2.4 重复独立事件与二项概率公式

试验1——电脑故障

某电脑公司售出200台电脑，公司在考虑售后服务维修人员的安排时需处理P(A)=p，n=200的伯努利试验问题。其中p是电脑故障率。

试验2——疾病发生

某疾病的发生率为0.001。当卫生部门要对一个拥有5000名员工的单位估计此种疾病的发病情况时，需用p＝0.001的n重伯努利试验模型，其中n=5000。

试验3——产品抽样

在产品抽验中，如果采用不放回方式抽取n 次（每次取一件产品），那么这n次试验就不是重复独立试验（此时，每次试验条件不完全重复，每次抽取正品的概率也不相等）。

但是，如果采用放回抽样，即每次抽取检查后放回，这样所作的n次试验就是重复独立试验。

在实际问题中，完全满足n重独立试验的两个条件是不多见的，常常是近似满足条件，此时，可用n重独立试验来近似处理。例如，仍然以抽样问题来讲，当产品数量很大时，相对来说，抽取的产品件数n很小，即使所作的是无放回抽取，我们可以近似地当作有放回抽取，近似地把它看成是n重独立试验（此时，每次试验出现正品的可能性相等）。

由于n 重贝努利试验中Ａ出现k 次的方式：就是１至n 的n 个自然数中取出k 个数的一种组合，即共有个事件。而这些事件是两两互斥的，故根据概率的可加性可得k n

C ()n

k q p C k P k n k k

n n ，，，，L 210==?

注：1)由于上式刚好是二项式(p+q)n 的展开式中第k+1项的系数，故我们把它称为二项概率公式。()()100=+==∑∑=?=n k n k n k k n n k n q p q p C k P 2))

,;(p n k b q p C k n k k

n 也被记作?显然：

解把每个病人服此药当作一次试验，试验结果只有“治愈”或“未治愈”且是相互独立的，故可用贝努利概型计算，所求概率为：

例3设某种药物对某种疾病的治愈率为0.8，现有10个患这种病的病人同时服用此药，求其中至少有６人被治愈的概率。

()()()97

.08.018.0106101010610≈?=∑∑=?=k k k

k k C k P

例4某车间有１０台同类型的机床，每台机床配备的电动机功率为１０千瓦，已知每台机床工作时，平均每小时实际开动１２分钟，且各机床开动与否是相互独立的，若供电部门只提供５０千瓦的电力给这１０台机床，问这１０台机床能够正常工作的概率为多大？

解：每台机床在同一时刻是否开动看成一次试验，10台机床在同一时刻开动的台数，可以看成10重贝努利概型，这里n ＝10 ，p ＝12/60＝0.2 ，q ＝0.8 。

10台机床要正常工作，必须同一时刻开动的机床数不得超过50/10=5 台，即k ≤5 。故所求概率为：()()()9936.00264.00881.02013.03020.02684.01074.08.02.0550101010=+++++==≤∑=?k k

k k C

k P

高考数学(理)总复习讲义： n次独立重复试验及二项分布

第七节n 次独立重复试验及二项分布 1.条件概率及其性质 (1)条件概率的定义：对于任何两个事件A 和B ，在已知事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率叫做条件概率，用符号P (B |A )来表示，其公式为P (B |A )＝P (AB ) P (A ) (P (A )＞0). (2)条件概率的性质 ①非负性：0≤P (B |A )≤1； ②可加性：如果B 和C 是两个互斥事件， 则P (B ∪C |A )＝P (B |A )＋P (C |A ). 2.相互独立事件 (1)对于事件A ，B ，若事件A 的发生与事件B 的发生互不影响，则称事件A ，B 是相互独立事件. (2)若P (AB )＝P (A )P (B )，则A 与B 相互独立. (3)若A 与B 相互独立，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也都相互独立. (4)若A 与B 相互独立，则P (B |A )＝P (B )， P (AB )＝P (B |A )P (A )＝P (A )P (B ). (5)一般地，如果事件A 1，A 2，…，A n (n ＞2，n ∈N *)相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P (A 1A 2…A n )＝P (A 1)P (A 2)·…·P (A n ). 互斥事件与相互独立事件的相同点与不同点 (1)相同点：二者都是描述两个事件间的关系； (2)不同点：互斥事件强调两事件不可能同时发生，即P (AB )＝0，相互独立事件则强调一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响. 3.独立重复试验与二项分布 (1)独立重复试验：一般地，在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验. 独立重复试验的条件：①每次试验在相同条件下可重复进行；②各次试验是相互独立的；③每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生. (2)二项分布：一般地，在n 次独立重复试验中，设事件A 发生的次数为X ，在每次试验 中事件A 发生的概率为p ，则事件A 恰好发生k 次的概率为P (X ＝k )＝C k n p k (1－p ) n － k ，k ＝0,1,2，…，n ，则称随机变量X 服从二项分布，记作X ～B (n ，p )，并称p 为成功概率. 判断一个随机变量是否服从二项分布，要看两点：,(1)是否为n 次独立重复试验；,(2)随机变量是否为某事件在这n 次独立重复试验中发生的次数.

概率的加法公式及应用

概率的加法公式及应用 概率的加法公式是计算概率的一个最基本的公式，根据它可以计算一些复杂事件的概率．在学习时，要注意把握以下几点： 一、注意区分互斥事件与对立事件 互斥事件与对立事件既有联系又有区别．两个事件互斥，它们未必对立；反之，两个事件对立，它们一定互斥．明确了事件间的关系，解复杂事件的概率问题就会有的放矢． 例1 从1 29，，，中任取两数，其中：①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个奇数和两个数都是奇数；③至少有一个奇数和两个都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．在上述事件中，是对立事件的是（ ）． （Ａ）① （Ｂ）②④ （Ｃ）③ （Ｄ）①③ 解析：首先看是否为互斥事件，然后再看两事件是否必有一个发生，若必有一个发生，则为对立事件，否则，不是对立事件． 因为从1，2，…，9中任取两数，有以下三种情况：两个奇数；两个偶数；一个奇数和一个偶数，所以“至少有一个奇数”的对立事件显然是“两个都是偶数”，故选（Ｃ）． 二、准确应用互斥事件的概率加法公式 若事件A 与B 互斥，则()()()P A B P A P B =+（推广情况1212()()()()n n P A A A P A P A P A =+++） ，利用这一公式解题体现了化整为零、化难为易的思想．但要注意用此公式时，首先要判断事件是否互斥，如果事件不互斥，就不能用此公式． 例2 甲、乙两射手同时射击一目标，甲的命中率为0.65，乙的命中率为0.60，那么能否得出结论，目标被命中的概率为0.650.60 1.25+=，为什么？ 解析：不能．因为甲命中目标与乙命中目标两事件不是互斥事件，故不能使用概率加法公式计算，且概率不可能大于１，结论显然不对． 例3 某一时期内，一条河流某处的年最高水位在各个范围内的概率如下： 计算在同一时期内，河流此处的年最高水位在下列范围内的概率：（1）[)1018m ，；（2）[)814 m ，． 解析：记此处河流的年最高水位在[)810，，[)1012，，[)1214，，[)1416，，[)1618(m) ，范围内分别为事件A B C D E ，，，，，则这5个事件是彼此互斥的，据互斥事件概率加法公式： （1）此处河流的年最高水位在[)1018(m )，的概率是()()()()()0.90P B C D E P B P C P D P E =+++=． （2）此处河流的年最高水位在[)814(m)，的概率是

N次独立重复试验恰有K次发生的概率.

N次独立重复试验恰有K次发生的概率 例1变式 甲乙丙三人各射击一次，三人击中目标的概率都是0.6，求其中恰有一人击中目标的概 率和目标被击中的概率。（0.288）（0.936） 例2变式1 如图，每个开关闭合的概率都为0.7，计算这段时间 内线路正常工作的概率。 0.6811 变式2 如图，每个开关闭合的概率都是0.7，计算这段时间内线路正常工作的概率。 (提示：反向思考较为简单。（0.847） 3、甲乙两战士向同一目标各射击一次 设A={甲战士射中目标} B={乙战士射中目标} （1）甲乙两战士同时射中； （2）甲乙两战士中至少有一人射中； （3）甲乙两战士中恰有一个射中。 强化训练 1、一袋中有8个白球，4个红球，另一袋中有6个白球，6个红球，从每袋中任取一个球，问取得颜色相同的球的概率是多少？（1/2）

2、从甲乙丙三种零件中各取1件组成某产品所有三零件必须都是正品，所得产品才是合格品，已知三种零件的次品率分别是2%、3%、5%，求产品的次品率？（结果保留四位有效数字）（0.0969） 3、某战士射击中靶的概率为0.99，若连续射击两次，求： （1）两次都中靶的概率；（0.9801） （2）至少有一次中靶的概率； (0.9999 （3）至多有一次中靶的概率。 (0.0199 4、甲乙两高射炮同时向一架敌机射击，已知甲击中敌机的概率是0.6，乙击中敌机的概率为0.5，求 （1）求敌机被击中的概率；（0.8） （2）已知甲乙两炮都击中敌机时，敌机才坠毁，求敌机坠毁的概率。（0.3） 5、甲厂生产的脱粒机，每台连续使用不少于10年的概率是2/5，乙厂生产的脱柴油机，每台连续使用不少于10年的概率是3/5，将一台脱粒机与一台柴泪机配套使用，求下列各事件的概率： （1） A（脱粒机与柴油机的连续使用期都不少于10年）； 6/25 （2） B（只有脱粒机的连续使用期不少于10年） 4/25 （3） C（至少有一台机器的连续使用期不少于10年 19/25 6、有4名学生参加体育达标测验，4人各自合格的概率分别是1/3，1/4，1/5，1/6，求以下的概率： （1）四人中至少有二人合格的概率； 43/180 （2）四人中恰好只有二人合格的概率。 71/360 欢迎您访问“俊秀之家”

相互独立事件的概率

第79课 相互独立事件的概率 ●考试目标 主词填空 1.如果事件A (或B )是否发生的对事件B (或A )发生的概率没有影响，那么这样的事件叫做相互独 立事件.相互独立事件A 和B 同时发生，记作A ·B,其概率由相互独立事件概率的乘法公式： P (A ·Ｂ)＝Ｐ（Ａ）·Ｐ（Ｂ）． 2.“互斥”事件A 与B ，要记住其判别的依据是A ∩Ｂ=；而“相互独立”事件A 与B ，是指它们中的任何一个发生与否对另一个事件发生的概率没有“影响”. 3.如果在1次试验中，某事件发生的概率为P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次 的概率. P n (k )=k n k k n P P C --)1(． ● 题型示例 点津归纳 【例1】 甲、乙两人各进行一次射击，如果两人击中目标的概率是0.8.计算： (1)两人都击中目标的概率； (2)其中恰有1人击中目标的概率； (3)至少有1人击中目标的概率. 【解前点津】 “两人都击中目标”是事件A ·B ；“恰有1人击中目标”是A ·A B 或·B ；“至少有1人击中目标”是A ·B 或A ·A B 或·B . 【规范解答】 我们来记“甲射击一次击中目标”为事件A ，“乙射击一次击中目标”为事件B . (1)显然，“两人各射击一次，都击中目标”就是事件A ·B ，又由于事件A 与B 相互独立. ∴ P (A ·B )=P (A )·P (B )=0.8×0.8=0.64. (2)“两个各射击一次，恰好有一人击中目标”包括两种情况：一种是甲击中乙未击中(即A ·B )，另一种是甲未击中乙击中(即A ·B )，根据题意这两种情况在各射击一次时不可能同时发生，即事件A ·A B 与·B 是互斥的，所以所求概率为： P =)()()()()()(B P A P B P A P B A P B A P ?+?=?+? =0.8×(1-0.8)+(1-0.8)×0.8=0.16+0.16=0.32. (3) “两人各射击一次，至少有一人击中目标”的概率为： P =P (A ·Ｂ)+［P (A ·A P B ()+·Ｂ)］=0.64+0.32=0.96. 【解后归纳】 本题考查应用相互独立事件同时发生的概率的有关知识的正确应用. 【例2】如图，电路由电池A 、B 、C 并联组成.电池A 、B 、C 损坏的概率分别是0.3、0.2、0.2，求电路断电的概率. 【解前点津】 可规定A =“电池A 损坏”，B =“电池B 损坏”，C =“电池C 损坏”.这样，就有事

概率计算公式(精选课件)

概率计算公式 加法法则 P(A∪B)＝P（A）+Ｐ（B)－P(AB 条件概率 当P(A)>0，P(B|A）=P(AＢ）/P（A） 乘法公式 P(AＢ）＝P（Ａ)×Ｐ（B|Ａ)=Ｐ（B）×Ｐ（A|Ｂ) 计算方法 “排列组合”的方法计算 记法 P（Ａ)=Ａ 加法法则 定理:设Ａ、B是互不相容事件（ＡＢ=φ),P（AB)=0。则Ｐ（Ａ∪B)=P（A）＋P(B）-Ｐ（AB)=p（Ａ)+P（B） 推论1:设Ａ1、A2、…、An互不相容,则:Ｐ(Ａ1+A2+.。.＋An)= P（Ａ1） +P（A2) +…+ P（An) ...文档交流仅供参考... 推论2:设Ａ１、 A2、…、 Aｎ构成完备事件组，则:P （A1＋A2+。．.＋Ａn）＝1 推论3：P（A）=1—Ｐ(A＇) 推论4：若Ｂ包含A，则P（B—A）＝ P（B）—P(A) 推论５(广义加法公式):

对任意两个事件A与Ｂ，有P（A∪B)=Ｐ(A）+Ｐ(B)—Ｐ（ＡＢ） 折叠条件概率 条件概率:已知事件B出现的条件下A出现的概率，称为条件概率,记作：P(Ａ|B） 条件概率计算公式： 当P(A）＞0,P（B｜A)＝P(ＡB)/P（A) 当Ｐ（Ｂ)＞0，Ｐ(A|B）=P（AB）/P(B） 折叠乘法公式 Ｐ(AB)=Ｐ（A）×P(B|A）＝P（B）×P(Ａ|Ｂ) 推广:P(ABＣ)=P（A）Ｐ（B｜A）P(C｜AB) 折叠全概率公式 设：若事件A1,A2，…,Ａn互不相容,且Ａ1+A２＋…+Ａn=Ω,则称A1，A２，…，Ａn构成一个完备事件组....文档交流仅供参考... 全概率公式的形式如下: 以上公式就被称为全概率公式。

n次独立重复试验

n次独立重复试验 独立重复试验： (1)独立重复试验的意义：做n次试验，如果它们是完全同样的一个试验的重复，且它们相互独立，那么这类试验叫做独立重复试验． (2)一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每件试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次 的概率为，此时称随机变量X 服从二项分布，记作，并称p为成功概率． (3)独立重复试验：若n次重复试验中，每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果，则称这n次试验是独立的． (4)独立重复试验概率公式的特点：是n次独立 重复试验中某事件A恰好发生k次的概率．其中，n是重复试验的次数，p是一次试验中某事件A发生的概率，k是在n次独立重复试验中事件A恰好发生的次数，需要弄清公式中n，p，k的意义，才能正确运用公式． 求独立重复试验的概率： (1)在n次独立重复试验中，“在相同条件下”等价于各次试验的结果不会受其他试验的影响，即 2，…，n)是第i 次试验的结果． (2)独立重复试验是相互独立事件的特例，只要有“恰好”“恰有”字样的用独立重复试验的概率公式计算更简单，要弄清n，p，k的意义。 相互独立事件同时发生的概率 相互独立事件的定义： 如果事件A（或B）是否发生对事件B（A）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。 若A，B是两个相互独立事件，则A与与，与B都是相互独立事件。 相互独立事件同时发生的概率：

两个相互独立事件同时发生，记做A·B，P（A·B）＝P（A）·P（B）。 若A 1，A 2 ，…A n 相互独立，则n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的 概率的积，即P（A 1·A 2 ·…·A n ）＝P（A 1 ）·P（A 2 ）·…·P（A n ）。 求相互独立事件同时发生的概率的方法： （1）利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解； （2）正面计算较繁或难以入手时，可从其对立事件入手计算。 条件概率 条件概率的定义： (1)条件概率的定义：对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率，用符号P（B|A）来表示． (2)条件概率公式：称为事件A与B的交（或积）． (3)条件概率的求法： ①利用条件概率公式，分别求出P（A）和P(A∩B)，得P(B|A)=。 ②借助古典概型概率公式，先求出事件A包含的基本事件数n(A)，再在事件A发生的条件下求出事件B包含的基本事件数，即n（A∩B），得P(B|A)= 。 P(B|A)的性质： （1）非负性：对任意的A∈Ω，； （2）规范性：P（Ω|B）=1； （3）可列可加性：如果是两个互斥事件，则。

互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率、独立重复试验

本周课题：互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率、独立重复试验 本周重点： 1、互斥事件、对立事件的概率的求法 2、相互独立事件同时发生的概率乘法公式． 3、正向思考：通过“分类”或“分步”将较复杂事件进行分解，转化为简单的互斥事件的和事件或相互独立事件的积事件． 4、n次独立重复试验中某事件恰好发生n次的概率计算公式． 本周难点： 1、互斥事件、对立事件的概念 2、事件的相互独立性的判定，独立重复试验的判定 3、事件的概率的综合应用． 本周内容： 1、事件的和、事件的积的意义 (1)A+B表示这样一个事件：在同一试验下，A或B中至少有一个发生就表示它发生． 事件“A1+A2+…+A n”表示这样一个事件：在同一试验中，A1，A2，…，A n中至少有一个发生即表示它发生． (2)A·B表示这样一个事件：事件A与事件B中都发生了就表示它发生． 事件“A1·A2·…·A n”表示这样一个事件：A1，A2，…，A n中每一个都发生即表示它发生． 2、互斥事件 (1)不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件． 一般地：如果事件A1，A2，…，A n中的任何两个都是互斥的，那么就说事件A1，A2，…，A n，彼此互斥． (2)一般地：如果事件A，B互斥，那么事件A+B发生(即A，B中有一个发生)的概率，等于事件A，B分别发生的概率的和，即P(A+B)=P(A)+P(B) (说明：如果事件A，B不互斥，则P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A·B)) 如果事件A1，A2，…，A n彼此互斥，那么事件A1+A2+…+A n发生(即A1，A2，…，A n中有一个发生)的概率，等于这n个事件分别发生的概率的和，即 P(A1+A2+…+A n)=P(A1)+P(A2)+…+P(A n) 3、对立事件 (1)必有一个发生的两个互斥事件叫做对立事件，事件A的对立事件记作 (2)

n次独立重复试验的模型及二项分布.

第八节 n 次独立重复试验与二项分布 [备考方向要明了] 考 什 么 怎 么 考 1.了解条件概率和两个事件相互独立的概念． 2.理解n 次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题. 相互独立事件、n 次独立重复试验的概率求法是每年高考的热点，特别是相互独立事件、n 次独立重复试验及二项分布的综合更是高考命题的重中之重，如2012年山东T19等. [归纳·知识整合] 1．条件概率及其性质 条件概率的定义 条件概率的性质 设A 、B 为两个事件，且P (A )>0，称P (B |A )＝ P AB P A 为在事件A 发生条件下，事件B 发生的 条件概率 (1)0≤P (B |A )≤1 (2)如果B 和C 是两个互斥事件，则P (B ∪ C |A )＝P (B |A )＋P (C |A ) 2.事件的相互独立性 (1)定义：设A 、B 为两个事件，如果P (AB )＝P (A )·P (B )，则称事件A 与事件B 相互独立． (2)性质： ①若事件A 与B 相互独立，则P (B |A )＝P (B )，P (A |B )＝P (A )，P (AB )＝P (A )P (B )． ②如果事件A 与B 相互独立，那么A 与B ，A 与B ，A 与B 也相互独立． [探究] 1.“相互独立”和“事件互斥”有何不同？ 提示：两事件互斥是指两事件不可能同时发生，两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响，两个事件相互独立不一定互斥． 3．独立重复试验与二项分布

独立重复试验 二项分布 定义 在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验 在n 次独立重复试验中，用X 表示事件A 发生的次数， 设每次试验中事件A 发生的概率是p ，此时称随机变 量X 服从二项分布，记作X ～B (n ，p )，并称p 为成功 概率 计算公式 A i (i ＝1,2，…，n )表示第i 次试验结果，则P (A 1A 2A 3…A n )＝P (A 1)P (A 2)…P (A n ) 在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为P (X ＝k )＝C k n p k (1－p ) n －k (k ＝0，1,2，…，n ) [探究] 2.二项分布的计算公式和二项式定理的公式有何联系？ 提示：如果把p 看成a,1－p 看成b ，则C k n p k (1－p ) n －k 就是二项式定理中的通项． [自测·牛刀小试] 1．若事件E 与F 相互独立，且P (E )＝P (F )＝1 4，则P (EF )的值等于( ) A ．0 B.116 C.14 D.12 解析：选B EF 代表E 与F 同时发生， 故P (EF )＝P (E )·P (F )＝1 16 . 2．已知P (B |A )＝12，P (AB )＝3 8，则P (A )等于( ) A.3 16 B.1316 C.34 D.14 解析：选C 由P (AB )＝P (A )P (B |A )可得P (A )＝3 4 . 3．有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.9，在两批种子中各取一粒，则恰有一粒种子能发芽的概率是( ) A ．0.26 B ．0.08 C ．0.18 D ．0.72 解析：选A P ＝0.8×0.1＋0.2×0.9＝0.26.

概率 独立重复试验练习

概率（独立重复试验）练习（三） 1.判断下列试验是不是独立重复试验，为什么？ （1）依次投掷四枚质地不同的硬币. （2）某人射击，击中目标的概率是稳定的，他连续射击了10次 （3）口袋内装有5个白球、3个黑球、2个红球，依次从中抽取5个球. 2.某产品的次品率P=0.05，进行重复抽样检查，选取3个样品，求其中恰有两个 次品的概率和其中至少有两个次品的概率. 3．某气象站天气预报的准确率为80%，计算（结果保留两个有效数字）：（1）5次预报中恰有4次准确的概率； （2）5次预报中至少有4次准确的概率． 4．某车间的5台机床在1小时内需要工人照管的概率都是1 4 ，求1小时内5台 机床中至少2台需要工人照管的概率是多少？

5．保险公司为了估计公司的利润，需要计算各种各样的概率。有一种人寿保险，现有1000人参加，如果一年中参加这种保险的每个人的死亡概率为0．002 ，试求未来一年中恰有2个人死亡的概率。（只列式子，不计算） 6．（1）设在四次独立重复试验中，事件A至少发生一次的概率为80 81 ，试求在 一次试验中事件A发生的概率 （2）某人向某个目标射击，直至击中目标为止，每次射击击中目标的概率为1 3 ， 求在第n次才击中目标的概率

概率（n 次独立重复试验）练习（四） 1．每次试验的成功率为(01)p p <<，重复进行10次试验，其中前7次都未成 功后3次都成功的概率为（ ） ()A 33710(1)C p p - ()B 33310(1)C p p - ()C 37(1)p p - ()D 73(1)p p - 2．10张奖券中含有3张中奖的奖券，每人购买1张，则前3个购买者中，恰有 一人中奖的概率为（ ） ()A 32100.70.3C ?? ()B 12 30.70.3C ?? ()C 310 ()D 21733103A A A ? 3．某人有5把钥匙，其中有两把房门钥匙，但忘记了开房门的是哪两把，只好 逐把试开，则此人在3次内能开房门的概率是 （ ） ()A 33351A A - ()B 211232323355 A A A A A A ??+ ()C 331()5- ()D 22112333232()()()()5555 C C ??+?? 4．甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，甲队与乙队实力之比为3:2，比赛时均能 正常发挥技术水平，则在5局3胜制中，甲打完4局才胜的概率为（ ） ()A 23332()55C ? ()B 22332()()53C ()C 33432()()55C ()D 33421()()33 C 5．一射手命中10环的概率为0.7，命中9环的概率为0.3，则该射手打3发得 到不少于29环的概率为 ．（设每次命中的环数都是自然数） 6．一名篮球运动员投篮命中率为60%，在一次决赛中投10个球，则投中的球 数不少于9个的概率为 ． 7．一射手对同一目标独立地进行4次射击，已知至少命中一次的概率为8081 ，则此射手的命中率为 ．

概率的加法公式

12．3．1 概率的加法公式 2．任意事件概率的加法公式 任意事件概率的加法公式为 P （A ∪B ）=P （A ）+P （B ）－P （AB ） 公式可以推广到有限个事件的情形。下面给出三个事件的并的概率加法公式： P （A ∪B ∪C ）=P （A ）+P （B ）+P （C ）－P （AB ）－P （AC ）－P （BC ）+P （ABC ） 例2 如图12-6（课本）所示的线路中，元件a 发生故障的概率为0.08,元件b 发生故 障的概率为0.05,元件a,b ，同时发生故障的概率为0.004,求线路中断的概率。 解 设A={元件a 发生故障}，B={元件b 发生故障}，C={线路中断}，根据电学知识 可知 C=A ∪B 。根据题意可知，P （A ）=0.08, P(B)=0.05, P(AB)=0.004. 由公式12-4得 P(C)=P （A ∪B ）=P （A ）+P （B ）－P （AB ）=0.08+0.05－0.004=0.126. 课堂练习 12．3．2概率的乘法公式 1．条件概率 定义 在事件A 发生的条件下发事件B 发生的概率叫条件概率，记作P （B ︱A ）。 例3 五个球中有三个白球，二个红球，每次任取一个，不放回抽取两次，试求在第 一次取到红球的条件下第二次取到白球的概率。 解 设A={第一次取到红球}，B={第二次取到白球}。 由于事件A 已经发生，而且取出的球不放回，所以5个球中只剩下4个，其中白球仍 有三个，于是由古典概型可知 P （B ︱A ）= 43 条件概率有以下计算公式： P （B ︱A ）=)()(A P AB P P （A ）≠0 P （A ︱B ）=) ()(B P AB P P （B ）≠0。 （12-6） 课堂练习 2．乘法公式 由条件概率的计算公式可得 P （AB ）=P （A ）P （B ︱A ）=P （B ）P （A ︱B ） （12-7） 公式（12-7）称为概率的乘法公式。 例4 设在一个盒子中装有10只晶体管，4只是次品，6只是正品，从中接连取两次， 每次任取一只，取后不再放回。问两次都取到正品管子的概率是多少？ 解 设A={第一次取到的是正品管子}，B={第二次取到的是正品管子}。 则AB={两次都取到正品管子}。 因为 P （A ）=106， P （B ︱A ）=9 5， 所以，由公式（12-7）得 P （AB ）=P （A ）P （B ︱A ）= 3195106=?。 概率的乘法公式，可以推广到有限个积事件的情形，下面给出三个事件积的概率公式： P （ABC ）=P （A ）P （B ︱A ）P （C ︱AB ）。 12．3．3 事件的独立性 定义 如果事件A （或B ）的发生不影响事件B （或A ）发生的概率，即P （B ︱A ） =P （B ）或P （A ︱B ）=P （A ），那么事件A 、B 叫做相互独立事件。 如果事件A 、B 相互独立，那么两事件的积AB 的概率等于两个事件概率的乘积，即

条件概率独立事件习题

条件概率与独立事件习题课 1.抛掷红、蓝两颗骰子，设事件A为“蓝色骰子的点数为3或6”，事件B 为“两颗骰子的点数之和大于8”则P（B|A）的值为（） A ． B ． C ． D ． 2．从1～9这9个正整数中任取2个不同的数，事件A为“取到的2个数之和为偶数”，事件B为“取到的2个数均为偶数”，则P（B|A）=（）A ．B ．C ．D ． 3．10件产品中有5件次品，从中不放回的抽取2次，每次抽1件，已知第一次抽出的是次品，则第二次抽出的是正品的概率（） A ． B ． C ． D ． 4．甲、乙两名同学参加一项射击比赛游戏，其中任何一人每射击一次击中目标得2分，未击中目标得0分．若甲、乙两人射击的命中率分别为和P，且甲、乙两人各射击一次得分之和为2的概率为．假设甲、乙两人射击互不影响，则P值为（） A ． B ． C ． D ． 5．若甲以10发8中，乙以10发6中，丙以10发7中的命中率打靶，三人各射击一次，则三人中只有一人命中的概率是．二．解答题 6．某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的重量（单位：克），重量的分组区间为（490，495]，（495，500]，…，（510，515]，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示． （1）根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量． （2）在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y为重量超过505克的产品数量，求Y的分布列． （3）从流水线上任取5件产品，求恰有2件产品合格的重量超过505克的概率．（删）

7．2013年12月21日上午10时，省会首次启动重污染天气Ⅱ级应急响应，正式实施机动车车尾号限行，当天某报社为了解公众对“车辆限行”的态度，随机抽查了50人，将调查情况进行整理后制成下表： 年龄（岁）[15， 25）[25， 35） [35， 45） [45， 55） [55， 65） [65， 75] 频数510151055 赞成人数469634 （Ⅰ）完成被调查人员的频率分布直方图； （Ⅱ）若从年龄在[15，25），[25，35）的被调查者中各随机选取两人进行进行追踪调查，记选中的4人中不赞成“车辆限行”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列8．盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同． （1）从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P；（2）从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x1，x2，x3，随机变量X表示x1，x2，x3中的最大数，求X的概率分布． 9．甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立． （Ⅰ）求甲在3局以内（含3局）赢得比赛的概率； （Ⅱ）记X为比赛决出胜负时的总局数，求X的分布列．

相互独立事件与概率的乘法公式

相互独立事件与概率的乘法公式 说课人：董新森 工作单位：东平县职业中专 时间：2007年5月22日

“相互独立事件与概率的乘法公式”说课稿 一、教材分析 1、教材所处的地位和作用 本节课是概率的第三个计算公式，是在学习了互斥事件和概率的加法公式后而引入的，是对概率计算公式的进一步研究，同时又为下一步学习独立重复试验概率的计算奠定了知识和方法基础。 2、教学目标 （1）能正确区分互斥事件和相互独立事件，会用乘法公式解决简单问题。 （2）在归纳总结乘法公式过程中，进一步提高由特殊推测一般的合情推理能力。 （3）通过教师指导下的学生探索归纳活动，激发学生学习的兴趣，使学生经历数学思维过程，获得成功的体验。 3、教学重点与难点 教学重点：概率的乘法公式的应用 教学难点：区分互斥事件和相互独立事件 二、教学和学法 本节课采用启发探究式教学，由浅入深,由特殊到一般地提出问题,鼓励学生采用观察分析、归纳、总结的学习方法，让学生经历数学知识的应用过程。

三、教学过程设计 1、从数学问题引入探究主题 若事件A=｛甲同学的生日是5月份｝，B=｛乙同学的生日是5月份｝，则A∩B=｛甲和乙的生日都是5月份｝ 问题：（1）说出事件A和事件B是否为互斥事件，为什么？ （引出相互独立事件的概念） （2）试计算P（A）、P（B）、P（A∩B）。 （3）试分析P（A）、P（B）、P（A∩B）三者之间关系。 （4）试举出几个相互独立事件的例子。 2、发现规律 从以上事例中引导学生观察、分析、归纳 P（A∩B）=P（A）×P（B） 一般地说，如果事件A1，A2，…A n相互独立，那么这几个事件

n次独立重复实验与二项分布

n 次独立重复实验与二项分布 一、选择题 1．某一试验中事件A 发生的概率为p ，则在n 次这样的试验中，A 发生k 次的概率为( ) A ．1－p k B ．(1－p )k p n －k C ．(1－p )k D ．C k n (1－p )k p n －k [答案] D [解析] 在n 次独立重复试验中，事件A 恰发生k 次，符合二项分布，而P (A )＝p ，则P (A )＝1－p ，故P (X ＝k )＝C k n (1－p )k p n －k ，故答案选D. 2．某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为4 5，那么播下4粒种子恰有2粒发芽的 概率是( ) [答案] B [解析] P ＝C 24? ????452? ????152 ＝96625 . 3．某电子管正品率为34，次品率为1 4，现对该批电子管进行测试，设第ξ次首次测到 正品，则P (ξ＝3)＝( ) A ．C 23? ????142 ×34 B ． C 23? ????342 ×14 2 ×34 2 ×14 [答案] C 4．某射手射击1次，击中目标的概率是，他连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响．则他恰好击中目标3次的概率为( ) A ．× B ． C ．C 3 4×× D ．1－ [答案] C

[解析] 由独立重复试验公式可知选C. 5．每次试验的成功率为(01)p p <<，重复进行10次试验，其中前7次都未成功后3次都成功的概率为（C ） ()A 33710(1)C p p - ()B 333 10(1)C p p - ()C 37(1)p p - ()D 73(1)p p - 6．甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，甲队与乙队实力之比为3:2，比赛时均能正常 发挥技术水平，则在5局3胜制中，甲打完4局才胜的概率为（ A ） ()A 23332()55C ? ()B 22332()()53C ()C 33432()()55C ()D 33421()() 33C 7. [2013·河池模拟]高一新生军训时，经过两天的打靶训练，甲每射击10次可以击中9次，乙每射击9次可以击中8次．甲、乙两人射击同一目标(甲、乙两人互不影响)，现各射击一次，目标被击中的概率为( ) A. 9 10 B. 45 C. 8 9 D. 8990 答案：D 解析：目标被击中的概率为P ＝1－(1－910)(1－89)＝1－190＝89 90 . 8. [2013·湖北调研]如图，用K 、A 1、A 2三类不同的元件连接成一个系统．当K 正常工作且A 1、A 2至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K 、A 1、A 2正常工作的概率依次是、、，则系统正常工作的概率为( ) A. B. C. D. 答案：B 解析：系统正常工作概率为C 1 2×××(1－＋××＝，所以选B. 9. [2013·大庆模拟]某单位在一次春游踏青中，开展有奖答题活动，从2道文史题和3道理科题中不放回地依次抽2道，在第一次抽到理科题的前提下第二次抽到理科题的概率为( ) A. 9 25 B. 625 C. 3 10 D. 12 答案：D 解析：因为第一次抽到的是理科题，此时剩下2道文史题和2道理科题，故第二次抽

高三数学n次独立重复试验及概率综合例题解析人教版.

高三数学n 次独立重复试验及概率综合例题解析 一. 本周教学内容 n 次独立重复试验及概率综合 二. 重点、难点 1. 在一次试验中某事件发生的概率为P ，在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率为 )(k P n 。 k n k k n n P P C k P --=)1()( 2. )()2()1()0(n P P P P ++++ 11])1[(==+-=n n P P 【典型例题】 [例1] 甲、乙两人投篮投中的概率分别为0.6、0.7两个各投三次，求得分相同的概率 )()()()()(33221100B A P B A P B A P B A P D P +++= 223213213336.0)7.01(7.0)6.01(6.0)7.01()6.01(C C C +-?-+--= 321.07.06.0)7.01(7.0)6.01(33223=?+-?-C [例2] 在四次独立重复试验中，事件A 至少发生一次的概率为81 80 ，求事件A 在一次试验中发生的概率。 设x A P =)( 31 42224334444)1()1()1(81 80x x C x x C x x C x C -+-+-+=404 )1(1x C --= 811)1(4=-x 3 2 =x [例3] 同时抛掷15枚均匀的硬币。 （1）求至多有一枚正面向上的概率； （2）判断正面向上为奇数枚的概率与正面向上为偶数枚的概率是否相等。 （1）)1()0(P P P +=11141 1515 15)21()21()21() 2 1(=??+=C C （2）12331514115)21()21()21)(21()(?+=C C P 奇1515 152131315)2 1()21()21(?+++C C 15 1515515315115)2 1)((C C C C ++++= 2 1)21(21514 =?= ∴ )(奇P 2 1 )(==偶P

概率的加法公式教案

《概率的加法公式》 执教人：魏静 1.教学目标： 知识目标：通过探究式教学，使学生正确理解“互斥事件”，“彼此互斥”和“对立事件”的概念， 能力目标：理解并掌握当A ，B 互斥时“事件AUB ”的含义，了解两个互斥事件的概率加法公式，并会利用两个对立事件的概率和为1的关系，简化一些概率的运算，同时，会应用所学知识解决一些简单的实际问题。 情感目标：培养学生良好的学习习惯，激发学生的学习兴趣 2、教学重点、难点： 本节的教学重点是互斥事件和对立事件的概念以及互斥事件的加法公式，教学难点是互斥事件与对立事件的区别和联系。 3、教学过程： 复习 什么是概率? 在n 次重复进行的试验中，事件A 发生的频率 ，当n 很大时，总是在某个常数附近摆动，随着n 的增加，摆动幅度越来越小，这时就把这个常数叫做事件A 的概率，记作 预先提问：(学生预习，教师提问) 互斥事件（互不相容事件）：在同一次试验中不可能同时发生的两个事件 针对练习：（检验学生预习成果） 1、下列各组事件中，不是互斥事件的是（ ） A.一个射手进行一次射击，命中环数大于8与命中环数小于6 m n ()P A

韦恩图表示： B.统计一个班级数学期中考试成绩，平均分不低于90分与平 均分不高于90。 C.播种菜籽100粒，发芽90粒与发芽80粒。 D.检查某种产品，合格率高于70%与合格率为70%。 2. 下列各事件中是互斥事件的是( ) A.抽奖活动中抽到二等奖与中奖 B.射击一次命中环数为9环与命中环数大于8 C.小明在一次考试中成绩优秀与成绩良好 D.抛掷骰子出现奇数点与出现3点 两个事件互斥的集合解释： 集合A 表示事件A 的基本事件空间，集合B 表示事件B 的基本事件空间，集合A 与集合B 的关系？ 事件的并（和）： 由事件A 和B 至少有一个发生（即A 发生，或B 发生，或 A B φ ?=

独立重复试验与二项分布

§2-3：2．2．3独立重复实验与二项分布 教材分析：本节内容是新教材选修2-3第二章《随机变量及其分布》的第二节《二项分布及其应用》的第三小节。通过前面的学习，学生已经学习掌握了有关概率和统计的基础知识：等可能事件概率、互斥事件概率、条件概率、相互独立事件概率的求法以及分布列有关内容。二项分布是继超几何分布后的又一应用广泛的概率模型，而超几何分布在产品数量n 相当大时可以近似的看成二项分布。本节内容是对前面所学知识的综合应用，是一种模型的构建。是从实际入手，通过抽象思维，建立数学模型，进而认知数学理论，应用于实际的过程。 学生分析：初步掌握概率与统计知识；研究了两点分布和超几何分布；理解了条件概率和、相互独立事件；已具有一定的归纳抽象能力。比较畏惧有实际背景的数学应用问题；分析问题和解决问题的能力的能力比较弱；数学建模能力不足。 目标分析： 知识与技能：理解n 次独立重复试验的模型及二项分布，并能解答一些简单的实际问题。 过程与方法：能进行一些与n 次独立重复试验的模型及二项分布有关的概率的计算。 情感、态度与价值观：承前启后，感悟数学与生活的和谐之美 ,体现数学的文化功能与人文价值。 重难点分析： 教学重点：理解n 次独立重复试验的模型及二项分布，并能解答一些简单的实际问题 教学难点：能进行一些与n 次独立重复试验的模型及二项分布有关的概率的计算 教学建议：关键是让学生能判断生是不是独立重复试验，是不是二项分布，分类要准确，解题格式要规范。 教学过程： 一、复习引入： 1 事件的定义：随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件； 必然事件：在一定条件下必然发生的事件； 不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件 2．随机事件的概率：一般地，在大量重复进行同一试验时，事件A 发生的频率m n 总是接近某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A 的概率，记作()P A ． 3.概率的确定方法：通过进行大量的重复试验，用这个事件发生的频率近似地作为它的概率； 4．概率的性质：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，随机事件的概率为0()1P A ≤≤，必然事件和不可能事件看作随机事件的两个极端情形 5 基本事件：一次试验连同其中可能出现的每一个结果（事件A ）称为一个基本事件 6．等可能性事件：如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每个基本事件的概率都是1n ，这种事件叫等可能性事件 7．等可能性事件的概率：如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果都是等可能的，如果事件A 包含m 个结果，那么事件A 的概率()m P A n = 8．等可能性事件的概率公式及一般求解方法 9.事件的和的意义:对于事件A 和事件B 是可以进行加法运算的 10 互斥事件:不可能同时发生的两个事件．()()()P A B P A P B +=+ 一般地：如果事件12,,,n A A A 中的任何两个都是互斥的，那么就说事件12,,,n A A A 彼此互斥

《概率的加法公式》习题

《概率的加法公式》习题 1.某射手在一次射击中射中10环、9环、8环、7环、7环以下的概率分别为0.24、0.28、0.19、0.16、0.13.计算这个射手在一次射击中： （1）射中10环或9环的概率； （2）至少射中7环的概率； （3）射中环数不足8环的概率. 2．从1，2，…，9中任取两数，其中：①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个奇数和两个都是奇数；③至少有一个奇数和两个都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数.在上述事件中，是对立事件的是（ ） A.① B.②④ C.③ D.①③ 3.甲、乙2人下棋，下成和棋的概率是 ,乙获胜的概率是 ，则甲不胜的概率是（ ） A . B . C . D . 4. 从装有两个红球和两个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ） A .“至少有一个黑球”与“都是黑球” B .“至少有一个黑球”与“至少有一个红球” C .“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球” D .“至少有一个黑球”与“都是红球” 5.抽查10件产品，设事件A ：至少有两件次品，则A 的对立事件为（ ） A . 至多两件次品 B . 至多一件次品 C . 至多两件正品 D . 至少两件正品 6.从一批羽毛球产品中任取一个，其质量小于4.8 g 的概率为0.3，质量小于4.85 g 的概率为0.32，那么质量在[4.8，4.85) (g)范围内的概率是（ ） A .0.62 B .0.38 C .0.02 D .0.68 7.某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，若生产中出现乙级品的概率为0.03、丙级品的概率为0.01，则对成品抽查一件抽得正品的概率为（ ） A .0.09 B .0.98 C .0.97 D .0.96 8.为了调整个人所得税征收制度，某机构准备调查了解某市市民的收入情况，随机抽取了n 名市民进行试点调查，其月收入介于1200元和4200元之间，将调查结果按如下方式分为五组：第一组[)1200,1800；第二组[)1800,2400；；第五组[]3600,4200，下表是按 上述分组方式得到的频率分布表： 分组 频数 频率 [)1200,1800 x a [)1800,2400 90 b 12561 6 23121 3

相互独立事件同时发生的概率、独立重复试验.

相互独立事件同时发生的概率、独立重复试验 一. 教学内容： 相互独立事件同时发生的概率、独立重复试验 二. 重点、难点 1.相互独立事件：事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。设A 、B 是两个事件，那么A ·B 表示这样一个事件，它的发生表示A 与B 同时发生，它可以推广到有限多个事件的积。 2.相互独立事件发生的概率：两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。P(A ·B)＝P(A)·P(B) 如果事件A 1，A 2，…，A n 相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积. P(A 1A 2……A n )＝P(A 1)P(A 2)…P(A n ) 值得注意的是：①事件A 与B(不一定互斥)中至少有一个发生的概率可按下式计算：P(A+B)＝P(A)+P(B)-P(AB) 特别地，当事件A 与B 互斥时，P(AB)＝0，于是上式变为P(A+B)＝P(A)+P(B) ②事件间的“互斥”与“相互独立”是两个不同的概念，两事件互斥是指两个事件不可能同时发生，两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一事件发生的概率没有影响。 3.独立重复试验. 独立重复试验，又叫贝努里试验，是在同样的条件下重复地，各次之间相互独立地进行的一种试验。在这种试验中，每一次试验只有两种结果，即某种事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中发生的概率都是一样的。 一般地，如果在一次试验中某件事发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生K 次的概率 P n (k)＝C n k P k (1-P)n-k P n (k)＝C n k P k (1-P)n-k 可以看成二项式［(1-P)+P ］n 展开式中的第k+1项. 【典型例题】 例1. 工人看管3台机床，在1小时内，3台机床正常工作(不需要照顾)的概率分别是0.9，0.8，0.85，求在任一小时内.(1)3台机床都不需要照顾的概率.(2)3台机床中至少有一台不需要工人照顾的概率. 解：(1)可以认为机床的工作是相互独立的。 设A 1，A 2，A 3分别表示第1、2、3台机床不需要工人照顾，则P(A 1A 2A 3)＝P(A 1)P(A 2)P(A 3)＝0.9×0.8×0.85＝0.612.即3台机床都不需要工人照顾的概率为0.612. (2)“3台机床中至少有一台不需要照顾”与“3台都需要工人照顾”是对立事件，即A 1+A 2+A 3与1A 、2A 、3A 是对立事件，所以 P(A 1+A 2+A 3)＝1-P(321A A A ++)＝1-P(321A A A )＝1-P(1A )P(2A )P(3A ) ＝1-(1-0.9)(1-0.8)(1-0.85)＝0.997 即3台机床中至少有一台不需要照顾的概率为0.997. 例2.甲、乙、丙各进行一次射击，如果甲、乙2人击中目标的概率是0.8，丙击中目标的概率是0.6，计算：(1)3人都击中目标的概率；(2)至少有2人击中目标的概率；(3)其中恰有1人击中目标的概率. 解:(1)记“甲、乙、丙各射击一次，击中目标”分别为事件A 、B 、C 彼此独立，三人都击中目标就是事件A ·B ·C 发生，根据相互独立事件的概率乘法公式得：P(A ·B ·C)＝P(A)·P(B)·P(C)＝0.8×0.8×0.6＝0.384 (2)至少有2人击中目标包括两种情况：一种是恰有2人击中，另一种是3人都击中，其中