数学分析(1)复习题

数学分析（1）复习题（一）

一、按要求写出下列定义的数学描述（4?/5=20/）

1、A x f x ≠+∞

→)(lim 的X -ε正面描述为

2、由Cauchy 收敛准则，若数列{}n x 收敛，则

3、η为非空数集S 的下确界即

4、a 为无限集合S 的聚点即

5、区间套[]{}n n b a ,的定义为 二、计算题（8?/6=48/）

1、求2

1

0)sin (

lim x x x

x →. 2、求)sin

2

sin

1

(sin

lim 2

2

2

n

n n n n +???++++∞

→π

π

π

.

3、确定x

x x f sin )(=的间断点并判断其类型.

4、设x x x x f x

x

sin )(sin +=，求)(x f '.

5、x y 3sin =，求)(n y .

6、求x e x x f 2)(=带有Lagrange 余项的n 阶Maclaurin 展式.

7、设)7ln 12(4-=x x y ，试确定其凹凸区间及拐点.

8、确定,,b a 使函数?

??≥++<+=0,10,2)(2x bx x x a e x f x 在0=x 处连续.

三、证明题（4?/8=32/） 1、用δε-定义证明.10

31lim

2

3

=+→x x x 2、设)(x f 在[]b a ,上连续，在()b a ,内可导，证明至少存在(),,b a ∈ξ使得下式成

立： .ln )()()(a

b

f a f b f ξξ'=-

3、证明：若f 在[]b a ,上连续，)(lim x f x +∞

→存在且有限，则f 在[)+∞,a 上一致连续.

4、设f 在()+∞,a 内可微并且,0)(lim ='+∞

→x f x 证明0)

(lim

=+∞

→x

x f x .

数学分析（1）复习题（二）

一、单项选择题（5?/3=15/） 1、=

∞→n n n

2lim

（ ） A.0；B 、2

1；C 、1；D 、2. 2、设函数是n 次多项式，则=+)()1(x f n （ ） A 、n ；B 、n+1；C 、0；D 、1.

3、如果当0→x 时,)(x f 是x 的高价无穷小量,则=→x

x f x sin )

(lim

0( ).

A.2

1

； B 、0； C 、2； D 、1. 4、设f 在x 的某邻域内有有定义，则下列命题哪一个为假？（ ）

A.f 在点x 可微，则f 在点x 连续； B 、f 在点x 不连续，则f 在点x 一定不可导；

C 、f 在点x 连续，则f 在点x 可微；

D 、f 在点x 可导当且仅当f 在点x 可微.

5、函数2)(x x f =与x x g =)(定义在[)∞,0上，它们在定义区间上是一致连续的

吗？（ ）

A.两个都是一致连续的； B 、两个都不是一致连续的； C 、f 是一致连续的，g 不是一致连续的； D 、f 不是一致连续的，g 是一致连续的.

二、填空题（5?/3=15/）

1、如果要使函数x

x x f 1

sin )(=在点0=x 连续，需重新定义=)0(f

2、设1)(0='x f ，则=--+→h h x f h x f h )

()(lim 000

3、函数???≤>+=,

1,,

1,)(2x x x b ax x f 在1=x 处可导，则=+2013b a

4、设)(x y y =由方程e xy e y =+确定，则=')0(y

5、设???-=-=t

y t t x cos 1sin ，则

==

2

πt dx dy

三、计算题（6?/6=36/）

1、用N -ε语言叙述数列{}n x 收敛到a 的定义，并根据定义验证数列?

??

???++11222n n 收

敛.

2、①求极限x

x x 2211lim ??? ??++∞

→； ②求极限x

x e x x cos 1sin )1(lim 0--→ 3、设x

tg a x x y 1

)ln(222--+=，求dy . 4、设函数2

2

)(x e x f -=,求)0()4(f .

5、求曲线2

11

x y +=

在)21,1(-处的切线方程和法线方程.

6、求函数1)(23+--=x x x x f 的单调区间、凹凸区间、极值和拐点. 四、证明题(1、2、3题各9分，4题7分，共34分)

1、叙述单调有界定理并考虑下列问题.设,1),,2,1)(1

(211>???=+=+x n x x x n

n n

(1) 证明数列{}n x 单调递减有下界. (2)求数列{}n x 的极限.

2、用罗尔（Rolle ）定理证明拉格朗日(Lagrange)中值定理并证明不等式：

)0()1l n (1><+<+x x x x

x

3、叙述连续函数的零点定理并用区间套定理加以证明.

4、用柯西收敛准则证明数列n n n

x 2

sin 22sin 21sin 12+???+++=收敛.

数学分析（1）复习题（三）

一、 填空（共15分，每题5分）：

1. 设=∈-=E R x x x E sup ,|][{则 , =E inf ;

2. 设=--='→5

)

5()(lim

,2)5(5

x f x f f x 则 ；

3. 设??

?>++≤=0

,)1ln(,0,

sin )(x b x x ax x f 在==a x 处可导，则0 ，

=b 。

二、 计算下列极限：（共20分，每题5分）

1、n n n

1

)1

31211(lim ++++

∞→ ; 2、3

)(21lim

n n

n ++∞

→；

3、 a

x a

x a

x --→sin sin lim ；

4、x

x x 10

)21(lim +→。

三、 计算导数（共15分，每题5分）：

1. );(),1ln(1)(22x f x x x x f '++

-+=

求

2.

3. 设。求)100(2,

2sin )23(y x x y -=

四、 （12分）设0>a ，}{n x 满足：

,00>x ,2,1,0),(211 =+=

+n x a

x x n

n n

证明：}{n x 收敛，并求。n n x ∞

→lim

五、 10分）求椭圆),(10022

22y x b

y a x 过其上点=+

处的切线方程。

六、 （10分）利用Cauchy 收敛原理证明：单调有界数列必收敛。 七、（8分）设满足：上在)0(),[)(>+∞a a x f

|||)()(|),,[,y x K y f x f a y x -≤-+∞∈? 为常数）。证明：0(≥K

1、

上有界；在),[)

(+∞a x

x f 2、上一致连续。在),[)

(+∞a x

x f ;sin cos 3

3表示的函数的二阶导数求由方程???==t a y t

a x

八、（10分）设n a a a ,,21为实常数，证明：

nx

a x a x a x f n cos 2cos cos )(21++

+=

内必有零点。在),0(π

数学分析（1）复习题（四）

一、单项选择题（每小题3分，共15分）

1、设)()()(x a x x f ?-=，其中)(x ?在a x =处连续但不可导，则=)('a f （ ） A 、不存在； B 、)('a ?； C 、)(a ?； D 、)('a ?-。

2、当x 很小时，下列近似公式正确的是（ ）

A 、x e x ≈ ；

B 、x x ≈ln ；

C 、x x n +≈+11； `

D 、x x ≈sin 。

3、曲线x x y arctan =的图形应为（ ）

A 、在),(+∞-∞内上凸；

B 、在),(+∞-∞内下凸；

C 、在),(+∞-∞内单调上升；

D 、在),(+∞-∞内单调下降。

4、当0→x 时，)cos 3(cos 4

1

x x -是2x 的（ ）

A 、高阶无穷小；

B 、同阶无穷小，但不是等阶无穷小；

C 、低阶无穷小；

D 、等阶无穷小。

5、设)(x f 三阶连续可导于[]δδ,-上且0)0('')0('==f f ，

2)

('''lim 0

=→x

x f x 则（ ） A 、)0(f 是)(x f 的极大值 ； B 、)0(f 是)(x f 的极小值； C 、)0(,0(f 是曲线)(x f y =的拐点； D 、))0(,0(f 不是)(x f y =的拐点。 二、填空题（每小题3分，共15分）

1、设)sgn(cos )(x x f =，则[]ππ,)(-在x f 上的全部间断点是 。

2、=-+-+∞

→1

2)1

323(

lim x x x x 。 3、抛物线2x y =的最小曲率半径是 。

4、设)

1(1

)(x x x f -=

，则)()(x f n 。

5、曲线x y x y 2sin )(==与在原点相切，则=∞→)4

(lim n

nf n 。

三、计算题（每小题8分，共40分）。 1、求极限)sin 1

1(

lim 220

x

x x -→。 2、求')(ln sin 2y x x x x y 的导数++=。

3、设函数)(x y y =由方程e xy e y =+所确定，求)0(''y 。

4、如果函数???≥++<+=0

,10

,2)(2x bx x x a e x f x 在0=x 连续可导，求b a +

5、求x e x x f 2)(=带有Lagrange 余项的n 阶Maclaurin 展式。 四、证明题（每小题5分，共20分）。 1、按δε-定义证明5

3

11lim

22

=++→x x x 。 2、证明：当)2,0(π

∈x 时有不等式π

x x 2sin >。

3、设)(x f 在[]b a ,上连续)0( a ，在),(b a 内可导，则存在ξ，),(b a ∈η使

)('2)('ηη

ξf b

a f +=

。 4、若[]上连续在+∞,)(a x f ，)(lim x f x +∞

→存在且有限，则[)+∞,)(a x f 在上一致连续。 五、应用题（本题共10分）

已知曲线1=xy 在第一象限的分支上有一定点)1

,(a

a P )0(>a ，在给定曲线的

第二象限中的分支上有一动点Q 。试求使线段PQ 长度为最短的Q 点的坐标。