全国各地高考理科数学压轴题汇总
20XX年全国各地高考数学压轴题汇总
23【2013上海理科】．
23．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分．
给定常数c＞0，定义函数f(x)＝2|x＋c＋4|－|x＋c|.数列a1，a2，a2，…满足a n＋1＝f(a n)，n∈N*.
(1)若a1＝－c－2，求a2及a3；
(2)求证：对任意n∈N*，a n＋1－a n≥c；
(3)是否存在a1，使得a1，a2，…，a n，…成等差数列？若存在，求出所有这样的a1；若不存在，说明理由．
23．
解：(1)a2＝2，a3＝c＋10.
(2)f(x)＝
8,,
338,4,
8, 4.
x c x c
x c c x c
x c x c
++≥-
?
?
++--≤<-?
?---<--
?
当a n≥－c时，a n＋1－a n＝c＋8＞c；
当－c－4≤a n＜－c时，a n＋1－a n＝2a n＋3c＋8≥2(－c－4)＋3c＋8＝c；
当a n＜－c－4时，a n＋1－a n＝－2a n－c－8＞－2(－c－4)－c－8＝c.
所以，对任意n∈N*，a n＋1－a n≥c.
(3)由(2)，结合c＞0，得a n＋1＞a n，即{a n}为无穷递增数列．
又{a n}为等差数列，所以存在正数M，当n＞M时，a n≥－c，
从而，a n＋1＝f(a n)＝a n＋c＋8.
由于{a n}为等差数列，因此其公差d＝c＋8.
①若a1＜－c－4，则a2＝f(a1)＝－a1－c－8，
又a2＝a1＋d＝a1＋c＋8，故－a1－c－8＝a1＋c＋8，即a1＝－c－8，从而a2＝0. 当n≥2时，由于{a n}为递增数列，故a n≥a2＝0＞－c，
所以，a n＋1＝f(a n)＝a n＋c＋8，而a2＝a1＋c＋8，
故当a1＝－c－8时，{a n}为无穷等差数列，符合要求；
②若－c－4≤a1＜－c，则a2＝f(a1)＝3a1＋3c＋8，
又a2＝a1＋d＝a1＋c＋8，
所以，3a1＋3c＋8＝a1＋c＋8，得a1＝－c，舍去；
③若a1≥－c，则由a n≥a1得到a n＋1＝f(a n)＝a n＋c＋8，
从而{a n}为无穷等差数列，符合要求．
综上，a1的取值集合为[－c，＋∞)∪{－c－8}．
【2013新课标2】
（21）（本小题满分12分）
已知函数f(x)=e x-ln(x+m)
(Ι)设x=0是f(x)的极值点，求m,并讨论f(x)的单调性；
（Ⅱ）当m≤2时，证明f(x)>0
【解析】考查导数求单调性、最值、构建函数与不等式综合应用。
【2013新课标1理科】
21.（本小题满分共12分）已知函数()f x ＝2
x ax b ++，()g x ＝()x
e cx d +，若曲线
()y f x =和曲线()y g x =都过点P(0，2)，且在点P 处有相同的切线42y x =+
（Ⅰ）求a ，b ，c ，d 的值；（Ⅱ）若x ≥－2时，()f x ≤()kg x ，求k 的取值范围。
21．【解析】（Ⅰ）由已知得
(0)2,(0)2,(0)4,(0)4f g f g ''====，
而
()f x '=2x b +，()g x '=()x e cx d c ++，∴a =4，b =2，c =2，d =2；……4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
2()42f x x x =++，()2(1)x g x e x =+，
设函数()F x =()()kg x f x -=22(1)42x ke x x x +---（2x ≥-），
()F x '=2(2)24x ke x x +--=2(2)(1)x x ke +-，
有题设可得(0)F ≥0，即1k ≥， 令()F x '=0得，1x =ln k -，2x =－2， （1）若21k
e ≤<，则－2＜1x ≤0，∴当1(2,)x x ∈-时，()F x ＜0，当1(,)x x ∈+∞时，()
F x ＞0，即()F x 在1(2,)x -单调递减，在1(,)x +∞单调递增，故()F x 在x =1x 取最小值1()F x ，而1()F x =2
1112242x x x +---=11(2)x x -+≥0， ∴当x ≥－2时，()F x ≥0，即()f x ≤()kg x 恒成立， (2)若2k
e =，则()F x '=222(2)()x e x e e +-，
∴当x ≥－2时，()F x '≥0，∴()F x 在(－2,+∞)单调递增，而(2)F -=0， ∴当x ≥－2时，()F x ≥0，即()f x ≤()kg x 恒成立， (3)若2k
e >，则(2)F -=222ke --+=222()e k e ---＜0，
∴当x ≥－2时，()f x ≤()kg x 不可能恒成立， 综上所述，k 的取值范围为[1,2
e ].
【2013湖南理科】
22．(2013湖南，理22)(本小题满分13分)已知a ＞0，函数f (x )＝
2x a
x a
-+.
(1)记f (x )在区间[0,4]上的最大值为g (a )，求g (a )的表达式；
(2)是否存在a ，使函数y ＝f (x )在区间(0,4)内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直？若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理由． 22．解：(1)当0≤x ≤a 时，f (x )＝2a x
x a
-+；
当x ＞a 时，f (x )＝
2x a
x a
-+.
因此，当x ∈(0，a )时，f ′(x )＝
232a
x a -(+)＜0，f (x )在(0，a )上单调递减；
当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )＝2
32a
x a (+)＞0，f (x )在(a ，＋∞)上单调递增．
①若a ≥4，则f (x )在(0,4)上单调递减，g (a )＝f (0)＝1
2
.
②若0＜a ＜4，则f (x )在(0，a )上单调递减，在(a,4)上单调递增． 所以g (a )＝max{f (0)，f (4)}．
而f (0)－f (4)＝
141
2422a a a a
---=
++， 故当0＜a ≤1时，g (a )＝f (4)＝442a
a -+；
当1＜a ＜4时，g (a )＝f (0)＝1
2
.
综上所述，g (a )＝4,01,421, 1.2
a
a a
a -?<≤??+??>??
(2)由(1)知，当a ≥4时，f (x )在(0,4)上单调递减，故不满足要求．
当0＜a ＜4时，f (x )在(0，a )上单调递减，在(a,4)上单调递增．
若存在x 1，x 2∈(0,4)(x 1＜x 2)，使曲线y ＝f (x )在(x 1，f (x 1))，(x 2，f (x 2))两点处的切线互相垂直，
则x 1∈(0，a )，x 2∈(a,4)，且f ′(x 1)·f ′(x 2)＝－1，
即
22
1233122a a
x a x a -?=-(+)(+)
. 亦即x 1＋2a ＝232a
x a
+.(*)
由x 1∈(0，a )，x 2∈(a,4)得x 1＋2a ∈(2a,3a )，
2
32a x a +∈3,142a a ??
?+??
. 故(*)成立等价于集合A ＝{x |2a ＜x ＜3a }与集合B ＝3142a x
x a ?
?
<
的交集非空．
因为342a a +＜3a ，所以当且仅当0＜2a ＜1，即0＜a ＜12
时，A ∩B ≠?.
综上所述，存在a 使函数f (x )在区间(0,4)内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直，且a 的取值范围是10,2?? ???
.
【2013安徽理科】 （20）（本小题满分13分）
设函数22222()1(,)23n n
n x x x f x x x R n N n
=-+++++∈∈K ，证明：
（Ⅰ）对每个n
n N ∈，存在唯一的2[,1]3
n x ∈，满足()0n n f x =；
（Ⅱ）对任意n
p N ∈，由（Ⅰ）中n x 构成的数列{}n x 满足10n n p x x n
+<-<
证明：(1)对每个n ∈N *，当x ＞0时，f ′n (x )＝1
1+2n x x
n
-++L ＞0，故f n (x )在(0，＋∞)
内单调递增．
由于f 1(1)＝0，当n ≥2时，f n (1)＝
222
111
23n
+++L ＞0，故f n (1)≥0. 又2222221121131 ()3334334k
k n n n k k f k ==??
?????=-++≤-+=-+ ???
∑∑·
2
11
2213312023313
n n --??
????-?? ? ???
????????=-?< ???-，
所以存在唯一的x n ∈2,13??
????
，满足f n (x n )＝0.
(2)当x ＞0时，f n ＋1(x )＝f n (x )＋1
2
1n x n +(+)＞f n (x )，故f n ＋1(x n )＞f n (x n )＝f n ＋1(x n ＋1)＝0. 由f n ＋1(x )在(0，＋∞)内单调递增知，x n ＋1＜x n ，故{x n }为单调递减数列， 从而对任意n ，p ∈N *，x n ＋p ＜x n . 对任意p ∈N *，
由于f n (x n )＝222102n
n n n x x x n -++++=L ，①
f n ＋p (x n ＋p )＝212222
1+021n n n p
n p n p n p n p n p x x x x x n n n p ++++++-++++++=(+)(+)
L L ＋.② ①式减去②式并移项，利用0＜x n ＋p ＜x n ≤1，
得x n －x n ＋p ＝222211k k
k
k
n p
n p
n
n p n n p n p k k n k n x x x x k k k
+++++==+=+-+≤∑
∑∑ 21111(1)
n p n p
k n k n k k k ++=+=+≤<-∑∑111n n p n =-<+.
因此，对任意p ∈N *，都有0＜x n －x n ＋p ＜1
n
.
20、（本小题满分16分）【2013江苏】
设函数ax x x f -=ln )(，ax e x g x
-=)(，其中a 为实数。
（1）若)(x f 在),1(+∞上是单调减函数，且)(x g 在),1(+∞上有最小值，求a 的取值范围； （2）若)(x g 在),1(+∞-上是单调增函数，试求)(x f 的零点个数，并证明你的结论。 20．解：(1)令f ′(x )＝
11ax
a x x
--=
＜0，考虑到f (x )的定义域为(0，＋∞)，故a ＞0，进而解得x ＞a －1
，即f (x )在(a －1
，＋∞)上是单调减函数．同理，f (x )在(0，a －1
)上是单调
增函数．由于f (x )在(1，＋∞)上是单调减函数，故(1，＋∞)?(a －1，＋∞)，从而a －1
≤1，
即a ≥1.令g ′(x )＝e x
－a ＝0，得x ＝ln a ．当x ＜ln a 时，g ′(x )＜0；当x ＞ln a 时，g ′(x )＞0.又g (x )在(1，＋∞)上有最小值，所以ln a ＞1，即a ＞e. 综上，有a ∈(e ，＋∞)．
(2)当a ≤0时，g (x )必为单调增函数；当a ＞0时，令g ′(x )＝e x －a ＞0，解得a ＜e x
，即x ＞ln a .
因为g (x )在(－1，＋∞)上是单调增函数，类似(1)有ln a ≤－1，即0＜a ≤e －1
.
结合上述两种情况，有a ≤e －1
. ①当a ＝0时，由f (1)＝0以及f ′(x )＝
1
x
＞0，得f (x )存在唯一的零点； ②当a ＜0时，由于f (e a
)＝a －a e a
＝a (1－e a
)＜0，f (1)＝－a ＞0，且函数f (x )在[e a,
1]上的
图象不间断，所以f (x )在(e a,
1)上存在零点． 另外，当x ＞0时，f ′(x )＝1
x
－a ＞0，故f (x )在(0，＋∞)上是单调增函数，所以f (x )只有一个零点．
③当0＜a ≤e －1
时，令f ′(x )＝
1x
－a ＝0，解得x ＝a －1.当0＜x ＜a －1
时，f ′(x )＞0，当x ＞a －1
时，f ′(x )＜0，所以，x ＝a －1
是f (x )的最大值点，且最大值为f (a －1
)＝－ln a －1.
当－ln a －1＝0，即a ＝e －1
时，f (x )有一个零点x ＝e.
当－ln a －1＞0，即0＜a ＜e －1
时，f (x )有两个零点．
实际上，对于0＜a ＜e －1，由于f (e －1)＝－1－a e －1＜0，f (a －1)＞0，且函数f (x )在[e －1，a －
1]上的图象不间断，所以f (x )在(e －1，a －1
)上存在零点． 另外，当x ∈(0，a －1
)时，f ′(x )＝
1
x
－a ＞0，故f (x )在(0，a －1)上是单调增函数，所以f (x )在(0，a －1
)上只有一个零点．
下面考虑f (x )在(a －1，＋∞)上的情况．先证f (e a －1)＝a (a －2－e a －1
)＜0.
为此，我们要证明：当x ＞e 时，e x ＞x 2.设h (x )＝e x －x 2，则h ′(x )＝e x
－2x ，再设l (x )＝h ′(x )＝e x －2x ，则l ′(x )＝e x －2.
当x ＞1时，l ′(x )＝e x
－2＞e －2＞0，所以l (x )＝h ′(x )在(1，＋∞)上是单调增函数．故
当x ＞2时，h ′(x )＝e x －2x ＞h ′(2)＝e 2
－4＞0，
从而h (x )在(2，＋∞)上是单调增函数，进而当x ＞e 时， h (x )＝e x －x 2＞h (e)＝e e －e 2＞0.即当x ＞e 时，e x ＞x 2.
当0＜a ＜e －1，即a －1＞e 时，f (e a －1)＝a －1－a e a －1＝a (a －2－e a －1)＜0，又f (a －1
)＞0，且函数
f (x )在[a －1，e a －1]上的图象不间断，所以f (x )在(a －1，e a －1)上存在零点．又当x ＞a －1
时，f ′(x )＝
1x
－a ＜0，故f (x )在(a －1，＋∞)上是单调减函数，所以f (x )在(a －1
，＋∞)上只有一个零点．
综合①，②，③，当a ≤0或a ＝e －1
时，f (x )的零点个数为1，
当 0＜a ＜e －1
时，f (x )的零点个数为2.
【2013广东理科】
21．（本小题满分14分）
设函数()()2
1x
f x x e kx =--(其中k ∈R ).
(Ⅰ) 当1k =时,求函数()f x 的单调区间； (Ⅱ) 当1,12k ??
∈
???
时,求函数()f x 在[]0,k 上的最大值M . 【解析】(Ⅰ) 当1k =时,
()()21x f x x e x =--,()()()1222x x x x f x e x e x xe x x e '=+--=-=-
令()0f x '=,得10x =,2ln 2x = 当x 变化时,()(),f x f x '的变化如下表:
右表可知,函数f x 的递减区间为0,ln 2,递增区间为,0-∞,ln 2,+∞. (Ⅱ)()()()
1222x x x x f x e x e kx xe kx x e k '=+--=-=-, 令()0f x '=,得10x =,()2ln 2x k =, 令()()ln 2g k k k =-,则()1110k g k k k -'=
-=>,所以()g k 在1,12??
???
上递增, 所以()ln 21ln 2ln 0g k e ≤-=-<,从而()ln 2k k <,所以()[]ln 20,k k ∈ 所以当()()
0,ln 2x k ∈时,()0f x '<；当()()
ln 2,x k ∈+∞时,()0f x '>； 所以()(){}(){}
3max 0,max 1,1k M f f k k e k ==--- 令()()3
11k
h k k e k =--+,则()()
3k h k k e k '=-,
令()3k
k e k ?=-,则()330k
k e e ?'=-<-<
所以()k ?在1,12??
???上递减,而()()1313022e ??????=-< ?????
所以存在01,12x ??∈
???使得()00x ?=,且当01,2k x ??
∈ ???
时,()0k ?>, 当()0,1k x ∈时,()0k ?<,
所以()k ?在01,2x ??
???
上单调递增,在()0,1x 上单调递减. 因为1170228h e ??=-+>
???
,()10h =, 所以()0h k ≥在1,12??
???
上恒成立,当且仅当1k =时取得“=”. 综上,函数()f x 在[]0,k 上的最大值()3
1k
M k e k =--.
（22）（本小题满分13分） 椭圆C ：22
221x y a b
+=（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别是
F 1、F 2,离心率为 3
2
，过F 1且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为l. （Ⅰ）求
椭圆C 的方程； （Ⅱ）点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点，连接PF 1、PF 2,设∠F 1PF 2的角平分线 PM 交C 的长轴于点M （m ，0），求m 的取值范围； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过点p 作斜率为k 的直线l ，使得l 与椭圆C 有且只有一个公共点， 设直线PF 1,PF 2的斜率分别为k 1，k 2，若k ≠0，试证明
12
11
kk kk +为定值，并求出这个定值. 解答：（1）由已知得，32c a =，
2
22221,b a b c a ==+，解得224,1a b == 所以椭圆方程为：2
214x y += （2）由题意可知：11||||PF PM PF PM ?u u u v u u u u v u u u
v u u u u v =22||||PF PM PF PM ?u u u u v u u u u v u u u u v u u u u v ,11||PF PM PF ?u u u v u u u u v u u u v =22||
PF PM PF ?u u u u v u u u u v u u u u v ,设00(,)P x y 其中204x ≠，将向量坐标代入并化简得：m （23000416)312x x x -=-，因为2
04x ≠，
所以034m x =
，而0(2,2)x ∈-，所以33
(,)22
m ∈- （3）由题意可知，l 为椭圆的在p 点处的切线，由导数法可求得，切线方程为：
0014x x y y +=，所以004x k y =-，而0012,33
y y k k x x =
=+-，代入1211
kk kk +中得： 001200
3311
4()8x x kk kk x x +-+=-+=-为定值.
【2013陕西理科】 21. (本小题满分14分) 已知函数()e ,x f x x =∈R .
(Ⅰ) 若直线y ＝kx ＋1与f (x)的反函数的图像相切, 求实数k 的值;
(Ⅱ) 设x >0, 讨论曲线y ＝f (x) 与曲线2(0)y mx m => 公共点的个数.
(Ⅲ) 设a
f b f a b a --的大小, 并说明理由.
【解析】函数'(),()x x
f x e x R f x e =∈?= （Ⅰ）函数
0011k kx x =?=，设切点坐标为00(,1)x kx +则0
1
1c k kx x =?=， 20021
ln 2x x e k e
=?=?=。
（Ⅱ）
()()()()11()222a b a b b a
b a a f a f b f b f a e e e e e e e b a b a b a
--+-+-+--=-=----令2
()f x mx =即22(0)(0)x x e e mx x m x x =>?=>，设2()(0)x e g x x x
=>有
2min ()(2)4e g x g ==，所以（1）24e m >时，两曲线有2个交点；（2）2
4
e m =时，两曲线
有1个交点；（3）2
4
e m <时，两曲线没有交点。
（Ⅲ）
()()()()11()222a b a b b a
b a a f a f b f b f a e e e e e e e b a b a b a --+-+-+--=-=---- ()(1)2(1)2()
b a
b a a b a e e e b a ---+--- a b
∴上式2
(1)2(1)[(2)2]22t a a t t e e e e
t e t t t +--==?++- 令()(2)2t g t t e t =++-，则''
()(3)10g t t e =++>恒成立
()(0)0g t g ∴>=而02a e t >[(2)2]02a
t e t e t t
∴?++->
故()()()().2f a f b f b f a b a
+->-
【2013江西】
21．(2013江西，理21)(本小题满分14分)已知函数f (x )＝1122
a x ??
--
??
?
，a 为常数且a >0.
(1)证明：函数f (x )的图像关于直线1
2
x =
对称； (2)若x 0满足f (f (x 0))＝x 0，但f (x 0)≠x 0，则称x 0为函数f (x )的二阶周期点．如果f (x )有两个二阶周期点x 1，x 2，试确定a 的取值范围；
(3)对于(2)中的x 1，x 2和a ，设x 3为函数f (f (x ))的最大值点，A (x 1，f (f (x 1)))，B (x 2，f (f (x 2)))，C (x 3,0)．记△ABC 的面积为S (a )，讨论S (a )的单调性．
21．
(1)证明：因为12f x ??
+
???＝a (1－2|x |)，12f x ??
- ???
＝a (1－2|x |)，
有1122f x f x ????+=-
? ?????
， 所以函数f (x )的图像关于直线1
2
x =
对称． (2)解：当0＜a ＜12时，有f (f (x ))＝2
214,,2
141,.
2
a x x a x x ?≤????(-)>??
所以f (f (x ))＝x 只有一个解x ＝0，又f (0)＝0，故0不是二阶周期点．
当12a =时，有f (f (x ))＝1,,2
11,.
2
x x x x ?
≤????->??
所以f (f (x ))＝x 有解集12x x ??≤????，又当12x ≤时，f (x )＝x ，故12x x ??
≤???
?中的所有点都
不是二阶周期点．
当12a >时，有f (f (x ))＝2
222214,41124,,421412(12)4,,
244144.
4a x x a a a x x a a a a a x x a a a a x x a ?≤??
?-<≤??-?-+<≤??-?>?
，－，所以f (f (x ))＝x 有四个解0，
222224,,141214a a a a a a +++，又f (0)＝0，22()1212a a f a a =++，22
221414a a f a a ??
≠ ?++??
，22
22
441414a a f a a
??≠ ?++??，故只有22224,1414a a a a ++是f (x )的二阶周期点．综上所述，所求a 的取值范围为1
2
a >.
(3)由(2)得12
214a
x a =+，222414a x a =+，
因为x 3为函数f (f (x ))的最大值点，所以314x a =，或341
4a x a
-=.
当31
4x a
=时，221()4(14)a S a a -=+，求导得：
S ′(a )
＝22
1122214a a a ??
+-- ?
????-(+)
，
所以当a
∈11,22?+ ??时，S (a )单调递增，当a
∈12??+∞ ? ???
时S (a )单调递减；
当341
4a x a
-=时，S (a )＝22
861414a a a -+(+)，求导得： S ′(a )＝222
1243
214a a a +-(+)， 因1
2
a >，从而有S ′(a )＝2221243214a a a +-(+)>0，
所以当a ∈1,2??
-∞ ???
时S (a )单调递增．
【2013湖北理科】
（湖北理22）设n 是正整数，r 为正有理数.
（Ⅰ）求函数1()(1)(1)1(1)r f x x r x x +=+-+->-的最小值；
（Ⅱ）证明：1111(1)(1)11
r r r r r
n n n n n r r ++++--+-<<
++； （Ⅲ）设x ∈R ，记x ????为不小于．．．x 的最小整数，例如22=????，π4=????，312??
-=-????
.
令S L S ????的值.
（参考数据：4
3
80344.7≈，43
81350.5≈，43
124618.3≈，43
126631.7≈） 考点名称 导数，函数的性质，不等式，创新与拓展，交汇与整合
【40】（湖北理22）（Ⅰ）因为()(1)(1)(1)(1)[(1)1]r r f x r x r r x '=++-+=++-，令()0f x '=，解得0x =.
当10x -<<时，()0f x '<，所以()f x 在(1,0)-内是减函数； 当0x >时，()0f x '>，所以()f x 在(0,)+∞内是增函数.
故函数()f x 在0x =处取得最小值(0)0f =. （Ⅱ）由（Ⅰ），当(1,)x ∈-+∞时，有()(0)0f x f ≥=，即
1(1)1(1)r x r x ++≥++，且等号当且仅当0x =时成立，
故当1x >-且0x ≠时，有
1(1)1(1)r x r x ++>++. ①
在①中，令1x n =
（这时1x >-且0x ≠），得111(1)1r r n n
+++>+. 上式两边同乘1r n +，得11(1)(1)r r r n n n r +++>++，即
11
(1).1
r r r
n n n r +++-<+②
当1n >时，在①中令1
x n
=-（这时1x >-且0x ≠），类似可得
11
(1).1
r r r
n n n r ++-->+③
且当1n =时，③也成立. 综合②，③得
1111(1)(1).11
r r r r r
n n n n n r r ++++--+-<<++④
（Ⅲ）在④中，令1
3
r =，n 分别取值81，82，83，…，125，得
4444
3333338180(8281)44-<-（）， 4444
3333338281(8382)44-<-（）， 4444
3333338382(8483)44
-<-（）， ………
4444
333333125124(126125)44
-<<-（）. 将以上各式相加，并整理得
444433333312580(12681)44
S -<<-（）. 代入数据计算，可得4433312580210.24-≈（），44
3
3312681210.94
-≈（）.
由S ????的定义，得211S =????.
【2013四川理科】
21．(2013四川，理21)(本小题满分14分)已知函数f (x )＝22,0,
ln ,0,
x x a x x x ?++?其中a 是实
数．设A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))为该函数图象上的两点，且x 1＜x 2. (1)指出函数f (x )的单调区间；
(2)若函数f (x )的图象在点A ，B 处的切线互相垂直，且x 2＜0，求x 2－x 1的最小值； (3)若函数f (x )的图象在点A ，B 处的切线重合，求a 的取值范围．
21．
解：(1)函数f (x )的单调递减区间为(－∞，－1)，单调递增区间为[－1,0)，(0，＋∞)． (2)由导数的几何意义可知，点A 处的切线斜率为f ′(x 1)，点B 处的切线斜率为f ′(x 2)， 故当点A 处的切线与点B 处的切线垂直时，有f ′(x 1)f ′(x 2)＝－1.
当x ＜0时，对函数f (x )求导，得f ′(x )＝2x ＋2. 因为x 1＜x 2＜0，
所以，(2x 1＋2)(2x 2＋2)＝－1. 所以2x 1＋2＜0,2x 2＋2＞0.
因此x 2－x 1＝
1
2
[－(2x 1＋2)＋2x 2
＝1，当且仅当－(2x 1＋2)＝2x 2＋2＝1，即132x =-且21
2
x =-时等号成立．
所以，函数f (x )的图象在点A ，B 处的切线互相垂直时，x 2－x 1的最小值为1.
(3)当x 1＜x 2＜0或x 2＞x 1＞0时，f ′(x 1)≠f ′(x 2)，故x 1＜0＜x 2. 当x 1＜0时，函数f (x )的图象在点(x 1，f (x 1))处的切线方程为y －(x 12＋2x 1＋a )＝(2x 1＋2)(x
－x 1)，即y ＝(2x 1＋2)x －x 12
＋a .
当x 2＞0时，函数f (x )的图象在点(x 2，f (x 2))处的切线方程为y －ln x 2＝2
1
x (x －x 2)，即y ＝
21
x
·x ＋ln x 2－1. 两切线重合的充要条件是
122211
22,ln 1.x x
x x a ?=+???-=-+?①
②
由①及x 1＜0＜x 2知，－1＜x 1＜0. 由①②得，a ＝x 12
＋11ln
22
x +－1＝x 12
－ln(2x 1＋2)－1.
设h (x 1)＝x 12
－ln(2x 1＋2)－1(－1＜x 1＜0)， 则h ′(x 1)＝2x 1－
11
1
x +＜0. 所以，h (x 1)(－1＜x 1＜0)是减函数． 则h (x 1)＞h (0)＝－ln 2－1， 所以a ＞－ln 2－1.
又当x 1∈(－1,0)且趋近于－1时，h (x 1)无限增大， 所以a 的取值范围是(－ln 2－1，＋∞)．
故当函数f (x )的图象在点A ，B 处的切线重合时，a 的取值范围是(－ln 2－1，＋∞)．
【2013福建理科】
20.（本小题满分14分）
已知函数
)0,0)(sin()(π??<<>+=w wx x f 的周期为π，图象的一个对称中心为??
?
??0,4π，将函数
)(x f 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移个
2
π
单位长度
后得到函数)(x g 的图象。 （1）求函数
)(x f 与)(x g 的解析式
（2）是否存在??
?
??∈4,60ππx ，使得)()(),(),(0000x g x f x g x f 按照某种顺序成等差数列？若存在，请确定0x 的个数，若不存在，说明理由； （3）求实数a 与正整数n ，使得)()()(x ag x f x F +=
在()πn ,0内恰有2013个零点
【2013浙江理科】
22．(2013浙江，理22)(本题满分14分)已知a ∈R ，函数f (x )＝x 3－3x 2
＋3ax －3a ＋3. (1)求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)当x ∈[0,2]时，求|f (x )|的最大值．
22．
解：(1)由题意f ′(x )＝3x 2
－6x ＋3a ， 故f ′(1)＝3a －3.
又f (1)＝1，所以所求的切线方程为y ＝(3a －3)x －3a ＋4.
(2)由于f ′(x )＝3(x －1)2
＋3(a －1)，0≤x ≤2，
故①当a ≤0时，有f ′(x )≤0，此时f (x )在[0,2]上单调递减， 故|f (x )|max ＝max{|f (0)|，|f (2)|}＝3－3a .
②当a ≥1时，有f ′(x )≥0，此时f (x )在[0,2]上单调递增， 故|f (x )|max ＝max{|f (0)|，|f (2)|}＝3a －1.
③当0＜a ＜1时，设x 1＝11a -x 2＝11a - 则0＜x 1＜x 2＜2，f ′(x )＝3(x －x 1)(x －x 2)． x 0 (0，x 1) x 1
(x 1，x 2) x 2
(x 2,2) 2 f ′(x )
＋
0 － 0 ＋ f (x ) 3－3a 单调递增
极大值f (x 1)
单调递减
极小值f (x 2)
单调递增
3a －1
由于f (x 1)＝1＋2(1－a )1a -，f (x 2)＝1－2(1－a )1a -， 故f (x 1)＋f (x 2)＝2＞0，f (x 1)－f (x 2)＝4(1－a 1a -0，
从而f (x 1)＞|f (x 2)|.
所以|f (x )|max ＝max{f (0)，|f (2)|，f (x 1)}． 当0＜a ＜
2
3
时，f (0)＞|f (2)|. 又f (x 1)－f (0)＝2(1－a
(2－3a )
2＞0，
故|f (x )|max ＝f (x 1)＝1＋2(1－a
当
2
3
≤a ＜1时，|f (2)|＝f (2)，且f (2)≥f (0)． 又f (x 1)－|f (2)|＝2(1－a
(3a －2)
2，
所以当23≤a ＜3
4
时，f (x 1)＞|f (2)|.
故f (x )max ＝f (x 1)＝1＋2(1－a
当3
4
≤a ＜1时，f (x 1)≤|f (2)|. 故f (x )max ＝|f (2)|＝3a －1. 综上所述，
|f (x )|max
＝33,0,3
121,4331,.4
a a a a a a ?
?-≤?
?+(-<
?
?
-≥??
【2013天津理科】
(20) (本小题满分14分) 已知函数2l ()n f x x x =.
(Ⅰ) 求函数f (x )的单调区间;
(Ⅱ) 证明: 对任意的t >0, 存在唯一的s , 使()t f s =.
(Ⅲ) 设(Ⅱ)中所确定的s 关于t 的函数为()s g t =, 证明: 当2>e t 时, 有
2ln ()15ln 2
g t t <<. 20．本题主要考查函数的概念、函数的零点、导数的运算、利用导数研究函数的单调性、不等式等基础知识.考查函数思想、化归思想.考查抽象概括能力、综合分析问题和解决问题的能力.
(Ⅰ)解：函数()f x 的定义域为（0，+∞）
ln ()2(2ln 1)x x x x f x x +=+'=，令()0f x '=
，得x =
.
当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：
所以函数()f x
的单调递减区间是
，单调递增区间是)+∞. （Ⅱ）证明：当01x <≤时，()0f x ≤.
设0t >，令()()h x f x t =-，[1,)x ∈+∞.由(Ⅰ)知，()h x 在区间(1,)+∞内单调递增. (1)0h t =-<，22()ln (1)0t t t t h e e e t t e =-=->.故存在唯一的(1,)s ∈+∞，使得()t f s =成立.
(Ⅲ)证明：因为()s g t =，由（Ⅱ）知，()t f s =，且1s >，从而
2ln ()ln ln ln ln ln ()ln(ln )3ln ln ln 2ln g t s s s u
t f s s s s s u u
====++， 其中ln u s =.要使
2ln ()15ln 2g t t <<成立，只需0ln 2
u
u <<. 当2
t e >时，若()s g t e =≤，则由()f s 的单调性，有2
()()t f s f e e =≤=，矛盾.
所以s e >，即1u >，从而ln 0u >成立. 另一方面，令()ln ,12u F u u u =-
>.11
()2
F u u '=-,令()0F u '=，得2u =. 当12u <<时，()0F u '>；当2u >时，()0F u '<.故对1u >，()(2)0F u F ≤<.因此
ln 2
u
u <
成立. 综上，当2
t e >时，有
2ln ()15ln 2
g t t <<.
【2013重庆理科】 （22）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分）
对正整数n ，记{1,2,3,n I =…，}n
，n n P I =∈，}n k I ∈． （Ⅰ）求集合7P 中元素的个数；
（Ⅱ）若n P 的子集A 中任意两个元素之和不是．．整数的平方，则称A 为“稀疏集”．求n 的最大值，使n P 能分成两个不相交的稀疏集的并．
【2013北京理科】 20. (本小题共13分)
已知{a n }是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n 项的最大值记为A n ，第n 项之后各项1n a +，
2n a +…的最小值记为B n ，d n =A n －B n
(I)若{a n }为2，1，4，3，2，1，4，3…，是一个周期为4的数列(即对任意n ∈N *，4n n a a +=)，写出d 1，d 2，d 3，d 4的值；
(II)设d 为非负整数，证明：d n =－d (n =1,2,3…)的充分必要条件为{a n }为公差为d 的等差数列； (III)证明：若a 1=2，d n =1(n =1,2,3…)，则{a n }的项只能是1或2，且有无穷多项为1
高考理科数学压轴题及答案汇编
高考理科数学压轴题 (21)(本小题满分 12 分)已知椭圆 C 的中心在坐标原点 ,焦点在 x 轴上,椭圆 C 上的点到焦点 的距离的最大值为 3,最小值为 1. (I) 求椭圆 C 的标准方程 ; (II) 若直线l : y kx m 与椭圆 C 相交于 A,B 两点(A,B 不是左右顶点 ),且以 AB 为直径的圆 过椭 圆 C 的右顶点 .求证 :直线 l 过定点 ,并求出该定点的坐标 . (22)(本小题满分 14分)设函数 f(x) x 2 bln(x 1),其中 b 0. 1 (I) 当 b 时 ,判断函数 f (x) 在定义域上的单调性 ; 2 (II)求函数 f (x)的极值点 ; 1 1 1 (III) 证明对任意的正整数 n ,不等式 ln( 1) 2 3 都成立 . n n n 22 xy (21)解： (I) 由题意设椭圆的标准方程为 2 2 1(a b 0) ab 2 a c 3,a c 1，a 2,c 1, b 2 3 22 x 2 y 2 1. 43 Q 以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点 D(2,0), k AD k BD 1， y kx m (II)设 A(x 1, y 1),B(x 2,y 2)， 由 2 x 2 y 得 1 4 3 2 2 2 (3 4k 2 )x 2 8mkx 4(m 2 3) 2 2 2 64m 2 k 2 16( 3 4k 2)( 2 m 3) 0， 22 3 4k 2 m 2 0 8mk 2 ,x 1 x 2 2 4(m 2 3) 3 4k 2 y 1 y 2 2 (kx 1 m) (kx 2 m) k x 1x 2 mk(x 1 x 2) m 2 3(m 2 4k 2) 3 4k 2
2018高考理科数学选填压轴题专练32题(含详细答案)
学校 年级 姓名 装 装 订 线 一．选择题（共26小题） 1．设实数x ，y 满足 ，则z= +的取值范围是（ ） A ．[4，] B ．[，] C ．[4，] D ．[，] 2．已知三棱锥P ﹣ABC 中，PA ⊥平面ABC ，且，AC=2AB ，PA=1，BC=3， 则该三棱锥的外接球的体积等于（ ） A ． B ． C ． D ． 3．三棱锥P ﹣ABC 中，PA ⊥平面ABC 且PA=2，△ABC 是边长为的等边三角形， 则该三棱锥外接球的表面积为（ ） A ． B ．4π C ．8π D ．20π 4．已知函数f （x +1）是偶函数，且x ＞1时，f ′（x ）＜0恒成立，又f （4）=0，则（x +3）f （x +4）＜0的解集为（ ） A ．（﹣∞，﹣2）∪（4，+∞） B ．（﹣6，﹣3）∪（0，4） C ．（﹣∞，﹣6）∪（4，+∞） D ．（﹣6，﹣3）∪（0，+∞） 5．当a ＞0时，函数f （x ）=（x 2﹣2ax ）e x 的图象大致是（ ） A ． B ． C D ． 6．抛物线y 2=4x 的焦点为F ，M 为抛物线上的动点，又已知点N （﹣1，0），则 的取值范围是（ ） A ．[1，2 ] B ． [ ， ] C ．[ ，2] D ．[1， ] 7．《张丘建算经》卷上第22题为“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈．”其意思为：现有一善于织布的女子，从第2天开始，每天比前一天多 织相同量的布，第1天织了5尺布，现在一月（按30天计算）共织390尺布，记该女子一月中的第n 天所织布的尺数为a n ，则a 14+a 15+a 16+a 17的值为（ ） A ．55 B ．52 C ．39 D ．26 8．已知定义在R 上的奇函数f （x ）满足：当x ≥0时，f （x ）=x 3+x 2，若不等式f （﹣4t ）＞f （2m +mt 2）对任意实数t 恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ． B ． C ． D ． 9．将函数 的图象向左平移 个单位得到y=g （x ）的图象，若对满足|f （x 1）﹣g （x 2）|=2的x 1、x 2，|x 1﹣x 2|min = ，则φ的值是（ ） A ． B ． C ． D ． 10．在平面直角坐标系xOy 中，点P 为椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）的下顶点， M ，N 在椭圆上，若四边形OPMN 为平行四边形，α为直线ON 的倾斜角，若α∈ （，]，则椭圆C 的离心率的取值范围为（ ） A ．（0， ] B ．（0 ， ] C ．[ ， ] D ．[ ， ]
2020高考理科数学冲刺—压轴大题高分练一
1．(本小题满分12分)(2019陕西咸阳一模)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2 ＝1(a >1)的上顶点为B , 右顶点为A ,直线AB 与圆M ：(x －2)2＋(y －1)2 ＝1相切． (1)求椭圆C 的方程． (2)过点N (0,－1 2 )且斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于P ,Q 两点,求证：BP ⊥BQ . 1．(1)解：由题意知,A (a ,0),B (0,1),则直线AB 的方程为x ＋ay －a ＝0. 由直线AB 与圆M ：(x －2)2＋(y －1)2＝1相切,得圆心M 到直线AB 的距离d ＝2 1＋a 2 ＝1,求得a ＝3, 故椭圆C 的方程为x 23 ＋y 2 ＝1. (2)证明：直线l 的方程为y ＝kx －1 2 ,P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2), 联立? ??y ＝kx －1 2 ， x 23 ＋y 2＝1，消去y 整理得(4＋12k 2)x 2－12kx －9＝0. ∴x 1＋x 2＝12k 4＋12k 2,x 1x 2 ＝－9 4＋12k 2 . 又BP →＝(x 1,y 1－1),BQ → ＝(x 2,y 2－1), ∴BP →·BQ → ＝x 1x 2＋(y 1－1)(y 2－1)＝x 1x 2＋(kx 1－32)·(kx 2－32)＝(1＋k 2)x 1x 2－32k (x 1＋x 2)＋94 ＝ －9（1＋k 2）4＋12k 2－18k 24＋12k 2 ＋94＝0,∴BP ⊥BQ . 2．(本小题满分12分)(2019内蒙古一模)已知函数f (x )＝2ax ＋bx －1－2ln x (a ∈R )． (1)当b ＝0时,确定函数f (x )的单调区间． (2)当x >y >e －1时,求证：e x ln(y ＋1)>e y ln(x ＋1)． 2．(1)解：当b ＝0时,f ′(x )＝2a －2x ＝2（ax －1） x (x ＞0)． 当a ≤0时,f ′(x )＜0在(0,＋∞)上恒成立． ∴函数f (x )在(0,＋∞)上单调递减．
2020年高考新课标Ⅲ理科数学试卷及答案
2020年高考新课标Ⅲ理科数学试卷及答案 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合{(,)|,,}A x y x y y x =∈≥*N ，{(,)|8}B x y x y =+=，则A B 中元素的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】C 采用列举法列举出A B 中元素的即可. 【详解】由题意，A B 中的元素满足8 y x x y ≥??+=?，且*,x y N ∈， 由82x y x +=≥，得4x ≤， 所以满足8x y +=的有(1,7),(2,6),(3,5),(4,4)， 故A B 中元素的个数为4. 故选：C. 【点晴】本题主要考查集合的交集运算，考查学生对交集定义的理解，是一道容易题. 2.复数1 13i -的虚部是（ ） A. 310 - B. 110 - C. 110 D. 310 【答案】D 利用复数的除法运算求出z 即可. 【详解】因为11313 13(13)(13)1010 i z i i i i += ==+--+， 所以复数113z i =-的虚部为310 . 故选：D. 【点晴】本题主要考查复数的除法运算，涉及到复数的虚部的定义，是一道基础题. 3.在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为1234,,,p p p p ，且4 11i i p ==∑，则下面四种情形中，对应 样本的标准差最大的一组是（ ） A. 14230.1,0.4p p p p ==== B. 14230.4,0.1p p p p ==== C. 14230.2,0.3p p p p ==== D. 14230.3,0.2p p p p ====
高考理科数学试题汇编(含答案)数列大题
（重庆）22．（本小题满分12分，（1）小问4分，（2）小问8分） 在数列{}n a 中，()2 1113,0n n n n a a a a a n N λμ+++=++=∈ （1）若0,2,λμ==-求数列{}n a 的通项公式； （2）若()0 001,2,1,k N k k λμ+= ∈≥=-证明：01 0011 223121 k a k k ++<<+++ 【答案】（1）132n n a -=?；（2）证明见解析. 试题分析：(1)由02λμ==-，,有212,(n N )n n n a a a ++=∈
若存在某个0n N +∈，使得0n 0a =，则由上述递推公式易得0n 10a +=，重复上述过程可得 10a =，此与13a =矛盾，所以对任意N n +∈,0n a ≠. 从而12n n a a +=()N n +∈，即{}n a 是一个公比q 2=的等比数列. 故11132n n n a a q --==?. (2)由0 1 1k λμ= =-，，数列{}n a 的递推关系式变为 21101 0,n n n n a a a a k +++ -=变形为2101n n n a a a k +??+= ?? ?()N n +∈. 由上式及13a =，归纳可得 12130n n a a a a +=>>>>>>L L 因为22220010000 11111 1 11n n n n n n n a a k k a a k k k a a a k k +-+= = =-+? ++ +，所以对01,2n k =L 求和得() () 00011211k k k a a a a a a ++=+-++-L 01000010200000011111 111111112231313131 k a k k k k a k a k a k k k k k ??=-?+?+++ ? ?+++????>+?+++=+ ? ++++??L L 另一方面，由上已证的不等式知001212k k a a a a +>>>>>L 得 00110000102011111 111k k a a k k k k a k a k a +??=-?+?+++ ? ?+++?? L 0000011111 2221212121 k k k k k ??<+ ?+++=+ ?++++??L 综上：01001 12231 21 k a k k ++ <<+ ++ 考点：等比数列的通项公式，数列的递推公式，不等式的证明，放缩法.
2014年高考数学压轴题(理科)
2014年包九中数学压轴模拟卷一（理科） （试卷总分150分 考试时间120分钟） 第Ⅰ卷 (选择题 共60分) 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的． 1．已知全集{2}x M x y ==,集合2{|lg(2)}N x y x x ==-,则M N =（ ） A ．(0,2) B ．),2(+∞ C ．),0[+∞ D ．),2()0,(+∞?-∞ 2． 在复平面内，复数311z i i =--，则复数z 对应的点位于 （ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．关于直线m ，n 与平面 α，β，有下列四个命题： ①m ∥α，n ∥β 且 α∥β，则m ∥n ； ②m ⊥α，n ⊥β 且 α⊥β，则m ⊥n ； ③m ⊥α，n ∥β 且 α∥β，则m ⊥n ； ④m ∥α，n ⊥β 且 α⊥β，则m ∥n ． 其中真命题的序号是( )． A ．①② B ．②③ C ．①④ D ．③④ 4.已知)(x g 为三次函数cx ax x a x f ++=233 )(的导函数，则函数)(x g 与)(x f 的图像可能是（ ） 5.已知数列12463579{}1(),18,log ()n n n a a a n N a a a a a a ++=+∈++=++满足且则等于（ ） A ．2 B ．3 C ．—3 D ．—2 6．执行右面的程序框图，如果输出的是341a =，那么判断框（ ） A ．4?k < B ．5?k < C ．6?k < D ．7?k < 7． 根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓 度在20—80 mg/100ml （不含80）之间，属于酒后驾车，处暂扣一个月以上 三个月以下驾驶证，并处200元以上500元以下 罚款；血液酒精浓度在80mg/100ml （含80）以 上时，属醉酒驾车，处十五日以下拘留和暂扣三 个月以上六个月以下驾驶证，并处500元以上 2000元以下罚款． 据《法制晚报》报道，2013年8月15日至8
2017年高考理科数学试题及答案
2017年普通高等学校招生全国统一考试（xx卷）数学（理科） 第Ⅰ卷（共50分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）【2017年xx，理1，5分】设函数的定义域为，函数的定义域为，则（）（A）（B）（C）（D） 【答案】D 【解析】由得，由得，，故选D． （2）【2017年xx，理2，5分】已知，是虚数单位，若，，则（）（A）1或（B）或（C）（D） 【答案】A 【解析】由得，所以，故选A． （3）【2017年xx，理3，5分】已知命题：，；命题：若，则，下列命题为真命题的是（） （A）（B）（C）（D） 【答案】B 【解析】由时有意义，知是真命题，由可知是假命题， 即，均是真命题，故选B． （4）【2017年xx，理4，5分】已知、满足约束条件，则的最大值是（）（A）0（B）2（C）5（D）6 【答案】C 【解析】由画出可行域及直线如图所示，平移发现，
当其经过直线与的交点时，最大为 ，故选C． （5）【2017年xx，理5，5分】为了研究某班学生的脚长（单位：厘米）和身高（单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出与之间有线性相关关系，设其回归直线方程为，已知，，，该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为（） （A）160（B）163（C）166（D）170 【答案】C 【解析】，故选C． （6）【2017年xx，理6，5分】执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的值为7，第 二次输入的值为9，则第一次、第二次输出的值分别为（）（A）0，0（B）1，1（C）0，1（D）1，0 【答案】D 【解析】第一次；第二次，故选D． （7）【2017年xx，理7，5分】若，且，则下列不等式成立的是（）（A）（B）（C）（D） 【答案】B 【解析】，故选B． （8）【2017年xx，理8，5分】从分别标有1，2，…，9的9xx卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1xx，则抽到在2xx卡片上的数奇偶性不同的概率是（） （A）（B）（C）（D）
高考理科数学试卷(带详解)
·江西卷(理科数学) 1.[2019·江西卷] z 是z 的共轭复数， 若z ＋z ＝2， (z －z )i ＝2(i 为虚数单位)， 则z ＝( ) A.1＋i B.－1－i C.－1＋i D.1－i 【测量目标】复数的基本运算 【考查方式】给出共轭复数和复数的运算， 求出z 【参考答案】D 【难易程度】容易 【试题解析】 设z ＝a ＋b i(a ， b ∈R )， 则z ＝a －b i ， 所以2a ＝2， －2b ＝2， 得a ＝1， b ＝－1， 故z ＝1－i. 2.[2019·江西卷] 函数f (x )＝ln(2 x －x )的定义域为( ) A.(0， 1] B.[0， 1] C.(－∞， 0)∪(1， ＋∞) D.(－∞， 0]∪[1， ＋∞) 【测量目标】定义域 【考查方式】根据对数函数的性质， 求其定义域 【参考答案】C 【难易程度】容易 【试题解析】由2 x －x >0， 得x >1或x <0. 3.[2019·江西卷] 已知函数f (x )＝|| 5x ， g (x )＝2 ax －x (a ∈R ).若f [g (1)]＝1， 则a ＝( ) A.1 B.2 C.3 D.－1 【测量目标】复合函数 【考查方式】给出两个函数， 求其复合函数 【参考答案】A 【难易程度】容易 【试题解析】由g (1)＝a －1， 由()1f g ????＝1， 得|1| 5 a －＝1， 所以|a －1|＝0， 故a ＝1. 4.[2019·江西卷] 在△ABC 中， 内角A ， B ， C 所对的边分别是a ， b ， c .若2 2 ()c a b ＝－＋6， C ＝π 3 ， 则△ABC 的面积是( ) A.3 D.【测量目标】余弦定理， 面积 【考查方式】先利用余弦定理求角， 求面积 【参考答案】C 【难易程度】容易 【试题解析】由余弦定理得， 222cos =2a b c C ab +-＝262ab ab -＝12， 所以ab ＝6， 所以ABC S V ＝1 sin 2 ab C . 5.[2019·江西卷] 一几何体的直观图如图所示， 下列给出的四个俯视图中正确的是( )
最新史上最难的全国高考理科数学试卷
创难度之最的1984年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题 （这份试题共八道大题，满分120分 第九题是附加题，满分10分，不计入总分） 一．（本题满分15分）本题共有5小题，每小题选对的得3分;不选，选错或多选得负1分1．数集X = {（2n +1）π，n 是整数}与数集Y = {（4k ±1）π，k 是整数}之间的关系是 （ C ） （A ）X ?Y （B ）X ?Y （C ）X =Y （D ）X ≠Y 2．如果圆x 2+y 2+Gx +Ey +F =0与x 轴相切于原点，那么（ C ） （A ）F =0，G ≠0，E ≠0. （B ）E =0，F =0，G ≠0. （C ）G =0，F =0，E ≠0. （D ）G =0，E =0，F ≠0. 3.如果n 是正整数，那么)1]()1(1[8 1 2---n n 的值 （ B ） （A ）一定是零 （B ）一定是偶数 （C ）是整数但不一定是偶数 （D ）不一定是整数 4.)arccos(x -大于x arccos 的充分条件是 （ A ） （A ）]1,0(∈x （B ）)0,1(-∈x （C ）]1,0[∈x （D ）]2 ,0[π∈x 5．如果θ是第二象限角，且满足,sin 12sin 2cos θ-=θ-θ那么2 θ （ B ） （A ）是第一象限角 （B ）是第三象限角 （C ）可能是第一象限角，也可能是第三象限角 （D ）是第二象限角 二．（本题满分24分）本题共6小题，每一个小题满分4分
1．已知圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形，求圆柱的体积 答：.84π π或 2.函数)44(log 25.0++x x 在什么区间上是增函数？ 答：x ＜-2. 3．求方程2 1 )cos (sin 2=+x x 的解集 答：},12|{},127|{Z n n x x Z n n x x ∈π+π -=?∈π+π= 4．求3)2| |1 |(|-+x x 的展开式中的常数项 答：-205．求1 321lim +-∞→n n n 的值 答：0 6．要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少种不同的排法（只要求写出式子，不必计算） 答：!647?P 三．（本题满分12分）本题只要求画出图形 1．设???>≤=, 0,1,0,0)(x x x H 当当画出函数y =H (x -1)的图象 2．画出极坐标方程)0(0)4 )(2(>ρ=π -θ-ρ的曲线 解（1） （2）
高考理科数学压轴题及答案汇编
高考理科数学压轴题 (21)（本小题满分12分）已知椭圆C 的中心在坐标原点,焦点在x 轴上,椭圆C 上的点到焦点的距离的最大值为3,最小值为1. (I)求椭圆C 的标准方程; (II)若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A,B 两点(A,B 不是左右顶点),且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点.求证:直线l 过定点,并求出该定点的坐标. (22)（本小题满分14分）设函数2 ()ln(1)f x x b x =++,其中0b ≠. (I)当1 2 b > 时,判断函数()f x 在定义域上的单调性; (II)求函数()f x 的极值点; (III)证明对任意的正整数n ,不等式2 3111 ln(1)n n n +>-都成立. (21)解：(I)由题意设椭圆的标准方程为22 221(0)x y a b a b +=>> 3,1a c a c +=-=，22,1,3a c b === 22 1.43 x y ∴+= (II)设1122(,),(,)A x y B x y ，由2214 3y kx m x y =+?? ?+=??得 222(34)84(3)0k x mkx m +++-=， 22226416(34)(3)0m k k m ?=-+->，22340k m +->. 2121222 84(3) ,.3434mk m x x x x k k -+=-?=++ 222 2 121212122 3(4) ()()().34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -?=+?+=+++=+ Q 以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点(2,0),D 1AD BD k k ?=-，
高考理科数学试卷及答案
绝密★启封并使用完毕前 2019年普通高等学校招生全国统一考试 数学（理）（北京卷） 本试卷共5页, 150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上, 在试卷上作答无效。考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题共40分） 一、选择题共8小题, 每小题5分, 共40分。在每小题列出的四个选项中, 选出符合题目要求的一项。（1）若复数（1–i）(a+i)在复平面内对应的点在第二象限, 则实数a的取值范围是 （A）(–∞, 1) （B）(–∞, –1) （C）(1, +∞) （D）(–1, +∞) （2）若集合A={x|–2x1}, B={x|x–1或x3}, 则AB= （A）{x|–2x–1} （B）{x|–2x3} （C）{x|–1x1} （D）{x|1x3} （3）执行如图所示的程序框图, 输出的s值为 （A）2 （B）3 2
（C ）53 （D ）85 （4）若x, y 满足 , 则x + 2y 的最大值为 （A ）1 （B ）3 （C ）5 （D ）9 （5）已知函数1(x)33x x f ?? =- ??? , 则(x)f （A ）是奇函数, 且在R 上是增函数 （B ）是偶函数, 且在R 上是增函数 （C ）是奇函数, 且在R 上是减函数 （D ）是偶函数, 且在R 上是减函数 （6）设m,n 为非零向量, 则“存在负数λ, 使得m n λ=”是“m n 0?＜”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 （7）某四棱锥的三视图如图所示, 则该四棱锥的最长棱的长度为
高考数学理科大题公式(最全版)
高考数学１７题(1)：解三角形 1.正弦定理：______________________ 2.余弦定理：______________________ ______________________ ______________________ 3.三角形面积公式： Ｓ＝____________________________ ４.三角形中基本关系：A+B+C=_____ sin(A+B)=___________ cos(A+B)=___________ tan(A+B)=___________ 注：基本不等式：若________，则______________ 重要不等式：若________，则______________
高考数学１７题(2)：数列 1.知S n 求a n:( 这个关系式对任意数列均成立) a n= _________________ ２．等差数列的有关概念 (1)定义：___________(n∈N*，d为常数)． (2)等差中项：_____________， (3)通项公式：a n＝_____________=______________ (4)前n项和公式：S n＝____________＝_______________ (5)等差数列性质:若_____________，则__________________３．等比数列的有关概念 (1)定义：___________(n∈N*，q为常数)． (2)等比中项：_____________， (3)通项公式：a n＝_____________=______________ (4)前n项和公式：S n＝____________＝_______________ (5)等比数列性质:若_____________，则__________________
99全国高考理科数学试题
1995年普通高等学校招生全国统一考试 数学(理工农医类) 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分． 第Ⅰ卷(选择题共65分) 一、选择题(本大题共15小题,第1—10题每小题4分，第11—15题每小题5分，共65分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知I 为全集，集合M ，N ?I ，若M ∩N =N ，则 () (A)N M ? (B)N M ? (C)N M ? (D)N M ? 2．函数y =1 1 +-x 的图像是 () 3．函数y =4sin(3x +4π)+3cos(3x +4 π )的最小正周期是 () (A)6π (B)2π (C)3 2π (D)3 π 4．正方体的全面积是a 2 ，它的顶点都在球面上，这个球的表面积是 () (A) 3 2 a π (B) 2 2 a π (C)2πa 2 (D)3πa 2 5．若图中的直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则()
(A)k 1
高考数学理科导数大题目专项训练及答案
高一兴趣导数大题目专项训练 班级 姓名 1.已知函数()f x 是定义在[,0)(0,]e e - 上的奇函数，当(0,]x e ∈时，有()ln f x ax x =+（其中e 为自然对数的底，a ∈R ）． （Ⅰ）求函数()f x 的解析式； （Ⅱ）试问：是否存在实数0a <，使得当[,0)x e ∈-，()f x 的最小值是3？如果存在，求出实数a 的值；如果不存在，请说明理由； （Ⅲ）设ln ||()||x g x x =（[,0)(0,]x e e ∈- ），求证：当1a =-时，1 |()|()2 f x g x >+； 2. 若存在实常数k 和b ，使得函数()f x 和()g x 对其定义域上的任意实数x 分别满足： ()f x kx b ≥+和()g x kx b ≤+，则称直线:l y kx b =+为()f x 和()g x 的“隔离直线”．已知 2()h x x =，()2ln x e x ?=（其中e 为自然对数的底数）． (1)求()()()F x h x x ?=-的极值； (2) 函数()h x 和()x ?是否存在隔离直线？若存在，求出此隔离直线方程；若不存在，请说明理由．
3. 设关于x 的方程012 =--mx x 有两个实根α、β，且βα<。定义函数.1 2)(2+-= x m x x f （I ）求)(ααf 的值；（II ）判断),()(βα在区间x f 上单调性，并加以证明； （III ）若μλ,为正实数，①试比较)(),( ),(βμ λμβ λααf f f ++的大小； ②证明.|||)()(|βαμ λλβ μαμλμβλα-<++-++f f 4. 若函数22()()()x f x x ax b e x R -=++∈在1x =处取得极值. （I ）求a 与b 的关系式（用a 表示b ），并求()f x 的单调区间； （II ）是否存在实数m ，使得对任意(0,1)a ∈及12,[0,2]x x ∈总有12|()()|f x f x -< 21[(2)]1m a m e -+++恒成立，若存在，求出m 的范围；若不存在，请说明理由． 5．若函数()()2 ln ,f x x g x x x ==- （1）求函数()()()()x g x kf x k R ?=+∈的单调区间； （2）若对所有的[),x e ∈+∞都有()xf x ax a ≥-成立，求实数a 的取值范围.
高考数学大题突破训练理科(9-12)难度较大
高考数学大题突破训练（九） 1、已知函数()4cos sin()16 f x x x π =+-。 （Ⅰ）求()f x 的最小正周期： （Ⅱ）求()f x 在区间,64ππ?? - ??? ?上的最大值和最小值。 2、某商店试销某种商品20天，获得如下数据： 日销售量（件） 0 1 2 3 频数 1 5 9 5 试销结束后（假设该商品的日销售量的分布规律不变），设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存货少于2件，则当天进货补充．．至3件，否则不进货．．．，将频率视为概率。 (Ⅰ）求当天商品不进货．．． 的概率； （Ⅱ）记X 为第二天开始营业时该商品的件数，求X 的分布列和数学期望。 3、如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，2,60AB BAD =∠=o . (Ⅰ)求证：BD ⊥平面;PAC （Ⅱ）若,PA AB =求PB 与AC 所成角的余弦值； （Ⅲ）当平面PBC 与平面PDC 垂直时，求PA 的长.
4、已知函数21 (),()32 f x x h x x = += (I)设函数()()()F x f x h x =-，求()F x 的单调区间与极值； (Ⅱ)设a R ∈，解关于x 的方程42233 log [(1)]log ()log (4)24 f x h a x x --=--- (Ⅲ)试比较100 1 (100)(100)()k f h h k =-∑与16的大小. 5、如图7，椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为3，x 轴被曲线2 2:C y x b =- 截得的线段长等 于1C 的长半轴长。（Ⅰ）求1C ，2C 的方程； （Ⅱ）设2C 与y 轴的交点为M ，过坐标原点O 的直线l 与 2C 相交于点A,B,直线MA,MB 分别与1C 相交与D,E. （i ）证明：MD ME ⊥； (ii)记△MAB,△MDE 的面积分别是12,S S .问：是否存在直线l , 使得21S S =32 17 ?请说明理由。 6、设d 为非零实数，12211*1(2(1)]()n n n n n n n n n a C d C d n C d nC d n N n --= +++-+∈L (1)写出123,,a a a 并判断{}n a 是否为等比数列。若是，给出证明；若不是，说明理由； (II)设* ()n n b nda n N =∈，求数列{}n b 的前n 项和n S ．
2018高考理科数学压轴题详解
2018高考理科数学压轴题详解 数学哥 21（12分）已知函数1()ln f x x a x x = -+ （1）讨论()f x 的单调性； （2）若()f x 存在两个极值点1x ，2x ，证明1212()()2f x f x a x x -<--。 解答（1）：2'211()ln ()x ax f x x a x f x x x -+-=-+?=(0)x > 令2()1h x x ax =-+- ①当0a ≤时，对称轴2 a x =位于给定区间(0,)+∞左侧 图形直观显示：在区间(0,)+∞内，'()0()0()h x f x f x 时，对称轴2 a x =位于给定区间(0,)+∞内 情况1：若24002a a ?=-≤?<≤ 图形直观显示：()h x 图像的最高点不可能突破x 轴到达x 轴上方，所以： '()0()0()h x f x f x ≤?≤?单调递减 情况2：若2402a a ?=->?>
令2 12()10,h x x ax x x =-+-=?= 图形直观显示：在区间1(0,)x ，2(,)x +∞内， '()0()0()h x f x f x
2016全国一卷理科数学高考真题及答案
2016年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅰ） 理科数学 一. 选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求 的. 1.设集合{ }2 430A x x x =-+<，{ } 230x x ->,则A B =I （A ）33,2??-- ??? （B ）33,2??- ??? （C ）31,2?? ??? （D ）3,32?? ??? 2.设yi x i +=+1)1(，其中y x ,是实数，则=+yi x （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）2 3.已知等差数列{}n a 前9项的和为27，108a =，则100a = （A ）100 （B ）99 （C ）98 （D ）97 4.某公司的班车在7:00，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是 （A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）3 4 5.已知方程22 2 213x y m n m n -=+-表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4,则n 的取值范围是 （A ）()1,3- （B ）(- （C ）()0,3 （D ）( 6.如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是 283 π ,则它的表面积是 （A ）17π （B ）18π （C ）20π （D ）28π 7.函数2 2x y x e =-在[]2,2-的图像大致为 （A ） B ） （C ） D ）
8.若101a b c >><<，,则 （A ）c c a b < （B ）c c ab ba < （C ）log log b a a c b c < （D ）log log a b c c < 9.执行右面的程序框图,如果输入的011x y n ===，，,则输出x ,y 的值满足 （A ）2y x = （B ）3y x = （C ）4y x = （D ）5y x = 10.以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A 、B 两点，交C 的准线于D 、E 两点.已知|AB |= DE|=则C 的焦点到准线的距离为 (A)2 (B)4 (C)6 (D)8 11.平面α过正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的顶点A ,α αI α I 21 3 知函数 ()sin()(0),2 4 f x x+x π π ω?ω?=>≤ =- ， 为()f x 的零 点,4 x π= 为()y f x =图像的对称轴，且()f x 在51836ππ?? ?? ?，单调，则ω的最大值为 （A ）11????????（B ）9?????（C ）7????????（D ）5 二、填空题：本大题共3小题,每小题5分 13.设向量a =(m ,1)，b =(1,2)，且|a +b |2=|a |2+|b |2，则m = ． 14.5(2x 的展开式中，x 3的系数是 ．（用数字填写答案） 15.设等比数列{}n a 满足a 1+a 3=10，a 2+a 4=5，则a 1a 2 …a n 的最大值为 ． 16.某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料，乙材料1kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料，乙材料，用3个工时．生产一件产品A 的利润为2100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150kg ，乙材料90kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为 元． 三.解答题：解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分为12分） ABC ?的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos (cos cos ).C a B+b A c = （I ）求C ； 结束
高考理科数学全国卷三导数压轴题解析
2018年高考理科数学全国卷三导数压轴题解析 已知函数2()(2)ln(1)2f x x ax x x =+++- （1） 若0a =，证明：当10x -<<时，()0f x <；当0x >时，()0f x >； （2） 若0x =是()f x 的极大值点，求a . 考点分析 综合历年试题来看，全国卷理科数学题目中，全国卷三的题目相对容易。但在2018年全国卷三的考察中，很多考生反应其中的导数压轴题并不是非常容易上手。第1小问，主要通过函数的单调性证明不等式，第2小问以函数极值点的判断为切入点，综合考察复杂含参变量函数的单调性以及零点问题，对思维能力（化归思想与分类讨论）的要求较高。 具体而言，第1问，给定参数a 的值，证明函数值与0这一特殊值的大小关系，结合函数以及其导函数的单调性，比较容易证明，这也是大多数考生拿到题目的第一思维方式，比较常规。如果能结合给定函数中20x +>这一隐藏特点，把ln(1)x +前面的系数化为1，判断ln(1)x +与2/(2)x x +之间的大小关系，仅通过一次求导即可把超越函数化为求解零点比较容易的代数函数，解法更加容易，思维比较巧妙。总体来讲，题目设置比较灵活，不同能力层次的学生皆可上手。 理解什么是函数的极值点是解决第2问的关键。极值点与导数为0点之间有什么关系：对于任意函数，在极值点，导函数一定等于0么（存在不存在）？导函数等于0的点一定是函数的极值点么？因此，任何不结合函数的单调性而去空谈函数极值点的行为都是莽撞与武断的。在本题目中，0x =是()f x 的极大值点的充要条件是存在10δ<和20δ>使得对于任意1(,0)x δ∈都满足()(0)=0f x f <( 或者()f x 单调递增)，对于任意2(0,)x δ∈都满足()(0)=0f x f <( 或者()f x 单调递减)，因此解答本题的关键是讨论函数()f x 在0x =附近的单调性或者判断()f x 与(0)f 的大小关系。题目中并没有限定参数a 的取值范围，所以要对实数范围内不同a 取值时的情况都进行分类讨论。在第1小问的基础上，可以很容易判断0a =以及0a >时并不能满足极大值点的要求，难点是在于判断0a <时的情况。官方标准答案中将问题等价转化为讨论函数2 ()ln(1)/(2)h x x x x =+++在0x =点的极值情况，非常巧妙，但是思维跨度比较大，在时间相对紧张的选拔性考试中大多数考生很难想到。需要说明的是，官方答案中的函数命题等价转化思想需要引起大家的重视，这种思想在2018年全国卷2以及2011年新课标卷1的压轴题中均有体现，这可能是今后导数压轴题型的重要命题趋势，对学生概念理解以及思维变通的能力要求更高，符合高考命题的思想。 下面就a 值变化对函数()f x 本身在0x =附近的单调性以及极值点变化情况进行详细讨论。
2017年全国高考理科数学试题及答案全国卷1
绝密★启用前 2017年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 本试卷5页，23小题，满分150分。考试用时120分钟。 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。 用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1．已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则 A ．{|0}A B x x =< B ．A B =R C ．{|1}A B x x => D ．A B =? 2．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 A ． 1 4 B ． π8 C ．12 D ． π4 3．设有下面四个命题 1p ：若复数z 满足1 z ∈R ，则z ∈R ； 2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ； 3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =； 4p ：若复数z ∈R ，则z ∈R .
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