(完整版)极限四则运算法则
极限四则运算法则
由极限定义来求极限是不可取的，也是不行的，因此需寻求一些方法来求极限。 定理1：若B x g A x f ==)(lim ,)(lim ，则)]()(lim[x g x f ±存在，且
)(lim )(lim )]()(lim[x g x f B A x g x f ±=±=±。
证明： 只证B A x g x f +=+)]()(lim[，过程为0x x →，对0,01>?>?δε，当
100δ<- )(ε <-A x f ，对此ε，02>?δ，当2 00δ<- )(ε < -B x g ，取},m in{21δδδ=，当δ<-<00x x 时，有 ε ε ε =+ < -+-≤-+-=+-+2 2 )()())(())(()())()((B x g A x f B x g A x f B A x g x f 所以B A x g x f x x +=+→))()((lim 0 。 其它情况类似可证。 注：本定理可推广到有限个函数的情形。 定理2：若B x g A x f ==)(lim ,)(lim ，则)()(lim x g x f ?存在，且 )(lim )(lim )()(lim x g x f AB x g x f ?==。 证明：因为B x g A x f ==)(lim ,)(lim ，?,)(,)(βα+=+=B x g A x f （βα,均为无穷小）)())(()()(αβαββα+++=++=?B A AB B A x g x f ，记 αβαβγ++=B A ， γ?为无穷小， AB x g x f =?)()(lim 。 推论1：)(lim )](lim[x f c x cf =（c 为常数）。 推论2：n n x f x f )]([lim )](lim [=（n 为正整数）。 定理3：设0)(lim ,)(lim ≠==B x g A x f ，则) (lim ) (lim )()(lim x g x f B A x g x f ==。 证明：设βα+=+=B x g A x f )(,)(（βα,为无穷小），考虑差： ) ()()(ββ αβα+-=-++=-B B A B B A B A B A x g x f 其分子βαA B -为无穷小，分母0)(2≠→+B B B β，我们不难证明 ) (1β+B B 有界（详细过程见书上）)(ββα+-? B B A B 为无穷小，记为γ，所以γ+=B A x g x f )()(， B A x g x f =?)()(lim 。 注：以上定理对数列亦成立。 定理4：如果)()(x x ψ?≥，且b x a x ==)(lim ,)(lim ψ?，则b a ≥。 【例1】b ax b x a b ax b ax x x x x x x x x +=+=+=+→→→→00 lim lim lim )(lim 。 【例2】n n x x n x x x x x 0]lim [lim 0 ==→→。 推论1：设n n n n a x a x a x a x f ++++=--1110)(ΛΛ为一多项式，当 )()(lim 0011 1000 x f a x a x a x a x f n n n n x x =++++=--→ΛΛ。 推论2：设)(),(x Q x P 均为多项式，且0)(0≠x Q ，则) () ()()(lim 000x Q x P x Q x P x x =→。 【例3】31151105(lim 221 -=+?-=+-→x x x 。 【例4】33 009070397lim 53530-=+--?+=+--+→x x x x x （因为03005 ≠+-）。 注：若0)(0=x Q ，则不能用推论2来求极限，需采用其它手段。 【例5】求3 22 lim 221-+-+→x x x x x 。 解：当1→x 时，分子、分母均趋于0，因为1≠x ，约去公因子)1(-x ， 所以 5 3 322lim 322lim 12 21=++=-+-+→→x x x x x x x x 。 【例6】求)1 3 11( lim 31+-+-→x x x 。 解：当1 3 ,11,13 ++-→x x x 全没有极限，故不能直接用定理3，但当1-≠x 时， 12)1)(1()2)(1(13112 23+--=+-+-+=+-+x x x x x x x x x x ，所以 11 )1()1(2112lim )1311( lim 22131 -=+-----=+--=+-+-→-→x x x x x x x 。 【例7】求2 lim 2 2-→x x x 。 解：当2→x 时，02→-x ，故不能直接用定理5，又42→x ，考虑： 042 22lim 2 2 =-=-→x x x ， ∞=-?→2 lim 2 2x x x 。 【例8】若3) 1sin(lim 221=-++→x b ax x x ，求a ,b 的值。 当1→x 时，1~)1sin(2 2 --x x ，且0)(lim 2 1 =++→b ax x x 10, =(1)a b b a ++=-+ 222 (1)(1)(1) 1(1)(1)(1)(1) x ax b x ax a x x a x x x x x +++-+-++==--+-+ 2212 lim 3124, 5 x x ax b a x a b ->+++==-==- 【例9】设n m b a ,,0,000≠≠为自然数，则 ???? ? ????>∞ <==++++++--∞→时 当时当时当m n m n m n b a b x b x b a x a x a m m m n n n x 0 lim 001101 10ΛΛΛΛ。 证明：当∞→x 时，分子、分母极限均不存在，故不能用§1.6定理5，先变形： m m n n m n x m m m n n n x x b x b b x a x a a x b x b x b a x a x a ++++++?=++++++-∞→--∞→ΛΛΛΛΛΛΛΛ1010110110lim lim ???????????>++++++?∞<++++++?=++++++? =时 当时当时当m n b a m n b a m n b a 0 000000 00000 010000 00ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ 【例10】求)21( lim 222n n n n n +++∞→ΛΛ。 解：当∞→n 时，这是无穷多项相加，故不能用定理1，先变形： 原式2 1 21lim 2)1(1lim )21(1lim 22=+=+? =+++=∞→∞→∞→n n n n n n n n n n ΛΛ。 【例11】证明[][]x x x x ,1lim =∞→为x 的整数部分。 证明：先考虑[][]x x x x x -=- 1，因为[]x x -是有界函数，且当∞→x 时，01→x ，所 以由有界量与无穷小量的乘积是无穷小，得 [][][]1lim 0)1(lim 0lim =?=-?=-∞→∞→∞→x x x x x x x x x x 。 2.4 极限的四则运算（一） 古浪五中---姚祺鹏 【教学目标】 （一）知识与技能 1．掌握函数极限四则运算法则； 2．会用极限四则运算法则求较复杂函数的极限； 3．提高问题的转化能力，体会事物之间的联系与转化的关系； （二）过程与方法 1.掌握极限的四则运算法则，并能使用它求一些复杂数列的极限. 2.从函数极限联想到数列极限，从“一般”到“特殊”. （三）情态与价值观 1.培养学习进行类比的数学思想 2.培养学习总结、归纳的能力，学会从“一般”到“特殊”，从“特殊”到“一般”转化的思想.同时培养学生的创新精神，加强学生的的实践能力。 (四)高考阐释： 高考对极限的考察以选择题和填空题为主，考察基本运算，此类题目的特点在于需要进行巧妙的恒等变形，立足课本基础知识和基本方法 【教学重点与难点】 重点：掌握函数极限的四则运算法则； 难点：难点是运算法则的应用（会分析已知函数由哪些基本函数经过怎样的运算结合而成的）． 【教学过程】 1．提问复习，引入新课 对简单函数，我们可以根据它的图象或通过分析函数值的变化趋势直接写出它们的极 限．如 1lim ,2121lim 1 1==→→x x x x ． 让学生求下列极限： （1）x x 1lim →； （2）x x 21lim 1→； （3）)12(lim 21+→x x ； （4）x x 2lim 1→ 对于复杂一点的函数，如何求极限呢？例如计算??? ? ?+→x x x 21lim 1即x x x 212lim 21+→，显然通过画图或分析函数值的变化趋势找出它的极限值是不方便的．因此、我们有必要探讨有关极限的运算法则，通过法则，把求复杂函数的极限问题转化为求简单函数的极限． 板书课题：极限的四则运算． 2．特殊探路，发现规律 考察x x x 212lim 21+→完成下表： 根据计算（用计算器）和极限概念，得出2 3212lim 21=+→x x x ，与1lim 2121lim 11==→→x x x x 、 对比发现：2321121lim lim 21lim 212lim 11121=+=+=??? ? ?+=+→→→→x x x x x x x x x x ． 由此得出一般结论：函数极限的四则运算法则： 如果b x g a x f x x x x ==→→)(lim ,)(lim 0 0，那么 []b a x g x f x x ±=±→)()(lim 0 []b a x g x f x x ?=?→)()(lim 0 )0()()(lim 0≠=??????→b b a x g x f x x 特别地:（1）[])(lim )(lim 0 0x f C x f C x x x x →→?=?（C 为常数） （2）[])N ()(lim )(lim *00∈??????=→→n x f x f n x x n x x 极限四则运算法则 由极限定义来求极限是不可取的，也是不行的，因此需寻求一些方法来求极限。 定理1：若B x g A x f ==)(lim ,)(lim ，则)]()(lim[x g x f ±存在，且 )(lim )(lim )]()(lim[x g x f B A x g x f ±=±=±。 证明： 只证B A x g x f +=+)]()(lim[，过程为0x x →，对0,01>?>?δε，当 100δ<- 数列极限四则运算法则的证明 设limAn=A,limBn=B,则有 法则1:lim(A n+B n)=A+B 法则2:lim(An-Bn)=A-B 法则3:lim(An ? Bn)=AB 法则4:lim(An/Bn)=A/B. 法则5:lim(An的k次方)=A的k次方(k是正整数) (n T+R的符号就先省略了，反正都知道怎么回事.) 首先必须知道极限的定义： 如果数列｛Xn｝和常数A有以下关系：对于？￡> 0(不论它多么小)，总存在正数N,使得对于满足n > N的一切Xn,不等式|Xn-A| v &都成立， 则称常数A是数列｛Xn｝的极限，记作limXn=A. 根据这个定义，首先容易证明：引理1: limC=C.(即常数列的极限等于其本身) 法则1的证明： ?/ limAn=A,二对任意正数 &存在正整数N?,使n > N?时恒有|An-A| v&①(极限定义)同理对同一正数&存在正整数N?,使n>N?时恒有|Bn-B| v 设N=max｛N ?,N?｝，由上可知当n > N时①②两式全都成立. 此时|(An+Bn)-(A+B)|=|An-A)+(Bn-B)| < |An-A|+|Bn-B| v & + & =2 &. 由于&是任意正数，所以2&也是任意正数. 即:对任意正数2 &存在正整数N,使n > N时恒有|(An+Bn)-(A+B)| v 2 &. 由极限定义可知，lim(An+Bn)=A+B. 即:对任意正数C&存在正整数N,使n > N时恒有|C ? An-CA|v C&. 由极限定义可知，lim(C ? An)=C?A若C=0的话更好证) 法则2的证明： lim(A n-B n) =limA n+lim(-B n)(法则1) =limAn+(-1)limBn (引理2) =A-B. 为了证明法则3,再证明1个引理. 引理3:若limAn=0,limBn=0,则lim(An ? Bn)=0. 证明：?/ limAn=0,二对任意正数 &存在正整数N?,使n>N?时恒有|An-0| v &③(极限定义)同理对同一 极限四则运算法则 由极限定义来求极限是不可取的，也是不行的，因此需寻求一些方法来求极限。 定理 1：若lim f (x) A,lim g (x) B ，则 lim[ f ( x) g (x)] 存在，且 lim[ f ( x) g ( x)] A B lim f (x) lim g( x) 。 证明：只证 lim[ f ( x) g ( x)] A B ，过程为 x x0，对0, 1 0 ，当 0 x x0 1时，有 f (x) A ，对此， 2 0 ，当0 x x0 2 2 时，有 g ( x) B ，取min{ 1 , 2 } ，当0 x x0 时，有 2 ( f ( x) g( x)) ( A B) ( f (x) A) ( g( x) B) f ( x) A g( x) B 2 2 所以 lim ( f ( x) g( x)) A B 。 x x0 其它情况类似可证。 注：本定理可推广到有限个函数的情形。 定理 2：若lim f (x)A,lim g(x) B ，则 lim f ( x) g( x) 存在，且 lim f (x) g( x) AB lim f ( x) lim g( x) 。 证明：因为 lim f ( x) A, lim g( x) B ， f ( x) A, g (x) B, （,均为无穷小） f ( x) g(x) ( A)( B) AB ( A B) ，记 A B，为无穷小，lim f ( x) g(x) A B 。 推论 1：lim[ cf ( x)]clim f ( x) （ c 为常数）。 推论 2：lim[ f ( x)]n[lim f ( x)] n（ n 为正整数）。 定理 3：设lim f ( x) A, lim g( x) B 0 ，则 lim f ( x) A lim f ( x) 。 g( x) B lim g (x) 证明：设 f ( x) A, g(x) B（,为无穷小），考虑差： 极限的四则运算（1） 【目的要求】 1. 掌握涵数极限四则运算法则的前提条件及涵数极限四则运算法则。 2. 会用极限四则运算法则求较复杂涵数的极限。 【教学过程】 1. 提问入手，导入新课 对简单涵数，我们可以根据它的图象或通过分析涵数值的变化趋势直接写出它们的极限。如 1 lim →x x 21=21, limx=1. 对于复杂一点的涵数, 如何求极限呢? 例如计算 1 lim →x (x+x 21) 1lim →x (x+x 21)即1 lim →x x x 21 22+，显然通过画图或分析涵数值的变化趋势找出 它的极限值是不方便的。因此、我们有必要探讨有关极限的运算法则，通过法则，把求复杂涵数的极限问题转化为求简单涵数的极限。 板书课题：极限的四则运算。 2．特殊探路，发现规律 考察1 lim →x x x 2122+，完成下表： 根据计算（用计算器）和极限概念，得出1 lim →x x x 21 22+=23， 与1 lim →x x 21 =21、 1 1lim →=x x 对此发现： 1 lim →x x x 21 22+=1 lim →x （X+X 21）=1 lim →x x +1 lim →x x 21 =1+21=23 . 由此得出一般结论：涵数极限的四则运算法则： 如果0 lim x x →f(x)=a, 0 lim x x →g(x)=b, 那麽 lim x x →[ f(x)+g(x)]=a +b 0 lim x x →[f(X)?g(X)]=a b ? ][)() (0 lim X g x f x x →=b a ( b )0≠ 特别的 （1）0 lim x x →[C )(X f ?]=C ?0 lim x x →f(X) (C 为常数) （2）0 lim x x →[f(X)]n =[0 lim x x →f(X)]n (n ∈N *) （3）这些法则对X ∞→的情况仍然成立 （4）两个常用极限0 lim x x n x →=X n 0, ∞→x lim n x 1 =0 (n ∈N *) 3．应用举例， 熟悉法则 例1 求1lim →x 1 21222 32-+++x x x x 问：已知涵数中含有哪些简单涵数？它是经过怎样的运算结合而成的？是否适用法则？ 适用哪一条法则？师生共同分析，边问边答规范写出解答过程。 解：1 lim →x 1212232 -+++x x x x =1 231 2)12lim() 12lim(→→-+++x x x x x x =1 1 21 311 21 1lim 2lim 1 lim lim 2lim →→→→→→-+++x x x x x x x imx l x x =1 12111122 3 2-?+++?=2 （1）讲解时注意提问每一步的依据，做到“言必有据”，培养严谨的思维。 （2）书写时，由于极限符号“lim”有运算意义，因此在未求出极限值时，丢掉符号是错误的。 点评：例1说明，求某些涵数（到底是哪些涵数，学了2。6节就知道了。激发学生学习积极性，为讲连续涵数埋下伏笔）在某一点x=x 0处的极限值时，只要把x=x 0代入涵数解析式中就可得到极限值， 极限的四则混合运算 一、口算： 3.6＋ 4.4 = 10－ 5.2 = 3.4 × 0.2= 7.8÷ 6= 1÷4 = 7.5÷0.3 = 9.8－ 8 = 0÷27.9= 6.5 ×0.2= 0.1×0.5= 13.2＋6.8= 0.15÷15= 2＋3.8= 9－4.5= 0.42×3= 11＋0.92= 4÷5= 1.8÷0.03= 75÷2.5= 0×25.4= 0.125×8= 7.24 - 2.4= 17.2÷17.2= 0.99×0.1= 二、计算 1.简算。 7.5－0.26－1.74＋2.5 0.25×13×4 18－2.7－9.3 32×0.125 3.5×3＋3.5×7 4.5×20－3.5×20 2、脱式计算。 82.3－40.5÷0.81×1.2 4.53＋19.8÷(26.8－1.2×4) (9－0.45)÷(2.5＋1.5×3) [1－0.98×(3.51－3.51)]÷2 三、列式计算。 4.5 除 3 与 1.5 的和，商是多少？ 0.5 乘4.8 与 3.5 的差，积是多少？ 3.6 加上 1.2 的 5 倍，再减去 2.88 ，差是多少？ 335.7除以0.7的商,加上12.5与 4.8的积,和是多少? 四、把下列的分步算式改写成综合算式。 （１）7.8－2.9＝4.9 （２）1－0.8＝0.2 4.9×0.8＝3.92 1.2÷0.2＝6 9.15＋3.92＝13.07 18－6＝24 0.5×24＝12 五、应用题 1、水稻专业组有两块早稻田。一块450平方米，平均每平方米产1.3千克；另一块560平方米，平均每平方米产1.45千克。这两块早稻田的总产量是多少千克？合多少吨？ 2、小红的身高是1.36米，小强比小红高0.04米，他们两人身高的和是小林身高的2倍，小林身高是多少米？ 3、四年级要为图书馆修补244本图书，第一天修补了49本，第二天修补了51本。剩下的要3天修补完，平均每天要修补多少本？ 4、先锋小学要用长0.96米，宽0.69米的红纸布置一个光荣榜，这个光荣榜高1.92米，长 3.45米。布置这个光荣榜需要多少张这种纸？ §1.5 极限的运算法则 极限定义为我们提供了一种求极限的方法,但这种方法使用起来很不方便,并且在大多数情形下也是不可行的.这一节我们将给出极限的若干运算法则,应用这些法则将帮助我们比较方便的进行有关极限的证明和计算. 一 无穷小的运算定理 设,,αβγ是0x x →时的无穷小，即0 lim ()0,lim ()0,lim ()0,x x x x x x x x x αβγ→→→===下面 来叙述有关无穷小的运算定理。 定理1 1）有限个无穷小的和也是无穷小； 2）有界函数与无穷小的乘积是无穷小。 推论：1）常数与无穷小的乘积是无穷小； 2） 有限个无穷小的乘积也是无穷小。 二 极限的四则运算法则 利用极限与无穷小的关系及无穷小的运算性质，下面叙述极限的极限的四则运算法则。 定理2 如果()0 lim x x f x A →=， ()0 lim x x g x B →= 则()() ()(),()(), 0() f x f x g x f x g x B g x ±≠，的极限都存在，且 （1） ()()()()0 lim lim lim ;x x x x x x f x g x f x g x A B →→→±=±=±???? （2） ()()()()0 lim lim lim ;x x x x x x f x g x f x g x AB →→→==???? （3） ()()()()000 lim lim (0).lim x x x x x x f x f x A B g x g x B →→→==≠ 证 1因为()0 lim x x f x A →=， ()0 lim x x g x B →=，所以，当0x x →时，0,01>?>?δε， 当100δ<- 分类讨论求极限 例 已知数列{}n a 、{}n b 都是由正数组成的等比数列，公比分别为q p ,，其中q p >，且1≠p ，1≠q ，设n n n b a c +=，n S 为数列{}n C 的前n 项和，求1lim -∞→n n n S S . （1997年全国高考试题，理科难度0.33） 解： ()() 1 1 1111--+--=q q b p p a S n n n ()( )()() ()( )()( ) 1 1111 1111111111--+----+--= ---n n n n n n q p b p q a q p b p q a S S . 分两种情况讨论； （1）当1>p 时，∵ 0>>q p ，故10<< p q ， ∴1 lim -∞→n n n S S ()()()()????? ? ?????????????????? ??--+???? ??--?????????? ??--+???? ??-------1111111111111111111lim n n n n n n n n n n p p q p b p q a p p p q p b p q a p ()()()()()()010110 10111111?-+--?-+--? =p b q a p b q a p ()() p q a q a p =--? =1111 （2）当1 §1.5极限的运算法则 极限定义为我们提供了一种求极限的方法 , 但这种方法使用起来很不方便 , 并且在大多数情形下也是不可行的 . 这一节我们将给出极限的若干运算法则 , 应 用这些法则将帮助我们比较方便的进行有关极限的证明和计算. 一无穷小的运算定理 设 , , 是 x x0 时的无穷小，即 lim ( x) 0, lim ( x) 0, lim ( x) 0, 下面 x x0 x x0 x x0 来叙述有关无穷小的运算定理。 定理 1 1 ）有限个无穷小的和也是无穷小； 2）有界函数与无穷小的乘积是无穷小。 推论： 1）常数与无穷小的乘积是无穷小； 2）有限个无穷小的乘积也是无穷小。 二极限的四则运算法则 利用极限与无穷小的关系及无穷小的运算性质，下面叙述极限的极限的四则 运算法则。 定理 2 如果 lim f x A ， lim g x B 则 f ( x) g(x), f ( x) g(x), f ( x) B 0 ， x x0 x x0 g( x) 的极限都存在，且 （ 1）lim f x g x lim f x lim g x A B; x x0 x x0 x x0 （ 2）lim f x g x lim f x lim g x AB; x x0 x x0 x x0 f x lim f x A （ 3）lim x x0 ( B 0). g x lim g x B x x0 x x0 证 1 因为 lim f x A， lim g x B ，所以，当 x x0时，0, 1 0 ，x x0 x x0 当 0 x x0 1 时，有 f (x) A ，对此， 2 0 ，当0 x x0 2 时， 2 有 g (x) B 2 ，取min{ 1 , 2 } ，当0 x x0 时，有 ( f (x) g( x)) ( A B) ( f ( x) A) ( g( x) B) f ( x) A g( x) B 2 2 所以 lim ( f (x) g( x)) A B 。 x x0 2）因为 lim f (x) A,lim g( x) B ，由极限与无穷小的关系可以得出 x x0 x x0 f (x) A , g ( x) B , （ , 均为无穷小） 于是有 f (x) g( x) ( A)( B) AB ( A B) ，记A B， 一、数列的极限： 1.极限的概念和运算法则 数列极限的定义：一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列{a n }的项a n 无限地趋近于某个常数a ，那么就说数列{a n }以a 为极限. 数列极限的运算法则：如果A a n n =∞→lim ，B b n n =∞→lim .则 ① ()B A b a n n n +=+∞→lim .② ()AB b a n n n =∞→lim .② ()0,0lim ≠≠=∞→B b B A b a n n n n . （注意：和与积中包含的数列个数必须是有限的，另外这些运算法则逆命题并不一定成立，例如，若已知()n n n b a ∞→lim 存在，n n a ∞→lim ，n n b ∞→lim 不一定存在，可以进行这样的改编，让学生自行判断和举反例。） 2.基本数列极限 ①为常数）；C C C n (lim =∞→ ②）；*(01lim N n n n ∈=∞→ ③）；1|(|0lim <=∞→q q n n 而对于 n n q lim ∞→，当1=q 时，1lim =∞→n n q ；当1||>q 或1-=q 时，n n q lim ∞→极限不存 在。 3.无穷等比数列各项和 当公比1||0<极限的四则运算教案(1)
极限四则运算法则
数列极限四则运算法则的证明
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极限的四则运算
极限的四则运算
极限四则运算
第二章极限习题及答案：极限的四则运算
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极限的四则运算
==++++++++----∞→l k l l l l k k k k n b a N l k k l k l b a b n b n b n b a n a n a n a 时，当时当ΛΛ 当l k >时,上述极限不存在. 第二类是关于n 的指数式的极限: ???=<=∞→时，当时；当111||,0lim q q q n n