随机过程期末复习题
随机过程期末复习题库（2015）
一、填空题
1.对于具有常数均值的二阶矩过程，为宽平稳过程当且仅当二元函
数只与有关, 而与和无关。
2.对于具有常数均值的二阶矩过程，为宽平稳过程当且仅当二元函
数只与有关, 而与和无关。
3.设随机变量服从泊松分布，且，则 2 .
4.已知随机变量的二阶矩存在，且的矩母函数为，则.
5.已知随机变量的二阶矩存在，且的特征函数为，则
.
6.设是平稳序列，其协方差函数为，请给出的均值具有遍
历性的一个充分条件：．
7.设是平稳过程，其协方差函数为，请给出的均值具有遍历性
的一个充分条件：．
8.已知平稳过程的均值，协方差函数为，则该过程的自相关函数
．
9.设为两个随机事件，，则 0.6 ．
10.设为二随机变量，，则 2 ．
11.已知随机变量的矩母函数为，则服从的分布是参数为的
泊松分布．
12.是二维正态分布，即，．
13.设随机变量的数学期望均存在，则．
14.为随机事件，随机变量的数学期望存在，则
．
15.在强度为的泊松过程中，相继事件发生的间隔时间是相互独立的随机变量，且服从均
值为的同一指数分布.
16.设是强度为的泊松过程，表示第个事件发生的时刻，则的分布函
数为.
17.设是强度为的泊松过程，表示第个事件发生的时刻，则．
18.设是强度为的泊松过程，表示第个事件发生的时刻，则
．
解由定理3.2.3，在已知的条件下，事件发生的个时刻的条件联合分布函数与个在区间上相互独立同均匀分布的随机变量的顺序统计量的联合分布函数相同．故对，有
从而，
19.是强度为的泊松过程，表示第个事件与第个事件发
生的时间间隔.则.
解题思路：注意到与独立，且同服从参数为的指数分布即得．
20.设，是速率为的泊松过程. 则对于，
.
21.设，是速率为的泊松过程. 对于，
.
解对于，有
增量与独立
22.是强度为的泊松过程，表示第个事件与第个事件发
生的时间间隔.则对，.
解题思路：注意到与独立，且同服从参数为的指数分布即得．
23.设是强度为的泊松过程，表示第个事件与第个事件发
生的时间间隔，则.
24.设是强度为的泊松过程，表示第个事件发生的时刻，则
.
25.设是强度为的泊松过程，表示第个事件发生的时刻，则服从参
数为和的分布.
26.非齐次泊松过程，其强度函数为，则
.
解对于，有
27.设是一个强度函数为的非齐次泊松过程，为过程均值函数的反
函数，则随机过程是一个强度为 1 的泊松过程．
28.事件的发生形成强度为的泊松过程，如果每次事件发生时能够以概率
被记录下来，且对它的记录和不记录都与其他的事件能否被记录独立．如以表示到时刻被记录下来的事件总数，则是一个强度为的泊松过程．
29.事件的发生形成强度为的泊松过程，如果每次事件发生时能够以概率
被记录下来，且对它的记录和不记录都与其他的事件能否被记录独立．如以表示到时刻被记录下来的事件总数，则的均值函数．
30.事件的发生形成强度为的泊松过程，设事件在时刻发生被记录到的概
率是，若以表示到时刻记录的事件数，则计数过程是非时齐的泊松过程，的分布
，
31.设是一个速率为的泊松过程，并且假设在时间发生的一个事件独立于
前发生的事件，并以概率计数．以记直到时间为止被计数的事件个数，则计数过程是一个强度函数为的非时齐的泊松过程．
32.设是一个速率为的泊松过程，并且假设在时间发生的一个事件独立于
前发生的事件，并以概率计数．以记直到时间为止被计数的事件个数，则计数过程的均值函数．
33.设和是独立的泊松过程，分别具有强度和，则
是具有强度的泊松过程.
34.设和是独立的泊松过程，分别具有强度和．如果过程
在时间发生一个事件，则这个在时间发生的事件以概率来自过程．
35.设和是独立的非时齐的泊松过程，分别具有强度函数
和，则是具有强度函数的非时齐泊松过程.
36.设和是独立的非时齐的泊松过程，分别具有强度函数
和．如果过程在时间发生一个事件，则这个在时间发生的事件以概率来自过程．
37.保险公司接到的索赔次数服从一个泊松过程，每次要求赔付的金额都相
互独立，且有相同分布，每次的索赔数额与它发生的时刻无关，表示时间内保险公司需要赔付的总金额，则随机过程是一个复合泊松过程．
38.在保险的索赔模型中，设索赔要求以平均每月两次的速率的泊松过程到达保险公司．每
次赔付服从均值为10000元的正态分布，则一年中保险公司的平均赔付额是240000
元．
解题思路：索赔次数为一速率为（次月）泊松过程，每次的赔付金额,总索赔金额为一复合泊松过程，故一年中保险公司的平均赔付额为
39.设顾客以每分钟6人的平均速率进入某商场，这一过程可以用泊松过程来描述．又设
表示进入该商场的第位顾客在该商场所花费的金额（单位：元），且有，且每位顾客是否买东西互不影响，也与进入该商场的顾客数无关．则该商场一天（12小时）的平均营业额为432000 元．
解题思路：到达顾客数为一速率为（人小时）泊松过程，每个顾客的消费金额,商场营业金额为一复合泊松过程，故该商场一天（12小时）的平均营业额为
40.假设家庭以每星期的泊松速率移民到一个地区．如果每个家庭的人数是独立的，
而且分别以概率取值1，2，3，4，那么在固定的5个星期中移民到这个地区的平均人数为25 ．
解题思路：移民家庭数为一速率为（户星期）泊松过程，每个家庭的平均人数为
移民人数为一复合泊松过程，故在固定的5个星期中移民到这个地区的平均人数为
41.设是复合泊松过程，存在，则
．
42.设是复合泊松过程，，则
．
43.在任意给定的一天，加里的心情或者是快乐的(cheerful，C)，或者是一般的(so-so，
S)，或者是忧郁的(glum，G). 如果今天他是快乐的，则明天他分别以概率0.5，0.4，
0.1是C，S，G．如果今天他感觉一般，则明天他分别以概率0.3，0.4，0.3为C，S，G．如
果今天他是忧郁的，则明天他分别以概率0.2，0.3，0.5为C，S，G．以记加里在第天的心情，则马尔可夫链的状态空间，，，一步转移概率矩阵
.
44.假设明天下雨的机会只依赖于前一天的天气条件，即今天是否下雨，而不依赖过去的天
气条件．再假设如果今天下雨，那么明天下雨的概率为；如果今天没有下雨，那么明天下雨的概率为．以记第天的天气情况，则马尔可夫链的状态空间下雨，不下雨，一步转移概率矩阵 .
45.的概率解释是：为从出发经步首次到达的概率.
46.的概率解释是：从出发，经有限步首次到达的概率.
47.设系统有三种可能状态. “1”表示系统运行良好，“2”表示运行正常，“3”
表示系统失效. 以表示系统在时刻的状态，并设是一马尔可夫链. 在没有维修及更换条件下，其自然转移概率矩阵为
则系统初始处于运行良好状态，在内运行的概率为.
解题思路：系统初始处于运行良好状态，在时刻1失效的概率为：
系统初始处于运行良好状态，在时刻2失效的概率为：
故系统在内运行的概率为
48.设系统有三种可能状态. “1”表示系统运行良好，“2”表示运行正常，“3”
表示系统失效. 以表示系统在时刻的状态，并设是一马尔可夫链. 在没有维修及更换条件下，其自然转移概率矩阵为
则系统初始处于运行正常状态，在内运行的概率为.
解题思路：系统初始处于运行正常状态，在时刻1失效的概率为：
系统初始处于运行正常状态，在时刻2失效的概率为：
故系统在内运行的概率为
49.如果，则 0 ；反之亦然.
50.如果，则 >0 ；反之亦然.
51.如果，则对，有 0 .
52.状态是周期的，且周期为，则对，当不能被整除时，使 0 .
53.如果状态是常返的，则 0 .
54.如果状态是零常返的，则从出发再回到的平均回转时间.
55.如果状态是正常返的，则从出发再回到的平均回转时间.
56.马尔可夫链从出发到达的平均次数为.
57.状态是常返的充要条件是.
58.状态是非常返的充要条件是.
59.为从状态出发经有限步返回的概率．如果，则.
60.设马氏链的一步转移概率矩阵，步转移概率矩阵，二者之间的
关系为.
61.设为马尔可夫链，状态空间，初始分布为
，的概率分布为==(=), ，步转移概率矩阵()=，三者之间的关系为.
二、单选题
1.下面的随机过程中不一定是二阶矩过程的是（A）
A. 严平稳过程
B. 宽平稳过程
C. 正态过程
D. 泊松过程
2.设与分别是事件与是否发生的示性函数，即
若发生若不发生，
若发生
若不发生
如果，则（C）是不正确的.
A. B.
C. D.
解题思路：注意到：，；，
，以及即得.
3.设与分别是事件与是否发生的示性函数，即
若发生若不发生，
若发生
若不发生
如果，则（C）是不正确的.
A. B.
C. D.
4.对于任意两个随机变量和，若，则( B ).
A、B、
C、和独立
D、和不独立
5.已知标准正态分布随机变量的矩母函数为，则的矩母函数
（A）.
A. B.
C. D.
6.已知参数为的泊松随机变量的矩母函数为，设与分别是以
和为参数的独立的泊松随机变量，则的矩母函数( B ).
A. B.
C. D.
7.已知是维纳过程，则下面错误的是( B ).
A. 是独立增量过程
B. 是平稳过程
C. 是平稳增量过程
D.是正态过程
8.( A )的有限维分布关于时间是平移不变的.
A. 严平稳过程
B. 宽平稳过程
C. 平稳增量过程
D. 独立增量过程
9.设是泊松过程，下述结论不正确的是（B）.
A. 是平稳独立增量过程
B. 宽平稳过程
C. 是独立增量过程
D. 二阶矩过程
10.设是泊松过程，表示第个事件发生的时刻，则下面正确的是( B ).
A. B.
C. D.
11.设是强度为的泊松过程，表示第个事件与第个事件发
生的时间间隔，表示第个事件发生的时刻，，则下面正确的是( B ).
12.设是强度为的泊松过程，表示第个事件与第个事件发
生的时间间隔，表示第个事件发生的时刻，，则下面错误的是( D ).
解题思路注意到在条件下，对，有
且在条件下，服从上的均匀分布，故有
＝
13.设是强度函数为的非齐次泊松过程，则下面错误的是
( D ).
服从参数为的泊松分布．
14.设是强度函数为的非齐次泊松过程，则下面错误的是
( B ).
是独立增量过程；是平稳增量过程；
是一个泊松随机变量
．
15.设和是独立的非时齐的泊松过程，分别具有强度函数
和．如果过程在时间发生一个事件，则这个在时间发生的事件是来自过程的概率为( A ).
16.设是复合泊松过程，，则下面说法错误的
是( B ).
A. B.
C. D.
17.设马尔可夫链的状态空间为有限集，则下列说法一定正确的是( D ).
A. 所有状态都是遍历状态
B. 所有状态都是非常返状态
C. 所有状态都是正常返状态
D. 没有零常返状态
18.设马尔可夫链的状态空间为有限集，则下列说法一定正确的是( C ).
A. 所有状态都是遍历状态
B. 所有状态都是非常返状态
C. 一定存在常返状态
D. 所有状态都是正常返状态
19.设马尔可夫链的状态满足，表示从状态出发再回到状态的平均回转时间，
若，称为( C ).
A. 遍历状态
B. 非常返状态
C. 正常返状态
D. 零常返状态
20.设Markov链的状态空间为，转移概率矩阵为：
按状态互通关系，该链的状态可分为以下等价类( B )．
A. 和
B. ，和
C. ，和
D. ，和
21.设Markov链的状态空间为，转移概率矩阵为：
则该链的状态分类为( A )．
A. 1和2都是遍历状态，3和4是非常返状态；
B. 1和2都是遍历状态，3和4是零返状态；
C. 1和2都是零常返状态，3和4是正常返状态；
D. 1和2都是非常返状态，3和4是遍历状态．
三、判断题
1.设与为二随机变量，且与独立，则＝. ( )
2.设与为二随机变量，且与独立，则＝. ( )
3.设与为二随机变量，则关于的条件期望是的函数. ( )
4.严平稳过程一定是宽平稳过程． ( )
5.二阶矩存在的严平稳过程一定是宽平稳过程． ( )
6.平稳增量过程是平稳过程． ( )
7.宽平稳过程是平稳增量过程． ( )
8.严平稳过程是平稳增量过程． ( )
9.设是平稳序列，其协方差函数为，若，
则的均值具有遍历性． ( )
10.设是平稳过程，其协方差函数为，若，则
的均值具有遍历性． ( )
11.平稳过程的均值具有遍历性． ( )
12.平稳过程的均值函数和方差函数均为常数． ( )
13.对于严平稳过程而言，有限维分布关于时间是平移不变的． ( )
14.平稳独立增量过程的均值函数一定是时间的线性函数． ( )
15.随机过程的有限维分布族是随机过程概率特征的完整描述． ( )
16.设是一计数过程，表示第个事件与第个事件发生的时
间间隔. 如果是独立且参数同为的指数随机变量，则是强度为的泊松过程. ( )
17.设是强度为的泊松过程，表示第个事件发生的时刻. 在
的条件下，的条件分布函数与个在上相互独立同均匀分布的顺序统计量的分布函数相同. ( )
18.设是强度为的泊松过程，表示第个事件发生的时刻. 则在
的条件下，服从上的均匀分布. ( )
19.时齐泊松过程是独立平稳增量过程. ( )
20.时齐泊松过程是平稳过程. ( )
21.非时齐泊松过程是独立平稳增量过程. ( )
22.非时齐泊松过程是独立增量过程. ( )
23.设为非齐次泊松过程，则的分布与无关. ( )
24.设为非齐次泊松过程，则的分布与无关. ( )
25.由时齐泊松过程的时间的抽样可生成一个非时齐的泊松过程. ( )
26.一个强度函数为有界的非时齐泊松过程可以由一个时齐泊松过程的时间的抽样生
成．( )
27.复合泊松过程是独立增量过程. ( )
28.复合泊松过程是计数过程. ( )
29.如果，则对，必有. ( )
30.令为不可约、非周期Markov链的转移概率矩阵，则必存在，使得当时．步
转移概率矩阵的所有元素都非零. ( )
31.令为不可约、非周期、有限状态Markov链的转移概率矩阵，则必存在，使得当
时．步转移概率矩阵的所有元素都大于零. ( )
32.如果为零常返状态，且，则必有. ( )
33.如果为遍历状态，且，则必有. ( )
34.如果为常返状态，且，则必有． ( )
35.为非周期的有限状态Markov链的步转移概率矩阵，则极限
一定存在，且极限与状态无关. ( )
36.为非周期的Markov链的步转移概率矩阵，则极限一定存在，
且极限与状态无关. ( )
37.为不可约非周期的有限状态Markov链的步转移概率矩阵，则极限
一定存在，且极限与状态无关. ( )
38.为有限状态Markov链的步转移概率矩阵，则极限一定存在.
( )
39.为非周期的Markov链的步转移概率矩阵，则极限一定存在.
( )
40.对任何Markov链，极限一定存在. ( )
41.对任何Markov链，极限一定存在. ( )
42.马尔可夫链的初始分布是平稳分布，则该马尔可夫过程是严平稳过程. ( )
43.马尔可夫链是严平稳过程，则该马尔可夫链的初始分布必是平稳分布. ( )
44.不可约非周期的有限状态Markov链一定存在平稳分布. ( )
45.不可约非周期正常返的Markov链一定存在唯一的平稳分布. ( )
46.如果状态是零常返的，从出发再回到的平均回转时间是有限的. ( )
47.如果状态是遍历状态，从出发再回到的平均回转时间是有限的. ( )
48.如果状态是零常返的，则从出发访问的期望次数是有限的. ( )
49.如果状态是非常返的，则从出发访问的期望次数是有限的. ( )
50.如果状态可达状态，则状态具有与状态相同的状态分类性质. ( )
51.如果状态与状态互通，则状态与状态具有相同的状态分类性质. ( )
52.若状态是常返的，则必有．( )
53.如果为常返状态，且，则必为常返状态，且. ( )
四、计算题
1.设随机过程，其中相互独立，同服从，试求的均值函
数和协方差函数.
解据题意，于是
2.设为维纳过程，试求的均值函数和协方差函数，并讨论其平稳性．
解因为维纳过程，故满足：
(1) ；
(2) 有平稳独立增量；
(3) 对每个，服从正态分布．
于是，的均值函数和协方差函数为
增量独立性
，
由于协方差函数与有关，故维纳过程不是宽平稳的．
3.设，是参数为的泊松过程，，计算.
解
4.设，是速率为的泊松过程. 对于，求
(1)； (2)；
(3)； (4).
解 (1)
；
(2)
(3)
(4)首先，在的条件下，服从参数为二项分布. 事实上
故，
5.设是一个强度为泊松过程．记. 计算
.
解：的均值函数为：
又，，有
＋
不妨设．
当时，区间与不相交，故由独立增量性，与独立．从而
当时，
＋
6.设和是强度分别为与的泊松过程，且两个泊
松过程独立．试求
(1) 的概率分布；
(2) 的数学期望与方差；
(3) 在的任一相邻事件发生的时间间隔内，有两个事件发生
的概率．
解：(1) 据题意，，，，且与独立，于是，由泊松分布的可加性知，，其概率分布为
(2) 的数学期望与方差为；
(3) 设表示过程的第个事件与第个事件发生的时间间隔.
表示过程的第个事件发生的时刻．则在的任一相邻事件发生的时间间隔内，有两个事件发生的概率为
7.事件的发生形成强度为的泊松过程，设事件在时刻发生被记录到的概率
是，且每次事件发生时，对它的记录和不记录都与其他的事件能否被记录独立．若以表示到时刻被记录的事件总数，求．
解显然，．设．
由于每次事件是否被记录是独立的，则在的条件下，可以看作在次独立试验中有次成功（被记录）和次失败（不被记录）的概率，故
＝
其中是每次试验成功的概率．
由定理3.2.3，在已知内发生了次事件的前提下，各次事件发生的时刻
（不排序）可看作相互独立的随机变量，且都服从上的均匀分布．因此
事件在内发生且被记录
事件在内发生且被记录事件在时刻发生
于是有
＝
其中．
8.设Markov链的状态空间为，初始分布为
，转移概率矩阵为
(1) 画出状态转移图；
(2) 求；
(3) 求．
解(1) 状态转移图如下：
(2)
(3) 因初始分布为，于是的分布为：
所以，
9.设马尔可夫链的状态空间为，转移概率矩阵为
(1) 画出状态转移图；
(2) 是否为遍历链？说明理由；
(3) 分析说明的各状态是什么状态？
解 (1) 状态转移图如下：
(2) 不是遍历链. 因遍历链是不可约的正常返链，而
即状态4是非常返状态，故不是遍历链.
(3) 又因
故状态3和状态4为非常返状态，状态1和2都是正常返状态，且非周期，从而状态1和2是遍历状态.
解法二(2) 不是遍历链. 因遍历链是不可约的正常返链，而
，即该链是可约的，故不是遍历链.
(3) 又因
所以，状态3和状态4为非常返状态．再由，及该链是有限状态空间的马氏链知，状态1和2都是正常返状态，且非周期，从而状态1和2是遍历状态.
10.设马尔可夫链，，转移概率矩阵为：
(1) 求；
(2) 求；
(3) 求.
解(1) 因，故，于是的分布为
所以，
(2) 由于
故
而的分布：
所以，的分布律为：
(3) 由于
从而，的分布律为：
11.设马尔可夫链，，，的转移概率矩阵为：
（1）求和；
（2）该链的平稳分布是否存在？该链的极限分布是否存在？为什么？（3）求该链各状态的平均返回时间。
解：(1) 因，故初始分布，于是的分布为：
所以，
由于，
故
从而，的分布律为：
（2）因，，故该链为不可约的非周期链，又因该链为有限状态的马尔可夫链，没有零常返状态，一定存在正常返状态，从而该链为不可约遍历链. 因此该链存在平稳分布和极限分布，且极限分布是该链唯一的平稳分布。
（3）解方程组：
得该链的平稳分布：
，，
状态的平均返回时间分别为：
12.设马尔可夫链的状态空间为，转移概率为
.
(1) 画出状态转移图；
(2) 是否为遍历链？说明理由；
(3) 的平稳分布是否存在？如存在，求其平稳分布.
解 (1) 该链的状态转移图如下：
(2) 是遍历链.
因为
故，所以状态1是常返的. 又，所以状态1是正常返状态. 再由，知状态1是非周期的. 从而状态1是遍历状态. 又对其他，有，故为不可约的，从而也是遍历状态，为不可约的遍历链.
(3) 由于是不可约的遍历链，因此存在唯一的平稳分布. 设平稳分布为
，则由得
于是，平稳分布
五、应用题
1.设在时段内乘客到达某售票处的人数为一强度是(人/分钟)的泊松过程，试
求：
(1) 在5分钟内有7位乘客到达售票处的概率；
(2) 第3位乘客在3分钟内到达售票处的概率。
(3) 相邻两乘客到达售票处的平均时间间隔．
解设为在内到达的乘客数，则为强度为的泊松过程。
(1) 在5分钟内有7位乘客到达售票处的概率为：
(2) 设为第3位乘客的到达时间，则第3位乘客在3分钟内到达售票处的概率为：
(3) 设表示第个乘客到达售票处与第个乘客到达售票处的时间间隔，则是独立且参数同为的指数随机变量．故相邻两乘客到达售票处的平均时间间隔为
分钟．
2.某商场为调查顾客到来的客源情况，考察了男女顾客来商场的人数. 假设男女顾客来商
场的人数分别独立地服从每分钟2人与每分钟3人的泊松过程.
最新随机过程考试试题及答案详解1
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最新随机过程考试真题
1、设随机过程C t R t X +?=)(，),0(∞∈t ，C 为常数，R 服从]1,0[区间上的均匀分布。 （1）求)(t X 的一维概率密度和一维分布函数； （2）求)(t X 的均值函数、相关函数和协方差函数。 2、设{ }∞<<∞-t t W ),(是参数为2 σ的维纳过程，)4,1(~N R 是正态分布随机变量； 且对任意的∞<<∞-t ，)(t W 与R 均独立。令R t W t X +=)()(，求随机过程 {}∞<<∞-t t X ),(的均值函数、相关函数和协方差函数。 3、设到达某商场的顾客人数是一个泊松过程，平均每小时有180人，即180=λ；且每个 顾客的消费额是服从参数为s 的指数分布。求一天内（8个小时）商场营业额的数学期望与方差。 4、设马尔可夫链的转移概率矩阵为： ??? ? ? ??=3.007.08.02.0007.03.0P （1）求两步转移概率矩阵) 2(P 及当初始分布为 0}3{}2{,1}1{000======X P X P X P 时，经两步转移后处于状态2的概率。 （2）求马尔可夫链的平稳分布。 5设马尔可夫链的状态空间}5,4,3,2,1{=I ，转移概率矩阵为： ??? ??? ? ? ? ?=010007.03.0000 0001 00004.06.0003.04 .03.0P
求状态的分类、各常返闭集的平稳分布及各状态的平均返回时间。 6、设{}(),0N t t ≥是参数为λ的泊松过程，计算[]()()E N t N t s +。 7、考虑一个从底层启动上升的电梯。以i N 记在i 第层进入电梯的人数。假定i N 相互独立，且i N 是均值为i λ的泊松变量。在第i 层进入的各个人相互独立地以概率ij p 在第j 层离开电梯， 1ij j i p >=∑。令j O ＝在第j 层离开电梯的人数。 （1）计算()j E O （2）j O 的分布是什么 （3）j O 与k O 的联合分布是什么 8、一质点在1，2，3点上作随机游动。若在时刻t 质点位于这三个点之一，则在),[h t t +内， 它都以概率 )(h o h +分别转移到其它两点之一。试求质点随机游动的柯尔莫哥洛夫微分方程，转移概率)(t p j i 及平稳分布。 1有随机过程{ξ(t )，-∞ （1） 设}0),({≥t t X 是一个实的零均值二阶矩过程，其相关函数为 t s s t B t X s X E ≤-=),()}()({，且是一个周期为T 的函数，即0),()(≥=+τττB T B ，求方差函数)]()([T t X t X D +-。 解：由定义，有： )(2)0()0()}()({2)0()0()]} ()()][()({[2)] ([)]([)]()([=-+=+-+=+-+--++=+-T B B B T t X t X E B B T t EX T t X t EX t X E T t X D t X D T t X t X D （2） 试证明：如果}0),({≥t t X 是一独立增量过程，且0)0(=X ，那么它必是一个马 尔可夫过程。 证明：我们要证明： n t t t <<<≤? 210，有 } )()({})(,,)(,)()({11112211----=≤=====≤n n n n n n n x t X x t X P x t X x t X x t X x t X P 形式上我们有： } )()(,,)(,)({} )()(,,)(,)(,)({} )(,,)(,)({} )(,,)(,)(,)({})(,,)(,)()({1122221111222211112211112211112211--------------========≤= ======≤=====≤n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x t X x t X x t X x t X P x t X x t X x t X x t X x t X P x t X x t X x t X P x t X x t X x t X x t X P x t X x t X x t X x t X P 因此，我们只要能证明在已知11)(--=n n x t X 条件下，)(n t X 与2 ,,2,1,)(-=n j t X j 相互独立即可。 由独立增量过程的定义可知，当2,,2,1,1-=<<<-n j t t t a n n j 时，增量 )0()(X t X j -与)()(1--n n t X t X 相互独立，由于在条件11)(--=n n x t X 和0)0(=X 下，即 有)(j t X 与1)(--n n x t X 相互独立。由此可知，在11)(--=n n x t X 条件下，)(n t X 与 2,,2,1,)(-=n j t X j 相互独立，结果成立。 （3） 设随机过程}0,{≥t W t 为零初值（00=W ）的、有平稳增量和独立增量的过程， 且对每个0>t ，),(~2t N W t σμ，问过程}0,{≥t W t 是否为正态过程，为什么？ 解：任取n t t t <<<≤? 210，则有： n k W W W k i t t t i i k ,,2,1][1 1 =-=∑=- 1．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则X 的特征函数为 。 2．设随机过程X(t)=Acos( t+),- 随机过程习题解答（一） 第一讲作业： 1、设随机向量的两个分量相互独立，且均服从标准正态分布。 （a）分别写出随机变量和的分布密度 （b）试问：与是否独立？说明理由。 解：（a） （b）由于： 因此是服从正态分布的二维随机向量，其协方差矩阵为： 因此与独立。 2、设和为独立的随机变量，期望和方差分别为和。 （a）试求和的相关系数； （b）与能否不相关？能否有严格线性函数关系？若能，试分别写出条件。 解：（a）利用的独立性，由计算有： （b）当的时候，和线性相关，即 3、设是一个实的均值为零，二阶矩存在的随机过程，其相关函数为 ，且是一个周期为T的函数，即，试求方差 函数。 解：由定义，有： 4、考察两个谐波随机信号和，其中： 式中和为正的常数；是内均匀分布的随机变量，是标准正态分布的随机变量。 （a）求的均值、方差和相关函数； （b）若与独立，求与Y的互相关函数。 解：（a） （b） 第二讲作业： P33/2．解： 其中为整数，为脉宽 从而有一维分布密度： P33/3．解：由周期性及三角关系，有： 反函数，因此有一维分布： P35/4. 解：(1) 其中 由题意可知，的联合概率密度为： 利用变换：，及雅克比行列式： 我们有的联合分布密度为： 因此有： 且V和相互独立独立。 （2）典型样本函数是一条正弦曲线。 （3）给定一时刻，由于独立、服从正态分布，因此也服从正态分布，且 所以。 （4）由于： 所以因此 当时， 当时， 由（1）中的结论，有： P36/7．证明： (1) (2) 由协方差函数的定义，有： P37/10. 解：（1） 当i =j 时；否则 令 ，则有 第三讲作业： P111/7．解： （1）是齐次马氏链。经过次交换后，甲袋中白球数仅仅与次交换后的状态有关，和之前的状态和交换次数无关。 （2）由题意，我们有一步转移矩阵： P111/8．解：（1）由马氏链的马氏性，我们有： （2）由齐次马氏链的性质，有： （2） 《随机过程期末考试卷》 1．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则X 的特征函数为 。 2．设随机过程X(t)=Acos( t+),- 北京邮电大学2012——2013学年第1学期 《概率论与随机过程》期末考试试题答案 考试注意事项：学生必须将答题内容（包括填空题）做在试题答题纸上，做在试卷纸上一律无效。在答题纸上写上你的班号和选课单上的学号，班内序号! 一. 单项选择题和填空题：（每空3分，共30分） 1.设A 是定义在非空集合Ω上的集代数,则下面正确的是 .A （A ）若A B ∈∈A,A ,则A B -∈A ; （B ）若A A B ∈?A,,则B ∈A ; （C ）若12n A n =∈?A,,,,则 1 n n A ∞=∈A ; （D ）若12n A n =∈?A,,,,且123A A A ??? ,则 1 n n A ∞ =∈A . 2. 设(),ΩF 为一可测空间，P 为定义在其上的有限可加测度，则下面正确的是 .c （A ）若A B ∈∈F,F ,则()()()P A B P A P B -=-； （B ）若12n A n =∈?F,,,,,且123A A A ??? ，则1 li ( )()m n n n n P A A P ∞→∞ ==； （C ）若A B C ∈∈∈F,F,F,，则()()()()P A B C P A P AB P A BC =++； （D ）若12n A n =∈?F,,,,,且,i j A i j A =??=/，1 1 ( )()n n n n P P A A ∞ ∞===∑. 3.设f 为从概率空间(),P ΩF,到Borel 可测空间(),R B 上的实可测函数，表达式为100 0()k A k f kI ω==∑，其中1000 ,, i j n n i j A A A ==??=Ω/=，则fdP Ω=? ； 2．设随机过程X(t)=Acos( t+),- 求（1）{}X(t),t (,)∈-∞+∞的样本函数集合；（2）一维分布函数F(x;0),F(x;1)。 解：（1）样本函数集合为{}cos t,t ,t (-,+)π∈∞∞； （2）当t=0时，{}{}1 P X(0)=0P X(0)=12 == ， 故0x<01F(x;0)=0x<12x 11???≤??≥??；同理0 x<-11F(x;1)=1x<12x 11 ??? -≤??≥?? 3.设明天是否有雨仅与今天的天气有关，而与过去的天气无关。又设今天下雨而明天也下雨的概率为α，而今天无雨明天有雨的概率为β；规定有雨天气为状态0，无雨天气为状态1。设 0.7,0.4αβ==，求今天有雨且第四天仍有雨的概率。 解：由题设条件，得一步转移概率矩阵为00 011011p p 0.70.3P=p p 0.40.6???? =? ???? ???，于是(2) 0.610.39P PP=0.520.48??=????，四步转移概率矩阵为(4)(2)(2) 0.57490.4251P P P 0.56680.4332??==???? ，从而得到今天有雨且第四天仍有雨的概率为(4) 00P 0.5749=。 4.一质点在1,2,3三个点上作随机游动，1和3是两个反射壁，当质点处于2时，下一时刻处于1,2,3是等可能的。写出一步转移概率矩阵，判断此链是否具有遍历性，若有，求出极限分布。 解：一步转移概率矩阵010111P=333010????? ????? ?? ， 111333 (2)271 199911133 3,????==?????? P P (2)ij p 由>0知，此链有遍历性；(),,ππππ123设极限分布=， 1 1 一．填空题（每空2分，共20分） 1．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则X 的特征函数为it (e -1) e λ。 2．设随机过程X(t)=Acos( t+),- 一、1.1设二维随机变量(,)的联合概率密度函数为： 试求:在时,求。 解： 当时， ＝ ＝ 1.2 设离散型随机变量X 服从几何分布： 试求的特征函数，并以此求其期望与方差。 解： 所以： 2.1 袋中红球，每隔单位时间从袋中有一个白球，两个任取一球后放回，对每 对应随机变量一个确定的t ?????=时取得白球如果对时取得红球 如果对t e t t t X t 3)( .维分布函数族试求这个随机过程的一 2.2 设随机过程，其中是常数，与是相互独立的随机变量，服从区间上的均匀 分布，服从瑞利分布，其概率密度为 试证明为宽平稳过程。 解：（1） 与无关 （2） ， 所以 （3） 只与时间间隔有关，所以为宽平稳过程。 2.3是随机变量，且，其中设随机过程U t U t X 2cos )(=求：，.5)(5)(==U D U E .321）方差函数）协方差函数；（）均值函数；（（ 2.4是其中，设有两个随机过程U Ut t Y Ut t X ,)()(32==.5)(=U D 随机变量，且 数。试求它们的互协方差函 2.5， 试求随机过程是两个随机变量设B At t X B A 3)(,,+=的均值),(+∞-∞=∈T t 相互独若函数和自相关函数B A ,.),()(),2,0(~),4,1(~,21t t R t m U B N A X X 及则且立 为多少？ 3.1一队学生顺次等候体检。设每人体检所需的时间服从均值为2分 钟的指数分布并且与其他人所需时间相互独立，则1小时内平均有多少学生接受过体检？在这1小时内最多有40名学生接受过体检的概率是多少（设学生非常多，医生不会空闲） 解：令()N t 表示(0,)t 时间内的体检人数，则()N t 为参数为30的 poisson 过程。以小时为单位。 则((1))30E N =。 40 300 (30)((1)40)!k k P N e k -=≤=∑。 3.2在某公共汽车起点站有两路公共汽车。乘客乘坐1,2路公共汽车的强度分别为1λ，2λ，当1路公共汽车有1N 人乘坐后出发；2路公共汽车在有2N 人乘坐后出发。设在0时刻两路公共汽车同时开始等候乘客到来，求（1）1路公共汽车比2路公共汽车早出发的概率表达式；（2）当1N =2N ，1λ=2λ时，计算上述概率。 解： 法一：（1）乘坐1、2路汽车所到来的人数分别为参数为1λ、2λ的poisson 过程，令它们为1()N t 、2()N t 。1 N T 表示1()N t =1N 的发生时 刻，2 N T 表示2()N t =2N 的发生时刻。 1 11 1111111()exp()(1)! N N N T f t t t N λλ-= -- 2 22 1222222()exp()(1)! N N N T f t t t N λλ-= -- 1 2 121 2 1 2 2 1 112,12|1221 1122212(,)(|)()exp() exp() (1)! (1)! N N N N N N N N N T T T T T f t t f t t f t t t t t N N λλλλ--== ---- 1 2 2 121 2 1 11221 11222100 12()exp() exp()(1)! (1)! N N t N N N N P T T dt t t t t dt N N λλλλ∞ --<=----?? 一、1.1设二维随机变量(,)的联合概率密度函数为： 试求:在时,求。 解： 当时，＝ ＝ 1.2 设离散型随机变量X服从几何分布： 试求的特征函数，并以此求其期望与方差。解： 所以： 2.1 袋中红球，每隔单位时间从袋中有一个白球，两个 任取一球后放回，对每 对应随机变量一个确定的t ?????=时取得白球如果对时取得红球 如果对t e t t t X t 3)( .维分布函数族试求这个随机过程的一 2.2 设随机过程 ，其中 是常数，与是 相互独立的随机变量，服从区间上的均匀分布，服从瑞利分布，其概 率密度为 试证明为宽平稳过程。 解：（1） 与无关 （2） ， 所以 （3） 只与时间间隔有关，所以 为宽平稳过程。 2.3是随机变量，且，其中设随机过程U t U t X 2cos )(=求：，.5)(5)(==U D U E .321）方差函数）协方差函数；（）均值函数；（（ 2.4是其中，设有两个随机过程U Ut t Y Ut t X ,)()(32==.5)(=U D 随机变量，且 数。试求它们的互协方差函 2.5， 试求随机过程是两个随机变量设B At t X B A 3)(,,+=的均值),(+∞-∞=∈T t 相互独若函数和自相关函数B A ,.),()(),2,0(~),4,1(~,21t t R t m U B N A X X 及则且立 为多少？ 3.1一队学生顺次等候体检。设每人体检所需的时间服从均值为2分 钟的指数分布并且与其他人所需时间相互独立，则1小时内平均有多少学生接受过体检？在这1小时内最多有40名学生接受过体检的概率是多少（设学生非常多，医生不会空闲） 解：令()N t 表示(0,)t 时间内的体检人数，则()N t 为参数为30的poisson 过程。以小时为单位。 则((1))30E N =。 40 30 (30)((1)40)!k k P N e k -=≤=∑。 3.2在某公共汽车起点站有两路公共汽车。乘客乘坐1,2路公共汽车的强度分别为1λ，2λ，当1路公共汽车有1N 人乘坐后出发；2路公共汽车在有2N 人乘坐后出发。设在0时刻两路公共汽车同时开始等候乘客到来，求（1）1路公共汽车比2路公共汽车早出发的概率表达式；（2）当1N =2N ，1λ=2λ时，计算上述概率。 解： 法一：（1）乘坐1、2路汽车所到来的人数分别为参数为1λ、2λ的poisson 过程，令它们为1()N t 、2()N t 。1 N T 表示1()N t =1N 的发生时 刻，2 N T 表示2()N t =2N 的发生时刻。 1 11 1111111()exp()(1)! N N N T f t t t N λλ-= -- 2 22 1222222()exp()(1)! N N N T f t t t N λλ-= -- 2.设{X (t ),t ≥0}是独立增量过程, 且X (0)=0, 证明{X (t ),t ≥0}是一个马尔科夫过程。 证明：当12n 0t t t t <<< <<时， 1122n n P(X(t)x X(t )=x ,X(t )=x ,X(t )=x )≤= n n 1122n n P(X(t)-X(t )x-x X(t )-X(0)=x ,X(t )-X(0)=x , X(t )-X(0)=x )≤= n n P(X(t)-X(t )x-x )≤，又因为n n P(X(t)x X(t )=x )=≤n n n n P(X(t)-X(t )x-x X(t )=x )≤= n n P(X(t)-X(t )x-x )≤，故1122n n P(X(t)x X(t )=x ,X(t )=x , X(t )=x )≤=n n P(X(t)x X(t )=x )≤ 3.设{}n X ,n 0≥为马尔科夫链，状态空间为I ，则对任意整数n 0,1 北京工业大学2009-20010学年第一学期期末 数理统计与随机过程(研) 课程试卷 学号 姓名 成绩 注意：试卷共七道大题，请写明详细解题过程。 考试方式：半开卷，考试时只允许看教材《概率论与数理统计》 浙江大学 盛 骤等编第三版（或第二版）高等教育出版社。可以看笔记、作业，但不允许看其它任何打印或复印的资料。考试时允许使用计算器。考试时间120分钟。考试日期：2009年12月31日 一、随机抽取某班28名学生的英语考试成绩，算得平均分数为80=x 分，样本标准差8=s 分，若全年级的英语成绩服从正态分布，且平均成绩为85分，问：能否认为该班的英语成绩与全年级学生的英语平均成绩有显著差异（取显著性水平050.=α）？ 解：这是单个正态总体 ),(~2σμN X ，方差2σ未知时关于均值μ的假设检验问题，用T 检验法. 解 85:0=μH ，85:1≠μH 选统计量 n s x T /0 μ-= 已知80=x ，8=s ，n ＝28，850=μ， 计算得n s x T /0μ-= 31 .328/885 80=-= 查t 分布表，05.0=α，自由度27，临界值052.2)27(025.0=t . 由于052.2>T 2622.2>，故拒绝 0H ，即在显著水平05.0=α下不能认为 该班的英语成绩为85分. 050.= 解：由极大似然估计得.2?==x λ 在X 服从泊松分布的假设下，X 的所有可能的取值对应分成两两不相交的子集A 0, A 1,…, A 8。 则}{k X P =有估计 =i p ?ΛΛ,7,0, !2}{?2 ===-k k e k X P k =0?p 随机过程复习题 一、填空题： 1．对于随机变量序列}{n X 和常数a ，若对于任意0>ε，有 ______}|{|lim =<-∞ >-εa X P n n ，则称}{n X 依概率收敛于a 。 2．设}),({0≥t t X 是泊松过程，且对于任意012≥>t t ， ，则 15 92}6)5(,4)3(,2)1({-??= ===e X X X P , 618}4)3(|6)5({-===e X X P 15 32 62 32 92! 23!2)23(!23}2)3()5({}2)1()3({}2)0()1({} 2)3()5(,2)1()3(,2)0()1({} 6)5(,4)3(,2)1({----??=???==-=-=-==-=-=-====e e e e X X P X X P X X P X X X X X X P X X X P 66 218! 26}2)3()5({}4)3(|6)5({--===-===e e X X P X X P 3．已知马尔可夫链的状态空间为},,{321=I ，初始分布为),,(4 1 2141， ?????? ?? ????????? ?=434 103 13131043 411)(P ，则167)2(12=P ，161}2,2,1{210====X X X P ???????? ?????? ????=48 31481348 436133616367 164167165)1()2(2P P 16 7 )2(12=P 16 1 314341}2|2{}1|2{}1{}2,1|2{}1|2{}1{} 2,2,1{12010102010210=??=================X X P X X P X P X X X P X X P X P X X X P 4．强度λ的泊松过程的协方差函数),min(),(t s t s C λ= 5．已知平稳过程)(t X 的自相关函数为πττcos )(=X R ， )]()([)(π?δπ?δπω-++=X S 6. 对于平稳过程)(t X ，若)()()(ττX R t X t X >=+<，以概率1成立，则称)(t X 的自相关函数具有各态历经性。 7.已知平稳过程)(t X 的谱密度为2 3)(2 42 ++=ωωωωS ，则)(t X 的均方值= 2 121- 222 2221 1221)2(22211122)(+??-+??=+-+= ωωωωωS ττ τ-- -=e e R X 2 12 1)(2 1、 已知X(t)和Y(t)是统计独立的平稳随机过程，且它们的均值分别为mx 和my ，它们的自 相关函数分别为Rx()和Ry()。（1）求Z(t)=X(t)Y(t)的自相关函数；（2）求Z(t)=X(t)+Y(t)的自相关函数。 答案： （1）[][])()()()()()()(t y t x t y t x E t z t z E R z ττττ++=+= [][] ) ()()()()()()()()(τττττy x z R R t y t y E t x t x E R t y t x =++== ：独立的性质和利用 （2）[]()()[])()()()()()()(t y t x t y t x E t z t z E R z +?+++=+=ττττ [])()()()()()()()(t y t y t x t y t y t x t x t x E ττττ+++++++= 仍然利用x(t)和y(t)互相独立的性质：)(2)()(τττy y x x z R m m R R ++= 2、 一个RC 低通滤波电路如下图所示。假定输入是均值为0、双边功率谱密度函数为n 0/2 的高斯白噪声。（1）求输出信号的自相关函数和功率谱密度函数；（2）求输出信号的一维概率密度函数。 答案： （1） 该系统的系统函数为RCs s X s Y s H +==11)()()( 则频率响应为Ω +=ΩjRC j H 11)( 而输入信号x(t)的功率谱密度函数为2 )(0n j P X =Ω 该系统是一个线性移不变系统，所以输出y(t)的功率谱密度函数为： ()2 20212/)()()(Ω+=ΩΩ=ΩRC n j H j P j P X Y 对)(Ωj P Y 求傅里叶反变换，就得到输出的自相关函数： ()??∞ ∞-Ω∞ ∞-ΩΩΩ+=ΩΩ=d e RC n d e j P R j j Y Y ττππτ22012/21)(21)( R C 电压：y(t) 电压：x(t) 电流：i(t) 《随机过程期末考试卷》 1 ?设随机变量X服从参数为■的泊松分布，则X的特征函数为 ___________ 。 2?设随机过程X(t)二Acos(「t+「),-：：vt<：：其中「为正常数，A和门是相互独立的随机变量，且A和“服从在区间10,1 1上的均匀分布，则X(t)的数学期望为。 3?强度为入的泊松过程的点间间距是相互独立的随机变量，且服从均值为_ 的同一指数分布。 4?设「W n ,n 一1是与泊松过程：X(t),t - 0?对应的一个等待时间序列，则W n服从分布。5?袋中放有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球，取后放回， r 对每一个确定的t对应随机变量x(t)=」3’如果t时取得红球，则这个随机过 e t, 如果t时取得白球 程的状态空间__________ 。 6 ?设马氏链的一步转移概率矩阵P=(p j)，n步转移矩阵P(n)=8(；))，二者之间的关系为。 7?设汉.，n -0?为马氏链，状态空间I，初始概率P i二P(X。二i)，绝对概率 P j(n)二P^X n二j?，n步转移概率p j n)，三者之间的关系为_____________ 。 8 .设｛X(t),t 一0｝是泊松过程，且对于任意t2t^ 0则 P{X ⑸= 6|X (3) = 4} = _______ t 9?更新方程K t二H t ? .°K t-s dF s解的一般形式为__________________ 。10?记二-EX n,对一切a 一0,当t—一：时，M t+a -M t > ____________ 3.设］X n,n — 0?为马尔科夫链，状态空间为I，则对任意整数n—0,仁I 《概率论与随机过程》第一章习题答案 1. 写出下列随机试验的样本空间。 （1） 记录一个小班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）。 解： ? ? ? ????=n n n n S 100,,1,0 ，其中n 为小班人数。 （2） 同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和。 解：{}18,,4,3 =S 。 （3） 10只产品中有3只是次品，每次从其中取一只（取出后不放回），直到将3只次品都取出， 记录抽取的次数。 解： {}10,,4,3 =S 。 （4） 生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。 解： {} ,11,10=S 。 （5） 一个小组有A ，B ，C ，D ，E5个人，要选正副小组长各一人（一个人不能兼二个职务）， 观察选举的结果。 解： {}ED EC EB EA DE DC DB DA CE CD CB CA BE BD BC BA AE AD AC AB S ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,=其 中，AB 表示A 为正组长，B 为副组长，余类推。 （6） 甲乙二人下棋一局，观察棋赛的结果。 解： {}210,,e e e S =其中，0e 为和棋，1e 为甲胜，2e 为乙胜。 （7） 一口袋中有许多红色、白色、蓝色乒乓球，在其中任意取4只，观察它们具有哪几种颜色。 解： {}rwb wb rb rw b w r S ,,,,,,=其中，,,,b w r 分别表示红色、白色、蓝色。 （8） 对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出 二个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。 解： {}1111,1110,1101,0111,1011,1010,1100,0110,0101,0100,100,00=S 其中，0为次品，1为正 品。 （9） 有A ，B ，C 三只盒子，a ，b ，c 三只球，将三只球装入三只盒子中，使每只盒子装一只球， 观察装球的情况。 解： {}Ca Bb Ac Cc Ba Ab Cb Bc Aa Cb Ba Ac Ca Bc Ab Cc Bb Aa S ,,;,,;,,;,,;,,;,,=其中，Aa 表示 球a 放在盒子A 中，余者类推。 （10） 测量一汽车通过给定点的速度。 解：{}0>=v v S （11） 将一尺之棰折成三段，观察各段的长度。 解： (){}1,0,0,0,,=++>>>=z y x z y x z y x S 其中，z y x ,,分别表示第一段，第二段，第三 段的长度。# 2. 设A ，B ，C 为三事件，用A ，B ，C 的运算关系表示下列事件。 （1） A 发生，B 与C 不发生。 解：C B A （2） A 与B 都发生，而C 不发生。 解： C AB （3） A ，B ，C 都发生。 解： ABC （4） A ， B ， C 中至少有一个发生。 解： C B A ?? （5） A ，B ，C 都不发生。 解： C B A （6） A ，B ，C 中至多有一个发生。 解： A C C B B A ?? （7） A ，B ，C 中至多有二个发生。 解： C B A ?? （8） A ，B ，C 中至少有二个发生。 解： CA BC AB ??. # 3. 设{}10,2,1, =S ,{}4,3,2=A ，{}5,4,3=B ，{}7,6,5=C ，具体写出下列各等式 （1）B A 。 解： {}5=B A ； （2）B A ?。 解： {}10,9,8,7,6,5,4,3,1=?B A ；中国科学大学随机过程(孙应飞)复习题及答案
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