高考数学复习专题四考点12《函数模型及其应用》练习题(含答案)
高考数学复习专题四考点12《函数模型及其应用》练习题
（含答案）
1.某种动物繁殖的数量y (只)与时间x (年)的关系为log2(1)y a x =+.设这种动物第1年有100只，到第7年它们发展到( ) A.300只
B.400只
C.500只
D.600只
2.四个物体同时从某一点出发向前运动，其路程()(1,2,3,4)i f x i =关于时间(1)x x >的函数关系是21()f x x =，2()2f x x =，32()log f x x =，4()2x f x =，如果它们一直运动下去，最终在最前面的物体具有的函数关系是( ) A.21()f x x =
B.2()2f x x =
C.32()log f x x =
D.4()2x f x =
3.科学家以里氏震级来度量地震的强度，若设I 为地震时所散发出来的相对能量程度，则里氏震级r 可定义为0.6lg r I =.若6.5级地震释放的相对能量为1I ，7.4级地震释放的相对能量为2I ，记2
1
I n I =，则n 约等于( ) A.16
B.20
C.32
D.90
4.溶液的酸碱度是通过pH 来刻画的，已知某溶液的pH 等于lg H +⎡⎤-⎣⎦，其中H +
⎡
⎤⎣⎦表示该溶液中氢离子的浓度，且该溶液中氢离子的浓度为610mol /L -，则该溶液的pH 为( ) A.4
B.5
C.6
D.7
5.某数学小组进行社会实践调查，了解到鑫鑫桶装水经营部在为如何定价而发愁.通过进一步调研了解到如下信息：该经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如下表： 销售单价/元 6
7
8
9
10
11
12
日均销售量/
桶
480
440
400
360
320
280
240
A.每桶8.5元
B.每桶9.5元
C.每桶10.5元
D.每桶11.5元
6.物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是0T ℃，经过一段时间t min 后的温度是T ℃，则()012t h
a a T T T T ⎛⎫
-=-⋅ ⎪⎝⎭
，其中a T （单位：℃）表示环境
温度，h （单位：min ）称为半衰期.现有一份88℃的热饮，放在24℃的房间中，如果热饮降温到40℃需要20 min ，那么降温到32℃时，需要的时间为( ) A.24 min
B.25 min
C.30 min
D.40 min
7.某家庭利用十一长假外出自驾游，为保证行车顺利，每次加油都把油箱加满，下表记录了该家庭用车相邻两次加油时的情况.
加油时间 加油量（升）
加油时的累计里程（千米）
2020年10月1日 12 32000 2020年10月6日
48
32600
在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为( ) A.6升
B.8升
C.10升
D.12升
8.某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%，若开始时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少
1
4
，要使产品达到市场要求，则至少应过滤的次数为（已知：lg20.3010≈，lg30.4771≈）( ) A.8
B.9
C.10
D.11
9.某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：万元）对年销售量y （单位：t ）的影响，对近6年的年宣传费i x 和年销售量(1,2,,6)i y i =进行整理，所
得数据如下表所示：
x 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00 y
1.65
2.20
2.60
2.76
2.90
3.10
A.0.5(1)y x =+
B.3log 1.5y x =+
C.21x y =-
D.y x =10.Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数()I t （t 的单位：天）的Logistic 模型：0.23(t 53)
()1e
I K t --=
+，其中K 为最大确诊病例数.当()
*0.95I t K =时，标志着已初步遏制疫
情，则*t 约为( )（ln19 2.9≈） A.60
B.63
C.66
D.69
11.某学校开展研究性学习活动，一组同学得到下面的试验数据：
x 1.99 3 4 5.1 8 y
0.99
1.58
2.01
2.35
3.00
①0.580.16y x =-； ②2 3.02x y =-； ③2 5.58y x x =-+；
④2log y x =.
请从中选择一个模拟函数，使它能近似地反映这些数据的规律，应选_________. 12.某商品一直打7折出售，利润率为47%，购物节期间，该商品恢复了原价，并参加了“买一件送同样一件”的活动，则此时的利润率为___________.(注：利润率=(销售价格-成本）)÷成本)
13.某新能源汽车公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2018年全年投入研发资金5300万元，在此基础上，以后每年投入的研发资金比上一年增长8%，则该公司全年投入的研发资金开始超过7000万元的年份是_______年.(参考数据：lg1.080.033≈，lg5.30.724≈，lg70.845≈)
14.把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是1θ℃，空气的温度是0θ℃，t min 后物体的温度()θ℃可由公式()0.24010e t θθθθ-=+-求得.把温度是100℃的物体，放在10℃的空气中冷却t min 后，物体的温度是40℃，那么t 的值约等于_______________.(保留三位有效数字，参考数据：ln3 1.099≈，ln20.693≈)
15.某工厂生产过程中产生的废气必须经过过滤后才能排放，已知在过滤过程中，废气中的污染物含量p （单位：毫克/升）与过滤时间t （单位：小时）之间的关系为0()e kt p t p -=（式中的e 为自然对数的底数，0p 为污染物的初始含量）.过滤1小时后检测，发现污染物的含量减少了15
.
（1）求函数关系式()p t ；
（2）要使污染物的含量不超过初始值的1
1000
，至少需过滤几个小时？（参考数据：lg20.3≈）
参考答案
1.答案：A
解析：由已知第1年有100只，得100a =.将100a =，7x =代入log2(1)y a x =+，得300y =.
2.答案：D
解析：由增长速度可知，当自变量充分大时，指数函数的值最大.故选D. 3.答案：C
解析：0.6lg r I =，53
10r I ∴=.当 6.5r =时，656110I =，当7.4r =时，373
210I =，
37653
2
36
21
101010101032I n I ∴==÷==.
4.答案：C
解析：由题意可得，该溶液的pH 为6lg106--=.故选C. 5.答案：D
解析：通过题中表格可知销售单价每增加1元，日均销售量减少40桶，设每桶水的价格为(6)x +元(0)x ≥，日利润为y 元，则
2(65)(48040)20040440480(0)y x x x x x =+---=-++≥， 400-<，∴当440
5.5240
x =
=⨯时y 有最大值， ∴每桶水的价格为11.5元时，日利润最大，故选D.
6.答案：C
解析：由题意，得2014024(8824)2h
⎛⎫
-=-⋅ ⎪⎝⎭，即201142h
⎛⎫= ⎪⎝⎭，解得10h =，所以
10
124(8824)2t
T ⎛⎫-=-⋅ ⎪⎝⎭，即10124642t T ⎛⎫
-=⋅ ⎪⎝⎭
，将32T =代入上式，得
10
13224642t ⎛⎫-=⋅ ⎪⎝⎭
，即101182t
⎛⎫= ⎪⎝⎭，解得30t =，所以需要30 min ，可降温到32℃，故选C.
7.答案：B
解析：由题表中的信息可知，2020年10月1日油箱加满了油，此时的累计里程为32000千米，到2020年10月6日，油箱加满油需要48升，说明这段时间的耗油量为48升，累计里程为32600千米，说明这段时间内汽车行驶了600千米， 则在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为48
86
=升.故选B. 8.答案：D
解析：设至少应过滤n 次，则23110041000n ⎛⎫≤⨯ ⎪⎝⎭，因此，31420n
⎛⎫ ⎪⎝⎭
≤， 则1
lg
lg 201lg 2
2010.4163lg3lg 42lg 2lg3lg 4
n -+≥=
=≈--，又*n ∈N ，所以11n ≥，即至少要过滤11次才能达到市场要求.故选D. 9.答案：B
解析：由题表知，当自变量每增加1个单位时，函数值依次增加055，0.40，0.16，0.14，0.20，因此A ，C 不符合题意；当x 取1，4时，2y x =的值分别为2，4，与题表中的数据相差较大，故选B. 10.答案：C 解析：()(
)
*
*0.2353
0.951e
t K I t K --=
=+，整理可得()
*0.2353
e
19t -=，两边取自然对数得
*0.23()ln192593.t =≈-，解得*66t ≈，故选C. 11.答案：④
解析：根据表格画出图象，由图分析增长速度的变化，可知试验数据符合对数函数模型，故选④.
12.答案：5%
解析：设商品的原价为x 元，成本为y 元，则0.7(10.47)x y =+， 2.1x y ∴=.若该商品参加“买一件送同样一件”的活动，则每件售价为0.50.5 2.1 1.05x y y =⨯=，利润率为1.0510.055%y
y
-==. 13.答案：2022
解析：设n 年开始超过7000万元，则20185300(18%)7000n -⨯+>，化为(2018)lg1.08lg7lg5.3n ->-，即lg7lg5.30.8450.724
2018 3.7lg1.080.033
n --->
≈≈.
则2022n =，因此开始超过7000万元的年份是2022年. 14.答案： 4.58
解析：由题意可得0.244010(10010)e t -=+-⋅，化简可得0.241e 3
t -=，1
0.24ln ln33t ∴-==-，
0.24ln3 1.099t ∴=≈， 4.58t ∴≈.
15.解析：（1）根据题意，得
004
e 5
k p p -=， 4e
5k
-∴=，04()5t
p t p ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭
. （2）由0041()51000t
p t p p ⎛⎫≤
= ⎪⎝⎭，得34105t
-⎛⎫
⎪≤⎝⎭
，两边取对数并整理得(13lg2)3t -≥，30t ∴≥.
因此，至少需过滤30个小时.
高考数学复习专题四考点12《函数模型及其应用》练习题(含答案)
高考数学复习专题四考点12《函数模型及其应用》练习题 （含答案） 1.某种动物繁殖的数量y (只)与时间x (年)的关系为log2(1)y a x =+.设这种动物第1年有100只，到第7年它们发展到( ) A.300只 B.400只 C.500只 D.600只 2.四个物体同时从某一点出发向前运动，其路程()(1,2,3,4)i f x i =关于时间(1)x x >的函数关系是21()f x x =，2()2f x x =，32()log f x x =，4()2x f x =，如果它们一直运动下去，最终在最前面的物体具有的函数关系是( ) A.21()f x x = B.2()2f x x = C.32()log f x x = D.4()2x f x = 3.科学家以里氏震级来度量地震的强度，若设I 为地震时所散发出来的相对能量程度，则里氏震级r 可定义为0.6lg r I =.若6.5级地震释放的相对能量为1I ，7.4级地震释放的相对能量为2I ，记2 1 I n I =，则n 约等于( ) A.16 B.20 C.32 D.90 4.溶液的酸碱度是通过pH 来刻画的，已知某溶液的pH 等于lg H +⎡⎤-⎣⎦，其中H + ⎡ ⎤⎣⎦表示该溶液中氢离子的浓度，且该溶液中氢离子的浓度为610mol /L -，则该溶液的pH 为( ) A.4 B.5 C.6 D.7 5.某数学小组进行社会实践调查，了解到鑫鑫桶装水经营部在为如何定价而发愁.通过进一步调研了解到如下信息：该经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如下表： 销售单价/元 6 7 8 9 10 11 12 日均销售量/ 桶 480 440 400 360 320 280 240 A.每桶8.5元 B.每桶9.5元 C.每桶10.5元 D.每桶11.5元 6.物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是0T ℃，经过一段时间t min 后的温度是T ℃，则()012t h a a T T T T ⎛⎫ -=-⋅ ⎪⎝⎭ ，其中a T （单位：℃）表示环境 温度，h （单位：min ）称为半衰期.现有一份88℃的热饮，放在24℃的房间中，如果热饮降温到40℃需要20 min ，那么降温到32℃时，需要的时间为( ) A.24 min B.25 min C.30 min D.40 min
高考数学一轮复习练习 数学建模——函数模型及其应用
数学建模——函数模型及其应用 基础巩固组 1.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1 L汽油行驶的里程,下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是() A.消耗1 L汽油,乙车最多可行驶5 km B.以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多 C.甲车以80 km/h的速度行驶1小时,消耗10 L汽油 D.某城市机动车最高限速80 km/h,相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油 2.某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系是y=3 000+20x-0.1x2(0 考点12 函数模型及其应用 1．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1 L 汽油行驶的里程，图X2-14-1描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是( ) 图X2-14-1 A ．消耗1 L 汽油，乙车最多可行驶5 km B ．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多 C ．甲车以80 km/h 的速度行驶1 h ，消耗10 L 汽油 D ．某城市机动车最高限速80 km/h. 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油 【答案】D 2．某汽车销售公司在A ，B 两地销售同一种品牌车，在A 地的销售利润(单位：万元)为y 1＝4.1x －0.1x 2 ，在B 地的销售利润(单位：万元)为y 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)．若该公司在两地共销售16辆这种品牌车，则能获得的最大利润是( ) A ．10.5万元 B ．11万元 C ．43万元 D ．43.025万元 【答案】C 【解析】设在A 地销售x 辆汽车，则在B 地销售(16－x )辆汽车，∴总利润y ＝4.1x －0.1x 2 ＋2(16－x )＝－0.1x 2 ＋2.1x ＋32＝－0.1? ????x －2122 ＋0.1×212 4＋32.∵x ∈[0,16]，且x ∈N ，∴当x ＝10或11时，总利润y max ＝43(万元)． 3．某工厂产生的废气经过过滤后排放，在过滤过程中，污染物的数量p (单位：毫克/升)不断减少，已知p 与时间t (单位：小时)满足p (t )＝p 02 － t 30 ，其中p 0为t ＝0时的污染物数量．又测得当t ∈[0,30]时，污染物 数量的变化率是－10ln 2，则p (60)＝( ) A ．150毫克/升 B ．300毫克/升 课时达标检测（十三） 函数模型及应用 1．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是( ) 解析：选C 出发时距学校最远，先排除A ，中途堵塞停留，距离没变，再排除D ，堵塞停留后比原来骑得快，因此排除B. 2．某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况. 加油时间 加油量(升) 加油时的累计里程(千米) 2015年5月1日 12 35 000 2015年5月15日 48 35 600 注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程． 在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为( ) A ．6升 B ．8升 C ．10升 D ．12升 解析：选B 因为每次都把油箱加满，第二次加了48升油，说明这段时间总耗油量为48升，而行驶的路程为35 600－35 000＝600(千米)，故每100千米平均耗油量为48÷6＝8(升)． 3．已知某矩形广场的面积为4万平方米，则其周长至少为( ) A ．800米 B ．900米 C ．1 000米 D ．1 200米 解析：选A 设这个广场的长为x 米，则宽为40 000x 米，所以其周长为l ＝2⎝ ⎛⎭ ⎪⎫x ＋40 000x ≥800，当且仅当x ＝40 000x ，即x ＝200时取等号． 4．(2016·安阳一模)某类产品按工艺共分10个档次，最低档次产品每件利润为8元．每提高一个档次，每件利润增加2元．用同样工时，可以生产最低档次产品60件，每提高一个档次将少生产3件产品，则每天获得利润最大时生产产品的档次是( ) A ．7 B ．8 C ．9 D ．10 解析：选C 由题意，当生产第k 档次的产品时，每天可获得利润为y ＝＝－6k 2＋108k ＋378(1≤k ≤10，k ∈N)，配方可得y ＝－6(k －9)2 ＋864，所以当k ＝9时，获得利润最大．选 C. 考点12 函数模型及其应用 1、某市生产总值连续两年持续增加．第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为( ) A.p ＋q 2 B ．（p ＋1）（q ＋1）－12 C.pq D ．（p ＋1）（q ＋1）－1 【答案】D 【解析】设第一年年初生产总值为1，则这两年的生产总值为(p ＋1)(q ＋1)．设这两年生产总值的年平均增长率为x ，则(1＋x )2＝(p ＋1)(q ＋1)，解得x ＝（p ＋1）（q ＋1）－1，故选D. 2、在标准温度和大气压下，人体血液中氢离子的物质的量的浓度(单位m ol/L ，记作[H ＋ ])和氢氧根离子的物质的量的浓度(单位m ol/L ，记作[OH － ])的乘积等于常数10 －14 .已知p H 值的定义为pH ＝－lg [H ＋ ]，健康人体 血液的p H 值保持在7.35～7.45之间，那么健康人体血液中的[H ＋ ] [OH －]可以为(参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48)( ) A.12 B ．1 3 C ．16 D ．110 【答案】C 【解析】∵[H ＋ ]·[OH － ]＝10－14 ，∴[H ＋ ][OH －] ＝[H ＋]2× 1014，∵7.35<－lg [H ＋ ]<7.45， ∴10 －7.45 <[H ＋]<10 －7.35 ，∴10 －0.9 <[H ＋ ][OH －] ＝1014·[H ＋]2<10－0.7，10－0.9＝1100.9>110，lg(100.7)＝0.7>lg 3>lg 2，∴100.7 >3>2，10 －0.7 <13<12，∴110<[H ＋ ][OH －]<1 3 .故选C. 3、一水池有两个进水口，一个出水口，每个水口的进、出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示． 给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水，则一定正确的是( ) A ．① B ．①② C ．①③ D ．①②③ 2023高考数学二轮复习专项训练《函数模型及其应用》 一 、单选题（本大题共12小题，共60分） 1.（5分）某市出租车按如下方法收费：起步价7元，可行3公里(不含3公里)；3公里到7公里(不含7公里)按1.6元/公里计价；7公里以后按 2.2元/公里计价，到目的地结算时，还需付1元的燃油附加费.若从甲地坐出租车到乙地(路程为12.2公里)，共需付车费(精确到1元)( ) A. 28元 B. 27元 C. 26元 D. 25元 2.（5分）若函数f(x)={−x 2+(2+k)x(x ⩽3), (2k −1)x +k(x >3)在R 上为增函数，则实数k 的取值范围 为( ) A. (1 2,+∞) B. [0,4] C. [4,+∞) D. [1,8] 3.（5分）已知A 、B 是函数f(x)={e x−2a (x ⩾a) f(2a −x)(x 高考数学函数及其应用专题训练100题含答案 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．若幂函数 的图象经过点 ，则它在 点处的切线方程为 A ． B ． C ． D ． 2．已知函数()1cos ,,2222f x x x x πππ⎛⎫⎡⎤ =++∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ ，则()f x 的极大值点为（ ） A ．3 π - B ．6 π- C ．6 π D ． 3 π 3．如图，已知()32()0,f x ax bx cx d a =+++≠记()2 43,b ac ∆=-则当 00()a f x ∆≤>且时，的大致图象为（ ） A ． B ． C ． D ． 4．在曲线2y x 上切线的倾斜角为 4 π 的点是（ ） A ．（0，0） B ．（2，4） C ．11,416⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．11,24⎛⎫ ⎪⎝⎭ 5．若曲线()ln y x a =+与1y x =+相切，则实数=a （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 6．已知函数()f x 是定义在R 上的图象不间断的函数，其导函数()'f x 的图象如图所示，则()f x 的极值点的个数为 A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个 7．已知函数()ln f x x x a =+在点()()1,1f 处的切线经过原点，则实数a （ ） A ．1- B ．0 C ．1e D ．1 8．已知函数()y f x =在定义域[]4,6-内可导，其图象如下图，记()y f x =的导函数为 ()y f x '=，则不等式()0f x '≤的解集为（ ） A ．411,1,633⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ B ．7[3,0],53⎡⎤ -⋃⎢⎥⎣⎦ C ．474,1,33⎡ ⎤⎡⎤--⋃⎢⎥⎢⎥⎣ ⎦⎣⎦ D ．[4,3][0,1][5,6]--⋃⋃ 9．设曲线在点 处切线斜率为3，则点 的坐标为 A ．（0，-2） B ．（1,0） C ．（0,0） D ．（1,1） 10．曲线()1e x y x =-在1x =处的切线方程为（ ） A ．0ex y e --= B ．0e e x+y -= C ．10e x y +-= D ．10e x y -=- 11．已知二次函数()y f x =及其导函数()'y f x =的图象如图所示，则函数()f x =（ ） 高一数学《函数模型及其应用》练习题及答案1.某公司为了适应市场需求，对产品构造做了重大调整.调整后初期利润增长快速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与产量x的关系，则可选用() A.一次函数 B.二次函数 C.指数型函数 D.对数型函数 解析：选D.一次函数保持匀称的增长，不符合题意; 二次函数在对称轴的两侧有增也有降; 而指数函数是爆炸式增长，不符合“增长越来越慢”; 因此，只有对数函数最符合题意，先快速增长，后来越来越慢. 2.某种植物生长发育的数量y与时间x的关系如下表： x123… y138… 则下面的函数关系式中，能表达这种关系的是() A.y=2x-1 B.y=x2-1 C.y=2x-1 D.y=1.5x2-2.5x+2 解析：选D.画散点图或代入数值，选择拟合效果的函数，应选D. 3.如图表示一位骑自行车者和一位骑摩托车者在相距80km的两城镇间旅行的函数图象，由图可知：骑自行车者用了6小时，沿途休息了1 小时，骑摩托车者用了2小时，依据这个函数图象，推出关于这两个旅行者的如下信息： ①骑自行车者比骑摩托车者早动身了3小时，晚到1小时; ②骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动; ③骑摩托车者在动身了1.5小时后，追上了骑自行车者. 其中正确信息的序号是() A.①②③ B.①③ C.②③ D.①② 解析：选A.由图象可得：①骑自行车者比骑摩托车者早动身了3小时，晚到1小时，正确;②骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动，正确;③骑摩托车者在动身了1.5小时后，追上了骑自行车者，正确. 4.长为4，宽为3的矩形，当长增加x，且宽削减x2时面积，此时x=________，面积S=________. 解析：依题意得：S=(4+x)(3-x2)=-12x2+x+12 =-12(x-1)2+1212，∴当x=1时，Smax=1212. 答案：1 1212 高中数学函数及其应用专题训练100题含答案 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．一种新型电子产品计划投产两年后，使成本降36%，那么平均每年应降低成本（ ） A ．18% B ．20% C ．24% D ．36% 2．函数2231y x x =-+的零点是（ ） A ．()1,0,1,02⎛⎫ -- ⎪⎝⎭ B ．1,12 - C ．()1,0,1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．1,12 3．已知甲、乙两种商品在过去一段时间内的价格走势如图所示.假设某商人持有资金120万元，他可以在t 1至t 4的任意时刻买卖这两种商品，且买卖能够立即成交(其他费用忽略不计).如果他在t 4时刻卖出所有商品，那么他将获得的最大利润是（ ） A ．40万元 B ．60万元 C ．80万元 D ．120万元 4．函数21 ()log f x x x =-的零点所在区间（ ） A ．(1,2) B ．(2,3) C ．1 (0,)2 D ．1(2 ，1) 5．定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )，且在区间[2，4)上2,23 ()4,34x x f x x x -≤<⎧=⎨ -≤<⎩则函数5()log y f x x =-的零点的个数为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 6．方程2log 2x x +=的解所在的区间为（ ） A ．(0.5,1) B ．(1,1.5) C ．(1.5,2) D ．(2,2.5) 7．在自然界中，某种植物生长发育的数量y 与时间x 的关系如下表所示： 高中数学函数模型及其应用练习题(含答案) 高中数学函数模型及其应用练习题(含答案) 数学必修1(苏教版) 2．6 函数模型及其应用 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售量，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件，于是商场经理决定每件衬衫降价15元，经理的决定正确吗？ 基础巩固 1．某商场售出两台取暖器，第一台提价20%以后按960卖出，第二台降价20%以后按960元卖出，这两台取暖器卖出后，该商场() A．不赚不亏 B．赚了80元 C．亏了80元 D．赚了160元 解析：960＋960－9601＋20%－9601－20%＝－80. 答案：C 2．用一根长12 m的铁丝折成一个矩形的铁框架，则能折成的框架的最大面积是__________． 解析：设矩形长为x m，则宽为12(12－2x) m，用面积公式可得S的最大值． 答案：9 m2 3．在x g a%的盐水中，加入y g b%的盐水，浓度变为c%， 答案：a(1－b%)n 7．某供电公司为了合理分配电力，采用分段计算电费政策，月用电量x(度)与相应电费y(元)之间的函数关系的图象如下图所示． (1)填空：月用电量为100度时，应交电费______元； (2)当x100时，y与x之间的函数关系式为__________； (3)月用电量为260度时，应交电费__________元． 解析：由图可知：y与x之间是一次函数关系，用待定系数法可求解析式． 答案：(1)60 (2)y＝12x＋10 (3)140 8．为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”．计费方法如下表： 每户每月用水量水价 不超过12 m3的部分 3元/m3 超过12 m3但不超过18 m3的部分 6元/m3 超过18 m3的部分 9元/m3 若某户居民本月交纳的水费为48元，则此户居民本月用水量为__________m3. 解析：设每户每月用水量为x，水价为y元，则 y＝3x，012，36＋x－126，1218，36＋36＋x－189，x＞18，即y＝3x，012，6x－36，1218，9x－90，x18. 班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________ (满分100分，测试时间50分钟) 一、填空题：请把答案直接填写在答题卡相应的位置 ．．．．．．．．上(共10题，每小题6分，共计60分)． 1. 在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为________m. 【答案】20 2.如果在今后若干年内，我国国民经济生产总值都控制在平均每年增长9%的水平，那么要达到国民经济生产总值比1995年翻两番的年份大约是________． (lg2＝0.301 0，lg3＝0.477 1，lg109＝2.037 4，lg0.09＝－2.954 3) 【答案】2019年 【解析】设1995年总值为a，经过x年翻两番，则a·(1＋9%)x＝4a.∴x＝2lg2 lg1.09 ≈16. 3. 给出下列函数模型：①一次函数模型；②幂函数模型；③指数函数模型；④对数函数模型.下表是函数值y随自变量x变化的一组数据，它最可能的函数模型是________(填序号). x 45678910 y 15171921232527 【答案】① 【解析】根据已知数据可知，自变量每增加1函数值增加2，因此函数值的增量是均匀的，故为一次函数模型. 4.一个容器装有细沙a cm3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min后剩余的细沙量为y＝a e－bt(cm3)，若经过8 min后发现容器内还有一半的沙子，则再经过________min，容器中的沙子只有开始时的八分之一． 【答案】16 5.为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)成正比；药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式y ＝(116 )t －a (a 为常数)，如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题： (1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)之间的函数关系式为__________________________． (2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过________小时后，学生才能回到教室． 【答案】(1)y ＝⎩⎪⎨⎪ ⎧ 10t ，0≤t ≤0.1，116 t －0.1 ，t >0.1 (2)0.6 【解析】(1)设y ＝kt ，由图像知y ＝kt 过点(0.1,1)，则 1＝k ×0.1，k ＝10，∴y ＝10t (0≤t ≤0.1)． 由y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫116t －a 过点(0.1,1)，得1＝⎝ ⎛⎭ ⎪ ⎫1160.1－a ，解得 a ＝0.1，∴y ＝⎝ ⎛⎭ ⎪⎫116 t －0.1(t >0.1)． (2)由⎝ ⎛⎭ ⎪ ⎫116t －0.1≤0.25＝14，得t ≥0.6. 故至少需经过0.6小时学生才能回到教室． 6.某工厂产生的废气经过过滤后排放，排放时污染物的含量不得超过1%.已知在过滤过程中废气中的污染物数量P (单位：mg/L)与过滤时间t (单位：h)之间的函数关系为P ＝P 0e －kt (k ，P 0均为正的常数)．如果在前5个小时的过滤过程中污染物被排除了90%，那么至少还需过滤 才可以排放． 课时作业(十二)第12讲函数模型及其应用时间/45分钟分值/100分 基础热身 1.下列函数中,随x的增大,y的增大速度最快的是() A.y=1000×2x B.y=1000log2x C.y=x1000 D.y=1000×(3 2) x 2.用长度为24米的材料围成一矩形场地,中间加两道隔墙,要使矩形的面积最大,则隔墙的长度为() A.8米 B.6米 C.4米 D.3米 3.在某个物理实验中,测量得到变量x和变量y的几组数据如下表: x0.500.992.013.98 y-0.990.010.982.00 则对x,y最适合的拟合函数是() A.y=2x B.y=x2-1 C.y=log2x D.y=2x-2 4.某市出租车的车费计算方法如下:路程在3 km以内(含3 km)为8元,达到3 km后,每增加1 km加收1.4元,达到8 km后,每增加1 km加收2.1元,增加不足1 km按四舍五入计算.若某乘客乘坐该市出租车交了44.4元车费,则该乘客乘坐出租车行驶的路程可以是() A.22 km B.24 km C.26 km D.28 km 5.拟定甲、乙两地通话m分钟的电话费(单位:元)由f(m)=1.06×(0.5×[m]+1)给出,其中m>0,[m]是不超过m的最大整数(如[3]=3,[3.9]=3,[3.01]=3),则甲、乙两地通话 6.5分钟的电话费为元. 能力提升 6.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题:发仓募粮,所募粒中秕不百三则收之(不超过3%).现抽样取米一把,取得235粒米中夹秕n粒,若这批米合格,则n不超过() A.6 B.7 C.8 D.9 7.我国某部门为尽快稳定菜价,提出四种绿色运输方案.据预测,这四种方案均能在规定的时间T内完成预测的运输任务Q0,各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如图K12-1所示,在这四种方案中,运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是() A B C 课后限时集训（十二）函数模型及其应用 （建议用时：60分钟) A组基础达标 一、选择题 1．某新产品投放市场后第一个月销售100台,第二个月销售200台,第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场的月数x之间关系的是（) A．y＝100x B．y＝50x2－50x＋100 C．y＝50×2x D．y＝100log2x＋100 C［根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知，应为指数函数模型．故选C.] 2．某市生产总值连续两年持续增加．第一年的增长率为p，第二年的增长率为q,则该市这两年生产总值的年平均增长率为（）A。错误!B．错误! C。错误!D．错误!－1 D[设年平均增长率为x，原生产总值为a，则a（1＋p）(1＋q)＝a（1＋x）2,解得x＝1＋p1＋q－1，故选D．] 3．（2017·北京高考）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上 限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与错误!最接近的是（参考数据:lg 3≈0。48）（) A．1033B．1053 C．1073D．1093 D[由题意，lg 错误!＝lg 错误!＝lg 3361－lg 1080＝361lg 3－80lg 10≈361×0.48－80×1＝93.28。 又lg 1033＝33,lg 1053＝53，lg 1073＝73，lg 1093＝93, 故与错误!最接近的是1093。 故选D．] 4．血药浓度(Pl a sm a Concen t r at ion）是指药物吸收后在血浆内的总浓度．药物在人体内发挥治疗作用时，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间．已知成人单次服用1单位某药物后，体内血药浓度及相关信息如图所示． 根据图中提供的信息，下列关于成人使用该药物的说法中不正确的是（) A．首次服用该药物1单位约10分钟后,药物发挥治疗作用 12函数模型及其应用 1.七类常见函数模型 (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型． (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型． (3)解模：求解数学模型，得出数学结论． (4)还原：将数学问题还原为实际问题． 以上过程用框图表示如下： 4.判断函数图象与实际问题中两变量变化过程相吻合的两种方法 (1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象． (2)验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案． 5．解函数应用题的一般步骤 第一步：(审题)弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系； 第二步：(建模)将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型； 第三步：(解模)求解数学模型，得到数学结论； 第四步：(还原)将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义； 第五步：(反思)对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性． 2．建模的基本原则 (1)在实际问题中，若两个变量之间的关系是直线上升或直线下降或图象为直线(或其一部分)，一般构建一次函数模型，利用一次函数的图象与性质求解． (2)实际问题中的如面积问题、利润问题、产量问题或其图象为抛物线(或抛物线的一部分)等一般选用二次函数模型，根据已知条件确定二次函数解析式．结合二次函数的图象、最值求法、单调性、零点等知识将实际问题解决． (3)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车计价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解． 1.描点法作图：当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出. 2.图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响. 3.抓住函数的性质，定性分析： (1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置； (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从周期性，判断图象的循环往复； (4)从函数的奇偶性，判断图象的对称性. 4.抓住函数的特征，定量计算：从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题. 5.利用函数的图象研究函数的性质 对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数，其性质(单调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)常借助于图象研究，但一定要注意性质与图象特征的对应关系. 6.利用函数的图象可解决某些方程和不等式的求解问题，方程f(x)＝g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图象交点的横坐标；不等式f(x) 考点12 函数模型及其应用 1．某地一企创电商最近两年的“双十一”当天的销售额连续增加，其中2016年的增长率为，2017年的增长率为，则该电商这两年的“双十一”当天销售额的平均增长率为（） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 设该电商这两年的“双十一”当天销售额的平均增长率为x，则 ，选D. 2．为更好实施乡村振兴战略，加强村民对本村事务的参与和监督，根据《村委会组织法》，某乡镇准备在各村推选村民代表．规定各村每户推选人，当全村户数除以所得的余数大于时再增加人．那么，各村可推选的人数与该村户数之间的函数关系用取整函数（表示不大于的最大整数）可以表示为（） A． B． C． D． 【答案】B 3．如图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度随时间变化的可能图象是( ) A． B． . C． D． 【答案】C 【解析】由题,该容器为漏斗形几何体,所以水面高度随时间的变化为先慢后快,再快最后慢的情况变化，如选项C的情况。故选C。 4．“今有垣厚七尺八寸七有五，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日半尺，大鼠日增倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”，意思是“今有土墙厚7.875尺，两鼠从墙两侧同时打洞，大鼠第一天打洞一尺，小鼠第一天打洞半尺，大鼠之后每天打洞长度比前一天多一倍，小鼠之后每天打洞长度是前一天的一半，问两鼠几天打通相逢？”两鼠相逢需要的天数为（） A． 2 B． 3 C． 4 D． 5 【答案】B 所以每天打洞的长度为 由题意，可解得，所以选B 5．某市一家商场的新年最高促销奖设立了三种领奖方式，这三种领奖方式如下： 方式一：每天到该商场领取奖品，价值为40元； 方式二：第一天领取的奖品的价值为10元，以后每天比前一天多10元； 函数模型及其应用〔填空题：容易〕 1、某电视台应某企业之约播放两套连续剧.连续剧甲每次播放时间为80分钟,其中广告时间为1分钟, 收视观众为60万；连续剧乙每次播放时间为40分钟,其中广告时间为1分钟,收视观众为20万.假设企 业与电视台达成协议,要求电视台每周至少播放6分钟广告,而电视台每周只能为该企业提供不多于320分钟的节目时间.那么该电视台每周按要求并合理安排两套连续剧的播放次数,可使收视观众的最大人数 为_______ x 2、长为6米、宽为4米的矩形,当长增加工米,且宽减少2米时面积最大,此时宽减少了米, 面积取得了最大值. 3、某医院用甲、乙两种原材料为手术后病人配制营养餐,甲种原料每克含蛋白质5个单位和维生素C 10 个单位,售价2元；乙种原料每克含蛋白质6个单位和维生素 C 20个单位,售价3元；假设病人每餐至少需 蛋白质50个单位、维生素 C 140个单位,在满足营养要求的情况下最省的费用为 4、〔10分〕某单位准备印制一批证书,现有两个印刷厂可供选择,甲厂费用分为制版费和印刷费两部 分,先收取固定的制版费,再按印刷数量收取印刷费；乙厂直接按印刷数量收取印刷费.甲厂的总费用y1〔千元〕、乙厂的总费用y2 〔千元〕与印制证书数量x 〔千个〕的函数关系图分别如图中甲、乙所示. it f于元〕 .1234567B9 * 〔l〕甲厂的制版费为千元,印刷费为平均每个—元,甲厂的费用y i与证书数量x之间的函数关系 为, 〔2〕当印制证书数量不超过2千个时,乙厂的印刷费为平均每个元； 〔3〕当印制证书数量超过2千个时,求乙厂的总费用与证书数量x之间的函数关系式为 ; 〔4〕假设该单位需印制证书数量为8千个,该单位应选择哪个厂更节省费用？请说明理由2019年领军高考数学二轮复习专题12函数模型及其应用考点必练理
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