题有很大的帮助,有关过焦点弦问题用第二定义可能更为方便。(焦半径公式:椭圆:|PF 1|=———— ;|PF 2|=———— ;双曲线:|PF 1|=———— ;|PF 2|=———— (其中F 1为左焦点F 2为右焦 点 );抛物线:|PF|=|x 0|+ 2 p ) 75、在用圆锥曲线与直线联立求解时,消元后得到的方程中要注意:二次项的系数是否为零?判别式 0≥?的限制.(求交点,弦长,中点,斜率,对称,存在性问题都在0>?下进行). 76、椭圆中,a ,b ,c 的关系为————;离心率e=————;准线方程为————;焦点到相应准线距离为———— 双 曲线中,a ,b ,c 的关系为————;离心率e=————;准线方程为————;焦点到相应准线距离为———— 77、通径是抛物线的所有焦点弦中最短的弦. 78、你知道吗?解析几何中解题关键就是把题目中的几何条件代数化,特别是一些很不起眼的条件,有 时起着关键的作用:如:点在曲线上、相交、共线、以某线段为直径的圆经过某点、夹角、垂直、平行、中点、角平分线、中点弦问题等。圆和椭圆参数方程不要忘,有时在解决问题时很方便。数形结合是解决解几问题的重要思想方法,要记得画图分析哟! 79、你注意到了吗?求轨迹与求轨迹方程有区别的。求轨迹方程可别忘了寻求范围呀! 80、在解决有关线性规划应用问题时,有以下几个步骤:先找约束条件,作出可行域,明确目标函数, 其中关键就是要搞清目标函数的几何意义,找可行域时要注意把直线方程中的y 的系数变为正值。如:求2<5a-2b<4,-3<3a+b<3求a+b 的取值范围,但也可以不用线性规划。 七、向量 81、两向量平行或共线的条件,它们两种形式表示,你还记得吗?注意b a λ=是向量平行的充分不必要 条件。(定义及坐标表示) 82、向量可以解决有关夹角、距离、平行和垂直等问题,要记住以下公式:||2 =·, cos θ2 22221212 121y x y x y y x x +++= 83、利用向量平行或垂直来解决解析几何中的平行和垂直问题可以不用讨论斜率不存在的情况,要注意 0 84、向量的运算要和实数运算有区别:如两边不能约去一个向量,向量的乘法不满足结合律,即 )()(?≠?,切记两向量不能相除。 85、你还记得向量基本定理的几何意义吗?它的实质就是平面内的任何向量都可以用平面内任意不共线 的两个向量线性表示,它的系数的含义与求法你清楚吗? 86、一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量,这是题目中的天然条件,要注意运用,对于一个向 量等式,可以移项,两边平方、两边同乘以一个实数,两边同时取模,两边同乘以 一个向量,但不能两边同除以一个向量。 87、 向量的直角坐标运算 设()()321321,,,,,b b b b a a a a ==→→,则()332211,,b a b a b a b a +++=+→ → ()332211,,b a b a b a b a ---=-→→ () ()R a a a a ∈=→ λλλλλ321,, 332211b a b a b a b a ++=?→ → 2 3 2221a a a a a a ++=?=→ →→ 23 222123 22 2 1 332211,cos b b b a a a b a b a b a b a ++++++>= <→ → ()R b a b a b a b a ∈===?→ → λλλλ,,,//332211, 0332211=++?⊥→ → b a b a b a b a 设A=()111,,z y x , B=()222,,z y x , 则=-=→ → → OA OB AB ()222,,z y x - ()111,,z y x =()121212,,z z y y x x --- ()()()212212212z z y y x x AB AB AB -+-+-+ ?= → →→ 八、导数 88、导数的几何意义即曲线在该点处的切线的斜率,学会定义的多种变形。 89、几个重要函数的导数:①0' =C ,(C 为常数)②()()Q n nx x n n ∈=-1 ' 导数的四运算法则()'''υμυμ±=± 90、利用导数可以证明或判断函数的单调性,注意当f ’(x)≥0或f ’(x)≤0,带上等号。 91、f '(x 0)=0是函数f(x)在x 0处取得极值的非充分非必要条件,f(x)在x 0处取得极值的充分要条件是 什么? 92、利用导数求最值的步骤:(1)求导数()x f ' (2)求方程()x f '=0的根n x x x ,,,21 (3)计算极值及端点函数值的大小 (4)根据上述值的大小,确定最大值与最小值. 93、求函数极值的方法:先找定义域,再求导,找出定义域的分界点,根据单调性求出极值。告诉函数 的极值这一条件,相当于给出了两个条件:①函数在此点导数值为零,②函数在此点的值为定值。 九、概率统计 94、有关某一事件概率的求法:把所求的事件转化为等可能事件的概率(常常采用排列组合的知识),转 化为若干个互斥事件中有一个发生的概率,利用对立事件的概率,转化为相互独立事件同时发生的概率,看作某一事件在n 次实验中恰有k 次发生的概率,但要注意公式的使用条件。 (1)若事件A 、B 为互斥事件,则P (A+B )=P (A )+P (B ) (2)若事件A 、B 为相互独立事件,则P (A ·B )=P (A )·P (B ) (3)若事件A 、B 为对立事件,则P (A )+P (B )=1一般地,() ()A P A p -=1 (4)如果在一次试验中某事件发生的概率是p,那么在n 次独立重复试验中这个事恰好发生K 次的概 率: ()() k n k k n n p p C K P --=1 95、抽样方法主要有:简单随机抽样(抽签法、随机样数表法)常常用于总体个数较少时,它的主要特征是从总体中逐个抽取;系统抽样,常常用于总体个数较多时,它的主要特征就是均衡成若干部分,每一部分只取一个;分层抽样,主要特征分层按比例抽样,主要使用于总体中有明显差异。它们的共同特征是每个个体被抽到的概率相等。 96、用总体估计样本的方法就是把样本的频率作为总体的概率。 十、解题方法和技巧 97、总体应试策略:先易后难,一般先作选择题,再作填空题,最后作大题,选择题力保速度和准确度 为后面大题节约出时间,但准确度是前提,对于填空题,看上去没有思路或计算太复杂可以放弃,对于大题,尽可能不留空白,把题目中的条件转化代数都有可能得分,在考试中学会放弃,摆脱一个题目无休止的纠缠,给自己营造一个良好的心理环境,这是考试成功的重要保证。 98、解答选择题的特殊方法是什么? (顺推法,估算法,特例法,特征分析法,直观选择法,逆推验证法、数形结合法等等) 99、 答填空题时应注意什么?(特殊化,图解,等价变形) 100、解答应用型问题时,最基本要求是什么? 101、 审题、找准题目中的关键词,设未知数、列出函数关系式、代入初始条件、注明单位、作答学会 跳步得分技巧,第一问不会,第二问也可以作,用到第一问就直接用第一问的结论即可,要学会用 “由已知得”“由题意得”“由平面几何知识得”等语言来连接,一旦你想来了,可在后面写上“补证”即可。 数学高考应试技巧 数学考试时,有许多地方都要考生特别注意.在考试中掌握好各种做题技巧,可以帮助各位在最后关头鲤鱼跃龙门。 考试注意: 1.考前5分钟很重要 在考试中,要充分利用考前5分钟的时间。考卷发下后,可浏览题目。当准备工作(填写姓名、考号等)完成后,可以翻到后面的解答题,通读一遍,做到心中有数。 2.区别对待各档题目 考试题目分为易、中、难三种,它们的分值比约为3:5:2。考试中大家要根据自身状况分别对待。 ⑴做容易题时,要争取一次做完,不要中间拉空。这类题要100%的拿分。 ⑵做中等题时,要静下心来,尽量保证拿分,起码有80%的完成度。 ⑶做难题时,大家通常会感觉无从下手。这时要做到: ①多读题目,仔细审题。 ②在草稿上简单感觉一下。 ③不要轻易放弃。许多同学一看是难题、大题,不多做考虑,就彻底投降。解答题多为小步设问,许多小问题同学们都是可以解决的,因此,每一个题、每一个问,考生都要认真对待。 3.时间分配要合理 ⑴考试时主要是在选择题上抢时间。 ⑵做题时要边做边检查,充分保证每一题的正确性。不要抱着“等做完后再重新检查”的念头而在后面浪费太多的时间用于检查。 ⑶在交卷前30分钟要回头再检查一下自己的进度。注意及时填机读卡。 二〇一〇年一月 高中数学公式大全 (最全面,最详细) 高中数学公式大全 抛物线:y = ax *+ bx + c 就是y等于ax 的平方加上bx再加上c a > 0时开口向上 a < 0时开口向下 c = 0时抛物线经过原点 b = 0时抛物线对称轴为y轴 还有顶点式y = a(x+h)* + k 就是y等于a乘以(x+h)的平方+k -h是顶点坐标的x k是顶点坐标的y 一般用于求最大值与最小值 抛物线标准方程:y^2=2px 它表示抛物线的焦点在x的正半轴上,焦点坐标为(p/2,0) 准线方程为x=-p/2 由于抛物线的焦点可在任意半轴,故共有标准方程y^2=2px y^2=-2px x^2=2py x^2=-2py 圆:体积=4/3(pi)(r^3) 面积=(pi)(r^2) 周长=2(pi)r 圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2 注:(a,b)是圆心坐标 圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 注:D2+E2-4F>0 (一)椭圆周长计算公式 椭圆周长公式:L=2πb+4(a-b) 椭圆周长定理:椭圆的周长等于该椭圆短半轴长为半径的圆周长(2πb)加上四倍的该椭圆长半轴长(a)与短半轴长(b)的差。 (二)椭圆面积计算公式 椭圆面积公式:S=πab 椭圆面积定理:椭圆的面积等于圆周率(π)乘该椭圆长半轴长(a)与短半轴长(b)的乘积。 以上椭圆周长、面积公式中虽然没有出现椭圆周率T,但这两个公式都是通过椭圆周率T推导演变而来。常数为体,公式为用。 椭圆形物体体积计算公式椭圆的长半径*短半径*PAI*高 三角函数: 两角和公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA 高 中 数 学 公 式 大 全(简化版) 目录 1 集合与简易逻辑 (01) 2 函数 (03) 3 导数及其应用 (09) 4 三角函数 (11) 5 平面向量 (13) 6 数列 (14) 7 不等式 (15) 8 立体几何与空间向量 (17) 9 直线与圆 (20) 10圆锥曲线 (23) 11排列组合与二项式定理 (25) 12统计与概率 (26) 13复数与推理证明 (29) §01. 集合与简易逻辑 1. 元素与集合的关系 U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??. 2.集合运算 全集U :如U=R 交集:}{B x A x x B A ∈∈=且I 并集:}{B x A x x B A ∈∈=?或 补集:}{A x U x x A C U ?∈=且 3.集合关系 空集A ?φ 子集B A ?:任意B x A x ∈? ∈ B A B B A B A A B A ??=??=Y I 注:数形结合---文氏图、数轴 4. 包含关系 A B A A B B =?=I U U U A B C B C A ????U A C B ?=ΦI U C A B R ?=U 5.集合12{,,,}n a a a L 的子集个数共有2n 个;真子集有2n –1个;非空子集有2n –1个;非空的真子集有2n –2个. 6. 真值表 7. 常见结论的否定形式 8. 四种命题 原命题:若p 则q 逆命题:若q 则p 否命题:若p ?则q ? 逆否命题:若q ?则p ? 原命题与逆否命题真假相同 否命题与逆命题真假相同 9. 充要条件 (1)充分条件:若p q ?,则p 是q 充分条件. (2)必要条件:若q p ?,则p 是q 必要条件. (3)充要条件:若p q ?,且q p ?,则p 是q 充要条件. 注:如果甲是乙的充分条件,则乙是甲的必要条件;反之亦然. 高 中文科数学公式总结 一、函数、导数 1.元素与集合的关系:U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??.A A ??≠?? 集合12{,,,}n a a a L 的子集个数共有2n 个;真子集有21n -个;非空子集有21n -个;非空的真子集有 22n -个. 2. 真值表 常 四种命题的相互关系(下图):(原命题与逆否命题同真同假;逆命题与否命题同真同假.) 3. 充要条件(记p 表示条件,q 表示结论) (1)充分条件:若p q ?,则p 是q 充分条件. (2)必要条件:若q p ?,则p 是q 必要条件. (3)充要条件:若p q ?,且q p ?,则p 是q 充要条件. 注:如果甲是乙的充分条件,则乙是甲的必要条件;反之亦然. 4. 全称量词?表示任意,?表示存在;?的否定是?,?的否定是?。 例:2 ,10x R x x ?∈++> 的否定是 2 ,10x R x x ?∈++≤ 5. 函数的单调性 (1)设2121],,[x x b a x x <∈、那么 ],[)(0)()(21b a x f x f x f 在?<-上是增函数; ],[)(0)()(21b a x f x f x f 在?>-上是减函数. (2)设函数)(x f y =在某个区间内可导,若0)(>'x f ,则)(x f 为增函数;若0)(<'x f ,则)(x f 为减函数. 6. 复合函数)]([x g f y =单调性判断步骤: (1)先求定义域 (2)把原函数拆分成两个简单函数)(u f y =和)(x g u = (3)判断法则是同增异减(4)所求区间与定义域做交集 7. 函数的奇偶性 (1)前提是定义域关于原点对称。 (2)对于定义域内任意的x ,都有)()(x f x f =-,则)(x f 是偶函数; 对于定义域内任意的x ,都有)()(x f x f -=-,则)(x f 是奇函数。 (3)奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y 轴对称。 8.若奇函数在x =0处有意义,则一定存在()00f =; 若奇函数在x =0处无意义,则利用 ()()x x f f -=-求解; 9.多项式函数1 10()n n n n P x a x a x a --=++?+的奇偶性 多项式函数()P x 是奇函数?()P x 的偶次项(即奇数项)的系数全为零. 多项式函数()P x 是偶函数?()P x 的奇次项(即偶数项)的系数全为零. 10. 常见函数的图像: 11. 函数的对称性 (1)函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =(即y 轴)对称. (2)对于函数)(x f y =(R x ∈),)()(x a f x a f -=+恒成立,则函数)(x f 的对称轴是a x = (3)对于函数)(x f y =(R x ∈),)()(x b f a x f -=+恒成立,则函数)(x f 的对称轴是2 b a x +=; 12. 由 )(x f 向左平移一个单位得到函数)1(+x f 由)(x f 向右平移一个单位得到函数)1(-x f 由 )(x f 向上平移一个单位得到函数1)(+x f 由)(x f 向下平移一个单位得到函数1)(-x f 若将函数)(x f y =的图象向右移a 、再向上移b 个单位,得到函数b a x f y +-=)(的图象;若将曲线 0),(=y x f 的图象向右移a 、向上移b 个单位,得到曲线0),(=--b y a x f 的图象. 13. 函数的周期性 (1))()(a x f x f +=,则)(x f 的周期T a =||; (2)()()f x a f x +=-,则)(x f 的周期2T a =|| (3)1 ()() f x a f x += ,则)(x f 的周期2T a =|| (4)()()f x a f x b +=+,则)(x f 的周期T a b =|-|; 14. 分数指数 (1)m n a =0,,a m n N *>∈,且1n >). 高中数学公式大全(最新整理版)54508 高中数学公式大全(最新整理版) 1、二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式2 ()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式 2 ()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0) f x a x x x x a =--≠. 2、四种命题的相互关系 原命题:与逆命题互逆,与否命题互否,与逆否命题互为逆否; 逆命题:与原命题互逆,与逆否命题互否,与否命题互为逆否; 否命题:与原命题互否,与逆命题互为逆否,与逆否命题互逆; 逆否命题:与逆命题互否,与否命题互逆,与原命题互为逆否 § 函数 1、若)()(a x f x f +--=,则函数)(x f y =的图象关于点) 0,2(a 对称; 若)()(a x f x f +-=,则函数)(x f y =为周期为a 2的周期函数. 2、函数()y f x =的图象的对称性 (1)函数()y f x =的图x a =象关于直线对称()()f a x f a x ?+=- (2)()f a x f x ?-=. (2)函数()y f x =的图象关于直线2a b x += 对称()()f a mx f b mx ?+=- ()()f a b mx f mx ?+-=. 3、两个函数图象的对称性 (1)函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =(即y 轴)对称. (2)函数()y f mx a =-与函数()y f b mx =-的图象关于直线 2a b x m += 对称. (3)函数)(x f y =和)(1 x f y -=的图象关于直线y=x 对称. 4、若将函数)(x f y =的图象右移a 、上移b 个单位,得到函数b a x f y +-=)(的图象;若将曲线0),(=y x f 的图象右移a 、上移b 个单位,得到曲线 0),(=--b y a x f 的图象. 5、互为反函数的两个函数的关系: a b f b a f =?=-)()(1 . 6、若函数)(b kx f y +=存在反函数,则其反函数为] )([1 1b x f k y -=-,并不是 )([1 b kx f y +=-,而函数)([1 b kx f y +=-是 ])([1 b x f k y -= 的反函数. 7、几个常见的函数方程 (1)正比例函数()f x cx =,()()(),(1)f x y f x f y f c +=+=. 高中数学常用公式及常用结论 1.包含关系 A B A A B B =?=U U A B C B C A ???? U A C B ?=ΦU C A B R ?= 2.集合12{,, ,}n a a a 的子集个数共有2n 个;真子集有2n –1个;非空子集有2n –1个;非空的真子集有2n –2 个. 3.充要条件 (1)充分条件:若p q ?,则p 是q 充分条件. (2)必要条件:若q p ?,则p 是q 必要条件. (3)充要条件:若p q ?,且q p ?,则p 是q 充要条件. 注:如果甲是乙的充分条件,则乙是甲的必要条件;反之亦然. 4.函数的单调性 (1)设[]2121,,x x b a x x ≠∈?那么 []1212()()()0x x f x f x -->? []b a x f x x x f x f ,)(0) ()(2 121在?>--上是增函数; []1212()()()0x x f x f x -- []b a x f x x x f x f ,)(0) ()(2 121在?<--上是减函数. (2)设函数)(x f y =在某个区间内可导,如果0)(>'x f ,则)(x f 为增函数;如果0)(<'x f ,则)(x f 为减函 数. 5.如果函数)(x f 和)(x g 都是减函数,则在公共定义域内,和函数)()(x g x f +也是减函数; 如果函数 )(u f y =和)(x g u =在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数)]([x g f y =是增函数. 6.奇偶函数的图象特征 奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y 轴对称;反过来,如果一个函数的图象关于原点对称,那么这个函数是奇函数;如果一个函数的图象关于y 轴对称,那么这个函数是偶函数. 7.对于函数)(x f y =(R x ∈),)()(x b f a x f -=+恒成立,则函数)(x f 的对称轴是函数2 b a x +=;两个函数)(a x f y +=与)(x b f y -= 的图象关于直线2 b a x += 对称. 8.几个函数方程的周期(约定a>0) (1))()(a x f x f +=,则)(x f 的周期T=a ; (2),)0)(()(1 )(≠=+x f x f a x f ,或1()() f x a f x +=-(()0)f x ≠,则)(x f 的周期T=2a ; 9.分数指数幂 (1)m n a = (0,,a m n N * >∈,且1n >).(2)1m n m n a a - = (0,,a m n N * >∈,且1n >). 10.根式的性质 (1 )n a =.(2)当n a =;当n ,0 ||,0a a a a a ≥?==? - . 11.有理指数幂的运算性质 (1) (0,,)r s r s a a a a r s Q +?=>∈.(2) ()(0,,)r s rs a a a r s Q =>∈.(3)()(0,0,)r r r a b a b a b r Q =>>∈. 12.指数式与对数式的互化式 log b a N b a N =?=(0,1,0)a a N >≠>. ①.负数和零没有对数,②.1的对数等于0:01log =a ,③.底的对数等于1:1log =a a , ④.积的对数:N M MN a a a log log )(log +=,商的对数:N M N M a a a log log log -=, 高中数学常用公式及常用结论 1. 包含关系 A B A A B B A B C U B C U A A C U B C U ABR 2 .集合 { a 1, a 2 , , a n } 的子集个数共有 2n 个;真子集有 2n – 1 个;非空子集有 2n – 1 个;非空的真子集有 2n – 2 个 . 3.充要条件 ( 1)充分条件:若 ( 2)必要条件:若 ( 3)充要条件:若 p q ,则 p 是 q 充分条件 . q p ,则 p 是 q 必要条件 . p q ,且 q p ,则 p 是 q 充要条件 . 注:如果甲是乙的充分条件,则乙是甲的必要条件;反之亦然 . 4. 函数的单调性 (1) 设 x 1 x 2 a,b , x 1 x 2 那么 (x 1 x 2 ) f ( x 1 ) f ( x 2 ) f ( x 1 ) f ( x 2 ) 0 f (x)在 a,b 上是增函数; x 2 x 1 (x x ) f ( x ) f ( x ) f ( x 1 ) f ( x 2 ) f ( x)在 a, b 上是减函数 . 1 2 1 2 x 1 x 2 (2) 设函数 y f ( x) 在某个区间内可导,如果 f (x) 0 ,则 f (x) 为增函数;如果 f ( x) 0 ,则 f ( x) 为减函 数 . f ( x) 和 g( x) 都是减函数 , , 和函数 f ( x) g( x) 也是减函数 ; 5. 如果函数 则在公共定义域内 如果函数 y f (u) 和 u g (x) 在其对应的定义域上都是减函数 , 则复合函数 y f [ g( x)] 是增函数 . 6.奇偶函数的图象特征 奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于 y 轴对称 ; 反过来,如果一个函数的图象关于原点对称,那么 这个函数是奇函数;如果一个函数的图象关于 y 轴对称,那么这个函数是偶函数. 7. 对于函数 y f (x) ( x R ), f (x a) f (b x) 恒成立 , 则函数 f ( x) 的对称轴是函数 a b x ; 两个函 a b 2 数 y f (x a) 与 y f (b x) 的图象关于直线 x 对称 . 2 8. 几个函数方程的周期 ( 约定 a>0) ( 1) f (x) f (x a) ,则 f (x) 的周期 T=a ; ( 2), f ( x a) 1 ( f ( x) 0) ,或 f (x a) 1 f ( x) ( f (x) 0) , 则 f ( x) 的周期 T=2a ; f (x) 9. 分数指数幂 m 1 m 1 (1) a n ( a 0, m, n N ,且 n 1 ) .(2) a n 0, m, n N ,且 n 1) . n a m m ( a a n 10.根式的性质 ( ) ( n a )n a . ( 2)当 n 为奇数时, n n a ;当 n 为偶数时, n a n | a | a, a 0 . 1 a a, a 0 11.有理指数幂的运算性质 (1) a r a s a r s ( a 0, r , s Q ) .(2) (a r ) s a rs (a 0, r , s Q) .(3) (ab)r a r b r (a 0, b 0, r Q) . 12. 指数式与对数式的互化式log a N b a b N (a 0, a 1, N 0) . ①.负数和零没有对数,② .1 的对数等于 0: log a 1 0 ,③ .底的对数等于 1: log a a 1 , ④ .积的对数: log a (MN ) log a M log a N ,商的对数: log a M log a M log a N , N n log a b 幂的对数: log a M n nlog a M ; log a m b n m 高学高等数学公式集锦 常用导数公式: 基本积分表: 三角函数的有理式积分: 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x +==+-=+=, , , a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π 高中数学常用公式及结论 元素与集合的关系 : x A x C U A , x C U A x A . 1 ? A A 2 n 2 n 2 n 1个;非空子集有 2 1 个;非空的真子集有 集合 { a ,a , , a } 的子集个数共有 个;真子集有 1 2 n n 2 2 个. 3 二次函数的解析式的三种形式: ax 2 (1) 一般式 f (x) bx c(a 0) ; h)2 (2) 顶点式 f (x) a(x k(a 0) ; (当已知抛物线的顶点坐标 (h, k ) 时,设为此式) (3) 0) ;(当已知抛物线与 x 轴的交点坐标为 零点式 f (x) a(x x 1 )( x x 2 )(a ( x 1,0),( x 2 ,0) 时,设 为此式) 2 a(x x 0 ) ( 4)切线式: f ( x) (kx d ), (a 0) 。(当已知抛物线与直线 y kx d 相切且切点的横 坐标为 x 0 时,设为此式) 4 5 真值表: 同真且真,同假或假 ; 常见结论的否定形式 原结论是 都是大于 小于 反设词 不 是 不都是不大于不小于 存在某 存在某 原结论 至少有一个至多有一个至少有 n 个至多有 n 个 p 或 q p 且 q 反设词 一个也没有至少有两个 n n q q 1)个 1)个 至多有( 至少有( p 且 p 或 x ,成立 x ,不成立 x ,不成立 x ,成立 对所有 对任何 6 ( 下图 ): ( 原命题与逆否命题同真同假;逆命题与否命题同真同假 . ) 四种命题的相互关系 原命题 若p则q 互逆 逆命题 若q则p 互 互 互 否 为 为 互 否 逆 逆 否 否 否命题 若非p则非q 逆否命题 若非q则非p 互逆 p p q ,则 q ,且 充要条件: (1) P 是 q 的充分条件,反之, q 是 p 的必要条件; 、 ( 2)、 q ≠> p ,则 P 是 q 的充分不必要条件; (3) 、p ≠ > p ,且 q p ,则 P 是 q 的必要不充分条件; 4、p ≠ > p ,且 q ≠ > p ,则 P 是 q 的既不充分又不必要条件。 7 函数单调性 : 增函数: (1) y 随 x 的增大而增大。 、文字描述是: 高中数学公式大全.txt鲜花往往不属于赏花的人,而属于牛粪。。。道德常常能弥补智慧的缺陷,然而智慧却永远填补不了道德空白人生有三样东西无法掩盖:咳嗽贫穷和爱,越隐瞒,就越欲盖弥彰。抛物线:y = ax *+ bx + c 就是y等于ax 的平方加上 bx再加上 c a > 0时开口向上 a < 0时开口向下 c = 0时抛物线经过原点 b = 0时抛物线对称轴为y轴 还有顶点式y = a(x+h)* + k 就是y等于a乘以(x+h)的平方+k -h是顶点坐标的x k是顶点坐标的y 一般用于求最大值与最小值 抛物线标准方程:y^2=2px 它表示抛物线的焦点在x的正半轴上,焦点坐标为(p/2,0) 准线方程为x=-p/2 由于抛物线的焦点可在任意半轴,故共有标准方程y^2=2px y^2=-2px x^2=2py x^2=-2py 圆:体积=4/3(pi)(r^3) 面积=(pi)(r^2) 周长=2(pi)r 圆的标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2 注:(a,b)是圆心坐标 圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 注:D2+E2-4F>0 (一)椭圆周长计算公式 椭圆周长公式:L=2πb+4(a-b) 椭圆周长定理:椭圆的周长等于该椭圆短半轴长为半径的圆周长(2πb)加上四倍的该椭圆长半轴长(a)与短半轴长(b)的差。 (二)椭圆面积计算公式 椭圆面积公式: S=πab 椭圆面积定理:椭圆的面积等于圆周率(π)乘该椭圆长半轴长(a)与短半轴长(b)的乘积。以上椭圆周长、面积公式中虽然没有出现椭圆周率T,但这两个公式都是通过椭圆周率T推导演变而来。常数为体,公式为用。 椭圆形物体体积计算公式椭圆的长半径*短半径*PAI*高 三角函数: 两角和公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 倍角公式 tan2A=2tanA/(1-tan2A) cot2A=(cot2A-1)/2cota cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0 cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0 以及 高中数学公式大全(最全面,最详细) 高中数学公式大全 抛物线:y = ax *+ bx + c 就是y等于ax 的平方加上bx再加上c a > 0时开口向上 a < 0时开口向下 c = 0时抛物线经过原点 b = 0时抛物线对称轴为y轴 还有顶点式y = a(x+h)* + k 就是y等于a乘以(x+h)的平方+k -h是顶点坐标的x k是顶点坐标的y 一般用于求最大值与最小值 抛物线标准方程:y^2=2px 它表示抛物线的焦点在x的正半轴上,焦点坐标为(p/2,0) 准线方程为x=-p/2 由于抛物线的焦点可在任意半轴,故共有标准方程y^2=2px y^2=-2px x^2=2py x^2=-2py 圆:体积=4/3(pi)(r^3) 面积=(pi)(r^2) 周长=2(pi)r 圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2 注:(a,b)是圆心坐标 圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 注:D2+E2-4F>0 (一)椭圆周长计算公式 椭圆周长公式:L=2πb+4(a-b) 椭圆周长定理:椭圆的周长等于该椭圆短半轴长为半径的圆周长(2πb)加上四倍的该椭圆长半轴长(a)与短半轴长(b)的差。 (二)椭圆面积计算公式 椭圆面积公式:S=πab 椭圆面积定理:椭圆的面积等于圆周率(π)乘该椭圆长半轴长(a)与短半轴长(b)的乘积。 以上椭圆周长、面积公式中虽然没有出现椭圆周率T,但这两个公式都是通过椭圆周率T推导演变而来。常数为体,公式为用。 椭圆形物体体积计算公式椭圆的长半径*短半径*PAI*高 三角函数: 两角和公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 倍角公式 tan2A=2tanA/(1-tan2A) cot2A=(cot2A-1)/2cota cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0 cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0 以及 sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2 tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0 四倍角公式: sin4A=-4*(cosA*sinA*(2*sinA^2-1)) cos4A=1+(-8*cosA^2+8*cosA^4) tan4A=(4*tanA-4*tanA^3)/(1-6*tanA^2+tanA^4) 五倍角公式: sin5A=16sinA^5-20sinA^3+5sinA cos5A=16cosA^5-20cosA^3+5cosA tan5A=tanA*(5-10*tanA^2+tanA^4)/(1-10*tanA^2+5*tanA^4) 六倍角公式: 高中数学常用公式及常用结论 1.元素与集合的关系 x 三A 二x C u A, x 三C u A 二x A. 2.德摩根公式 C U(A B^C U A C U B;C U (A B^C U A C u B . 3.包含关系 A B = A :二A B = B :二A —B :二C u B —C u A =A CjB = ::」u C u A B 二R 4.容斥原理 card (A B) =cardA cardB — card (A B) card(A B C) =cardA cardB cardC -card (A B) -card (A B)-card(B C)-card(C A) card (A B C). 5?集合{a1,a2/ ,a n}的子集个数共有2n个;真子集有2n- 1个;非空子集有2n- 1个;非空的真子集有2n- 2个. 6.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式f (x)二ax1 2 bx c(a = 0); (2)顶点式f(x)二a(x-h)2 k(a = O); ⑶零点式f(x) =a(x-xj(x-x2)(a =0). 7.解连不等式N :::f (x) ::: M常有以下转化形式 ::f(x) :: M = [ f (x) —M ][ f (x) — N] :: 0 M - f(x) 8.方程f(x)=0在(k「k2)上有且只有一个实根,与f (kjf(k2)::: 0不等价,前者是后 者的一个必要而不是充分条件?特别地,方程ax2 bx 0(a = 0)有且只有一个实根在 b k t + k2 (k i,k2)内,等价于f (kjf(k2):: 0,或f(kJ = 0 且k i - -,或f(k2)=0 且 2a 2 k t k2 b , k2. 2 2a 9?闭区间上的二次函数的最值 二次函数f (x) =ax2 bx - c(a =0)在闭区间〔p,q〕上的最值只能在x —处及区 2a 间的两端点处取得,具体如下: ⑴当a>0 时,若X 二-f lp,q L 则fx> nm f( -)jfx xmm =(f)p)fq ?; 2a 2a b ' '-P,q L f (x)max 二max C f (P), f (q)^,f(X)min 二min f (P), f 9) ? 2a ⑵当a<0 时,若X 二-卫〔P,q 1 ,则f ( x m i n mfi nf p( f, q (若) 2a x 二-兰」p,q L 则f &爲=max1f(p), f (q)1, f(x)m^ -min「f(p), f(q)L 2a 10.一元二次方程的实根分布 依据:若f (m) f (n) :::0,则方程f(x) =0在区间(m,n)内至少有一个实根. 设f (x) = X2 px q,则 / 2 p _ 4q 启0 (1)方程f(x)=0在区间(m,^)内有根的充要条件为f(m)=0或< p; > m u 2 f(m) 0 |f(n)>0 (2)方程f (x) =0在区间(m,n)内有根的充要 条件为 f (m) f (n) 或* p2 _4q启。 p m £—上< n I 2 f(m) =0 f(n )=0 或或 af (n) 0 af(m) 0 高中数学公式大全(最新整理版) 1、二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式 f (x ) = ax 2 + bx + c (a ≠ 0) ; (2)顶点式 f (x ) = a (x - h )2 + k (a ≠ 0) ; (3)零点式 f (x ) = a (x - x 1 )(x - x 2 )(a ≠ 0) . 2、四种命题的相互关系 原命题:与逆命题互逆,与否命题互否,与逆否命题互为逆否; 逆命题:与原命题互逆,与逆否命题互否,与否命题互为逆否; 否命题:与原命题互否,与逆命题互为逆否,与逆否命题互逆; 逆否命题:与逆命题互否,与否命题互逆,与原命题互为逆否 § 函数 f (x ) = - f (-x + a ) y = f (x ) a ( ,0) 2 1、若 ,则函数 的图象关于点 对称; 若 f (x ) = - f (x + a ) ,则函数 y = f (x ) 为周期为2a 的周期函数. 2、函数 y = (1) 函数 y = f (x ) 的图象的对称性 f (x ) 的图 x = a 象关于直线对称? f (a + x ) = f (a - x ) ? f (2a - x ) = f (x ) . (2) 函数 y = f (x ) 的图象关于直线 x = a + b 2 对称? f (a + mx ) = f (b - mx ) ? f (a + b - mx ) = f (mx ) . 3、两个函数图象的对称性 (1) 函数 y = f (x ) 与函数 y = f (-x ) 的图象关于直线 x = 0 (即 y 轴)对称. x = a + b (2) 函数 y = f (mx - a ) 与函数 y = f (b - mx ) 的图象关于直线 2m 对称. (3) 函数 y = f (x ) 和 y = f -1 (x ) 的图象关于直线 y=x 对称. 4、若将函数 y = f (x ) 的图象右移 a 、上移b 个单位,得到函数 y = f (x - a ) + b 的图象; 若将曲线 f (x , y ) = 0 的图象右移a 、上移b 个单位,得到曲线 f (x - a , y - b ) = 0 的图象. 5、互为反函数的两个函数的关系: f (a ) = b ? f -1 (b ) = a . y = 1 [ f -1 (x ) - b ] 6、 若 函 数 - y = f (kx + b ) 存 在 反 函 数 ,则 其 反 函 数 为 k y = 1 [ f (x ) - b ] ,并 不 是 y = [ f 1 (kx + b ) ,而函数 y = [ f -1 (kx + b ) 是 k 的反函数. 7、几个常见的函数方程 (1)正比例函数 f (x ) = cx , f (x + y ) = f (x ) + f ( y ), f (1) = c . (2)指数函数 f (x ) = a x , f (x + y ) = f (x ) f ( y ), f (1) = a ≠ 0 . (3)对数函数 f (x ) = lo g a x , f (xy ) = f (x ) + f ( y ), f (a ) = 1(a > 0, a ≠ 1) . (4)幂函数 f (x ) = x , f (xy ) = f (x ) f ( y ), f ' (1) =. (5)余弦函数 f (x ) = cos x ,正弦函数 g (x ) = sin x , f (x - y ) = f (x ) f ( y ) + g (x )g ( y ) , § 数 列 高中数学常用公式大全 1. 元素与集合的关系 U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??. 2.德摩根公式 ();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==I U U I . 3.集合12{,,,}n a a a L 的子集个数共有2n 个;真子集有2n –1个;非空子集有2n –1个;非空的真子集有2n –2个. 4.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式2 ()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2 ()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 5.方程0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根,与0)()(21 高中数学常用公式及常用结论 1. 元素与集合的关系 U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??. 2.德摩根公式 ();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==. 3.包含关系 A B A A B B =?=U U A B C B C A ???? U A C B ?=ΦU C A B R ?= 4.容斥原理 ()()card A B cardA cardB card A B =+- ()()card A B C cardA cardB cardC card A B =++- ()()()()card A B card B C card C A card A B C ---+. 5.集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个;真子集有2n –1个;非空子集有2n –1个;非空的真子集有2n –2个. 6.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 7.解连不等式()N f x M <<常有以下转化形式 ()N f x M <[()][()]0f x M f x N --< ?|()|22M N M N f x +--()0()f x N M f x ->- ? 11 ()f x N M N >--. 8.方程0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根,与0)()(21 高中数学公式大全(最新整理版) 1、二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式 2 ()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式 2 ()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0) f x a x x x x a =--≠. 2、四种命题的相互关系 原命题:与逆命题互逆,与否命题互否,与逆否命题互为逆否; 逆命题:与原命题互逆,与逆否命题互否,与否命题互为逆否; 否命题:与原命题互否,与逆命题互为逆否,与逆否命题互逆; 逆否命题:与逆命题互否,与否命题互逆,与原命题互为逆否 § 函数 1、若)()(a x f x f +--=,则函数)(x f y =的图象关于点) 0,2(a 对称; 若)()(a x f x f +-=,则函数)(x f y =为周期为a 2的周期函数. 2、函数()y f x =的图象的对称性 (1)函数()y f x =的图x a =象关于直线对称()()f a x f a x ?+=- (2)()f a x f x ?-=. (2)函数()y f x =的图象关于直线 2a b x += 对称()()f a mx f b mx ?+=- ()()f a b mx f mx ?+-=. 3、两个函数图象的对称性 (1)函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =(即y 轴)对称. (2)函数()y f mx a =-与函数()y f b mx =-的图象关于直线 2a b x m += 对称. (3)函数)(x f y =和 )(1 x f y -=的图象关于直线y=x 对称. 4、若将函数)(x f y =的图象右移a 、上移b 个单位,得到函数b a x f y +-=)(的图象;若将曲线0),(=y x f 的图象右移a 、上移b 个单位,得到曲线0),(=--b y a x f 的图象. 5、互为反函数的两个函数的关系: a b f b a f =?=-)()(1 . 6、若函数)(b kx f y +=存在反函数,则其反函数为] )([11 b x f k y -= -,并不是 )([1b kx f y +=-,而函数)([1 b kx f y +=-是])([1 b x f k y -=的反函数. 7、几个常见的函数方程 (1)正比例函数()f x cx =,()()(),(1)f x y f x f y f c +=+=. (2)指数函数()x f x a =,()()(),(1)0f x y f x f y f a +==≠. (3)对数函数()log a f x x =,()()(),()1(0,1) f xy f x f y f a a a =+=>≠. (4)幂函数()f x x α=, ' ()()(),(1)f xy f x f y f α==. (5)余弦函数()cos f x x =,正弦函数()sin g x x =,()()()()()f x y f x f y g x g y -=+, § 数 列高中数学公式史上最全大全
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