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04184-线性代数(经管类)

()0A r A n A Ax A A οο??

=?=?????

不可逆有非零解

是的特征值

的列（行）向量线性相关 12()0,,T s i n

A r A n Ax A A A A A A A p p p p Ax οββ??=??=???

≠????

=??????∈=?可逆只有零解的特征值全不为零的列（行）向量线性无关是正定矩阵与同阶单位阵等价是初等阵

总有唯一解

????→???

具有

向量组等价相似矩阵反身性、对称性、传递性矩阵合同 √ 关于12,,,n e e e ???：

①称为

的标准基，

中的自然基，单位坐标向量；

②12,,,n e e e ???线性无关； ③

12,,,1n e e e ???=；

④tr()=E n ；

⑤任意一个n 维向量都可以用12,,,n e e e ???线性表示. √ 行列式的计算：

① 若A B 与都是方阵（不必同阶）,则

(1)mn A A A A B

A B B οο

οοο

*=-

②上三角、下三角行列式等于主对角线上元素的乘积.

③关于副对角线：

(1)2

1121

1211

(1)

n n n

n n n n n n n a a a a a a a a a ο

οο

---*

√ 逆矩阵的求法:

①1

A A A

②1()()A

E E A -????→初等行变换

③11a b d b c d c a ad bc --????=????--???? T

T T T

T A B A C C D B

D ??

??=????????

④1

1n a a n a a a a -????

????

???=????

????

???

a a n a a a a -????

????

???=????

??????????

⑤1

21n n A A A A A A ----????

????

???=????

????

???

112

211

n n A A A A A A ----?

?????

???=???

????

??????

√ 方阵的幂的性质：m n m n A A A += ()()m n mn A A =

√ 设

1110()m m m m f x a x a x a x a --=++

++，对n 阶矩阵A 规定：1110()m m m m f A a A a A a A a E --=++

++为

A 的一个多项式.

√ 设

,,m n n s A B ??A

的列向量为

12,,,n

ααα???,

的列向量为

12,,,s

βββ???，

的列向量为

12,,,s

r r r ,

1212121122,1,2,,,(,,,)(,,,)

,(,,,),,,.i i s s T n n n i i i i r A i s A A A A A B b b b A b b b AB i r A AB i r B βββββββββαααβα==???=??

==++??

???则：即用中简

若则单的一个提

即：的第个列向量是的列向量的线性组合组合系数就是的各分量；高运算速度

的第个行向量是的行向量的线性组合组合系数就是的各分量 √ 用对角矩阵Λ左乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的行向量；

用对角矩阵Λ右乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的列向量. √ 两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘,

与分块对角阵相乘类似,即：11

,kk kk A B A B A B A B οοο

???

???==????????????

向量组12,,,n ααα???线性无关?向量组中每一个向量i α都不能由其余1n -个向量线性表示. ①

m 维列向量组12,,,n ααα???线性相关()r A n ?<；

m 维列向量组12,,,n ααα???线性无关()r A n ?=.

②

()0r A A ο=?=.

③ 若12,,,n ααα???线性无关，而12,,,,n αααβ???线性相关,则β可由12,,,n ααα???线性表示,且表示法惟一. ④ 矩阵的行向量组的秩等于列向量组的秩.

阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数.

⑤ 矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩,且不改变列向量间的线性关系. 矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩,且不改变行向量间的线性关系. 向量组等价 12,,,n ααα???和12,,,n βββ???可以相互线性表示. 记作：{}{}1212,,,,,,n n αααβββ???=???

矩阵等价 A 经过有限次初等变换化为B . 记作：A B =

⑥ 矩阵

A 与

B 等价?()(),r A r B A B =≠>作为向量组等价,即：秩相等的向量组不一定等价.

矩阵

A 与

B 作为向量组等价?1212(,,,)(,,,)n n r r αααβββ???=???=1212(,,,,,,)n n r αααβββ??????? 矩阵

A 与

B 等价.

⑦ 向量组12,,,s βββ???可由向量组12,,,n ααα???线性表示

?1212(,,,,,,)n s r αααβββ??????12(,,,)n r ααα=????12(,,,)s r βββ???≤12(,,,)n r ααα???.

⑧ 向量组12,,,s βββ???可由向量组12,,,n ααα???线性表示,且s

n >，则12,,,s βββ???线性相关.

向量组12,,,s βββ???线性无关,且可由12,,,n ααα???线性表示,则s ≤n . ⑨ 向量组12,,,s βββ???可由向量组12,,,n ααα???线性表示,且12(,,,)s r βββ???12(,,,)n r ααα=???,则两向量组等价；

⑩ 任一向量组和它的极大无关组等价.

? 向量组的任意两个极大无关组等价,且这两个组所含向量的个数相等. ? 若两个线性无关的向量组等价,则它们包含的向量个数相等. ? 若A 是m n ?矩阵,则{}()min ,r A m n ≤,若()r A m =，A 的行向量线性无关；

若()r A n =，

A 的列向量线性无关,即：

12,,,n ααα???线性无关.

线性方程组的矩阵式

Ax β= 向量式 1122n n x x x αααβ+++=

1112111212222212

,,n n m m mn n m a a a x b a a a x b A x a a a x b β??????

????????????===??????

?????

?????? 12,1,2,,j j j

mj j n αααα??????==????????

121212,,,,,,()(),,,n n n Ax Ax n Ax Ax Ax r A r A n βοαααβοβαααββααα?

?==<<≠???==?=?=<≠

=?有无穷多解有非零解线性相关有唯一组解只有零解可由线性表示有解线性无关 12()(),,,()()()1()A n r A r A Ax r A r A r A r A ββαααβββ????????

??????

??????→??

?≠??

?=?

当为方阵时克莱姆法则不可由线性表示无解

线性方程组解的性质：1212121211221212(1),0,(2)0,,(3),,,0,,,,,(4),0,(5),,0(6)k k k k Ax Ax k k Ax k Ax Ax Ax Ax Ax ηηηηηηηηηλλλληληληγβηγηβηηβηη=+??=??

=??++?

==+==-= 是的解也是它的解是的解对任意也是它的解齐次方程组是的解对任意个常数也是它的解是的解是其导出组的解是的解是的两个解是其导出组的解

211212112212112212,0(7),,,,1

00k k k k k k k Ax Ax Ax Ax Ax ηβηηηηηηβληληληβλλλλη

ληληλλλ?????

????

???

?=?-=?

=??++=?++=?

?++=?++=? 是的解则也是它的解是其导出组的解是的解则

也是的解是的解

√ 设

A 为m n ?矩阵,若()r A m =,则()()r A r A β=,从而Ax β=一定有解.

当m n <

时,一定不是唯一解.?

<方程个数未知数的个数

向量维数向量个数

,则该向量组线性相关.

m 是()()r A r A β和的上限.

√ 矩阵的秩的性质： ① ()

()()T T r A r A r A A ==

② ()r A B ±≤()()r A r B + ③ ()r AB ≤{}min

(),()r A r B

④ ()0()00

r A k r kA k ≠?=?

=? 若若

⑤ ()()A r r A r B B οο??

=+????

⑥0,()A r A ≠若则≥1 ⑦ ,,()

0,()()m n n s A B r AB r A r B ??=+若且则≤n

⑧ ,()()()P Q r PA r AQ r A ==若可逆,则 ⑨ ,()()A r AB r B =若可逆则

,()()B r AB r A =若可逆则

⑩ (),()

(),r A n r AB r B ==若则且A 在矩阵乘法中有左消去律:

0AB B AB AC B C

ο=?==?=

标准正交基 n 个n 维线性无关的向量,两两正交,每个向量长度为1.

αβ与正交 (,)0αβ=. α

是单位向量

(,)1ααα==.

√ 内积的性质： ① 正定性：(,)0,(,)0αααααο≥=?=且

② 对称性：(,)(,)αββα=

③ 双线性：1212(,)(,)(,)αββαβαβ+=+ 1212(,)

(,)(,)ααβαβαβ+=+

(,)(,)(,)c c c αβαβαβ==

施密特 123,,ααα线性无关,

112122111313233121122(,)

()(,)(,)

()()βααββαβββαβαββαββββββ=????=-??

?=-

-??

正交化

单位化：1

βηβ=

正交矩阵 T AA E =.

√

A 是正交矩阵的充要条件：A 的n 个行（列）向量构成

的一组标准正交基.

√ 正交矩阵的性质：①

1T A A -=； ② T T AA A A E ==；

③

A 是正交阵,则T A （或1A -）也是正交阵；

④ 两个正交阵之积仍是正交阵； ⑤ 正交阵的行列式等于1或-1.

A 的特征矩阵 E A λ-.

A 的特征多项式 ()E A f λλ-=.

A 的特征方程 0E A λ-=. Ax x Ax x λ=→ 与线性相关

√ 上三角阵、下三角阵、对角阵的特征值就是主对角线上的n 各元素. √ 若

0A =,则0λ=为A 的特征值,且0Ax =的基础解系即为属于0λ=的线性无关的特征向量.

√

n A λλλ= 1

i A λ=∑tr

√ 若()1r A =,则A 一定可分解为A =[]12

12,,

,n n a a b b b a ????????????

、21122()n n A a b a b a b A =++

+,从而A 的特征值

为：11122n n A a b a b a b λ==+++tr , 230n λλλ====.

√ 若

A 的全部特征值12,,

,n λλλ，()f x 是多项式,则:

①

()f A 的全部特征值为12(),(),

,()n f f f λλλ；

② 当

A 可逆时,1A -的全部特征值为1

2111,,,n λλλ,

A *的全部特征值为12,,

A A

λ.

√ 1122

,.m m A

k kA

a b aA bE

A A A A λλλλλλ-*??++?????

????

是的特征值则:分别有特征值 √ 1122

,m m A k kA

a b aA bE

x A x A A A

λλλλλλ-*??++?????

????是关于的特征向量则也是关于的特征向量. A 与B 相似 1B P AP -= （P 为可逆阵）记为：A B

√

A 相似于对角阵的充要条件：A 恰有n 个线性无关的特征向量. 这时,P 为A 的特征向量拼成的矩阵，1P AP -为对角阵,

主对角线上的元素为

A 的特征值.

√

A 可对角化的充要条件：()i i n r E A k λ--= i k 为i λ的重数.

√ 若n 阶矩阵

A 有n 个互异的特征值,则A 与对角阵相似.

A 与

B 正交相似 1B P AP -= （P 为正交矩阵）

√ 相似矩阵的性质：①

11A B -- 若,A B 均可逆

② T T A B

③

k A B （k 为整数）

④

E A E B

λλ-=-,从而

,A B 有相同的特征值,但特征向量不一

定相同.即:x 是A 关于0λ的特征向量,1P x -是B 关于0λ的特征

向量.

⑤

A B

= 从而

,A B 同时可逆或不可逆

⑥ ()()r A r B = ⑦ ()()A B =tr tr

√ 数量矩阵只与自己相似. √ 对称矩阵的性质：

① 特征值全是实数,特征向量是实向量； ② 与对角矩阵合同；

③ 不同特征值的特征向量必定正交；

④ k 重特征值必定有k 个线性无关的特征向量；

⑤ 必可用正交矩阵相似对角化（一定有n 个线性无关的特征向量,A 可能有重的

特征值,重数=()n r E A λ--

）.

A 可以相似对角化 A 与对角阵Λ相似. 记为：A Λ （称Λ是A 的相似标准型）

√ 若

A 为可对角化矩阵,则其非零特征值的个数（重数重复计算）()r A =.

√ 设i α为对应于i λ的线性无关的特征向量,则有：

[]12

1212112212(,,,)(,,,)(,,

,),,

,n n n n n n P

A A A A λλααααααλαλαλααααλΛ

?????

?===?????

. √ 若

A B , C

D ,则：A B C D οοοο??????

??????

. √ 若

A B ,则()

()f A f B ,()()

f A f B =.

二次型

12(,,

,)T n f x x x X AX

A 为对称矩阵 12(,,

,)T n X x x x =

A 与

B 合同 T B

C AC =. 记作：A B （,,A B C 为对称阵为可逆阵）

√ 两个矩阵合同的充分必要条件是：它们有相同的正负惯性指数.

√ 两个矩阵合同的充分条件是：

A B

√ 两个矩阵合同的必要条件是：()()r A r B =

√

12(,,,)T

n f x x x X AX

=经过

正交变换

合同变换可逆线性变换

X CY =化为2

121

(,,

,)n

n i i f x x x d y =∑标准型.

√ 二次型的标准型不是惟一的,与所作的正交变换有关,但系数不为零的个数是由

()

r A +正惯性指数负惯性指数

惟一确定的.

√ 当标准型中的系数i d 为1，-1或0时,则为规范形 .

√ 实对称矩阵的正（负）惯性指数等于它的正（负）特征值的个数.

√ 任一实对称矩阵A 与惟一对角阵111

0??????????-?

???-???????????

合同. √ 用正交变换法化二次型为标准形:

① 求出

A 的特征值、特征向量；

② 对n 个特征向量单位化、正交化； ③ 构造C （正交矩阵）,1

AC -=Λ；

④ 作变换

X CY =,新的二次型为2121(,,

,)n

n i i f x x x d y =∑,Λ的主对角上的元素i d 即为A 的特征值.

正定二次型 12,,,n x x x 不全为零，12(,,

,)0n f x x x >.

正定矩阵正定二次型对应的矩阵. √ 合同变换不改变二次型的正定性. √ 成为正定矩阵的充要条件（之一成立）：

① 正惯性指数为n ；

② A 的特征值全大于0；

③ A 的所有顺序主子式全大于0；

④

A 合同于E ，即存在可逆矩阵Q 使T Q AQ E =；

⑤ 存在可逆矩阵P ，使

T A P P = （从而0A >）

； ⑥

存在正交矩阵，使1

T n C AC C AC λλλ-????

?==?????

（i λ大于0）.

√ 成为正定矩阵的必要条件：0ii

a > ； 0A >.

10月自考线性代数经管类试卷及答案

10月高等教育自学考试全国统一命题考试线性代数(经管类) 试卷 (课程代码04184) 说明：在本卷中。A T表示矩阵A的转置矩阵。A* 表示矩阵A的伴随矩阵，E是单位矩阵，︱A ︱表示方阵A的行列式，r(A)表示矩阵A的秩。第一部分选择题一、单项选择题(本大题共5小题，每小题2分，共10分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其选出并将“答题卡” 的相应代码涂黑。未涂、错涂或多涂均无分。 1．已知2阶行列式 A．-2 B．-l C．1 D．2 3．设向量组可由向量组线性表出，则下列结论中正确的是

A．若s≤t，则必线性相关 B．若s≤t，则必线性相关 C．若线性无关，则s≤t D．若线性无关，则s≤t 4．设有非齐次线性方程组Ax=b，其中A为m×n 矩阵，且r(A)=r 1，r(A，b)=r 2 ，则下列结论中正确的是 A．若r 1 =m，则Ax=O有非零解 B．若r 1 =n，则Ax=0仅有零解 C．若r 2 =m，则Ax=b有无穷多解 D．若r 2 =n，则Ax=b有惟一解 5. 设n阶矩阵A满足︱2E-3A︱=0，则A必有一个特征值= 第二部分非选择题二、填空题 (本大题共l0小题。每小题2分，共20分) 请在答题卡上作答。 6．设行列式中元素a ij 的代数余子式为 A ij (i,j=1,2)，则a 11 A 21 +a 12 +A 22 =__________． 7．已知矩阵，则A2+2A+E=___________．

8．设矩阵，若矩阵A满足AP=B，则A=________． 9．设向量，，则由向量组线性表出的表示式为=____________． 10．设向量组a 1=(1，2,1)T，a 2 =(-1，1，0)T， a 3 =(0，2，k)T线性无关，则数k的取值应满足__________． 11．设3元非齐次线性方程组Ax=b的增广矩阵(A，b)经初等行变换可化为若该方程组无解，则数k=_________．12．设=-2是n阶矩阵A的一个特征值，则矩阵A—3E必有一个特征值是________． 13．设2阶矩阵A与B相似，其中，则数a=___________． 14．设向量a 1=(1，-l，0)T，a 2 =(4，0，1)T，则 =__________． 15．二次型f(x 1，x 2 )=-2x 1 2+x 2 2+4x 1 x 2 的规范形为

线性代数(经管类)-阶段测评1,2,3,4

线性代数（经管类）-阶段测评1 1.单选题 1.1 5.0 设矩阵 $A=((a_11,a_12),(a_21,a_22)),B=((a_21+a_11,a_22+a_12),(a_11 ,a_12)),P_1=((0,1),(1,0)),P_2=((1,0),(1,1))$，则必有（）您答对了a a $P_1P_2A=B$ b $P_2P_1A=B$ c $AP_1P_2=B$ d $AP_2P_1=B$ 考点：矩阵的行列变换，左乘行变，右乘列变。 1.2 5.0 设$A$为四阶矩阵，且$|A|=-3$，则$|A^(**)|$=（）您答对了 c ? a $-3$ ?

?b $9$ ? ?c $-27$ ? ?d $81$ ? $|A^(**)|=|A|^(n-1)=-3^3=-27$. 1.3 5.0 设$A，B$为$n$阶方阵，满足$A^2=B^2$，则必有（）您答对了 d ?a $A=B$ ? ?b $A=-B$ ? ?c $|A|=|B|$ ? ?d $|A|^2=|B|^2$ ? 方阵行列式的性质，特别是$|AB|=|A||B|$ 解1：因为$A^2=B^2$，故$|A^2|=|B^2|$，而因为$|AB|=|A||B|$，故$|A^2|=|A|^2，|B^2|=|B|^2$，所以$|A|^2=|B|^2$ 解2：取

$A=((1,0,0),(0,-1,0),(0,0,-1)),B=((1,0,0),(0,-1,0),(0,0,1))$，显然$A^2=B^2=E$，但选项A,B,C都不对，应用排除法知正确答案为D。 1.4 5.0 设3阶矩阵$A$的行列式$|A|=(1)/(3)$，则$|-3A^T|=$（）您答对了 d ?a 9 ? ?b 1 ? ?c -1 ? ?d -9 ? $|-3A^T|=(-3)^3|A^T|=-27|A|=-9$. 1.5 5.0 设矩阵$A=[[a,b],[c,d]]$，且已知$|A|=-1$，则$A^-1$=（）您答对了 b ?a $[[d,-b],[-c,a]]$ ? ?b $[[-d,b],[c,-a]]$ ? ?c $[[d,-c],[-b,a]]$

(完整版)自考本科线性代数(经管类)知识汇总

自考高数线性代数笔记第一章行列式 1.1行列式的定义（一）一阶、二阶、三阶行列式的定义（1）定义：符号叫一阶行列式，它是一个数，其大小规定为：。注意：在线性代数中，符号不是绝对值。例如，且；（2）定义：符号叫二阶行列式，它也是一个数，其大小规定为：所以二阶行列式的值等于两个对角线上的数的积之差。（主对角线减次对角线的乘积）例如（3）符号叫三阶行列式，它也是一个数，其大小规定为例如=0 三阶行列式的计算比较复杂，为了帮助大家掌握三阶行列式的计算公式，我们可以采用下面的对角线法记忆

方法是：在已给行列式右边添加已给行列式的第一列、第二列。我们把行列式左上角到右下角的对角线叫主对角线，把右上角到左下角的对角线叫次对角线，这时，三阶行列式的值等于主对角线的三个数的积与和主对角线平行的线上的三个数的积之和减去次对角线三个数的积与次对角线的平行线上数的积之和。例如：（1） =1×5×9+2×6×7+3×4×8-3×5×7-1×6×8-2×4×9=0 （2）（3）（2）和（3）叫三角形行列式，其中（2）叫上三角形行列式，（3）叫下三角形行列式，由（2）（3）可见，在三阶行列式中，三角形行列式的值为主对角线的三个数之积，其余五项都是0，例如

例1a为何值时， [答疑编号10010101：针对该题提问] 解因为所以8-3a=0，时例2当x取何值时， [答疑编号10010102：针对该题提问] 解：. 解得0

线性代数经管类——重点难点总结

4184线性代数（经管类）——重点难点总结 1、设n 阶矩阵A 的各行元素之和均为0，且A 的秩为n -1，则齐次线性方程组Ax =0的通解为_K(1,1,1….1)T 2、设A 是n m ?矩阵，已知0=Ax 只有零解，则以下结论正确的是（A ） A ．n m ≥ B ．b Ax =（其中b 是m 维实向量）必有唯一解 C ．m A r =)( D ．0=Ax 存在基础解系解：αααααααααααααααα 100 101 101)())(()())(()(T T T T T T T T ==，由于)13(23)2,3(=??? ? ??=T αα，所以10010010113)13()(==ααααT T ??? ? ??=???? ??=466913)2,3(2313100 100ααT （标准答案）． 6、已知4321,,,αααα线性无关，证明：21αα+,32αα+,43αα+,14αα-线性无关．证：设0)()()()(144433322211=-++++++ααααααααk k k k ，即0)()()()(443332221141=++++++-ααααk k k k k k k k ，

因为4321,,,αααα线性无关，必有??? ?? ??=+=+=+=-000043322141 k k k k k k k k ，只有04321====k k k k ，所以21αα+，32αα+，43αα+，14αα-线性无关． 7、设A 是n 阶方阵，若对任意的n 维向量x 均满足Ax =0,则（） A.A =0/A/=0? B.A =E C.r (A )=n D.0

历年自考04184线性代数试题真题及答案分析解答

全国2010年度4月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题答案一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 1．已知2阶行列式m b b a a =2121，n c c b b =2121，则=++2 21 12 1 c a c a b b （ B ） A ．n m - B ．m n - C ．n m + D ．)(n m +- m n n m c c b b a a b b c a c a b b -=+-=+=++2 12 12121 221121． 2．设A , B , C 均为n 阶方阵，BA AB =，CA AC =，则=ABC （ D ） A ．ACB B ．CAB C ．CBA D ．BCA BCA CA B AC B C BA C AB ABC =====)()()()(． 3．设A 为3阶方阵，B 为4阶方阵，且1||=A ，2||-=B ，则行列式||||A B 之值为（ A ） A ．8- B ．2- C ．2 D ．8 8||)2(|2|||||3-=-=-=A A A B ． 4．????? ??=3332 312322 211312 11a a a a a a a a a A ，????? ??=3332 312322 211312 11333a a a a a a a a a B ，????? ??=100030001P ，??? ? ? ??=100013001Q ，则=B （ B ） A ．PA B ．AP C ．QA D ．AQ ????? ??=3332 31 232221 131211 a a a a a a a a a AP ????? ??100030001B a a a a a a a a a =??? ? ? ??=3332312322 211312 11333． 5．已知A 是一个43?矩阵，下列命题中正确的是（ C ） A ．若矩阵A 中所有3阶子式都为0，则秩(A )=2 B ．若A 中存在2阶子式不为0，则秩(A )=2 C ．若秩(A )=2，则A 中所有3阶子式都为0 D ．若秩(A )=2，则A 中所有2阶子式都不为0 6．下列命题中错误．．的是（ C ） A ．只含有1个零向量的向量组线性相关 B ．由3个2维向量组成的向量组线性相关

线性代数(经管类)考试试卷及答案(一)

高等教育自学考试全国统一命题考试线性代数(经管类)优化试卷（一）说明：在本卷中，A T表示矩阵A的转置矩阵，A*表示矩阵A的伴随矩阵，E是单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式．一、单项选择题(本大题共10小题。每小题2分，共20分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内．错选、多选或未选均无分． 1．设A为3阶方阵，且|A|=2，则| 2A-l | ( ) A．-4 B．-1 C．1 D．4 2．设矩阵A=(1,2),B=，C=,下列矩阵运算中有意义的是( ) A．ACB B．ABC C．BAC D．CBA 3．设A为任意n阶矩阵，下列矩阵中为反对称矩阵的是( ) A．A+A T B．A - A T C．A A T D．A T A 4．设2阶矩阵A= ，则A*= ( ) 5．矩阵的逆矩阵是（）

6．设矩阵A=，则A中( ) A．所有2阶子式都不为零 B．所有2阶子式都为零 C．所有3阶子式都不为零 D．存在一个3阶子式不为零 7．设A为m×n矩阵，齐次线性方程组Ax=0有非零解的充分必要条件是( ) A．A的列向量组线性相关 B．A的列向量组线性无关 C．A的行向量组线性相关 D．A的行向量组线性无关 8．设3元非齐次线性方程组Ax=b的两个解为，且系数矩阵A的秩r(A)=2，则对于任意常数k,k1,k2，方程组的通解可表为( ) 9．矩阵的非零特征值为( ) A．4 B．3 C．2 D．l

10．4元二次型的秩为( ) A．4 B．3 C．2 D．l 二、填空题(本大题共10小题．每小题2分．共20分) 请在每小题的空格中填上正确答案．错填、不填均无分． 11．若i=1，2，3，则行列式=_________________。 12．设矩阵A= ，则行列式|A T A|=_______________。 13．若齐次线性方程组有非零解，则其系数行列式的值为__________________。 14．设矩阵A= ,矩阵B=A – E，则矩阵B的秩r（B）=______________。 15．向量空间的维数为_______________。 16．设向量，则向量的内积=_______________。 17．设A是4×3矩阵，若齐次线性方程组Ax=0只有零解，则矩阵A的秩r（A）=____________。 18．已知某个3元非齐次线性方程组Ax=b 的增广矩阵经初等行变换化为：，若方程组无解，则a的取值为___________。19．设3元实二次型f ( x1 , x2 , x3 ) 的秩为3，正惯性指数为2，则此二次型的规范形式_____________。 20．设矩阵A= 为正定矩阵，则a的取值范围是_______________。三、计算题(本大题共6小题，每小题9分．共54分)

自考04184线性代数(经管类)自考核心考点笔记自考重点资料

第一章行列式 1.1 行列式的定义 1.2 行列式行(列)展开 1.3 行列式的性质与计算 1.3 克拉默法则第二章矩阵 2.1 线性方程组与矩阵的定义2.2 矩阵运算 2.3 分阵的逆矩阵 2.4 分块矩阵 2.5 矩阵的初等变换与初等方阵2.6 矩阵的秩 2.7 矩阵与线性方程组第三章向量空间 3.1 n维向量概念及其线性运算 3.2 线性相关与线性无关 3.3 向量组的秩 3.4 向量空间第四章线性方程组 4.1 齐次线性方程组 4.2 非齐次线性方程组第五章特征值与特征向量 5.1 特征值与特征向量 5.2 方阵的相似变换 5.3 向量内积和正交矩阵 5.4 实对称矩阵的相似标准形第六章实二次型 6.1 实二次型及其标准形 6.2 正这二次型和正定矩阵 … … (中间部分略) 完整版15页请—— QQ：1273114568 索取第一部分行列式本章概述行列式在线性代数的考试中占很大的比例。从考试大纲来看。虽然只占13%左右。但在其他章。的试题中都有必须用到行列式计算的内容。故这部分试题在试卷中所占比例远大于13%。 1.1 行列式的定义 1.1.1 二阶行列式与三阶行列式的定义一、二元一次方程组和二阶行列式例1.求二元一次方程组的解。解：应用消元法得当时。得同理得定义称为二阶行列式。称为二阶行列式的值。记为。于是由此可知。若。则二元一次方程组的解可表示为：例2 二阶行列式的结果是一个数。我们称它为该二阶行列式的值。二、三元一次方程组和三阶行列式考虑三元一次方程组希望适当选择。使得当

消去。得一元一次方程若，能解出其中要满足为解出。在（6），（7）的两边都除以得这是以为未知数的二元一次方程组。定义1.1.1 在三阶行列式中，称于是原方程组的解为 ; 类似地得这就将二元一次方程组解的公式推广到了三元一次方程组。例3 计算例4 （1）

04184 线性代数(经管类)

()0A r A n A Ax A A οο??

②1 ()()A E E A -????→ 初等行变换 ③1 1a b d b c d c a ad bc --???? =????--???? T T T T T A B A C C D B D ?? ??=???????? ④12 11 11 21n a a n a a a a -?????????? ??=???????? ????? ? 2 11 1 1211n a a n a a a a -???? ???? ? ???=???? ?????????? ⑤1 11 11 2 21n n A A A A A A ----???? ???? ? ???=???????? ??? ?? ? 1 1121 211 n n A A A A A A ----? ? ? ??? ?? ? ???=???? ???? ?????? √ 方阵的幂的性质：m n m n A A A += ()()m n mn A A = √ 设 1110()m m m m f x a x a x a x a --=++++ ，对n 阶矩阵A 规定：1 110()m m m m f A a A a A a A a E --=++++ 为A 的一个多项式. √ 设 ,,m n n s A B ??A 的列向量为 12,,,n ααα???, B 的列向量为 12,,,s βββ???， AB 的列向量为 12,,,s r r r , 1212121122,1,2,,,(,,,)(,,,) ,(,,,),,,.i i s s T n n n i i i i r A i s A A A A A B b b b A b b b AB i r A AB i r B βββββββββαααβα==???=?? ==++?? ??? 则：即用中简若则单的一个提即：的第个列向量是的列向量的线性组合组合系数就是的各分量；高运算速度的第个行向量是的行向量的线性组合组合系数就是的各分量 √ 用对角矩阵Λ左乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的行向量；用对角矩阵Λ右乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的列向量. √ 两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘, 与分块对角阵相乘类似,即：11 11 22 22 ,kk kk A B A B A B A B οοο ο ?? ?? ? ??? ? ???==????????????

山东省自学考试线性代数(经管类)

线性代数（经管类）综合试题一（课程代码 4184）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.设D==M≠0，则D1== ( B )． A.－2M B.2M C.－6M D.6M 2.设A、B、C为同阶方阵，若由AB = AC必能推出B = C，则 A应满足 ( D )． A. A≠ O B. A = O C.|A|= 0 D. |A|≠0 3.设A，B均为n阶方阵，则( A )． A.|A+AB|=0，则|A|=0或|E+B|=0 B.(A+B)2=A2+2AB+B2 C.当AB=O时，有A=O或B=O D.(AB)-1=B-1A-1 4.二阶矩阵A，|A|=1，则A-1= ( B )． A. B. C. D. ，则下列说法正确的是( B )． A.若两向量组等价，则s = t .

B.若两向量组等价，则r()= r() C.若s = t，则两向量组等价. D.若r()=r()，则两向量组等价. 6.向量组线性相关的充分必要条件是( C )． A.中至少有一个零向量 B.中至少有两个向量对应分量成比例 C.中至少有一个向量可由其余向量线性表示 D.可由线性表示 7.设向量组有两个极大无关组与，则下列成立的是( C )． A. r与s未必相等 B. r + s = m C. r = s D. r + s > m 8.对方程组Ax = b与其导出组Ax = o，下列命题正确的是( D )． A. Ax = o有解时，Ax = b必有解. B. Ax = o有无穷多解时，Ax = b有无穷多解. C. Ax = b无解时，Ax = o也无解. D. Ax = b有惟一解时，Ax = o只有零解. 9.设方程组有非零解，则k = ( D )． A. 2 B. 3 C. -1 D. 1 10.n阶对称矩阵A正定的充分必要条件是( D )．

《线性代数(经管类)》综合测验题库

《线性代数（经管类）》综合测验题库一、单项选择题 1.下列条件不能保证n阶实对称阵A为正定的是() A.A-1正定 B.A没有负的特征值 C.A的正惯性指数等于n D.A合同于单位阵 2.二次型f（x1,x2,x3）= x12+ x22+x32+2x1x2+2x1x3+2x2x3，下列说法正确的是() A.是正定的 B.其矩阵可逆 C.其秩为1 D.其秩为2 3.设f=X T AX，g=X T BX是两个n元正定二次型，则()未必是正定二次型。 A.X T（A+B）X B.X T A-1X C.X T B-1X D.X T ABX 4.设A，B为正定阵，则() A.AB，A+B都正定 B.AB正定，A+B非正定 C.AB非正定，A+B正定 D.AB不一定正定，A+B正定 5.二次型f=x T Ax经过满秩线性变换x=Py可化为二次型y T By，则矩阵A与B() A.一定合同 B.一定相似 C.即相似又合同 D.即不相似也不合同

— 6.实对称矩阵A的秩等于r，又它有t个正特征值，则它的符号差为() A.r B.t-r C.2t-r D.r-t 7.设 8.f（x1,x2,x3）= x12-2x1x2+4x32对应的矩阵是() 9.设A是n阶矩阵，C是n阶正交阵，且B=C T AC，则下述结论()不成立。 A.A与B相似 B.A与B等价 C.A与B有相同的特征值

— D.A与B有相同的特征向量 10.下列命题错误的是() A.属于不同特征值的特征向量必线性无关 B.属于同一特征值的特征向量必线性相关 C.相似矩阵必有相同的特征值 D.特征值相同的矩阵未必相似 11.下列矩阵必相似于对角矩阵的是() 12.已知矩阵有一个特征值为0，则() A.x=2.5 B.x=1 C.x=-2.5 D.x=0 13.已知3阶矩阵A的特征值为1，2，3，则|A-4E|=() A.2 B.-6 C.6 D.24 14.已知f（x）=x2+x+1方阵A的特征值1,0,-1,则f（A）的特征值为() A.3，1，1 B.2，-1，-2 C.3，1，-1

自考线性代数(经管类)重点考点.

线性代数（经管类）考点逐个击破第一章行列式（一）行列式的定义行列式是指一个由若干个数排列成同样的行数与列数后所得到的一个式子，它实质上表示把这些数按一定的规则进行运算，其结果为一个确定的数. 1．二阶行列式由4个数)2,1,(=j i a ij 得到下列式子： 11122122 a a a a 称为一个二阶行列式，其运算规则为 2112221122 211211a a a a a a a a -= 2．三阶行列式由9个数)3,2,1,(=j i a ij 得到下列式子：33 323123222113 1211a a a a a a a a a 称为一个三阶行列式，它如何进行运算呢？教材上有类似于二阶行列式的所谓对角线法，我们采用递归法，为此先要定义行列式中元素的余子式及代数余子式的概念. 3．余子式及代数余子式设有三阶行列式 33 323123222113 12113a a a a a a a a a D = 对任何一个元素ij a ，我们划去它所在的第i 行及第j 列，剩下的元素按原先次序组成一个二阶行列式，称它为元素ij a 的余子式，记成ij M 例如 33 32232211a a a a M = ，33 32131221a a a a M = ，23 22131231a a a a M = 再记 ij j i ij M A +-=)1( ，称ij A 为元素ij a 的代数余子式. 例如 1111M A =，2121M A -=，3131M A = 那么，三阶行列式3D 定义为我们把它称为3D 按第一列的展开式，经常简写成∑∑=+=-== 3 1 1113 1 11 3)1(i i i i i i i M a A a D 4．n 阶行列式 31 312121111133 323123222113 12113A a A a A a a a a a a a a a a D ++==

线性代数笔记

线性代数笔记第一章行列式 (1) 第二章矩阵 (2) 第三章向量空间 (8) 第四章线性方程组 (11) 第五章特征值与特征向量......................................................................... 错误！未定义书签。第一章行列式 1.3.1 行列式的性质给定行列式,将它的行列互换所得的新行列式称为D的转置行列式，记为或。性质1 转置的行列式与原行列式相等。即 (这个性质表明:行列式对行成立的性质,对列也成立,反之亦然) 性质2 用数k乘行列式D的某一行（列）的每个元素所得的新行列式等于kD。推论1 若行列式中某一行（列）的元素有公因数，则可将公因数提到行列式之外。推论2 若行列式中某一行（列）的元素全为零，则行列式的值为0。可以证明：任意一个奇数阶反对称行列式必为零。性质3行列式的两行（列）互换，行列式的值改变符号。以二阶为例推论3 若行列式某两行（列），完全相同，则行列式的值为零。性质4 若行列式某两行（列）的对应元素成比例，则行列式的值为零。性质 5 若行列式中某一行（列）元素可分解为两个元素的和，则行列式可分解为两个行列式的和，注意性质中是指某一行（列）而不是每一行。性质6 把行列式的某一行（列）的每个元素都乘以加到另一行（列），所得的行列式的值不变。范德蒙德行列式例10 范德蒙行列式…… . =(x2-x1)(x3-x1)(x3-x2)

1.4 克莱姆法则定理1.4.1 对于n阶行列式定理1.4.2 如果n个未知数，n个方程的线性方程组的系数行列式D≠0,则方程组有惟一的解: 定理1.4.3 如果n个未知数n个方程的齐次方程组的系数行列式D≠0，则该方程组只有零解，没有非零解。推论如果齐次方程组有非零解，则必有系数行列式D=0。第二章矩阵一、矩阵的运算 1、矩阵的加法设A=（a ij）m×n ，B=（b ij）m×n ，则 A+B=（a ij+b ij）m×n 矩阵的加法适合下列运算规则：（1）交换律：A+B=B+A （2）结合律：（A+B）+C=A+（B+C）（3）A+0=0+A=A

自考04184线性代数经管类讲义

自考高数线性代数课堂笔记第一章行列式线性代数学的核心内容是：研究线性方程组的解的存在条件、解的结构以及解的求法。所用的基本工具是矩阵，而行列式是研究矩阵的很有效的工具之一。行列式作为一种数学工具不但在本课程中极其重要，而且在其他数学学科、乃至在其他许多学科（例如计算机科学、经济学、管理学等）都是必不可少的。 1.1行列式的定义（一）一阶、二阶、三阶行列式的定义（1）定义：符号叫一阶行列式，它是一个数，其大小规定为：。注意：在线性代数中，符号不是绝对值。例如，且；（2）定义：符号叫二阶行列式，它也是一个数，其大小规定为：所以二阶行列式的值等于两个对角线上的数的积之差。（主对角线减次对角线的乘积）例如（3）符号叫三阶行列式，它也是一个数，其大小规定为例如=0 三阶行列式的计算比较复杂，为了帮助大家掌握三阶行列式的计算公式，我们可以采用下面的对角线法记忆方法是：在已给行列式右边添加已给行列式的第一列、第二列。我们把行列式左上角到右下角的对角

线叫主对角线，把右上角到左下角的对角线叫次对角线，这时，三阶行列式的值等于主对角线的三个数的积与和主对角线平行的线上的三个数的积之和减去次对角线三个数的积与次对角线的平行线上数的积之和。例如：（1） =1×5×9+2×6×7+3×4×8-3×5×7-1×6×8-2×4×9=0 （2）（3）（2）和（3）叫三角形行列式，其中（2）叫上三角形行列式，（3）叫下三角形行列式，由（2）（3）可见，在三阶行列式中，三角形行列式的值为主对角线的三个数之积，其余五项都是0，例如例1a为何值时，

[答疑编号10010101：针对该题提问] 解因为所以8-3a=0，时例2当x取何值时， [答疑编号10010102：针对该题提问] 解：解得0

2018年4月线性代数(经管类)试题

2018年4月高等教育自学考试全国统一命题考试 04184线性代数（经管类）试卷一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分） 1. 设2阶行列式 121 21a a b b =-，则12 1212 12 a a a a b b b b +-=+- A. 2- B. 1- C. 1 D.2 2. 设A 为3阶矩阵，且||=0A a ≠，将A 按列分块为123(,,)A a a a = ，若矩阵122331(,,),B a a a a a a =+++则||=B A. 0 B. a C. 2a D.3a 3. 设向量组123,,a a a 线性无关，则下列向量组中线性无关的是 A. 123,2,3a a a C. 122331,,a a a a a a --- B. 1123,2,a a a a - D.1223123,,2a a a a a a a +-+- 4. 设矩阵300 00 00000120 02 2B ?? ? ? = ?- ??? ，若矩阵,A B 相似，则矩阵3E A -的秩为 A. 1 B. 2 C. 3 D.4 5. 设矩阵120240001A -?? ?=- ? ??? ，则二次型T x Ax 的规范型为 A. 222123z z z ++ B. 222123z z z +- C. 2212z z - D.2212z z + 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。 6. 设3阶行列式11 1213 21 222312 2 2 a a a a a a = ，若元素ij a 的代数余子式为ij A ，则

313233++=A A A . 7. 已知矩阵(1,2,1),(2,1,1)A B =-=- ，且,T C A B = 则C = . 8. 设A 为3阶矩阵，且1||=3A -，则行列式1 * 132A A -??+= ??? . 9.2016 2017 001123010010456100=100789001?? ???? ? ??? ? ??? ? ????? ???? . 10. 设向量 (1 ,T β= 可由向量组 123(1,1,)(1,,1)(,1,1)T T T a a a ααα===，，线性表示，且表示法唯一，则 a 的取值应满足 . 11. 设向量组123(1,2,1)(0,4,5)(2,0,)T T T t ααα=-=-=，，的秩为2，则 t = . 12. 已知12(1,0,1)(3,1,5)T T ηη=-=-，是3元非齐次线性方程组Ax b = 的两个解，则对应齐次线性方程组Ax b =有一个非零解=ξ . 13.设2=3 λ- 为n 阶矩阵A 的一个特征值，则矩阵2 23E A - 必有一个特征值为 . 14.设2阶实对称阵A 的特征值为2,2- ，则2 A = . 15.设二次型22111211(,)4f x x x x tx x =+- 正定，则实数t 的取值范围是 . 三、计算题：本大题共有7小题，每小题9分，共63分。 16. 计算4阶行列式23001230 01230012 D --=-- .

自考04184线性代数(经管类)-自考核心考点笔记-自考重点资料

《线性代数（经管类）》刘吉佑、徐诚浩主编，武汉大学出版社新版第一章行列式 1.1 行列式的定义 1.2 行列式行(列)展开 1.3 行列式的性质与计算 1.3 克拉默法则第二章矩阵 2.1 线性方程组与矩阵的定义 2.2 矩阵运算 2.3 分阵的逆矩阵 2.4 分块矩阵 2.5 矩阵的初等变换与初等方阵 2.6 矩阵的秩 2.7 矩阵与线性方程组第三章向量空间 3.1 n维向量概念及其线性运算 3.2 线性相关与线性无关 3.3 向量组的秩 3.4 向量空间第四章线性方程组 4.1 齐次线性方程组 4.2 非齐次线性方程组第五章特征值与特征向量 5.1 特征值与特征向量 5.2 方阵的相似变换 5.3 向量内积和正交矩阵 5.4 实对称矩阵的相似标准形第六章实二次型 6.1 实二次型及其标准形 6.2 正这二次型和正定矩阵 … … (中间部分略) 完整版15页请—— QQ：1273114568 索取第一部分行列式本章概述行列式在线性代数的考试中占很大的比例。从考试大纲来看。虽然只占13%左右。但在其他章。的试题中都有必须用到行列式计算的内容。故这部分试题在试卷中所占比例远大于13%。 1.1 行列式的定义 1.1.1 二阶行列式与三阶行列式的定义一、二元一次方程组和二阶行列式例1.求二元一次方程组的解。解：应用消元法得当时。得同理得定义称为二阶行列式。称为二阶行列式的值。记为。于是由此可知。若。则二元一次方程组的解可表示为：例2 二阶行列式的结果是一个数。我们称它为该二阶行列式的值。二、三元一次方程组和三阶行列式考虑三元一次方程组希望适当选择。使得当后将消去。得一元一次方程若，能解出其中要满足为解出。在（6），（7）的两边都除以得这是以为未知数的二元一次方程组。定义1.1.1 在三阶行列式中，称于是原方程组的解为; 类似地得这就将二元一次方程组解的公式推广到了三元一次方程组。例3 计算例4 （1）（2）例5 当x取何值时，？为将此结果推广到n元一次方程组。需先将二阶、三阶行列式推广到n阶行列式。 1.1.2 阶行列式的定义定义1.1.2 当n时，一阶行列式就是一个数。当时，称为n阶行列式。定义（其所在的位置可记为的余子式的代数余子式。定义为该n阶行列式的值。即。容易看出，第j列元素的余子式和代数余子式都与第j列元素无关；类似地，第i行元素的余子式和代数余子式都与第i行元素无关。n阶行列式为一个数。例6 求出行列式第三列各元素的代数余子式。例7（上三角行列式） 1.2 行列式按行（列）展开定理1.2.1（行列式按行（列）展开定理）例1 下三角行列式＝主对角线元素的乘积。例2 计算行列式例3 求n阶行列式小结 1.行列式中元素的余子式和代数余子式的定义。 2.二阶行列式的定义。 3.阶行列式的定义。即。 4.行列式按行（列）展开的定理和应用这个定理将行列式降阶的方法。 1.3 行列式的性质及计算 1.3.1 行列式的性质给定行列式将它的行列互换所得的新行列式称为D的转置行列式，记为或。性质1 转置的行列式与原行列式相等。即性质2用数k乘行列式D的某一行（列）的每个元素所得的新行列式等于kD。推论1 若行列式中某一行（列）的元素有公因数，则可将公因数提到行列式之外。推论2 若行列式中某一行（列）的元素全为零，则行列式的值为0。 … … (中间部分略) 完整版15页请—— QQ：1273114568 索取性质3 行列式的两行（列）互换，行列式的值改变符号。以二阶为例设推论3 若行列式某两行（列），完全相同，则行列式的值为零。证设中，第i行与第j行元素完全相同，则所以，D=0。

《线性代数(经管类)》(课程代码04184)

《线性代数(经管类)》(课程代码04184) 第一大题：单项选择题 1、设行列式=1 , =2, 则= ( ) ? A.—3 ? B.—1 ? C.1 ? D.3 2、设A为3阶方阵，且已知|-2A|=2，则|A|=（） ? A.—1 ? B. ? C. ? D.1 3、设矩阵A，B，C为同阶方阵，则=____ ? A. ? B. ? C. ? D. 4、设A为2阶可逆矩阵，且已知= ，则A=（）? A. ? B.

? C. ? D. 5、设A为m×n矩阵，则齐次线性方程组=0仅有零解的充分必要条件是（A） ? A.A的列向量组线性无关 ? B.A的列向量组线性相关 ? C.A的行向量组线性无关 ? D.A的行向量组线性相关 6、已知，是非齐次线性方程组=b的两个不同的解，，是其导出组=0的一个基础解系，，为任意常数，则方程组=b的通解可以表为（） ? A. ? B. ? C. ? D. 7、设3阶矩阵A与B相似，且已知A的特征值为2，2，3 则||= ( ) ? A. ? B. ? C.7 ? D.12 8、设A为3阶矩阵，且已知|3A+2E|=0，则A必有一个特征值为（） ? A. ? B. ? C. ? D. 9、二次型的矩阵为（）

? A. ? B. ? C. ? D. 10、设A为三阶方阵且|A|=-2,则（） ? A.—108 ? B.—12 ? C.12 ? D.108 11、如果方程组有非零解,则k=（）? A.—2 ? B.—1 ? C.1 ? D.2 12、设A、B为同阶方阵，下列等式中恒正确的是（）? A.AB=BA ? B. ? C.

2018年10月全国自考线性代数(经管类)真题及答案

2014年10月全国高等教育自学考试线性代数（经管类）试卷及答案课程代码：04184 本试卷共8页，满分100分，考试时间150分钟。说明：本试卷中，T A 表示矩阵A 的转置矩阵，*A 表示矩阵A 的伴随矩阵，E 是单位矩阵，A 表示方阵A 的行列式，()A r 表示矩阵A 的秩。一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.设3阶行列式111 2322 21131211 a a a a a a =2，若元素ij a 的代数余子公式为ij A （i,j=1,2,3)，则=++333231A A A 【】 A.1- B.0 C.1 D.2 2.设A 为3阶矩阵，将A 的第3行乘以21- 得到单位矩阵E ，则A =【】 A.2- B.2 1- C.21 D.2 3.设向量组321,,ααα的秩为2，则321,,ααα中【】 A.必有一个零向量 B. B.任意两个向量都线性无关 C.存在一个向量可由其余向量线性表出 D.每个向量均可由其余向量线性表出 4.设3阶矩阵???? ? ??---=466353331A ,则下列向量中是A 的属于特征值2-的特

征向量为【】 A.????? ??-011 B.????? ??-101 C.????? ??201 D.???? ? ??211 5.二次型212322213214),,(x x x x x x x x f +++=的正惯性指数为【】 A.0 B.1 C.2 D.3 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。错误、不填均无分、 6.设131 2)(--=x x f ，则方程0)(=x f 的根是 7.设矩阵??? ? ??=0210A ,则*A = 8.设A 为3阶矩阵，21- =A ,则行列式1)2(-A = 9.设矩阵???? ??=4321B ,??? ? ??=2001P ,若矩阵A 满足B PA =,则A = 10.设向量T )4,1(1-=α,T )2,1(2=α,T )2,4(3=α,则3α由21,αα线性表出的表示式为 11.设向量组T T T k ),0,1(,)0,1,4(,)1,1,3(321===ααα线性相关，则数=k 12.3元齐次线性方程组?? ?=-=+0 03221x x x x 的基础解系中所含解向量的个数为 13.设3阶矩阵A 满足023=+A E ，则A 必有一个特征值为 14.设2阶实对称矩阵A 的特征值分别为1-和1，则=2A

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