2005年浙江省普通高校“专升本”联考《高等数学(一)》试卷
一、填空题
1.函数x
e x x x y --=
)1(sin 2的连续区间是 。
2.=-+-∞
→)
4(1
lim 2x x x x 。
3.(1)x 轴在空间中的直线方程是 。
(2)过原点且与x 轴垂直的平面方程是 。
4.设函数????
?
????<+=>+=--1 ,1b 1 ,1,)1(1)(2
)1(1
2
x x x a x e x x f x ,当_________,==b a 时,函数)(x f 在点1
=x 处连续。
5.设参数方程???==θ
θ
2sin 2cos 3
2r y r x , (1)当r 是常数,θ是参数时,则=dx
dy
。
(2)当θ是常数,r 是参数时,则=dx
dy
。 二.选择题
1.设函数)(x f y =在b], [a 上连续可导,),(b a c ∈,且0)('
=c f ,则当( )时,)(x f 在c x =处取得极大值。
(A )当c x a <≤时,0)('
>x f ,当b x c ≤<时,0)('>x f , (B )当c x a <≤时,0)('
>x f ,当b x c ≤<时,0)('
>x f , (D )当c x a <≤时,0)(' =--+→h h x f h x f h ) 2()3(lim 000( )。 ).(5)( ),( 4)( ),(x 3)( ),()(0'0'0'0'x f D x f C f B x f A 3.设函数?? ? ??<-=>=--0 ,0 0,0 x ,)(22 x e x e x f x x ,则积分 ()11 -=?f x dx ( )。 .2)( ,e 1 )( 0)( ,1)(D C B A - 5.设级数 ∑∞ =1 n n a 和级数 ∑∞ =1 n n b 都发散,则级数 ∑∞ =+1 )(n n n b a 是( ). (A )发散 (B )条件收敛 (C )绝对收敛 (D )可能发散或者可能收敛 三.计算题 1.求函数x x x y )1(2 +-=的导数。 2. 求函数122 3 +-=x x y 在区间(-1,2)中的极大值,极小值。 3. 求函数x e x x f 2 )(=的n 阶导数n n dx f d 。 4.计算积分 211 32--+?dx x x 。 5.计算积分?+dx e x 211 。 6.计算积分 ()1 2 2+-?x x x e dx 。 8.把函数1 1 += x y 展开成1-x 的幂级数,并求出它的收敛区间。 9.求二阶微分方程x y dx dy dx y d =+-22 2的通解。 10.设b a ,是两个向量,且,3,2==b a 求2 2 22b a b a -++的值,其中a 表示向量a 的模。 四.综合题 1.计算积分 2121 sin sin 22 ++? n m x xdx π ,其中m n ,是整数。 2.已知函数d cx bx ax x f +++=234)(2 3 , 其中常数d c b a ,,,满足0=+++d c b a , (1)证明函数)(x f 在(0,1)内至少有一个根, (2)当ac b 832 <时,证明函数)(x f 在(0,1)内只有一个根。 2005年高数(一)答案(A )卷 ---------------------------------------------------密 封 线 ------------------------------------------------------------ 一.填空题 1.连续区间是),1()1,0()0,(+∞-∞ 2. 2 1 3.(1)?? ?==0 0z y 或者001z y x ==,或者0,0,===z y t x (其中t 是参数),(2)0=x 4.1,0-==b a 5.(1)y x r 2-, (2)x y 23. 二.选择题 题 号 1 2 3 4 5 答 案 B D B D 三.计算题。 1.解 :令)1l n (ln 2 +-=x x x y , (3分) 则x x x x x x x x x y )1)](1ln(1 )12([ 222 ' +-+-++--= (7分) 2.解:)43(432 '-=-=x x x x y ,驻点为3 4,021==x x (2分) (法一) 46' '-=x y , 04)0(' '<-=y , 1)0(=y (极大值), (5分) 04)34(' '>=y , 27 5 )34(-=y (极小值). (7分) (法二) x -1 (-1,0) 0 ) , 0(34 3 4 2) , (34 2 'y 正 0 负 0 正 y -2 递增 1 递减 275- 递增 (5分) 当0=x 时,1=y (极大值),当34=x 时,275-=y (极小值) (7分) 3.解:利用莱布尼兹公式 x n n e n n nx x dx f d )]1(2[2-++= (7分) 4.解: ???------=--=+-0 1 01012]11 21[)2)(1(1231dx x x dx x x dx x x (3分) =3 4 ln 1 2 ln 1 =---x x (7分) 5.解:? +dx e x 211 ==+-+?dx e e e x x x 22211 (3分) ++-=)1ln(2 1 2x e x C (其中C 是任意常数) (7分) 6.解:? -+1 2)2(dx e x x x ==+--+?dx e x e x x x x 1 010 2 )12()2( (3分) =2-? +1 )12(dx e x x =2-)13(-e +10 2x e = =e e e -=-+-12233。 (7分) 8:解: =-+ =+= ]2 111[2111x x y (2分) ])2 1()1()21()21(211[2132 +--++---+--=n n x x x x =∑∞ =+--01 2)1()1(n n n n x , (5分) 收敛区间为(-1, 3). (7分) 9.解:特征方程为0122 =+-λλ,特征值为1=λ(二重根), 齐次方程022 2=+-y dx dy dx y d 的通解是x e x c c y )(~21+=,其中21,c c 是任意常数. (3分) x y dx dy dx y d =+-22 2的特解是2+=*x y , (6分) 所以微分方程的通解是x e x c c x y y y )(2~ 21+++=+=* ,其中21,c c 是任意常数 (7分) 10.解:2 222b a b a -++==--+++)2()2()2()2(b a b a b a b a (3分) =26)(22 2 =+b a . (7分) 四.综合题: 1.解:(法一) ?++π 212sin 212sin xdx m xdx n =-dx x m n x m n ])cos()1([cos 210--++?π (4分) =???????==-++-≠=---++++-?π ππ0 0 ,21 ]1)1[cos(21 ,0])sin(1)1sin(11[21 m n dx x m n m n x m n m n x m n m n (10分) (法二)当m n ≠时 ?++π0 212sin 212sin xdx m xdx n =-dx x m n x m n ])cos()1([cos 21 0--++?π ( 4分) =0])sin(1)1sin(11[ 210=---++++-π x m n m n x m n m n (7分) 当m n =时 ?++π0212sin 212sin xdx m xdx n =??=+-=+π ππ000 221])12cos(1[21212sin x dx x n xdx n = 2 π (10分) 2.证明:(1)考虑函数dx cx bx ax x F +++=2 3 4 )(, (2分) )(x F 在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,0)1()0(==F F , 由罗尔定理知,存在)1,0(∈ξ,使得0)(' =ξF ,即 0)()(' ==ξξf F ,就是=)(ξf 02342 3 =+++d c b a ξξξ, 所以函数)(x f 在(0,1)内至少有一个根. (7分) (2)c bx ax x F x f 2612)()(2 ' '' ++== 因为ac b 832 <,所以0)83(129636)2)(12(4)6(2 2 2 <-=-=-ac b ac b c a b , )(' x f 保持定号,)(x f 函数)(x f 在(0,1)内只有一个根. (10分) 2006年浙江省普通高校“专升本”联考《高等数学(一)》试卷 一、填空题 1.lim 235→∞ ++=n n n n n 。 2.函数2268 ()(23)(5) x x f x x x x --=---的间断点是 。 3.若1 (11), 0 (), 0 x x x f x x A x ?+--≠?=??=?在0x =处连续,则=A 。 4.设2ln(1)y x x x =++,则 =dy dx 。 5.3 22 2 (1)cos 1sin -+=+?x x dx x π π 。 8.微分方程2(21)x x y dy x e dx +-=+的通解=y 。 二.选择题 1. 函数()f x 的定义域为[]0,1,则函数1 1()()55 f x f x ++-的定义域( )。 ()A 14,55??-???? ()B 16,55?????? ()C 14,55?? ???? ()D []0,1 2. 当0x →时,与x 不是等价无穷小量的是( )。 ()A 2sin x x - ()B 2sin x x - ()C 3tan x x - ()D sin x x - 3.设0 ()()x F x f t d t = ? ,其中2,01 ()1,12 ?≤<=?≤≤?x x f x x ,则下面结论中正确( )。 --------------------------------------------------------------------------密 封 线 ----------------------------------------------------------------------------------- ()A 31,01()3, 12?≤=??≤≤?x x F x x x ()B 311,01 ()3 3, 12 ?-≤=??≤≤?x x F x x x ()C 3 1,01 ()3 1,12?≤=??-≤≤?x x F x x x ()D 3 1,013()2,123 ?≤?=??-≤≤??x x F x x x 4.曲线(1)(2),(02)y x x x x =--≤≤与x 轴所围图形的面积可表示为( )。 ()A 2 (1)(2)x x x dx ---? ()B 1 2 0 1(1)(2)(1)(2)x x x dx x x x dx -----?? ()C 1 2 0 1(1)(2)(1)(2)x x x dx x x x dx ---+--?? ()D 2 0(1)(2)x x x dx --? 5.设,a b 为非零向量,且a ⊥b ,则必有( )。 ()A a b a b +=+ ()B a b a b +=- () C a b a b +=- () D a b a b +=- 三.计算题 1.计算1 2 3lim( )6 x x x x -→∞++。 2.设[cos(ln )sin(ln )]y x x x =+,求 dy dx 。 3.设函数2222 cos sin t t x e t y e t ?=?=? ,求dy dx 。 4.计算不定积分 221 sin cos dx x x ?。 5.计算定积分 1 0x x dx e e -+?。 6.求微分方程223 22x d y dy y e dx dx -+=满足0,10 0====x x dx dy y 的特解。 7.求过直线3210 23220x y z x y z +--=??-++=? ,且垂直于已知平面2350x y z ++-=的平面方程。 封 线 8.将函数2 ()ln(32)f x x x =++展开成x 的幂级数,并指出收敛半径。 10.当a 为何值时,抛物线2 y x =与三直线,1,0x a x a y ==+=所围成的图形面积最小,求将此图形绕x 轴旋转一周所得到的几何体的体积。 四.综合题 1. (本题8分)设函数()f t 在[0,1]上连续,且()1f x <,证明方程: x 2()1x f t dt -=?在(0,1)内有且仅有一实根。 2.(本题7分)证明:若0,0,0m n a >>>,则()() m n m n m n m n m n x a x a m n ++-≤+。 3.(本题5分)设()f x 是连续函数,求证积分 2 (sin )(sin )(cos )4 f x I dx f x f x ππ ==+? 。 2006年浙江省普通高校“专升本”联考《高等数学(一)》试卷(A 卷)答案 一.填空题 1.lim 2355n n n n n →∞ ++=。 2.函数2268 ()(23)(5)x x f x x x x --=---的间断点是3x =。 3.若1 (11), 0 (), 0 x x x f x x A x ?+--≠?=??=?在0x =处连续,则1A = 4.。设2ln(1)y x x x =++,则22ln(1)1 dy x x x dx x =+++ +。 5. 3 22 2 (1)cos 1sin 2x x dx x π ππ -+=+? 8.微分方程2(21)x x y dy x e dx +-=+的通解为y =2ln()x x e C ++,其中C 为任意常数。 二.选择题 1、C 2、D 3、D 4、C 5、B 三.计算题 1.计算1 2 3lim( )6 x x x x -→∞++。 解:1 23lim( )6x x x x -→∞++=631 ( ) ()3623lim(1)6x x x x x + ---+→∞-+ 3分 又因为 6 33lim(1)6 x x e x + -→∞- =+ 5分 313 lim() ()622 x x x →∞ -- =-+ 6分 所以12 3lim( )6 x x x x -→∞++=3 2e -。 7分 2.设[cos(ln )sin(ln )]y x x x =+,求dy dx 。 解; 11 [cos(ln )sin(ln )][sin(ln )cos(ln )]dy x x x x x dx x x =++-+ 4分 =()2cos ln x 7分 3.设函数2222 cos sin t t x e t y e t ?=?=? ,求dy dx 。 解: 2222cos 2sin cos t t dx e t e t t dt =- 2分 2222sin 2sin cos t t dy e t e t t dt =+ 4分 222222 2(cos sin cos )(cos sin cos ) 2(sin sin cos )(sin sin cos )t t dy dy e t t t t t t dt dx dx e t t t t t t dt ++===-- 7分 4.计算不定积分22 1 sin cos dx x x ?. 解:2222221sin cos sin cos sin cos x x dx dx x x x x +=? ? 3分 =2211 []cot tan sin cos dx x x C x x +=-++? 7分 5.计算定积分 1 0x x dx e e -+?。 解: 1 12 0 01x x x x dx e dx e e e -=++? ? 3分 = 1 2 0() 1()x x d e dx e +? 5分 = 1 0 arctan arctan 4 x e e π =- 。 7分 6.求微分方程22322x d y dy y e dx dx -+=满足001,0,x x dy y dx ====的特解。 解:微分方程223 22x d y dy y e dx dx -+=对应的特征方程为 2320(1)(2)0r r r r -+=?--= 特征根为121,2r r == 1分 而1λ=,所以11r λ==为单根, 2分 对应的齐次方程的通解为212x x Y C e C e =+ 3分 非齐次方程的通解为*x y Cxe λ=代入原方程得2C =- 4分 有通解2122x x x y C e C e xe =+- 5分 有 000,1x x dy y dx ====121212 10,1220C C C C C C +=???==? +-=? 有解22x x y e xe =- 7分 7.求过直线3210 23220 x y z x y z +--=?? -++=? ,且垂直于已知平面2350x y z ++-=的平面方程。 解:通过直线3210 23220x y z x y z +--=?? -++=? 的平面束方程为 321(2322)0x y z x y z λ+--+-++=即 (32)(23)(12)(12)0x y z λλλλ++-+-++-+= 3分 要求与平面2350x y z ++-=垂直,则必须 1(32)2(23)3(12)0λλλ?++?-+?-+= 4202λλ+=?=- 6分 所求平面方程为8550x y z -++= 7分 8.将函数2 ()ln(32)f x x x =++展开成x 的幂级数,并指出收敛半径。 解:()ln(1)(2)ln(1)ln(2)f x x x x x =++=+++ 2分 =ln 2ln(1)ln(1)2 x x ++++ 3分 =1 100 11ln 2(1)()(1)121n n n n n n x x n n +∞ ∞+==+-+-++∑∑ =11 10 112ln 2(1) ()12n n n n n x n +∞ ++=++-+∑ 6分 收敛半径1R = 7分 10.当a 为何值时,抛物线2 y x =与三直线,1,0x a x a y ==+=所围成的图形面积最小,求将此图形绕x 轴旋转一周所得到的几何体的体积。 解:设所围面积为()S a 33 1 2(1)()3 a a a a S a x dx ++-= =? 2分 ' 2 2 ()(1)21S a a a a =+-=+ 令' 1 ()02S a a =?=- 3分 '' ()20S a =>,所以11()212 S -=为最小的面积 4分 11122212 24 50 - 022580 x V y dx x dx x ππππ====?? 7 分 四;综合题 1·设函数()f t 在[0,1]上连续,且()1f x <,证明方程 x 2()1x f t dt -=?在(0,1)内有且仅有一实根。 证明:令 0 ()2()1x F x x f t dt =- -? , 则在[0,1]上()F x 连续, 2分 1 1 (0)10,(1)2()11()0F F f t dt f t dt =-<=--=->??, 4分 由闭区间上连续函数的介值定理知道在(0,1)内至少存在一点C ,使得()0F C = 5分 又因为' ()2()10F x f x =->>,所以()F x 单调上升,()0F x =在[]0,1内最多有一 个根,所以 x 2()1x f t dt - =? 在()0,1内有且仅有一个实根。 7分 2.证明:若0,0,0m n a >>>,则()() m n m n m n m n m n x a x a m n ++-≤+。 证明:令()()m n F x x a x =- 2分 '111111()()()()[()]()[()] m n m n m n m n F x mx a x nx a x x a x m a x nx x a x ma m n x ------=---=---=--+令' ()0ma F x x m n =?= +,(当,1m n ≠时,0,x x a ==,此时(0)()0)F F a == ' '211 ()(1)()()2()()m n m n ma ma na ma na F m m mn m n m n m n m n m n ---=--++++++ +112 23 (1)( )()0()n n m n m n m n ma na m n a n n m n m n m n --+--+--=-<+++ 5分 所以( )ma F m n +是()F x 在(),-∞+∞上的极大值,有唯一性定理知:()ma F m n +是最大值,故()()() m n m n m n ma m n F x F a m n m n ++≤=++ 7分 3.设()f x 是连续函数,求积分 2 (sin ) (sin )(cos ) f x I dx f x f x π=+? 的值。 解: 令,2 x t dx dt π = -=- 22 0 0(sin )(cos )(sin )(cos ) (sin )(cos )f x f x I dx dx f x f x f x f x π π==++? ? 2 (sin )(cos )2(sin )(cos )24 f x f x I dx I f x f x πππ +==?=+? . 2007年浙江省普通高校“专升本”联考《高等数学(一)》试卷 一、填空题 1.函数() 2lg 1 -= x y 的定义域是 。 2.设x y 3 sin 5=,则 =dx dy 。 3.极限=+? ∞ →dx x x n n 10 21lim 。 4.积分 ?=+dx x x sin 1cot 。 5.设,1111x x y -+ +=则()=5y 。 6.积分 =-? π 97sin sin dx x x 。 8.微分方程( ) 03 2=+++dy y y y x xdx 的通解 。 二.选择题 1.设()()?? ???+? ?? ??--+=x x x x x f ln 2311sin 132 11 ≥ 1 =+∞→n n n a a ,则n n a ∞→lim 存在, (B )若A a n n =∞→lim ,则1lim lim lim 1 1==∞ →+∞ →+∞→n n n n n n n a a a a , (C )若A a n n =∞ →lim ,B b n n =∞ →lim ,则B b n n A a n =∞ →) (lim , (D )若数列{}n a 2收敛,且0122→--n n a a ()∞→n ,则数列{}n a 收敛。 3.设()?=x dt t t x 0sin α,()()?+=x t dt t x sin 0 11β,则当0→x 时,()x α是()x β的 ( )。 (A )高阶无穷小 (B )等价无穷小 (C )同阶但非等价无穷小 (D )低阶无穷小 4.已知函数???? ? == t t y t t x ln ln ,则=→dx dy e x lim ( )。 (A )2 e (B ) 2 1e (C )2 e - (D )21e - 三.计算题 1.设x x y 42ln 1cos ln +=,求 dx dy 。 2.由方程22ln arctan y x x y +=所确定的y 是x 的函数,求dx dy 。 3.计算极限x x x cos 1lim 0 -+ →。 4.计算积分xdx e x cos 2sin 3? +。 5.计算积分 () ?+dx e xe x x 2 1。 6.计算积分 ()? +40 2 21tan π dx x e x 。 7.求经过点()1,1,1且平行于直线?? ?=--=--1 520 32z y x z y x 的直线方程。 9.任给有理数a ,函数()x f 满足()()10 +-=?x dt t a f x f ,求()x f 10.将函数()x x x f --=31 在点10=x 处展开成幂级数,并指出收敛区间(端点不考虑)。 四.综合题 1.设直线ax y =与抛物线2 x y =所围成的图形的面积为1S ,直线1,==x ax y 与抛物线 2x y =所围成的面积为2S ,当1 3.当π< x x >2sin 。 《高等数学(一)》答案 一.填空题: 1.()()∞+?.33,2 2.5ln 5cos sin 33 sin 2'x x x y = 3.0 4.C x x ++sin 1sin ln 5.() ()6 51! 52x y -?= 6. 9 4 8.( )C y y x =++2 2 2ln 二.选择题: 1、A 2、D 3、C 4、D 三.计算题: 1.解。() x x y 4ln 1ln 2 1 cos ln 2+- = () x x x x x x x x y 4343'ln 1ln 2tan 2ln 11 ln 421tan 2+--=+? --= 2。解:方程两边对x 求导数,得 ' '2 2'22'222'222222211 yy x y xy y x yy x y x y xy y x y x x y xy x y +=-?++=+-?++=-??? ? ??+ ()y x y x y y x y y x 2222''-+= ?+=-?。 3.解:令x t = ,21 2sin lim cos 1lim cos 1lim 20 ==-=-+ ++ →→→t t t t x x o t o t x 4.解:原式= ()?+=+++C e x d e x x 2 sin 32sin 33 12sin 331 5.解: () ?+dx e xe x x 2 1=() ?? ?+++-=?? ? ??+-=++dx e e x e xd e e xd x x x x x 111111) 1(2 =() ()() C e x e x C e e x e e d e x x x x x x x x +++-+-=++-+-=++-+----?1ln 1 1ln 1111 6.解: ()? +4 2 21tan π dx x e x = () =+=+?? ?4 24 4 2 22 2tan 2sec tan 2sec π π π xdx e xdx e dx x x e x x x = =240 24 24 240 2tan tan 2tan 2tan π ππ π π e x e xdx e xdx e x e x x x x ==+-?? 7.解:平行于直线? ? ?=--=--1520 32z y x z y x 的直线的方向向量应是 → →→→ → → → -+-=----=k j i k j i S 375 2 1 312 所求直线方程为 3 1 7111--= -=--z y x 。 9.解:原方程两边对x 求导数,得 ()()'=-f x f a x (1) ()()()()'''=--=---=-????f x f a x f a a x f x , 所以()f x 满足()()0''+=f x f x (2) 由原方程令0=x ,得()01=f ,由方程(1)得()()0'=f f a 。 方程(2)对应的特征方程为2 10+=λ,即=±i λ, 所以(2)有通解()12cos sin =+f x C x C x 。 ()01=f ,得11=C ,即()2cos sin =+f x x C x 。 ()2sin cos '=-+f x x C x ,()()220cos sin '===+f C f a a C a , 所以2cos 1sin = -a C a ,则()cos cos sin 1sin =+-a f x x x a 。 10.解:()()()()11 1 111212 12=-? =-? ---??- ??? f x x x x x 1 00111222+∞∞ ==---???? == ? ? ???? ∑∑n n n n x x x 。 收敛区间为 1 12 - 1.解:当01< =y x 的交点坐标是()0,0和() 2 ,a a ,则 ()()1 2 2120 =+=-+-??a a S S S ax x dx x ax dx 33333112332323--= -+-=-+a a a a a a a 。 ()21 2'=-S a a ,令()0'=S a ,得12 = a 。 ()20''=>S a a ,所以在01< 62-??== ??? S S 。 当0≤a 时,=y ax 与2 =y x 的交点坐标是()0,0和() 2,a a ,则 ()()01 2 2120 =+=-+-??a S S S ax x dx x ax dx 333112332623 =- ++-=--+a a a a a 。 ()21 022