高中数学公式大全
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目录
1 集合与简易逻辑 .......................................................................................... 01 2 函数 ......................................................................................................... 02 3 导数及其应用................................................................................................07 4 三角函数 ...................................................................................................09 5 平面向量......................................................................................................10 6 数列 .........................................................................................................11 7 不等式.........................................................................................................12 8 立体几何与空间向量 ....................................................................................13 9 直线与圆 ...................................................................................................16 10圆锥曲线 ...................................................................................................18 11排列组合与二项式定理 .................................................................................19 12统计与概率 ................................................................................................20 13复数与推理证明 (23)
§01. 集合与简易逻辑
1. 元素与集合的关系
U x A x A ∈⇔∉ð，U x A x A ∈⇔∉ð.
2．集合运算 全集U ：如U=R
交集：}{B x A x x B A ∈∈=且 并集：{}A B x x A x B =∈∈或
补集：{}U A x x U x A =∈∉且ð 3．集合关系 空集A ∅⊆
子集⊆A B :任意B x A x ∈⇒
∈ =⇔⊆=⇔⊆A
B A A B ,A
B
B
A B
注：数形结合---文氏图、数轴 4. 包含关系
A B A A B B =⇔=U U A B C B C A ⇔⊆⇔⊆U A C B ⇔=ΦU C A B R ⇔=
5．集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；
真子集有2n –1个；非空子集有2n –1个；非空的真子集有2n – 2个.
6. 真值表
7. 常见结论的否定形式
原结论 反设词 原结论 反设词 是 不是 至少有一个 一个也没有 都是 不都是
至多有一个
至少有两个 大于 不大于（小于等于） 至少有n 个 至多有（1n -）个 小于
不小于（大于等于） 至多有n 个 至少有（1n +）个
对所有x ，成立
存在某x ，不成立
p 或q p ⌝且q ⌝ 对任何x ，不成立 存在某x ，成立
p 且q
p ⌝或q ⌝
8. 四种命题
原命题：若p 则q 逆命题：若q 则p 否命题：若p ⌝则q ⌝ 逆否命题：若q ⌝则p ⌝
原命题与逆否命题真假相同 否命题与逆命题真假相同
9. 充要条件
（1）充分条件：若p q ⇒，则p 是q 充分条件.
（2）必要条件：若q p ⇒，则p 是q 必要条件.
（3）充要条件：若p q ⇒，且q p ⇒，则p 是q 充要条件. 注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.
§02. 函数
1. 函数的单调性
(1)设[]2121,,x x b a x x ≠∈⋅那么
[]1212()()()0x x f x f x -->⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)
()(2121在⇔>--上是增函数；
[]1212()()()0x x f x f x --<⇔
[]b a x f x x x f x f ,)(0)
()(2
121在⇔<--上是减函数.
对于复合函数的单调性：()f g x ⎡⎤⎣⎦ 同增异减（即()f x 与()g x 的增减性相同，那么符合函数就是增函数（同增）；
()f x 与()g x 的增减性相反，那么符合函数就是减函数（异减））
(2)设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函数.
2．函数的奇偶性
判断奇偶性的前提是定义域关于原点对称。
f(x)偶函数⇔()()f x f x -=⇔f(x)图象关于y 轴对称 f(x)奇函数⇔()()f x f x -=-⇔f(x)图象关于原点对称 注：①f(x)有奇偶性⇒定义域关于原点对称
②f(x)奇函数,在x=0有定义⇒f(0)=0 对于复合函数：()f g x ⎡⎤⎣⎦ 内偶则偶，两奇为奇 奇偶函数的图象特征
奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么
这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数．
若函数)(x f y =是偶函数，则)()(a x f a x f --=+；若函数)(a x f y +=是偶函数，则
)()(a x f a x f +-=+
对于函数)(x f y =(R x ∈),)()(x b f a x f -=+恒成立,则函数)(x f 的对称轴是函数2
b
a x +=; 两个函数)(a x f y +=与)(x
b f y -= 的图象关于直线2
b
a x +=
对称. 若)()(a x f x f +--=,则函数)(x f y =的图象关于点)0,2
(a 对称; 若)()(a x f x f +-=,则函数)(x f y =为周期为a 2的周期函数.
多项式函数1
10()n n n n P x a x a x a --=++
+的奇偶性
多项式函数()P x 是奇函数⇔()P x 的偶次项的系数全为零.（常数按偶次项看待) 多项式函数()P x 是偶函数⇔()P x 的奇次项的系数全为零. 3. 函数的周期性
T 是()f x 周期⇔()()f x T f x +=恒成立（常数0≠T ）
（1）)()(a x f x f +=，则)(x f 的周期T=a ； （2）0)()(=+=a x f x f ，
或)0)(()(1)(≠=
+x f x f a x f ， 或1()()
f x a f x +=-(()0)f x ≠, 4. 函数()y f x =的图象的对称性
(1)函数()y f x =的图象关于直线x a =对称()()f a x f a x ⇔+=-
(2)()f a x f x ⇔-=.
(2)函数()y f x =的图象关于直线2
a b
x +=对称()()f a mx f b mx ⇔+=- 两个函数图象的对称性
(1)函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =(即y 轴)对称. (2)函数)(x f y =和)(1
x f
y -=的图象关于直线y=x 对称.
若将函数)(x f y =的图象右移a 、上移b 个单位，得到函数b a x f y +-=)(的图象；若将曲线0),(=y x f 的
图象右移a 、上移b 个单位，得到曲线0),(=--b y a x f 的图象. 互为反函数的两个函数的关系
a b f b a f =⇔=-)()(1. 几中常见抽象函数原型
(1)()()(),(1)f x y f x f y f c +=+=.正比例函数()f x cx =
(2)()()(),(1)0f x y f x f y f a +==≠.指数函数()x f x a =
(3)()()(),()1(0,1)f xy f x f y f a a a =+=>≠.对数函数()log a f x x = (4)'
()()(),(1)f xy f x f y f α==.幂函数()f x x α=
(5），()()()()()f x y f xf y gxgy -=+，
()
(0)1,lim
1x g x f x
→==. 余弦函数()cos f x x =,正弦函数()sin g x x = 5. 二次函数 解析式的三种形式
(1)一般式2
()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2
()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 闭区间上的二次函数的最值
二次函数)0()(2
≠++=a c bx ax x f 在闭区间[]
q p ,上的最值只能在a
b
x 2-=处及区间的两端点处取得，具体如下：
(1)当a>0时，若[]q p a b
x ,2∈-=，则{}min max max ()(),()(),()2b f x f f x f p f q a =-=； []q p a b
x ,2∉-=，{}max max ()(),()f x f p f q =，{}min min ()(),()f x f p f q =. (2)当a<0时，若[]q p a b
x ,2∈-=，则{}min ()min (),()f x f p f q =， []q p a
b
x ,2∉-=，则{}max ()max (),()f x f p f q =，{}min ()min (),()f x f p f q =. 6. 指数函数与对数函数 y=a x 与y=log a x
定义域、值域、过定点、单调性？
注：y=a x 与y=log a x 图象关于y=x 对称（互为反函数） 分数、指数、有理数幂
m n
a =
0,,a m n N *
>∈，且1n >）；1m
n
m n
a
a
-
=
（0,,a m n N *>∈，且1n >）.
n a =；当n
a =； 当n
,0
||,0a a a a a ≥⎧==⎨
-<⎩
. 有理指数幂的运算性质
(0,,)r
s
r s
a a a
a r s Q +⋅=>∈.
()(0,,)r s rs
a a a r s Q =>∈.
()(0,0,)r r r ab a b a b r Q =>>∈.
注： 若a ＞0，p 是一个无理数，则a p 表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用.
指数式与对数式的互化式
log b a N b a N =⇔=(0,1,0)a a N >≠>.
对数的换底公式
log log log m a m N
N a
=
(0a >,且1a ≠,0m >,且1m ≠, 0N >).
推论 log log m n
a a n
b b m
=
(0a >,且1a >,,0m n >,且1m ≠,1n ≠, 0N >). 对数的四则运算法则
若a ＞0，a≠1，M ＞0，N ＞0，则 (1)log ()log log a a a MN M N =+; (2) log log log a
a a M
M N N
=-; (3)log log ()n
a a M n M n R =∈.
注：性质01log =a 1l o g =a a N a
N
a =l o g
常用对数N N 10log lg =，15lg 2lg =+ 自然对数N N e log ln =，1ln =e 7. 函数图像与方程 描点法
函数化简→定义域→讨论性质（奇偶、单调） 取特殊点如零点、最值点等 图象变换
平移：“左加右减，上正下负”
)()(h x f y x f y +=→=
伸缩：)1
()(x f y x f y ϖ
ϖ=−−
−−−−−−→−=倍
来的每一点的横坐标变为原
对称：“对称谁，谁不变，对称原点都要变”
)
()()()()()(x f y x f y x f y x f y x f y x f y y x --=−−→−=-=−→−=-=−→−=原点轴轴
注：)
(x f y =a
x =→直线)2(x a f y -=
翻折：→=)(x f y |()|y f x =保留x 轴上方部分，
并将下方部分沿x 轴翻折到上方
y=f(x)
c
b a
o
y
x
y=|f(x)|
c
b a
o
y
x
→=)(x f y (||)y f x =保留y 轴右边部分，
并将右边部分沿y 轴翻折到左边
y=f(x)
c
b a
o
y
x
y=f(|x|)
c
b a
o
y
x
零点定理
若0)()(
②在],[b a 上连续的单调函数)(x f ，0)()(
§03. 导数及其应用
1．导数几何意义
)(x f 在点x 0处导数)(0'
x f ：指点x 0处切线斜率 2．导数公式
0)(='C （C 为常数） 1)(-⋅='n n x n x x x cos )(sin =' x x sin )(cos -='
x x e e =')( x x /1)(ln =' .)('''v u v u ±=± .)('''uv v u uv +=
/
⎪⎭
⎫ ⎝⎛v u =2
''v uv v u - 'x y ='u y .'
x u 3．导数应用
单调性：如果0)('
>x f ，则)(x f 为增函数
如果0)('
极大值点：在x 0附近)(x f “左增右减↗↘” 极小值点：在x 0附近)(x f “左减右增↘↗” 注0)(0'=x f 求极值：)(x f 定义域→)('x f →)(' x f 零点→列表： x 范围、)('x f 符号、)(x f 增减、)(x f 极值 求[a ，b]上最值： )(x f 在(a ，b)内极值与ƒ(a)、ƒ(b)比较 4．三次函数 d cx bx ax x f +++=23)( c bx ax x f ++=23)(2/ 图象特征：“↗↘↗” “↘↗↘” 0,0>∆>a 0,0>∆ 极值情况:)(0x f ⇔>∆有极值 )(0x f ⇔≤∆无极值 5．定积分 定理： )()()(a F b F dx x f b a -=⎰ 其中)()('x f x F = 性质： ⎰⎰=b a b a dx x f k dx x kf )()(（k 为常数） ⎰ ⎰⎰±=±b a b a b a dx x g dx x f dx x g x f )()()()( 应用： ② 直线x ＝a ，x ＝b ，x 轴及曲线y ＝f(x)(f(x )≥0)围成曲边梯形面积⎰ = b a dx x f S )( ②如图，曲线y 1＝f 1(x)，y 2＝f 2(x)在[a ，b]上围成图形的面积S ＝S 曲边梯形 AMNB －S 曲边梯形 DMNC ＝ ⎰ ⎰-b a b a dx x f dx x f )()(21 §04. 三角函数 1．特殊角的三角函数值 2．弧长 r l ⋅=α 扇形面积lr S 2 = 3. 同角三角函数的基本关系式 22sin cos 1θθ+=，tan θ= θ θ cos sin ，tan 1cot θθ⋅=. 4. 正弦、余弦的诱导公式：（奇变偶不变，符号看象限）；符号：“一正全、二正弦、三正切、四余弦” 5. 和差角公式 s i n () s i n c o s c o s s αβαβαβ±=±; cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=; tan tan tan()1tan tan αβ αβαβ ±±= . 6. 二倍角公式 sin 2sin cos ααα=. 2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-. 2 2tan tan 21tan α αα = -. 7. 辅助角公式 s i n c o s a b αα+22 )a b αϕ++(其中tan b a ϕ=，a 要为正 ). 8. 正弦定理 2sin sin sin a b c R A B C ===. 9. 余弦定理 2 2 2 2cos a b c bc A =+-;（求边） cos A =bc a c b 22 22-+（求角） 2222cos b c a ca B =+-; 2222cos c a b ab C =+-. 10. 面积定理 （1）111 222a b c S ah bh ch = ==（a b c h h h 、、分别表示a 、b 、c 边上的高）. （2）111 sin sin sin 222 S ab C bc A ca B ===. 11．三角函数的图象性质 单调性： ),(-增 ),0(π减 ),(-增 注：Z k ∈ §05. 平面向量 1. 实数与向量的积的运算律 设λ、μ为实数，量那么 结合律：λ(μa)=(λμ)a ; (λ+μ)a =λa +μa ; λ(a +b )=λa +λb . 2.平面向量的坐标运算 (1)设a=11(,)x y ,b=22(,)x y ，则a+b=1212(,)x x y y ++. (2)设a=11(,)x y ,b=22(,)x y ，则a-b=1212(,)x x y y --. (3)设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ,则2121(,)AB OB OA x x y y =-=--. (4)设a=(,),x y R λ∈，则λa=(,)x y λλ. (5)设a=11(,)x y ,b=22(,)x y ，则a·b=1212()x x y y +. 3. a 与b 的数量积(或内积) a ·b=|a ||b |cosθ． a·b 的几何意义 数量积a·b 等于a 的长度|a|与b 在a 的方向上的投影|b |cosθ的乘积． 4. 对空间任意两个向量a 、b(b ≠0 )，a ∥b ⇔存在实数λ使a =λb ． P A B 、、三点共线⇔||AP AB ⇔AP t AB =⇔(1)OP t OA tOB =-+. ||AB CD ⇔AB 、CD 共线且AB CD 、不共线⇔AB tCD =且AB CD 、不共线. 5. 两向量的夹角公式 12122 2221 1 2 2 cos x y x y θ= +⋅+(a =11(,)x y ,b=22(,)x y ). 6. 向量的平行与垂直 设a=11(,)x y ,b=22(,)x y ，且b ≠0，则 平行：⇔b a //λ=⇔1221y x y x =（≠） 垂直：0=⋅⇔⊥02121=+⇔y y x x 7. 三角形的重心坐标公式 △ABC 三个顶点的坐标分别为11A(x ,y )、22B(x ,y )、33C(x ,y ),则△ABC 的重心的坐标是 123123 ( ,)33 x x x y y y G ++++. §06. 数 列 1. 等差数列 定义：d a a n n =-+1 通项：d n a a n )1(1-+= 求和：2)(1n n a a n S += d n n na )1(2 1 1-+= 中项：2 c a b += （c b a ,,成等差） 性质：若q p n m +=+，则q p n m a a a a +=+ 2. 等比数列 定义： )0(1 ≠=+q q a a n n 通项：11-=n n q a a 求和：⎪⎩⎪⎨⎧≠--==) 1(1)1()1(11q q q a q na S n n 中项：ac b =2 （c b a ,,成等比） 性质：若q p n m +=+ 则q p n m a a a a ⋅=⋅ 3. 数列通项与前n 项和的关系 ⎩⎨⎧≥-===-)2() 1(111n s s n a s a n n n ( 数列{}n a 的前n 项的和为12n n s a a a =+++). 4. 数列求通项常用几种方法 累加、累乘、取倒数、待定系数、构造辅助数列。（特征根法和不动点法） 5. 数列求和常用方法 公式法、裂项法、 错位相减法、倒序相加法 §07. 不 等 式 1.常用不等式： （1）,a b R ∈⇒222a b ab +≥(当且仅当a ＝b 时取“=”号)． （2）,a b R +∈ ⇒2 a b +≥(当且仅当a ＝b 时取“=”号)． （3）2 )2 ( b a ab +≤(当且仅当a ＝b 时取“=”号)． 备注：求最值条件是“一正、二定、三相等” 2. 柯西不等式 22222()()(),,,,.a b c d ac bd a b c d R ++≥+∈ （5）b a b a b a +≤+≤-. 3. 极值定理 已知y x ,都是正数，则有 （1）若积xy 是定值p ，则当y x =时和y x +有最小值p 2； （2）若和y x +是定值s ，则当y x =时积xy 有最大值 24 1s . 4. 一元二次不等式20(0)ax bx c ++><或2(0,40)a b ac ≠∆=->，如果a 与2 ax bx c ++同号，则其解集 在两根之外；如果a 与2 ax bx c ++异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间. 5. 含有绝对值的不等式 当a> 0时，有 2 2x a x a a x a <⇔<⇔-<<. 22x a x a x a >⇔>⇔>或x a <-. 6. 无理不等式 （1()0()()()0 ()()f x f x g x g x f x g x ≥⎧⎪ >⇔≥⎨⎪>⎩ . （22()0 ()0()()()0()0()[()]f x f x f x g x g x g x f x g x ≥⎧≥⎧⎪ >⇔≥⎨⎨ <⎩ ⎪>⎩ 或. （32()0()()()0 ()[()]f x f x g x g x f x g x ≥⎧⎪ <⇔>⎨⎪<⎩ . 7. 指数不等式与对数不等式 (1)当1a >时, ()() ()()f x g x a a f x g x >⇔>; ()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪ >⇔>⎨⎪>⎩ . (2)当01a <<时, ()() ()()f x g x a a f x g x >⇔<; ()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪ >⇔>⎨⎪<⎩ §08. 立体几何与空间向量 1．三视图 正视图、侧视图、俯视图（长对正、高平齐、宽相等） 2．直观图 斜二测画法''' X OY ∠=450 平行X 轴的线段，保平行和长度 平行Y 轴的线段，保平行，长度变原来一半 3．体积与侧面积 V 柱=S 底h V 锥 = 31S 底h V 球=3 4 πR 3 S 圆锥侧=rl π S 圆台侧=l r R )(+π S 球表=2 4R π 4．公理与推论 确定一个平面的条件： ①不共线的三点 ②一条直线和这直线外一点 ③两相交直线 ④两平行直线 公理：平行于同一条直线的两条直线平行 定理：如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。 5. 平行的判定与性质 线面平行： a ∥ b ，⇒⊄⊂ααa b ,a ∥α a ∥α，⇒=⋂⊂b a αββ,a ∥b 面面平行： AB ∥α，AC ∥⇒α平面ABC ∥α α∥β，⇒⊂αa a ∥β 6．垂直的判定与性质 线面垂直： ABC p AC p AB p 面⊥⇒⊥⊥, 面面垂直：αββα⊥⇒⊂⊥a a , a b β α 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面垂直； 若两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 三垂线定理： a PA a AO PO ⊥⇒⊥⊥,α a AO a PA PO ⊥⇒⊥⊥,α 在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直逆定理？ 7．空间角、距离的计算 异面直线所成的角 范围（0°，90°] 平移法：转化到一个三角形中，用余弦定理 直线和平面所成的角 范围[0°，90°] 定义法：找直线在平面内射影，转为解三角形 二面角 范围[0°，180°] 定义法：作出二面角的平面角，转为解三角形 点到平面的距离 体积法--用三棱锥体积公式 注：计算过程，“一作二证三求”，都要写出 8．立体几何中的空间向量解法 法向量求法：设平面ABC 的法向量n =（x,y ） ,0,=⋅=⋅⊥⊥n n n n 解方程组，得一个法向量n 异面直线所成角 cos |cos ,|a b θ=r r =1212122222 2 2 1 1 1 222 || |||| a b a b x y z x y z ⋅= ⋅++⋅++r r r r （其中θ（090θ<≤o o ）为异面直线a b , 所成角，,a b r r 分别表示异面直线a b ,的方向向量）线面角： 直线与面的夹角 n AB n AB AB n ⋅⋅>= <=,cos sin θ （其中n 是平面α的法向量，AB 是平面α的一条斜线，AB 与平面α所成的角为θ） 二面角：设12,n n 是面,αβ的法向量，二面角l αβ-- 的大小为θ，则><=21,c o s c o s n θ 或 α A B C ><-21,cos n 即二面角大小等于><21,n n 或12,n n π-<> 点到面距离： 若n 是平面α的法向量，AB 是平面α的一条斜线段，且B α∈， 9．棱锥的平行截面的性质 如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比（对应角相等，对应边对应成比例的多边形是相似多边形，相似多边形面积的比等于对应边的比的平方）；相应小棱锥与小棱锥的侧面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比． 10. 球的组合体 (1)球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长. (2)球与正方体的组合体: 正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长. (3) 球与正四面体的组合体: 棱长为a 的正四面体的内切球的半径为 612a ,外接球的半径为6 4 a . §09. 直线与圆 1. 倾斜角 范围[)0,π 注：直线向上方向与x 轴正方向所成的最小正角，倾斜角为90︒时，斜率不存在 2. 斜率公式 21 21 tan y y k x x α-== -（111(,)P x y 、222(,)P x y ）. 3. 直线的五种方程 （1）点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )． （2）斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距). （3）两点式 11 2121 y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y (12x x ≠)). (4)截距式 1x y a b +=(a b 、分别为直线的横、纵截距，0a b ≠、) （5）一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0). 4. 两条直线的平行和垂直 (1)若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+ ①121212||,l l k k b b ⇔=≠; ②12121l l k k ⊥⇔=-. (2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零, ①11112222 ||A B C l l A B C ⇔ =≠ ； ② 1212120l l A A B B ⊥⇔+=； 5．四种常用直线系方程 (1)定点直线系方程：经过定点000(,)P x y 的直线系方程为 00()y y k x x -=-(除直线0x x =),其中k 是待定 的系数; 经过定点000(,)P x y 的直线系方程为 00()()0A x x B y y -+-=,其中,A B 是待定的系数． (2)共点直线系方程：经过两直线1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=的交点的直线系方程为 111222()()0A x B y C A x B y C λ+++++=(除2l )，其中λ是待定的系数． (3)平行直线系方程：直线y kx b =+中当斜率k 一定而b 变动时，表示平行直线系方程．与直线 0Ax By C ++=平行的直线系方程是0Ax By λ++=(0λ≠)，λ是参变量． (4)垂直直线系方程：与直线0Ax By C ++= (A≠0，B≠0)垂直的直线系方程是0Bx Ay λ-+=,λ是参变量． 6. 距离公式 两点间距离：|AB|=2 212 21) ()(y y x x -+- 点到直线距离： 002 2 d A B =+(点00(,)P x y ,直线l ：0Ax By C ++=). 7. 圆的四种方程 （1）圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=. （2）圆的一般方程 2 2 0x y Dx Ey F ++++=(22 4D E F +-＞0). 圆心,2 2D E ⎛⎫ -- ⎪⎝⎭ 半径2r = （3）圆的直径式方程 1212()()()()0x x x x y y y y --+--=(圆的直径的端点是11(,)A x y 、22(,)B x y ). 8. 圆系方程 (1)过直线l :0Ax By C ++=与圆C :22 0x y Dx Ey F ++++=的交点的圆系方程是 22()0x y Dx Ey F Ax By C λ+++++++=,λ是待定的系数． (2) 过圆1C :221110x y D x E y F ++++=与圆2C :22 2220x y D x E y F ++++=的交点的圆系方程是 2222111222()0x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=,λ是待定的系数． 9. 点00(,)P x y 与圆2 22)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种 若22 00()()d a x b y =-+- d r >⇔点P 在圆外;d r =⇔点P 在圆上;d r <⇔点P 在圆内. 10. 直线与圆的位置关系 直线0=++C By Ax 与圆2 22)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种: 0<∆⇔⇔>相离r d ; 0=∆⇔⇔=相切r d ; 0>∆⇔⇔<相交r d . 其中2 2 B A C Bb Aa d +++= . 11. 两圆位置关系的判定方法 设两圆圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，d O O =21 条公切线外离421⇔⇔+>r r d ; 条公切线外切321⇔⇔+=r r d ; 条公切线相交22121⇔⇔+<<-r r d r r ; 条公切线内切121⇔⇔-=r r d ; 无公切线内含⇔⇔-<<210r r d . 12. 圆的切线方程 已知圆222x y r +=． ①过圆上的000(,)P x y 点的切线方程为2 00x x y y r +=; ②斜率为k 的圆的切线方程为y kx =±13. 直线截圆所得弦长（垂径定理） AB = 备注：其中d 表示圆心到弦AB 的距离，r 表示圆的半径。 §10. 圆锥曲线方程 1. 椭圆 |PF 1|+|PF 2|=2a(2a>|F 1F 2|) 标准方程：22 221(0)x y a b a b +=>>. 焦半径：)(21c a x e PF +=，)(2 2x c a e PF -=. 中心原点 对称轴？ 焦点F 1(c,0)、F 2(-c,0) 顶点: (±a,0),(0, ±b) 范围: -a ≤x ≤a,-b ≤y ≤b 其中2a 、2b 表示长轴、短轴长 椭圆的切线方程 22 221(0)x y a b a b +=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y y a b +=. 2. 双曲线：|PF 1|-|PF 2|=±2a(0<2a<|F 1F 2|) 标准方程：22 221(0,0)x y a b a b -=>> 焦半径：21|()|a P F e x c =+，2 2|()|a P F e x c =-. 中心原点 对称轴？ 焦点F 1(c,0)、F 2(-c,0) 顶点: 双曲线(±a,0) 范围：|x| ≥ a ，y ∈R 其中2a 、2b 双表示实轴、虚轴长 双曲线的方程与渐近线方程的关系 (1）若双曲线方程为12222=-b y a x ⇒渐近线方程：22220x y a b -=⇔x a b y ±=. (2)若渐近线方程为x a b y ±=⇔0=±b y a x ⇒双曲线可设为λ=-22 22 b y a x . (3)若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-22 22b y a x （0>λ，焦点在x 轴上，0<λ，焦点 在y 轴上）. 双曲线的切线方程 22221(0,0)x y a b a b -=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y y a b -=. 3. 抛物线px y 22=的焦半径公式 顶点（原点） 对称轴（x 轴） 开口（向右） 范围x ≥0 离心率e=1 焦点)0,2( p F 准线2p x -= 焦半径0 2p C F x =+. 焦点弦长p x x p x p x CD ++=+++=21212 2. 抛物线的切线方程 px y 22=上一点00(,)P x y 处的切线方程是00()y y p x x =+ 4. 直线与圆锥曲线相交的弦长公式 221212()()AB x x y y = -+- 2222211212(1)()||1tan ||1t AB k x x x x y y co αα=+-=-+=-+（弦端点A ),(),,(2211y x B y x ， 由方程⎩⎨ ⎧=+=0 )y ,x (F b kx y 消去y 得到02 =++c bx ax ，0∆>,α为直线AB 的倾斜角，k 为直线的斜率）. §11. 排列组合、二项定理 1. 分类计数原理（加法原理） 12n N m m m =+++. 分步计数原理（乘法原理） 12n N m m m =⨯⨯⨯. 2. 排列数公式 m n A =)1()1(+--m n n n =！ ！ )(m n n -.(n ，m ∈N *，且m n ≤)． 注:规定1!0=. 3. 组合数公式 m n C = m n m m A A =m m n n n ⨯⨯⨯+-- 21)1()1(=！！！)(m n m n -⋅(n ∈N * ，m N ∈，且m n ≤). 组合数的几个性质 (1)m n C =m n n C - ; (2) m n C +1-m n C =m n C 1+. (3)n n n r n n n n C C C C C 2210=++++++ . 注:规定10=n C . 4．排列组合应用题 原则：分类后分步，先选后排，先特殊后一般 解法：相邻问题“捆绑法”，不相邻“插空法”，特殊元素“定位法”，复杂问题“排除法” 5. 二项式定理 n n n r r n r n n n n n n n n b C b a C b a C b a C a C b a ++++++=+--- 222110)( ; 高中必背88个数学公式 1. 勾股定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜 边平方。 2. 余弦定理：在任意三角形中，一个角的余弦等于与该角相 对的边的平方和减去另外两条边的平方的差再除以两倍的另一条边与该角相对的角的正弦的乘积。 3. 正弦定理：在任意三角形中，一个角的正弦等于与该角相 对的边长和另外两条边长的比例的乘积。 4. 长方形面积公式：长方形的面积等于长乘以宽。 5. 平行四边形面积公式：平行四边形面积等于底边长乘以高。 6. 梯形面积公式：梯形的面积等于上底加下底乘以高再除以二。 7. 三角形面积公式：三角形面积等于底边长乘以高再除以二。 8. 圆面积公式：圆的面积等于圆周率乘以半径的平方。 9. 圆周长公式：圆的周长等于直径乘以圆周率。 10. 球体表面积公式：球体的表面积等于四倍的圆面积。 11. 球体体积公式：球体的体积等于四分之三的圆面积乘以半径的立方。 12. 一次函数方程： y = kx + b。 13. 二次函数方程： y = ax² + bx + c。 14. 等差数列通项公式： an = a1 + (n - 1)d，其中a1为首项，d为公差，an为第n项。 15. 等差数列前n项和公式： Sn = n(a1 + an)/2，其中a1 为首项，an为第n项，n为项数。 16. 等比数列通项公式：an = a1 × qⁿ⁻¹，其中a1为首项，q为公比，n为项数。 17. 等比数列前n项和公式： Sn = a1(1 - qⁿ)/1 - q，其中a1为首项，q为公比，n为项数。 18. 三角函数正弦的定义：在直角三角形中，任意一锐角的正弦是指这个角的对边与这个角所在的斜边的比值。 19. 三角函数余弦的定义：在直角三角形中，任意一锐角的余弦是指这个角的邻边与这个角所在的斜边的比值。 20. 三角函数正切的定义：在直角三角形中，任意一锐角的正切是指这个角的对边与这个角的邻边的比值。 21. 三角函数余切的定义：在直角三角形中，任意一锐角的余切是指这个角的邻边与这个角的对边的比值。 22. 三角函数正割的定义：在直角三角形中，任意一锐角的正割是指这个角所在的直线与圆的切点到圆心的距离除以圆心到直线的距离。 23. 三角函数余割的定义：在直角三角形中，任意一锐角的余割是指这个角所在的直线与圆的切点到圆心的距离除以圆心到直线的距离。 24. 三角函数周期性质：正弦、余弦、正切、余切、正割和余割都具有周期性，它们的周期为360°或2π。 25. 三角恒等式：一系列可以被等号连接起来的三角函数的等式称为三角恒等式，其中包括诸如正弦和余弦之间的和差关系公式，倍角公式，半角公式，求和差公式等。 26. 极坐标系的转换：在极坐标系中，坐标点的位置由极径rho和极角theta两个参数来决定。 27. 向量的概念：向量是端点可以任意变化，但是长度和方向都不会发生变化的量，具有模和方向两个属性。 数学公式 抛物线：y = ax *+ bx + c 就是y等于ax 的平方加上bx再加上c a > 0时开口向上 a < 0时开口向下 c = 0时抛物线经过原点 b = 0时抛物线对称轴为y轴 还有顶点式y = a（x+h）* + k 就是y等于a乘以（x+h）的平方+k -h是顶点坐标的x k是顶点坐标的y 一般用于求最大值与最小值 抛物线标准方程:y^2=2px 它表示抛物线的焦点在x的正半轴上,焦点坐标为(p/2,0) 准线方程为x=-p/2 由于抛物线的焦点可在任意半轴,故共有标准方程y^2=2px y^2=-2px x^2=2py x^2=-2py 圆：体积=4/3(pi）(r^3) 面积=(pi)(r^2) 周长=2(pi)r 圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2注：（a,b）是圆心坐标 圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0 （一）椭圆周长计算公式 椭圆周长公式：L=2πb+4(a-b) 椭圆周长定理：椭圆的周长等于该椭圆短半轴长为半径的圆周长（2πb）加上四倍的该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的差。 （二）椭圆面积计算公式 椭圆面积公式：S=πab 椭圆面积定理：椭圆的面积等于圆周率（π）乘该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的乘积。 以上椭圆周长、面积公式中虽然没有出现椭圆周率T，但这两个公式都是通过椭圆周率T 推导演变而来。常数为体，公式为用。 椭圆形物体体积计算公式椭圆的长半径*短半径*PAI*高 三角函数： 两角和公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 倍角公式 tan2A=2tanA/(1-tan2A) cot2A=(cot2A-1)/2cota cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin*α+2π*(n-1)/n]=0 cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0 以及 高中数学常用公式及常用结论 1.包含关系 A B A A B B =?=I U U U A B C B C A ???? U A C B ?=ΦI U C A B R ?=U 2．集合12{,,,}n a a a L 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1个；非空的真子集有 2n –2个. 3.充要条件 （1）充分条件：若p q ?，则p 是q 充分条件. （2）必要条件：若q p ?，则p 是q 必要条件. （3）充要条件：若p q ?，且q p ?，则p 是q 充要条件. 注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然. 4.函数的单调性 (1)设[]2121,,x x b a x x ≠∈?那么 []1212()()()0x x f x f x -->? []b a x f x x x f x f ,)(0) ()(2 121在?>--上是增函数； []1212()()()0x x f x f x --'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函 数. 5.如果函数)(x f 和)(x g 都是减函数,则在公共定义域内,和函数)()(x g x f +也是减函数; 如果函数)(u f y =和)(x g u =在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数)]([x g f y =是增函数. 6．奇偶函数的图象特征 奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数． 7.对于函数)(x f y =(R x ∈),)()(x b f a x f -=+恒成立,则函数)(x f 的对称轴是函数2 b a x += ;两个函数)(a x f y +=与)(x b f y -= 的图象关于直线2 b a x += 对称. 8.几个函数方程的周期(约定a>0) （1）)()(a x f x f +=，则)(x f 的周期T=a ； （2），)0)(()(1 )(≠=+x f x f a x f ，或1()() f x a f x +=-(()0)f x ≠,则)(x f 的周期T=2a ； 9.分数指数幂 (1)m n a = （0,,a m n N * >∈，且1n >）.(2)1m n m n a a - = （0,,a m n N * >∈，且1n >）. 10．根式的性质 （1 ）n a =.（2）当n a =；当n ,0 ||,0 a a a a a ≥?==? -∈.(2) ()(0,,)r s rs a a a r s Q =>∈.(3)()(0,0,)r r r a b a b a b r Q =>>∈. 12.指数式与对数式的互化式 log b a N b a N =?=(0,1,0)a a N >≠>. ①.负数和零没有对数，②.1的对数等于0：01log =a ，③.底的对数等于1：1log =a a ， 高中数学公式大全 数学公式一定要背好，下面是小编为大家收集的关于高中数学公式大全，欢迎大家阅读! 1 、过两点有且只有一条直线 2、两点之间线段最短 3 、同角或等角的补角相等 4 、同角或等角的余角相等 5、过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6、直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 7、平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 8、如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行 9 、同位角相等，两直线平行 10 、内错角相等，两直线平行 11 、同旁内角互补，两直线平行 12、两直线平行，同位角相等 13、两直线平行，内错角相等 14、两直线平行，同旁内角互补 15 、定理三角形两边的和大于第三边 16 、推论三角形两边的差小于第三边 17 、三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180° 18 、推论1 直角三角形的两个锐角互余 19、推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20、推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21 、全等三角形的对应边、对应角相等 22、边角边公理(sas) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23 、角边角公理( asa)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24、推论(aas) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25、边边边公理(sss) 有三边对应相等的两个三角形全等 26、斜边、直角边公理(hl) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27、定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28、定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上 29、角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 30 、等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角) 31 、推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 32 、等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 33 、推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60° 34、等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边) 35 、推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形 36、推论 2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 37、在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半 38 、直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半 39 、定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 40 、逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 41 、线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合 42、定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形 43、定理 2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线 高中数学所有公式大总结 高中数学涉及的公式很多，不同的章节和知识点都有对应的公式，掌握这些公式是解题的基础。下面将对高中数学中常用的各个章节的公式进行总结。 1. 代数基本公式： - 二次方程的根公式：对于二次方程ax^2+bx+c=0，根的公式为x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)。 - 一次方程求解公式：对于一次方程ax+b=0，解为x=-b/a。 - 直线的斜率公式：对于直线y=kx+b，其斜率为k。 - 等差数列通项公式：对于等差数列an=a1+(n-1)d，其中an表示第n个数，a1表示首项，d表示公差。 - 等比数列通项公式：对于等比数列an=a1*r^(n-1)，其中an表示第n个数，a1表示首项，r表示公比。 2. 平面几何公式： - 长方形面积公式：面积为长乘以宽，即A=lw。 - 正方形面积公式：面积为边长的平方，即A=s^2。 - 三角形面积公式：面积为底乘以高的一半，即A=1/2bh。 - 三角形海伦公式：对于已知三角形三边长a、b、c，其面积可以由海伦公式计算：A=√(s(s-a)(s-b)(s-c))，其中s为半周长(s=(a+b+c)/2)。 - 直角三角形勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即a^2+b^2=c^2。 3. 解析几何公式： - 两点之间的距离公式：对于平面上两点的坐标分别为(x1, y1)和(x2, y2)，两点之间的距离为d=√((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)。 - 点到直线的距离公式：对于直线Ax+By+C=0和平面上的点P(x0, y0)，点P 到直线的距离为d=|Ax0+By0+C|/√(A^2+B^2)。 - 两直线夹角的余弦公式：对于直线y=k1x+b1和直线y=k2x+b2，两直线夹角的余弦为cosθ=(k1k2+1)/√((k1^2+1)(k2^2+1))。 4. 概率与统计公式： - 事件的概率公式：对于事件A，其概率表示为P(A)。 - 随机事件的发生次数的期望：对于随机事件A，在进行n次试验时，A事件发生的次数的期望为E(X)=np，其中n为试验次数，p为事件A发生的概率。 - 二项分布概率公式：对于重复n次的独立二项试验，每次试验中事件A发生的概率为p，在n次试验中A事件发生k次的概率P(X=k)可以通过二项分布公式计算：P(X=k)=C(n,k)p^k(1-p)^(n-k)，其中C(n,k)表示组合数。 - 正态分布标准正态变量的概率：正态分布的一个重要性质是标准正态分布的变量Z在任意取值点z处的概率P(Z<=z)可以在标准正态分布的累积分布函数表中查找。 以上是对高中数学中常用的各个章节的公式进行总结，掌握这些公式对于解题非常重要。在解题过程中，灵活运用这些公式能够帮助我们更好地理解问题、简化计算，从而提高解题效率。 高中数学公式大全 抛物线：y = ax *+ bx + c 就是y等于ax 的平方加上bx再加上c a > 0时开口向上 a < 0时开口向下 c = 0时抛物线经过原点 b = 0时抛物线对称轴为y轴 还有顶点式y = a（x+h）* + k 就是y等于a乘以（x+h）的平方+k -h是顶点坐标的x k是顶点坐标的y 一般用于求最大值与最小值 抛物线标准方程:y^2=2px 它表示抛物线的焦点在x的正半轴上,焦点坐标为(p/2,0) 准线方程为x=-p/2 由于抛物线的焦点可在任意半轴,故共有标准方程y^2=2px y^2=-2px x^2=2py x^2=-2py 圆：体积=4/3(pi）(r^3) 面积=(pi)(r^2) 周长=2(pi)r 圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2 注：（a,b）是圆心坐标 圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0 （一）椭圆周长计算公式 椭圆周长公式：L=2πb+4(a-b) 椭圆周长定理：椭圆的周长等于该椭圆短半轴长为半径的圆周长（2πb）加上四倍的该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的差。（二）椭圆面积计算公式 椭圆面积公式：S=πab 椭圆面积定理：椭圆的面积等于圆周率（π）乘该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的乘积。 以上椭圆周长、面积公式中虽然没有出现椭圆周率T，但这两个公式都是通过椭圆周率T推导演变而来。常数为体，公式为用。 椭圆形物体体积计算公式椭圆的长半径*短半径*PAI*高 三角函数： 两角和公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 倍角公式 tan2A=2tanA/(1-tan2A) cot2A=(cot2A-1)/2cota cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a 高中数学公式大全（完整版）精选 在数学里公式的重要性不言而喻，那么高中数学公式都有哪些呢?下面是由编辑为大家整理的“高中数学公式大全(完整版)精选”，仅供参考，欢迎大家阅读本文。 高中数学公式大全(完整版)精选 1、两角和公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 2、乘法与因式分解 a^2-b^2=(a+b)(a-b) a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2) • a^3-b^3=(a-b(a^2+ab+b^2) 3、三角不等式|a+b|≤|a|+|b| |a-b|≤|a|+|b| |a|≤b<=>-b≤a≤b |a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a≤|a| 4、正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注：其中 R 表示三角形的外接圆半径。 5、余弦定理 b^2=a^2+c^2-2accosB 注：角B是边a和边c的夹角。 6、圆的标准方程 (x-a)^2+(y-b)^2=^r2 注：(a,b)是圆心坐标。 7、圆的一般方程 x^2+y^2+Dx+Ey+F=0 注：D^2+E^2-4F>0。 8、倍角公式 tan2A=2tanA/[1-(tanA)^2] cos2a=(cosa)^2-(sina)^2=2(cosa)^2 -1=1-2(sina)^2 高中数学基本公式大全 以下是高中数学常用的基本公式大全： 1. 二次方程求根公式： 对于二次方程 ax^2 + bx + c = 0，其求根公式为： x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a) 2. 一次方程的解： 对于一次方程 ax + b = 0，其解为： x = -b/a 3. 因式分解公式： (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 a^2 - b^2 = (a + b)(a - b) 4. 平方差公式： a^2 - b^2 = (a + b)(a - b) 5. 三角函数的基本关系： sin^2θ + cos^2θ = 1 tanθ = sinθ / cosθ cotθ = 1 / tanθ secθ = 1 / cosθ cscθ = 1 / sinθ 6. 三角函数和角度的关系： 弧度与角度的转换公式：弧度 = 角度× π / 180 角度与弧度的转换公式：角度 = 弧度× 180 / π 7. 三角函数的和差化积公式： sin(A ± B) = sinAcosB ± cosAsinB cos(A ± B) = cosAcosB ∓ sinAsinB tan(A ± B) = (tanA ± tanB) / (1 ∓ tanAtanB) 8. 三角函数的倍角公式： sin2θ = 2sinθcosθ cos2θ =cos^2θ - sin^2θ tan2θ = (2tanθ) / (1 - tan^2θ) 9. 三角函数的半角公式： sin(θ/2) = ±√((1 - cosθ) / 2) cos(θ/2) = ±√((1 + cosθ) / 2) tan(θ/2) = ±√((1 - cosθ) / (1 + cosθ)) 10. 三角函数的和差化积公式： sin(A ± B) = sinAcosB ± cosAsinB cos(A ± B) = cosAcosB ∓ sinAsinB tan(A ± B) = (tanA ± tanB) / (1 ∓ tanAtanB) 11. 三角函数的积化和差公式： sinAcosB = (sin(A + B) + sin(A - B)) / 2 cosAsinB = (sin(A + B) - sin(A - B)) / 2 cosAcosB = (cos(A + B) + cos(A - B)) / 2 sinAsinB = (cos(A + B) - cos(A - B)) / 2 12. 三角函数的和差化积公式： 高中数学公式大全 三角不等式|a+b|≤|a|+|b||a-b|≤|a|+|b||a|≤b<=>-b≤a≤b |a-b|≥|a|-|b|-|a|≤a≤|a| 一元二次方程的解-b+√(b2-4ac)/2a,-b-√(b2-4ac)/2a 根与系数的关系X1+X2=-b/aX1·X2=c/a 注：韦达定理 判别式b2-4a=0 注：方程有相等的两实根 b2-4ac>0 注：方程有一个实根 b2-4ac<0 注：方程有共轭复数根 三角函数公式 两角和公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA)ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA) 倍角公式tan2A=2tanA/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctga cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a 半角公式 sin(A/2)=√((1-cosA)/2)sin(A/2)=-√((1-cosA)/2) cos(A/2)=√((1+cosA)/2)cos(A/2)=-√((1+cosA)/2) tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA))tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA)) 高中数学常用公式及常用结论 1. 元素与集合的关系 U x A x C A ∈⇔∉,U x C A x A ∈⇔∉. 2.德摩根公式 ();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==. 3.包含关系 A B A A B B =⇔=U U A B C B C A ⇔⊆⇔⊆ U A C B ⇔=ΦU C A B R ⇔= 4.容斥原理 ()()card A B cardA cardB card A B =+- ()()card A B C cardA cardB cardC card A B =++- ()()()()card A B card B C card C A card A B C ---+. 5．集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1 个；非空的真子集有2n –2个. 6.二次函数的解析式的三种形式 []q p a b x ,2∉- =，则{}max ()max (),()f x f p f q =，{}min ()min (),()f x f p f q =. 10.一元二次方程的实根分布 依据：若()()0f m f n <，则方程0)(=x f 在区间(,)m n 内至少有一个实根 . 设q px x x f ++=2)(，则 （1）方程0)(=x f 在区间),(+∞m 内有根的充要条件为0)(=m f 或2402 p q p m ⎧-≥⎪ ⎨->⎪⎩； （2）方程0)(=x f 在区间(,)m n 内有根的充要条件为()()0f m f n <或2()0()040 2 f m f n p q p m n >⎧⎪>⎪⎪ ⎨-≥⎪ ⎪<-<⎪⎩或()0()0f m af n =⎧⎨>⎩或()0()0 f n af m =⎧⎨>⎩； （3）方程0)(=x f 在区间(,)n -∞内有根的充要条件为()0f m <或240 p q p m ⎧-≥⎪ ⎨-<⎪ . 乘法与因式分解a^2-b^2=(a+b)(a-b) a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2) • a^3-b^3=(a-b(a^2+ab+b^2) 三角不等式|a+b|≤|a|+|b| |a-b|≤|a|+|b| |a|≤b<=>-b≤a≤b |a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a≤|a| 一元二次方程的解-b+√(b^2-4ac)/2a -b-√(b^2-4ac)/2a 根与系数的关系X1+X2=-b/a X1*X2=c/a 注：韦达定理判别式b^2-4ac=0 注：方程有两个相等的实根b^2-4ac>0 注：方程有两个不等的实根b^2-4ac<0 注：方程没有实根，有共轭复数根三角函数公式两角和公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 倍角公式tan2A=2tanA/[1-(tanA)^2] cos2a=(cosa)^2-(sina)^2=2(cosa)^2 -1=1-2(sina)^2 半角公式 sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2) cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2) t an(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA)) cot(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) cot(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA)) 和差化积2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B) ) 2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B) 高中数学公式及知识点速记 1、函数的单调性 (1)设1212[,],x x a b x x ∈<、且那么 ],[)(0)()(21b a x f x f x f 在⇔<-上是增函数； ],[)(0)()(21b a x f x f x f 在⇔>-上是减函数. (2)设函数)(x f y =在某个区间内可导， 若0)(>'x f ，则)(x f 为增函数； 若0)(<'x f ，则)(x f 为减函数； 若()=0f x '，则)(x f 有极值。 2、函数的奇偶性 若)()(x f x f =-，则)(x f 是偶函数；偶函数的图象关于y 轴对称。 若)()(x f x f -=-，则)(x f 是奇函数；奇函数的图象关于原点对称。 3、函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义 函数)(x f y =在点0x 处的导数)(0x f '是曲线)(x f y =在))(,(00x f x P 处的切线的斜率，相应 的切线方程是))((000x x x f y y -'=-. 4、几种常见函数的导数 ①'C 0=； ②1')(-=n n nx x ； ③x x cos )(sin '=； ④x x sin )(cos '-=； ⑤a a a x x ln )('=； ⑥x x e e =')(； ⑦a x x a ln 1)(log '=； ⑧x x 1 )(ln '= 5、导数的运算法则 （1）'''()u v u v ±=±. （2）'''()uv u v uv =+. （3）'' '2 ()u u v uv v v -=. 6、求函数()y f x =的极值的方法是：解方程()0f x '=得0x ．当()00f x '=时： ① 如果在0x 附近的左侧()0f x '>，右侧()0f x '<，那么()0f x 是极大值； ② 如果在0x 附近的左侧()0f x '<，右侧()0f x '>，那么()0f x 是极小值． 7、分数指数幂 (1)m n a =. (2)11 m n m n a a - == . 8、根式的性质 （1 ）n a =. （2）当n a =； 高中数学公式大全（最全面，最详细） 高中数学公式大全 抛物线：y = ax *+ bx + c 就是y等于ax 的平方加上bx再加上c a > 0时开口向上 a < 0时开口向下 c = 0时抛物线经过原点 b = 0时抛物线对称轴为y轴 还有顶点式y = a（x+h）* + k 就是y等于a乘以（x+h）的平方+k -h是顶点坐标的x k是顶点坐标的y 一般用于求最大值与最小值 抛物线标准方程:y^2=2px 它表示抛物线的焦点在x的正半轴上,焦点坐标为(p/2,0) 准线方程为x=-p/2 由于抛物线的焦点可在任意半轴,故共有标准方程y^2=2px y^2=-2px x^2=2py x^2=-2py 圆：体积=4/3(pi）(r^3) 面积=(pi)(r^2) 周长=2(pi)r 圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2 注：（a,b）是圆心坐标 圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0 （一）椭圆周长计算公式 椭圆周长公式：L=2πb+4(a-b) 椭圆周长定理：椭圆的周长等于该椭圆短半轴长为半径的圆周长（2πb）加上四倍的该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的差。 （二）椭圆面积计算公式 椭圆面积公式：S=πab 椭圆面积定理：椭圆的面积等于圆周率（π）乘该椭圆长半轴长（a）与短半轴长（b）的乘积。 以上椭圆周长、面积公式中虽然没有出现椭圆周率T，但这两个公式都是通过椭圆周率T推导演变而来。常数为体，公式为用。 椭圆形物体体积计算公式椭圆的长半径*短半径*PAI*高 三角函数： 两角和公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 倍角公式 tan2A=2tanA/(1-tan2A) cot2A=(cot2A-1)/2cota cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0 cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0 以及 sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2 tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0 四倍角公式： sin4A=-4*(cosA*sinA*(2*sinA^2-1)) cos4A=1+(-8*cosA^2+8*cosA^4) tan4A=(4*tanA-4*tanA^3)/(1-6*tanA^2+tanA^4) 五倍角公式： sin5A=16sinA^5-20sinA^3+5sinA cos5A=16cosA^5-20cosA^3+5cosA tan5A=tanA*(5-10*tanA^2+tanA^4)/(1-10*tanA^2+5*tanA^4) 六倍角公式： 高中数学公式大全(最新整理版) 1、二次函数的解析式的三种形式 (1) 一般式 f (x) 2 ax bx c(a 0); (2) 顶点式 f (x) a(x h)2 k(a 0); (3) 零点式 f (x) a(x x )(a 0) 1)(x x2 2、四种命题的相互关系 原命题：与逆命题互逆，与否命题互否，与逆否命题互为逆否； 逆命题：与原命题互逆，与逆否命题互否，与否命题互为逆否； 否命题：与原命题互否，与逆命题互为逆否，与逆否命题互逆； 逆否命题：与逆命题互否，与否命题互逆，与原命题互为逆否。 函数 1、若 f (x) f( x a),则函数y f (x)的图象关于点( a,0)对称； 若 f (x) f (x a), 则函数y f (x) 为周期为2a的周期函数。 2、函数y f (x) 的图象的对称性 (1) 函数y f(x) 的图象关于直线x a对称 f(a x) f (a x) f(2a x) f (x) ab (2) 函数y f ( x)的图象关于直线x a b对称 2 f(a mx) f (b mx) f(a b mx) f (mx) 3、两个函数图象的对称性 (1) 函数y f(x)与函数y f( x) 的图象关于直线x 0(即y轴)对称。 (2) 函数y f(mx a) 与函数y f (b mx) 的图象关于直线x a b对称。 2m (3) 函数y f(x)和y f 1(x)的图象关于直线y x对称。 4、若将函数y f (x) 的图象右移 a 、上移b个单位，得到函数y f (x a) b的 图象；若将曲线 f (x,y) 0 的图象右移 a 、上移 b 个单位，得到曲线 高中数学公式大全(完整版) 高中数学常用公式及常用结论 1.包含关系 A B A A B B =⇔=U U A B C B C A ⇔⊆⇔⊆ U A C B ⇔=ΦU C A B R ⇔= 2．集合1 2 {,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1个；非空的真子集有2n –2个. 3.充要条件 （1）充分条件：若p q ⇒，则p 是q 充分条件. （2）必要条件：若q p ⇒，则p 是q 必要条件. （3）充要条件：若p q ⇒，且q p ⇒，则p 是q 充要条件. 注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然. 4.函数的单调性 (1)设[]2 1 2 1 ,,x x b a x x ≠∈⋅那么 []1212()()()0x x f x f x -->⇔[] b a x f x x x f x f ,)(0) ()(2121在⇔>--上是增函数； []1212()()()0x x f x f x --<⇔ [] b a x f x x x f x f ,)(0) ()(2 121在⇔<--上是减函数. (2)设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函数. 5.如果函数)(x f 和)(x g 都是减函数,则在公共定义域内,和函数)()(x g x f +也是减函数; 如果函数)(u f y =和)(x g u =在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数)]([x g f y =是增函数. 6．奇偶函数的图象特征 奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数． 一、函数 1、函数的单调性：（1）设2121],,[x x b a x x <∈、那么 ],[)(0)()(21b a x f x f x f 在⇔<-上是增函数； ],[)(0)()(21b a x f x f x f 在⇔>-上是减函数. 也可以这样定义：设[]2121,,x x b a x x ≠∈⋅那么 []1212()()()0x x f x f x -->⇔ []b a x f x x x f x f ,)(0) ()(2 121在⇔>--上是增函数； []1212()()()0x x f x f x --<⇔ []b a x f x x x f x f ,)(0) ()(2 121在⇔<--上是减函数. （2）复合函数单调性：同增异减 2、函数的奇偶性 首先判断函数定义域是否关于原点对称，若不对称则为非奇非偶函数；若对称则继续往下判断： 对于定义域内任意的x ，都有)()(x f x f =-，则)(x f 是偶函数； 对于定义域内任意的x ，都有)()(x f x f -=-，则)(x f 是奇函数。 奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称。 3、复合函数定义域求法规则：（1）定义域指的是单个x 的取值范围 (2) 同类型的函数括号内的范围相同 4、二次函数)0(2 ≠++=a c bx ax y 的性质 （1）顶点坐标公式：⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛--a b ac a b 44,22， 对称轴：a b x 2-=，最大（小）值：a b ac 442- （2）.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式2 ()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式 2 ()()(0)f x a x h k a =-+≠ ; (3)两根式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 5、指数与指数函数 幂的运算法则： （1）a m • a n = a m + n ，（2）n m n m a a a -=÷，（3）( a m ) n = a m n （4）( ab ) n = a n • b n （5） n n n b a b a =⎪⎭⎫ ⎝⎛（6）a 0 = 1 ( a ≠0)（7）n n a a 1=- （8）m n m n a a =（9）m n m n a a 1=- 根式的性质 （1）()n n a a =.（2）当n 为奇数时，n n a a =； 当n 为偶数时，,0||,0 n n a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩. 指数函数y = a x (a > 0且a ≠1)的性质： （1）定义域：R ； 值域：( 0 , +∞) （2）图象过定点（0，1） 6、指数式与对数式的互化： log b a N b a N =⇔=(0,1,0)a a N >≠>. 7、对数与对数函数 对数的运算法则： （1）a b = N <=> b = log a N （2）log a 1 = 0（3）log a a = 1（4）log a a b = b （5）a log a N = N （6）log a (MN) = log a M + log a N （7）log a ( N M ) = log a M -- log a N （8）log a N b = b log a N （9）换底公式：log a N = a N b b log log （10）推论 log log m n a a n b b m =(0a >,且1a >,,0m n >,且1m ≠,1n ≠, 0N >). （11）log a N = a N log 1 （12）常用对数：lg N = log 10 N （13）自然对数：ln A = log e A （其中 e = 2.71828…） 对数函数y = log a x (a > 0且a ≠1)的性质： （1）定义域：( 0 , +∞) ； 值域：R （2）图象过定点（1，0） 8、幂函数y = x a 的图象:根据 a 的取值画出函数在第一象限的简图 . 例如： y = x 2 2 1x x y == 11 -== x x y 9、图象平移：若将函数)(x f y =的图象右移a 、上移b 个单位， 得到函数b a x f y +-=)(的图象； 规律：左加右减，上加下减 10、函数的零点：（1）定义：对于()y f x =，把使()0f x =的X 叫()y f x =的零点。即 ()y f x =的图象与X 轴相交时交点的横坐标。 （2）函数零点存在性定理：如果函数()y f x =在区间[],a b 上的图象是连续不断的一条曲线，并有()()0f a f b ⋅<，那么()y f x =在区间(),a b 内有零点，即存在(),c a b ∈，使得()0f c =，这个C 就是零点。 Y 0 X 1 a > 1 Y X 1 0 < a < 1 0 Y X 1 a >1 X 0 Y 1 0 < a < 1 a > 1 0 < a < 1 a < 0高中必背88个数学公式
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