高考数学高三模拟考试试卷压轴题高三第三次月考试卷数学理科
()23,
x f x x =+-高考数学高三模拟考试试卷压轴题高三第三次月考试卷数学（理科）
（本试卷满分150分）
一.选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）
1.集合A={x|2
20x x ->}，集合B 是函数y=lg （2﹣x ）的定义域，则A∩B=( )
A ．（﹣∞，0）
B ．（0，1）
C ．（1，2）
D ．（2，+∞）
2.曲线x
y e =在点A （0，1）处的切线斜率为( )
A ．2
B ．1
C ．e
D ．
3.下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( )
A ．1y x =+
B ．()2
1y x =-C ．2x y -=D ．()0.5log 1y x =+
4.函数
()()
2ln 1f x x =+的图象大致是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
5.已知，那么cosα=( ) A ．
B ．
C ．
D ．
6.平行四边形ABCD 中，
()1,0AB =,
()
1,2AD =，则AC BD 等于（ ）
A ． 4
B ． 4
C ． 2
D ． ﹣2
7.设函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当x>0时，则f(x)的零点个数为
（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
8.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c.若c2＝(a －b)2＋6，C ＝π
3，则
△ABC 的面积是( )
A ．3 B.33
2 C.9
3 D ．3 3
9.给出如下四个命题：
①若“p 且q”为假命题，则p 、q 均为假命题；
②命题“若a ＞b ，则2a ＞2b ﹣1”的否命题为“若a≤b ，则2a≤2b ﹣1”； ③“?x ∈R ，x2+1≥1”的否定是“?x ∈R ，x2+1≤1； ④在△ABC 中，“A ＞B”是“sinA ＞sinB”的充要条件． 其中不正确的命题的个数是( ) A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
10.函数f （x ）=sin （ωx+φ）（其中|φ|＜）的图象如图所示，为了得到y=sinωx 的图
象，只需把y=f （x ）的图象上所有点( )个单位长度．
A ．向右平移
B ．向右平移
C ．向左平移
D ．向左平移
11.已知向量=(3，4)，=5，|﹣|=2，则||=( ) A ．5
B ．25
C ．2
D ．
12. 已知函数f(x)＝?
????x2＋1，x>0，
cos x ， x ≤0，则下列结论正确的是( )
A ．f(x)是偶函数
B ．f(x)是增函数
C ．f(x)是周期函数
D ．f(x)的值域为[－1，＋
∞)
二.填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）
13.若函数
()()
sin x θ=+f x （
）的图象关于直线
6x π
=
对称，则θ=
14.若函数在
(]0,1上单调递增，那么实数
的取值范围是
15. 设向量=（4，1），=（1，﹣cosθ），若∥，则cosθ=．
16.已知函数f （x ）的定义域为[﹣1，5]，部分对应值如表，f （x ）的导函数y=f′（x ）的图象如图所示．下列四个命题：
①函数f （x ）的极大值点为2； ②函数f （x ）在[2，4]上是减函数； ③如果当
[]
,5x m ∈时，f （x ）的最小值是﹣2，那么m 的最大值为4；
④函数y=f （x ）﹣a （a ∈R ）的零点个数可能为0、1、2、3、4个． 其中正确命题的序号是．
三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或求解演算步骤）
17．(本小题满分12分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a>c.已知BA →·BC →
＝2，cosB ＝13
，b ＝3.求：(1)a 和c 的值；(2)cos(B －C)的值．
18.（本小题满分12分）已知函数
,.
(Ⅰ)求函数
的最小正周期;
(Ⅱ)求函数在区间上的最大值和最小值.
19.（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(－1，－2)，B(2，3)， C(－2，－1)．(1)求以线段AB ，AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长；
(2)当k ＝－115
时，求(AB →－kOC →)·OC →
的值．
20.（本小题满分12分）已知△ABC 中，角A 为锐角，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，
b ，c.设向量m ＝(cos A ，sin A)，n ＝(cos A ，－sin A)，且m 与n 的夹角为π
3
.
(1)计算m n 的值并求角A 的大小；
(2)若a ＝7，c ＝3，求△ABC 的面积S.
x ﹣1 0
4
5
f （x ）
﹣1 ﹣2 ﹣2 ﹣1
21．（本小题满分12分） 已知函数()ln (0).a
f x x a x
=+> (1)求()f x 的单调区间；
(2)如果P( x0，y0)是曲线y=()f x 上的点，且x0∈(0，3)，若以P( x0，y0)为切点的切线的
斜率1
2
k ≤恒成立，求实数a 的最小值．
请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.
22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图所示, PA 为圆O 的切线, A 为切点,两点，于交圆C B O PO ,20PA =，
10,PB =BAC ∠的角平分线与BC 和圆O 分别交于点D 和E .
（I ） 求证AB PC PA AC ?=? （II ） 求AD AE ?的值.
23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为1cos (sin x y ?
??
=+??=?为参数）．以O 为极点，x 轴
的非负半轴为极轴建立极坐标系． （Ⅰ）求圆C 的极坐标方程； （Ⅱ）直线l 的极坐标方程是2sin()333
π
ρθ+
=，射线:3
OM π
θ=
（ρ≥0）与圆C 的
交点为O 、P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长．
24．(本小题满分l0分)选修4—5：不等式选讲 已知函数()|21|,()||f x x g x x a =+=+ （I ）当a=0时，解不等式()()f x g x ≥；
（II ）若存在x ∈R ，使得f （x ）≤g （x ）成立，求实数a 的取值范围．
银川九中高三第三次月考理科试卷答案
一.选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）
ABAAC BCBCA DD
二.填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）
13.
3π
θ=
14.[)1,-+∞ 15.1
4-
16.①②③④
三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或求解演算步骤）
17.解 (1)由BA →·BC →
＝2，得c ·acosB ＝2.
又cosB ＝1
3，所以ac ＝6.由余弦定理，得a2＋c2＝b2＋2accosB.
又b ＝3，所以a2＋c2＝9＋2×2＝13.
解?????
ac ＝6，a2＋c2＝13，
得a ＝2，c ＝3或a ＝3，c ＝2.因为a>c ，所以a ＝3，c ＝2.
(2)在△ABC 中，sinB ＝1－cos2B ＝
1－? ??
??132＝
223，
由正弦定理，得sinC ＝c b sinB ＝23×223＝42
9.
因为a ＝b>c ，所以C 为锐角． 因此cosC ＝1－sin2C ＝
1－?
????4292＝7
9
. 于是cos(B －C)＝cosBcosC ＋sinBsinC ＝13×79＋223×429＝2327
18.解 (Ⅰ)()??? ?
?
+=
+=42sin 22cos 2sin πx x x x f , 所以,()f x 的最小正周期
22
T π
π=
=. (Ⅱ)因为()f x 在区间[,]48
ππ
-
上是增函数,在区间[,]84ππ
上是减函数,又
28,14=???
??-=???
??-ππf f ,14=??
?
??πf , 故函数()f x
在区间[,]44
ππ
-
最小值为1-. 19．解：(1)由题意，得AB →＝(3，5)，AC →
＝(－1，1)，
则AB →＋AC →＝(2，6)，AB →－AC →
＝(4，4)．
故所求两条对角线的长分别为4 2，2 10.
(2)∵OC →＝(－2，－1)，AB →－kOC →
＝(3＋2k ，5＋k)，
∴(AB →－kOC →)·OC →
＝(3＋2k ，5＋k)·(－2，－1)＝－11－5k.
∵k ＝－115，∴(AB →－kOC →)·OC →
＝－11－5k ＝0.
20．解：(1)∵|m|＝cos2A ＋sin2A ＝1， |n|＝cos2A ＋（－sin A ）2＝1，
∴m ·n ＝|m|·|n|·cos π3＝1
2
.
∵m ·n ＝cos2A －sin2A ＝cos 2A ，∴cos 2A ＝1
2
.
∵0 2，∴0<2A<π， ∴2A ＝π3，∴A ＝π 6 . (2)方法一：∵a ＝7，c ＝3，A ＝π 6 ，且a2＝b2＋c2－2bccos A ， ∴7＝b2＋3－3b ，解得b ＝－1(舍去)或b ＝4， 故S ＝1 2 bcsin A ＝ 3. 方法二：∵a ＝7，c ＝3，A ＝π 6，且a sin A ＝c sin C ， ∴sin C ＝csin A a ＝3 2 7 . ∵a>c ， ∴0 6，∴cos C ＝1－sin2C ＝52 7 . ∵sin B ＝sin(π－A －C)＝sin π 6＋C ＝12cos C ＋32sin C ＝27 ， ∴b ＝asin B sin A ＝4，故S ＝12 bcsin A ＝ 3. ()()()()()()()()()()22002 02000min 121.ln 00,,0,1 20,32 111 0,3,,222 a a x a x x a x x x x f x a a x a k x x a x x x a a -=+ >>∴=-=∴+∞-= ≤∈≥- ∈∴≥∴='解：f x f x 在上单调递增，在上单调递减由题意得：在上恒成立即在上恒成立 22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲 （1）∵PA 为圆O 的切线,,PAB ACP ∴∠=∠又P ∠为公共角, PCA PAB ??∽AB PA AC PC ∴ =. ……………………4分 （2）∵PA 为圆O 的切线,BC 是过点O 的割线,2 ,PA PB PC ∴=? 40,30PC BC ∴== 又∵022290,900CAB AC AB BC ∠=∴+== 又由（1）知 1 125652 AB PA AC AB AC PC ==∴= =, 连接EC ,则,CAE EAB ∠=∠ ADB ACE ??∽，则 AC AD AE AB =， ∴AD AE AB AC 65125360?=?=?=. 10分 23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 分 的长为，所以线段，所以由于解得的极坐标，则有为点设解得的极坐标，则有为点设分 的极坐标方程是所以圆又）的普通方程是（）圆解：（10.2233.333)cos 3(sin ),(31 3cos 2),()(5cos 2: sin ,cos x ,1y 1x 212122222222111111122 PQ PQ Q P II C y C I =-==??? ??==?? ???==+?? ? ??==?????======+-ρρθθπθρπθθθρθρπ θρπθθρθρθρθρθρ 24．(本小题满分l0分)选修4—5：不等式选讲 故min 11()()22 h x h =-=- ，从而所求实数a 的范围为21 -≥a 10分 高考理科数学试卷普通高等学校招生全国统一考试 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷 三.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求 的. （1）已知集合{1,}A =2,3，{|(1)(2)0,}B x x x x =+-<∈Z ，则A B = （A ）{1}（B ）{1 2}，（C ）{0123}，，，（D ）{10123}-，，，， （2）已知(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是 （A ）(31) -，（B ）(13)-，（C ）(1,)∞+（D ）(3)∞--， （3）已知向量(1,)(3,2)m =-，=a b ，且()⊥a +b b ，则m= （A ）－8（B ）－6 （C ）6 （D ）8 （4）圆 22 28130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a= （A ）43- （B ）3 4- （C ）3（D ）2 （5）如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为 （A ）24 （B ）18 （C ）12 （D ）9 （6）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为 （A ）20π（B ）24π（C ）28π（D ）32π （7）若将函数y=2sin 2x 的图像向左平移π 12个单位长度，则评议后图象的对称轴为 （A ）x=kπ2–π6 (k ∈Z) （B ）x=kπ2+π6 (k ∈Z) （C ）x=kπ2–π12 (k ∈Z) （D ）x=kπ2+π 12 (k ∈Z) （8）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图， 若输入的x=2，n=2，依次输入的a 为2，2，5，则输出的s= （A ）7 （B ）12 （C ）17 （D ）34 （9）若cos(π4–α)=3 5，则sin 2α= （A ）725（B ）15（C ）–15（D ）–7 25 （10）从区间[] 0,1随机抽取2n 个数 1x , 2 x ，…， n x ， 1 y ， 2 y ，…， n y ，构成n 个数对()11,x y ， ()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有 m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率 π的近似值为 （A ）4n m （B ）2n m （C ）4m n （D ）2m n （11）已知F1，F2是双曲线E 22 221x y a b -=的左，右焦点，点M 在E 上，M F1与x 轴垂直， sin 211 3 MF F ∠= ,则E 的离心率为 （A B ） 3 2 （C D ）2 （12）已知函数学.科网()()f x x ∈R 满足()2()f x f x -=-，若函数1x y x +=与() y f x =图像的交点为 1122(,),(,),,(,),m m x y x y x y ???则1 ()m i i i x y =+=∑ （A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m 第II 卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共3小题，每小题5分 (13)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若cos A= 45，cos C=5 13 ，a=1，则b=. (14)α、β是两个平面，m 、n 是两条直线，有下列四个命题： （1）如果m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，那么α⊥β. （2）如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n. （3）如果α∥β，m ?α，那么m ∥β. （4）如果m ∥n ，α∥β，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等. 其中正确的命题有.(填写所有正确命题的编号） （15）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3。甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是。 （16）若直线y=kx+b 是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln （x+2）的切线，则b=。 三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本题满分12分） n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且7=128.n a S =，记[]=lg n n b a ，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如 [][]0.9=0lg99=1，. （I ）求111101b b b ，，； （II ）求数列{}n b 的前1 000项和. 18.（本题满分12分） 某险种的基本保费为a （单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下： 上年度出险次数 1 2 3 4 ≥5 保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下： 一年内出险次数 1 2 3 4 ≥5 概率 0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0. 05 （I ）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率； （II ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率； （III ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值. 19.（本小题满分12分） 如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，AB=5，AC=6，点E,F 分别在AD,CD 上，AE=CF=5 4， EF 交BD 于点H.将△DEF 沿EF 折到△D EF '的位置，10OD '= （I ）证明：D H '⊥平面ABCD ； （II ）求二面角B D A C '--的正弦值. 20. （本小题满分12分） 已知椭圆E:22 13 x y t +=的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为k(k>0)的直线交E 于A,M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA. （I ）当t=4，AM AN =时，求△AMN 的面积； （II ）当2AM AN =时，求k 的取值范围. （21）（本小题满分12分） (I)讨论函数x x 2f (x)x 2 -= +e 的单调性，并证明当x >0时，(2)20;x x e x -++> (II)证明：当[0,1)a ∈时，函数2x =(0)x e ax a g x x -->（ ）有最小值.设g （x ）的最小值为()h a ，求函数()h a 的值域. 请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号 （22）（本小题满分10分）选修41：集合证明选讲 如图，在正方形ABCD ，E,G 分别在边DA,DC 上（不与端点重合），且DE=DG ，过D 点作DF ⊥CE ，垂足为F. (I) 证明：B,C,E,F 四点共圆； (II)若AB=1，E 为DA 的中点，求四边形BCGF 的面积. （23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 在直线坐标系xoy 中，圆C 的方程为（x+6）2+y2=25. （I ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程； （II ）直线l 的参数方程是（t 为参数）,l 与C 交于A 、B 两点，∣AB ∣=，求l 的斜率。 （24）（本小题满分10分），选修4—5：不等式选讲 已知函数f(x)= ∣x ∣+∣x+∣，M 为不等式f(x)＜2的解集. （I ）求M ； （II）证明：当a,b∈M时，∣a+b∣＜∣1+ab∣。