考研高等数学常用公式以函数图像
考研高等数学常用公式及函数图象
导数公式：
基本积分表：
三角函数的有理式积分：
2
22212211cos 12sin u du
dx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ，
a
x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22=
'='?-='?='-='='2
2
22
11
)(11
)(11
)(arccos 11
)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-
='+=
'--
='-=
'?
?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C
a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C
a a dx a C
x ctgxdx x C x dx tgx x C
ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x
x
)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222
22
22
2C a
x
x a dx C x a x
a a x a dx C a x a
x a a x dx C a x
arctg a x a dx C
ctgx x xdx C tgx x xdx C
x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2
2222222?
????++-=-+-+--=-+++++=+-=
==-C
a
x a x a x dx x a C
a x x a a x x dx a x C
a x x a a x x dx a x I n
n xdx xdx I n n n
n arcsin 22ln 22)ln(221
cos sin 22
2222222
2222222
22
2
22
2
π
π
一些初等函数： 两个重要极限：
三角函数公式： ·诱导公式：
·和差角公式： ·和差化积公式：
2
sin
2sin 2cos cos 2cos
2cos 2cos cos 2sin
2cos 2sin sin 2cos
2sin
2sin sin β
αβαβαβ
αβαβαβ
αβαβαβ
αβ
αβα-+=--+=+-+=--+=+α
ββαβαβαβ
αβαβ
αβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±?=
±?±=
±=±±=±1
)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin(μμμx
x
arthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x x
x x
x x
x -+=-+±=++=+-=
=+=
-=
----11ln
21)
1ln(1ln(:2
:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)1
1(lim 1
sin lim
0==+=∞→→e x
x
x
x x x
·倍角公式：
·半角公式：
αα
αααααααααααα
α
ααα
cos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cos 1sin sin cos 1cos 1cos 12
2
cos 12cos 2cos 12
sin -=
+=-+±=+=-=+-±
=+±=-±=ctg tg
·正弦定理：R C
c
B b A a 2sin sin sin === ·余弦定理：
C ab b a c cos 2222-+=
·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -=
-=
2
arccos 2
arcsin π
π
高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：
)
()
()()2()1()(0
)
()()
(!
)1()1(!2)1()
(n k k n n n n n
k k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+
'+==---=-∑ΛΛΛ
中值定理与导数应用：
拉格朗日中值定理。
时，柯西中值定理就是当柯西中值定理：拉格朗日中值定理：x x F f a F b F a f b f a b f a f b f =''=
---'=-)(F )
()
()()()()())(()()(ξξξ
曲率：
α
ααααααααα23333133cos 3cos 43cos sin 4sin 33sin tg tg tg tg --=
-=-=α
α
αααααααααα
αα22222212221
2sin cos sin 211cos 22cos cos sin 22sin tg tg tg ctg ctg ctg -=
-=
-=-=-==
.
1
;0.)
1(lim M s M M :.,13202a
K a K y y ds d s K M M s
K tg y dx y ds s =='+''==??='?'???=
=''+=→?的圆：半径为直线：点的曲率：弧长。：化量；点，切线斜率的倾角变点到从平均曲率：其中弧微分公式：α
ααα
α
定积分的近似计算：
???----+++++++++-≈
++++-≈
+++-≈
b
a
n n n b
a
n n b
a n y y y y y y y y n
a
b x f y y y y n a b x f y y y n
a
b x f )](4)(2)[(3)(])(2
1
[)()()(1312420110110ΛΛΛΛ抛物线法：梯形法：矩形法：
定积分应用相关公式：
??--==?=?=b
a
b a dt t f a b dx
x f a b y k r
m m k
F A
p F s F W )(1)(1
,2
22
1均方根：函数的平均值：为引力系数引力：水压力：功： 空间解析几何和向量代数：
。
代表平行六面体的体积为锐角时，
向量的混合积：例：线速度：两向量之间的夹角：是一个数量轴的夹角。
是向量在轴上的投影：点的距离：空间ααθθθ??,cos )(][..sin ,cos ,,cos Pr Pr )(Pr ,cos Pr )()()(22
2
2
2
2
2
212121*********c b a c c c b b b a a a c b a c b a r w v b a c b b b a a a k
j i
b a
c b b b a a a b a b a b a b a b a b a b a b a a j a j a a j u j z z y y x x M M
d z
y
x z y x
z
y x
z
y
x
z y x
z
y x z y x z
z y y x x z z y y x x u u ?
???
?????????????
??
?????????==??=?=?==?=++?++++=++=?=?+=+=-+-+-== （马鞍面）双叶双曲面：单叶双曲面：、双曲面：
同号）
（、抛物面：、椭球面：二次曲面：
参数方程：其中空间直线的方程：面的距离：平面外任意一点到该平、截距世方程：、一般方程：，其中、点法式：平面的方程：
1
1
3,,2221
1};,,{,1
302),,(},,,{0)()()(122
222222
22222
222
22220000002
220000000000=+-=-+=+=++??
?
??+=+=+===-=-=-+++++=
=++=+++==-+-+-c
z b y a x c z b y a x q p z q y p x c z b y a x pt
z z nt
y y mt
x x p n m s t p z z n y y m x x C B A D
Cz By Ax d c
z
b y a x D Cz By Ax z y x M C B A n z z C y y B x x A ??
多元函数微分法及应用
z
y z x y x y x y x y x F F y z
F F x z z y x F dx dy F F y F F x dx y d F F dx dy y x F dy y
v
dx x v dv dy y u dx x u du y x v v y x u u x
v
v z x u u z x z y x v y x u f z t
v
v z t u u z dt dz t v t u f z y y x f x y x f dz z dz z
u dy y u dx x u du dy y z dx x z dz -
=??-=??=?
-??
-??=-==??+??=??+??=
==???
??+?????=??=?????+?????==?+?=≈???+??+??=??+??=
， ， 隐函数＋， ， 隐函数隐函数的求导公式：
时，，当
：
多元复合函数的求导法全微分的近似计算： 全微分：0),,()()(0),(),(),()],(),,([)](),([),(),(22
)
,(),(1),(),(1),(),(1),(),(1),(),(0
),,,(0),,,(y u G F J y v v y G F J y u x u G F J x v v x G F J x u G G F F v
G u
G v F
u
F v u
G F J v u y x G v u y x F v
u v u ???-=?????-=?????-=?????-=??=????????=??=???== 隐函数方程组：
微分法在几何上的应用：
)
,,(),,(),,(30
))(,,())(,,())(,,(2)},,(),,,(),,,({1),,(0),,(}
,,{,0
),,(0),,(0))(())(())(()()()(),,()
()()
(000000000000000000000000000000000000000000000000000z y x F z z z y x F y y z y x F x x z z z y x F y y z y x F x x z y x F z y x F z y x F z y x F n z y x M z y x F G G F F G G F F G G F F T z y x G z y x F z z t y y t x x t M t z z t y y t x x z y x M t z t y t x z y x z y x z y x y
x y x x z x z z y z y -=
-=-=-+-+-==????
?====-'+-'+-''-=
'-='-??
?
??===、过此点的法线方程：：、过此点的切平面方程、过此点的法向量：，则：
上一点曲面则切向量若空间曲线方程为：处的法平面方程：在点处的切线方程：在点空间曲线?
?ωψ?ωψ?ωψ?方向导数与梯度：
上的投影。在是单位向量。方向上的，为，其中：它与方向导数的关系是的梯度：在一点函数的转角。
轴到方向为其中的方向导数为：沿任一方向在一点函数l y x f l f
l j i e e y x f l
f j y f i x
f y x f y x p y x f z l x y f x f
l f l y x p y x f z ),(grad sin cos ),(grad ),(grad ),(),(sin cos ),(),(??∴?+?=?=????+??=
=??+??=??=????
?
?????
?多元函数的极值及其求法：
????
???
??=-<-???><>-===== 不确定时值时， 无极为极小值为极大值时，则： ，令：设,00),(,0),(,00),(,),(,),(0),(),(22
000020000000000B AC B AC y x A y x A B AC C y x f B y x f A y x f y x f y x f yy xy xx y x
重积分及其应用：
??????
??????????????
????++-=++=++==>===
=
==
?
??
?
????+??? ????+==='
D
z D
y D
x z y x D
y D
x D
D
y D
x
D
D D
a y x xd y x fa F a y x yd y x f F a y x xd y x f F F F F F a a M z xoy d y x x I y d y x y I x d y x d y x y M
M y d y x d y x x M
M x dxdy y z x z A y x f z rdrd r r f dxdy y x f 2
3
22
2
2
3
22
2
2
3
22
2
22D
2
2
)
(),()
(),()
(),(},,{)0(),,0,0(),(,),(),(),(,),(),(1),()sin ,cos (),(σ
ρσ
ρσ
ρσρσρσ
ρσ
ρσ
ρσ
ρθ
θθ， ， ，其中：的引力：轴上质点平面）对平面薄片（位于轴 对于轴对于平面薄片的转动惯量： 平面薄片的重心：的面积曲面柱面坐标和球面坐标：
????????????????????????????????????Ω
Ω
Ω
Ω
Ω
Ω
Ω
Ω
Ω
ΩΩ+=+=+====
=
=
===???=??
???=====??
?
??===dv
y x I dv z x I dv z y I dv
x M dv z M
z dv y M
y dv x M
x dr
r
r F d d d drd r
r F dxdydz z y x f d drd r dr d r rd dv r z r y r x z r r f z r F dz rdrd z r F dxdydz z y x f z
z r y r x z y x r ρρρρρρρ?θ??
θθ??θ?θ
??θ???θ?θ?θθθθθθθπ
πθ?)()()(1,1,1sin ),,(sin ),,(),,(sin sin cos sin sin cos sin )
,sin ,cos (),,(,),,(),,(,sin cos 22222220
)
,(0
2
2
2
， ， 转动惯量：， 其中 重心：， 球面坐标：其中： 柱面坐标：曲线积分：
??
?==<'+'=≤≤?
?
?==?
?)()()()()](),([),(),(,)()(),(22t y t
x dt t t t t f ds y x f t t y t x L L y x f L
?βαψ?ψ?βαψ?β
α
特殊情况： 则： 的参数方程为：上连续，在设长的曲线积分）：
第一类曲线积分（对弧
。
，通常设的全微分，其中：才是二元函数时，＝在
：二元函数的全微分求积注意方向相反！减去对此奇点的积分，，应。注意奇点，如＝，且内具有一阶连续偏导数在，、是一个单连通区域；
、无关的条件：平面上曲线积分与路径的面积：时，得到，即：当格林公式：格林公式：的方向角。上积分起止点处切向量分别为
和，其中系：两类曲线积分之间的关，则：的参数方程为设标的曲线积分）：第二类曲线积分（对坐0),(),(),(),(·)0,0(),(),(21·212,)()()cos cos ()}()](),([)()](),([{),(),()()(00
)
,()
,(00==+=
+????????-===??-??=-=+=??-??+=??-??+=+'+'=+?
?
?==??????????????y x
dy y x Q dx y x P y x u y x u Qdy Pdx y
P
x Q y
P
x Q G y x Q y x P G ydx
xdy dxdy A D y P x Q x Q y P Qdy Pdx dxdy y P
x Q Qdy Pdx dxdy y P x Q L ds Q P Qdy Pdx dt
t t t Q t t t P dy y x Q dx y x P t y t x L y x y x D L
D L D L L
L
L
βαβαψψ??ψ?ψ?β
α
曲面积分：
??????????????????????
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
++=++±=±=±=++++=ds
R Q P Rdxdy Qdzdx Pdydz dzdx z x z y x Q dzdx z y x Q dydz z y z y x P dydz z y x P dxdy y x z y x R dxdy z y x R dxdy z y x R dzdx z y x Q dydz z y x P dxdy y x z y x z y x z y x f ds z y x f zx
yz
xy
xy
D D D D y x )cos cos cos (]),,(,[),,(],),,([),,()],(,,[),,(),,(),,(),,(),(),(1)],(,,[),,(2
2γβα系：两类曲面积分之间的关号。
，取曲面的右侧时取正号；
，取曲面的前侧时取正号；
，取曲面的上侧时取正，其中：
对坐标的曲面积分：对面积的曲面积分：高斯公式：
??????????????????Ω
∑
∑
∑
∑
∑
Ω
∑=++==?
A dv A ds R Q P ds A ds n A z R y Q x P ds R Q P Rdxdy Qdzdx Pdydz dv z R y Q x P n n ??
???div )cos cos cos (...
,0div ,div )cos cos cos ()(
成：因此，高斯公式又可写，通量：则为消失的流体质量，若即：单位体积内所产生散度：—通量与散度：
—高斯公式的物理意义γβαννγβα斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系：
?????????Γ
Γ
∑
∑∑
Γ
?=++Γ??
????=
??=
????=????=????????
=??????++=??-??+??-??+??-??ds
t A Rdz Qdy Pdx A R
Q P z y x A y P
x Q x R z P z Q y R R
Q
P
z y x R Q P z y x dxdy dzdx dydz Rdz Qdy Pdx dxdy y P
x Q dzdx x R z P dydz z Q y R ?
???的环流量：沿有向闭曲线向量场旋度：， ， 关的条件：空间曲线积分与路径无上式左端又可写成：k
j i rot cos cos cos )()()(
γβ
α
常数项级数：
是发散的
调和级数：等差数列：等比数列：n
n
n n q q q q q n n 1
312112
)1(3211111
2
+++++=
++++--=
++++-ΛΛΛ 级数审敛法：
散。
存在，则收敛；否则发、定义法：
时，不确定
时，级数发散
时，级数收敛
，则设：、比值审敛法：
时，不确定时，级数发散
时，级数收敛
，则设：别法）：—根植审敛法（柯西判—、正项级数的审敛法n n n n n n n n n n s u u u s U U u ∞
→+∞→∞
→+++=???
??=><=??
?
??=><=lim ;3111lim 2111lim 1211Λρρρρρρρρ
。的绝对值其余项，那么级数收敛且其和
如果交错级数满足—莱布尼兹定理：—的审敛法或交错级数1113214321,0lim )0,(+∞→+≤≤?????=≥>+-+-+-+-n n n n
n n n n u r r u s u u u u u u u u u u u ΛΛ绝对收敛与条件收敛：
∑∑∑∑>≤-+++++++++时收敛
１时发散ｐ
级数： 收敛；
级数：收敛；
发散，而调和级数：为条件收敛级数。收敛，则称发散，而如果收敛级数；肯定收敛，且称为绝对收敛，则如果为任意实数；，其中11
1
)1(1)1()1()2()1()2()2()1(232121p n p n n n u u u u u u u u p n
n n n Λ
ΛΛΛ 幂级数：
01
0)3(lim
)3(111
1111
221032=+∞=+∞
===
≠==><+++++≥-<++++++++∞→R R R a a a a R R x R x R x R x a x a x a a x x x x x x x n n n
n n n n n 时，时，时，的系数，则是，，其中求收敛半径的方法：设称为收敛半径。
，其中时不定
时发散时收敛
，使在数轴上都收敛，则必存收敛，也不是在全
，如果它不是仅在原点 对于级数时，发散
时，收敛于
ρρρ
ρρΛΛΛΛ函数展开成幂级数：
Λ
ΛΛ
Λ+++''+'+===-+=+-++-''+-=∞→++n
n n n n n n n n x n f x f x f f x f x R x f x x n f R x x n x f x x x f x x x f x f !
)0(!2)0()0()0()(00
lim )(,)()!1()
()(!
)()(!2)())(()()(2010)1(00)(2
0000时即为麦克劳林公式：充要条件是：可以展开成泰勒级数的余项：函数展开成泰勒级数：ξ一些函数展开成幂级数：
)
()!12()1(!5!3sin )11(!
)1()1(!2)1(1)1(1
21532+∞<<-∞+--+-+-=<<-++--++-+
+=+--x n x
x x x x x x n n m m m x m m mx x n n n
m ΛΛΛΛΛ 欧拉公式：
???
????-=+=+=--2sin 2cos sin cos ix ix ix
ix ix e e x e e x x i x e 或 三角级数：
。
上的积分＝在任意两个不同项的乘积正交性：。
，，，其中，0],[cos ,sin 2cos ,2sin ,cos ,sin ,1cos sin )
sin cos (2)sin()(00101
0ππω???ω-====++=++=∑∑∞
=∞
=ΛΛnx nx x x x x x t A b A a aA a nx b nx a a t n A A t f n n n n n n n n n n n n
傅立叶级数：
是偶函数 ，余弦级数：是奇函数
，正弦级数：（相减）
（相加）
其中，周期∑?
∑???∑+=
==
======+-+-=++++=+++=
+++???
?
???=====++=--∞
=nx a a x f n nxdx x f a b nx b x f n xdx x f b a n nxdx x f b n nxdx x f a nx b nx a a x f n n n n
n n n n n n n cos 2
)(2,1,0cos )(2
0sin )(3,2,1n sin )(2
0124
13121
16413
121
12461412
1
85
1
311)3,2,1(sin )(1)2,1,0(cos )(1
2)sin cos (2)(0
222222222222
2221
0ΛΛΛΛΛΛΛΛπ
π
π
ππ
ππ
π
πππππππ
周期为l 2的周期函数的傅立叶级数：
???
?
???=====++=??∑--∞=l
l n l l n n n n n dx l x n x f l b n dx l x
n x f l a l
l
x n b l x n a a x f )3,2,1(sin )(1)2,1,0(cos
)(12)sin cos (2)(10ΛΛ 其中，周期ππππ
微分方程的相关概念：
即得齐次方程通解。
，
代替分离变量，积分后将，，，则设的函数，解法：，即写成程可以写成齐次方程：一阶微分方称为隐式通解。
得：的形式，解法：
为：一阶微分方程可以化可分离变量的微分方程 或 一阶微分方程：u x y u u du x dx u dx du u dx du x u dx dy x y u x
y
y x y x f dx dy C x F y G dx x f dy y g dx x f dy y g dy y x Q dx y x P y x f y -=∴=++====+====+='??)()(),(),()()()()()()(0
),(),(),(???一阶线性微分方程：
)
1,0()()(2))((0)(,0)()
()(1)()()(≠=+?
+?=≠?
===+?--n y x Q y x P dx
dy
e C dx e x Q y x Q Ce y x Q x Q y x P dx
dy
n dx
x P dx x P dx
x P ，、贝努力方程：时，为非齐次方程，当为齐次方程，时当、一阶线性微分方程：
全微分方程：
通解。
应该是该全微分方程的，，其中：分方程，即：中左端是某函数的全微如果C y x u y x Q y u
y x P x u dy y x Q dx y x P y x du dy y x Q dx y x P =∴=??=??=+==+),(),(),(0),(),(),(0),(),(
二阶微分方程：
时为非齐次
时为齐次，0)(0)()()()(2
2≠≡=++x f x f x f y x Q dx dy
x P dx y d 二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：
2
122,)(2,,(*)0)(1,0(*)r r y y y r r q pr r q p qy y p y 式的两个根、求出的系数；式中的系数及常数项恰好是，，其中、写出特征方程：求解步骤：
为常数；，其中?'''=++?=+'+''
式的通解：
出的不同情况，按下表写、根据(*),321r r
二阶常系数非齐次线性微分方程
型
为常数；型，为常数，]sin )(cos )([)()()(,)(x x P x x P e x f x P e x f q p x f qy y p y n l x m x ωωλλλ+===+'+''
五类基本初等函数及图形
----------------------------------- (1) 幂函数----------------------------------
μ
x y =，μ是常数；
----------------------------------- (2) 指数函数 ----------------------------------
x a y = (a 是常数且01a a >≠，)，),(+∞-∞∈x ；
----------------------------------- (3) 对数函数 ----------------------------------
x y a log =(a
是常数且01a a >≠，)，(0,)x ∈+∞；
1. 当u 为正整数时，函数的定义域为区间),(+∞-∞∈x ，他们的图形都
经过原点，并当u>1时在原点处与X 轴相切。且u 为奇数时，图形关于原点对称；u 为偶数时图形关于Y 轴对称；
2. 当u 为负整数时。函数的定义域为除去x=0的所有实数。
3. 当u 为正有理数m/n 时，n 为偶数时函数的定义域为（0, +∞），n
为奇数时函数的定义域为（-∞+∞）。函数的图形均经过原点和（1 ,1）.如果m>n 图形于x 轴相切,如果m 4. 当u 为负有理数时,n 为偶数时,函数的定义域为大于零的一切实数;n 为奇数时,定义域为去除x=0以外的一切实数. 1. 当a>1时函数为单调增,当a<1时函数为单调减. 2. 不论x 为何值,y 总是正的,图形在x 轴上方. 3. 当x=0时,y=1,所以他的图形通过(0,1)点. 1. 他的图形为于y 轴的右方.并通过点(1,0) 2. 当a>1时在区间(0,1),y 的值为负.图形位 于x 的下方,在区间(1, +∞),y 值为正,图形位于x 轴上方.在定义域是单调增函数.a<1在实用中很少用到. ----------------------------------- (4) 三角函数---------------------------------- 正弦x y sin =,) , (+∞ -∞ ∈ x,]1,1 [- ∈ y余弦x y cos =,) , (+∞ -∞ ∈ x,]1,1 [- ∈ y 正切x y tan =, 2 π π+ ≠k x ,k Z ∈,) , (+∞ -∞ ∈ y余切x y cot =，πk x≠，k Z ∈，) , (+∞ -∞ ∈ y ----------------------------------- (5) 反三角函数---------------------------------- 反正弦 x y arcsin = , ]1,1 [- ∈ x, ] 2 , 2 [ π π - ∈ y 反正切x y arctan =,) , (+∞ -∞ ∈ x, ) 2 , 2 ( π π - ∈ y 反余切x y cot arc =,) , (+∞ -∞ ∈ x,) ,0(π ∈ y 反余弦 x y arccos =, ]1,1 [- ∈ x, ] ,0[π ∈ y, 高等数学公式 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π 高数常用公式 平方立方： 22222222 332233223223332233222(1)()()(2)2()(3)2()(4)()()(5)()()(6)33()(7)33()(8)222(a b a b a b a ab b a b a ab b a b a b a b a ab b a b a b a ab b a a b ab b a b a a b ab b a b a b c ab bc ca -=+-++=+-+=-+=+-+-=-+++++=+-+-=-+++++= 21221)(9)()(),(2) n n n n n n a b c a b a b a a b ab b n ----++-=-++++≥ 三角函数公式大全 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1 -cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1 cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A =A tan 12tanA 2- Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana ·tan(3π+a)·tan(3 π -a) 半角公式 sin( 2A )=2cos 1A - cos( 2A )=2cos 1A + tan( 2A )=A A cos 1cos 1+- cot(2A )=A A cos 1cos 1-+ tan( 2 A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 和差化积 sina+sinb=2sin 2b a +cos 2b a - sina-sinb=2cos 2b a +sin 2b a - cosa+cosb = 2cos 2b a +cos 2b a - cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2 b a - 考研数学公式(全) ·平方关系： sin^2(α)+cos^2(α)=1 tan^2(α)+1=sec^2(α) cot^2(α)+1=csc^2(α) ·积的关系： sinα=tanα*cosα cosα=cotα*sinα tanα=sinα*secα cotα=cosα*cscα secα=tanα*cscα cscα=secα*cotα ·倒数关系： tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=1 直角三角形ABC中, 角A的正弦值就等于角A的对边比斜边, 余弦等于角A的邻边比斜边 正切等于对边比邻边, ·三角函数恒等变形公式 ·两角和与差的三角函数： cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) ·三角和的三角函数： sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα) ·辅助角公式： Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中 sint=B/(A^2+B^2)^(1/2) cost=A/(A^2+B^2)^(1/2) tant=B/A 高等数学公式大全及常 见函数图像 文件排版存档编号：[UYTR-OUPT28-KBNTL98-UYNN208] 高等数学公 式 导数公式： 基本积分表： a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22 = '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π 高等数学公式大全 导数公式： 基本积分表： a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22 = '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π 常 用 积 分 公 式 （一）含有ax b +的积分(0a ≠) 1．d x ax b +? ＝ 1ln ax b C a ++ 2．()d ax b x μ+?＝1 1() (1) ax b C a μμ++++（1μ≠-） 3．d x x ax b +?＝ 2 1(ln )ax b b ax b C a +-++ 4．2 d x x ax b +? ＝ 22 311()2()ln 2ax b b ax b b ax b C a ??+-++++???? 5．d () x x ax b +? ＝1ln ax b C b x +-+ 6．2 d () x x ax b +? ＝2 1ln a ax b C bx b x +- ++ 7．2 d () x x ax b +? ＝2 1(ln )b ax b C a ax b ++ ++ 8．2 2 d () x x ax b +? ＝ 2 3 1(2ln )b ax b b ax b C a ax b +-+- ++ 9．2 d () x x ax b +? ＝ 2 11ln () ax b C b ax b b x +- ++ 的积分 10．x ? ＝ C 11．x ?＝2 2(3215ax b C a -+ 12．x x ?＝ 2 2 2 3 2(15128105a x abx b C a -+ 13．x ? ＝ 2 2(23ax b C a -+ 14 ．2 x ? ＝ 222 3 2(34815a x abx b C a -+ 15 ．? (0) (0) C b C b ?+>?的积分 22．2 d x ax b +? ＝(0) (0) C b C b ? +>? ? ?+< 23．2 d x x ax b +? ＝ 2 1 ln 2ax b C a ++ 函数的表示方法 __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ 1、 能根据不同需要选择恰当的方法（如图像法、列表法、解析法）表示函数； 2、 了解简单的分段函数，并能简单应用； 一、函数的常用表示方法简介： 1、解析法 如果函数()()y f x x A =∈中，()f x 是用代数式（或解析式）来表达的，则这种表达函数的方法叫做解析法（公式法）。 例如，s =602t ，A =π2r ，2S rl π=,2)y x = ≥等等都是用解析式表示函数关系的。 特别提醒： 解析法的优点：（1）简明、全面地概括了变量间的关系；（2）可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值；（3）便于利用解析式研究函数的性质。中学阶段研究的函数主要是用解析法表示的函数。 解析法的缺点：（1）并不是所有的函数都能用解析法表示；（2）不能直观地观察到函数的变化规律。 2、列表法： 通过列出自变量与对应函数值的表格来表示函数关系的方法叫做列表法。 例如：初中学习过的平方表、平方根表、三角函数表。我们生活中也经常遇到列表法，如银行里的利息表，列车时刻表，公共汽车上的票价表等等都是用列表法来表示函数关系的. 特别提醒： 列表法的优点：不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值。这种表格常常应用到实际生产和生活中。 列表法的缺点：对于自变量的有些取值，从表格中得不到相应的函数值。 3、图象法： 用函数图象表示两个变量之间的函数关系的方法，叫做图像法。 例如：气象台应用自动记录器描绘温度随时间变化的曲线，工厂的生产图象，股市走向图等都是用图象法表示函数关系的。 特别提醒： 图像法的优点：能直观形象地表示出自变量的变化，相应的函数值变化的趋势，这样使得我们可以通过图象来研究函数的某些性质。 图像法的缺点：不能够精确地求出某一自变量的相应函数值。 高等数学公式 导数公式： 基本积分表： a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(2 2 = '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= ' 三角函数的有理式积分： 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x += =+-=+=， ， ， 一些初等函数： 两个重要极限： ? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 ππx x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x x x x x x x ++=+-==+= -= ----1ln(:2 :2:22） 双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim 0==+=∞→→e x x x x x x 考研数学高数公式:函数与极限 第一章:函数与极限 第一节:函数 函数属于初等数学的预备知识,在高数的学习中起到铺垫作用,直接考察的内容比较少,但是如果这章节有所缺陷对以后的学习都会有所影响。 基础阶段: 1.理解函数的概念,能在实际问题的背景下建立函数关系; 2.掌握并会计算函数的定义域、值域和解析式; 3.了解并会判断函数的有界性、单调性、周期性、奇偶性等性质; 4.理解复合函数和反函数的概念,并会应用它们解决相关的问题; 强化阶段: 1.了解函数的不同表现形式:显式表示,隐式表示,参数式,分段表示; 2.掌握基本初等函数的性质及其图形,了解初等函数的概念。 冲刺阶段: 1.综合应用函数解决相关的问题; 2.掌握特殊形式的函数(含极限的函数,导函数,变上限积分,并会讨论它们的相关性质。 第二节:极限 极限可以说是高等数学的基础,极限的计算也是高等数学中最基本的运算。在考试大纲中明确要求考生熟练掌握的基本技能之一。虽在考试中站的分值不大。但是在其他的试题中得到广泛应用。因此这部分学习直接营销到整个学科的复习结果 基础阶段 1.了解极限的概念及其主要的性质。 2.会计算一些简单的极限。 3.了解无穷大量与无穷小量的关系,了解无穷小量的比较方法,记住常见的等价无穷小量。 强化阶段: 1.理解极限的概念,理解函数左右极限的概念及其与极限的关系(数一数二/了解数列 极限和函数极限的概念(数三; ▲2.掌握计算极限的常用方法及理论(极限的性质,极限的四则运算法则,极限存在的两个准则,两个重要极限,等价无穷小替换,洛必达法则,泰勒公式; 3.会解决与极限的计算相关的问题(确定极限中的参数; 4.理解无穷大量和无穷小量的概念及相互关系,会进行无穷小量的比较,记住常见的等价无穷小量并能在计算极限时加以应用(数一数二/理解无穷小量的概念,会进行无穷小量的比较,记住常见的等价无穷小量并能在计算极限时加以应用,了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系(数三。 冲刺阶段: 深入理解极限理论在微积分中的中心地位,理解高等数学中其它运算(求导,求积分与极限之间的关系,建立完整的理论体系。 常用公式表（一） 1。乘法公式 ()()22212a b a ab b +=++ ()()2 2222a b a ab b -=-+ ()()()223a b a b a b -=+- ()()()33224a b a b a ab b +=+-+ ()()()33225a b a b a ab b -=-++ 2、指数公式： ()()0 110a a =≠ ()12p p a a -= ()3m n a = ()4m n m n a a a += ()5m m n m n n a a a a a -÷= = ()() 6n m m n a a = ()() 7n n n ab a b = ()8n n n a a b b ?? = ??? ()2 9a = (10a = () 1 111a a -= (1 2 12a = 3、指数与对数关系： （1）若N a b =，则 N b a log = （2）若N b =10 ，则N b lg = （3）若N e b =，则N b ln = 4、对数公式： （1） b a b a =log , ln b e b = (2)log 10,ln 10a == （3）N a aN =log ，ln N e N = ()ln 4log ln a N N a = （5）a b b e a ln = （6）N M MN ln ln ln += ()7ln ln ln M M N N =- （8） M n M n ln ln = ()1 9ln ln M n = 5、三角恒等式： （1）22sin cos 1α α+= （2）2 2 1tan sec αα += （3）221cot csc αα+= () sin 4tan cos αα α = () cos 5cot sin αα α = ()1 6cot tan α α = ()17csc sin α α = ()18sec cos αα = 6.倍角公式： （1）α ααcos sin 22sin = ()2 2tan 2tan 21tan αα α = - （3）α αααα2 2 2 2 sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-= 7.半角公式（降幂公式）： ()2 1cos 1sin 22 α α -= ()2 1cos 2cos 2 2 α α += ()1cos sin 3tan 2 sin 1cos α ααα α -= = + 考研高等数学常用公式及函数图象 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π 创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者： 凤呜大王* 常 用 积 分 公 式 （一）含有ax b +的积分(0a ≠) 1． d x ax b +?＝1 ln ax b C a ++ 2．()d ax b x μ +? ＝ 11 ()(1) ax b C a μμ++++（1μ≠-） 3． d x x ax b +?＝21 (ln )ax b b ax b C a +-++ 4．2d x x ax b +? ＝22311()2()ln 2ax b b ax b b ax b C a ?? +-++++???? 5． d ()x x ax b +?＝1ln ax b C b x +-+ 6． 2 d () x x ax b +? ＝21ln a ax b C bx b x +-++ 7． 2 d ()x x ax b +?＝21(ln )b ax b C a ax b ++++ 8．22 d ()x x ax b +?＝2 31(2ln )b ax b b ax b C a ax b +-+-++ 9． 2 d () x x ax b +? ＝211ln ()ax b C b ax b b x +-++ 的积分 10 ． x ? C + 11 ．x ? ＝2 2 (3215ax b C a - 12 ．x x ? ＝2223 2(15128105a x abx b C a -++ 13 ． x ? ＝22 (23ax b C a - 14 ． 2x ? ＝222 3 2(34815a x abx b C a -++ 15 ．? (0) (0) C b C b ?+>< 16 ． ? ＝2a bx b -- 17 ． x ? ＝b ?18． 2d x x ? ＝2a + （三）含有2 2 x a ±的积分 19． 22d x x a +?=1arctan x C a a + 高等数学公式 导数公式： (tgx) sec 2 x (arcsin x) 1 1 x 2 ( ctgx) csc 2 x (arccos x) 1 (secx) secx tgx 1 x 2 (cscx) cscx ctgx (arctgx ) 1 ( a x ) a x ln a 1 x 2 (log a x) 1 (arcctgx ) 1 1 x 2 x ln a 基本积分表： tgxdx ln cosx C dx sec 2 xdx tgx C ctgxdx ln sin x C cos 2 x dx 2 secxdx ln secx tgx C sin 2 x csc xdx ctgx C cscxdx ln cscx ctgx C secx tgxdx secx C dx 1 x csc x ctgxdx cscx C a 2 x 2 a arctg a C a x dx a x C dx 1 x a ln a x 2 a 2 2a ln C x a shxdx chx C dx 1 a x a 2 x 2 2a ln C chxdx shx C a x dx x 2 arcsin x C dx ln( x x 2 a 2 ) C a 2 a x 2 a 2 2 2 n 1 I n sin n xdx cos n xdx I n 2 0 0 n x 2 a 2 dx x x 2 a 2 a 2 ln( x x 2 a 2 ) C 2 2 x 2 a 2 dx x x 2 a 2 a 2 ln x x 2 a 2 C 2 2 a 2 x 2 dx x a 2 x 2 a 2 arcsin x C 2 2 a 三角函数的有理式积分： sin x 2u ， cos x 1 u 2 ， u tg x ， dx 2du 1 u 2 1 u 2 2 1 u 2 高等数学公式 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： ? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 ππa x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= ' 考研高数：泰勒公式求极限 凯程教育： 凯程考研成立于2005年，国内首家全日制集训机构考研，一直从事高端全日制辅导，由李海洋教授、张鑫教授、卢营教授、王洋教授、杨武金教授、张释然教授、索玉柱教授、方浩教授等一批高级考研教研队伍组成，为学员全程高质量授课、答疑、测试、督导、报考指导、方法指导、联系导师、复试等全方位的考研服务。 凯程考研的宗旨：让学习成为一种习惯； 凯程考研的价值观口号：凯旋归来，前程万里； 信念：让每个学员都有好最好的归宿； 使命：完善全新的教育模式，做中国最专业的考研辅导机构； 激情：永不言弃，乐观向上； 敬业：以专业的态度做非凡的事业； 服务：以学员的前途为已任，为学员提供高效、专业的服务，团队合作，为学员服务，为学员引路。 如何选择考研辅导班： 在考研准备的过程中，会遇到不少困难，尤其对于跨专业考生的专业课来说，通过报辅导班来弥补自己复习的不足，可以大大提高复习效率，节省复习时间，大家可以通过以下几个方 面来考察辅导班，或许能帮你找到适合你的辅导班。 师资力量：师资力量是考察辅导班的首要因素，考生可以针对辅导名师的辅导年限、辅导经验、历年辅导效果、学员评价等因素进行综合评价，询问往届学长然后选择。判断师资力量关键在于综合实力，因为任何一门课程，都不是由一、两个教师包到底的，是一批教师配合的结果。还要深入了解教师的学术背景、资料著述成就、辅导成就等。凯程考研名师云集，李海洋、张鑫教授、方浩教授、卢营教授、孙浩教授等一大批名师在凯程授课。而有的机构只是很普通的老师授课，对知识点把握和命题方向，欠缺火候。 对该专业有辅导历史：必须对该专业深刻理解，才能深入辅导学员考取该校。在考研辅导班中，从来见过如此辉煌的成绩：凯程教育拿下2015五道口金融学院状元，考取五道口15人，清华经管金融硕士10人，人大金融硕士15个，中财和贸大金融硕士合计20人，北师大教育学7人，会计硕士保录班考取30人，翻译硕士接近20人，中传状元王园璐、郑家威都是来自凯程，法学方面，凯程在人大、北大、贸大、政法、武汉大学、公安大学等院校斩获多个法学和法硕状元，更多专业成绩请查看凯程网站。在凯程官方网站的光荣榜，成功学员经验谈视频特别多，都是凯程战绩的最好证明。对于如此高的成绩，凯程集训营班主任邢老师说，凯程如此优异的成绩，是与我们凯程严格的管理，全方位的辅导是分不开的，很多学生本科都不是名校，某些学生来自二本三本甚至不知名的院校，还有很多是工作了多年才回来考的，大多数是跨专业考研，他们的难度大，竞争激烈，没有严格的训练和同学们的刻苦学习，是很难达到优异的成绩。最好的办法是直接和凯程老师详细沟通一下就清楚了。 建校历史：机构成立的历史也是一个参考因素，历史越久，积累的人脉资源更多。例如，凯程教育已经成立10年（2005年），一直以来专注于考研，成功率一直遥遥领先，同学们有兴趣可以联系一下他们在线老师或者电话。 有没有实体学校校区：有些机构比较小，就是一个在写字楼里上课，自习，这种环境是不太好的，一个优秀的机构必须是在教学环境，大学校园这样环境。凯程有自己的学习校区，有吃住学一体化教学环境，独立卫浴、空调、暖气齐全，这也是一个考研机构实力的体现。此外，最好还要看一下他们的营业执照。 【最新整理，下载后即可编辑】 高等数学公式 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22 = '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π 导数公式： 基本积分表： 1．d x ax b +?＝1ln ax b C a ++ 2．()d ax b x μ+?＝11()(1) ax b C a μμ++++（1μ≠-） 3．d x x ax b +?＝21(ln )ax b b ax b C a +-++ 5．d ()x x ax b +?＝1ln ax b C b x +-+ 6．2d ()x x ax b +?＝21ln a ax b C bx b x +-++ 10 ．x C 19．22d x x a +?=1arctan x C a a + 21．22d x x a -?=1ln 2x a C a x a -++ 23．2d x x ax b +?＝21ln 2ax b C a ++ 24．2 2d x x ax b +?＝2d x b x a a ax b -+? a x x a a a x x x x x x x x x x a x x ln 1)(log ln )(cot csc )(csc tan sec )(sec csc )(cot sec )(tan 22='='?-='?='-='='222211)cot (11)(arctan 11)(arccos 11)(arcsin x x arc x x x x x x +-='+='--='-=' 31． 1arsh x C a +＝ln(x C + 32． ＝C + 33． x ＝C 34． x ＝C + 35．2 x ＝2ln(2a x C -++ 39． x 2 ln(2a x C +++ 43．x a C + 44．2d x x ?＝ln(x C +++ 47． x ＝C 53．x 2 ln 2 a x C 57．x ＝arccos a a C x + 59． arcsin x C a + 61． x ＝C 主页君整理的超全数学公式，整理了好久TT 。果断保存，不用浪费时间找公式了~ 这篇高等数学公式大全分享到考研数学交流群的群共享中，有其他好的资料我也会上传上去滴~建这个群主要是资料共享和交流，大家复习中遇到的问题可以在群里讨论，互相促进~ 考研数学交流群， 高等数学公式 导数公式： a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1 )(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(2 2 = '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222???+++++= +-= ==-C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n )ln(1 cos sin 222 2 2 2 2 22 2 π π 高等数学公式汇总 第一章 一元函数的极限与连续 1、一些初等函数公式： sin()sin cos cos sin cos()cos cos sin sin tan tan tan()1tan tan cot cot 1 cot()cot cot ()()sh sh ch ch sh ch ch ch sh sh αβαβαβαβαβαβ αβ αβαβαβαββα αβαβαβαβαβαβ ±=±±=±±= ??±= ±±=±±=±m m m 和差角公式： sin sin 2sin cos 22sin sin 2cos sin 22cos cos 2cos cos 22cos cos 2sin sin 22 αβ αβ αβαβαβ αβαβαβ αβαβαβ αβ+-+=+--=+-+=+--=和差化积公式： 1 sin cos [sin()sin()] 21 cos sin [sin()sin()]21 cos cos [cos()cos()] 21 sin sin [cos()cos()] 2 αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ=++-=+--=++-=+--积化和差公式： 2222222 222sin 22sin cos cos 22cos 1 12sin cos sin 2tan tan 21tan cot 1 cot 22cot 22212 21sh sh ch ch sh ch ch sh αααααααααααααα αααααααα ==-=-=-= --= ==+= =-=+ 倍角公式：22222222sin cos 1;tan 1sec ;cot 1csc ;1 sin 2 cos 2 1cos sin tan 2 sin 1cos 1cos sin cot 2 sin 1cos x x x x ch x sh x ααααααα ααααα αα +=+=+=-===-===++=== -半角公式： 基本初等函数图像及其性质一、常值函数（也称常数函数）y =C（其中C 为常数）； α 1）当α为正整数时，函数的定义域为区间为),(+∞-∞∈x ，他们的图形都经过原点，并当α>1时在原点处与x 轴相切。且α为奇数时，图形关于原点对称；α为偶数时图形关于y 轴对称； 2）当α为负整数时。函数的定义域为除去x=0的所有实数； 3）当α为正有理数 n m 时，n 为偶数时函数的定义域为（0, +∞），n 为奇数时函数的定义域为（-∞,+∞），函数的图形均经过原点和（1 ,1）； 4）如果m>n 图形于x 轴相切，如果m 3.（选，补充）指数函数值的大小比较* N ∈a ； a.底数互为倒数的两个指数函数 x a x f =)(， x a x f ? ? ? ??=1)( 的函数图像关于y 轴对称。 b.1.当1>a 时，a 值越大，x a y = 的图像越靠近y 轴； b.2.当10<∈>=n Z n m a a a n m n m (2)) 1,,,0(1 1*>∈>= =- n Z n m a a a a n m n m n m y x f x x x x g ? ? ?=1)(高等数学公式大全以及初等函数图像
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